Ülesanne nr: 43791. Prototüübi nr:
Paat peab ületama jõge \(L = 21\) m laiuse ja voolukiirusega \(u =0,3\) m/s, et maanduda täpselt lähtekoha vastas. See võib liikuda erinevatel kiirustel, samas kui sekundites mõõdetud sõiduaeg määratakse avaldisega \(t = \frac(L)(u)(\mathop(\rm ctg)\nolimits)\alpha\, kus \( \alpha \) on teravnurk, mis määrab selle liikumise suuna (mõõdetuna rannikult). Millise minimaalse nurga \(\alpha \) (kraadides) peaks ujuma, et reisiaeg ei oleks pikem kui 70 s?
Vastus:

Ülesanne nr: 43793. Prototüübi nr:
Paat peab ületama jõe laiusega \(L = 63\) m ja voolukiirusega \(u =1\) m/s, et maanduda täpselt lähtekoha vastas. See võib liikuda erinevatel kiirustel, samas kui sekundites mõõdetud sõiduaeg määratakse avaldisega \(t = \frac(L)(u)(\mathop(\rm ctg)\nolimits)\alpha\, kus \( \alpha \) on teravnurk, mis määrab selle liikumise suuna (mõõdetuna rannikult). Millise minimaalse nurga \(\alpha \) (kraadides) peaks ujuma, et reisiaeg ei oleks pikem kui 63 s?
Vastus:

Ülesanne nr: 43795. Prototüübi nr:
Paat peab ületama jõge laiusega \(L = 49\) m ja voolu kiirusega \(u = 0,7\) m/s, et maanduda täpselt lähtekoha vastas. See võib liikuda erinevatel kiirustel, samas kui sekundites mõõdetud sõiduaeg määratakse avaldisega \(t = \frac(L)(u)(\mathop(\rm ctg)\nolimits)\alpha\, kus \( \alpha \) on teravnurk, mis määrab selle liikumise suuna (mõõdetuna rannikult). Millise minimaalse nurga \(\alpha \) (kraadides) peaks ujuma, et reisiaeg ei oleks pikem kui 70 s?
Vastus:

Ülesanne nr: 43797. Prototüübi nr:
Rulamees hüppab rööbastel seisvale platvormile kiirusega \(v = 3,2\) m/s teravnurga \(\alpha \) rööbaste suhtes. Tõuke pealt hakkab platvorm liikuma kiirusega \(u = \frac(m)((m + M))v\cos \alpha \) (m/s), kus \(m = 80\) kg on rulaga sõitja mass uisuga ja \(M = 240\) kg on platvormi mass. Mis on maksimaalne nurk \(\alpha \) (kraadides), mille juures peate hüppama, et kiirendada platvormi vähemalt 0,4 m/s?
Vastus:

Ülesanne nr: 43799. Prototüübi nr:
Rulamees hüppab rööbastel seisvale platvormile kiirusega \(v = 2,4\) m/s teravnurga \(\alpha \) rööbaste suhtes. Tõuke pealt hakkab platvorm liikuma kiirusega \(u = \frac(m)((m + M))v\cos \alpha \) (m/s), kus \(m = 70\) kg on uisuga rulataja mass ja \(M = 210\) kg on platvormi mass. Mis on maksimaalne nurk \(\alpha \) (kraadides), mille juures peate hüppama, et kiirendada platvormi vähemalt 0,3 m/s?
Vastus:

Ülesanne nr: 43801. Prototüübi nr:
Rulamees hüppab rööbastel seisvale platvormile kiirusega \(v = 2,4\) m/s teravnurga \(\alpha \) rööbaste suhtes. Tõuke pealt hakkab platvorm liikuma kiirusega \(u = \frac(m)((m + M))v\cos \alpha \) (m/s), kus \(m = 80\) kg on rulaga sõitja mass uisuga ja \(M = 240\) kg on platvormi mass. Mis on maksimaalne nurk \(\alpha \) (kraadides), mille juures peate hüppama, et kiirendada platvormi vähemalt 0,3 m/s?
Vastus:

