Наскоро научих за такива интересни обекти от математическия свят като фрактали. Но те съществуват не само в математиката. Те ни заобикалят навсякъде. Фракталите са естествени. Ще говоря за това какво представляват фракталите, за видовете фрактали, примери за тези обекти и тяхното приложение в тази статия. Като начало ще ви разкажа накратко какво е фрактал.

Фрактал (лат. Fractus - смачкан, счупен, счупен) е сложна геометрична фигура със свойството на самоподобност, тоест съставена от няколко части, всяка от които е подобна на цялата фигура като цяло. В по -широк смисъл фракталите се разбират като множество от точки в евклидовото пространство, които имат дробно метрично измерение (по смисъла на Минковски или Хаусдорф) или метрично измерение, различно от топологично. Като пример ще вмъкна снимка на четири различни фрактала.

Ще ви разкажа малко за историята на фракталите. Концепциите за фрактална и фрактална геометрия, които се появяват в края на 70-те години, са станали част от ежедневието на математиците и програмистите от средата на 80-те години. Думата "фрактал" е въведена от Беноа Манделброт през 1975 г., за да се отнася до неправилните, но подобни на себе си структури, върху които той е работил. Раждането на фракталната геометрия обикновено се свързва с публикуването през 1977 г. на книгата на Манделброт „Фракталната геометрия на природата“. Неговите творби използват научните резултати на други учени, работили в периода 1875-1925 г. в същата област (Поанкаре, Фату, Юлия, Кантор, Хаусдорф). Но само в наше време беше възможно да се комбинира работата им в една система.

Има много примери за фрактали, защото, както казах, те ни заобикалят навсякъде. Според мен дори цялата ни Вселена е един огромен фрактал. В крайна сметка всичко в нея, от структурата на атома до структурата на самата Вселена, се повтаря точно. Но, разбира се, има и по -конкретни примери за фрактали от различни области. Фракталите например присъстват в сложна динамика. Те са там се появяват естествено при изучаването на нелинейни динамични системи... Най -изученият случай е, когато динамична система е зададена чрез итерации на полином или холоморфна функция от комплекс от променливина повърхността. Някои от най -известните фрактали от този вид са множеството Джулия, множеството Манделброт и басейните на Нютон. По -долу, по ред, снимките показват всеки от горните фрактали.

Друг пример за фрактали са фракталните криви. Най -добре е да се обясни как да се изгради фрактал, като се използва примерът на фрактални криви. Една от тези криви е така наречената снежинка Кох. Има един простпроцедура за получаване на фрактални криви на равнина. Нека определим произволна полилиния с краен брой връзки, наречена генератор. След това заместваме всеки сегмент в него с генератор (по -точно, прекъсната линия, подобна на генератор). В получената прекъсната линия отново заменете всеки сегмент с генератор. Продължавайки до безкрайност, в границата получаваме фрактална крива. Снежинката (или кривата) на Кох е показана по -долу.

Има и огромно разнообразие от фрактални криви. Най -известните от тях са споменатата вече снежинка Кох, както и кривата на Леви, кривата на Минковски, счупената крива на Дракона, кривата на пианото и питагорейското дърво. Образът на тези фрактали и тяхната история, мисля, ако желаете, лесно можете да намерите в Уикипедия.

Третият пример или тип фрактали са стохастични фрактали. Тези фрактали включват траекторията на броуновско движение на равнината и в космоса, еволюцията на Шрам-Лоунер, различни видове рандомизирани фрактали, тоест фрактали, получени с помощта на рекурсивна процедура, в която на всяка стъпка се въвежда случаен параметър.

Има и чисто математически фрактали. Това са например наборът Кантор, гъбата Менгер, триъгълникът Сиерпински и др.

Но може би най -интересните фрактали са естествените. Естествените фрактали са обекти в природата, които имат фрактални свойства. И тук списъкът вече е дълъг. Няма да изброявам всичко, защото вероятно не мога да изброя всички, но ще ви разкажа за някои. Например в природата такива фрактали включват нашата кръвоносна система и белите дробове. А също и короните и листата на дърветата. Той включва също морски звезди, морски таралежи, корали, морски черупки, някои растения като зеле или броколи. Няколко такива естествени фрактала от дивата природа са ясно показани по -долу.

Ако вземем предвид неживата природа, тогава има много по -интересни примери, отколкото в живата природа. Светкавици, снежинки, облаци, добре познати на всички, шарки на прозорци в мразовити дни, кристали, планински вериги - всичко това са примери за естествени фрактали от неживата природа.

Разгледахме примери и видове фрактали. Що се отнася до използването на фрактали, те се използват в различни области на знанието. Във физиката фракталите естествено възникват при моделиране на нелинейни процеси, като турбулентен флуиден поток, сложни дифузионно-адсорбционни процеси, пламъци, облаци и пр. Фракталите се използват при моделиране на порести материали, например в нефтохимията. В биологията те се използват за моделиране на популации и за описание на системите на вътрешните органи (системата на кръвоносните съдове). След създаването на кривата на Кох беше предложено да се използва при изчисляване на дължината на бреговата линия. Фракталите се използват активно и в радиотехниката, в информатиката и компютърните технологии, телекомуникациите и дори икономиката. И, разбира се, фракталната визия се използва активно в съвременното изкуство и архитектура. Ето един пример за фрактални картини:

И така, с това мисля да завърша разказа си за такъв необичаен математически феномен като фрактал. Днес научихме за това какво е фрактал, как се появи, за видовете и примерите на фракталите. Аз също говорих за тяхното приложение и демонстрирах визуално някои от фракталите. Надявам се да ви хареса тази кратка екскурзия в света на невероятни и хипнотизиращи фрактални обекти.

Най -блестящите открития в науката могат коренно да променят човешкия живот. Изобретената ваксина може да спаси милиони хора, създаването на оръжия, напротив, отнема тези животи. Съвсем наскоро (в мащаба на човешката еволюция) се научихме да „опитомяваме“ електричеството - и сега не можем да си представим живота без всички тези удобни устройства, които използват електричество. Но има и такива открития, на които малко хора придават значение, макар че те също оказват силно влияние върху живота ни.

Едно от тези „невидими“ открития са фракталите. Вероятно сте чували тази закачлива дума, но знаете ли какво означава тя и колко интересни неща се крият в този термин?

Всеки човек има естествено любопитство, желание да опознава света около себе си. И в този стремеж човек се опитва да се придържа към логиката в своите преценки. Анализирайки процесите, протичащи около него, той се опитва да намери последователността на случващото се и да изведе известна закономерност. Най -големите умове на планетата са заети с тази задача. Грубо казано, учените търсят модел, където не би трябвало да бъде. Въпреки това, дори в хаос, можете да намерите връзка между събитията. И тази връзка е фрактал.

Нашата малка дъщеря, на четири години и половина, сега е на онази прекрасна възраст, когато броят на въпросите „Защо?“ е в пъти по -голям от броя на отговорите, които възрастните имат време да дадат. Не толкова отдавна, разглеждайки клон, повдигнат от земята, внезапно дъщеря ми забеляза, че този клон, с клонки и клони, сам по себе си прилича на дърво. И, разбира се, последва обичайният въпрос „Защо?”, На който родителите трябваше да потърсят просто обяснение, което детето може да разбере.

Приликата на единичен клон с цяло дърво, открито от дете, е много точно наблюдение, което за пореден път свидетелства за принципа на рекурсивно самоподобство в природата. Много органични и неорганични форми в природата се образуват по подобен начин. Облаци, морски черупки, „къща“ на охлюв, кора и корона на дървета, кръвоносна система и така нататък - случайните форми на всички тези обекти могат да бъдат описани чрез фрактален алгоритъм.

No Беноа Манделброт: бащата на фракталната геометрия

Самата дума "фрактал" се появи благодарение на гениалния учен Беноа Б. Манделброт.

Той е въвел самия термин през седемдесетте години на миналия век, заимствайки думата fractus от латински, където буквално означава „счупен“ или „смачкан“. Какво е? Днес думата "фрактал" най -често се използва за означаване на графично представяне на структура, която е подобна на себе си в по -голям мащаб.

Математическата основа за появата на теорията за фракталите е положена много години преди раждането на Беноа Манделброт, но тя може да се развие едва с появата на изчислителни устройства. В началото на научната си кариера Беноа работи в изследователския център на IBM. По това време служителите на центъра са работили по предаването на данни на разстояние. В хода на изследванията учените се сблъскаха с проблема с големите загуби поради смущения от шум. Беноа беше изправен пред трудна и много важна задача - да разбере как да се предскаже появата на шумови смущения в електронните схеми, когато статистическият метод е неефективен.

Разглеждайки резултатите от измерванията на шума, Манделброт обърна внимание на един странен модел - графиките на шума в различни мащаби изглеждаха еднакви. Наблюдава се идентичен модел, независимо дали става въпрос за графика на шума за един ден, седмица или час. Беше необходимо да се промени мащаба на графиката и картината се повтаряше всеки път.

Приживе Беноа Манделброт многократно е казвал, че не се занимава с формули, а просто си играе с картинки. Този човек мислеше много образно и прехвърли всеки алгебричен проблем в областта на геометрията, където според него правилният отговор винаги е очевиден.

Не е изненадващо, че именно човек с толкова богато пространствено въображение стана бащата на фракталната геометрия. В края на краищата разбирането за същността на фракталите идва точно когато започнете да изучавате рисунки и да размишлявате върху значението на странните модели на завихряне.

Фракталната рисунка няма идентични елементи, но е сходна във всеки мащаб. Преди това беше просто невъзможно да се конструира такова изображение с висока степен на детайлност на ръка, това изискваше огромно количество изчисления. Например френският математик Пиер Жозеф Луи Фату описва този набор повече от седемдесет години преди откритието на Беноа Манделброт. Ако говорим за принципите на сходството на себе си, тогава те бяха споменати в творбите на Лайбниц и Георг Кантор.

Една от най -ранните рисунки на фрактал е графичната интерпретация на множеството Манделброт, родено от изследването на Гастън Морис Джулия.

Гастон Джулия (винаги с маска - травма от Първата световна война)

Този френски математик се чудеше как би изглеждало едно множество, ако е конструирано от проста формула, повторена чрез цикъл на обратна връзка. Ако обясним „на пръсти“, това означава, че за определено число откриваме нова стойност по формулата, след което я заместваме обратно във формулата и получаваме друга стойност. Резултатът е голяма поредица от числа.

За да получите пълна представа за такъв набор, трябва да направите огромно количество изчисления - стотици, хиляди, милиони. Просто беше нереално да го направите ръчно. Но когато на разположение на математиците се появиха мощни изчислителни устройства, те успяха да хвърлят нов поглед към формулите и изразите, които отдавна представляват интерес. Манделброт е първият, който използва компютър за изчисляване на класически фрактал. След обработка на последователност, състояща се от голям брой стойности, Беноа прехвърли резултатите в графиката. Ето какво получи.

Впоследствие това изображение е оцветено (например, един от методите за оцветяване с цвят - според броя на повторенията) и се превръща в едно от най -популярните изображения, създавани някога от човека.

Както се казва в древната поговорка, приписвана на Хераклит от Ефес: „Не можеш да влезеш два пъти в една и съща река“. Той е идеален за тълкуване на геометрията на фракталите. Без значение колко подробно разглеждаме фракталното изображение, през цялото време ще виждаме подобен модел.

Желаещите да видят как ще изглежда изображение на пространството на Манделброт при множество увеличения могат да го направят, като изтеглят анимиран GIF.

⇡ Лорън Карпентър: изкуство, направено от природата

Теорията за фракталите скоро намира практическо приложение. Тъй като е тясно свързано с изобразяването на подобни на себе си изображения, не е изненадващо, че първите, които възприемат алгоритми и принципи за конструиране на необичайни форми, са художници.

Бъдещият съосновател на легендарното студио Pixar Loren C. Carpenter се присъединява към Boeing Computer Services през 1967 г., което е едно от подразделенията на известната корпорация, занимаваща се с разработването на нови самолети.

