За математически и статистически анализ на резултатите от пробите, познаването само на характеристиките на позицията не е достатъчно. Същата средна стойност може да характеризира напълно различни проби.

Затова освен тях статистиката също отчита характеристики на разсейване (вариации, или флуктуации ) резултати.

1. Диапазон на вариация

Определение. В обхват вариацията е разликата между най-големите и най-малките резултати от пробата, означена с Ри се определя

Р=хмакс - хмин.

Информационната стойност на този показател е малка, въпреки че с малки размери на извадката е лесно да се оцени разликата между най-добрите и най-лошите резултати на спортистите.

2. Дисперсия

Определение. Дисперсия се нарича среден квадрат на отклонението на характерните стойности от средната аритметична стойност.

За негрупирани данни дисперсията се определя по формулата

Където х аз– стойност на атрибута, - средно аритметично.

За данни, групирани в интервали, дисперсията се определя по формулата

,

Където х аз- средна стойност аз интервал на групиране, н аз– интервални честоти.

За да се опростят изчисленията и да се избегнат грешки в изчисленията при закръгляване на резултатите (особено при увеличаване на размера на извадката), се използват и други формули за определяне на дисперсията. Ако средната аритметична стойност вече е изчислена, тогава се използва следната формула за негрупирани данни:

 2 =
,

за групирани данни:

.

Тези формули се получават от предишните чрез разкриване на квадрата на разликата под знака на сумата.

В случаите, когато средноаритметичното и дисперсията се изчисляват едновременно, се използват формулите:

за негрупирани данни:

 2 =
,

за групирани данни:

.

3. Среден квадрат(стандартен)отклонение

Определение. Среден квадрат (стандартен ) отклонение характеризира степента на отклонение на резултатите от средната стойност в абсолютни единици, тъй като, за разлика от дисперсията, има същите мерни единици като резултатите от измерването. С други думи, стандартното отклонение показва плътността на разпределението на резултатите в група около средната стойност или хомогенността на групата.

За негрупирани данни стандартното отклонение може да се определи с помощта на формулите

 =
,

 =
или =
.

За данни, групирани в интервали, стандартното отклонение се определя по формулите:

,

или
.

4. Грешка на средната аритметична стойност (средна грешка)

Средна аритметична грешка характеризира флуктуацията на средната стойност и се изчислява по формулата:

.

Както може да се види от формулата, с увеличаване на размера на извадката грешката на средната стойност намалява пропорционално на корен квадратен от размера на извадката.

5. Коефициент на вариация

Коефициентът на вариация се определя като съотношението на стандартното отклонение към средната аритметична стойност, изразено като процент:

.

Смята се, че ако коефициентът на вариация не надвишава 10%, тогава извадката може да се счита за хомогенна, тоест получена от една генерална популация.

Основните характеристики на дисперсията, използвани за оценка на вариацията на стойностите спрямо средната стойност на извадката, са дисперсия, стандартно отклонение и коефициент на вариация.

1. дисперсия(от лат. dispersio - разпръскване ) – средно аритметично на квадратите на отклоненията на стойностите x i от тяхното средно аритметично.

дисперсия (Д)- мярка за дисперсия (отклонение от средната) се определя, както следва: средноаритметичната стойност се изважда от всяка опция, разликата се повдига на квадрат и се умножава по съответната честота. След това определете сумата от всички продукти и я разделете на обема на населението:

За групирани данни дисперсията се определя:

Размерността на дисперсията не съвпада с мерните единици на изменящата се характеристика.

При решаване на практически задачи, в допълнение към използването на формули за изчисляване на дисперсията на извадката, количеството, т.нар. отклонението е коригирано. Факт е, че стойността на дисперсията на извадката дава подценени стойности по отношение на действителната дисперсия, следователно, с малки проби (n< 30) необходимо применять исправленную дисперсию и среднеквадратическое отклонение :

или

2. Извадково и коригирано стандартно отклонение (σ, s)е корен квадратен от дисперсията. Размерността на стандартното отклонение, за разлика от размерността на дисперсията, съвпада с единиците за измерване на експерименталните данни, поради което се използва главно за характеризиране на дисперсията на изследваната характеристика.

Нека представим изчислението на дисперсията (Таблица 5) за пример 1.

Таблица 5

Изчисления на междинна дисперсия

Дисперсията за клъстерираните примерни данни е:

Стандартното отклонение е съответно равно на:

Коригираното стандартно отклонение е:

Имайте предвид, че формулите за изчисляване на извадката и коригираните дисперсии се различават само в знаменателите. За достатъчно големи n извадката и коригираните дисперсии се различават малко, така че на практика коригираната дисперсия се използва, ако n< 30 .

