Тестов Владимир Афанасьевич,

доктор педагогических наук, профессор кафедры математики и методики преподавания математики ФГБОУ ВПО ©Вологодский государственный университетª, г. Вологда[email protected]

Особенности формирования у школьников основных математических понятий в современных условиях

Аннотация. В статье рассматриваются особенности формирования у школьников математических понятий в современной парадигме образования и в свете требований, выдвинутых в концепции развития математического образования. Эти требования предполагают обновление содержания обучения математике в школе, приближение его к современным разделам и практическомуприменению, широкое применение проектной деятельности. Преодолеть существующую разобщенность различных математических дисциплин, изолированность отдельных тем и разделов, обеспечить целостность и единство в обучении математике возможно лишь на основе выделения в ней основных стержней. Такими стержнями являются математические структуры. Необходимым условием реализации принципа доступности обучения является поэтапность процесса формирования понятий об основных математических структурах. Большую помощь в поэтапном изучении математических структур может оказать метод проектов. Применение этого метода при изучении школьниками математических структур позволяет решить целый комплекс задач по расширению и углублению знаний по математике, рассмотрению возможностей их применения в практической деятельности, приобретению практических навыков работы с современными программными продуктами, всестороннему развитию индивидуальных способностей школьников.Ключевые слова:содержание обучения математике, математические структуры, поэтапность процесса формирования понятий, метод проектов.Раздел: (01)педагогика; история педагогики и образования; теория и методика обучения и воспитания (по предметным областям).

В настоящее время завершается переход к информационному обществу, одновременно оформляется новая парадигма в образовании, основанная на постнеклассической методологии, синергетических принципах самообразования, внедрении сетевых технологий, проектной деятельности, компетентностного подхода. Все эти новые веяния требуют обновления содержания обучения математике в школе, приближения его к современным разделам и практическим применениям. Особенностями учебного материала в информационном обществе являются принципиальная избыточность информации, нелинейный характер ее развертывания, возможность вариативности учебного материала.Роль математического образования как основы конкурентоспособности, необходимого элемента безопасности страны осознана руководством России.Правительством вдекабре 2013 г.утверждена концепция развития математического образования. В этой концепции подняты многие актуальные проблемы математического образования. В качестве основной проблемы выделена низкая учебная мотивация школьников, что связано с бытующей вобщественном сознании недооценкой математического образования, а также перегруженностью программ, оценочных и методических материалов техническими элементами и устаревшим содержанием. Современное состояние математической подготовки учащихся вызывает серьезные опасения. Наблюдается формализм математических знаний выпускников средних школ, их недостаточная действенность; недостаточный уровень математической культуры и математического мышления. Во многих случаях изучаемый конкретный материал не складывается в систему знаний; учащийся оказывается ©погребенªпод массой обрушивающейся на него из Интернета и других источников информации, будучи не в состоянии самостоятельно ее структурировать и осмыслить.

В результате значительная часть такой информации быстро забываетсяи математический багаж значительной части выпускников средних школсостоит из большего или меньшего числа слабо связанных между собой догматически усвоенных сведений и лучше или хуже закрепленных навыков выполнения некоторых стандартных операций и типовых заданий. Представление о математике как о единой науке со своим предметом и методом у них отсутствует. Чрезмерное увлечение чисто информационной стороной обучения приводит к тому, что многими учащимися не воспринимается богатое содержание математических знаний, заложенных в программе.Содержательная сторона математического образования должна быть ориентирована не столько на узко понимаемые сегодняшние потребности, сколько на стратегические перспективы, на видение многообразия ее приложений, широкого применения в современном обществе математических моделей. Тем самым ставится задача приближения содержания обучения математике к современной науке. Преодолеть разобщенность различных математических дисциплин, изолированность отдельных тем и разделов, обеспечить целостность и единство в обучении математике возможно лишь на основе выделения в ней истоков, основных стержней. Такими стержнями в математике, как отмечали А.Н. Колмогоров и другие крупнейшие ученые, являются математические структуры, которые подразделяются, согласно Н.Бурбаки, на алгебраические, порядковые и топологические. Некоторые из математических структур могут бытьнепосредственными моделями реальных явлений, другие‬связаны с реальными явлениями лишь посредством длинной цепи понятий и логических структур. Математические структуры второго типа являются продуктом внутреннего развития математики. Из такого взгляда на предмет математики вытекает, что в любом математическом курсе должны изучаться математические структуры. Идея математических структур, оказавшаяся весьма плодотворной, послужила одним из побудительных мотивов к радикальной реформе математического образования в 60‬70х гг. Хотя эта реформа позднее подверглась критике, ее основная идея остается весьма полезной и для современного математического образования . В последнее время в математике возникли новые важные разделы, требующие своего отражениякак в вузовской, так и в школьной программе по математике (теория графов, теория кодирования, фрактальная геометрия, теория хаоса и др.). Эти новые направления в математике обладают большим методологическим, развивающим и прикладным потенциалом. Разумеется, все эти новые разделы математики не могут с самого начала изучаться во всей их глубине и полноте. Как показано в , процесс обучения математике должен рассматриваться как многоуровневая система с обязательной опорой на нижележащие, более конкретные уровни, ступени научного познания. Без такой опоры обучение может стать формальным, дающим знание без понимания. Поэтапность процесса формирования основных математических понятий является необходимым условием реализации принципа доступности обучения.

