Мишена:

• Формиране на понятието първоизводно.
• Подготовка за възприемане на интеграла.
• Формиране на компютърни умения.
• Култивиране на чувство за красота (способността да се вижда красотата в необичайното).

Математическият анализ е набор от клонове на математиката, посветени на изучаването на функции и техните обобщения чрез методи на диференциално и интегрално смятане.

Досега изучавахме клон на математическия анализ, наречен диференциално смятане, чиято същност е изследването на функция в „малкото“.

Тези. изследване на функция в достатъчно малки околности на всяка дефиниционна точка. Една от операциите на диференциране е намирането на производната (диференциал) и прилагането й към изследването на функциите.

Обратната задача е не по-малко важна. Ако е известно поведението на функция в близост до всяка точка от нейната дефиниция, тогава как може да се реконструира функцията като цяло, т.е. в целия обхват на неговата дефиниция. Този проблем е обект на изследване на така нареченото интегрално смятане.

Интеграцията е действие, обратно на диференциацията. Или възстановяване на функцията f(x) от дадена производна f`(x). Латинската дума “integro” означава възстановяване.

Пример №1.

Нека (x)`=3x 2.
Нека намерим f(x).

Решение:

Въз основа на правилото за диференциране не е трудно да се досетите, че f(x) = x 3, защото (x 3)` = 3x 2
Въпреки това, можете лесно да забележите, че f(x) не се намира еднозначно.
Като f(x) можем да вземем
f(x)= x 3 +1
f(x)= x 3 +2
f(x)= x 3 -3 и т.н.

Тъй като производната на всеки от тях е равна на 3х2. (Производната на константа е 0). Всички тези функции се различават една от друга с постоянен термин. Следователно общото решение на задачата може да бъде записано като f(x) = x 3 + C, където C е всяко постоянно реално число.

Всяка от намерените функции f(x) се извиква ПРИМОДИУМза функцията F`(x)= 3x 2

Определение. Функция F(x) се нарича първоизводна за функция f(x) на даден интервал J, ако за всички x от този интервал F`(x)= f(x). Така че функцията F(x)=x 3 е първоизводна за f(x)=3x 2 върху (- ∞ ; ∞).
Тъй като за всички x ~R равенството е вярно: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Както вече забелязахме, тази функция има безкраен брой антипроизводни (виж пример № 1).

Пример №2. Функцията F(x)=x е първоизводна за всички f(x)= 1/x на интервала (0; +), тъй като за всички x от този интервал равенството е в сила.
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x

Пример №3. Функцията F(x)=tg3x е първоизводна за f(x)=3/cos3x на интервала (-n/ 2; П/ 2),
защото F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

Пример №4. Функцията F(x)=3sin4x+1/x-2 е първоизводна за f(x)=12cos4x-1/x 2 на интервала (0;∞)
защото F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

Лекция 2.

Тема: Антипроизводно. Основното свойство на първоизводната функция.

Когато изучаваме първоизвода, ще разчитаме на следното твърдение. Признак за постоянство на функция: Ако на интервала J производната Ψ(x) на функцията е равна на 0, то на този интервал функцията Ψ(x) е постоянна.

Това твърдение може да се демонстрира геометрично.

Известно е, че Ψ`(x)=tgα, γde α е ъгълът на наклона на допирателната към графиката на функцията Ψ(x) в точката с абциса x 0. Ако Ψ`(υ)=0 във всяка точка от интервала J, тогава tanα=0 δ за всяка допирателна към графиката на функцията Ψ(x). Това означава, че допирателната към графиката на функцията във всяка точка е успоредна на абсцисната ос. Следователно на посочения интервал графиката на функцията Ψ(x) съвпада с отсечката y=C.

И така, функцията f(x)=c е постоянна в интервала J, ако f`(x)=0 в този интервал.

Наистина, за произволни x 1 и x 2 от интервала J, използвайки теоремата за средната стойност на функция, можем да напишем:
f(x 2) - f(x 1) = f`(c) (x 2 - x 1), тъй като f`(c)=0, тогава f(x 2)= f(x 1)

Теорема: (Основното свойство на първоизводната функция)

Ако F(x) е една от първоизводните за функцията f(x) на интервала J, тогава множеството от всички първоизводни на тази функция има формата: F(x)+C, където C е всяко реално число.

