Градиент функции - Векторно количество, което е свързано с дефиницията на частни производствени функции. Посоката на градиента показва пътя на формалния растеж на функцията от една точка на скаларното поле до друго.

Инструкция

1. За да се реши проблемът с функцията, се използват методите на диференциалното смятане, а именно намиране на частични производни на първия ред в три променливи. Предполага се, че самата функция и всички частни деривати притежават собственост на приемственост в областта на дефиницията на функциите.

2. Градиентът е вектор, посоката на която показва посоката на максималното бързо увеличаване на функцията F. За това, на графиката са избрани две точки m0 и m1, които са краищата на вектора. Мащабът на градиента е равен на скоростта на увеличаване на функцията от точка m0 до точката m1.

3. Функцията е диференцирана във всички точки на този вектор, в сила, прогнозите на вектора върху координатните оси са всичките му частни деривати. Тогава градиентната формула изглежда по-нататък: grad \u003d (? F / ~ x) i + (? F / y) j + (? F / z) k, където i, j, k е координатите на един вектор. С други думи, градиентът на функцията е вектор, чиито координати са частни деривати grad f \u003d (? F /? X,? F /? Y,? F / z).

4. Пример1. Функцията f \u003d sin (x z?) / Y е зададен на зададен. Необходимо е да се открие градиента му в точката (? / 6, 1/4, 1).

5. Решение. Използвайте частни деривативи за всяка променлива: f'_h \u003d 1 / y компютри (x z?) Z?; F'_y \u003d sin (x z?) (-1) 1 / (y?); F'_z \u003d 1 / y компютри (xz?) 2 x z.

6. Потопете известните точки на точката Координат: F'_X \u003d 4 компютъра (? / 6) \u003d 2? 3; F'_y \u003d sin (? / 6) (-1) 16 \u003d -8; F'_z \u003d 4 компютъра (? / 6) 2? / 6 \u003d 2? /? 3.

7. Нанесете функцията Градиентна формула: GRAD F \u003d 2? 3 I - 8 J + 2? /? 3 K.

8. Пример 25. Купете координи на градиента на функцията FU \u003d Y ARSTG (Z / x) в точка (1, 2, 1).

9. Решение .f'_H \u003d 0 ARSTG (z / x) + y (ARSTG (z / x)) '_ x \u003d y 1 / (1 + (z / x)?) (-Z / x?) \u003d -Yz / (x? (1 + (z / x)?)) \u003d -1; f'_y \u003d 1 arstg (z / x) \u003d arstg 1 \u003d? / 4; f'_z \u003d 0 arstg (z / x) + y (ARstg (z / x)) '_ z \u003d y 1 / (1 + (z / x)?) 1 / x \u003d y / (x (1 + (z / x)?)) \u003d 1.grad \u003d (- 1, 4, 1).

Градиентът на скаларното поле е векторна величина. По този начин е необходимо да се определят всички компоненти на съответния вектор, въз основа на познаването на разделението на скаларното поле.

Инструкция

1. Прочетете в учебника по най-висшата математика, която представлява градиента на скаларното поле. Като особена, тази векторна стойност има посока, характеризираща се с максималния престой на скаларната функция. Такова чувство за тази векторна стойност е оправдано от израза, за да се определи неговия компонент.

2. Не забравяйте, че всеки вектор се определя от неговия компонент. Компонентите на вектора всъщност са прогнози на този вектор на една или друга координатна ос. Така, ако се разглежда триизмерно пространство, векторът трябва да има три компонента.

3. Запишете как се определят компонентите на вектора, който е градиент на някакво поле. Всички координати на такъв вектор са равни на производа на скаларния потенциал в променлива, чиято координатна се изчислява. Това е, ако е необходимо да изчислите компонента "OSCUS" на полето на градиента на полето, е необходимо да се засяга скаларната функция по променлива "X". Моля, обърнете внимание, че деривата трябва да бъде частна. Това означава, че при диференцирането на другите променливи, които не участват в него, трябва да се считат за константи.

4. Напишете израз за скаларно поле. Тъй като е известен, този термин предполага всяка само скаларна функция на няколко променливи, които също са скаларни стойности. Броят на променливите на скаларната функция е ограничен до размера на пространството.

5. Разграничете отделно скаларната функция за всяка променлива. В резултат на това ще имате три нови функции. Въведете цялата функция в експресията за градиента вектор на скаларното поле. Всяка от получените функции всъщност е индикатор с един вектор на тази координация. По този начин, крайният вектор на градиента трябва да изглежда като полином с индикатори под формата на получени функции.