Ülesanne nr: 43803. Prototüübi nr:
Rulamees hüppab rööbastel seisvale platvormile kiirusega \(v = 2,4\) m/s teravnurga \(\alpha \) rööbaste suhtes. Tõuke pealt hakkab platvorm liikuma kiirusega \(u = \frac(m)((m + M))v\cos \alpha \) (m/s), kus \(m = 75\) kg on rulataja mass koos uisuga ja \(M = 225\) kg on platvormi mass. Mis on maksimaalne nurk \(\alpha \) (kraadides), mille juures peate hüppama, et kiirendada platvormi vähemalt 0,3 m/s?
Vastus:

Ülesanne nr: 43805. Prototüübi nr:
Rulamees hüppab rööbastel seisvale platvormile kiirusega \(v = 2\) m/s teravnurga \(\alpha \) rööbaste suhtes. Tõuke pealt hakkab platvorm liikuma kiirusega \(u = \frac(m)((m + M))v\cos \alpha \) (m/s), kus \(m = 75\) kg on rulataja mass koos uisuga ja \(M = 225\) kg on platvormi mass. Mis on maksimaalne nurk \(\alpha \) (kraadides), mille juures peate hüppama, et kiirendada platvormi vähemalt 0,25 m/s?
Vastus:

28010. Paat peab ületama jõe laiusega L = 100 m ja voolu kiirusega u = 0,5 m/s nii, et maanduda täpselt lähtekoha vastas. See võib liikuda erinevatel kiirustel, samas kui sekundites mõõdetud sõiduaeg määratakse järgmise avaldise abil:

α on teravnurk, mis määrab selle liikumise suuna (mõõdetuna rannikult). Millise minimaalse nurga α (kraadides) all peaks ujuma, et reisiaeg ei ületaks 200 s.

Liikumise protsessi kujutamiseks koostame eskiisi:

Kui paat läheb sihtpunkti kalda suhtes 90 kraadise nurga all, siis kannab hoovus selle endaga kaasa ja sihtpunkti ta ei jõua. Seetõttu on vaja see suunata teatud nurga α all kaldale jõevoolu suunas. Peame määrama väikseima nurga α, mille puhul t ≤ 200.

Probleem taandub ebavõrdsuse lahendamisele:

Alates 00< α < 90 0 , то рассматриваем решение неравенства только для первой четверти (то есть, периодичность котангенса не учитываем). Изобразим решение неравенства графически:

Kootangensi definitsioon: täisnurkse kolmnurga teravnurga kotangens on külgneva jala ja vastassuunalise jala suhe.

Vaatleme kolmnurka AOB. Nurga AOB kootangens on 45 kraadi juures võrdne ühega ja on väiksem kui üks, kui AO jalg on väiksem kui OB-jalg. See juhtub siis, kui AOB nurk suureneb 45 kraadilt 90 kraadile, mis tähendab 45 0< α < 90 0 .

Seega peate ujuma kalda suhtes vähemalt 45-kraadise nurga all (valime intervallist väikseima nurga).

Vastus: 45

Lahendus.

Probleemis kirjeldatud olukorra jaoks olulised materiaalsed objektid on: paat, vesi jões, Maa pind, Maa gravitatsiooniväli ja õhk
Kaasame füüsilisse süsteemi ainult paadi ja me ... peame seda materiaalseks punktiks. Vastavalt probleemi seisukorrale on paadi kiirus konstantne, mistõttu võib selle liikumist pidada ühtlaseks ja sirgjooneliseks.Kuna paadi ja voolu kiirused on valguse kiirusega võrreldes väikesed, saab ülesande lahendamiseks kasutada klassikalist kiiruste liitmise seadust. Tema sõnul on paadi absoluutkiirus võrdne tema suhtelise ja translatsioonikiiruse geomeetrilise summaga. Fikseeritud tugiraami ühendame Maa pinnaga, liikuva veega, seega suhteline kiirus on v1 ja kaasaskantav v2.Seega v=v1+v2.Skalaarsele tähistusele üleminekuks suuname OX-telje piki kallast, OY-telg on sellega risti ja võtame koordinaatide alguspunkti punktis O, kust paat liikuma hakkas. Pöördloendus algab liikumise alguse hetkest.Võttes arvesse paadi kiiruste liitmise seadust kalda suhtes r=(v1+v2)t.
Projekteerime vektorkogused OX ja OY telgedele.