Взгляды о необходимости выделения последовательных этапов в формировании понятий о математических структурах среди математиковпедагогов широко распространены. Еще Ф. Клейн в своих лекциях для учителей отмечал необходимость предварительных этапов в изучении основных математических понятий: ©Мы должны приспособляться к природным склонностям юношей, медленно вести их к высшим вопросам и лишь в заключение ознакомить их с абстрактными идеями; преподавание должно идти по тому же самому пути, по которому все человечество, начиная со своего наивного первобытного состояния, дошло до вершин современного знания. ...Как медленно возникали все математические идеи, как они почти всегда всплывали сперва скорее в виде догадки и лишь после долгого развития приобретали неподвижную выкристаллизованную форму систематического изложенияª.По мнению А.Н. Колмогорова, обучение математике должно состоять из нескольких ступеней, что он обосновывал тяготением психологических установок учащихся к дискретности и тем, ©естественный порядок наращивания знаний и умений всегда имеет характер “развития по спирали”ª. Принцип ©линейногоªпостроения многолетнего курса, в частности математики, по его мнению, лишен ясного содержания. Однако логика науки не требует, чтобы ©спиральªобязательно разбивалась на отдельные ©виткиª.В качестве примера такого поэтапного изучения рассмотрим процесс формирования понятия такой математической структуры, как группа. Первым этапом в этом процессе можно считать еще дошкольныйвозраст, когда дети знакомятся с алгебраическими операциями (сложения и вычитания), которые проводятся непосредственно над множествами предметов. Дальше этот процесс продолжается в школе. Можно сказать, что весь курс школьной математики пронизан идеей группы.Знакомство учащихся с понятием группы начинается,по сути дела, уже в 1‬5хклассах. В этот период в школе алгебраические операции производятся уже над числами. Теоретикочисловой материал является в школьной математике наиболее благодатным материалом дляформирования понятия об алгебраических структурах. Целое число, сложение целых чисел, введение нуля, нахождение для каждого числа ему противоположного, изучение законов действий все это, по существу, этапы в формировании понятия об основных алгебраических структурах (группах, кольцах, полях). В последующих классах школы учащиеся сталкиваются с вопросами, которые способствуют расширению знаний такого характера. В курсе алгебры осуществляется переход от конкретных чисел, выражаемых цифрами, к абстрактным буквенным выражениям, обозначающим конкретные числа лишь при определенном истолковании букв. Алгебраические операции производятся уже не только над числами, но и над объектами другой природы (многочленами, векторами). Учащиеся начинают осознавать универсальность некоторых свойств алгебраических операций. Особенно важным для осознания идеи группы является изучение геометрических преобразований и понятий композиции преобразований и обратного преобразования. Однакопоследние два понятия не отражены в ныне действующей школьной программе (о последовательном выполнении движений и об обратном преобразовании лишь вскользь упоминается в учебнике А.В. Погорелова). В элективных и факультативных курсах целесообразно рассмотреть группысамосовмещений некоторых геометрических фигур, группы вращений, орнаментов, бордюров, паркетов и различные приложения теории групп в кристаллографии, химии и т.д.Эти темы, где приходится знакомиться с математической постановкой практических задач, вызывают у учащихся наибольший интерес.При знакомстве с понятием группы в общем виде необходимо опираться на ранее полученные знания, которые выступают структурообразующим фактором в системе математической подготовки студентов, что позволяет надлежащим образом решить проблему преемственности между школьной и вузовской математикой. Хотя изучение современных понятий математики и ее приложений повышает интерес к предмету, но дополнительного времени для этого на уроках учителю найти практически невозможно. Поэтому здесь может помочь внедрение в учебный процесс проектной деятельности. Этоттип организации труда является и одной из основных форм реализации в образовании компетентностного подхода. Такой тип организации труда, как отмечает А.М. Новиков, требуетумения работать в команде, зачастую разнородной, коммуникабельности, толерантности, навыков самоорганизации, умения самостоятельно ставить цели и достигать их. Если кратко сформулировать,что такое образованность в постиндустриальном обществе, то это способность общаться, учиться, анализировать, проектировать, выбирать и творить.Поэтому переход от образовательной парадигмы индустриального общества к образовательной парадигме постиндустриального общества означает, по мнению ряда ученых, прежде всего, выход на главную роль проективного начала, отказ от понимания образования только как получения готового знания, изменение роли учителя, использование для получения знаний компьютерных сетей. Учитель попрежнему остается центральным звеном процесса обучения, с двумя важнейшими функциями поддержки мотивации, содействия формированию познавательных потребностей и модификации процесса обучения класса или конкретного ученика. Электронная образовательная среда способствует формированию его новой роли. В такой высокоинформативной среде учитель и ученик равны в доступе к информации, содержанию обучения, поэтому учитель уже не может быть главным или единственным источником фактов, идей, принципов и другой информации. Его новую роль можно охарактеризоватькак наставничество. Он поводырь, который вводит учащихся в образовательное пространство, в мир знания и мир незнания. Однако за учителем сохраняются и многие старые роли. В частности, при обучении математике ученик очень часто сталкивается с проблемой понимания и, как показывает опыт, с ней ученик без диалога с учителем справиться не может, даже при использовании самых современных информационных технологий. Архитектура математического знания плохо совмещается со случайными постройками и требует особой культуры, как усвоения, так и преподавания. Поэтому учитель математики был и остается толкователем смыслов различных математических текстов.Компьютерные сети в обучении можно применять для совместного использования программных ресурсов, осуществления интерактивного взаимодействия, своевременного получения информации, непрерывного мониторинга качества полученных знаний и т.д.Одним из видов проектной деятельности учащихся при использовании сетевых технологий является учебный сетевой проект. При изучении математики сетевые проекты ‬удобное средстводля совместной отработки учащимися навыков решения задач, проверки уровня знаний, а также формирования интереса к предмету. Особенно такие проекты полезны для учащихся гуманитарных профилей и других, далеких от математики.Что касается проектной деятельности, то теоретические предпосылки использования проектов в обучении сложились еще в индустриальную эпоху и основаны на идеях американских педагогов и психологов конца XIX в. Дж. Дьюи и У. Килпатрика. В начале XX в. отечественные педагоги (П.П. Блонский, П.Ф. Каптерев, С.Т. Шацкий и др.), разрабатывавшие идеи проектного обучения, отмечали, что метод проектов может применяться как средство слияния теории и практики в обучении; развития самостоятельности и подготовки школьников к трудовой жизни; всестороннего развития ума и мышления; формирования творческих способностей. Но уже тогда стало ясным, что проектное обучение ‬полезная альтернатива классноурочной системе, но оно отнюдь не должно вытеснять ее и становиться некой панацеей.Современные исследования применения проектов в обучении выявили широкие возможности учебных проектов с использованием ИКТ, позволяющие углублять, обновлять знания, формировать умение самостоятельно приобретать их, ориентироваться в информационном пространстве. Исследователи отмечают, что эффективность реализации учебных проектов достигается, если они взаимосвязаны между собой, сгруппированы по определенным признакам, а также при условии их систематического использования на всех этапах усвоения содержания предмета: от овладения основными математическими знаниями к самостоятельному приобретению новых знаний до глубокого понимания математических закономерностей и использования их в различных ситуациях.Результат выполнения учебных проектов предполагает создание субъективно нового, личностно значимого продукта, ориентированного на формирование прочных математических знаний и умений, развитие самостоятельности, возрастание интереса к предмету.Общепризнано, что школьная математика предполагает специально организованную деятельность по решению задач.Однакопервое, что бросается в глаза при рассмотрении проектов ©по математикеª, ‬это практически полное отсутствие собственно математической деятельности в большинстве из них. Тематика таких проектов очень ограничена, в основномэто темы, связанные с историей математики (©золотое сечениеª, ©числа Фибоначчиª, ©мир многогранниковªи т.п.). В большинстве проектов есть только видимость математики, есть некоторая деятельность, связанная с математикой лишь косвенно.Выход на современные разделы математики затруднен в силу отсутствия в школьной программе даже намека на такие разделы.В проектной деятельности на первый план выдвигается не усвоение знаний, а сбор и систематизация некоторой информации. В то же время в математической деятельности сбор и систематизация информации только первый этапработы над решением проблемы, притом самыйпростой, для решения математической задачи требуются специальные умственные действия, невозможные без усвоения знаний. Математические знания обладают специфическими особенностями, игнорирование которых приводит к их вульгаризации. Знание в математике ‬это переработанные смыслы, прошедшие ступени анализа, проверки на непротиворечивость, совместимость со всем предыдущим опытом. Это не позволяет понимать под ©знаниемªпросто факты, считать способность к редукции полноценным усвоением.Математика как учебный предмет обладает другой специфической особенностью: в ней решение задач выступает в качестве и объекта изучения и метода развития личности. Поэтому в ней решение задач должно оставаться основным видом учебной деятельности, особенно для учащихся, выбравших профили, связанные с математикой.Ученик должен войти, отмечает И.И. Мельников, проникнуть внутрь самого сложного умения, дарованного человеку,‬процесса принятия решений. Ему предлагают понять, что такое ©решить задачуª, как сформулировать проблему, как определить средства для решения, как разбить сложную задачу на взаимосвязанные цепочки простых задач. Решение задач постоянно подсказывает развивающемуся сознанию, что в создании нового знания, в решении проблем нет ничего мистического, размытого, неясного, что человеку дано умение разрушать стену незнания, и это умение можно развивать и укреплять. Индукция и дедукция ‬два кита, на которых держится решение, ‬призывают на помощь аналогию и интуицию, то есть как раз то, что во ©взрослойªжизни даст будущему гражданину возможность самому определять свое поведение в сложной ситуации .

Как писал еще А.А. Столяр, обучение математике через задачи давно известная проблема. Задачи должны служить и мотивом для дальнейшего развития теории,и возможностью для его эффективного применения. Считая задачный подход наиболее эффективным средством развития учебноматематической деятельности учащихся, он ставил задачу построения педагогически целесообразной системы задач, с помощью которой можно было бы провести ученика последовательно через все аспекты математической деятельности (выявление проблемных ситуаций и задач, математизация конкретных ситуаций, решение задач, мотивирующих расширение теории и т.д.) . Установлено, что решение традиционных задач по математике учит молодого человека мыслить, самостоятельно моделировать и прогнозировать окружающий мир, т.е.в конечном итоге преследует почти те же цели, что и проектная деятельность, за исключением, быть может, приобретения коммуникативных навыков, поскольку чаще всего учителя не предъявляют требований к представлению решений задачи. Поэтому в обучении математике решение задач, видимо, должно остаться основным видом учебной деятельности, а проекты лишь дополнением к нему. Этот важнейший вид учебной деятельности позволяет школьникам усваивать математическую теорию, развивать творческие способности и самостоятельность мышления. Вследствие этого эффективность учебновоспитательного процесса во многом зависит от выбора задач, от способов организации деятельности учащихся по их решению, т.е. методики решения задач. Педагоги, психологи и методисты доказали, что для эффективной реализации целей математического образования необходимо использовать в учебном процессе системы задач с научно обоснованной структурой, в которой место и порядок каждого элемента строго определены и отражают структуру и функции этих задач. Поэтому в своей профессиональной деятельности учитель математики должен стремиться представить содержание обучения математике в значительной степени именно через системы задач. К таким системам предъявляется ряд требований: иерархичность, рациональность объема, нарастание сложности, полнота, целевое назначение каждой задачи, возможность осуществления индивидуального подхода и т.д.

