Разделы сайта
Выбор редакции:
- Понятие и признаки общества
- Основные понятия теории вероятностей Значение е теория вероятности
- Set out — английский фразовый глагол
- Английская грамматика для начинающих: смотрим видео бесплатно
- Общая биология для студентов
- Какие продукты образуются и сколько молекул атф запасается в клетках Сколько молекул атф запасается в процессе
- «У меня миллион навязчивых мыслей»: как жить с обсессивно-компульсивным расстройством?
- Отчет по самообразованию "развитие сенсорных способностей детей младшего дошкольного возраста" Отчет по самообразованию воспитателя первой младшей группы
- Образование государства русь
- Завоевание англии вильгельмом нормандским (1066 г
Реклама
Пусть дана система , ∆≠0. (1)
Метод Гаусса – это метод последовательного исключения неизвестных. Суть метода Гаусса состоит в преобразовании (1) к системе с треугольной матрицей , из которой затем последовательно (обратным ходом) получаются значения всех неизвестных. Рассмотрим одну из вычислительных схем. Эта схема называется схемой единственного деления. Итак, рассмотрим эту схему. Пусть a 11 ≠0 (ведущий элемент) разделим на a 11 первое уравнение. Получим
Вычисления по методу Гаусса выполняются в два этапа:
На каждом шаге предполагалось, что ведущий элемент отличен от нуля. Если это не так, то в качестве ведущего можно использовать любой другой элемент, как бы переставив уравнения системы. Назначение метода ГауссаМетод Гаусса предназначен для решения систем линейных уравнений. Относится к прямым методам решения.Виды метода Гаусса
Проиллюстрируем отличие метода Жордано-Гаусса от метода Гаусса на примерах. Пример решения методом Гаусса
Пример решения методом Жордано-Гаусса
Разрешающий элемент равен (3). На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули. Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника. Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
Разрешающий элемент равен (-4). На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули. Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника. Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ. Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
Ответ : x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1 Реализация метода ГауссаМетод Гаусса реализован на многих языках программирования, в частности: Pascal, C++, php, Delphi , а также имеется реализация метода Гаусса в онлайн режиме .Использование метода ГауссаПрименение метода Гаусса в теории игрВ теории игр при отыскании максиминной оптимальной стратегии игрока составляется система уравнений, которая решается методом Гаусса.Применение метода Гаусса при решении дифференциальных уравненийДля поиска частного решения дифференциального уравнения сначала находят производные соответствующей степени для записанного частного решения (y=f(A,B,C,D)), которые подставляют в исходное уравнение. Далее, чтобы найти переменные A,B,C,D составляется система уравнений, которая решается методом Гаусса.Применение метода Жордано-Гаусса в линейном программированииВ линейном программировании, в частности в симплекс-методе для преобразования симплексной таблицы на каждой итерации используется правило прямоугольника, в котором используется метод Жордано-Гаусса.ПримерыПример №1 . Решить систему методом Гаусса:x 1 +2x 2 - 3x 3 + x 4 = -2 x 1 +2x 2 - x 3 + 2x 4 = 1 3x 1 -x 2 + 2x 3 + x 4 = 3 3x 1 +x 2 + x 3 + 3x 4 = 2 Для удобства вычислений поменяем строки местами:
Пример №3 .
Решение системы уравнений методом сложенияРешите 6x+5y=3, 3x+3y=4 систему уравнений методом сложения.Решение. 6x+5y=3 3x+3y=4 Умножим второе уравнение на (-2). 6x+5y=3 -6x-6y=-8 ============ (складываем) -y=-5 Откуда y = 5 Находим x: 6x+5*5=3 или 6x=-22 Откуда x = -22/6 = -11/3 Пример №2
. Решение СЛАУ в матричной форме означает, что исходную запись системы необходимо привести к матричной (так называемая расширенная матрица). Покажем это на примере.