3. Коефициент на вариация (v)– е относителна мярка на дисперсията на характеристика, използвана като индикатор за хомогенността на извадковите наблюдения (Таблица 6).

Коефициентът на вариация е отношението на стандартното отклонение към средноаритметичното, изразено като процент. В допълнение, коефициентът на вариация често се използва при сравняване (сравняване) на степента на вариация на различни характеристики, изразени в различни мерни единици.

За да се определи естеството на дисперсията, безразмерният коефициент на вариация v се изчислява по формулата:

,

където σ – стандартно отклонение;

Средно аритметично на извадкови данни.

Министерство на образованието и науката на Руската федерация

Държавна образователна институция за висше професионално образование

"МАТИ" - Руски държавен технологичен университет на името на К. Е. Циолковски

Катедра "Технология на производството на авиационни двигатели"

Лабораторен семинар

MATLAB. Урок 2

СТАТИСТИЧЕСКИ АНАЛИЗ НА ЕКСПЕРИМЕНТАЛНИ ДАННИ

съставен от:

Курицина В.В.

Москва 2011 г

ВЪВЕДЕНИЕ

В арсенала от инструменти, които съвременният експериментатор трябва да притежава, статистическите методи за обработка и анализ на данни заемат специално място. Това се дължи на факта, че резултатът от всеки достатъчно сложен експеримент не може да бъде получен без обработка на експерименталните данни.

Апаратът на теорията на вероятностите и математическата статистика е разработен и използван за описание на моделите, присъщи на масовите случайни събития. Всяко случайно събитие е свързано със съответната случайна променлива (в този случай резултатът от експеримента).

Следните характеристики се използват за описание на случайни променливи:

а) числови характеристикислучайна променлива (например математическо очакване, дисперсия, ...);

б) разпределителен законслучайна променлива – функция, която носи цялата информация за случайната променлива.

Числените характеристики и параметри на закона за разпределение на случайна променлива са свързани помежду си чрез определена зависимост. Често, въз основа на стойността на числените характеристики, може да се приеме законът за разпределение на случайна променлива.

Закон за разпределение на случайна величина обикновено се нарича функция на разпределение на вероятността на случайна променлива, приемаща определена стойност. Това е функция, която свързва възможните интервални стойности на случайна променлива с вероятността тя да попадне в тези интервали.

ХАРАКТЕРИСТИКИ НА СЛУЧАЙНИТЕ ВЕЛИЧИНИ

Характеристики на положението на центъра на групиране на случайни величини

Като числени характеристики на позицията на центъра на групиране на случайни величини се използват математическото очакване или средната стойност, модата и медианата на случайната величина (фиг. 3.1.).

Очаквана стойностслучайната променлива Y се означава с M Y или a и се определя по формулата:

a = MY = ∫ Yϕ (Y ) dY .

Математическото очакване показва позицията на центъра на групиране на случайни променливи или позицията на центъра на масата на площта под кривата. Математическото очакване е числена характеристика на случайна променлива, т.е. това е един от параметрите на функцията на разпределение.

ϕ (Y ϕ (Y)макс

Ориз. 3.1. Групиращи характеристики на случайната променлива X

Режимът на случайна променлива Y е стойността Mo Y, в която плътността на вероятността има максимална стойност.

Медианата на произволно Y е стойността Me Y, която съответства на условието:

P(Y< МеY ) = P (Y >MeY) = 0,5.

Геометрично медианата представлява абсцисата на точките на линията, която разделя наполовина областта, оградена от кривата на плътност на вероятностите.

Характеристики на разсейване на случайна величина

Една от основните характеристики на разсейването на случайна променлива Y около центъра на разпределението е дисперсията, която се обозначава с D(Y) или σ 2 и се определя по формулата:

D(Y ) = σ 2 = ∫ (Y − a) 2 ϕ (Y ) dY .

Дисперсията има размерността на квадрата на случайна променлива, което не винаги е удобно. Често, вместо дисперсия, положителна стойност на квадратния корен от дисперсията се използва като мярка за дисперсията на случайна променлива, която се нарича стандартно отклонениеили стандартно отклонение:

σ = D (Y) = σ 2.

Подобно на дисперсията, стандартното отклонение характеризира разпространението на стойност около математическото очакване.

