Разделы сайта
Выбор редакции:
- Лабораторная работа по информатике "работа с каталогами информационных образовательных ресурсов" Министерство образования РФ
- Сочинение My working day на английском с переводом
- Star wars: история далекой-далекой галактики - легенды и сказания
- Импульс силы можно рассчитать по формуле
- ю Высшие и центральные государственные учреждения
- Милославская мария борисовна совет федерации
- Духовно-рыцарские ордена – кратко
- Великая французская революция
- Загадочная цивилизация мерое Прогулка по древнему городу
- Сочинение Pros and cons of the Internet на английском с переводом
Реклама
Описание параболы. Парабола: определение, свойства, построение, каноническое уравнение. Гипербола и её каноническое уравнение |
Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки F и заданной прямой dd, не проходящей через заданную точку. Это геометрическое определение выражает директориальное свойство параболы . Директориальное свойство парабол Точка F называется фокусом параболы, прямая d - директрисой параболы, середина O перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису, - вершиной параболы, расстояние p от фокуса до директрисы - параметром параболы, а расстояние p2от вершины параболы до её фокуса - фокусным расстоянием. Прямая, перпендикулярная директрисе и проходящая через фокус, называется осью параболы (фокальной осью параболы). Отрезок FM, соединяющий произвольную точку M параболы с её фокусом, называется фокальным радиусом точки M. Отрезок, соединяющий две точки параболы, называется хордой параболы. Для произвольной точки параболы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы равно единице. Сравнивая директориальные свойства эллипса, гиперболы и параболы, заключаем, что эксцентриситет параболы по определению равен единице Геометрическое определение параболы , выражающее её директориальное свойство, эквивалентно её аналитическому определению - линии, задаваемой каноническим уравнением параболы: Свойства
Функция одной действительной переменной: основные понятия, примеры. Определение: Если каждому значению х числового множества X по правилу f соответствует единственное число множества Y, то говорят, что на числовом множестве X задана функция у = f(x), значения х определяются множеством значений, входящих в область определения функции (Х) . Рассмотрим на плоскости прямую и точку, не лежащую на этой прямой. И эллипс , и гипербола могут быть определены единым образом как геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до данной точки к расстоянию до данной прямой есть постоянная вели- чина ε. При 0 1 - гипербола. Параметр ε является эксцентриситетом как эллипса, так и гиперболы . Из возможных положительных значений параметра ε одно, а именно ε = 1, оказывается незадействованным. Этому значению соответствует геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки и от данной прямой. Определение 8.1. Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки и от фиксированной прямой, называют параболой. Фиксированную точку называют фокусом параболы , а прямую - директрисой параболы . При этом полагают, что эксцентриситет параболы равен единице. Из геометрических соображений вытекает, что парабола симметрична относительно прямой, перпендикулярной директрисе и проходящей через фокус параболы. Эту прямую называют осью симметрии параболы или просто осью параболы . Парабола пересекается со своей осью симметрии в единственной точке. Эту точку называют вершиной параболы . Она расположена в середине отрезка, соединяющего фокус параболы с точкой пересечения ее оси с директрисой (рис. 8.3). Уравнение параболы. Для вывода уравнения параболы выберем на плоскости начало координат в вершине параболы, в качестве оси абсцисс - ось параболы, положительное направление на которой задается положением фокуса (см. рис. 8.3). Эту систему координат называют канонической для рассматриваемой параболы, а соответствующие переменные - каноническими . Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через p. Его называют фокальным параметром параболы . Тогда фокус имеет координаты F(p/2; 0), а директриса d описывается уравнением x = - p/2. Геометрическое место точек M(x; y), равноудаленных от точки F и от прямой d, задается уравнением Возведем уравнение (8.2) в квадрат и приведем подобные. Получим уравнение которое называют каноническим уравнением параболы . Отметим, что возведение в квадрат в данном случае - эквивалентное преобразование урав-нения (8.2), так как обе части уравнения неотрицательны, как и выражение под радикалом. Вид параболы. Если параболу у 2 = x, вид которой считаем известным, сжать с коэффициентом 1/(2р) вдоль оси абсцисс, то получится парабола общего вида, которая описывается уравнением (8.3). Пример 8.2. Найдем координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, если она проходит через точку, канонические координаты которой (25; 10). В канонических координатах уравнение параболы имеет вид у 2 = 2px. Поскольку точка (25; 10) находится на параболе, то 100 = 50p и поэтому p = 2. Следовательно, у 2 = 4x является каноническим уравнением параболы, x = - 1 - уравнением ее директрисы, а фокус находится в точке (1; 0). Оптическое свойство