x 3 = -21/(-21) = 1 x 2 = /15 x 1 = /3 Из 2-ой строки выражаем x 2: Из 3-ой строки выражаем x 1: Пример №3
. Решить систему методом Гаусса:
x 1 +2x 2 - 3x 3 + x 4 = -2 Решение:
Метод Гаусса был предложен известнейшим немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом (1777 - 1855) и является одним из наиболее универсальных методов решения СЛАУ. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении задачи, расширенная матрица системы с помощью элементарных преобразований над ее строками приводится к ступенчатому виду. Далее последовательно находятся все неизвестные, начиная снизу вверх. Принцип метода ГауссаМетод Гаусса включает в себя прямой (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, то есть получение нулей под главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и называется методом Гаусса, обратный - методом Гаусса-Жордана, который отличается от первого только последовательностью исключения переменных. Метод Гаусса идеально подходит для решения систем содержащих больше трех линейных уравнений, для решения систем уравнений, которые не являются квадратными (чего не скажешь про метод Крамера и матричный метод). То есть метод Гаусса - наиболее универсальный метод для нахождения решения любой системы линейных уравнений, он работает в случае, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. Примеры решения систем уравненийПример Задание. Решить СЛАУ методом Гаусса. Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и при помощи элементарных преобразований над ее строками приведем эту матрицу к ступенчатому виду (прямой ход) и далее выполним обратный ход метода Гаусса (сделаем нули выше главной диагонали). Вначале поменяем первую и вторую строку, чтобы элемент равнялся 1 (это мы делаем для упрощения вычислений): Все элементы третьей строки делим на два (или, что тоже самое, умножаем на ): От третьей строки отнимаем вторую, умноженную на 3: Умножив третью строку на , получаем: Проведем теперь обратный ход метода Гаусса (метод Гассу-Жордана), то есть сделаем нули над главной диагональю. Начнем с элементов третьего столбца. Надо обнулить элемент , для этого от второй строки отнимем третью. Одним из простейших способов решения системы линейных уравнений является прием, основанный на вычислении определителей (правило Крамера ). Его преимущество состоит в том, что он позволяет сразу провести запись решения, особенно он удобен в тех случаях, когда коэффициенты системы являются не числами, а какими-то параметрами. Его недостаток – громоздкость вычислений в случае большого числа уравнений, к тому же правило Крамера непосредственно не применимо к системам, у которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных. В таких случаях обычно применяют метод Гаусса . Системы линейных уравнений, имеющие одно и то же множество решений, называются эквивалентными . Очевидно, что множество решений линейной системы не изменится, если какие-либо уравнения поменять местами, или умножить одно из уравнений на какое-либо ненулевое число, или если одно уравнение прибавить к другому. Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных ) заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система приводится к эквивалентной системе ступенчатого вида. Сначала с помощью 1-го уравнения исключается x 1 из всех последующих уравнений системы. Затем с помощью2-го уравнения исключается x 2 из 3-го и всех последующих уравнений. Этот процесс, называемый прямым ходом метода Гаусса , продолжается до тех пор, пока в левой части последнего уравнения останется только одно неизвестное x n . После этого производится обратный ход метода Гаусса – решая последнее уравнение, находим x n ; после этого, используя это значение, из предпоследнего уравнения вычисляем x n –1 и т.д. Последним находим x 1 из первого уравнения. Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя преобразования не с самими уравнениями, а с матрицами их коэффициентов. Рассмотрим матрицу: называемую расширенной матрицей системы, ибо в нее, кроме основной матрицы системы, включен столбец свободных членов. Метод Гаусса основан на приведении основной матрицы системы к треугольному виду (или трапециевидному виду в случае неквадратных систем) при помощи элементарных преобразованиях строк (!) расширенной матрицы системы. Пример 5.1. Решить систему методом Гаусса: Решение . Выпишем расширенную матрицу системы и, используя первую строку, после этого будем обнулять остальные элементы: получим нули во 2-й, 3-й и 4-й строках первого столбца: Теперь нужно чтобы все элементы во втором столбце ниже 2-й строки были равны нулю. Для этого можно умножить вторую строку на –4/7 и прибавить