Hetkel, kui paat jõuab vastaskaldale (hetkel t=t1), on selle koordinaadid: x1=l, y1=L, kus l on paadi veeväljasurve piki kallast, L on jõe laius.

Teisest võrrandist saame

Lahendame Larini eksami 227 versiooni. Ühtse riigieksami Larin nr 227 (alexlarin.com) koolitusversiooni 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 ülesande detailne lahendus )

Lahendame Larini eksami 227 versiooni. Ühtse riigieksami Larin nr 227 koolitusversiooni 16,17,18,19 ülesande detailne lahendus (alexlarin.com)

Selle ülesande analoogid:

1. harjutus

Koolis nr 1 algavad õppetunnid kell 8:30, iga õppetund kestab 45 minutit, kõik vahetunnid peale ühe viimase 10 minutit ning teise ja kolmanda õppetunni vaheline vaheaeg on 20 minutit. Nüüd on kell 13:00. Mitme minuti pärast heliseb klassist järgmine kell?

Lihtsaima võimaluse lahendamiseks määrake tundide algus ja lõpp:
1)8:30-9:15
1)9:25-10:10
1)10:30-11:15
1)11:25-12:10
1)12:20-13:05
See tähendab, et 5 minuti pärast heliseb kell

Selle ülesande analoogid:

2. ülesanne

Rasvased täpid näitavad joonisel Hiina jüaani keskmist vahetuskurssi 2014. aasta jaanuarist augustini. Kuud on näidatud horisontaalselt, jüaani hind rublades on näidatud vertikaalselt. Selguse huvides on rasvased punktid ühendatud joonega. Määrake joonise järgi jüaani vahetuskursi erinevus augustis ja juulis. Esitage oma vastus rublades.

Vastus: 0,27

Nagu jooniselt näha, põhineb nurk ringi läbimõõdul, mis tähendab, et kolmnurk on täisnurkne, st vastus on $$90^(\circ)$$

Selle ülesande analoogid:

4. ülesanne

Anya ja Tanya valivad üksteisest sõltumatult ühe naturaalarvu vahemikus 1 kuni 9. Leidke tõenäosus, et nende arvude summa jagub 3-ga. Vähendage oma vastust sajandikuteks.

Vastus: 0,33

Las Anya valib 1, Tanya saab selleks valida 9 numbrit. Samamoodi alates 2, 3 ja nii edasi kuni 9-ni. See tähendab, et kokku on 9 * 9 = 81 kombinatsiooni.
Sel juhul jagub 3 igas üheksas kombinatsioonis 3-ga (kuna järjestikku paigutatud numbrite korral jagub iga kolmas kolmega). See tähendab, 9 * 3 \u003d 27
Siis on tõenäosus: $$P=\frac(27)(81)=0,(3)$$
Kui ümardada sajandikuteks, saame 0,33

Kuna on olemas paarisjuur, peab juuravaldis olema suurem kui null või sellega võrdne. Kuna paremal on muutuja ja vasakul paarisastme juur, peab ka parempoolne funktsioon olema mittenegatiivne:
$$\left\(\begin(maatriks)19+6x\geq 0\\ x+4\geq 0\end(maatriks)\right.\Leftright nool $$$$\left\(\begin(maatriks)x\ geq -\frac(19)(6)\\ x\geq -4\end(maatriks)\right.$$
Teeme mõlemad pooled ruudukujuliseks:
$19+6x=x^(2)+8x+16 \Nool vasakule $$$$x^(2)+2x-3=0 \Nool vasakule $$$$x_(1)= x_(2)=-3$ $.
Mõlemad juured sobivad ODZ-sse, seetõttu valime neist väikseima.

Kui arvestada kolmnurka AOC, siis osutub see võrdhaarseks, kuna OA \u003d OC on raadiused. Sel juhul: $$\angle AOC = 180 -2*37=106^(\circ)$$. Kuid see nurk on keskne, samal ajal kui ∠ABC on sissekirjutatud nurk ja siis on selle kraadimõõt võrdne poole ∠AOC kraadimõõdust, see tähendab 53

Tuletis on negatiivne, kui funktsioon väheneb. Kõigil intervallidel on ainult ühel punktil (2; 0) täisarv abstsiss

Selle ülesande analoogid:

Ülesanne 8

Leidke joonisel näidatud püramiidi ruumala. Selle alus on hulknurk, mille külgnevad küljed on risti ja üks külgservadest on risti aluse tasapinnaga ja on võrdne 3-ga.

