Функционални нулиса стойностите на аргумента, при които функцията е равна на нула.

За да намерите нулите на функцията, дадена с формулата y=f(x), трябва да решите уравнението f(x)=0.

Ако уравнението няма корени, функцията няма нули.

Примери.

1) Намерете нулите на линейната функция y=3x+15.

За да намерите нулите на функцията, решете уравнението 3x+15=0.

Така нулата на функцията y=3x+15 е x= -5.

Отговор: x= -5.

2) Намерете нулите на квадратичната функция f(x)=x²-7x+12.

За да намерите нулите на функцията, решете квадратното уравнение

Нейните корени x1=3 и x2=4 са нули на тази функция.

Отговор: x=3; х=4.

Инструкции

1. Нулата на функция е стойността на аргумента x, при която стойността на функцията е равна на нула. Обаче само тези аргументи, които са в обхвата на дефиницията на изследваната функция, могат да бъдат нули. Тоест има много стойности, за които функцията f(x) е полезна. 2. Запишете дадената функция и я приравнете на нула, да кажем f(x) = 2x?+5x+2 = 0. Решете полученото уравнение и намерете реалните му корени. Корените на квадратно уравнение се изчисляват с подкрепа за намиране на дискриминанта. 2x?+5x+2 = 0;D = b?-4ac = 5?-4*2*2 = 9;x1 = (-b+?D)/2*a = (-5+3)/2*2 = -0,5;x2 = (-b-?D)/2*a = (-5-3)/2*2 = -2. Така в този случай се получават два корена на квадратното уравнение, съответстващи на аргументи на началната функция f(x). 3. Проверете всички открити x стойности за принадлежност към домейна на дефиниране на дадената функция. Разберете OOF, за да направите това, проверете първоначалния израз за наличие на четни корени от формата?f (x), за наличие на дроби във функцията с аргумент в знаменателя, за наличие на логаритмични или тригонометрични изрази. 4. Когато разглеждате функция с израз под корен от четна степен, вземете като област на дефиниция всички аргументи x, чиито стойности не превръщат радикалния израз в отрицателно число (напротив, функцията прави няма смисъл). Проверете дали откритите нули на функцията попадат в определен диапазон от приемливи x стойности. 5. Знаменателят на дробта не може да стигне до нула; следователно изключете тези аргументи x, които водят до такъв резултат. За логаритмични количества трябва да се вземат предвид само тези стойности на аргумента, за които самият израз е по-голям от нула. Нулите на функцията, които превръщат сублогаритмичния израз в нула или отрицателно число, трябва да бъдат изхвърлени от крайния резултат. Забележка!При намиране на корените на уравнение може да се появят допълнителни корени. Това се проверява лесно: просто заменете получената стойност на аргумента във функцията и се уверете дали функцията се превръща в нула. Полезен съветПонякога функцията не е изразена по очевиден начин чрез нейния аргумент, тогава е лесно да разберете каква е тази функция. Пример за това е уравнението на окръжност.

Функционални нулиИзвиква се стойността на абсцисата, при която стойността на функцията е равна на нула.

Ако функцията е дадена чрез нейното уравнение, тогава нулите на функцията ще бъдат решенията на уравнението. Ако е дадена графика на функция, тогава нулите на функцията са стойностите, при които графиката пресича оста x.

2. Намерете нулите на функцията.

f(x) при x .

Отговор f(x) при x .

2) x 2 >-4x-5;

x 2 +4x +5>0;

Нека f(x)=x 2 +4x +5 тогава Нека намерим такова x, за което f(x)>0,

D=-4 Без нули.

4. Системи от неравенства. Неравенства и системи от неравенства с две променливи

1) Множеството от решения на система от неравенства е пресечната точка на множествата от решения на неравенствата, включени в нея.