Если школьник решил сложную задачу, то в принципе нет большой разницы, как ученик оформит результат: в виде презентации, доклада или просто нацарапает решение на листе в клетку. Считается достаточным, что он решил задачу. Поэтому выдвигаемые общие требования к презентации результатов проектов: актуальность проблемы и оформление результатов (©артистизм и выразительность выступленияª)‬мало подходят к оценке тех проектов по математике, в основу которых положено решение сложных задач. Однако, исходя из требований современного общества, деятельность по решению задач необходимо совершенствовать, обращая большее внимание на первоначальный этап (осознание места данной задачи в системе математических знаний) и заключительный этап (презентация решения задачи). Если говорить о проектной деятельности, то наболее целесообразным представляется применение в практике обучения межпредметных проектов, реализующих интегративный подход в обучении математике и сразу нескольким естественнонаучным или гуманитарным дисциплинам. У таких проектов более разнообразна и интересна тематика, такие проекты по четыремпятишести дисциплинам самые долгосрочные, поскольку их создание подразумевает обработку большого объема информации. Примеры таких межпредметных проектов приведены в книге П.М.Горева и О.Л. Лунеевой . Результатом подобного макропроекта может быть вебсайт, посвященный теме проекта, база данных, брошюра с итогами работы и т.п. При работе над такими макропроектами учебную деятельность учащийся осуществляет во взаимодействии с другими пользователями сети, т.е.учебная деятельность становится не индивидуальной, а совместной. В силу этого на такое обучение нам надо смотреть как на процесс, происходящий в учебном сообществе. В сообществе, в котором и ученики, и учителя выполняют свои вполне определённые функции. И результат обучения можно расценивать именно с точки зрения исполнения этих функций, а не по тем или иным внешним, формальным параметрам, характеризующим чисто предметное знание у отдельных учащихся. Надо признать, что практика применения ©проектного методаªв школьном обучении математике пока достаточно бедна, все зачастую сводится к нахождениюучеником в Интернете какойто информации на заданную тему и к оформлению ©проектаª. Во многих случаях получается просто имитация проектной деятельности. В силу этих особенностей многие учителя весьма скептически относятся к применению метода проектов в обучении школьников своему предмету: ктото просто не может разобраться в смысле такой деятельности учащихся, ктото не видит результативности этой образовательной технологии применительно к своей дисциплине. Однако эффективность метода проектов для большинства школьных предметов уже неоспорима .Поэтому очень важно, чтобы содержание проектов было не просто связано с математикой, а способствовало преодолению изолированности в ней отдельных тем и разделов, обеспечению целостности и единства в обучении математике, что возможно лишь на основе выделения в ней стержней ‬математических структур.Рассмотрим более подробно применение проектного метода при изучении математического материала младшими школьниками. В силу возрастных особенностей таких учащихсяизучение математического материала, в частности геометрического, носит чисто ознакомительный характер. В то же время проекты позволяют заложить у младших школьников понимание роли геометрии в реальных жизненных ситуациях, возбудить интерес к дальнейшему изучению геометрии. При выполнении этих проектов вполне возможно применение различных программных средств учебного назначения.Для реализации большинства проектов по геометрическому материалу подходят различные компьютерные среды. В начальной школе целесообразно использовать интегрированную компьютерную среду ПервоЛого, программу MicrosoftOfficePowerPoint, а также электронное учебное пособие ©Математика и конструированиеªи ИИСС ©Геометрическое конструирование на плоскости и в пространствеª, которые представлены в Электронной коллекции цифровых образовательных ресурсов и предназначены для свободного применения в учебном процессе.Выбор данных программных продуктов обоснован тем, чтоони соответствуют возрастным особенностям учащихся начальной школы, являются доступными для использования их в учебном процессе, предоставляют большие возможности для реализации проектного метода .Преподавателем Вологодского педколледжа О.Н. Костровой была разработана программа внеурочной деятельности, содержащая комплекс проектов по геометрическому материалу и методические рекомендации для учителей по организации работы над проектами. Основная цель примерной программы‬формирование геометрических представлений младших школьников на основе использования метода учебных проектов. Работа по реализации комплекса проектов направлена на углубление и расширение знаний учащихся по геометрическому материалу, познание окружающего мира с геометрических позиций, формирование умения применять полученные знания в ходе решения учебнопознавательных и учебнопрактических задач с применением программных средств, формирование пространственного и логического мышления. Примерной программой предусмотрено углубленное изучение таких тем, как ©Многоугольникиª, ©Окружность. Кругª, ©План. Масштабª, ©Объемные фигурыª, изучение дополнительных тем ‬знакомство с осевой симметрией, представление числовых данных площади и объема в виде диаграмм. Работа над некоторыми проектами предусматривает использование исторического и краеведческого материала, что способствует повышению познавательного интереса к изучению геометрического материала.Комплекс проектов представлен следующими темами:©Мир линийª, ©Старинные единицы измерения длиныª, ©Красота узоров из многоугольниковª, ©Флаги районов Вологодской областиª, ©Геометрическая сказкаª(2й класс);©Орнаменты Вологодской областиª, ©Паркетª, ©Заметка в газету о круге или окружностиª, ©Меандрª, ©Дачный участокª(3йкласс);©Углыª, ©Загадка пирамидыª, ©Улицы нашего городаª, ©Расчетные работы при строительствеª, работа с конструкторами (4йкласс).

В процессе работы над проектами учащиеся выполняют построение плоских и объемных геометрических фигур, конструирование и моделирование из геометрических фигур других фигур, разнообразных объектов, проводят небольшие исследования по геометрическому материалу.Использование метода проектов при изучении геометрического материала предполагает применение знаний и умений из других предметных областей, что способствует всестороннему развитию учащихся. Данный метод реализует деятельностный подход к обучению, так какобучение происходит в процессе деятельности младших школьников; способствует развитию умения в планировании своей учебной деятельности, решению проблем, компетентности в работе с информацией, коммуникативной компетентности. Таким образом, применение метода проектов при обучении школьников геометрическому материалу позволяет решить целый комплекс задач по расширению и углублению знаний по элементам геометрии, рассмотрению возможностей их применения в практической деятельности, приобретению практических навыков работы с современными программными продуктами, всестороннему развитию индивидуальных способностей школьников.Проекты по математическому материалу для младших школьников представляют собой только первый этап проектной деятельности по математике. На следующих ступенях обучения необходимо продолжать эту деятельность, развивая и углубляя знания школьников об основных математических структурах.Кроме того, применяя проектный методпри обучении математике, не нужно забывать, что решение задач должно оставаться основным видом учебной деятельности. Эту специфическую особенность учебного предмета следует учитывать при разработке проектов, поэтому учебные проекты должны являться средством для отработки школьниками навыковрешения задач, проверки уровня знаний, формирования познавательного интереса к предмету.

Ссылки на источники1.Тестов В. А. Обновление содержания обучения математике: исторические и методологические аспекты: монография. ‬Вологда, ВГПУ, 2012. ‬176 с.2.Тестов В. А. Математические структуры как научнометодическая основа построения математических курсов в системе непрерывного обучения (школа ‬вуз): дис. … дра пед. наук. ‬Вологда, 1998.3.Колмогоров А. Н. К обсуждению работы по проблеме ©Перспективы развития советской школы на ближайшие тридцать летª // Математика в школе. ‬1990. ‬№ 5. ‬С. 59‬61.4.Новиков А. М. Постиндустриальное образование. ‬М.: Издво ©Эгвесª, 2008.5.Образование, которое мы можем потерять: сб. / под общ. ред. ректора МГУ академика В.А. Садовничего ‬М.: МГУ им. М. В. Ломоносова, 2002. ‬С. 72.6.Столяр А. А. Педагогика математики: курс лекций. ‬Минск: Вышэйш. шк., 1969.7.Горев П.М., Лунеева О.Л. Межпредметные проекты учащихся средней школы. Математический и естественнонаучный циклы: учеб.метод.пособие. ‬Киров: Издво МЦИТО, 2014. ‬58 с.8.Там же.9.КостроваО.Н. Программные средства в реализации метода проектов при изучении элементов геометрии младшими школьниками // Научное обозрение: теория и практика. ‬2012. ‬№2. ‬С.41‬48.