Selle ülesande lahendamiseks on lihtsaim viis täiendada puuduv osa tavaliseks nelinurkseks püramiidiks, leida selle püramiidi ruumala ja lahutada valminud osa maht:
$$V=\frac(1)(3)*6*6*3 - \frac(1)(3)*3*3*3=27$$

Selle ülesande analoogid:

10. ülesanne

Paat peab ületama jõe laiusega L=100 m, et maanduda täpselt lähtekoha vastas. Jõe voolukiirus u=0,5 m/s. Sõiduaeg sekundites mõõdetuna on $$t=\frac(L)(u)ctg \alpha$$ , kus α on teravnurk paadi telje ja kaldajoone vahel. Millise minimaalse nurga α kalda suhtes tuleks paat suunata nii, et sõiduaeg ei ületaks 200 s? Esitage oma vastus kraadides.

Asendage antud andmed võrrandisse:
$200=\frac(100)(0.5)ctg \alpha$$
$$ctg \alpha = 1$$
$$\alpha = 45^(\circ)+2\pi*n$$, vali väikseim, see on 45 kraadi

Selle ülesande analoogid:

Ülesanne 11

Esimese kolmandiku rajast läbis jalgrattur kiirusega 12 km/h, teise kolmandiku kiirusega 16 km/h ja viimase kolmandiku kiirusega 24 km/h. Leia jalgratturi keskmine kiirus kogu teekonna jooksul. Esitage oma vastus km/h.

Olgu 3S kogukaugus. Siis on esimese lõigu aeg: $$t_(1)=\frac(S)(12)$$. Teises jaotises: $$t_(2)=\frac(S)(16)$$. Aeg kolmandal lõigul: $$t_(3)=\frac(S)(24)$$
Keskmine kiirus arvutatakse kogu läbitud vahemaa ja kogu kulunud aja suhtena: $$v=\frac(3S)(\frac(S)(12)+\frac(S)(16)+\frac( S)(24)) =$$$$\frac(3S)(\frac(9S)(48))=\frac(3S*48)(9S)=16$$

Leidke selle funktsiooni tuletis: $$y"=\frac((2x+7)*x-(x^(2)+7x+49))(x^(2))=$$$$\frac( 2x^ (2)+7x-x^(2)-7x-49)(x^(2))=$$$$\frac(x^(2)-49)(x^(2))=0 $$ Joonistame koordinaatjoone, märgime saadud punktid ja söövitame tuletise märgid:

Nagu näete, on -7 maksimaalne punkt, seetõttu on tingimusega määratud intervallil see punkt funktsiooni maksimaalne väärtus:

$$y(-7)=\frac((-7)^(2)+7*(-7)+49)(-7)=-7$$

Selle ülesande analoogid:

Ülesanne 13

a) Lahendage võrrand: $$\cos 2x +3\sqrt(2)\sin x -3 =0$$
b) Leidke selle võrrandi juured, mis kuuluvad intervalli $$(\frac(\pi)(4); \pi]$$

Vastus: A) $$(-1)^(k)\frac(\pi)(4)+\pi k , k \in Z$$ B)$$\frac(3\pi)(4)$$

A) Rakendage topeltnurga koosinusvalem $$\cos 2x=1-2\sin^(2)x$$: $$\cos 2x+3\sqrt(2)\sin x-3=0\Leftrightarrow$$ $1-2\sin^(2)x+3\sqrt(2)\sin x-3=0\Leftright nool$$ $$2\sin^(2)x-3\sqrt(2)+2=0$ $

$$D=(3\sqrt(2))^(2)-4*4=18-16=2$$

Alates $$-1\leq \sin x\leq 1$$, siis $$\sin x=\frac(\sqrt(2))(2)\Leftrightarrow$$ $$x=(-1)^(k )\frac(\pi)(4)+\pi k , k \in Z$$

$$\left[\begin(maatriks)\sin x=\frac(3\sqrt(2)+\sqrt(2))4(=\sqrt(2))\\\sin x=\frac(3\ sqrt(2)-\sqrt(2))(2)=\frac(\sqrt(2))(2)\end(maatriks)\parem.$$