2) Множеството от решения на неравенството f(x;y)>0 може да се изобрази графично върху координатната равнина. Обикновено правата, определена от уравнението f(x;y) = 0, разделя равнината на 2 части, едната от които е решението на неравенството. За да определите коя част, трябва да замените координатите на произволна точка M(x0;y0), която не лежи на правата f(x;y)=0 в неравенството. Ако f(x0;y0) > 0, тогава решението на неравенството е частта от равнината, съдържаща точката M0. ако f(x0;y0)<0, то другая часть плоскости.

3) Множеството от решения на система от неравенства е пресечната точка на множествата от решения на неравенствата, включени в нея. Нека например ни е дадена система от неравенства:

.

За първото неравенство наборът от решения е окръжност с радиус 2 и център в началото, а за второто е полуравнина, разположена над правата линия 2x+3y=0. Множеството от решения на тази система е пресечната точка на тези множества, т.е. полукръг.

4) Пример. Решете системата от неравенства:

Решението на първото неравенство е множеството , второто е множеството (2;7) и третото е множеството .

Пресечната точка на тези множества е интервалът (2;3], който е множеството от решения на системата от неравенства.

5. Решаване на рационални неравенства по интервалния метод

Методът на интервалите се основава на следното свойство на бинома (x-a): точката x = α разделя числовата ос на две части - вдясно от точката α биномът (x-α)>0, а към вляво от точката α (x-α)<0.

Нека е необходимо да се реши неравенството (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0, където α 1, α 2 ...α n-1, α n са фиксирани числа, сред които няма равни и такива, че α 1< α 2 <...< α n-1 < α n . Для решения неравенства (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n)>0 с помощта на интервалния метод се процедира по следния начин: числата α 1, α 2 ...α n-1, α n се нанасят върху числената ос; в интервала вдясно от най-големия от тях, т.е. числа α n, поставете знак плюс, в интервала след него отдясно наляво поставете знак минус, след това знак плюс, след това знак минус и т.н. Тогава множеството от всички решения на неравенството (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0 ще бъде обединението на всички интервали, в които е поставен знакът плюс, и множеството на решенията на неравенството (x-α 1 )(x-α 2)...(x‑α n)<0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».

1) Решаване на рационални неравенства (т.е. неравенства от вида P(x) Q(x) където са полиноми) се основава на следното свойство на непрекъсната функция: ако непрекъсната функция изчезва в точки x1 и x2 (x1; x2) и няма други корени между тези точки, тогава в интервали (x1; x2) функцията запазва знака си.

Следователно, за да намерите интервали с постоянен знак на функцията y=f(x) на числовата ос, маркирайте всички точки, в които функцията f(x) изчезва или претърпява прекъсване. Тези точки разделят числовата права на няколко интервала, във всеки от които функцията f(x) е непрекъсната и не се занулява, т.е. запазва знака. За да се определи този знак, достатъчно е да се намери знакът на функцията във всяка точка от разглеждания интервал на числовата линия.

2) Да се ​​определят интервали с постоянен знак на рационална функция, т.е. За да решим рационално неравенство, отбелязваме върху числовата ос корените на числителя и корените на знаменателя, които също са корените и точките на прекъсване на рационалната функция.

Решаване на неравенства по интервалния метод

3. < 20.

Решение. Диапазонът на допустимите стойности се определя от системата от неравенства:

За функцията f(x) = – 20. Намерете f(x):

откъдето x = 29 и x = 13.

f(30) = – 20 = 0,3 > 0,

f(5) = – 1 – 20 = – 10< 0.

Отговор: . Основни методи за решаване на рационални уравнения. 1) Най-простият: решава се чрез обичайните опростявания - редуциране до общ знаменател, редуциране на подобни членове и т.н. Квадратните уравнения ax2 + bx + c = 0 се решават чрез...

X се променя на интервала (0,1] и намалява на интервала = ½ [
-(1/3)
], с | z|< 1.

б) f(z) = - ½ [
+
] = - (
), на 1< |z| < 3.

с) f(z) = ½ [
]= - ½ [
] =

= - ½ = -
, с |2 - z| < 1

Това е кръг с радиус 1 с център z = 2 .

В някои случаи степенните редове могат да бъдат сведени до набор от геометрични прогресии и след това е лесно да се определи областта на тяхната конвергенция.