параболы. Парабола имеет следующее оптическое свойство . Если в фокус параболы поместить источник света, то все световые лучи после отражения от параболы будут параллельны оси параболы (рис. 8.4). Оптическое свойство означает, что в любой точке M параболы нормальный вектор касательной составляет с фокальным радиусом MF и осью абсцисс одинаковые углы. Во всей этой главе предполагается, что в плоскости (в которой лежат все рассматриваемые далее фигуры) выбран определенный масштаб; рассматриваются лишь прямоугольные системы координат с этим масштабом. § 1. ПараболаПарабола известна читателю из школьного курса математики как кривая, являющаяся графиком функции (рис. 76). (1) График любого квадратного трехчлена также является параболой; можно посредством одного лишь сдвига системы координат (на некоторый вектор ОО), т. е. преобразования достигнуть того, чтобы график функции (во второй системе координат) совпадал с графиком (2) (в первой системе координат). В самом деле, произведем подстановку (3) в равенство (2). Получим Мы хотим подобрать так, чтобы коэффициент при и свободный член многочлена (относительно ) в правой части этого равенства были равны нулю. Для этого определяем из уравнения что и дает Теперь определяем из условия в которое подставляем уже найденное значение . Получим Итак, посредством сдвига (3), в котором мы перешли к новой системе координат, в которой уравнение параболы (2) получило вид (рис. 77). Вернемся к уравнению (1). Оно может служить определением параболы. Напомним ее простейшие свойства. Кривая имеет ось симметрии: если точка удовлетворяет уравнению (1), то точка симметричная точке М относительно оси ординат, также удовлетворяет уравнению (1) - кривая симметрична относительно оси ординат (рис. 76). Если , то парабола (1) лежит в верхней полуплоскости , имея с осью абсцисс единственную общую точку О. При неограниченном возрастании модуля абсцисс ордината также неограниченно возрастает. Общий вид кривой дай на рис. 76, а. Если (рис. 76, б), то кривая расположена в нижней полуплоскости симметрично относительно оси абсцисс к кривой . Если перейти к новой системе координат, полученной из старой заменой положительного направления оси ординат на противоположное, то парабола, имеющая в старой системе уравнение , получит в новой системе координат уравнение у . Поэтому при изучении парабол можно ограничиться уравнениями (1), в которых . Поменяем, наконец, названия осей, т. е. перейдем к иовой системе координат, в которой осью ординат будет старая ось абсцисс, а осью абсцисс - старая ось ординат. В этой новой системе уравнение (1) запишется в виде Или, если число - обозначить через , в виде Уравнение (4) называется в аналитической геометрии каноническим уравнением параболы; прямоугольная система координат, в которой данная парабола имеет уравнение (4), называется канонической системой координат (для этой параболы). Сейчас мы установим геометрический смысл коэффициента . Для этого берем точку называемую фокусом параболы (4), и прямую d, определенную уравнением Эта прямая называется директрисой параболы (4) (см. рис. 78). Пусть - произвольная точка параболы (4). Из уравнения (4) следует, что Поэтому расстояние точки М от директрисы d есть число Расстояние точки М от фокуса F есть Но , поэтому Итак, все точки М параболы равноудалены от ее фокуса и директрисы: Обратно, каждая точка М, удовлетворяющая условию (8), лежит на параболе (4). В самом деле, Следовательно, и, после раскрытия скобок и приведения подобных членов, Мы доказали, что каждая парабола (4) есть геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса F и от директрисы d этой параболы. Вместе с тем мы установили и геометрический смысл коэффициента в уравнении (4): число равно расстоянию между фокусом и директрисой параболы. Пусть теперь на плоскости даны произвольно точка F и прямая d, не проходящая через эту точку. Докажем, что существует парабола с фокусом F и директрисой d. Для этого проведем через точку F прямую g (рис. 79), перпендикулярную к прямой d; точку пересечения обеих прямых обозначим через D; расстояние (т. е. расстояние между точкой F и прямой d) обозначим через . Прямую g превратим в ось, прнняв на ней направление DF в качестве положительного. Эту ось сделаем осью абсцисс прямоугольной системы координат, началом которой является середина О отрезка Тогда и прямая d получает уравнение . Теперь мы можем в выбранной системе координат написать каноническое уравнение параболы: причем точка F будет фокусом, а прямая d - директрисой параболы (4). Мы установили выше, что парабола есть геометрическое место точек М, равноудаленных от точки F и прямой d. Итак, мы можем дать такое геометрическое (т. е. не зависящее ни от какой системы координат) определение параболы. Определение. Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от некоторой фиксированной точки («фокуса» параболы) и некоторой фиксированной прямой («директрисы» параболы). Что такое парабола знают, пожалуй, все. А вот как ее правильно, грамотно использовать при решении различных практических задач, разберемся ниже. Сначала обозначим основные понятия, которые дает этому термину алгебра и геометрия. Рассмотрим все возможные виды этого графика. Узнаем все основные характеристики этой функции. Поймем основы построения кривой (геометрия). Научимся находить вершину, другие основные величины графика данного типа. Узнаем: как правильно строится искомая кривая по уравнению, на что надо обратить внимание. Посмотрим основное практическое применение этой уникальной величины в жизни человека. Что такое парабола и как она выглядитАлгебра: под этим термином понимается график квадратичной функции. Геометрия: это кривая второго порядка, имеющая ряд определенных особенностей: Каноническое уравнение параболыНа рисунке изображена прямоугольная система координат (XOY), экстремум, направление ветвей чертежа функции вдоль оси абсцисс. Каноническое уравнение имеет вид: y 2 = 2 * p * x, где коэффициент p – фокальный параметр параболы (AF). В алгебре оно запишется иначе: y = a x 2 + b x + c (узнаваемый шаблон: y = x 2). Свойства и график квадратичной функцииФункция обладает осью симметрии и центром (экстремум). Область определения – все значения оси абсцисс. Область значений функции – (-∞, М) или (М, +∞) зависит от направления ветвей кривой. Параметр М тут означает величину функции в вершине линии. Как определить, куда направлены ветви параболыЧтобы найти направление кривой такого типа из выражения, нужно определить знак перед первым параметром алгебраического выражения. Если а ˃ 0, то они направлены вверх. Если наоборот – вниз. Как найти вершину параболы по формулеНахождение экстремума является основным этапом при решении множества практических задач. Конечно, можно открыть специальные онлайн калькуляторы, но лучше это уметь делать самому. Как же ее определить? Есть специальная формула. Когда b не равно 0, надо искать координаты этой точки. Формулы нахождения вершины:
Пример. Имеется функция у = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Найдём вершины этой функции. Для такой линии:
Получаем координаты вершины (-2, -41). Смещение параболыКлассический случай, когда в квадратичной функции y = a x 2 + b x + c, второй и третий параметры равны 0, а = 1 – вершина находится в точке (0; 0). Движение по осям абсцисс или ординат обусловлено изменением параметров b и c соответственно. Сдвиг линии на плоскости будет осуществляться ровно на то количество единиц, чему равно значение параметра. Пример. Имеем: b = 2, c = 3. Это означает, что классический вид кривой сдвинется на 2 единичных отрезка по оси абсцисс и на 3 — по оси ординат. Как строить параболу по квадратному уравнениюШкольникам важно усвоить, как правильно начертить параболу по заданным параметрам. Анализируя выражения и уравнения, можно увидеть следующее:
Кроме того, места пересечения с ОХ можно найти, зная дискриминант (D) такой функции: D = (b 2 — 4 * a * c). Для этого нужно приравнять выражение к нулю. Наличие корней параболы зависит от результата:
Получаем алгоритм построения параболы:
Пример 1. Дана функция у = х 2 — 5 * х + 4. Необходимо построить параболу. Действуем по алгоритму:
Пример 2. Для функции у = 3 * х 2 — 2 * х — 1 нужно построить параболу. Действуем по приведенному алгоритму:
По полученным точкам можно построить параболу. Директриса, эксцентриситет, фокус параболыИсходя из канонического уравнения, фокус F имеет координаты (p/2, 0). Прямая АВ – директриса (своего рода хорда параболы определенной длины). Ее уравнение: х = -р/2. Эксцентриситет (константа) = 1. ЗаключениеМы рассмотрели тему, которую изучают школьники в средней школе. Теперь вы знаете, глядя на квадратичную функцию параболы, как найти её вершину, в какую сторону будут направлены ветви, есть ли смещение по осям, и, имея алгоритм построения, сможете начертить её график.
Урок: как построить параболу или квадратичную функцию? ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬПарабола — это график функции описанный формулой ax 2 +bx+c=0. 1) Формула параболы y=ax 2 +bx+c
, 2) , ее находят по формуле x=(-b)/2a , найденный x подставляем в уравнение параболы и находим y ; 3) Нули функции или по другому точки пересечения параболы с осью OX они еще называются корнями уравнения. Чтобы найти корни мы уравнение приравниваем к 0 ax 2 +bx+c=0 ; Виды уравнений: a) Полное квадратное уравнение имеет вид ax 2 +bx+c=0
и решается по дискриминанту; 4) Найти несколько дополнительных точек для построения функции. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬИ так теперь на примере разберем все по действиям: х -4 -3 -1 0 Подставляем вместо х в уравнение y=x 2 +4x+3 значения Пример №2: Пример №3 Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=0 Подписывайтесь на канал на YOUTUBE , чтобы быть в курсе всех новинок и готовится с нами к экзаменам. |
Популярное:
Новое
- Сочинение My working day на английском с переводом
- Star wars: история далекой-далекой галактики - легенды и сказания
- Импульс силы можно рассчитать по формуле
- ю Высшие и центральные государственные учреждения
- Милославская мария борисовна совет федерации
- Духовно-рыцарские ордена – кратко
- Великая французская революция
- Загадочная цивилизация мерое Прогулка по древнему городу
- Сочинение Pros and cons of the Internet на английском с переводом
- Мазепа и Кочубей: политический детектив эпохи Войска Запорожского Дочь кочубея