Vladimir Testov,

Doctor of Padagogic Sciences, Professor at the chair of Mathematics and Methods of Teaching Mathematics, Vologda State University, Vologda, Russia [email protected] ofpupils’main mathematical notionsformation in modern conditionsAbstract.The paperdiscusses the peculiarities of pupils’mathematical notions the formation in the modern paradigm of education and in the light of the demands,made in the concept of mathematical education. These requirements imply updatingthe content of teaching mathematics at school, bringing it closer to the modern sections and practical applications, the widespread using of project activities. To overcome the existing fragmentation of various mathematical disciplines and the isolation of individual sections,to ensure the integrity and unity in the teaching of mathematics is possible only on by allocatingthemain lines in it. Mathematical structures are therods, the main construction lines of mathematical courses. Phased process of formation of concepts about the basic mathematical structures is a prerequisite for the implementation of the principle of availability of training. Method of projects can be of great help in a phased study of mathematical structures. Application of this method in the study of mathematical structures allows solve a number of tasks to expand and deepen the knowledge of mathematics, consider the possibilities of their application inpractice, the acquisition of practical skills to work with modern software products, the full development of the individual abilities of pupils.Keywords: content of teaching mathematics, mathematical structures, phased process of formation of notions, project method.

References1.Testov,V. A. (2012) Obnovlenie soderzhanija obuchenija matematike: istoricheskie i metodologicheskie aspekty: monografija, VGPU, Vologda, 176 p.(in Russian).2.Testov,V. A. (1998) Matematicheskie struktury kak nauchnometodicheskaja osnova postroenija matematicheskih kursov v sisteme nepreryvnogo obuchenija (shkola ‬vuz): dis. … dra ped. nauk, Vologda(in Russian).3.Kolmogorov,A. N. (1990) “K obsuzhdeniju raboty po probleme ‘Perspektivy razvitija sovetskoj shkoly na blizhajshie tridcat" let’”, Matematika v shkole, № 5, pp. 59‬61(in Russian).4.Novikov,A. M.(2008) Postindustrial"noe obrazovanie, Izdvo “Jegves”,Moscow(in Russian).5.V. A. Sadovnichij (ed.)(2002) Obrazovanie, kotoroe my mozhem poterjat": sb. MGU im. M. V. Lomonosova, Moscow,p.72(in Russian).6.Stoljar,A. A. (1969) Pedagogika matematiki: kurs lekcij,Vyshjejsh. shk.,Minsk(in Russian).7.Gorev,P. M. &Luneeva,O. L. (2014) Mezhpredmetnye proekty uchashhihsja srednej shkoly. Matematicheskij i estestvennonauchnyj cikly: ucheb.metod. posobie, Izdvo MCITO, Kirov, 58 p.(in Russian).8.Ibid.9.Kostrova,O. N. (2012) “Programmnye sredstva v realizacii metoda proektov pri izuchenii jelementov geometrii mladshimi shkol"nikami”,Nauchnoe obozrenie: teorija i praktika,№ 2,pp.41‬48(inRussian).

Некрасовой Г.Н., доктором педагогических наук, профессором, членом редакционной коллегиижурнала ©Концептª

Остенсивные определения- это такие определения, вводят понятие путём демонстрации, показаобъектов, которые этим термином обозначаются.

Математика в отличие от других наук изучает окружающий нас мир с особой стороны. Любые математические объекты это результат выделения из предметов и явлений количественных и пространственных св-в и отношений. Т.о. математические объекты реально не существуют. Это идеальные понятия, они существуют лишь в мышлениях человека и в тех знаках и символах, которые образуют математический язык. Более того, при образовании математических понятий кроме абстрагирования им приписывают такие св-ва, которыми не обладает ни один реальный предмет.

Основные матем.понятия: точка, прямая, плоскость, мн-во, число, величина, арифметическое действие.

Любое матем.понятие характеризуется термином, объёмом и содержанием.

Термин – это слово или группа слов, которыми называют элементы некоторого множества. Объём понятия – это мн-во всех объектов, обозначаемых одним и тем же термином. Различают существенные и несущественные св-ва объектов. Св-во будет существенным, если оно присуще объекту, и без него объект не может существовать. Несущественные – отсутствие которых не влияет на существенные объекты.

а-понятие параллелограмм; в-понятие прямоугольник; √вс√а а родовое для в; в-видовое для а; с-понятие четырёхугольник. √а с√с

Одно и то же понятие например параллелограмм может быть родовым для понятия прямоугольник или видовым для понятия четырёхугольник.

Понятия равнобедренный треуг. И прямоугольный треуг. Не находятся в родо-видовых отношениях. Существуют отношения между понятиями как части и целого.

Например, луч это часть прямой, отрезок это часть прямой, дуга это часть окружности.

Если понятия находятся в родо-видовых отношениях, то между объёмом понятия и его содержанием существует такая связь: чем больше объём, тем меньше его содержание и наоборот.

Определение понятий – это логическая операция, раскрывающая содержание понятия. В нём указывают те существенные св-ва, которые достаточны для его распознавания. Определения делятся на явные и неявные (косвенные). Явные определения имеют форму равенства, совпадение двух понятий.

Пример: Параллелограммом наз. четырёхугольник, стороны которого попарно параллельны. а есть в; а- параллелограмм (определяемое понятие; в-четырёхугольник, стороны которого попарно параллельны (определяющее понятие; а=r+v

Определяемое понятие=родовое понятие+видовое отличие

Родо-видовое: Биссектрисой угла наз. луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам/ r-родовое понятие: луч; v-видовое понятие: выходящий из вершины угла и делящий угол пополам. В начальной школе явное определение через род и видовое отличие применяют редко. Пример: Определение четного числа, прямоугольника, квадрата, умножения.

Явные определения могут иметь и другую структуру: а) генетические определения. Треугольником наз.фигура, состоящая из 3 точек, не лежащих на одной прямой, и 3 отрезков, последовательно их соединяющих.Родовое понятие и способ построения.

б)рекуррентные (рекурсия-возврат) Арифметической прогрессией наз.числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянной для данной последовательности числом d (разность).

В начальной школе преобладают неявные определения. Неявные определения бывают контекстуальные и остенсивные. Контекстуальные определения – в этих определениях содержание новых понятий раскрывается через контекст, анализ конкретной ситуации, описывающей смысл вводимого понятия. Пример: 2+х=5

2. Обучающимся начальных классов предложены задания:

1) Какая фигура лишняя? Ответ объясни.

Лекция №2

по математике

Тема: «Математические понятия»

Математические понятия

Определение понятий

Требования к определению понятий

Некоторые виды определений

1. Математические понятия

Понятия, которые изучаются в начальном курсе математику, обычно представляют в виде четырех групп. В первую включаются понятия, связанные с числами и операциями над ними: число, сложение, слагаемое, больше и др. Во вторую входят алгебраические понятия: выражение, равенство, уравнение и др. Третью составляют геометрические понятия: прямая, отрезок, треугольник и т.д. Четвертую группу образуют понятия, связанные с величинами и их измерением.

Как же изучить такое обилие самых разных понятий?

Прежде всего, надо иметь представление о понятии как логической категории и особенностях математических понятий.

В логике понятия рассматривают как форму мысли, отражающую объекты (предметы или явления) в их существенных и общих свойствах. Языковой формой понятия является слово или группа слов.

Составить понятие об объекте - это значит уметь отличить его от других сходных с ним объектов. Математические понятия обладают рядом особенностей. Главная заключается в том, что математические объекты, о которых необходимо составить понятие, в реальности не существуют. Математические объекты созданы умом человека. Это идеальные объекты, отражающие реальные предметы или явления. Например, в геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание другие их свойства: цвет, массу, твердость и т.д. От всего этого отвлекаются, абстрагируются. Поэтому в геометрии вместо слова «предмет» говорят «геометрическая фигура».

Результатом абстрагирования являются и такие математические понятия, как «число» и «величина».

Вообще математические объекты существуют лишь в мышлении человека и в тех знаках и символах, которые образуют математический язык.

