Равномерным распределением непрерывной случайной величины называется распределение, в котором значения случайной величины с двух сторон ограничены и в границах интервала имеют одинаковую вероятность. Это означает, что в в данном интервале плотность вероятности постоянна.

Таким образом, при равномерном распределении плотность вероятности имеет вид

Значения f (x ) в крайних точках a и b участка (a , b ) не указываются, так как вероятность попадания в любую из этих точек для непрерывной случайной величины равна нулю.

Кривая равномерного распределения имеет вид прямоугольника, опирающегося на участок (a , b ) (рисунок ниже), в связи с чем равномерное распределение иногда называют "прямоугольным".

Как найти вероятность попадания случайной величины X , равномерно распределённой на участке (a , b ) на любую часть (α , β ) участка (a , b ) ?

Эта вероятность находится по формуле

и геометрически представляет собой площадь, дважды заштрихованную на рисунке ниже и опирающуюся на часть (α , β ) участка (a , b ) :

Функция распределения F (x ) непрерывной случайной величины при равномерном распределении имеет вид

Характеристики равномерного распределения

Характеристики равномерного распределения:

Решение примеров на равномерное распределение

Пример 1. Наблюдения показали, что вес ящика, предназначенного для транспортировки овощей, является равномерно распределённой случайной величиной в интервале от 985 г. до 1025 г. Случайно выбран один ящик. Найти характеристики равномерно распределённой случаной величины при условиях, которые будут указаны в решении.

Решение. Найдём вероятность того, что вес данного ящика будет в интервале от 995 г. до 1005 г. :

Найдём среднее значение непрерывной случайной величины:

.

Найдём стандартное отклонение:

.

Определим, у скольки процентов ящиков вес находится на удалении одного стандартного отклонения от среднего значения (т. е. в интервале ):

.

Пример 2. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 (мин.). Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени, никак не связанный с расписанием поездов. Случайная величина T - время, в течение которого ему придётся ждать поезда, имеет равномерное распределение. Найти плотность распределения f (x ) случайной величины T , её математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение. Найти вероятность того, что ждать придётся не больше полминуты.

Решение. Найдём плотность распределения f (x ) :

f (x ) = 1/2 (0 < x < 2) .

Найдём математическое ожидание случайной величины:

μ = (2 + 0)/2 = 1 .

Найдём дисперсию:

σ ² = 2²/12 = 1/3 .

Стандартное отклонение:

σ = (√3)/3 .

Найдём вероятность того, что пассажиру придётся ждать поезда не больше полминуты:

P {T < 1/2} = 1/4 .

Пример 3. Случайная величина X распределена равномерно на участке (a , b ) . Найти вероятность того, что в результате опыта она отклонится от своего математического ожидания больше, чем на 3σ .

Равномерным распределением называют такое распределение случайной величины, когда она с одинаковой вероятностью может принимать любое значение в заданных пределах.

Равномерное распределение случайной величины показано на рис. 5.9.

Рис. 5.9.

Плотность вероятности равномерного распределения имеет вид:

где а и Ь - параметры закона, определяющие пределы изменения случайной величины X.

Закону равномерного распределения подчиняются, в частности, погрешности от трения в опорах приборов, неисключенные остатки систематических погрешностей, погрешности дискретности в цифровых приборах, погрешности размеров в пределах одной группы сортировки при селективной сборке, погрешности параметров изделий, отобранных в более узких пределах, по сравнению с технологическим допуском, суммарная погрешность обработки, вызван-

Интеграл

носит название нормированной функции Лапласа, а его значения для х - X различных / = --табулированы. Значение нормированной функции Лапласа Ф(/) с погрешностью менее Ю"5 можно определить по формуле

Если / >0, Ф(/) = 7", а если / < 0, то Ф(/) = 1-7". Функция Лапласа нечетная, т. е.

Для отрицательных значений /табличные данные берутся со знаком минус.

Вероятность того, что случайная величина, подчиняющаяся закону нормального распределения, при измерениях примет значение в пределах (х, х,), можно записать через Ф(/) следующим образом:

У теоретической кривой нормального распределения ветви ее асимптотически приближаются к оси абсцисс, т. е. зона рассеивания случайной величины х лежит в пределах ±оо. Практически зона рассеивания случайной величины х ограничена конечными пределами.