При разглеждане на въпроси, свързани с представянето на градиента, всяка функция се възприема като скаларни полета. Необходимо е да се въведат подходящи обозначения.

Ще имаш нужда

• - BUMAN;
• - химикалка.

Инструкция

1. Нека функцията да зададе трите аргумента U \u003d F (x, y, z). Частна дериватна функция, например, се определя като производно на тази арион, получена при фиксиране на останалите аргументи. За останалите аргументи като. Наименованията на частното дериват са написани във формата: df / dh \u003d u'x ...

2. Пълният диференциал ще бъде равен на du \u003d (df / dx) dx + (df / d) dy + (df / dz) dz. Включени деривати имат право да разберат как производни в посоките на координатните оси. Въпросът за намиране на производно по посока на посочения вектор S в точката m (x, y, z) се появява в точката m (x, y, z) (не забравяй, че посоката s определя единица вектор- ort s ^ о). В същото време, векторните диференциални аргументи (DX, DY, DZ) \u003d (DSCO (алфа), DSSOS (бета), DSOS (гама)).

3. Като се има предвид вида на пълното diforment diforment, е позволено да се направи резултатът, че производно в посока s в точка m е равен на: (du / ds) | m \u003d ((df / dx) | m) cos (алфа) ) + ((df / d) | m) cos (beta) + ((df / dz) | m) cos (гама). Ако s \u003d s (sx, sy, sz), тогава направляващи косини (компютри (алфа) , Компютри (бета), компютри (гама)) се изчисляват (виж Фиг. 1А).

4. Определяне на производно в посоката, точка на броене m от променлива, разрешена да пренаписва под формата на скаларен продукт: (du / ds) \u003d ((df / dh, df / df / dz), (компютри (алфа), компютри (бета), comp (гама)) \u003d (град u, s ^ \u200b\u200bо). Този израз ще бъде обективно за скаларното поле. Ако се счита за лесна за функциониране, тогава GRADF е вектор с координати съвпадение с частни деривативи f (x, y, z) .grr (x, y, z) \u003d ((df / dh, df / df / df / dz \\ t ) \u003d) \u003d (DF / DH) I + (DF / D) J + (DF / DZ) k. Тук (I, J, K) са или координират осите в правоъгълна декартова координатна система.

5. Ако приложите диференциалния вектор-оператор Хамилтън набиране, тогава Gradf е позволено да запише колко умножава този вектор оператор на скалар F (виж фиг. 1б). От гледна точка на комуникационния градус с производно в посоката, равенството (GRADF, S ^ o) \u003d 0 е допустимо, ако тези вектори са ортогонални. Следователно, ARDF често се определя като посока на най-бързата метаморфоза на скаларното поле. И от гледна точка на диференциалните операции (ARDF е един от тях), Addff Properties точно повтаря свойствата на диференциране на функциите. По-специално, ако f \u003d UV, след това gradf \u003d (vgradu + u gradv).

Видео по темата

Градиент Това е инструмент, в графични редактори, изпълнявайки пълния силует с плавен преход от същия цвят в други. Градиент Тя може да даде силует резултат от обема, имитира осветление, осветяване на повърхността на обекта или резултата от залеза на фона на снимката. Този инструмент има широко използване, всъщност, за да обработва снимки или създаване на илюстрации, донякъде ще ги проучи, за да го използват.

Ще имаш нужда

• Компютър, Adobe Photoshop Графичен редактор, Corel Draw, Paint.net или друго.

Инструкция

1. Отворете изображението в програмата или направете нов. Направете силует или маркирайте областта на облеклото на изображението.

2. Включете градиентния инструмент на лентата с инструменти на графичния редактор. Поставете курсора на мишката в точката в избраната област или силуета, в който започна първият цвят на градиента. Натиснете и задръжте левия бутон на мишката. Преместете курсора до точката, в която градиентът трябва да отиде до крайния цвят. Освободете левия бутон на мишката. Подчертаният силует ще запълни пълненето с градиент.

3. Градиент Възможно е да се определи прозрачност, цветове и тяхното съотношение в определена точка на запълване. За да направите това, отворете прозореца за редактиране на градиента. За да отворите прозореца за редактиране в Photoshop - кликнете върху примера на градиента в панела "Параметри".