На практика дисперсионната характеристика т.нар коефициент на вариацияν, което представлява отношението на стандартното отклонение към математическото очакване:

ν = σ a 100% .

Коефициентът на вариация показва колко голяма е дисперсията в сравнение със средната стойност на случайната променлива.

Характеристики на извадката за наблюдение

Средна стойностнаблюдаваната характеристика може да се оцени с помощта на формулата

Y = 1 ∑ n Y i ,

n i = 1

където Yi е стойността на атрибута в i-тото наблюдение (експеримент), i=1...n. ; n – брой наблюдения.

Примерно стандартно отклонение определя се по формулата:

ν = Y S .

Познавайки коефициента на вариация ν, можете да определите индикатора за точност H по формулата:

H = νn.

Колкото по-точно е проведено изследването, толкова по-ниска ще бъде стойността на индикатора.

В зависимост от естеството на изследваното явление, точността на изследването се счита за достатъчна, ако не надвишава 3÷5%.

Не е необичайно за груба грешка. Има няколко начина за оценка на грубите грешки. Най-простият се основава на изчислението максимално относително отклонение U. За да направите това, резултатите от измерването се подреждат в поредица от монотонно нарастващи стойности. Най-малкият Y min или най-големият Y max член на серията подлежи на проверка за груба грешка. Изчислението се извършва по формулите:

Стойността U се сравнява с табличната стойност за дадена доверителна вероятност U α. Ако U ≤ U α, тогава няма груба грешка в това наблюдение. В противен случай резултатът от наблюдението се елиминира и

преизчислете Y и S. След това процедурата за оценка и елиминиране на грубите грешки се повтаря, докато се изпълни неравенството U ≤ U α за крайните членове на редицата.

В много случаи резултатите от статистическите наблюдения могат да бъдат описани теоретични закони за разпределение. При интерпретиране на данни, получени експериментално, възниква задачата - да се определи теоретичният закон на разпределение на случайна променлива, който най-добре съответства на резултатите от наблюдението. По-конкретно, тази задача се свежда до проверка на хипотезата, че произволна извадка принадлежи към определен закон на разпределение.

Анализираните процеси, които са различни по природа, определят областите на приложение на различни закони на разпределение. По този начин резултатът от технологичен експеримент при едни и същи условия на обработка се подчинява на напълно различни закони, а резултатът от експеримент за хвърляне на монета с глави и опашки е подчинен на напълно различни закони. Законите за разпределение на случайните променливи на характеристиките на надеждност и повреди също имат свои собствени особености.

ДА СЕ основни статистически характеристикисерия от измервания (вариационна серия) включва характеристики на позицията (средни характеристики,или централна тенденция на извадката); характеристики на разсейване (вариации или колебания) И х характеристики на формата разпределения.

ДА СЕ характеристики на позициятаотнасят се средноаритметично (средна стойност), модаИ Медиана.

ДА СЕ характеристики на разсейване (вариации или колебания) отнасят се: диапазон на вариация, дисперсия, среден квадрат (стандартен) отклонение, средноаритметична грешка (средна грешка), коефициентът на вариацияи т.н.

Към характеристиките на форматаотнасят се коефициент на изкривяване, мярка на изкривяване и ексцес.

Характеристики на позицията

Средноаритметично– една от основните характеристики на извадката.

Тя, подобно на други числени характеристики на извадката, може да се изчисли както от сурови първични данни, така и от резултатите от групирането на тези данни.

Точността на изчислението върху необработените данни е по-висока, но процесът на изчисление се оказва трудоемък при голям размер на извадката.

За негрупирани данни средноаритметичната стойност се определя по формулата:

Където н- размер на извадката, х 1 , х 2 , ... х n - резултатите от измерването.

За групирани данни:

Където н- размер на извадката, к– брой интервали на групиране, n i– интервални честоти, x i– средни стойности на интервалите.

Мода

Определение 1. Мода - най-често срещаната стойност в примерните данни. Определен мои се определя по формулата:

където е долната граница на модалния интервал, е ширината на групиращия интервал, е честотата на модалния интервал, е честотата на интервала, предхождащ модалния, е честотата на интервала, следващ модалния.

Определение 2. Мода Mo дискретна случайна променливанейната най-вероятна стойност се нарича.

Геометрично модата може да се интерпретира като абсцисата на максималната точка на кривата на разпределение.Има бимодален И мултимодален разпределения. Има разпределения, които имат минимум, но нямат максимум. Такива разпределения се наричат антимодални .

Определение. Модален интервал Извиква се интервалът на групиране с най-висока честота.