B) Leidke võrrandi juured vahemikus $$(\frac(\pi)(4);\pi]$$ trigonomeetrilise ringi abil: $$x=\frac(3\pi)(4)$$

Selle ülesande analoogid:

14. ülesanne

Tavalise kolmnurkse prisma ABCA 1 B 1 C 1 aluskülg on võrdne $$10\sqrt(3)$$ ja CC 1 kõrgus on 7,5. Servale B 1 C 1 märgitakse punkt P nii, et B 1 P:RS 1 =1:3. Punktid Q ja M on vastavalt külgede AB ja A 1 C 1 keskpunktid. Tasapind $$\alpha$$ on paralleelne sirgega AC ja läbib punkte P ja Q.

A) Tõesta, et sirge BM on risti tasapinnaga $$\alpha$$

B) Leia kaugus punktist M tasapinnani $$\alpha$$

Vastus: $$\frac(9\sqrt(5))(2)$$

A) 1) $$a\cap (ABC)=QT\vasak |\parem |AC$$, $$a\cap (A_(1)B_(1)C_(1))=PN\vasak |\parem |A_(1)C_(1)$$, sest $$a\left |\right |AC. a\cap (BGM)=EF$$, $$BM\cap EF=S$$(PN ja QT E- ja F-keskpunktid). BM-kaldus, BG-projektsioon, $$BG\perp QT\Rightarrow$$ kolme risti punktiga $$BM\perp QT(1)$$

2) $$\angle SBF =\beta$$ , $$\angle BFS=\gamma$$ , $$\angle BSF=\varphi$$; $$BG=AB*\sin 60=10\sqrt(3)*\frac(\sqrt(3))(2)=15$$; $$tg\beta =\frac(MG)(BG)=\frac(7,5)(15)=\frac(1)(2)$$; $$ctg\gamma =\frac(\frac(1)(2)BF)(BB_(1))=$$$$\frac(1)(4)*\frac(15)(7,5)= $$$$\frac(1)(2)=tg\beta \Rightarrow$$ $$\beta +\gamma =90$$, siis $$\varphi =90$$, $$BM\perp EF(2 )$$ . Alates (1) ja (2) $$\Rightarrow$$ $$BM\perp \alpha$$

B) 1) üksusest a) $$BM\perp \alpha \Rightarrow$$ $$p(Ma)=MS$$

2) $$\Delta ESM\sim \Delta FSB$$ kahes nurgas $$\Rightarrow$$ $$\frac(MS)(BS)=\frac(ME)(BF)=\frac(3)(2 )$$, seejärel $$MS=\frac(3)(5)BM$$; $$BM=\sqrt(BG^(2)+MG^(2))=\sqrt(225+\frac(225)(4))=\frac(15\sqrt(5))(2)$$ , $$MS=\frac(3)(5)*\frac(15\sqrt(5))(2)=\frac(9\sqrt(5))(2)$$

Ebavõrdsuse vastuvõetavate väärtuste ala määrab süsteem:

$$\left\(\begin(maatriks)10-x^(2)>0\\10-x^(2)\neq 1\\\frac(16)(5)xx^(2)>0\ end(maatriks)\right.\Leftright nool$$ $$\left\(\begin(maatriks)-\sqrt(10)

Lahendus: $$\log_(10-x^(2))(\frac(16)(5)x-x^(2))<1\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}10-x^{2}>1\\\frac(16)(5)x-x^(2)<10-x^{2}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}0<10-x^{2}<1\\\frac{16}{5}x-x^{2}>10-x^(2)\end(maatriks)\parem.\end(maatriks)\parem.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin(maatriks)\left\(\begin(maatriks)-3 3\\x<-3\end{matrix}\right.\\\frac{16}{5}x>10\end(maatriks)\parem.\end(maatriks)\parem.\Leftright nool$$$$\left[\begin(maatriks)\left\(\begin(maatriks)-3 3\\x<-3\end{matrix}\right.\\x>\frac(25)(8)\end(maatriks)\right.\end(maatriks)\right.\Leftright nool$$ $$\left[\begin(maatriks)-3