Доказателство:

Нека F`(x) = f (x), тогава (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), за x Є J.
Да предположим, че съществува Φ(x) - друга първоизводна за f (x) на интервала J, т.е. Φ`(x) = f (x),
тогава (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0, за x Є J.
Това означава, че Φ(x) - F(x) е константа в интервала J.
Следователно Φ(x) - F(x) = C.
От където Φ(x)= F(x)+C.
Това означава, че ако F(x) е първоизводна за функция f (x) в интервала J, тогава наборът от всички първоизводни на тази функция има формата: F(x)+C, където C е всяко реално число.
Следователно, всеки две първоизводни на дадена функция се различават една от друга с постоянен член.

Пример: Намерете множеството от първоизводни на функцията f (x) = cos x. Начертайте графики на първите три.

Решение: Sin x е една от първоизводните за функцията f (x) = cos x
F(x) = Sin x+C – множеството от всички първоизводни.

F 1 (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F 3 (x) = Sin x+1

Геометрична илюстрация:Графиката на всяка антипроизводна F(x)+C може да бъде получена от графиката на антипроизводната F(x) с помощта на паралелен трансфер на r (0;c).

Пример: За функцията f (x) = 2x намерете първоизводна, чиято графика минава през t.M (1;4)

Решение: F(x)=x 2 +C – множеството от всички първоизводни, F(1)=4 - според условията на задачата.
Следователно 4 = 1 2 +C
С = 3
F(x) = x 2 +3

Нека разгледаме движението на точка по права линия. Нека отнеме време Tот началото на движението точката е изминала разстояние s(t).След това моментната скорост v(t)равно на производната на функцията s(t),това е v(t) = s"(t).

На практика се сблъскваме с обратната задача: дадена е скоростта на движение на точка v(t)намери пътя, по който е тръгнала s(t), тоест намерете такава функция s(t),чиято производна е равна на v(t). функция s(t),такова, че s"(t) = v(t), се нарича първоизводна на функцията v(t).

Например ако v(t) = аt, Където Ае дадено число, тогава функцията
s(t) = (аt 2) / 2v(t),защото
s"(t) = ((аt 2) / 2) " = аt = v(t).

функция F(x)наречена първоизводна на функцията f(x)на някакъв интервал, ако за всички хот тази празнина F"(x) = f(x).

Например функцията F(x) = sin xе първоизводната на функцията f(x) = cos x,защото (sin x)" = cos x; функция F(x) = x 4 /4е първоизводната на функцията f(x) = x 3, защото (x 4 /4)" = x 3.

Нека разгледаме проблема.

Задача.

Докажете, че функциите x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 – 4 са първоизводни на същата функция f(x) = x 2.

Решение.

1) Нека означим F 1 (x) = x 3 /3, тогава F" 1 (x) = 3 ∙ (x 2 /3) = x 2 = f(x).

2) F 2 (x) = x 3 /3 + 1, F" 2 (x) = (x 3 /3 + 1)" = (x 3 /3)" + (1)" = x 2 = f( х).

3) F 3 (x) = x 3 /3 – 4, F" 3 (x) = (x 3 /3 – 4)" = x 2 = f (x).

Като цяло всяка функция x 3 /3 + C, където C е константа, е антипроизводна на функцията x 2. Това следва от факта, че производната на константата е нула. Този пример показва, че за дадена функция нейната първоизводна се определя нееднозначно.

Нека F 1 (x) и F 2 (x) са две първоизводни на една и съща функция f(x).

Тогава F 1 "(x) = f(x) и F" 2 (x) = f(x).

Производната на тяхната разлика g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) е равна на нула, тъй като g"(x) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x ) – f (x) = 0.