Медиана

Определение. Медиана - резултатът от измерването, който е в средата на класираната серия, с други думи, медианата е стойността на атрибута х, когато едната половина от стойностите на експерименталните данни е по-малка от нея, а втората половина е по-голяма, се обозначава мех.

Когато размерът на извадката н- четен брой, т.е. има четен брой резултати от измерване, тогава за определяне на медианата се изчислява средната стойност на два примерни показателя, разположени в средата на класираната серия.

За данни, групирани в интервали, медианата се определя по формулата:

,

където е долната граница на средния интервал; ширина на интервала на групиране, 0,5 н– половината от обема на пробата, – честота на средния интервал, – натрупана честота на интервала, предшестващ медианата.

Определение. Среден интервал е интервалът, в който натрупаната честота за първи път се оказва повече от половината от обема на извадката ( н/ 2) или натрупаната честота ще бъде по-голяма от 0,5.

Числените стойности на средната, модата и медианата се различават, когато има асиметрична форма на емпиричното разпределение.

Дисперсионни характеристики на резултатите от измерването

За математически и статистически анализ на резултатите от пробите, познаването само на характеристиките на позицията не е достатъчно. Същата средна стойност може да характеризира напълно различни проби.

Затова освен тях статистиката също отчита характеристики на разсейване (вариации, или флуктуации ) резултати.

Диапазон на вариация

Определение. В обхват вариацията е разликата между най-големите и най-малките резултати от пробата, означена с Ри се определя

Р=хмакс - хмин.

Информационната стойност на този показател е малка, въпреки че с малки размери на извадката е лесно да се оцени разликата между най-добрите и най-лошите резултати на спортистите.

дисперсия

Определение. Дисперсия се нарича среден квадрат на отклонението на характерните стойности от средната аритметична стойност.

За негрупирани данни дисперсията се определя по формулата

s 2 = , (1)

Където X i– стойността на атрибута, е средно аритметично.

За данни, групирани в интервали, дисперсията се определя по формулата

,

Където x i- средна стойност азинтервал на групиране, n i– интервални честоти.

За да се опростят изчисленията и да се избегнат грешки в изчисленията при закръгляване на резултатите (особено при увеличаване на размера на извадката), се използват и други формули за определяне на дисперсията. Ако средната аритметична стойност вече е изчислена, тогава се използва следната формула за негрупирани данни:

за групирани данни:

.

Тези формули се получават от предишните чрез разкриване на квадрата на разликата под знака на сумата.

Дисперсията на случайна променлива характеризира нейното разпространение спрямо точката на математическото очакване. Тъй като разсейването на елементи от спектъра на случайна променлива се случва от двете страни на центъра на разсейване, за да се вземе предвид, се използват или четни степени на централни моменти, или абсолютни централни моменти. Достатъчно е да разгледаме централния момент от втори ред м 2и абсолютния централен момент от първи ред т 1. Първият се нарича дисперсия и второ - средно отклонение . Нека ги проучим по-подробно.

дисперсияслучайна величина хима няколко обозначения:

– DSV;

Д( х) = = m 2 = д( 2) = (59)

– НСВ,

Оператор на дисперсия д има следните свойства:

1) д(° С) = 0

2) д(CX) = ° С 2 · д(х) . (60)

3) д(° С+х) = д(х)

Ситуацията с доказателството на свойствата на дисперсионния оператор е подобна на тази, отбелязана за оператора на математическото очакване. Нека се спрем на физическия смисъл на тези свойства.

Първи имотказва, че постоянната стойност няма разпространение. Не е необходим коментар.

При промяна на мащаба по оста x ( втори имот ), новата стойност на дисперсията се получава от старата чрез умножаване на последната по квадрата на мащабния фактор.

Трети имотдисперсията е тази при преместване на началото на координатите с количество ° Спо абсцисната ос дисперсията на случайната променлива не се променя, тъй като центрирането компенсира прехвърлянето.

Комбинацията от тези свойства изразява реакцията на дисперсионния оператор към линейна трансформация на случайна променлива х :

Д( ° С 1 + ° С 2 ∙ х) = ° С 2 2 ∙ д(х) . (61)

От дефиницията на дисперсията следва, че нейната размерност е равна на квадрата на размерността на случайната величина, която тя характеризира. Това не винаги е лесно за разбиране. Например, ако кажем, че някакво разстояние С= 567.89 m, и неговата дисперсия д(С) = 9∙10 -4 m 2, тогава сравнението на тези количества има различни размери , не дава представа за точността на измерванията. Този факт допринесе за използването на друг показател като характеристика на дисперсията - стандартен .