През 1977 г. създава презентации с прототипни летящи модели. Отговорностите на Лорън включват разработването на изображения на проектирани самолети. Той трябваше да създаде снимки на нови модели, показващи бъдещи самолети от различни ъгли. В един момент бъдещият основател на Pixar Animation Studios излезе с креативна идея да използва изображение на планина като фон. Днес всеки ученик може да реши такъв проблем, но в края на седемдесетте години на миналия век компютрите не можеха да се справят с такива сложни изчисления - нямаше графични редактори, да не говорим за приложения за триизмерна графика. През 1978 г. Лорън случайно видя книгата на Беноа Манделброт „Фрактали: форма, случайност и измерение“ в магазин. В тази книга вниманието му беше привлечено от факта, че Беноа дава много примери за фрактални форми в реалния живот и твърди, че те могат да бъдат описани в математически изрази.

Тази аналогия не е избрана от математика случайно. Факт е, че веднага след като публикува изследването си, той трябваше да се изправи пред порой от критики. Основното, за което неговите колеги го упрекнаха, беше безполезността на разработваната теория. „Да“, казаха те, „това са красиви снимки, но не повече. Теорията на фракталите няма практическа стойност ”. Имаше и такива, които като цяло вярваха, че фракталните модели са просто страничен продукт от работата на „дяволските машини“, които в края на седемдесетте години на мнозина изглеждаха нещо твърде сложно и неизследвано, за да им се доверят напълно. Манделброт се опита да намери очевидно приложение на теорията за фракталите, но като цяло нямаше нужда да го прави. Последователите на Беноа Манделброт през следващите 25 години доказаха огромните ползи от това „математическо любопитство“, а Лорън Карпентър беше една от първите, които приложиха фракталния метод на практика.

След като изучава книгата, бъдещият аниматор сериозно изучава принципите на фракталната геометрия и започва да търси начин да я приложи в компютърната графика. Само за три дни работа Лорън успя да представи на компютъра си реалистично изображение на планинската система. С други думи, с помощта на формули той рисува напълно разпознаваем планински пейзаж.

Принципът, който Лорън използва за постигане на целта си, беше много прост. Той се състоеше в разделяне на по -голяма геометрична фигура на по -малки елементи, а те, от своя страна, разделяне на подобни фигури с по -малък размер.

Използвайки по -големите триъгълници, Карпентър ги раздели на четири по -малки и след това повтори тази процедура отново и отново, докато получи реалистичен планински пейзаж. Така той успява да стане първият художник, приложил фракталния алгоритъм за конструиране на изображения в компютърна графика. Веднага след като стана известно за свършената работа, ентусиасти по целия свят взеха идеята и започнаха да използват фракталния алгоритъм, за да симулират реалистични природни форми.

Една от първите 3D визуализации, използващи фрактален алгоритъм

Само няколко години по -късно Лорън Карпентър успя да приложи своите разработки в много по -голям проект. Аниматорът създаде двуминутен демонстрационен видеоклип Vol Libre, който се излъчи на Siggraph през 1980 г. Това видео шокира всички, които го видяха, а Лорън получи покана от Lucasfilm.

Анимацията беше изведена на компютър VAX-11/780 от Digital Equipment Corporation с тактова честота от пет мегагерца, а всеки кадър отне около половин час за рисуване.

Работейки за Lucasfilm Limited, аниматорът създава 3D пейзажи по същия начин за втория игрален филм от сагата Star Trek. В „Гневът на Хан“ Карпентър успя да създаде цяла планета, използвайки същия принцип на моделиране на фрактална повърхност.

В днешно време всички популярни приложения за създаване на 3D пейзажи използват подобен принцип за генериране на природни обекти. Terragen, Bryce, Vue и други 3D редактори разчитат на фрактален алгоритъм за моделиране на повърхности и текстури.

⇡ Фрактални антени: по -малко е по -добре

През последните половин век животът започна да се променя бързо. Повечето от нас приемат напредъка на съвременните технологии за даденост. Много бързо свиквате с всичко, което прави живота по -удобен. Рядко някой задава въпросите „Откъде дойде това?“ и "Как работи?" Микровълновата печка загрява закуската - добре, страхотно, смартфонът ви позволява да говорите с друг човек - страхотно. Това ни се струва очевидна възможност.

Но животът би могъл да бъде съвсем различен, ако човек не потърси обяснение за събитията, които се случват. Вземете например мобилни телефони. Помните ли прибиращите се антени на първите модели? Те се намесват, увеличават размера на устройството, в крайна сметка често се счупват. Вярваме, че те са потънали в забрава завинаги и отчасти са виновни за това ... фрактали.

Фракталните рисунки очароват със своите шарки. Те определено приличат на изображения на космически обекти - мъглявини, галактически купове и т.н. Следователно е съвсем естествено, че когато Манделброт изрази своята теория за фракталите, неговите изследвания предизвикват повишен интерес сред тези, които изучават астрономия. Един от тези аматьори на име Нейтън Коен, след като присъства на лекция на Беноа Манделброт в Будапеща, беше запален с идеята за практическо приложение на придобитите знания. Вярно, той го направи интуитивно и случайността изигра важна роля в откриването му. Като радиолюбител, Нейтън се стреми да създаде антена с възможно най -висока чувствителност.

Единственият начин да се подобрят параметрите на антената, който беше известен по това време, беше да се увеличат нейните геометрични размери. Собственикът на дом в центъра на Бостън, който Нейтън наема, беше категорично против инсталирането на големи устройства на покрива. Тогава Нейтън започна да експериментира с различни форми на антените, опитвайки се да постигне максимален резултат с минимален размер. Запален с идеята за фрактални форми, Коен, както се казва, на случаен принцип направи един от най -известните фрактали от тел - "снежинката на Кох". Шведският математик Хелге фон Кох е изобретил тази крива през 1904 г. Получава се чрез разделяне на линеен сегмент на три части и замяна на средния сегмент с равностранен триъгълник без страна, която съвпада с този сегмент. Определението е малко трудно за разбиране, но всичко е ясно и просто на фигурата.

Има и други разновидности на "кривата на Кох", но приблизителната форма на кривата остава сходна

Когато Нейтън свърза антената към радиоприемника, той беше много изненадан - чувствителността се увеличи драстично. След поредица от експерименти бъдещият професор в Бостънския университет разбра, че антената, направена от фрактална схема, има висока ефективност и обхваща много по -широк честотен диапазон от класическите решения. В допълнение, формата на антената под формата на фрактална крива може значително да намали геометричните размери. Нейтън Коен дори излезе с теорема, доказваща, че за да се създаде широколентова антена, е достатъчно да се оформи в себеподобна фрактална крива.

Авторът патентова откритието си и основава Fractal Antenna Systems, фирма за проектиране и развитие на фрактални антени, с основание вярвайки, че в бъдеще, благодарение на откритието му, мобилните телефони ще могат да се отърват от обемистите антени и да станат по -компактни.

По принцип това се случи. Вярно е, че и до днес Натан води съдебни спорове с големи корпорации, които незаконно използват откритието му за производството на компактни комуникационни устройства. Някои известни производители на мобилни устройства, като Motorola, вече са постигнали приятелско споразумение с изобретателя на фракталната антена.

⇡ Фрактални измерения: умът не може да разбере

Беноа взаимства този въпрос от известния американски учен Едуард Каснер.

Последният, подобно на много други известни математици, много обичаше да общува с деца, да им задава въпроси и да получава неочаквани отговори. Понякога това води до изненадващи последствия. Например деветгодишният племенник на Едуард Каснер изобретил добре познатата вече дума „googol“, което означава една, последвана от сто нули. Но да се върнем на фракталите. Американският математик обичаше да задава въпроса каква е дължината на бреговата линия на САЩ. След като изслуша мнението на събеседника, самият Едуард каза правилния отговор. Ако измерите дължината на картата с прекъснати линии, резултатът ще бъде неточен, тъй като крайбрежието има голям брой неравности. Какво се случва, ако го измерите възможно най -точно? Ще трябва да вземете предвид дължината на всяка нередност - ще трябва да измерите всеки нос, всеки залив, скала, дължината на скалист перваз, камък върху него, пясъчно зърно, атом и т.н. Тъй като броят на неравностите се стреми към безкрайност, измерената дължина на бреговата линия ще се увеличава до безкрайност с всяка измервана нова нередност.

Колкото по -малка е мярката, толкова по -дълга е измерената дължина

Интересното е, че следвайки подканите на Едуард, децата бяха много по -бързи да кажат правилното решение, отколкото възрастните, докато последните имаха проблеми с вземането на такъв невероятен отговор.

Използвайки този проблем като пример, Mandelbrot предложи да се използва нов подход към измерванията. Тъй като бреговата линия е близо до фрактална крива, това означава, че към нея може да се приложи характеризиращ параметър - така нареченото фрактално измерение.

Всеки може да разбере какво е обичайното измерение. Ако измерението е равно на едно, получаваме права линия, ако две - плоска фигура, три - обем. Това разбиране за размерност в математиката обаче не работи с фрактални криви, където този параметър има дробна стойност. Фракталното измерение в математиката може условно да се разглежда като "неравномерност". Колкото по -висока е грапавостта на кривата, толкова по -голям е нейният фрактален размер. Кривата, която според Манделброт има фрактално измерение по -високо от топологичното му измерение, има приблизителна дължина, която не зависи от броя на измерванията.

В днешно време учените откриват все повече области за прилагане на теорията за фракталите. С помощта на фрактали можете да анализирате колебанията в котировките на борсата, да изследвате всякакви естествени процеси, като колебания в броя на видовете, или да симулирате динамиката на потоците. Фракталните алгоритми могат да се използват за компресиране на данни, като компресиране на изображения. И между другото, за да получите красив фрактал на екрана на компютъра си, не е нужно да имате докторска степен.

⇡ Фрактал в браузъра

Може би един от най -лесните начини да получите фрактален модел е да използвате онлайн векторен редактор от талантливия млад програмист Тоби Шахман. Инструментариумът на този прост графичен редактор се основава на същия принцип на самоподобност.

На ваше разположение са само две прости форми - четириъгълник и кръг. Можете да ги добавите към платното, да мащабирате (за мащабиране по една от осите, задръжте клавиша Shift) и да завъртите. Припокриващи се съгласно принципа на булевите операции на събиране, тези най -прости елементи образуват нови, по -малко тривиални форми. След това тези нови форми могат да бъдат добавени към проекта и програмата ще повтори генерирането на тези изображения до безкрай. На всеки етап от работата по фрактал можете да се върнете към всеки компонент от сложна форма и да редактирате неговата позиция и геометрия. Забавно да се направи, особено когато смятате, че единственият инструмент, от който се нуждаете, за да проявите креативност, е браузърът. Ако не разбирате принципа на работа с този рекурсивен векторен редактор, съветваме ви да гледате видеоклипа на официалния уебсайт на проекта, който показва подробно целия процес на създаване на фрактал.

Ao XaoS: фрактали за всеки вкус

Много графични редактори имат вградени инструменти за създаване на фрактални модели. Тези инструменти обаче обикновено са вторични и не позволяват фина настройка на генерирания фрактален модел. В онези случаи, когато е необходимо да се изгради математически точен фрактал, на помощ ще дойде редакторът XaoS, който работи на различни платформи. Тази програма дава възможност не само да се изгради подобно на себе си изображение, но и да се извършват различни манипулации с него. Например в реално време можете да направите "разходка" по фрактал, като промените мащаба му. Анимираното движение по фрактал може да се запише като XAF файл и след това да се възпроизведе в самата програма.

XaoS може да зареди произволен набор от параметри, както и да използва различни филтри за последваща обработка за изображение - добавете ефект на размазано движение, плавни резки преходи между фрактални точки, симулирайте 3D картина и т.н.

⇡ Fractal Zoomer: компактен фрактален генератор

В сравнение с други генератори на изображения на фрактали, той има няколко предимства. Първо, той е с много малки размери и не изисква инсталация. Второ, той реализира възможността да дефинира цветовата палитра на картината. Можете да избирате нюанси в цветови модели RGB, CMYK, HVS и HSL.

Също така е много удобно да използвате опцията за случаен избор на цветови нюанси и функцията за обръщане на всички цветове на картината. За да регулирате цвета, има функция за циклично изброяване на нюанси - когато съответният режим е включен, програмата анимира изображението, циклично променяйки цветовете върху него.

Fractal Zoomer може да визуализира 85 различни фрактални функции, а формулите са ясно показани в менюто на програмата. В програмата има филтри за последваща обработка на изображения, макар и в малък брой. Всеки назначен филтър може да бъде отменен по всяко време.