и т.н. Изследвайте сходимостта на редицата

. . . + + + + 1 + () + () 2 + () 3 + . . .

Решение. Това е сумата от две геометрични прогресии с р 1 = , р 2 = () . От условията на тяхната конвергенция следва < 1 , < 1 или |z| > 1 , |z| < 2 , т.е. область сходимости ряда кольцо 1 < |z| < 2 .

Какво представляват функционалните нули? Отговорът е много прост - това е математически термин, който означава областта на дефиниране на дадена функция, в която нейната стойност е нула. Функционалните нули също се наричат. Най-лесният начин да обясните какво представляват нулите на функцията е с няколко прости примера.

Примери

Нека разгледаме простото уравнение y=x+3. Тъй като нулата на функция е стойността на аргумента, при който y е придобил нулева стойност, ние заместваме 0 в лявата страна на уравнението:

В този случай -3 е желаната нула. За дадена функция има само един корен на уравнението, но това не винаги е така.

Нека да разгледаме друг пример:

Нека заместим 0 в лявата страна на уравнението, както в предишния пример:

Очевидно в този случай ще има две нули на функцията: x=3 и x=-3. Ако уравнението имаше аргумент от трета степен, щеше да има три нули. Може да се направи просто заключение, че броят на корените на полинома съответства на максималната степен на аргумента в уравнението. Много функции обаче, например y = x 3, на пръв поглед противоречат на това твърдение. Логиката и здравият разум диктуват, че тази функция има само една нула - в точката x=0. Но всъщност има три корена, те просто всички съвпадат. Ако решите уравнението в сложна форма, това става очевидно. x=0 в този случай, корен, чиято кратност е 3. В предишния пример нулите не съвпадаха, следователно имаха кратност 1.

Алгоритъм за определяне

От представените примери можете да видите как се определят нулите на функция. Алгоритъмът винаги е един и същ:

1. Напишете функция.
2. Заместете y или f(x)=0.
3. Решете полученото уравнение.

Трудността на последната точка зависи от степента на аргумента на уравнението. Когато решавате уравнения с високи степени, особено важно е да запомните, че броят на корените на уравнението е равен на максималната степен на аргумента. Това е особено вярно за тригонометричните уравнения, където разделянето на двете страни на синус или косинус води до загуба на корени.

Уравненията с произволна степен са най-лесни за решаване с помощта на метода на Хорнер, който е разработен специално за намиране на нулите на произволен полином.

Стойността на нулите на функциите може да бъде отрицателна или положителна, реална или в комплексна равнина, единична или множествена. Или може да няма корени на уравнението. Например функцията y=8 няма да придобие нулева стойност за нито едно x, защото не зависи от тази променлива.

Уравнението y=x 2 -16 има два корена и двата лежат в комплексната равнина: x 1 =4i, x 2 =-4i.

Често допускани грешки

Често срещана грешка, допускана от ученици, които все още не са разбрали напълно какво представляват нулите на дадена функция, е замяната на аргумента (x) с нула, а не със стойността (y) на функцията. Те уверено заместват x=0 в уравнението и въз основа на това намират y. Но това е грешен подход.

Друга грешка, както вече беше споменато, е намаляването със синус или косинус в тригонометрично уравнение, поради което се губят една или повече нули от функцията. Това не означава, че нищо не може да бъде намалено в такива уравнения, но при по-нататъшни изчисления е необходимо да се вземат предвид тези „загубени“ фактори.

Графично представяне

Можете да разберете какво представляват нулите на дадена функция с помощта на математически програми като Maple. В него можете да изградите графика, като посочите желания брой точки и желания мащаб. Тези точки, в които графиката пресича оста OX, са желаните нули. Това е един от най-бързите начини за намиране на корените на полином, особено ако редът му е по-висок от трети. Така че, ако има нужда от редовно извършване на математически изчисления, намиране на корените на полиноми с произволни степени, изграждане на графики, Maple или подобна програма ще бъде просто незаменима за извършване и проверка на изчисления.