к 3-й строке. Однако чтобы не иметь дело с дробями, создадим единицу во 2-й строке второго столбца и только Теперь, чтобы получить треугольную матрицу, нужно обнулить элемент четвертой строки 3-го столбца, для этого можно умножить третью строку на 8/54 и прибавить ее к четвертой. Однако чтобы не иметь дело с дробями поменяем местами 3-ю и 4-ю строки и 3-й и 4-й столбец и только после этого произведем обнуление указанного элемента. Заметим, что при перестановке столбцов меняются местами, соответствующие переменные и об этом нужно помнить; другие элементарные преобразования со столбцами (сложение и умножение на число) производить нельзя! Последняя упрощенная матрица соответствует системе уравнений, эквивалентной исходной: Отсюда, используя обратный ход метода Гаусса, найдем из четвертого уравнения x 3 = –1; из третьего x 4 = –2, из второго x 2 = 2 и из первого уравнения x 1 = 1. В матричном виде ответ записывается в виде Мы рассмотрели случай, когда система является определенной, т.е. когда имеется только одно решение. Посмотрим, что получится, если система несовместна или неопределенна. Пример 5.2. Исследовать систему методом Гаусса: Решение . Выписываем и преобразуем расширенную матрицу системы Записываем упрощенную систему уравнений: Здесь, в последнем уравнении получилось, что 0=4, т.е. противоречие. Следовательно, система не имеет решения, т.е. она несовместна . à Пример 5.3. Исследовать и решить систему методом Гаусса: Решение . Выписываем и преобразуем расширенную матрицу системы: В результате преобразований, в последней строке получились одни нули. Это означает, что число уравнений уменьшилось на единицу: Таким образом, после упрощений осталось два уравнения, а неизвестных четыре, т.е. два неизвестных "лишних". Пусть "лишними", или, как говорят, свободными переменными , будут x 3 и x 4 . Тогда Полагая x 3 = 2a и x 4 = b , получим x 2 = 1–a и x 1 = 2b –a ; или в матричном виде Записанное подобным образом решение называется общим , поскольку, придавая параметрам a и b различные значения, можно описать все возможные решения системы. à Пусть задана система линейных алгебраических уравнений, которую необходимо решить (найти такие значения неизвестных хi, что обращают каждое уравнение системы в равенство). Мы знаем, что система линейных алгебраических уравнений может: 1) Не иметь решений (бытьнесовместной
). Как мы помним,правило Крамера и матричный методнепригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений , который в каждом случае приведет нас к ответу! Сам алгоритм метода во всех трёх случаях работает одинаково. Если в методах Крамера и матричном необходимы знания определителей, то для применения метода Гаусса необходимо знание только арифметических действий, что делает его доступным даже для школьников начальных классов. Преобразования расширенной матрицы (это матрица системы - матрица, составленная только из коэффициентов при неизвестных, плюс столбец свободных членов) системы линейных алгебраических уравнений в методе Гаусса: 1) с троки матрицыможно переставлять местами. 2) если в матрице появились (или есть) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следуетудалить из матрицы все эти строки кроме одной. 3) если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следует удалить . 4) строку матрицы можноумножить (разделить) на любое число,отличное от нуля. 5) к строке матрицы можноприбавить другую строку, умноженную на число , отличное от нуля. В методе Гаусса элементарные преобразования не меняют решение системы уравнений. Метод Гаусса состоит из двух этапов:
Для этого выполним следующие действия: 1) Пусть мы рассматриваем первое уравнение системы линейных алгебраических уравнений и коэффициент при х 1 равен К. Второе, третье и т.д. уравнения преобразуем следующим образом: каждое уравнение (коэффициенты при неизвестных, включая свободные члены) делим на коэффициент при неизвестном х 1 , стоящий в каждом уравнении, и умножаем на К. После этого из второго уравнения (коэффициенты при неизвестных и свободные члены) вычитаем первое. Получаем при х 1 во втором уравнении коэффициент 0. Из третьего преобразованного уравнения вычитаем первое уравнение, так до тех пор, пока все уравнения, кроме первого, при неизвестном х 1 не будут иметь коэффициент 0. 2) Переходим к следующему уравнению. Пусть это будет второе уравнение и коэффициент при х 2 равен М. Со всеми «нижестоящими» уравнениями поступаем так, как описано выше. Таким образом, «под» неизвестной х 2 во всех уравнениях будут нули. 3) Переходим к следующему уравнению и так до тех пора, пока не останется одна последняя неизвестная и преобразованный свободный член.