Nd Mandelbulb3D: 3D фрактален редактор

Когато се използва терминът "фрактал", той най-често означава плоско двуизмерно изображение. Фракталната геометрия обаче надхвърля 2D измерението. В природата можете да намерите както примери за плоски фрактални форми, да речем геометрията на мълнията, така и триизмерни обемни фигури. Фракталните повърхности могат да бъдат триизмерни и една от много визуалните илюстрации на 3D фрактали в ежедневието е една глава зеле. Фракталите вероятно се виждат най -добре в Романеско, хибрид от карфиол и броколи.

Можете също да ядете този фрактал.

Програмата Mandelbulb3D може да създава триизмерни обекти с подобна форма. За да получат 3D повърхност с помощта на фрактален алгоритъм, авторите на това приложение, Даниел Уайт и Пол Ниландер, преобразуват множеството Манделброт в сферични координати. Създадената от тях програма Mandelbulb3D е истински триизмерен редактор, който моделира фрактални повърхности с различни форми. Тъй като често наблюдаваме фрактални модели в природата, изкуствено създаден фрактален триизмерен обект изглежда невероятно реалистичен и дори „жив“.

Може да прилича на растение, може да наподобява странно животно, планета или нещо друго. Този ефект е подсилен от усъвършенстван алгоритъм за изобразяване, който дава възможност да се получат реалистични отражения, да се изчисли прозрачността и сенките, да се симулира ефектът от дълбочината на рязкост и т.н. Mandelbulb3D има огромен брой настройки и опции за изобразяване. Можете да контролирате нюансите на източниците на светлина, да избирате фона и нивото на детайлност на моделирания обект.

Фракталният редактор Incendia поддържа сдвояване на двойно изображение, съдържа библиотека от петдесет различни триизмерни фрактали и има отделен модул за редактиране на основни форми.

Приложението използва фрактални скриптове, с които можете независимо да опишете нови видове фрактални структури. Incendia има редактори за текстури и материали, а двигателят за рендериране ви позволява да използвате обемни ефекти на мъгла и различни шейдъри. Програмата реализира опцията за запазване на буфера по време на дългосрочно изобразяване, създаването на анимация се поддържа.

Incendia ви позволява да експортирате вашия фрактален модел в популярни 3D графични формати - OBJ и STL. Incendia включва малка помощна програма, наречена Geometrica, специален инструмент за конфигуриране на експортирането на фрактална повърхност към 3D модел. С помощта на тази помощна програма можете да определите разделителната способност на 3D повърхност, да посочите броя на фракталните итерации. Експортираните модели могат да се използват в 3D проекти при работа с такива 3D редактори като Blender, 3ds max и други.

Напоследък работата по проекта Incendia се забави донякъде. В момента авторът търси спонсори, които да му помогнат при разработването на програмата.

Ако нямате достатъчно въображение, за да нарисувате красив триизмерен фрактал в тази програма, това не е проблем. Използвайте библиотеката с параметри, която се намира в папката INCENDIA_EX \ parameters. С PAR файлове можете бързо да намерите най -необичайните фрактални форми, включително анимирани.

⇡ Слухови: как пеят фрактали

Обикновено не говорим за проекти, върху които тепърва се работи, но в този случай трябва да направим изключение, това е много необичайно приложение. Проектът, наречен Aural, е изобретен от същия човек като Incendia. Този път обаче програмата не визуализира фракталния набор, а го озвучава, превръщайки го в електронна музика. Идеята е много интересна, особено като се имат предвид необичайните свойства на фракталите. Aural е аудио редактор, който генерира мелодии, използвайки фрактални алгоритми, тоест всъщност е звуков синтезатор-секвенсор.

Последователността от звуци, произведени от тази програма, е необичайна и ... красива. Той може да бъде полезен за писане на съвременни ритми и според нас е особено подходящ за създаване на саундтраци за скрийнсейвърите на телевизионни и радиопредавания, както и „цикли“ на фонова музика за компютърни игри. Рамиро все още не е предоставил демо версия на програмата си, но обещава, че когато го направи, за да работи с Aural, няма да се налага да изучава теорията на фракталите - просто трябва да играете с параметрите на алгоритъма за генериране поредица от бележки. Чуйте как звучат фракталите и т.н.

Фрактали: музикална пауза

Всъщност фракталите могат да ви помогнат да пишете музика дори без софтуер. Но това може да направи само някой, който наистина е проникнат от идеята за естествената хармония и в същото време не се е превърнал в нещастен „глупак“. Има смисъл да вземем пример от музикант на име Джонатан Коултън, който освен всичко друго пише композиции за списание Popular Science. И за разлика от други художници, Колтън публикува всичките си творби под лиценз Creative Commons Attribution-Noncommercial, който (когато се използва за некомерсиални цели) предвижда безплатно копиране, разпространение, прехвърляне на произведението на други лица, както и неговата модификация (създаване на производни произведения), за да го адаптирате към вашите задачи.

Джонатан Колтън, разбира се, има песен за фрактали.

⇡ Заключение

Във всичко, което ни заобикаля, често виждаме хаос, но всъщност това не е инцидент, а идеална форма, която фракталите ни помагат да различим. Природата е най -добрият архитект, идеален строител и инженер. Той е подреден много логично и ако някъде не виждаме модел, това означава, че трябва да го търсим в различен мащаб. Хората разбират това все по -добре, опитвайки се да имитират естествените форми по много начини. Инженерите проектират високоговорители, създават антени с геометрия на снежинката и т.н. Сигурни сме, че фракталите все още крият много тайни и много от тях тепърва ще бъдат открити от хората.

Фракталите са известни от почти век, добре са проучени и имат многобройни приложения в живота. Това явление обаче се основава на много проста идея: безкрайна красота и разнообразие от форми могат да бъдат получени от сравнително прости дизайни само с две операции - копиране и мащабиране.

Какво общо имат едно дърво, морски бряг, облак или кръвоносни съдове в ръката ни? На пръв поглед може да изглежда, че всички тези обекти нямат нищо общо. Всъщност обаче има едно свойство на структура, присъщо на всички изброени обекти: те са подобни на себе си. От клона, както и от ствола на дървото, има по -малки клони, от тях - още по -малки и т.н., тоест клонът е като цялото дърво. Кръвоносната система е подредена по подобен начин: артериолите се отклоняват от артериите, а от тях - най -малките капиляри, през които кислородът влиза в органите и тъканите. Нека да разгледаме сателитни снимки на морския бряг: ще видим заливи и полуострови; нека го разгледаме, но от птичи поглед: ще видим заливи и носове; Сега нека си представим, че стоим на плажа и гледаме в краката си: винаги има камъчета, които стърчат във водата по -далеч от останалите. Тоест бреговата линия остава подобна на себе си, когато се увеличи. Американският (макар и отгледан във Франция) математик Беноа Манделброт нарича това свойство на обекти фракталност, а самите такива обекти - фрактали (от лат. Fractus - счупени).

Това понятие няма строго определение. Следователно думата "фрактал" не е математически термин. Обикновено фракталът е геометрична фигура, която удовлетворява едно или повече от следните свойства: Той има сложна структура на всяко ниво на увеличение (за разлика от например права линия, всяка част от която е най -простата геометрична фигура - линия сегмент). Е (приблизително) себеподобен. Има дробно Хаусдорфово (фрактално) измерение, което е по -голямо от топологичното. Може да се изгради с рекурсивни процедури.

Геометрия и алгебра

Изучаването на фрактали в началото на 19 -ти и 20 -ти век е по -скоро епизодично, отколкото систематично, тъй като по -ранните математици изучават главно „добри“ обекти, които могат да се изследват с помощта на общи методи и теории. През 1872 г. немският математик Карл Вайерщрас конструира пример за непрекъсната функция, която никъде не се диференцира. Конструкцията му обаче беше напълно абстрактна и трудна за възприемане. Следователно през 1904 г. шведът Хелге фон Кох измисля непрекъсната крива, която няма допирателна никъде и е доста проста за изчертаване. Оказа се, че има свойствата на фрактал. Един от вариантите на тази крива се нарича "снежинката на Кох".

Идеите за самоподобност на фигурите бяха възприети от французина Пол Пиер Леви, бъдещият наставник на Беноа Манделброт. През 1938 г. той публикува своята статия "Плоски и пространствени криви и повърхности, състоящи се от части, подобни на цялото", която описва друг фрактал - C -кривата на Леви. Всички тези по -горе фрактали могат условно да бъдат приписани на един клас конструктивни (геометрични) фрактали.

Друг клас са динамичните (алгебрични) фрактали, които включват множеството Манделброт. Първите проучвания в тази насока започват в началото на 20 век и са свързани с имената на френските математици Гастон Юлия и Пиер Фату. През 1918 г. е публикуван почти двеста страничните мемоари на Джулия, посветени на повторения на сложни рационални функции, в които са описани множествата на Джулия-цяло семейство фрактали, тясно свързани с множеството на Манделброт. Тази работа е отличена с наградата на Френската академия, но не съдържа нито една илюстрация, така че е невъзможно да се оцени красотата на откритите обекти. Въпреки факта, че тази работа направи Юлия известна сред тогавашните математици, тя бързо беше забравена. Едва половин век по -късно, с появата на компютрите, вниманието отново се насочи към него: именно те направиха видимо богатството и красотата на света на фракталите.

Фрактални размери

Както знаете, измерението (броят на измерванията) на геометрична фигура е броят на координатите, необходими за определяне на позицията на точка, лежаща върху тази фигура.
Например, положението на точка на крива се определя от една координата, върху повърхност (не непременно равнина) от две координати, в триизмерно пространство от три координати.
От по-обща математическа гледна точка, можете да определите измерението по този начин: увеличаването на линейните размери, да речем два пъти, за едноизмерни (от топологична гледна точка) обекти (сегмент) води до увеличаване на размера (дължина) два пъти, за двуизмерно (квадратно) едно и също увеличение на линейните размери води до увеличаване на размера (площ) с 4 пъти, за триизмерно (куб)-с 8 пъти. Тоест "реалното" (т.нар. Хаусдорф) измерение може да се изчисли като съотношението на логаритъма на увеличение на "размера" на обект към логаритъма на увеличаване на линейния му размер. Тоест за сегмента D = log (2) / log (2) = 1, за равнината D = log (4) / log (2) = 2, за обема D = log (8) / log (2 ) = 3.
Нека сега изчислим измерението на кривата на Кох, за чието изграждане единичният сегмент се разделя на три равни части и средният интервал се заменя с равностранен триъгълник без този сегмент. С увеличаване на линейните размери на минималния сегмент с три пъти, дължината на кривата на Кох се увеличава с log (4) / log (3) ~ 1,26. Тоест измерението на кривата на Кох е дробно!

Наука и изкуство

През 1982 г. излиза книгата на Манделброт „Фракталната геометрия на природата“, в която авторът събира и систематизира почти цялата информация за фракталите, налична по това време, и я представя по лесен и достъпен начин. В своята презентация Манделброт поставя основния акцент не върху тромавите формули и математически конструкции, а върху геометричната интуиция на читателите. Благодарение на илюстрациите, получени с помощта на компютър, и исторически приказки, с които авторът умело разрежда научния компонент на монографията, книгата става бестселър, а фракталите стават известни на широката публика. Успехът им сред нематематиците до голяма степен се дължи на факта, че с помощта на много прости конструкции и формули, които гимназистът може да разбере, се получават образи с невероятна сложност и красота. Когато персоналните компютри станаха достатъчно мощни, се появи дори цяла тенденция в изкуството - фрактална живопис и почти всеки собственик на компютър можеше да го направи. Сега в интернет лесно можете да намерите много сайтове, посветени на тази тема.