К сказанному можно добавить, что, изучая пространственные формы и количественные отношения материального мира, математика не только пользуется различными приемами абстрагирования, но и само абстрагирование выступает как многоступенчатый процесс. В математике рассматривают не только понятия, появившиеся при изучении реальных предметов, но и понятия, возникшие на основе первых. Например, общее понятие функции как соответствия является обобщением понятий конкретных функций, т.е. абстракцией от абстракций.

Чтобы овладеть общими подходами к изучению понятий в начальном курсе математики, учителю необходимы знания об объеме и содержании понятия, об отношениях между понятиями и о видах определений понятий.

2. Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями

Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, квадрат имеет четыре стороны, четыре прямых угла, равные диагонали. Можно указать и другие его свойства.

Среди свойств объекта различают существенные и несущественные. Свойство считают существенным для объекта, если оно присуще этому объекту и без него он не может существовать. Например, для квадрата существенными являются все свойства, названные выше. Несущественно для квадрата ABCD свойство «сторона AD горизонтальна». Если квадрат повернуть, то сторона AD окажется расположенной по-другому (рис. 26).

Поэтому, чтобы понимать, что представляет собой данный математический объект, надо знать его существенные свойства.

Когда говорят о математическом понятии, то обычно имеют в виду множество объектов, обозначаемых одним термином (словом или группой слов). Так, говоря о квадрате, имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся квадратами. Считают, что множество всех квадратов составляет объем понятия «квадрат».

Вообще объем понятия - это множество всех объектов, обозначаемых одним термином.

Любое понятие имеет не только объем, но и содержание.

Рассмотрим, например, понятие «прямоугольник».

Объем понятия - это множество различных прямоугольников, а в его содержание входят такие свойства прямоугольников, как «иметь четыре прямых угла», «иметь равные противоположные стороны», «иметь равные диагонали» и т.д.

Между объемом понятия и его содержанием существует взаимосвязь: если увеличивается объем понятия, то уменьшается его содержание, и наоборот. Так, например, объем понятия «квадрат» является частью объема понятия «прямоугольник», а в содержании понятия «квадрат» содержится больше свойств, чем в содержании понятия «прямоугольник» («все стороны равны», «диагонали взаимно перпендикулярны» и др.).

Любое понятие нельзя усвоить, не осознав его взаимосвязи с другими понятиями. Поэтому важно знать, в каких отношениях могут находиться понятия, и уметь устанавливать эти связи.

Отношения между понятиями тесно связаны с отношениями между их объемами, т.е. множествами.

Условимся понятия обозначать строчными буквами латинского алфавита: а, b, с,..., z.

Пусть заданы два понятия а и b. Объемы их обозначим соответственно А и В.

Если А В (А ≠ В), то говорят, что понятиеа - видовое по отношению к понятию b , а понятие b - родовое по отношению к понятию а .

Например, если а - «прямоугольник», b - «четырехугольник», то их объемы А и В находятся в отношении включения (А В и А ≠ В), поскольку всякий прямоугольник является четырехугольником. Поэтому можно утверждать, что понятие «прямоугольник» - видовое по отношению к понятию «четырехугольник», а понятие «четырехугольник» - родовое по отношению к понятию «прямоугольник».

Если А = В, то говорят, что понятия а и b тождественны.

Например, тождественны понятия «равносторонний треугольник» и «равноугольный треугольник», так как их объемы совпадают.

Если множества А и В не связаны отношением включения, то говорят, что понятия а и b не находятся в отношении рода и вида и не тождественны. Например, не связаны такими отношениями понятия «треугольник» и «прямоугольник».

Рассмотрим подробнее отношение рода и вида между понятиями. Во-первых, понятия рода и вида относительны: одно и то же понятие может быть родовым по отношению к одному понятию и видовым по отношению к другому. Например, понятие «прямоугольник» - родовое по отношению к понятию «квадрат» и видовое по отношению к понятию «четырехугольник».

Во-вторых, для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий. Так, для понятия «прямоугольник» родовыми являются понятия «четырехугольник», «параллелограмм», «многоугольник». Среди них можно указать ближайшее. Для понятия «прямоугольник» ближайшим является понятие «параллелограмм».

В-третьих, видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Например, квадрат, являясь видовым понятием по отношению к понятию «прямоугольник», обладает всеми свойствами, присущими прямоугольнику.

Так как объем понятия - множество, удобно, устанавливая отношения между объемами понятий, изображать их при помощи кругов Эйлера.

Установим, например, отношения между следующими парами понятий а и Ь, если:

1) а - «прямоугольник», b - «ромб»;

2) а - «многоугольник», b - «параллелограмм»;

3) а - «прямая», b - «отрезок».

В случае 1) объемы понятий пересекаются, но не одно множество не является подмножеством другого (рис. 27).

Следовательно, можно утверждать, что данные понятия а и b не находятся в отношении рода и вида.

В случае 2) объемы данных понятии находятся в отношении включения, но не совпадают - всякий параллелограмм является многоугольником, но не наоборот (рис. 28). Следовательно, можно утверждать, что понятие «параллелограмм» - видовое по отношению к понятию «многоугольник», а понятие «многоугольник» - родовое по отношению к понятию «параллелограмм».

В случае 3) объемы понятий не пересекаются, так как ни про один отрезок нельзя сказать, что он является прямой, и ни одна прямая не может быть названа отрезком (рис. 29).

Следовательно, данные понятия не находятся в отношении рода и вида.

О понятиях «прямая» и «отрезок» можно сказать, что они находятся в отношении целого и части: отрезок- часть прямой, а не ее вид. И если видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия, то часть не обязательно обладает всеми свойствами целого. Например, отрезок не обладает таким свойством прямой, как ее бесконечность.

Министерство образования Республики Беларусь

«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»

Математический факультет

Кафедра МПМ

Реферат

Математические понятия

Исполнитель:

Студентка группы М- 32

Молодцова А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент

Лебедева М.Т.

Гомель 2007

Введение

Формулировки многих определений (теорем, аксиом) учащимся понятны, легко запоминаются после небольшого числа повторений, поэтому целесообразно в начале предложить их запомнить, а затем научить применять к решению задач.

раздельным.

1. Объём и содержание понятия. Классификация понятий

Объекты реальной действительности обладают: а) едиными свойствами, выражающими его отличительные свойства (например, уравнение третьей степени с одной переменной - кубическое уравнение); б) общими свойствами, которые могут быть отличительными, если выражают существенные свойства объекта (его признаки), выделяющие его из множества других объектов.

Термин “понятие” используется для обозначения мысленного образа некоторого класса объектов, процессов. Психологи выделяют три формы мышления:

1) понятиями (например, медиана - отрезок, соединяющий вершину с противоположной стороной треугольника);

2) суждениями (например, для углов произвольного треугольника справедливо:);

3) умозаключениями (например, если a>b и b>c, то a>c).

Характерными для формы мышления понятиями являются: а) это продукт высокоорганизованной материи; б) отражает материальный мир; в) предстаёт в познании как средство обобщения; г) означает специфически человеческую деятельность; д) его формирование в сознании неотделимо от его выражения посредством речи, записи или символа.

Математическое понятие отражает в нашем мышлении определённые формы и отношения действительности, абстрагированные от реальных ситуаций. Их формирование происходит по схеме:

Каждое понятие объединяет множество объектов или отношений, называемое объёмом понятия , а характеристические свойства, присущие всем элементам этого множества и только им, выражающие содержание понятия.

Например, математическое понятие - четырёхугольник. Его объём : квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб, трапеция и т.д. Содержание: 4 стороны, 4 угла, 4 вершины (характеристические свойства).

Содержание понятия жёстко определяет его объём и, наоборот, объём понятия вполне определяет его содержание. Переход от чувственной ступени к логической происходит посредством обобщения: либо через выделение общих признаков объекта (параллелограмм - четырёхугольник - многоугольник); либо через общие признаки в сочетании с особенными или единичными, которое приводит к конкретному понятию.

В процессе обобщения объём расширяется, а содержание сужается. В процессе специализации понятия объём сужается, я содержание расширяется.

Например:

многоугольники - параллелограммы;

треугольники - равносторонние треугольники.

Если объём одного понятия содержится в объёме другого понятия, то второе понятие называется родовым , по отношению к первому; а первое называется видовым по отношению ко второму. Например: параллелограмм - ромб (род) (вид).