Пример. Решим систему линейных уравнений методом Гаусса, как советуют некоторые авторы: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду: Смотрим на левую верхнюю «ступеньку». Там у нас должна быть единица. Проблема состоит в том, что в первом столбце единиц нет вообще, поэтому перестановкой строк ничего не решить. В таких случаях единицу нужно организовать с помощью элементарного преобразования. Обычно это можно сделать несколькими способами. Поступим так: Теперь слева вверху «минус один», что нас вполне устроит. Кто хочет получить +1, может выполнить дополнительное действие: умножить первую строку на –1 (сменить у неё знак). 2 шаг . Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 5. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3. 3 шаг . Первую строку умножили на –1, в принципе, это для красоты. У третьей строки также сменили знак и переставили её на второе место, таким образом, на второй «ступеньке у нас появилась нужная единица. 4 шаг . К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2. 5 шаг . Третью строку разделили на 3. Признаком, который свидетельствует об ошибке в вычислениях (реже – об опечатке), является «плохая» нижняя строка. То есть, если бы у нас внизу получилось что-нибудь вроде (0 0 11 |23) , и, соответственно, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, то с большой долей вероятности можно утверждать, что допущена ошибка в ходе элементарных преобразований. Выполняем обратный ход, в оформлении примеров часто не переписывают саму систему, а уравнения «берут прямо из приведенной матрицы». Обратный ход, напоминаю, работает «снизу вверх». В данном примере получился подарок: x 3 = 1 Ответ :x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1. Решим эту же систему по предложенному алгоритму. Получаем 4 2 –1 1 Разделим второе уравнение на 5, а третье – на 3. Получим: 4 2 –1 1 Умножим второе и третье уравнения на 4, получим: 4 2 –1 1 Вычтем из второго и третьего уравнений первое уравнение, имеем: 4 2 –1 1 Разделим третье уравнение на 0,64: 4 2 –1 1 Умножим третье уравнение на 0,4 4 2 –1 1 Вычтем из третьего уравнения второе, получим «ступенчатую» расширенную матрицу: 4 2 –1 1 Таким образом, так как в процессе вычислений накапливалась погрешность, получаем х 3 = 0,96 или приблизительно 1. х 2 = 3 и х 1 = –1. Решая таким образом, Вы никогда не запутаетесь в вычислениях и не смотря на погрешности вычислений, получите результат. Такой способ решения системы линейных алгебраических уравнений легко программируем и не учитывает специфические особенности коэффициентов при неизвестных, ведь на практике (в экономических и технических расчетах) приходиться иметь дело именно с нецелыми коэффициентами. Желаю успехов! До встречи на занятиях! Репетитор . blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна. В нашем калькуляторе вы бесплатно найдете решение системы линейных уравнений методом Гаусса онлайн с подробным решением и даже с комплексными числами . У нас вы можете решить как обычную определенную, так и неопределенную систему уравнений, которая имеет бесконечное множество решений. В этом случае в ответе вы получите зависимость одних переменных через другие - свободные. Также можно проверить систему на совместность, используя все тот же метод Гаусса. Подробнее о том, как пользоваться нашим онлайн калькулятором, вы можете прочитать в инструкции . О методеПри решении системы линейных уравнений методом Гаусса выполняются следующие шаги.
Чтобы лучше всего понять принцип работы алгоритма, введите любой пример, выберите "очень подробное решение" и изучите полученный ответ. |
Читайте: |
---|
Новое
- Основные понятия теории вероятностей Значение е теория вероятности
- Set out — английский фразовый глагол
- Английская грамматика для начинающих: смотрим видео бесплатно
- Общая биология для студентов
- Какие продукты образуются и сколько молекул атф запасается в клетках Сколько молекул атф запасается в процессе
- «У меня миллион навязчивых мыслей»: как жить с обсессивно-компульсивным расстройством?
- Отчет по самообразованию "развитие сенсорных способностей детей младшего дошкольного возраста" Отчет по самообразованию воспитателя первой младшей группы
- Образование государства русь
- Завоевание англии вильгельмом нормандским (1066 г
- Сталин Иосиф Виссарионович: биография Сталин сообщение по истории