Схема за получаване на кривата на Кох

Война и мир

Както бе отбелязано по -горе, един от природните обекти с фрактални свойства е бреговата линия. Една интересна история е свързана с нея, или по -скоро с опит за измерване на нейната дължина, която е в основата на научната статия на Манделброт, и е описана и в книгата му "Фракталната геометрия на природата". Това е експеримент, който беше организиран от Люис Ричардсън, много талантлив и ексцентричен математик, физик и метеоролог. Едно от направленията на неговото изследване е опит да се намери математическо описание на причините и вероятността от въоръжен конфликт между двете страни. Сред параметрите, които той взе предвид, беше дължината на общата граница на двете враждуващи държави. Когато събира данни за числени експерименти, установява, че в различни източници данните за общата граница между Испания и Португалия са много различни. Това го подтикна към следващото откритие: дължината на границите на страната зависи от владетеля, с който ги измерваме. Колкото по -малък е мащабът, толкова по -дълга е границата. Това се дължи на факта, че с по -голямо увеличение става възможно да се вземат предвид все повече и повече крайбрежни завои, които преди това бяха игнорирани поради грубостта на измерванията. И ако при всяко увеличаване на мащаба ще се отварят неотчетените досега завои на линиите, тогава се оказва, че дължината на границите е безкрайна! Вярно е, че в действителност това не се случва - точността на нашите измервания има краен предел. Този парадокс се нарича ефект на Ричардсън.

Конструктивни (геометрични) фрактали

Алгоритъмът за конструиране на конструктивен фрактал в общия случай е следният. На първо място, имаме нужда от две подходящи геометрични фигури, нека ги наречем основа и фрагмент. На първия етап е изобразена основата на бъдещия фрактал. Тогава някои части от него се заменят с фрагмент, взет в подходящ мащаб - това е първата итерация на конструкцията. След това получената фигура отново променя някои части във фигури, подобни на фрагмент и т. Н. Ако продължим този процес за неопределено време, тогава в лимита ще получим фрактал.

Нека разгледаме този процес като използваме кривата на Кох като пример (вижте страничната лента на предишната страница). Всяка крива може да се вземе като основа за кривата на Кох (за "снежинката на Кох" това е триъгълник). Но ние ще се ограничим до най -простия случай - сегмент. Фрагмент е прекъсната линия, показана в горната част на фигурата. След първата итерация на алгоритъма, в този случай оригиналният сегмент ще съвпадне с фрагмента, след което всеки от неговите съставни сегменти ще бъде заменен с прекъсната линия, подобна на фрагмент и т. Н. Фигурата показва първите четири стъпки от този процес.

На езика на математиката: динамични (алгебрични) фрактали

Фрактали от този тип възникват при изучаването на нелинейни динамични системи (оттук и името). Поведението на такава система може да бъде описано чрез сложна нелинейна функция (полином) f (z). Вземете начална точка z0 на сложната равнина (вижте страничната лента). Сега помислете за такава безкрайна последователност от числа на комплексната равнина, всяко от които се получава от предишната: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1),… zn + 1 = f (zn ). В зависимост от началната точка z0, такава последователност може да се държи по различен начин: да има тенденция към безкрайност като n -> ∞; се сближават до някаква крайна точка; циклично приемане на редица фиксирани стойности; възможни са и по -сложни опции.

Сложни числа

Комплексното число е число, състоящо се от две части - реална и въображаема, тоест формалната сума x + iy (x и y тук са реални числа). аз съм т.нар. въображаема единица, тоест число, което отговаря на уравнението аз ^ 2 = -1. Основните математически операции са дефинирани над комплексни числа - събиране, умножение, деление, изваждане (само операцията за сравнение не е дефинирана). За извеждане на комплексни числа често се използва геометрично представяне - в равнината (нарича се комплексно), реалната част е положена върху абсцисата, а въображаемата част върху ординатата, докато комплексното число ще съответства на точка с декартово координати x и y.

По този начин всяка точка z от комплексната равнина има свой собствен характер на поведение по време на итерации на функцията f (z) и цялата равнина е разделена на части. В този случай точките, лежащи по границите на тези части, имат следното свойство: при произволно малко изместване естеството на тяхното поведение се променя драстично (такива точки се наричат ​​бифуркационни точки). Така се оказва, че множества от точки с един специфичен тип поведение, както и набори от точки на бифуркация, често имат фрактални свойства. Това са множествата на Джулия за функцията f (z).

Семейство на дракони

Променяйки основата и фрагмента, можете да получите невероятно разнообразие от конструктивни фрактали.
Освен това подобни операции могат да се извършват в триизмерно пространство. Примери за обемни фрактали са гъбата на Менгер, пирамидата на Сирпински и други.
Фамилията дракони се нарича още конструктивни фрактали. Понякога те се наричат ​​с името на откривателите „дракони на магистралния хартер“ (те приличат на китайски дракони по своята форма). Има няколко начина за начертаване на тази крива. Най -простият и интуитивен от тях е следният: трябва да вземете достатъчно дълга лента хартия (колкото по -тънка е хартията, толкова по -добре) и да я сгънете наполовина. След това го огънете отново два пъти в същата посока като първия път. След няколко повторения (обикновено след пет до шест сгъвания, лентата става прекалено дебела, за да може да бъде прегъната допълнително), трябва да разгънете лентата назад и да се опитате да оформите ъгли от 90 ° в гънките. Тогава кривата на дракона ще се окаже в профил. Разбира се, това ще бъде само приближение, както всички наши опити да изобразим фрактални обекти. Компютърът ви позволява да изобразите още много стъпки в този процес и резултатът е много красива фигура.

Комплектът Mandelbrot е конструиран по малко по -различен начин. Помислете за функцията fc (z) = z 2 + с, където c е комплексно число. Нека конструираме последователност от тази функция с z0 = 0, в зависимост от параметъра c, тя може да се отклони до безкрайност или да остане ограничена. Освен това всички стойности на c, за които тази последователност е ограничена, образуват множеството на Манделброт. Той е подробно проучен от самия Манделброт и други математици, които откриват много интересни свойства на това множество.

Вижда се, че определенията на множествата на Джулия и Манделброт са сходни помежду си. Всъщност тези две групи са тясно свързани. А именно, множеството на Манделброт са всички стойности на комплексния параметър с, за който множеството на Джулия fc (z) е свързано (множество се нарича свързано, ако не може да бъде разделено на две несъвместими части, с някои допълнителни условия).

Фрактали и живот

В днешно време теорията на фракталите е широко използвана в различни области на човешката дейност. В допълнение към чисто научен обект за изследване и споменатото вече фрактално рисуване, фракталите се използват в теорията на информацията за компресиране на графични данни (тук се използва предимно свойството за самоподобност на фракталите - в края на краищата, за да се запомни малък фрагмент от чертеж и трансформации, с които можете да получите останалите части, много по -малко е необходима памет, отколкото за съхраняване на целия файл). Чрез добавяне на случайни смущения към формулите, определящи фрактала, могат да се получат стохастични фрактали, които много правдоподобно предават някои реални обекти - релефни елементи, повърхността на водните тела, някои растения, което успешно се използва във физиката, географията и компютърната графика за постигане на по -големи прилика на симулирани обекти с реални. В радиоелектрониката през последното десетилетие започнаха да се произвеждат антени с фрактална форма. Заемайки малко място, те осигуряват доста висококачествен прием на сигнал. Икономистите използват фрактали, за да опишат кривите на валутния курс (имот, открит от Манделброт преди повече от 30 години). Това завършва тази малка екскурзия в невероятно красивия и разнообразен свят на фрактали.

Назад напред

Внимание! Визуализациите на слайдове са само за информационни цели и може да не представляват всички опции за презентация. Ако се интересувате от това произведение, моля, изтеглете пълната версия.

Автори:
Бекбулатова Алина,
Гетманова София

Лидери:
Възможна Татяна Михайловна,
Дерюшкина Оксана Валериевна

Въведение.

Теоретична част от проекта:

• Историята на развитието на фракталната геометрия.
• Фрактална концепция.
• Видове фрактали:

а) геометрични фрактали, примери за геометрични фрактали;
б) алгебрични фрактали, примери за алгебрични фрактали;
в) стохастични фрактали, примери.

• Естествени фрактали.
• Практическо приложение на фрактали:
• в литературата;
• в телекомуникациите;
• в медицината;
• в архитектурата;
• в дизайна;
• в икономиката;
• в игри, филми, музика
• в естествените науки
• по физика;
• по биология
• фрактали за домакини
• съвременни картини - фрактална графика.
• Фрактална графика.
• Ролята на фракталната геометрия в живота е химн на фракталите!

Практическата част от работата по проект

• Създаване на научна работа "Пътуване към света на фракталите"
• Поставяне в Интернет.
• Участие в олимпиади, състезания.
• Създаване на ваши собствени фрактали.
• Създаване на брошурата „Удивителният свят на фракталите“
• Провеждане на фестивала „Удивителният свят на фракталите.

Въведение

Геометрията често се нарича студена и суха. Една от причините е неспособността му да опише всичко, което ни заобикаля: формата на облак, планина, дърво или морския бряг. Облаците не са сфери, планините не са конуси, бреговите линии не са кръгове, а кората не е гладка и мълнията не се движи по права линия. С голяма радост за нас научихме, че в съвременния свят има нова геометрия - геометрията на фракталите.

Откриването на фрактали направи революция не само в геометрията, но и във физиката, химията, биологията във всички области на нашия живот.

Уместност на проекта:

• Ролята на фракталите в съвременния свят е доста голяма
• Убедителните аргументи в полза на уместността на изучаването на фрактали е широтата на тяхната област на приложение.

Изследователска хипотеза:

Фракталната геометрия е модерна, много интересна област на човешкото познание. Появата на фрактална геометрия е доказателство за продължаващата еволюция на човека и разширяването на неговите начини за познаване на света.

Целта на проекта:

Да се ​​изучи теорията на фракталите за създаване на научна работа „Удивителният свят на фракталите“ и разработването и внедряването на алгоритми за изчертаване на фрактали на равнина на компютър.

Цели на проекта:

• Запознайте се с историята на възникването и развитието на фракталната геометрия;
• Проучете видовете фрактали, тяхното приложение в съвременния свят.
• Изпълнява програми за създаване на фрактали в езиците за програмиране на Pascal и Logo
• Създайте научна работа по фракталите, публикувайте я в интернет.
• Създайте брошура „Удивителният свят на фракталите“
• Да проведем фестивал „Удивителният свят на фракталите“, за да запознаем учениците с резултатите от нашата работа.

Работим по проекта 4 месеца.

Основните етапи от нашата работа:

• Събиране на необходимата информация: използване на Интернет, книги, публикации по тази тема. (Две седмици)
• Сортиране на информация по теми: систематизиране и определяне на реда на писане на произведението. Работата отне 2 седмици.
• Съставяне на текстово произведение: писане на текст, частична регистрация на систематизирана информация. Това отне един месец.
• Създаване на презентация: компресиране на систематизирана информация, определяне на структурата на презентацията, нейното създаване и дизайн, и се състоя в рамките на един месец.
• Изучаване на програмата за създаване на фрактали и създаване на ваши собствени фрактали в езиците за програмиране Pascal и Logo (до днес)

Теоретична част на проекта

Проучихме историята на създаването на фрактална геометрия.

Интересът към фрактални обекти се възражда в средата на 70 -те години на 20 век.

Раждането на фракталната геометрия обикновено се свързва с публикуването на книгата на Манделброт „Фракталната геометрия на природата“ през 1977 г. Неговите творби използват научните резултати на други учени, които са работили в периода 1875-1925 г. в същата област (Poincaré, Fatou, Julia, Кантор, Хаусдорф Но само в наше време беше възможно да се комбинира работата им в една система.

И така, какво е фрактал?

Фрактал -геометрична фигура, съставена от няколко части, всяка от които е подобна на цялата фигура като цяло.

Малка част от фрактала съдържа информация за целия фрактал.Днес думата "фрактал" най -често означава графично представяне на структура, която е подобна на себе си в по -голям мащаб.

Фракталите се делят на геометрични, геометрични и стохастични.

Геометричните фрактали се наричат ​​класически по друг начин. Те са най-очевидните, тъй като имат така наречената твърда самоподобност, която не се променя при смяна на скалата. Това означава, че колкото и да увеличавате фрактала, все пак виждате същия модел.

Ето най -известните примери за геометрични фрактали.

Снежинката на Кох.

Изобретен през 1904 г. от немския математик Хелге фон Кох.

За да го конструирате, се взема единичен сегмент, разделен на три равни части, а средната връзка се заменя с равностранен триъгълник без тази връзка. На следващата стъпка повтаряме операцията за всеки от четирите получени сегмента. В резултат на безкрайното повтаряне на тази процедура се получава фрактална крива.

Петоъгълникът на Дюрер.