4. В прозореца, който се отваря, наличните опции за попълване на градиент се показват под формата на примери. За да редактирате една от опциите, изберете щракването с мишката.

5. В долната част на прозореца, пример за градиент се показва като широк мащаб, върху който се намират плъзгачите. Плъзгачите означават точките, в които градиентът трябва да е посочил повиквания, и в диапазона между плъзгача, цветът равномерно се движи от втория цвят, определен в първата точка.

6. Плъзгачите, които се намират в горната част на скалата, определят прозрачността на градиента. За да промените прозрачността, кликнете върху желания плъзгач. Полето ще се появи в рамките на мащаба, в който влизат необходимата степен на прозрачност в проценти.

7. Плъзгачите в долната част на скалата поставят цветовете на градиента. Промяна на един от тях, ще можете да предпочитате цвета на сърф.

8. Градиент Може да има няколко преходни цвята. За да зададете друг цвят - кликнете върху свободното място в долната част на скалата. Ще се появи друг плъзгач. Задайте желания цвят за него. Скалата ще покаже пример за градиент с друга точка. Можете да преместите плъзгача, като ги държите с поддръжката на левия бутон на мишката, за да постигнете желаната комбинация.

9. Градиент Има няколко вида, които могат да дадат на формата плоски силуети. Да кажем, за да дадем кръг формата на топката прилага радиален градиент и за да се даде формата на конусната конусна форма. За да се даде на повърхността, илюзията на издатината се оставя да се възползва от огледалния градиент, а диамантеният градиент може да се използва за създаване на отблясъци.

Видео по темата

Видео по темата

Кратка теория

Градиентът се нарича вектор, чиято посока показва посоката на максималното бързо увеличаване на функцията F (x). Намирането на тази векторна стойност е свързана с дефиницията на частни функции. Производството в посоката е скаларна стойност и показва скоростта на промяна на функцията при шофиране по посоката, посочена от някой вектор.

Пример за решаване на проблема

Задачата

Датс функция, точка и вектор. Да намеря:

Решаването на проблема

Намиране на градиентна функция

1) Ще намерим градиента на функцията в момента:

Желания градиент:

Намиране на производно по посока на вектора

2) Намерете производно по посока на вектора:

където - Китай, образуван от вектор и ос

Желаното производно в точката:

Цената силно засяга спешността на разтвора (от ден до няколко часа). Онлайн помощ на изпита / класиране се извършва по назначаването.

Приложението може да бъде оставено директно в чата, като преди това е хвърляло състоянието на задачите и да информира решението, от което се нуждаете. Отговор време - няколко минути.

От училищния курс на математиката е известно, че векторът в самолета е насочен сегмент. Неговото начало и край имат две координати. Координатите на вектора се изчисляват чрез изваждане от координатите на края на координатите на самото начало.

Концепцията за вектор може също да бъде разпределена в n-размерът (вместо две координати, които ще бъдат събрани).

Градиентgradz Fusinessz \u003d F (x 1, x 2, ... x n) се нарича вектор на частни произведени функции в точката, т.е. Вектор с координати.

Може да се докаже, че градиентът на функцията характеризира посоката на формалния растеж на нивото на функцията в точката.

Например, за функцията z \u003d 2x 1 + x 2 (виж фигура 5.8), градиентът ще има координати (2; 1). Възможно е да го изградите в равнината по различни начини, като вземете някаква точка като началото на вектора. Например, можете да свържете точка (0; 0) с точка (2; 1) или точка (1; 0) с точка (3; 1) или точка (0; 3) с точка (2)) 4), или t .p. (Виж фигура 5.8). Всички вектори, конструирани по този начин, ще имат координати (2 - 0; 1 - 0) \u003d (3 - 1; 1 - 0) \u003d (2 - 0; 4 - 3) \u003d (2; 1).

Фигура 5.8 Ясно се вижда, че нивото на функцията расте по посока на градиента, тъй като конструираните нива линии съответстват на стойностите на нивото 4\u003e 3\u003e 2.

Фигура 5.8 - Градиентна функция Z \u003d 2x 1 + x 2

Помислете за друг пример - функцията z \u003d 1 / (x 1 x 2). Градиентът на тази функция няма да бъде еднакво един и същ в различните точки, тъй като нейните координати се определят чрез формули (-1 / (х 1 x 2); -1 / (х 1 х 22))).