Стандартенили стандартно отклонение (RMS) представлява положителна стойност корен квадратен от дисперсията и характеризира разпространение на SW спрямо неговия център на дисперсия в същите единици, в които е изразена самата случайна променлива:

(62)

Свойствата на стандарта се определят от свойствата на дисперсията:

1) с ° С = 0

2) с CX = ° С·с х (63)

3) с ° С + х= s х

Ако сега характеризираме предварително даденото разстояние S=567,89мстандартен s S =3*10 -2 m, тогава нашата представа за точността на това разстояние ще бъде адекватна.

Средно отклонениее абсолютният централен момент от първи ред на случайната променлива х , означен с буквата ϑ х и изчислено по дефиниция (58) при r = 1 :

– DSV;

ϑ х= τ 1 = д(| |)= (64)

– НСВ.

Имоти средно отклонение подобни на свойствата на стандарта (проверете това качество Упражнения 2.1):

1) ϑ х = 0

2)ϑ CX = |° С|·ϑ X (65)

3) ϑ ° С + х = ϑ х

2.2.6 Примери за едномерни разпределения.

Нека разгледаме законите за разпределение на някои дискретни и непрекъснати случайни променливи, които играят важна роля в теорията и практиката.

Индикатор за събитие.

Индикатор за събитие Аз А представлява специален случай на тестовете на Бернули. Това е вземане на дискретна случайна променлива само две възможни стойности 0 И 1 с вероятности ( 1 – стр ) И стр съответно. Тук стр = П(А) – вероятност за настъпване на събитие А , описан на някакво място У. Нека разгледаме всички характеристики, въведени по-горе за тази случайна променлива като пример и с цел да ги използваме при изучаване на по-сложни закони.

дадени:х = Аз А = {х 1 = 0; х 2 = 1} ; П(х 1) = П(Ā ) = 1 – стр =р ; П(х 2) = П(А) = стр.

намирам: 1) Е(Аз А) – ? 2) д(Аз А) – ? 3) д(Аз А) – ? 4) с аз – ?

Решение:

1) Ще поставим функцията на разпределение в разширената таблица на серията на разпределение, както е предложено в (44):

Определяме числените характеристики с помощта на формули (51), (59) и (62):

2)д(Аз А) = 0∙р + 1∙стр = стр ;

3)д(Аз А) = =a 2 - = 0 2 ∙ р+1 2 ∙стр – стр 2 = стр∙(1 – стр) = pq ;

4) = .

Индикаторът за събитие се използва при изследване на повтарящи се опити и решаване на други проблеми като спомагателна случайна променлива.

2.2.6.2 Равномерно разпределение.

Като илюстрация за обяснение на материала в този раздел 2.2 за непрекъснати случайни променливи, ние изучаваме непрекъснато равномерно разпределение на някакъв сегмент [ а; b ]. Разпределението се нарича униформа на сегмент, ако е така плътност вероятности постоянен на този сегмент и е равно на нула извън него. Нека си представим изучаването на това разпределение под формата на решаване на задача.

дадени: f(х) = ° С , [а; b] ; f(х) = 0 извън този сегмент.

намирам: 1 ) постоянна плътност на разпределение ° С – ?, 2 ) Е(х) – ?, 3 )д(х) – ?, 4 ) Мо( х) – ?, 5 ) аз( х) – ?, 6 ) д(х) – ?, 7 ) с х – ?, 8 ) ϑ х – ?, 9 )П(х 1 <х<х 2) – ?

Решение: Изпълнете себе си като Упражнения 2.2.

Отговори: 1 ) ° С = 1 / (b – а) ; 2 ) Е(х) = (х – а) / (b – а) ; 3 ) д(х) = (а + b)/2 ;

4 ) Мо( х) - неопределен; 5 ) аз( х) = д(х) ; 6 ) д(х) = (b – а) 2 / 12 ;

7 ) с х = (b – а) /() ;8 ) ϑ х = (b – а) / 4 ; 9 ) П(х 1 < х < х 2) = (х 2 – х 1)/(b – а) , Кога ]х 1 ; х 2 [ [а;b] .

Графиките на плътността и равномерното разпределение на функциите са представени на следващите фигури ( Фиг.19И 20 ).

f(х) Е(х)

° С

С=1 ° С=1/

0 един Е(х) b X 0 един Е(х) b X

Ориз. 2.19 Плътност на равномерното Фиг. 2.20 Униформена функция