Фракталът прилича на куп петоъгълници, притиснати заедно. Всъщност той се формира с помощта на петоъгълник като инициатор и равнобедрени триъгълници, съотношението на по-голямата страна към по-малката, в която е точно така нареченото златно съотношение. Тези триъгълници се изрязват от средата на всеки петоъгълник, което води до фигура, която прилича на 5 малки петоъгълника, залепени за едно голямо.

Sierpinski салфетка.

През 1915 г. полският математик Вацлав Сьерпински излезе с интересен обект.

За изграждането му се взема твърд равностранен триъгълник. Първата стъпка премахва обърнат равностранен триъгълник от центъра. Втората стъпка премахва три обърнати триъгълника от трите останали триъгълника и т.н.

Драконова крива.

Изобретен от италианския математик Джузепе Пеано.

Килим Sierpinski.

Взема се квадрат, разделен на девет равни квадрата, средата на който се изхвърля, а с останалите същата операция се повтаря безкрайно.

Вторият тип фрактали са алгебрични фрактали.

Те са получили името си, защото са изградени въз основа на алгебрични формули. В резултат на математическата обработка на тази формула на екрана се показва точка с определен цвят. Резултатът е странна фигура, при която правите линии се превръщат в криви, ефектите на самоподобие се появяват на различни нива на мащаба. Почти всяка точка на компютърния екран е като отделен фрактал.

Примери за най -известните алгебрични фрактали.

Комплект Манделброт.

Множествата на Манделброт са най -често срещаните сред алгебричните фрактали. Може да се намери в много научни списания, корици на книги, пощенски картички и компютърни скрийнсейвъри. Това е фрактал, подобен на карта, с прикрепени към него светещи дървовидни и кръгли области.

Комплектът на Джулия.

Комплектът Julia е изобретен от френския математик Gaston Julia. Не по -малко известен алгебричен фрактал.

Басейни на Нютон.

Стохастични фрактали.

Фракталите, при изграждането на които някои параметри се променят на случаен принцип в итеративна система, се наричат ​​стохастични. Терминът "стохастичност" идва от гръцката дума за "спекулация".

В същото време се получават обекти, които много приличат на естествените - асиметрични дървета, разчленени брегови линии и т.н. Двумерни стохастични фрактали се използват за моделиране на терена и морската повърхност.

Тези фрактали се използват при моделиране на терена и повърхността на моретата, процеса на електролиза. Тази група фрактали стана широко разпространена благодарение на работата на Майкъл Барнсли от Технологичния институт на Джорджия.
Типичен представител на този клас фрактали "Плазма".

Най-разбираемите за нас са така наречените естествени фрактали.

"Великата книга на природата е написана на езика на геометрията" (Галилео Галилей).

Естествени фрактали.

• В дивата природа:
• Морски звезди и таралежи
• Цветя и растения (броколи, зеле)
• Корони от дървета и листа от растения
• Плодове (ананас)
• Кръвоносната система и бронхите на хора и животни
• В неживата природа:
• Граници на географски обекти (държави, региони, градове)
• Мразовити шарки на стъклата на прозорците
• Сталактити, сталагмити, хеликтити.

Почти всички естествени образувания: корони на дървета, облаци, планини, брегови линии имат фрактална структура.
Какво означава?

Ако погледнете фрактален обект като цяло, след това част от него в по -голям мащаб, след това част от тази част, лесно е да видите, че те изглеждат еднакво.

Морски фрактали.

Октоподът е морско бентосно животно от разред на главоноги.

Тялото и смукателите на всичките осем пипала на това животно имат фрактална структура.

Друг типичен представител на фракталния подводен свят е коралът.

В природата са известни повече от 3500 вида корали.

Зелен фрактал - листа от папрат.

Листата на папрат имат формата на фрактална форма - те са подобни на себе си.

Поклонът е фрактал, който те кара да плачеш.Разбира се, това е прост фрактал: обикновени кръгове с различни диаметри, може дори да се каже примитивен фрактал.

Ярък пример за фрактал в природата е Романеску“, Тя е„ романски броколи “или„ карфиол “.

Карфиол- типичен фрактал.

Помислете за структурата на карфиола.

Ако отрежете едно от цветята, е очевидно, че същият карфиол остава в ръцете ви, само с по -малък размер. Можете да продължите да режете отново и отново, дори под микроскоп - но всичко, което получаваме, са малки копия на карфиола.

Матрьошка - играчка сувенире типичен фрактал. Принципът на фракталност е очевиден, когато всички фигури на дървена играчка са подредени, а не са вложени една в друга.

Човекът е фрактал.

Детето се ражда, расте и този процес е придружен от принципа на "себеподобността", фракталността.

Областта на приложение на фракталите е широка.

Фрактали в литературата

Сред литературните произведения има такива, които имат текстова, структурна или фрактална природа. В литературните фрактали елементи от текста се повтарят безкрайно:

Свещеникът имаше куче
той я обичаше.
Тя изяде парче месо
той я уби.
Зарових го в земята,
Надписът пишеше:
Свещеникът имаше куче ...

„Тук е къщата.
Този, който Джак е построил.
И ето житото.

В къщата,
Този, който Джак е построил
И ето смешната птица синигър,
Който умело краде жито
Което се съхранява в тъмен килер
В къщата,
Който Джак е построил ... " .

Фрактали в телекомуникациите.

За предаване на данни на разстояния се използват антени с фрактални форми, което значително намалява техния размер и тегло.

Фрактали в медицината.

По това време фракталите са широко използвани в медицината. Самото човешко тяло се състои от много фрактални структури: кръвоносната система, мускулите, бронхите, бронхиалните пътища в белите дробове, артериите.

Фракталната теория се използва за анализ на електрокардиограми.

Оценката на величината и ритмите на фракталното измерение позволява на по -ранен етап и с по -голяма точност и информационно съдържание да се прецени за нарушения на хомеостазата и развитието на специфични сърдечни заболявания.

Рентгеновите изображения, обработени с помощта на фрактални алгоритми, дават по-добра картина и съответно по-добра диагностика !!

Друга област на активно използване на фрактали е гастроентерологията.

Нов изследователски метод в медицината, електрогастроентерографията е изследователски метод, който позволява да се оцени биоелектричната активност на стомаха, дванадесетопръстника и други части на стомашно -чревния тракт.

Фрактали в архитектурата.

Фракталният принцип на развитието на природни и геометрични обекти прониква дълбоко в архитектурата както като образ на външното решение на обект, така и като вътрешен принцип на архитектурното оформяне.

Дизайнери от цял ​​свят започнахада използват в своите произведения забележителни фрактални структури, описани едва наскоро от видни математици.

Използването на фрактали изведе почти всички области на съвременния дизайн на ново ниво.

Въвеждането на фрактални структури увеличи в много случаи както визуалните, така и функционалните аспекти на дизайна.

Дизайнерът Такеши Миякава мечтаел да стане математик като дете.

Как иначе да си обясним тази мебел: нощното шкафче Fractal 23 съдържа 23 чекмеджета с различни размери и пропорции, които по някакъв начин успяват да съжителстват помежду си в кубичен калъф, запълвайки почти цялото пространство, което им е на разположение.

Фрактали в икономиката.

Напоследък фракталите станаха популярни сред икономистите за анализ на обменния курс на фондовите борси, валутата и търговските пазари.
Фракталите се появяват на пазара доста често.

Фрактали в игрите.

Днес в много игри (може би най -яркият пример за Minecraft), където присъстват различни видове природни пейзажи, фракталните алгоритми се използват по един или друг начин. Създадени са голям брой програми за генериране на пейзажи и пейзажи, базирани на фрактални алгоритми.

Фрактали в киното.

В киното се използва фрактален алгоритъм за създаване на различни фантастични пейзажи. Фракталната геометрия позволява на артистите със специални ефекти лесно да създават обекти като облаци, дим, пламъци, звезди и др. Какво можем да кажем тогава за фракталната анимация, това е наистина невероятна гледка.

Електонична музика.

Спектакълът на фракталната анимация се използва успешно от VJ. Особено често такива видео инсталации се използват на концерти на изпълнители на електронна музика.

Естествени науки.

Фракталите често се използват в геологията и геофизиката. Не е тайна, че бреговете на островите и континентите имат определено фрактално измерение, като се знае кое може много точно да се изчисли дължината на бреговете.

Изследването на тектониката на разломите и сеизмичността понякога се изследва и с помощта на фрактални алгоритми.

Геофизиката използва фрактали и фрактален анализ, за ​​да изследва аномалиите на магнитното поле, да изучава разпространението на вълни и вибрации в еластични среди, да изучава климата и много други неща.

Фрактали във физиката.

Във физиката фракталите се използват много широко. Във физиката на твърдите тела фракталните алгоритми позволяват точно да се опишат и предскажат свойствата на твърдите тела, порести, гъбести тела и аерогели. Това помага при създаването на нови материали с необичайни и полезни свойства.
Пример за твърдо вещество са кристалите.

Изследването на турбулентността в потоците се адаптира много добре към фракталите.

Преминаването към фрактално представяне улеснява инженерите и физиците да разберат по -добре динамиката на сложните системи.
Фракталите могат да се използват и за моделиране на пламъци.

Фрактали в биологията.

В биологията те се използват за моделиране на популации и за описание на системите на вътрешните органи (системата на кръвоносните съдове). След създаването на кривата на Кох беше предложено да се използва при изчисляване на дължината на бреговата линия.

Фрактали за домакини.

Лесно е да се пренесе теорията на фракталите в домашната среда, включително в кухнята.

Резултатът от приложението може да бъде всичко: фрактални обеци, фрактален вкусен черен дроб и много други. Трябва да свържете само знания и изобретателност!

Фракталната графика се използва широко в съвременния свят. Популярните картини са резултат от фрактална графика.

И това не е случайно. Възхищавайте се на красотата на фракталната графика!

Практическа част от проекта

• Създава научна работа "Пътуване към света на фракталите"
• Изучавахме програми за създаване на фрактали в езиците за програмиране Pascal и Logo
• Създадохме наши собствени фрактали.
• Изработени със собствени ръце "Sierpinski салфетка" и "Sierpinski килим"
• Направени "фрактални обеци"
• Създава цикъл от картини „Чудесата на фракталната графика“
• Публикува в Интернет творбата „Пътуване към света на фракталите“.
• Участва с работата "Пътуване към света на фракталите" в VII Всеруска олимпиада за ученици и студенти "Наука 2.0" по темата "Математика". Спечелихме първо място.
• Участва с работата „Пътуване към света на фракталите“ във Всеруския конкурс „Велики открития и изобретения“. Спечелихме първо място.
• Участва с работата „Пътуване към света на фракталите“ в VIII Всеруска олимпиада за ученици и студенти „Аз съм изследовател“ по академичния предмет Математика. Спечелихме първо място.
• Създаде презентация „Удивителният свят на фракталите“
• Създадени брошури „Приложение на фрактали“ и „Фрактали около нас“
• Проведохме фестивал "Удивителният свят на фракталите" за ученици от 8-11 клас "

Така че, можем да кажем с пълна увереност за огромното практическо приложение на фракталите и фракталните алгоритми днес.

Спектърът на областите, където се използват фрактали, е много широк и разнообразен.

И със сигурност, в близко бъдеще фракталите, фракталната геометрия, ще станат близки и разбираеми за всеки от нас. Не можем без тях в живота си!

Да се ​​надяваме, че появата на фрактална геометрия е доказателство за продължаващата еволюция на човека и разширяването на неговите начини за познаване и разбиране на света. Може би нашите деца също толкова лесно и смислено ще оперират с понятията фрактали и нелинейна динамика, както ние оперираме с концепциите за класическа физика, евклидова геометрия.

Резултати от проекта

• Запознахме се с историята на възникването и развитието на фракталната геометрия;
• Проучихме видовете фрактали, тяхното приложение в съвременния свят.
• Създадохме наши собствени фрактали в езиците за програмиране Pascal и Logo
• Създава научна статия за фракталите.
• Създаде брошури „Фрактали около нас“ и „Приложение на фрактали“
• Проведохме фестивал „Удивителният свят на фракталите“ за ученици от 8-11 клас.

Когато не разбирам всичко в прочетеното, не съм особено разстроен. Ако темата не ми попадне по -късно, значи не е особено важна (поне за мен). Ако темата се появи отново, за трети път ще имам нови шансове да я разбера по -добре. Фракталите са сред тези теми. Първо научих за тях от книгата на Насим Талеб, а след това по -подробно от книгата на Беноа Манделброт. Днес, при заявка "фрактал" на сайта, можете да получите 20 бележки.