Võttes arvesse ebavõrdsuse lubatud väärtuste vahemikku, saame $$x \in (0;3)\cup (\frac(25)(8);\sqrt(10))$$

Selle ülesande analoogid:

Ülesanne 16

Läbi kolmnurga ABC tippude A ja B tõmmatakse ring raadiusega $$2\sqrt(5)$$, lõigates $$4\sqrt(5)$$ sirgelt BC ja puudutades joont AC punktis A. Punktist B tõmmake risti sirgega BC punktis F oleva sirge AC lõikekohani.

A) Tõesta AF=BF

B) Leidke kolmnurga ABC pindala, kui BF = 2.

Vastus: $$\frac(5\sqrt(5))(3)$$

Tingimuse järgi $$OA=R=2\sqrt(5); BK=4\sqrt(5)$$. Riis. 2 saab kasutada ainult osa a tõestamiseks, kuna tingimusel $$BF=2$$, $$OA=2\sqrt(5)$$, st. bf

a) AC-tangens $$\Rightarrow$$ $$OA\perp AC, BF\perp OB, OB=R\Rightarrow$$ BF-puutuja ja puutujate $$AF=BF$$ omaduse järgi

b) 1) Olgu $$FC=x, BC=y$$, siis $$AC=x+2$$, $$OC=y+2\sqrt(5)$$

2) $$\Delta FBC\sim OAC$$ kahes nurgas $$\Rightarrow$$ $$\left\(\begin(matrix)\frac(BF)(OA)=\frac(BC)(AC)\ \\frac(BF)(OA)=\frac(FC)(OC)\end(maatriks)\right.\Leftright nool$$$$\left\(\begin(maatriks)\frac(2)(2\sqrt (5))=\frac(y)(x+2)\\\frac(2)(2\sqrt(5))=\frac(x)(y+2\sqrt(5))\end(maatriks )\right.\Leftright nool$$$$\left\(\begin(matrix)y=\frac(x+2)(\sqrt(5))\\y=\sqrt(5)(x-2)\ end(maatriks)\right.\Leftright nool$$$$\left\(\begin(matrix)x=3\\y=\sqrt(5)\end(maatriks)\right.$$

$$FC=3, BC=\sqrt(5), AC=5$$, $$\frac(S_(\Delta ABC))(s_(\Delta BFC))=\frac(AC)(FC)= \frac(5)(3)$$;

$$S_(\Delta BFC)=\frac(1)(2)BC*BF=\sqrt(5)$$ siis $$S_(\Delta ABC)=\frac(5)(3)$$, $ $S_(\Delta BFC)=\frac(5\sqrt(5))(3)$$

Selle ülesande analoogid:

Ülesanne 17

Vasya unistab oma korterist, mis maksab 3 miljonit rubla. Vasya saab selle laenuga osta, samal ajal kui pank on valmis selle summa kohe välja andma ja Vasya peab laenu tagasi maksma 20 aastat võrdsete kuumaksetega, samas kui ta peab tasuma summa, mis on 180% suurem kui algne. üks. Selle asemel saab Vasya üürida mõneks ajaks korteri (üüri maksumus on 15 000 rubla kuus), jättes iga kuu korteri ostmiseks kõrvale summa, mis jääb tema võimalikust maksest pangale (esimese skeemi järgi). ) peale üürikorteri üüri tasumist . Kui mitu aastat suudab Vasya sel juhul korteri jaoks koguda, eeldusel, et selle väärtus ei muutu?

Vastus: 12.5

Korter maksab 3 (miljon rubla) = 3000 (tuhat rubla), laenu võetakse 20 (aastat) = 240 (kuud). Lahendame probleemi sammude kaupa:

1) 3000 * 2,8 = 8400 (tuhat rubla) - panka tehtud maksete kogusumma;

2) 8400:240=35 (tuhat rubla) - kuumakse panka;

3) 35-15 \u003d 20 (tuhat rubla) - summa, mille Vasya suudab pärast üüri tasumist iga kuu säästa;

4) 3000:20=150(kuud)=12,5(aastat) – Vasya peab korteri jaoks koguma.