Фигура 5.9 показва нивата на функция на функцията BEL \u003d 1 / (x 1 x 2) за нива 2 и 10 (Direct 1 / (x 1 x 2) \u003d 2 се обозначава с пунктирана линия и права линия 1 / (x 1 х 2) \u003d 10 - твърда линия).

Фигура 5.9 - градиенти на функцията z \u003d 1 / (x 1 x 2) в различни точки

Вземете, например, точката (0.5; 1) и изчислете градиента в тази точка: (-1 / (0.5 2 х 1); -1 / (0.5 х 1 2) \u003d (-4; - 2). Обърнете внимание, че точката (0.5; 1) се крие на нивото 1 / (x 1 x 2) \u003d 2, forz \u003d f (0.5; 1) \u003d 1 / (0.5 х 1) \u003d 2. да кофи с вектор ( -4; -2) на фигура 5.9, свържете точката (0.5; 1) с точка (-3,5; -1), за (-3,5 - 0.5; -1 - 1) \u003d (-4; -2).

Вземете друга точка на една и съща линия, например, точка (1; 0.5) (Z \u003d F (1; 0.5) \u003d 1 / (0.5 х 1) \u003d 2). Изчислете градиента в тази точка (-1 / (1 2 * 0.5); -1 / (1 х 0.5 2)) \u003d (-2; -4). За да го изображете на фигура 5.9, свържете точката (1; 0.5) с точка (-1; -3.5), за (-1 - 1; -3.5 - 0.5) \u003d (-2; - четири).

Вземете друга точка на една и съща линия, но само сега в неразделна координатна четвърт. Например, точката (-0.5; -1) (Z \u003d F (-0.5; -1) \u003d 1 / ((- 1) * (- 0.5)) \u003d 2). Градиентът в тази точка ще бъде равен на (-1 / ((- 0.5) 2 * (- 1)); -1 / ((- 0.5) * (- 1) 2)) \u003d (4; 2). Покажете го на фигура 5.9, свързваща точката (-0.5; -1) с точка (3.5; 1), за (3.5 - (-0.5); 1 - (-1)) \u003d (4; 2).

Трябва да се отбележи, че във всичките три разглеждани случая градиентът показва посоката на растежа на растежа (към линията 1 / (x 1 x 2) \u003d 10\u003e 2).

Може да се докаже, че градиентът винаги е перпендикулярно на линията на нивото (повърхностната повърхност), преминаваща през тази точка.

Екстремни функции на много променливи

Ние определяме концепцията екстремза функцията на много променливи.

Функцията на много променливи f (x) има в точка x (0) максимален (минимум),ако има такъв квартал от този момент, че за всички точки X от този квартал се извършват неравенства (x) F (x (0)) ().

Ако тези неравенства се изпълняват, като строг, тогава екстремум се нарича силаи ако не, тогава слаб.

Имайте предвид, че екстремум, дефиниран по този начин, носи местнипочтеност, тъй като тези неравенства се изпълняват само за някакъв квартал на екстремумната точка.

Ние имаме необходимо условие за локалния екстремум на диференцируемата функция Z \u003d F (x 1, .., x n) в точката е равенството на нула на всички частни деривати на първата поръчка в този момент:
.

Точки, в които се извършват тези равенство, се наричат стационарен.

По различен начин, необходимото състояние на екстрема може да бъде формулирано, както следва: в точката на екстремум, градиентът е нула. Възможно е да се докаже по-общо одобрение - в крайната точка те се превръщат в нулеви деривати във всички посоки.

Стационарните точки трябва да бъдат подложени на допълнителни проучвания - има достатъчно условия за съществуването на местен екстремум. За това се определя знакът на разликата в втори ред. Ако при всички, не са равни по едно и също време нула, винаги е отрицателно (положително), тогава функцията има максимален (минимум). Ако може да се прилага за нула не само при нулеви стъпки, въпросът за екстремма остава отворен. Ако можете да приемате както положителни, така и отрицателни стойности, тогава няма екстремум в неподвижна точка.

Като цяло дефиницията на диференциалния знак е доста сложен проблем, който няма да разгледаме тук. За функцията на две променливи можете да докажете, че ако сте в неподвижна точка
Екстремумът присъства. В този случай знакът на втория диференциал съвпада със знака
. ако
, тогава това е максимумът и ако
, тогава това е поне. Ако
Тогава в този момент няма екстремум и ако
Въпросът за екстреммата остава отворен.