Част I. ПЪТУВАНЕ КЪМ ПРОИЗХОДИТЕ

ДА ИМЯ ОЗНАЧАВА ДА РАЗБЕРЕМ.В началото на 20 -ти век Анри Поанкаре отбелязва: „Изненадан си от силата, която може да има една дума. Ето един обект, за който нищо не може да се каже, докато не бъде кръстен. Достатъчно беше да му дам име, за да се случи чудо ”(вижте също). Това се случи, когато през 1975 г. френски математик от полски произход Беноа Манделброт събра Словото. От латински думи frangere(прекъсване) и фрактура(прекъснато, дискретно, дробно) образуван фрактал. Mandelbrot изкусно популяризира и популяризира фрактала като марка с акцент върху емоционалната привлекателност и рационалната полезност. Издава няколко монографии, включително Фрактална геометрия на природата (1982).

ФРАКТАЛИ В ПРИРОДАТА И ИЗКУСТВОТО.Манделброт очерта контурите на фракталната геометрия, различна от евклидова. Разликата не се отнася за аксиомата на паралелизма, както в геометриите на Лобачевски или Риман. Разликата беше в изоставянето на изискването за гладкост по подразбиране на Евклид. Някои обекти са присъщи на грапавост, порьозност или фрагментация и много от тях имат посочените свойства „в еднаква степен във всеки мащаб“. В природата няма недостиг на такива форми: слънчоглед и броколи, миди, папрати, снежинки, планински цепнатини, брегови линии, фиорди, сталагмити и сталактити, мълнии.

Внимателните и наблюдателни хора отдавна са забелязали, че някои форми показват повтарящ се модел, когато се гледат „близо или далеч“. Когато се приближаваме до такива обекти, забелязваме, че се променят само незначителни детайли, но формата като цяло остава почти непроменена. Въз основа на това фракталът е най -лесно да се определи като геометрична форма, която съдържа повтарящи се елементи във всеки мащаб.

МИТОВЕ И МИСТИФИКАЦИИ.Новият слой форми, открит от Манделброт, се превърна в златна мина за дизайнери, архитекти и инженери. Неизброим брой фрактали са изградени съгласно едни и същи принципи на многократно повторение. Оттук фракталът е най -лесно да се определи като геометрична форма, която съдържа повтарящи се елементи във всеки мащаб. Тази геометрична форма е локално непроменена (инвариантна), себеподобна в мащаб и интегрална по своята ограниченост е истинска особеност, сложността на която се разкрива с приближаването й, а от разстояние е самата тривиалност.

ДЕВЯЛСКА СТЪПКА.Изключително силни електрически сигнали се използват за предаване на данни между компютри. Този сигнал е дискретен. Смущения или шум случайно възникват в електрическите мрежи по много причини и водят до загуба на данни, когато информацията се прехвърля между компютрите. За да се премахне влиянието на шума върху предаването на данни в началото на шестдесетте години на миналия век, беше поверена група инженери на IBM, в която участваше Манделброт.

Груб анализ показа наличието на периоди, през които не е регистрирана нито една грешка. След като идентифицираха периоди от един час, инженерите забелязаха, че между тях периодите на предаване на сигнала без грешки също са периодични, тук има по -кратки паузи с продължителност около двадесет минути. По този начин предаването на данни без грешки се характеризира с пакети данни с различна дължина и паузи в шума, по време на които сигналът се предава без грешки. Пакетите от по -висок ранг са така или иначе вградени в пакети от по -нисък. Такова описание предполага съществуването на такова нещо като относителната позиция на пакетите с най-нисък ранг в пакета с по-висок ранг. Опитът показва, че вероятностното разпределение на тези относителни местоположения на пакети не зависи от техния ранг. Тази инвариантност показва самоподобността на процеса на изкривяване на данните под въздействието на електрически шум. Самата процедура за изрязване на безгрешни паузи в сигнала по време на предаване на данни не би могла да се случи на електроинженерите поради причината, че това е ново за тях.

Но Манделброт, който изучава чиста математика, познава добре множеството Кантор, описано още през 1883 г. и представляващо прах от точки, получени съгласно строг алгоритъм. Същността на алгоритъма за конструиране на „прах на Кантор“ е следната. Вземете сегмент с права линия. Извадете средната трета на сегмента от него, като запазите двата крайни. Сега ще повторим същата операция с крайните сегменти и така нататък. Манделброт откри, че точно това е геометрията на пакетите и паузите в предаването на сигнали между компютрите. Грешката се натрупва. Натрупването му може да бъде моделирано по следния начин. На първата стъпка ще присвоим стойността 1/2 на всички точки от интервала, на втората стъпка от интервала до 1/4, стойността 3/4 на точките от интервала и т.н. Постепенното сумиране на тези стойности ни позволява да изградим така наречената „дяволска стълба“ (фиг. 1). Мярката за "прах на Кантор" е ирационално число, равно на 0,618 ..., известно като "златно сечение" или "Божествена пропорция".

Част II. ФРАКТАЛИ СЪЩНОСТТА

УСМИВКА БЕЗ КОТКА: ФРАКТАЛНО РАЗМЕР.Измерението е едно от основните понятия, които далеч надхвърлят математиката. Евклид в първата книга на "Началото" дефинира основните понятия за геометрия точка, линия, равнина. Въз основа на тези определения концепцията за триизмерно евклидово пространство остава непроменена в продължение на почти две хиляди и половина години. Многобройните флиртове с пространства от четири, пет или повече измерения по същество не добавят нищо, но те са изправени пред факта, че човешкото въображение не може да си ги представи. С откриването на фракталната геометрия се случи радикална революция в концепцията за измерението. Появи се голямо разнообразие от измерения и сред тях има не само цели, но и частични и дори ирационални. И тези измерения са достъпни за визуално и сензорно представяне. Всъщност лесно можем да си представим сиренето с дупки като модел на околната среда, чието измерение е повече от две, но не достига три поради дупките за сирене, което намалява размерите на сирената маса.

За да разберем дробните или фракталните измерения, се обръщаме към парадокса на Ричардсън, който твърди, че пресечената брегова линия на Великобритания е безкрайна по дължина! Луи Фрай Ричардсън се зачуди за ефекта на скалата на измерване върху измерената дължина на британското крайбрежие. При преминаване от мащаба на контурните карти към мащаба на „крайбрежните камъчета“ той стига до странен и неочакван извод: дължината на бреговата линия се увеличава за неопределено време и това увеличение няма граница. Гладките, извити линии не се държат така. Емпирични данни от Ричардсън, получени на карти с все по-големи мащаби, показват степенно увеличение на дължината на бреговата линия с намаляване на стъпката на измерване:

В тази проста формула на Ричардсън Lима измерена дължина на брега, ε Е величината на стъпката на измерване и β ≈ 3/2 е степента на нарастване на бреговата дължина, установена от него с намаляване на стъпката на измерване. За разлика от обиколката, дължината на бреговата линия на Обединеното кралство се увеличава над 55 -тата граница. Безкрайно е! Трябва да се примирим с факта, че кривите са счупени, негладки, нямат ограничаваща дължина.

Изследването на Ричардсън обаче предполага, че те имат някаква характерна мярка за степента, до която дължината се увеличава с намаляване на мащаба. Оказа се, че именно тази стойност мистично идентифицира прекъснатата линия като пръстов отпечатък на личността на човек. Манделброт интерпретира бреговата линия като фрактален обект - обект, чието измерение съвпада с показателя β.

Например размерите на крайбрежните гранични криви за западното крайбрежие на Норвегия са 1,52; за Великобритания - 1,25; за Германия - 1,15; за Австралия - 1,13; за сравнително гладкото крайбрежие на Южна Африка - 1,02; и накрая, за идеално гладък кръг - 1,0.

Гледайки фрагмент от фрактал, не можете да кажете какво е неговото измерение. И причината не е в геометричната сложност на фрагмента, фрагментът може да бъде много прост, а в това, че фракталното измерение отразява не само формата на фрагмента, но и формата на трансформацията на фрагмента в процеса за конструиране на фрактала. Фракталното измерение е така или иначе премахнато от формата. Поради това стойността на фракталната величина остава инвариантна; ​​тя е еднаква за всеки фрагмент от фрактала във всеки мащаб на изследването. Не може да се „хване с пръсти“, но може да се изчисли.

ФРАКТАЛНО ПОВТОРЕНИЕ.Повторенията могат да бъдат моделирани с помощта на нелинейни уравнения. Линейните уравнения се характеризират с индивидуално съответствие на променливите: всяка стойност NSсъвпада с една и само една стойност прии обратно. Например уравнението x + y = 1 е линейно. Поведението на линейните функции е напълно детерминирано, еднозначно определено от началните условия. Поведението на нелинейните функции не е толкова еднозначно, защото две различни начални условия могат да доведат до един и същ резултат. На тази основа повторението на повторението на операцията се появява в два различни формата. Тя може да има характер на линейна препратка, когато на всяка стъпка от изчисленията има връщане към първоначалното условие. Това е един вид „итерация на модел“. Серийното производство на конвейер е „итерация на модел“. Итерацията в линейния референтен формат не зависи от междинните състояния на еволюцията на системата. Тук всяка нова итерация започва от печката. Съвсем различен е въпросът, когато итерацията има формат на рекурсия, т.е. резултатът от предишната стъпка на итерация се превръща в първоначалното условие за следващата.

Рекурсията може да бъде илюстрирана от поредицата Фибоначи, представена под формата на последователност на Жирар:

u n +2 = u n +1 +u n

Резултат - числата на Фибоначи:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

В този пример е съвсем очевидно, че функцията се прилага към себе си, без да се позовава на първоначалната стойност. Изглежда, че се плъзга по поредицата на Фибоначи и всеки резултат от предишната итерация става начална стойност за следващата. Това повторение се реализира при конструирането на фрактални форми.

Нека покажем как се прилага фрактално повторение в алгоритмите за конструиране на „салфетка Sierpinski“ (използвайки метода на рязане и метода CIF).

Метод на рязане.Вземете равностранен триъгълник със страна r... На първата стъпка, в центъра му, изрязахме равностранен триъгълник със странична дължина, обърната с главата надолу r 1 = r 0/2. В резултат на тази стъпка получаваме три равностранени триъгълника със странични дължини r 1 = r 0/2, разположен при върховете на оригиналния триъгълник (фиг. 2).

Във втората стъпка във всеки от трите образувани триъгълника изрязахме обърнати вписани триъгълници със странична дължина r 2 = r 1 /2 = r 0/4. Резултат - 9 триъгълника със странична дължина r 2 = r 0/4. В резултат на това формата на салфетката Sierpinski постепенно става все по -определена. Фиксирането се случва на всяка стъпка. Всички предишни ангажименти са "изтрити" така или иначе.

Метод SIF или метод на итерационни функционални системи на Барнсли.Дадено: равностранен триъгълник с координати на ъглите A (0,0), B (1,0), C (1/2, √3 / 2). Z 0 - произволна точка вътре в този триъгълник (фиг. 3). Взимаме зар, по ръбовете на който има две букви A, B и C.

Стъпка 1. Разточете костта. Вероятността всяка буква да изпадне е 2/6 = 1/3.

• Ако буквата А отпадне, конструираме отсечка z 0 –A, в средата на която поставяме точка z 1
• Ако буквата B изпадне, конструираме отсечка z 0 –B, в средата на която поставяме точка z 1
• Ако буквата C изпадне, конструираме отсечка z 0 –C, в средата на която поставяме точка z 1

Стъпка 2. Разточете костта отново.

• Ако буквата А отпадне, конструираме отсечка z 1 –A, в средата на която поставяме точка z 2
• Ако буквата B изпадне, конструираме отсечка z 1 –B, в средата на която поставяме точка z 2
• Ако буквата C изпадне, конструираме отсечка z 1 –C, в средата на която поставяме точка z 2

Повтаряйки операцията много пъти, получаваме точки z 3, z 4,…, z n. Особеността на всеки от тях е, че точката е точно на половината път от предишната до произволно избрана върхова точка. Сега, ако изхвърлим началните точки, например от z 0 до z 100, тогава останалите, с достатъчно голям брой от тях, образуват структурата на „салфетка Sierpinski“. Колкото повече точки, толкова повече повторения, толкова по -ясен е фракталът на Sierpinski за наблюдателя. И това въпреки факта, че процесът върви, изглежда, по случаен начин (благодарение на заровете). „Салфетката Sierpinski“ е един вид атрактор на процеса, тоест фигурата, към която се стремят всички траектории, изградени в този процес с достатъчно голям брой итерации. В този случай фиксирането на изображението е кумулативен, натрупващ се процес. Всяка отделна точка може би никога няма да съвпадне с точката на фрактала на Сиерпински, но всяка следваща точка от този процес, организирана „случайно“, се привлича все по -близо до точките на „салфетката„ Сирпински “.