Ако g"(x) = 0 на определен интервал, тогава допирателната към графиката на функцията y = g(x) във всяка точка от този интервал е успоредна на оста Ox. Следователно графиката на функцията y = g(x) е права линия, успоредна на оста Ox, т.е. g(x) = C, където C е някаква константа. От равенствата g(x) = C, g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) следва, че F 1 (x) = F 2 (x) + S.

Така че, ако функцията F(x) е първоизводна на функцията f(x) на определен интервал, тогава всички първоизводни на функцията f(x) се записват във формата F(x) + C, където C е произволна константа.

Нека разгледаме графиките на всички първоизводни на дадена функция f(x). Ако F(x) е една от първоизводните на функцията f(x), тогава всяка първоизводна на тази функция се получава чрез добавяне към F(x) на някаква константа: F(x) + C. Графики на функции y = F( x) + C се получават от графиката y = F(x) чрез изместване по оста Oy. Като изберете C, можете да гарантирате, че графиката на първоизводната минава през дадена точка.

Нека обърнем внимание на правилата за намиране на антипроизводни.

Припомнете си, че операцията за намиране на производната за дадена функция се извиква диференциация. Обратната операция за намиране на първоизводната за дадена функция се нарича интеграция(от латинската дума "Възстанови").

Таблица на антипроизводнитеза някои функции може да се компилира с помощта на таблица с производни. Например, знаейки това (cos x)" = -sin x,получаваме (-cos x)" = sin x, от което следва, че всички антипроизводни функции грях хса записани във формата -cos x + C, Където СЪС– постоянен.

Нека да разгледаме някои от значенията на антипроизводните.

1) функция: x p, p ≠ -1. Антипроизводно: (x p+1) / (p+1) + C.

2) функция: 1/x, x > 0.Антипроизводно: ln x + C.

3) функция: x p, p ≠ -1. Антипроизводно: (x p+1) / (p+1) + C.

4) функция: e x. Антипроизводно: e x + C.

5) функция: грях х. Антипроизводно: -cos x + C.

6) функция: (kx + b) p, р ≠ -1, k ≠ 0.Антипроизводно: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.

7) функция: 1/(kx + b), k ≠ 0. Антипроизводно: (1/k) ln (kx + b)+ C.

8) функция: e kx + b, k ≠ 0. Антипроизводно: (1/k) e kx + b + C.

9) функция: sin (kx + b), k ≠ 0. Антипроизводно: (-1/k) cos (kx + b).

10) функция: cos (kx + b), k ≠ 0.Антипроизводно: (1/k) sin (kx + b).

Правила за интегриранеможе да се получи с помощта на правила за диференциране. Нека да разгледаме някои правила.

Позволявам F(x)И G(x)– първоизводни на съответните функции f(x)И g(x)на някакъв интервал. Тогава:

1) функция F(x) ± G(x)е първоизводната на функцията f(x) ± g(x);

2) функция аF(x)е първоизводната на функцията аf(x).

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

Определение за антипроизводно.

Първоизводна на функция f(x) на интервала (a; b) е функция F(x), така че равенството е в сила за всеки x от дадения интервал.

Ако вземем предвид факта, че производната на константата C е равна на нула, тогава равенството е вярно . По този начин функцията f(x) има набор от първоизводни F(x)+C за произволна константа C и тези антипроизводни се различават една от друга с произволна постоянна стойност.

Дефиниция на неопределен интеграл.

Цялото множество от първоизводни на функцията f(x) се нарича неопределен интеграл на тази функция и се означава .

Изразът се нарича интегранти f(x) – интегрална функция. Интегралната функция представлява диференциала на функцията f(x) .

Действието за намиране на неизвестна функция при даден неин диференциал се нарича несигуренинтегриране, защото резултатът от интегрирането не е една функция F(x), а набор от нейните първоизводни F(x)+C.

Въз основа на свойствата на производната може да се формулира и докаже свойства на неопределения интеграл(свойства на антипроизводно).

За пояснение са дадени междинни равенства на първо и второ свойство на неопределения интеграл.

За доказване на третото и четвъртото свойство е достатъчно да се намерят производните на десните части на равенствата:

Тези производни са равни на интеграндите, което е доказателство поради първото свойство. Използва се и при последните преходи.