Пример 1.. Намерете екстремни функции
.

Ние намираме частни деривати чрез логаритмична диференциация.

ln z \u003d ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) - ln (1 + x 2) - ln (1 + y 2)

по същия начин
.

Намерете стационарни точки от системата на уравнения:

Така бяха открити четири стационарни точки (1; 1), (1; -1), (-1; 1) и (-1; -1).

Ние намираме частни деривати на втория ред:

ln (z x `) \u003d ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)

по същия начин
;
.

Като
, знак за изразяване
само ще зависи
. Имайте предвид, че и в двата деривати, знаменателят винаги е положителен, така че можете да помислите само знака на числителя или дори знака на експресиите X (X 2 - 3) и (Y 2 - 3). Ние го определяме във всяка критична точка и проверяваме изпълнението на достатъчно условия на екстремум.

За точка (1; 1) получаваме 1 * (1 2 - 3) \u003d -2< 0. Т.к. произведение двух отрицательных чисел
\u003e 0, и
< 0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он равен
= 2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) = = 8/4 = 2.

За точка (1; -1) получаваме 1 * (1 2 - 3) \u003d -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 > 0. Защото Работата на тези числа
< 0, в этой точке экстремума нет. Аналогично можно показать, что нет экстремума в точке (-1; 1).

За точка (-1; -1) получаваме (-1) * (((- 1) 2 - 3) \u003d 2\u003e 0. Защото Работа на две положителни числа
\u003e 0, и
\u003e 0, в точката (-1; -1) можете да намерите минимум. Той е 2 * ((- 1) + (-1)) * (1 + (- 1) * (- 1)) / ((1 + (- 1) 2) * (1 + (- 1) 2)) ) \u003d -8/4 \u003d -2.

Да намеря global.максималният или минимум (най-голямата или най-малката стойност на функцията) е малко по-сложна от местния екстрем, тъй като тези стойности могат да бъдат постигнати не само в стационарни точки, но и на границата на областта на дефиницията. Разгледайте поведението на функцията на границата на тази област не винаги е лесно.

Градиентна функция и \u003d F (x, y, z) дефинирани в някои регион. Пространство (X Y z), има вектор С прогнози, посочени със символи: град Където i, j, k - координиране на ортопите. G. F. - има точкова функция (x, y, z), т.е. тя образува векторно поле. Производно по посока на града. В този момент достига най-голямата стойност и равна на: Посоката на градиента е посоката на най-повишаването на функцията. G. F. В този момент, перпендикулярно на повърхността, преминаваща през тази точка. Ефективността на използването на G. F. В литоложките проучвания тя е показана в изследването на EOL. Централни дръжки.

Геоложки речник: В 2 тома. - m: nedra. Редактиран от K. N. Paffengolts и други.. 1978 .

Гледайте какво е "градиент на качеството" в други речници:

Тази статия е за математическа характеристика; За метода на запълване, вижте: Градиент (компютърна графика) ... Уикипедия

- (LAT.). Разликата в барометричните и термометрични индикации на различни места. Речник на чуждестранни думи, включени в руския език. Чудинов А.Н., 1910. Градиентна разлика в показанията на барометъра и термометъра в същия момент ... ... Речник на чужди думи на руския език

градиент - промяна на стойността на определено количество на единица разстояние в дадена посока. Топографският градиент е промяна в височината на терена върху измереното хоризонтално разстояние. Теми Релейна защита en Градиент на характеристиката на диференциалната защита ... Директория за технически преводач

Градиент - векторът, насочен към очевидното увеличение на функцията и равно на неговото производно в тази посока: когато символите ei показват единични вектори на координатните оси (orts) ... Икономика и математически речник

Една от основните понятия за векторния анализ и теорията на нелинейни република. Градиентът на скаларната функция на векторния аргумент от евклидовото пространство е п е. Деривативната функция f (t). Според векторния аргумент t, т.е. n-размерът на вектора с ... ... Математическа енциклопедия

Цветен физиологичен - - стойността, отразяваща промяната на функционалния индикатор в зависимост от другата стойност; Например, градиентът на частичното налягане е разликата в частичното налягане, което определя разпространението на газове от алвеолите (осите) в кръвта и от кръвта в ... ... Речник на термините във физиологията на селскостопанските животни

Аз градиент (от лат. Градиен, роден. Вектор на градиент) вектор, показващ посоката на разделена промяна на някаква стойност, стойността, която варира от една точка на място в друга (виж теоретичните полета). Ако величината ... ... Велика съветска енциклопедия