Процесс выяснения объёма понятия называется классификацией , схема которой выглядит так:

пусть дано множество и некоторое свойство и пусть в есть элементы, как обладающие, так и не обладающие этим свойством. Пусть:

Выделим в новое свойство и проведём разбиение по этому свойству:

Например: 1) классификация числовых множеств, отражающих развитие понятия числа; 2) классификация треугольников: а) по сторонам; б) по углам.

Задача №1. Множество треугольников изобразим с помощью точек квадрата.

Свойство равнобедренности;

Свойство прямоугольности;

Существуют ли треугольники, обладающие этими свойствами одновременно?

2. Математические определения. Типы ошибок в определении понятий

Заключительный этап формирования понятия - его определение , т.е. принятие условного соглашения. Под определением понимается перечисление необходимых и достаточных признаков понятия, сведённых в связное предложение (речевое или символическое).

2.1 Способы определения понятий

Первоначально выделяют неопределяемые понятия, на основании которых определяются математические понятия следующими способами:

1) через ближайший род и видовое отличие : а) дескриптивное (выясняющее процесс, при помощи которого определение построено, или описывающее внутреннее строение в зависимости от тех операций, при помощи которых данное определение было построено из неопределяемых понятий); б) конструктивное (или генетическое ), указывающее происхождение понятия.

Например: а) прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые; б) окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки. Эта точка называется центром окружности.

2) индуктивно. Например, определение арифметической прогрессии:

3) через абстракцию . Например, натуральное число - характеристика классов эквивалентных конечных множеств;

4) аксиоматическое (косвенное определение) . Например, определение площади фигуры в геометрии: для простых фигур площадь - это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами: а) равные фигуры имеют равные площади; б) если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей её частей; в) площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице.

2.2 Явные и неявные определения

Определения подразделяются на:

а) явные , в которых чётко выделены определяемое и определяющие понятия (например, определение через ближайший род и видовое отличие);

б) неявные , которые строятся по принципу замены одного понятия другим с более широким объёмом и окончание цепочки есть неопределяемое понятие, т.е. формально-логическое определение (например, квадрат - ромб с прямым углом; ромб - параллелограмм с равными смежными сторонами; параллелограмм - четырёхугольник, с попарно параллельными сторонами; четырёхугольник - фигура, состоящая из 4 углов, 4 вершин, 4 сторон). В школьных определениях чаще всего практикуется первый способ, схема которого такова: имеем множества и некоторое свойство тогда

Основное требование при построение определений: определяемое множество должно быть подмножеством минимального множества. Например, сравним два определения: (1) Квадрат есть ромб с прямым углом; (2) Квадрат есть параллелограмм с равными сторонами и прямым углом (избыточное).

Всякое определение есть решение задачи на “доказательство существования”. Например, прямоугольный треугольник есть треугольник с прямым углом; его существование - построение.

2.3 Характеристика основных типов ошибок

Отметим типичные ошибки, которые встречаются у учащихся при определении понятий:

1) использование не минимального множества в качестве определяющего, включение логически зависимых свойств (характерно при повторении материала).

Например: а) параллелограмм - четырёхугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны; б) прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она, пересекаясь с этой плоскостью, образует прямой угол с каждой прямой, проведённой на плоскости через точку пересечения, вместо: “прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна ко всем прямым этой плоскости”;

2) использование определяемого понятия и в качестве определяющего.

Например, определяется прямой угол не как один из равных смежных углов, а как углы с взаимно перпендикулярными сторонами;

3) тавтология - определяется понятие через само это понятие.

Например, две фигуры называются подобными, если они переводятся одна в другую преобразованием подобия;

4) иногда в определении указывается не то определяющее множество, из которого выделяется определяемое подмножество.

Например, “медиана есть прямая …” вместо ”медиана есть отрезок, соединяющий…”;

5) в определениях, даваемых учащимися, иногда совсем отсутствует определяемое понятие, что возможно лишь тогда, когда учащиеся не приучены давать полные ответы.

Методика исправления ошибок в определениях предполагает, первоначально, выяснения сути допущенных ошибок, а затем предупреждение их повторения.

3. Структура определения

1) Конъюнктивная структура : две точки и называются симметричными относительно прямой p(A (x )), если эта прямая p перпендикулярна отрезку и проходит через его середину. Будем также считать, что каждая точка прямой р симметрична себе относительно прямой р (наличие союза “и”) (* - “Биссектрисой угла называется луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит угол пополам”).

2) Конструктивная структура : “Пусть - данная фигура и р - фиксированная прямая. Возьмём произвольную точку фигуры и опустим перпендикуляр на прямую р. На продолжение перпендикуляра за точку отложим отрезок, равный отрезку. Преобразование фигуры в фигуру, при котором каждая точка переходит в точку, построенную указанным образом, называют симметрией относительно прямой р.”

3) Дизъюнктивная структура : определение множества Z целых чисел можно записать на языке свойств в виде Z N или N или =0, где N - множество чисел, противоположных натуральным.

4. Характеристика основных этапов изучения математических понятий

Методика работы над определением предполагает: 1) знание определения; 2) обучение распознавания объекта, соответствующего данному определению; 3) построение различных контрпримеров. Например, понятие “прямоугольный треугольник” и работа по распознаванию его составных элементов:

Изучение математических определений можно подразделить на три этапа:

1-й этап - введение - создание на уроке ситуации, когда учащиеся либо сами “открывают” новое, самостоятельно формируют для них определения, либо просто подготавливаются к их пониманию.

2-й этап - обеспечение усвоения - сводится к тому, чтобы школьники:

а) научились применять определение;

б) быстро и безошибочно запоминать их;

в) понимали каждое слово в их формулировках.

3-й этап - закрепление - осуществляется на последующих уроках и сводится к повторению их формулировок и обработке навыков применения к решению задач.

Ознакомление с новыми понятиями проводятся:

1 способ: учащиеся подготавливаются к самостоятельному формированию определения.

2 способ: учащиеся готовятся к сознательному восприятию, пониманию нового математического предложения, формулировка которого им сообщается затем в готовом виде.

3 способ: учитель сам формулирует новое определение без какой-либо подготовки, а затем сосредотачивает усилия учащихся на их усвоении и закреплении.

1 и 2 способ представляют эвристический метод, 3 способ - догматический. Использование любого из способов должно соответствовать уровню подготовленности класса и опыта учителя.

5. Характеристика приемов введения понятий

Возможны следующие приёмы при введении понятий:

1) можно составить такие упражнения, которые позволяют учащимся быстро сформулировать определение нового понятия.

Например: а) Выписать несколько первых членов последовательности (), у которой =2, . Такая последовательность называется геометрической прогрессией. Попытайтесь сформулировать её определение. Можно ограничиться подготовкой к восприятию нового понятия.

б) Выписать несколько первых членов последовательности (), у которой =4, Далее учитель сообщает, что такая последовательность называется арифметической прогрессией и сам сообщает её определение.

2) при изучении геометрических понятий упражнения формулируются таким образом, чтобы учащиеся построили сами необходимую фигуру и смогли выделить признаки нового понятия, необходимые для формулировки определения.

Например: постройте произвольный треугольник, соедините отрезком его вершину с серединой противоположной стороны. Такой отрезок называется медианой. Сформулируйте определение медианы.

Иногда предлагается составить модель либо, рассматривая готовые модели и чертежи, выделить признаки нового понятия и сформулировать его определение.

Например: введено в 10 классе определение параллелепипеда. По предложенным моделям наклонного, прямого и прямоугольного параллелепипедов выделить признаки, по которым эти понятия различаются. Сформулировать соответствующие определения прямого и прямоугольного параллелепипедов.

3) Многие алгебраические понятия вводятся на основании рассмотрения частных примеров.

Например: графиком линейной функции является прямая.

4) Метод целесообразных задач, (разработан С.И. Шохором-Троцким) С помощью специально подобранной задачи учащиеся приходят к выводу о необходимости введения нового понятия и целесообразности придания ему именно такого смысла, который оно уже имеет в математике.

В 5-6 классах таким методом вводятся понятия: уравнение, корень уравнения, решение неравенств, понятие действий сложения, вычитания, умножения, деления над натуральными числами, десятичными и обыкновенными дробями и т.д.

Конкретно-индуктивный метод

Сущность:

а) рассматриваются конкретные примеры;

б) выделяются существенные свойства;

в) формулируется определение;

г) выполняются упражнения: на распознавание; на конструирование;

д) работа над свойствами, не включёнными в определение;

е) применение свойств.