Selle ülesande analoogid:

Ülesanne 18

Leidke parameetri a kõik väärtused, millest igaühe jaoks on süsteem $$\left\(\begin(matrix)1-\sqrt(|x-1|)=\sqrt(7|y|)\\49y^ (2)+x ^(2)+4a=2x-1\end(matrix)\right.$$-l on täpselt neli erinevat lahendust.

Vastus: $$-\frac(1)(4); -\frac(1)(32)$$

Kirjutage süsteem ümber järgmiselt: $$\left\(\begin(matrix)\sqrt(\left | x-1 \right |)+\sqrt(7\left | y \right |)=1\\\left | x- 1 \parem |^(2)+(7\vasak | y \parem |)^(2)=-4a\end(maatriks)\parem.$$

Olgu $$\sqrt(\left | x-1 \right |)=m\geq 0$$; $$\sqrt(7\left | y \right |)=n\geq 0$$

Seejärel võtab süsteem järgmise kuju: $$\left\(\begin(matrix)m+n=1\\m^(4)+n^(4)=-4a\end(maatriks)\right.(* )$$ Kui arvupaar $$(m_(0);n_(0))$$ on süsteemi (*) lahendus, siis paar $$(n_(0); m_(0))$ $ on ka selle lahendus:

1) Olgu $$m_(0)\neq n_(0), m_(0), n_(0)>0$$. Seejärel $$\left[\begin(maatriks)\left\(\begin(maatriks)\left | x-1 \right |=m_(0)^(2)\\7\left | y \right |=n_ (0)^(2)\end(maatriks)\paremale.\\\left\(\begin(maatriks)\left | x-1 \right |=n_(0)^(2)\\7\vasak | y \right |=m_(0)^(2)\end(maatriks)\right.\end(maatriks)\right.(**)$$ Igal populatsioonisüsteemil on neli lahendit, siis sellel süsteemil on 8 erinevat lahendust , mis ei rahulda probleemi tingimust.

2) Olgu üks väärtustest $$m_(0)$$ või $$n_(0)$$ võrdne nulliga, siis süsteemi paarid (0;1) ja (1;0)-lahendused (*), -4a=1 , kust $$a=-\frac(1)(4)$$ . Sel juhul on komplekt (**) järgmisel kujul:

$$\left[\begin(maatriks)\left\(\begin(maatriks)\left | x-1 \right |=0\\7\left | y \right |=1\end(maatriks)\parem. \\\left\(\begin(maatriks)\left | x-1 \right |=1\\7\left | y \right | =0\end(maatriks)\parem.\end(maatriks)\parem. $$, millest saame selle süsteemi 4 lahendust: $$(1; \frac(1)(7))$$, $$(1; -\frac(1)(7))$$, $$ (2; 0)$$, $$(0;0)$$

3) Olgu $$m_(1)=n_(0)$$, siis $$\left\(\begin(maatriks)m_(0)+m_(0)=1\\m_(0)^(4) +m_(0)^(4)=-4a\end(maatriks)\parem.$$., kust

$$m_(0)=\frac(1)(2)$$, $$a=-\frac(1)(32)$$ ja süsteemil (*) on üks lahendus $$(\frac(1)( 2);\frac(1)(2))$$. Sel juhul on komplekt (**) järgmisel kujul:

$$\left\(\begin(maatriks)\left | x-1 \right |=\frac(1)(4)\\7\left | y \right |=\frac(1)(4)\end (maatriks)\right.$$, millest saame selle süsteemi 4 lahendust: $$(1\frac(1)(4) ;\frac(1)(28))$$, $$(1\frac (1) (4); -\frac(1)(28))$$, $$(\frac(3)(4); \frac(1)(28))$$, $$(\frac( 3)( 4);-\frac(1)(28))$$.

Tõestame, et $$a=-\frac(1)(4)$$ ja $$a=-\frac(1)(32)$$ puhul pole sellel süsteemil muid lahendusi peale leitud lahenduste.