По този начин проблемът с интеграцията е обратен на проблема с диференциацията и има много тясна връзка между тези проблеми:

• първото свойство позволява да се провери интеграцията. За да проверите правилността на извършеното интегриране, е достатъчно да изчислите производната на получения резултат. Ако получената в резултат на диференцирането функция се окаже равна на интегранта, това ще означава, че интегрирането е извършено правилно;
• второто свойство на неопределения интеграл позволява да се намери неговата антипроизводна от известен диференциал на функция. Прякото изчисляване на неопределени интеграли се основава на това свойство.

Нека разгледаме един пример.

Пример.

Намерете първоизводната на функцията, чиято стойност е равна на единица при x = 1.

Решение.

Знаем това от диференциалното смятане (просто погледнете таблицата с производни на основни елементарни функции). По този начин, . До втория имот . Тоест имаме много антипроизводни. За x = 1 получаваме стойността . Съгласно условието тази стойност трябва да е равна на единица, следователно C = 1. Желаната антипроизводна ще приеме формата.

Пример.

Намерете неопределения интеграл и проверете резултата чрез диференциране.

Решение.

Използване на формулата за синус на двоен ъгъл от тригонометрията , Ето защо

За всяко математическо действие има обратно действие. За действието диференциране (намиране на производни на функции) има и обратно действие - интегриране. Чрез интегриране функцията се намира (реконструира) от дадената й производна или диференциал. Намерената функция се извиква антипроизводно.

Определение.Диференцируема функция F(x)се нарича първоизводна на функцията f(x)на даден интервал, ако за всички хот този интервал е в сила следното равенство: F′(x)=f (x).

Примери. Намерете първоизводни за функциите: 1) f (x)=2x; 2) f (x)=3cos3x.

1) Тъй като (x²)′=2x, тогава по дефиниция функцията F (x)=x² ще бъде първоизводна на функцията f (x)=2x.

2) (sin3x)′=3cos3x. Ако означим f (x)=3cos3x и F (x)=sin3x, тогава по дефиниция на антипроизводна имаме: F′(x)=f (x) и следователно F (x)=sin3x е антипроизводно за f ( x)=3cos3x.

Имайте предвид, че (sin3x +5 )′= 3cos3x, и (sin3x -8,2 )′= 3cos3x, ... в общ вид можем да запишем: (sin3x +C)′= 3cos3x, Където СЪС- някаква постоянна стойност. Тези примери показват неяснотата на действието на интегриране, за разлика от действието на диференциране, когато всяка диференцируема функция има една производна.

Определение.Ако функцията F(x)е антипроизводна на функцията f(x)на определен интервал, тогава наборът от всички антипроизводни на тази функция има формата:

F(x)+C, където C е всяко реално число.

Множеството от всички първоизводни F (x) + C на функцията f (x) на разглеждания интервал се нарича неопределен интеграл и се обозначава със символа ∫ (интегрален знак). Записвам: ∫f (x) dx=F (x)+C.

Изразяване ∫f(x)dxпрочетете: „интеграл ef от x до de x.“

f(x)dx- интегрален израз,

f(x)— интегрална функция,

хе интеграционната променлива.

F(x)- първоизводна на функция f(x),

СЪС- някаква постоянна стойност.

Сега разгледаните примери могат да бъдат записани по следния начин:

1) ∫ 2xdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

Какво означава знакът d?

д-диференциален знак - има двойна цел: първо, този знак разделя интегранта от интегралната променлива; второ, всичко, което идва след този знак, се диференцира по подразбиране и се умножава по интегранта.

Примери. Намерете интегралите: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) След диференциалната икона дразходи хх, А Р

∫ 2хрdx=рх²+С. Сравнете с примера 1).

Да направим проверка. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).

4) След диференциалната икона дразходи Р. Това означава, че интеграционната променлива Р, и множителя хтрябва да се счита за някаква постоянна стойност.

∫ 2хрдр=р²х+С. Сравнете с примери 1) И 3).

Да направим проверка. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).