Например: тема - параллелограммы:

1, 3, 5 - параллелограммы.

б) существенные признаки: четырёхугольник, попарная параллельность сторон.

в) распознавание, построение:

г) найти (построить) четвёртую вершину параллелограмма (* - задача №3, ст.96, Геометрия 7-11 класс: Сколько можно построить параллелограммов с вершинами в трёх заданных точках, не лежащих на одной прямой? Постройте их.).

д) другие свойства:

AC и BD пересекаются в точке О и АО=ОС, ВО=ОD; АВ=СD, AD=BC.

е) А=С, В=D.

Закрепление: решение задач №4-23, стр.96-97, Геометрия 7-11, Погорелов.

Перспективное значение:

а) используется при изучении и определении прямоугольника и ромба;

б) принцип параллельности и равенства отрезков, заключённых между параллельными прямыми в теореме Фалеса;

в) понятие параллельного переноса (вектора);

г) свойство параллелограмма используется при выводе площади треугольника;

д) параллельность и перпендикулярность в пространстве; параллелепипед; призма.

Абстрактно-дедуктивный метод

Сущность:

а) определение понятия: - квадратное уравнение;

б) выделение существенных свойств: х - переменная; a, b, c - числа; а?0 при

в) конкретизация понятия: - приведенное; примеры уравнений

г) упражнения: на распознавание, на конструирование;

д) изучение свойств, не включённых в определение: корни уравнения и их свойства;

е) решение задач.

В школе абстрактно-дедуктивный способ применяется тогда, когда новое понятие полностью подготовлено изучением предыдущих понятий, в том числе изучением ближайшего родового понятия, а видовое отличие нового понятия весьма простое и понятное учащимся.

Например: определение ромба после изучения параллелограмма.

Кроме того, указанный метод используется:

1) при составлении “родословной” определения понятия:

Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Параллелограмм - это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

Четырёхугольник - фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков.

Иначе говоря, родословная представляет собой цепочку понятий, построенных через обобщения предыдущего понятия, финалом которой является неопределяемое понятие (напомним, что в курсе школьной геометрии к таковым относятся точка, фигура, плоскость, расстояние (лежать между));

2) классификация;

3) применяется к доказательствам теорем и решению задач;

4) широко используется в процессе актуализации знаний.

Рассмотрим этот процесс, представленный системой задач:

а) Дан прямоугольный треугольник со сторонами 3см и 4см. Найти длину медианы, проведённой к гипотенузе.

б) Доказать, что медиана, проведённая из вершины прямого угла треугольника, равна половине гипотенузы.

в) Доказать, что в прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит пополам угол между медианой и высотой, проведёнными к гипотенузе.

г) На продолжении наибольшей стороны АС треугольника АВС отложен отрезок СМ, равный стороне ВС. Доказать, что АВМ тупой.

В большинстве случаев в школьном преподавании применяется конкретно-индуктивный способ. В частности, таким методом вводятся понятия в пропедевтических циклах начал алгебры и геометрии в 1-6 классах, причём многие определяющие понятия вводятся описательно, без строгих формулировок.

Незнание учителем различных методов введения определений приводит к формализму, который проявляется следующим образом:

а) учащиеся затрудняются применить определения в непривычной ситуации, хотя и помнят его формулировку .

Например: 1) считают функцию - чётной, т.к. “cos” - чётная;

2) - не понимают связь между монотонностью функции и решением неравенства, т.е. не могут применять соответствующие определения, в которых основной приём исследования состоит в оценке знака разности значений функции, т.е. в решении неравенства.

б) учащиеся обладают навыками решения задач какого-либо типа, но не могут объяснить, на основании каких определений, аксиом, теорем они выполняют те или иные преобразования.

Например: 1) - преобразовать согласно этой формуле и 2) представьте, что на столе - модель четырёхугольной пирамиды. Какой многоугольник будет основанием этой пирамиды, если модель положить на стол боковой гранью? (четырёхугольник).

Процесс формирования знаний, умений и навыков не ограничивается сообщением новых знаний.

Эти знания должны быть усвоены и закреплены.

6. Методика обеспечения усвоения математических понятий (предложений)

1. Формулировки многих определений (теорем, аксиом) учащимся понятны, легко запоминаются после небольшого числа повторений, поэтому целесообразно в начале предложить их запомнить, а затем научить применять к решению задач.

Метод, при котором процессы запоминания определений и формирования навыков их применения протекают у учащихся неодновременно (раздельно), называют раздельным.

Раздельный метод используется при изучении определений хорды, трапеции, чётной и нечётной функции, теорем Пифагора, признаков параллельности прямых, теоремы Виета, свойств числовых неравенств, правил умножения обыкновенных дробей, сложения дробей с одинаковыми знаменателями и т.д.

Методика:

а) учитель формулирует новое определение;

б) учащиеся класса для запоминания повторяют его 1-3 раза;

в) отрабатывается на упражнениях.

2. Компактный метод состоит в том, что учащиеся читают по частям математическое определение или предложение и по ходу чтения одновременно выполняют упражнение.

Читая формулировку несколько раз, они попутно запоминают её.

Методика:

а) подготовка математического предложения к применению. Определение разбивается на части по признакам, теорема - на условие и заключение;

б) образец действий, предлагаемый учителем, который показывает, как работать с подготовленным текстом: читаем его по частям и одновременно выполняем упражнения;

в) учащиеся по частям читают определение и одновременно выполняют упражнения, руководствуясь подготовленным текстом и образцом учителя;

Например: определение биссектрисы в пятом классе:

1) введение понятия проводится методом целесообразных задач на модели угла;

2) выписывается определение: “Луч, выходящий из вершины угла и делящий его на две равные части, называется биссектрисой угла ”;

3) выполняется задание: указать, какие из линий на чертежах являются биссектрисами углов (равные углы обозначаются одинаковым числом дуг).

На одном из чертежей учитель показывает применение определения (см. дальше);

4) работа продолжается учениками.

3. Комбинация раздельного и компактного метода : после вывода нового правила оно повторяется 2-3 раза, а затем учитель требует в процессе выполнения упражнений формулировать правило по частям.

4. Алгоритмический метод используется для формирования навыков применения математических предложений.

Методика: математические предложения заменяются алгоритмом. Читая поочередно указания алгоритма, ученик решает задачу. Таким образом у него формируется навык применения определения, аксиомы и теоремы. При этом допускается либо последующее заучивание определения, либо прочтение вместе с алгоритмом и самого определения.

Основные этапы метода:

а) подготовка к работе списка указаний, который либо дается в готовом виде, с последующим разъяснением, либо учащиеся подводятся к его самостоятельному составлению;

б) образец ответа учителя;

в) аналогичным образом работают ученики.

Раздельный и компактный методы применяются при изучении определений. Алгоритмический может быть применен только при изучении трудно усваиваемых определений (например, необходимые и достаточные условия). Наиболее широко алгоритмический метод используется при формировании навыков решения задач.

7. Методика закрепления математических понятий и предложений

1й приём:

учитель предлагает сформулировать и применить те или иные определения, аксиомы, теоремы, которые встречаются по ходу решения задач.

Например: построить график функции; определение четной (нечетной) функции; необходимое и достаточное условие существования.

2й приём:

учитель предлагает сформулировать ряд определений, теорем, аксиом во время фронтального опроса, с тем, чтобы повторить их и заодно проверить, помнят ли их ученики. Этот приём вне решения задач не эффективен. Возможно сочетать фронтальный опрос со специальными упражнениями, которые требуют от учащихся умения применять определения, теоремы, аксиомы в различных ситуациях, умения быстро ориентироваться в условии задачи.

Заключение

Знание определения не гарантирует усвоения понятия. Методическая работа с понятиями должна быть направлена на преодоление формализма, который проявляется в том, что учащиеся не могут распознать определяемый объект в различных ситуациях, где он встречается.

Распознавание объекта, соответствующего данному определению, и построение контрпримеров возможно лишь при ясном представлении о структурах рассматриваемого определения, под которой в схеме определения () понимают структуру правой части.

Литература

1. К.О. Ананченко «Общая методика преподавания математики в школе», Мн., «Унiверсiтэцкае», 1997 г.