1. $$a=-\frac(1)(4)$$ puhul on süsteem (*) kujul: $$\left\(\begin(matrix)m+n=1\\m^(4) +n ^(4)=1\end(maatriks)\right.$$ Kui $$m\neq 0$$, $$n\neq 0$$, siis $$m,n \in (0;1) $ $ ja $$\left\(\begin(maatriks)m^(4)

Siis $$m^(4)+n^(4)

2. $$a=-\frac(1)(32)$$ puhul on süsteem (*) kujul: $$\left\(\begin(matrix)m+n=1\\m^(4) +n ^(4)=\frac(1)(8)\end(maatriks)\right.$$ Let$$\left\(\begin(matrix)m=\frac(1)(2)+t\ \ n=\frac(1)(2)-t\end(maatriks)\right.$$, siis $$\left\(\begin(matrix)m^(4)=(\frac(1)(2 ) +t)^(2)=\frac(1)(16)+4*\frac(1)(8)t+6*\frac(1)(4)t^(2)+4*\frac (1)(2)t^(3)+t^(4)\\n^(4)=(\frac(1)(2)-t)^(4)=\frac(1)(16) - 4*\frac(1)(8)t+6*\frac(1)(4)t^(2)-4*\frac(1)(2)t^(3)+t^(4) \ end(maatriks)\right.$$ ja $$m^(4)+n^(4)=\frac(1)(8)+3t^(2)+2t^(4)$$ Meil ​​on: $$\frac(1)(8)+3t^(2)+2t^(2)=\frac(1)(8)$$, kust $$t=0$$, $$m =n=\ frac(1)(2)\Rightarrow$$ muid lahendusi pole ja $$a=-\frac(1)(32)$$ vastab tingimusele.

Vastus: 1,3,(5);ei;8

Tähistame erinevused probleemilausest $$s_(1)$$ ja $$s_(2)$$, progressi n-ndat liiget $$x_(n)$$, esimese n summana selle liikmetest $$S_ (n)$$. Nagu teate, võrdub suvalise arvu liikmete summa ruut ruutude ja terminite erinevate kahekordistatud korrutiste summaga. Seega: $$s_(1)=2(x_(1)x_(2)+...+x_(n-1)x_(n))$$, $$s_(2)=2(x_(1) )x_(2)+..+x_(n)x_(n+1))$$. $$s_(2)$$ sisaldab kõiki tingimusi alates $$s_(1)$$ ja topeltprodukte väärtusest $$x_(n+1)$$ ning kõiki tingimusi, mis kulgevad vahemikus $$x_(1)$$ kuni $$ x_(n)$$. Seega $$s_(2)-s_(1)=2x_(n+1)(x_(1)+..x_(n))=2x_(n+1)S_(n)(1)$$

A) Vastus: 1,3,(5). Kui $$s_(2)-s_(1)=40, x_(n+1)S_(n)=20$$. Viimane võrdus kehtib näiteks progressiooni 1,3,(5) puhul.

b) Vastus: ma ei saanud. Probleemi tingimustes on väikseim väärtus punktis (1) n=13 puhul $$2*13(0+1+..+12)=2028>1768$$

C) Vastus: 8. Valemist (1) saame: $$s_(2)-s_(1)=2x_(n+1)\frac((x_(1)+x_(n))n)(2 ) =x_(n+1)(x_(1)+x_(n))n=1768 $$. Seetõttu jagub $$1768=2^(3)*13*17$$ n-ga. Punktist B) $$n<13$$ ; наибольший из таких делителей равен 8 . Проверим это значение. Если $$n=8$$, $$x_{9}(x_{1}+x_{8})=13*17$$. Возможны следующие два варианта

1. $$x_(9)=17\Rightarrow$$ $$x_(8)\leq 13\Rightarrow$$ progresseerumise erinevus $$d\geq 4\Rightarrow$$ $$x_(1)=x_(9) -8d\leq 17-32<0$$

2. $$x_(9)=13\Rightarrow$$ jaoks $$d\geq 2$$ saame: $$x_(1)=x_(9)-8d\leq 13-16<0$$. Значит, $$d=1$$. Конечная прогрессия 5,6,7,8,9,10,11,12 удовлетворяет условию задачи.