ОБРАТНА ВРЪЗКА.Основателят на кибернетиката, Норберт Винер, е използвал кормиловод на лодка като пример, за да опише веригата за обратна връзка. Рулевият трябва да остане на курса и непрекъснато да преценява колко добре е лодката на курса. Ако кормилото види, че лодката се отклонява, той връща кормилото обратно към зададения курс. След известно време той оценява отново и отново коригира посоката на движение с помощта на кормилото. По този начин навигацията се извършва с помощта на итерации, повторения и последователен подход на движението на лодката към даден курс.

Типичен контур за обратна връзка е показан на фиг. 4 Това се свежда до промяна на променливите параметри (посока на лодката) и контролирания параметър C (насочване на лодката).

Помислете за картографирането на Bernoulli Shift. Нека за начално състояние бъде избрано някакво число, което принадлежи на интервала от 0 до 1. Нека запишем това число в двоичната система с числа:

x 0 = 0,01011010001010011001010 ...

Една стъпка от еволюцията във времето е, че последователността от нули и единици се измества наляво с една позиция, а цифрата от лявата страна на десетичната запетая се изхвърля:

x 1 = 0.1011010001010011001010 ...

x 2 = 0,011010001010011001010 ...

x 3 = 0,11010001010011001010 ...

Обърнете внимание, че ако оригиналните номера x 0рационални, след това по време на итерацията стойностите NSнотидете на периодична орбита. Например, за семена от 11/24, ние ще получим редица стойности по време на итерацията:

11/24 -> 11/12 -> 5/6 -> 2/3 -> 1/3 -> 2/3 -> 1/3 -> …

Ако първоначалните стойности x 0нерационален, дисплеят никога няма да премине в периодичен режим. Обхватът на началните стойности x 0 ∈ съдържа безкрайно много рационални точки и безкрайно много ирационални точки. По този начин плътността на периодичните орбити е равна на плътността на орбитите, които никога не влизат в периодичния режим. Във всеки квартал с рационална стойност x 0има ирационална стойност на първоначалния параметър x'0При това състояние на нещата неизбежно възниква фина чувствителност към първоначалните условия. Това е характерен знак, че системата е в състояние на динамичен хаос.

ЕЛЕМЕНТРНИ ОБРАТНИ ПАНТИ.Обратното е необходимо условие и следствие от всеки страничен поглед, който се изненада. Иконата на обръщащия контур може да бъде лента на Мобиус, в която долната й страна с всеки кръг се превръща в горната, вътрешната става външна и обратно. Натрупването на разлики в обратния процес първо премахва изображението от оригиналното и след това се връща към него. В логиката обратният цикъл е илюстриран от парадокса на Епименид: „Всички критяни са лъжци“. Но самият Епименид беше крит.

STRANGE LOOP.Динамичната същност на феномена на странния цикъл се свежда до факта, че изображението, трансформиращо се и ставащо все по -различно от оригинала, в процеса на множество деформации се връща към първоначалното изображение, но никога не го повтаря точно. Описвайки това явление, Хофщадтер въвежда термина „странен цикъл“ в книгата. Той заключава, че и Ешер, и Бах, и Гьодел са открили или по -точно са използвали странни контури в своите произведения и творчество съответно във визуалните изкуства, музиката и математиката. В „Метаморфози“ Ешер открива странната съгласуваност на различни нива на реалността. Формите на една от художествените перспективи пластично се трансформират във формите на друга художествена перспектива (фиг. 5).

Ориз. 5. Мауриц Ешер. Рисуване на ръце. 1948 г.

Тази странност се проявява по странен начин в музиката. Един от каноните на „Музикалното предлагане“ на Бах ( Canon per Tonos- Тоналният канон) е проектиран по такъв начин, че видимият му финал неочаквано плавно преминава към началото, но с изместване на клавиша. Тези последователни модулации отвеждат слушателя все по -високо от първоначалния ключ. Обаче по чудо, след шест модулации, ние почти се връщаме. Всички гласове сега звучат точно с една октава по -високо, отколкото в началото. Странното е само, че докато се изкачваме на нивата на определена йерархия, изведнъж се оказваме на почти същото място, откъдето започнахме нашето пътуване - връщане без повторение.

Кърт Гьодел открил странни контури в една от най -старите и усвоени области на математиката - теорията на числата. Теоремата на Гьодел за първи път видя бял свят като Теорема VI в своята статия от 1931 г. „За формално неразрешими съждения“ в Principle Mathematica. Теоремата гласи следното: всички последователни аксиоматични формулировки на теорията на числата съдържат неразрешими предложения. Предложенията на теорията на числата не казват нищо за предложенията на теорията на числата; те не са нищо повече от преценки на теорията на числата. Тук има цикъл, но няма никаква странност. Странен цикъл е скрит в доказателството.

ЧУДЕН АТРАКТОР.Атрактор (от англ. привличатпривличане) точка или затворена линия, която привлича всички възможни траектории на поведението на системата. Атракторът е стабилен, тоест в дългосрочен план единственият възможен модел на поведение на атрактора, всичко останало е временно. Атракторът е пространствено-времеви обект, който обхваща целия процес, а не е негова причина или следствие. Тя се формира само от системи с ограничен брой степени на свобода. Атракторите могат да бъдат точка, окръжност, тор и фрактал. В последния случай атракторът се нарича „странен“ (фиг. 6).

Точков атрактор описва всяко стабилно състояние на системата. Във фазовото пространство това е точка, около която се образуват локални траектории на „възел“, „фокус“ ​​или „седло“. Ето как се държи махалото: при всяка начална скорост и всяко начално положение, след достатъчно време, под действието на триене, махалото спира и стига до състояние на стабилно равновесие. Кръгов (цикличен) атрактор е движение напред -назад, като идеално махало (без триене), в кръг.

Странни атрактори ( странни атрактори)изглеждат странни само отвън, но терминът „странен атрактор“ се разпространява веднага след появата през 1971 г. на статия от Дейвид Руел и холандеца Флорис Такенс „Природата на турбуленцията“ (вижте също). Ruelle and Takens се чудеха дали някой атрактор има подходящ набор от характеристики: стабилност, ограничен брой степени на свобода и непериодичност. Геометрично въпросът изглеждаше като чист пъзел. Каква форма трябва да има една безкрайно дълга траектория, изобразена в ограничено пространство, така че никога да не се повтаря или пресича? За да възпроизведе всеки ритъм, орбитата трябва да бъде безкрайно дълга линия в ограничена зона, с други думи, да се самопоглъща (фиг. 7).

До 1971 г. в научната литература вече имаше една скица на такъв атрактор. Едуард Лоренц го направи допълнение към своята статия от 1963 г. за детерминистичния хаос. Този атрактор е стабилен, непериодичен, има малък брой степени на свобода и никога не се пресича. Ако нещо подобно се случи и той се върне до точката, която вече е преминал, движението ще се повтори в бъдеще, образувайки тороидален атрактор, но това не се случи.

Странността на атрактора се крие, както смята Руел, в три нееквивалентни, но на практика съществуващи заедно характеристики:

• фракталност (гнездене, сходство, последователност);
• детерминизъм (зависимост от началните условия);
• особености (краен брой определящи параметри).

Част III. ВНИМАТЕЛНА ЛЕКОТА НА ФРАКТАЛНИТЕ ФОРМИ

ВЪЗМОЖНИ НОМЕРА, ФАЗНИ ПОРТРЕТИ И ВЕРОЯТНОСТ.Фракталната геометрия се основава на теорията на въображаемите числа, динамичните фазови портрети и теорията на вероятностите. Теорията на въображаемите числа предполага, че има квадратен корен от минус едно. Джероламо Кардано в своята работа „Великото изкуство“ („Ars Magna“, 1545) представя общо решение на кубичното уравнение z 3 + pz + q = 0. Кардано използва въображаемите числа като средство за технически формализъм, за да изрази корени на уравнението. Той забелязва странност, която илюстрира с простото уравнение x 3 = 15x + 4. Това уравнение има едно очевидно решение: x = 4. Обобщаващата формула обаче дава странен резултат. Той съдържа корена на отрицателно число:

Рафаел Бомбели в книгата си по алгебра ("L'Algebra", 1560) посочва, че = 2 ± i, и това веднага му позволява да получи реален корен x = 4. В подобни случаи, когато комплексните числа са спрегнати, получаваме реален корен, а комплексните числа служат като техническа помощ в процеса на получаване на решение на кубично уравнение.

Нютон вярва, че решенията, съдържащи корен от минус едно, трябва да се считат за „не физически значими“ и да се изхвърлят. През XVII-XVIII век се формира разбирането, че нещо въображаемо, духовно, въображаемо е не по-малко реално от всичко реално взето заедно. Можем дори да назовем точната дата 10 ноември 1619 г., когато Декарт формулира манифеста на новото мислене „cogito ergo sum“. От този момент нататък мисълта е абсолютна и несъмнена реалност: „ако мисля, значи означава, че съществувам“! По -точно, сега мисълта се възприема като реалност. Идеята на Декарт за ортогонална координатна система, благодарение на въображаемите числа, придобива своята пълнота. Сега е възможно тези въображаеми числа да се запълнят със значения.

През 19 век аритметичният апарат за работа със сложни числа е разработен от произведенията на Ойлер, Арган, Коши, Хамилтън. Всяко комплексно число може да бъде представено като сумата X + iY, където X и Y са реални числа, с които сме свикнали, и iвъображаема единица (всъщност е √ - 1). Всяко комплексно число съответства на точка с координати (X, Y) на така наречената сложна равнина.

Втората важна концепция - фазовият портрет на динамична система се формира през XX век. След като Айнщайн показа, че всичко се движи със същата скорост по отношение на светлината, идеята за възможността за изразяване на динамичното поведение на системата във формата на замразени геометрични линии, така наречения фазов портрет на динамична система, придобива ясен физически смисъл.

Нека го илюстрираме с примера на махало. Първите опити с махало са проведени от Жан Фуко през 1851 г. в мазе, след това в Парижката обсерватория, след това под купола на Пантеона. Накрая, през 1855 г., махалото на Фуко е окачено под купола на парижката църква Сен Мартин дьо Чан. Дължината на въжето на махалото на Фуко е 67 м, теглото на теглото е 28 кг. От голямо разстояние махалото изглежда като точка. Въпросът винаги е неподвижен. Приближавайки се, ние различаваме система с три типични траектории: хармоничен осцилатор (sinϕ ≈ ϕ), махало (трептения напред -назад), витло (въртене).

Когато местният наблюдател види една от трите възможни конфигурации на движение на топката, отстраненият от процеса анализатор може да приеме, че топката извършва едно от трите типични движения. Това може да бъде изобразено на един план. Необходимо е да се съгласим, че ще преместим „топката по нишка“ в абстрактно фазово пространство, което има толкова координати, колкото степента на свобода на разглежданата система. В този случай говорим за две степени на свобода на скоростта vи ъгълът на наклон на конеца с топката към вертикалата ϕ. В координатите ϕ и v траекторията на хармоничния осцилатор е система от концентрични кръгове, тъй като ъгълът ϕ се увеличава, тези окръжности стават овални, а при ϕ = ± π затварянето на овала се губи. Това означава, че махалото е преминало в режим на витло: v = const(фиг. 8).

Ориз. 8. Махало: а) траектория във фазовото пространство на идеално махало; б) траектория във фазовото пространство на махало, люлеещо се с амортизация; в) фазов портрет

Възможно е във фазовото пространство да няма дължини, продължителност или движения. Тук всяко действие е предварително зададено, но не всички са валидни. От геометрията остава само топологията, вместо мерки, параметри, вместо размери, размери. Тук всяка динамична система има свой уникален отпечатък, фазов портрет. И сред тях има доста странни фазови портрети: тъй като са сложни, те се определят от един -единствен параметър; като са съизмерими, те са непропорционални; като непрекъснати, те са дискретни. Такива странни фазови портрети са характерни за системи с фрактална конфигурация на атрактори. Дискретността на центровете на привличане (атрактори) създава ефект на квант на действие, ефект на пролука или скок, докато траекториите поддържат непрекъснатост и създават една единствена свързана форма на странен атрактор.