2. Н.М. Рогановский «Методика преподавания в средней школе», Мн., «Высшая школа», 1990 г.

3. Г. Фройденталь «Математика как педагогическая задача», М., «Просвещение», 1998 г.

4. Н.Н. «Математическая лаборатория», М., «Просвещение», 1997 г.

5. Ю.М. Колягин «Методика преподавания математики в средней школе», М., «Просвещение», 1999 г.

6. А.А. Столяр «Логические проблемы преподавания математики», Мн., «Высшая школа», 2000 г.

Подобные документы

Основы методики изучения математических понятий. Математические понятия, их содержание и объём, классификация понятий. Психолого-педагогические особенности обучения математике в 5-6 классах. Психологические аспекты формирования понятий.

дипломная работа , добавлен 08.08.2007


Сущность формирования понятий, его общая схема и особенности, этапы реализации и возможные пути. Классификация понятий и ее методика для математических дисциплин. Определение как завершающий этап формирования понятия, его разновидности и особенности.

реферат , добавлен 24.04.2009


"Понятие" в психолого-педагогической, философской, учебно-методической литературе. Виды и определения математических понятий в начальной математике. Роль, функции классификации при формировании понятий. Система формирования математических понятий.

дипломная работа , добавлен 23.11.2008


Психолого-педагогические основы формирования научных понятий. Сущность и источники витагенного обучения. Методы и приемы выявления и актуализации витагенного опыта учащихся. Формирование научных понятий как педагогическая проблема. Виды научных понятий.

дипломная работа , добавлен 13.12.2009


Анализ основных математических понятий. Методика изучения табличных случаев умножения и деления. Задания для самостоятельной работы учащихся. Реализация индивидуального подхода в обучении. Упражнения для усвоения таблицы умножения, приемы проверки знаний.

дипломная работа , добавлен 13.12.2013


статья , добавлен 15.09.2009


Наглядность как средство усвоения грамматических понятий. Система изучения грамматических понятий на уроках русского языка с использованием наглядности. Результаты эксперимента по определению уровня изучения грамматических понятий младшими школьниками.

дипломная работа , добавлен 03.05.2015


Компоненты математических способностей, степень их проявления в младшем школьном возрасте, природные предпосылки и условия формирования. Основные формы и методика проведения внеклассной работы: кружковые занятия, математические вечера, олимпиады, игры.

дипломная работа , добавлен 06.11.2010


Методика ознакомления учащихся с аксиомами в курсе школьной геометрии, традиционно-синтетический координатно-векторный методы, роль аксиом в построении школьного курса. Методика введения понятий и теорем, схема изучения признаков равенства треугольников.

реферат , добавлен 07.03.2010


Особенности изучения математики в начальной школе согласно Федеральному государственному образовательному стандарту начального общего образования. Содержание курса. Анализ основных математических понятий. Сущность индивидуального подхода в дидактике.

дипломная работа

1.1 Математические понятия, их содержание и объём, классификация понятий

Понятие - форма мышления о целостной совокупности существенных и несущественных свойств объекта.

Математические понятия имеют свои особенности: они часто возникают из потребности науки и не имеют аналогов в реальном мире; они обладают большой степенью абстракции. В силу этого желательно показать учащимся возникновение изучаемого понятия (либо из потребности практики, либо из потребности науки).

Каждое понятие характеризуется объёмом и содержанием. Содержание - множество существенных признаков понятия. Объём - множество объектов, к которым применимо данное понятие. Рассмотрим связь между объёмом и содержанием понятия. Если содержание соответствует действительности и не включает противоречивых признаков, то объём - это не пустое множество, что важно показать учащимся при введении понятия. Содержание вполне определяет объём и наоборот. Значит, изменение одного влечёт изменение другого: если содержание увеличивается, то объём уменьшается.

o должно проводится по одному признаку;

o классы должны быть не пересекающимися;

o объединение всех классов должно давать всё множество;

o классификация должна быть непрерывной (классами должны быть ближайшие видовые понятия по отношению к понятию, которое подлежит классификации).

Выделяют следующие виды классификации:

1. По видоизмененному признаку. Объекты, подлежащие классификации, могут обладать несколькими признаками, поэтому можно классифицировать по-разному.

Пример. Понятие «треугольник».

2. Дихотомический. Деление объёма понятия на два видовых понятия, одно из которых обладает данным признаком, а другое нет.

Выделим цели обучения классификации:

1) развитие логического мышления;

2) изучая видовые отличия, мы составляем более ясное представление о родовом понятии.

Оба вида классификации используются в школе. Как правило, сначала дихотомический, а затем по видоизменённому признаку.

Воспитание у дошкольника чувства гражданственности

Впервые слово «патриот» появилось в период Французской революции 1789 - 1793гг. Патриотами тогда себя называли себя борцы за народное дело, защитники республики в противовес изменникам, предателям родины из лагеря монархистов...

Деление понятий

Чтобы осмысленно оперировать понятиями, правильно их использовать в решении теоретических и практических задач необходимо уметь выявлять две основные логические характеристики: объем и содержание понятия...

Деление понятий

Классификация - распределение предметов по группам (классам), при котором каждый класс имеет свое постоянное место. Классификация является разновидностью деления понятия...

Исследование эффективности использования домашних заданий в процессе физического воспитания

Под самостоятельной деятельностью понимается совокупность действий, объединенных общей целью и выполняющих определенную общественную функцию (В.Н. Шаулин, 1986). В нашем случае, мы имеем дело с физкультурной деятельностью, то есть деятельностью...

Межпредметные связи в обучении

Межпредметные связи могут помочь школьникам понять окружающий мир, его свойства, основные явления и процессы, происходящие в нем и те закономерности, которым они подчиняются. Таким образом...

Методы и приемы обучения иностранному языку на старшем этапе

В последнее время очень актуальным становится обращение отечественных и зарубежных исследователей, таких как А.А. Щукин, И.П. Подласый, М.А. Данилов, И.П. Пидкасистый, И.Я. Лернер и др...

Организация проектной деятельности учащихся по средствам телекоммуникаций

Впервые употребил слово «проект» в 1908 году заведующий отделом воспитания сельхозшкол Д. Снезден в сельскохозяйственном обучении. С помощью проектов предлагалось связать работу школ с потребностями сельскохозяйственного производства...

Особенности логопедической работы по преодолению аграмматической дисграфии у учащихся общеобразовательной школы

Впервые на нарушения чтения и письма как на самостоятельную патологию речевой деятельности указал А. Куссмауль в 1877 г. Затем появилось много работ, в которых давались описания детей с различными нарушениями чтения и письма...

Особенности формирования математических понятий в 5-6 классах

Определить объект - выбрать из его существенных свойств такие и столько, чтобы каждое из них было необходимым, а все вместе достаточными для отличия этого объекта от других. Результат этого действия фиксируется в определении...

В современных педагогических исследованиях, связанных с проблемами совершенствования функционирования педагогических систем, повышения эффективности образовательного процесса, одним из аспектов, вызывающих наибольший интерес...

Психолого-педагогические аспекты решения проблем межличностных отношений подростков

Каждый возраст хорош по-своему. И в то же время, каждый возраст имеет свои особенности и сложности. Не является исключением и подростковый возраст. Подростковый возраст -- определенный отрезок жизни между детством и зрелостью...

Работа с одаренными детьми

28. Треугольник - пятиугольник геометрические фигуры Пары понятий можно произносить вслух, а можно предъявлять в виде карточек или напечатанными на отдельном листе. Отвечать дети могут устно или письменно. Задание 4...

Современные проблемы воспитания детей в семье и пути их решения

В Малом энциклопедическом словаре понятие семьи трактуется как «основанная на браке или кровном родстве малая группа, члены которой связаны общностью быта, взаимной помощью, моральной и правовой ответственностью» . М.И.Демков отмечает...

Формирование познавательных универсальных учебных действий на основе индивидуализации и дифференциации обучения химии в основной общеобразовательной школе

Как и любой социальный институт, общеобразовательная школа подвержена перманентной модернизации. В настоящий момент общественно-политический запрос к общеобразовательной школе заключается в таком построении процесса обучения...

Экспериментальное исследование чувства гражданственности у детей дошкольного возраста

Педагогу, начинающему заниматься проблемой формирования гражданской компетентности, прежде всего необходимо знание терминологии, ключевых понятий гражданского и патриотического образования...