Например, вероятность того, что случайная величина будет находиться в пределах

линейным изменением во времени доминирующего фактора (износ режущего инструмента, температурная деформация и т. д.), погрешности, возникающие за счет округления величин, полученных при измерении на приборах, и др.

Функция распределения F(x) равномерного распределения (интегральная функция распределения) выражается следующим уравнением для (а < х < Ь):

Вид функции распределения показан на рис. 5.10.

Математическое ожидание Л/(х), дисперсия 0(х) и среднее квадратичное отклонение (а) случайной величины, подчиняющейся равномерному распределению, соответственно равны:

Практически предельное поле рассеивания со при равномерном распределении равно Ь - а или с учетом (5.48), т. е.

со = Ь - а = 2т/Зет.

Рис. 5.10.

Рис. 5.11.

Закон Симпсона

Вид кривой треугольного распределения показан на рис. 5.11. Плотность вероятности имеет вид:

По этому закону распределены, например, погрешности суммы (разности) двух равномерно распределенных величин. Если, например, отклонения размеров отверстия и вала распределены в пределах полей допусков равномерно, а допуски вала и отверстия примерно одинаковые, то зазоры в пределах допуска зазора будут распределены по закону треугольника. Плотность вероятности зазоров при этом будет иметь следующий вид:

где 5т(п, 5^ - соответственно минимальное и максимальное значения зазора в соединении; .$т = ^"^^"ла _ среднее значение зазора в соединении; /Г5 = 5т1п - допуск зазора; л - текущее значение зазора.

Функция распределения закона Симпсона имеет вид:

Графическое представление интегральной функции распределения приведено на рис. 5.12.

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение случайной величины, подчиняющейся закону Симпсона, соответственно равны:

Практически предельное поле рассеивания сопри распределении случайной величины по закону Симпсона равно 2/, т. е.

Напомним определение плотности вероятности.

Введем теперь понятие равномерного распределения вероятностей:

Определение 2

Распределение называется равномерным, если на интервале, содержащем все возможные значения случайной величины, плотность распределения постоянна, то есть:

Рисунок 1.

Найдем значение константы $\ C$, используя следующее свойство плотности распределения: $\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\varphi \left(x\right)dx}=1$

\[\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\varphi \left(x\right)dx}=\int\limits^a_{-\infty }{0dx}+\int\limits^b_a{Cdx}+\int\limits^{+\infty }_b{0dx}=0+Cb-Ca+0=C(b-a)\] \ \

Таким образом, функция плотности равномерного распределения имеет вид:

Рисунок 2.

График имеет следующий вид (рис. 1):

Рисунок 3. Плотность равномерного распределения вероятности

Функция равномерного распределения вероятностей

Найдем теперь функцию распределения при равномерном распределении.

Для этого будем использовать следующую формулу: $F\left(x\right)=\int\limits^x_{-\infty }{\varphi (x)dx}$

1. При $x ≤ a$, по формуле, получим:

1. При $a

1. При $x> 2$, по формуле, получим:

Таким образом, функция распределения имеет вид:

Рисунок 4.

График имеет следующий вид (рис. 2):

Рисунок 5. Функция равномерного распределения вероятности.

Вероятность попадания случайной величины в интервал $({\mathbf \alpha },{\mathbf \beta })$ при равномерном распределении вероятностей

Для нахождения вероятности попадания случайной величины в интервал $(\alpha ,\beta)$ при равномерном распределении вероятностей будем пользоваться следующей формулой:

Математическое ожидание:

Среднее квадратическое отклонение:

Примеры решения задачи на равномерное распределение вероятностей

Пример 1

Интервал движения между троллейбусами составляет 9 минут.

Составить функцию распределения и плотность распределения случайной величины $X$ ожидания пассажирами троллейбуса.

Найти вероятность того, что пассажир дождется троллейбус меньше чем через три минуты.

Найти вероятность того, что пассажир дождется троллейбус не менее чем через 4 минуты.

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение

1. Так как непрерывная случайная величина ожидания троллейбуса $X$ равномерно распределена, то $a=0,\ b=9$.

Таким образом, плотность распределения, по формуле функции плотности равномерного распределения вероятности, имеет вид:

Рисунок 6.

По формуле функции равномерного распределения вероятности, нашем случае функция распределения имеет вид:

Рисунок 7.

1. Данный вопрос можно переформулировать следующим образом: найдем вероятность попадания случайной величины равномерного распределения в интервал $\left(6,9\right).$

Получаем:

\}