КЛАСИФИКАЦИЯ НА ФРАКТАЛИ.Фракталът има три ипостаси: формална, оперативна и символична, които са ортогонални една към друга. И това означава, че една и съща фрактална форма може да бъде получена с помощта на различни алгоритми и един и същ номер на фрактална размерност може да се появи за напълно различни фрактали по форма. Като вземем предвид тези забележки, ние класифицираме фракталите според символични, формални и оперативни характеристики:

• символично, измерението, характерно за фрактал, може да бъде цяло или дробно;
• на формална основа фракталите могат да бъдат кохерентни, като лист или облак, и несвързани, като прах;
• на оперативна основа фракталите могат да бъдат разделени на правилни и стохастични.

Редовните фрактали се изграждат по строго определен алгоритъм. В този случай строителният процес е обратим. Можете да повторите всички операции в обратен ред, като изтриете всяко изображение, създадено в процеса на детерминистичния алгоритъм, точка по точка. Детерминираният алгоритъм може да бъде линеен или нелинеен.

Стохастичните фрактали, сходни в стохастичния смисъл, възникват, когато в алгоритъма на тяхното изграждане, в хода на итерациите, всички параметри се променят на случаен принцип. Терминът "стохастичност" идва от гръцката дума стохазис- предполагам, предполагам. Стохастичният процес е процес, чийто характер на промяната не може да бъде точно предвиден. Фракталите се произвеждат по прищявка на природата (повърхности на счупване на скали, облаци, бурни потоци, пяна, гелове, контури на частици сажди, промени в цените на акциите и нивата на реките и др.), Лишени са от геометрично сходство, но постоянно се възпроизвеждат в всеки фрагмент средно статистическите свойства на цялото. Компютърът ви позволява да генерирате последователности от псевдослучайни числа и незабавно да симулирате стохастични алгоритми и форми.

ЛИНЕЙНИ ФРАКТАЛИ.Линейните фрактали са наречени така, защото всички са изградени съгласно определен линеен алгоритъм. Тези фрактали са подобни на себе си, не се изкривяват при никаква промяна в мащаба и не се диференцират в нито един момент. За изграждането на такива фрактали е достатъчно да се постави основа и фрагмент. Тези елементи ще се повтарят много пъти с намаляващ мащаб до безкрайност.

Прах от Кантор.През 19 век немският математик Георг Фердинанд Лудвиг Филип Кантор (1845-1918) предлага на математическата общност странен набор от числа в диапазона от 0 до 1. Наборът съдържа безкраен брой елементи в посочения интервал и, освен това имаше нулево измерение. Стрела, изстреляна на случаен принцип, едва ли би ударила дори един елемент от това множество.

Първо трябва да изберете сегмент с единична дължина (първа стъпка: n = 0), след това да го разделите на три части и да премахнете средната третина (n = 1). След това ще направим същото с всеки от формираните сегменти. В резултат на безкраен брой повторения на операцията, получаваме желания набор "прах на Кантор". Сега няма противопоставяне между прекъснатото и безкрайно делимото, „прахът на Кантор“ е и двете (виж фиг. 1). „Канторовият прах“ е фрактал. Неговият фрактален размер е 0.6304 ...

Един от двуизмерните аналози на едномерното множество Кантор е описан от полския математик Вацлав Серпински. Нарича се „канторски килим“ или по -често „килим Сиерпински“. Той е строго подобен на себе си. Можем да изчислим фракталната му величина като ln8 / lnЗ = 1,89 ... (фиг. 9).

ЛИНИИ, ПЪЛВАЩИ САМОЛЕТА.Помислете за цяло семейство от правилни фрактали, които са криви, които могат да запълнят равнина. Дори Лайбниц заяви: „Ако приемем, че някой случайно поставя много точки на хартия,<… >Казвам, че е възможно да се идентифицира постоянна и интегрална геометрична линия, която се подчинява на определено правило, което ще премине през всички точки. " Това твърдение на Лайбниц противоречи на евклидовото разбиране за измерението като най -малкия брой параметри, чрез които позицията на точка в пространството се определя еднозначно. При липсата на строго доказателство тези идеи на Лайбниц останаха в периферията на математическата мисъл.

Peano крива.Но през 1890 г. математик от Италия, Джузепе Пеано, конструира линия, която напълно покрива равна повърхност, преминаваща през всичките й точки. Конструкцията на "кривата на Peano" е показана на фиг. десет.

Докато топологичното измерение на кривата на Peano е равно на единица, фракталното му измерение е d = ln (1/9)/ln (1/3) = 2. В рамките на фракталната геометрия парадоксът беше разрешен в най -естествената начин. Линия, подобно на паяжина, може да покрие самолет. В този случай се установява съответствие едно към едно: всяка точка на линията съответства на точка в равнината. Но това съответствие не е едно към едно, защото всяка точка в равнината съответства на една или повече точки на правата.

Крива на Хилберт.Година по -късно, през 1891 г., се появява статия на немския математик Дейвид Хилберт (1862–1943), в която той представя крива, покриваща равнина без пресичания и допирания. Конструкцията на "кривата на Хилберт" е показана на фиг. единадесет.

Кривата на Хилберт е първият пример за криви FASS (запълване на пространство, самоизбягване, просто и самоподобно на самоизбягващи се запълващи пространството, прости и подобни на себе си линии). Фракталното измерение на линията на Гилбърт, подобно на кривата на Пеано, е две.

Лентата на Минковски.Херман Минковски, близък приятел на Хилберт от студентските му години, е изградил крива, която не покрива цялата равнина, но образува нещо като панделка. При изграждането на "лентата на Минковски" на всяка стъпка всеки сегмент се заменя с прекъсната линия, състояща се от 8 сегмента. На следващия етап, с всеки нов сегмент, операцията се повтаря в мащаб 1: 4. Фракталното измерение на лентата на Минковски е d = ln (l / 8) / ln (1/4) = 1,5.

НЕЛИНЕЙНИ ФРАКТАЛИ.Най -простото нелинейно картографиране на сложната равнина върху себе си е разгледаното в първата част Julia картиране zgz 2 + C. Това е изчисление по затворен цикъл, при което резултатът от предишния цикъл се умножава сам по себе си с константа, добавена към това, тоест това е квадратен цикъл на обратна връзка (фиг. 13).

В процеса на итерации при фиксирана стойност на константата C, в зависимост от произволна начална точка Z 0, точката Z n при н-> ∞ може да бъде краен или безкраен. Всичко зависи от позицията на Z 0 спрямо началото на z = 0. Ако изчислената стойност е крайна, тогава тя се включва в множеството Julia; ако отиде до безкрайност, значи е отрязан от комплекта Джулия.

Формата, която се получава след прилагане на картата на Джулия към точките на определена повърхност, се определя еднозначно от параметъра С. За малки C това са прости свързани бримки, за големи C това са групи от разединени, но строго подредени точки. Като цяло всички форми на Джулия могат да бъдат разделени на две големи семейства - свързани и разединени карти. Първите напомнят снежинката на Кох, вторите са прах на Кантор.

Разнообразието от форми на Джулия обезкуражи математиците, когато за първи път успяха да наблюдават тези форми на компютърни монитори. Опитите за класиране на това многообразие бяха много условни и се сведоха до факта, че множеството Манделброт е взето като основа за класификацията на картографирането на Джулия, чиито граници, както се оказа, са асимптотично подобни на картографирането на Джулия.

При C = 0, повторението на картата Julia дава последователност от числа z 0, z 0 2, z 0 4, z 0 8, z 0 16 ... В резултат на това са възможни три варианта:

• за | z 0 |< 1 в процессе итераций числа z n по модулю будут уменьшаться, последовательно приближаясь к нулю. Иными словами, ноль есть точечный аттрактор;
• за | z 0 | > 1 в хода на итерациите числата z n се увеличават по абсолютна стойност, като се стремят към безкрайност. В този случай атракторът е точката в безкрайност и ние изключваме такива стойности от множеството Julia;
• за | z 0 | = 1 всички точки от поредицата продължават да остават в тази единична окръжност. В този случай атракторът е кръг.

Така при С = 0 границата между привличащата и отблъскващата начална точка е окръжност. В този случай картографирането има две неподвижни точки: z = 0 и z = 1. Първата от тях е привлекателна, тъй като производната на квадратната функция при нула е 0, а втората е отблъскваща, тъй като производната на квадратичната функция при стойността на параметъра е равна на две.

Помислете за ситуацията, когато константата C е реално число, т.е. изглежда се движим по оста на множеството на Манделброт (фиг. 14). Когато С = –0,75, границата на множеството Джулия се пресича и се появява втори атрактор. Фракталът в този момент носи името на фрактала Сан Марко, даден му от Манделброт в чест на прочутата венецианска катедрала. Разглеждайки чертежа, не е трудно да се разбере защо Манделброт е имал идеята да кръсти фрактала точно на тази структура: сходството е невероятно.

Ориз. 14. Промяна във формата на множеството Julia, когато реалната стойност C намалее от 0 на -1

Намалявайки допълнително С до –1.25, получаваме нова типична форма с четири фиксирани точки, които остават до стойности С< 2. При С = 2 множество Жюлиа вырождается в отрезок, который тут же распадается в пыль, аналогичную «пыли Кантора» (рис. 15).

Ориз. 15. Появата на нови форми на множеството Джулия с намаляване на реалната стойност C< –1

Така че, дори оставайки на оста на фрактала на Манделброт (константата С е реално число), ние „уловихме“ в полето на вниманието и по някакъв начин класирахме доста голямо разнообразие от форми на Джулия от кръг до прах. Нека сега разгледаме знаковите области на фрактала на Манделброт и съответните форми на фракталите на Джулия. Първо, нека опишем фрактала на Манделброт в термините „кардиоид“, „бъбрек“ и „лук“ (фиг. 16).

Основният кардиоид и прилежащият кръг образуват основната форма на фрактала на Манделброт. Те са в съседство с безкраен брой негови копия, които обикновено се наричат ​​бъбреци. Всяка от тези пъпки е покрита с безкраен брой по -малки пъпки, подобни една на друга. Двете най -големи пъпки над и под основния кардиоид се наричат ​​лук.

Французинът Адриен Дауди и американецът Бил Хъбард, които изучаваха типичния фрактал от това множество (С = –0,12 + 0,74i), го наричаха „заешки фрактал“ (фиг. 17).

При преминаване на границата на фрактала Манделброт фракталите на Джулия винаги губят свързаност и се превръщат в прах, който обикновено се нарича "прах на Фату" в чест на Пиер Фату, който доказа, че за определени стойности на С безкрайно далечна точка привлича цялата сложна равнина, с изключение на много тънък набор като прах (фиг. 18).

СТОХАСТИЧНИ ФРАКТИ.Съществува значителна разлика между строго себеподобната крива на фон Кох и например крайбрежието на Норвегия. Последният, макар и да не е строго себеподобен, проявява сходство в статистически смисъл. В този случай и двете криви са счупени толкова много, че не можете да начертаете допирателна към някоя от техните точки или, с други думи, не можете да я разграничите. Такива криви са един вид „чудовища“ сред нормалните евклидови линии. Карл Теодор Вилхелм Вайерщрас е първият, който конструира непрекъсната функция, която няма допирателна в нито една от точките си. Работата му е представена на Кралската пруска академия на 18 юли 1872 г. и публикувана през 1875 г. Описаните от Weierstrass функции изглеждат като шум (фиг. 19).

Погледнете графиките на фондовата борса, обобщение на колебанията на температурата или въздушното налягане и ще откриете някаква редовна нередност. Освен това, с увеличаване на мащаба, характерът на нередността остава. И това ни препраща към фракталната геометрия.

Брауновото движение е един от най -известните примери за стохастичен процес. През 1926 г. Жан Перин получава Нобелова награда за изследванията си относно природата на броуновското движение. Именно той обърна внимание на самоподобността и неразличимостта на броуновската траектория.