Градиент - (от лат. Градиен пеша, идващ) (в математика) вектор, показващ посоката на определено увеличение в някаква функция; (по физика) мярка за увеличаване или намаляване на пространството или на равнината на всеки физически размер на единица ... ... Началото на съвременната природна наука

Книги

• Методи за решаване на някои задачи на избрани участъци от по-висша математика. Семинар, Клименко Константин Григориевич, Левиткая Галина Василевна, Козловски Евгени Александрович. Този семинар обсъжда методите за решаване на някои видове задачи от такива раздели на общоприетия курс на математически анализ, като лимит и екстремна функция, градиент и дериватив ...

От училищния курс на математиката е известно, че векторът в самолета е насочен сегмент. Неговото начало и край имат две координати. Координатите на вектора се изчисляват чрез изваждане от координатите на края на координатите на самото начало.

Концепцията за вектор може също да бъде разпределена в n-размерът (вместо две координати ще има N координати).

Градиент Град Z Функции Z \u003d F (x 1, x 2, ... x n) наречен вектор на частни произведени функции в точката, т.е. Вектор с координати.

Може да се докаже, че градиентът на функцията характеризира посоката на формалния растеж на нивото на функцията в точката.

Например, за функцията z \u003d 2x 1 + x 2 (виж фигура 5.8), градиентът ще има координати (2; 1). Възможно е да го изградите в равнината по различни начини, като вземете някаква точка като началото на вектора. Например, можете да свържете точка (0; 0) с точка (2; 1) или точка (1; 0) с точка (3; 1) или точка (0; 3) с точка (2)) 4), или t .p. (Виж фигура 5.8). Всички векторни вектори ще имат координати (2 - 0; 1 - 0) \u003d
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

Фигура 5.8 Ясно се вижда, че нивото на функцията расте по посока на градиента, тъй като конструираните нива линии съответстват на стойностите на нивото 4\u003e 3\u003e 2.

Фигура 5.8 - Градиентна функция Z \u003d 2x 1 + x 2

Помислете за друг пример - функцията z \u003d 1 / (x 1 x 2). Градиентът на тази функция няма да бъде еднакво един и същ в различните точки, тъй като нейните координати се определят чрез формули (-1 / (х 1 x 2); -1 / (х 1 х 22))).

Фигура 5.9 показва нивото на нивото на функцията Z \u003d 1 / (x 1 x 2) за нива 2 и 10 (Direct 1 / (x 1 x 2) \u003d 2 е обозначен с пунктирана линия, и прав
1 / (x 1 x 2) \u003d 10 - твърда линия).

Фигура 5.9 - градиенти на функцията z \u003d 1 / (x 1 x 2) в различни точки

Вземете, например, точката (0.5; 1) и изчислете градиента в тази точка: (-1 / (0.5 2 х 1); -1 / (0.5 х 1 2) \u003d (-4; - 2). Имайте предвид, че точката (0.5; 1) се крие върху линията 1 / (x 1 x 2) \u003d 2, за z \u003d f (0.5; 1) \u003d 1 / (0.5 х 1) \u003d 2., за да изобрази вектора (- 4; -2) на фигура 5.9, свържете точката (0.5; 1) с точка (-3.5; -1), за
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

Вземете друга точка на една и съща линия, например, точка (1; 0.5) (Z \u003d F (1; 0.5) \u003d 1 / (0.5 х 1) \u003d 2). Изчислете градиента в този момент
(-1 / (1 2 * 0.5); -1 / (1 х 0.5 2)) \u003d (-2; -4). За да го изображете на фигура 5.9, свържете точката (1; 0.5) с точка (-1; -3.5), за (-1 - 1; -3.5 - 0.5) \u003d (-2; - четири).

Вземете друга точка на една и съща линия, но само сега в неразделна координатна четвърт. Например, точката (-0.5; -1) (Z \u003d F (-0.5; -1) \u003d 1 / ((- 1) * (- 0.5)) \u003d 2). Градиентът в този момент ще бъде равен
(-1 / ((- 0.5) 2 * (- 1)); -1 / ((- 0.5) * (- 1) 2)) \u003d (4; 2). Покажете го на фигура 5.9, свързваща точката (-0.5; -1) с точка (3.5; 1), за (3.5 - (-0.5); 1 - (-1)) \u003d (4; 2).