Разделы сайта
Выбор редакции:
- Понятие и признаки общества
- Основные понятия теории вероятностей Значение е теория вероятности
- Set out — английский фразовый глагол
- Английская грамматика для начинающих: смотрим видео бесплатно
- Общая биология для студентов
- Какие продукты образуются и сколько молекул атф запасается в клетках Сколько молекул атф запасается в процессе
- «У меня миллион навязчивых мыслей»: как жить с обсессивно-компульсивным расстройством?
- Отчет по самообразованию "развитие сенсорных способностей детей младшего дошкольного возраста" Отчет по самообразованию воспитателя первой младшей группы
- Образование государства русь
- Завоевание англии вильгельмом нормандским (1066 г
Реклама
Равномерно распределенная величина. Законы распределения непрерывных случайных величин. Решение примеров на равномерное распределение |
Равномерным распределением непрерывной случайной величины называется распределение, в котором значения случайной величины с двух сторон ограничены и в границах интервала имеют одинаковую вероятность. Это означает, что в в данном интервале плотность вероятности постоянна. Таким образом, при равномерном распределении плотность вероятности имеет вид Значения f (x ) в крайних точках a и b участка (a , b ) не указываются, так как вероятность попадания в любую из этих точек для непрерывной случайной величины равна нулю. Кривая равномерного распределения имеет вид прямоугольника, опирающегося на участок (a , b ) (рисунок ниже), в связи с чем равномерное распределение иногда называют "прямоугольным". Как найти вероятность попадания случайной величины X , равномерно распределённой на участке (a , b ) на любую часть (α , β ) участка (a , b ) ? Эта вероятность находится по формуле и геометрически представляет собой площадь, дважды заштрихованную на рисунке ниже и опирающуюся на часть (α , β ) участка (a , b ) : Функция распределения F (x ) непрерывной случайной величины при равномерном распределении имеет вид Характеристики равномерного распределенияХарактеристики равномерного распределения: Решение примеров на равномерное распределениеПример 1. Наблюдения показали, что вес ящика, предназначенного для транспортировки овощей, является равномерно распределённой случайной величиной в интервале от 985 г. до 1025 г. Случайно выбран один ящик. Найти характеристики равномерно распределённой случаной величины при условиях, которые будут указаны в решении. Решение. Найдём вероятность того, что вес данного ящика будет в интервале от 995 г. до 1005 г. : Найдём среднее значение непрерывной случайной величины: . Найдём стандартное отклонение: . Определим, у скольки процентов ящиков вес находится на удалении одного стандартного отклонения от среднего значения (т. е. в интервале ): . Пример 2. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 (мин.). Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени, никак не связанный с расписанием поездов. Случайная величина T - время, в течение которого ему придётся ждать поезда, имеет равномерное распределение. Найти плотность распределения f (x ) случайной величины T , её математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение. Найти вероятность того, что ждать придётся не больше полминуты. Решение. Найдём плотность распределения f (x ) : f (x ) = 1/2 (0 < x < 2) . Найдём математическое ожидание случайной величины: μ = (2 + 0)/2 = 1 . Найдём дисперсию: σ ² = 2²/12 = 1/3 . Стандартное отклонение: σ = (√3)/3 . Найдём вероятность того, что пассажиру придётся ждать поезда не больше полминуты: P {T < 1/2} = 1/4 . Пример 3. Случайная величина X распределена равномерно на участке (a , b ) . Найти вероятность того, что в результате опыта она отклонится от своего математического ожидания больше, чем на 3σ . Равномерным распределением называют такое распределение случайной величины, когда она с одинаковой вероятностью может принимать любое значение в заданных пределах. Равномерное распределение случайной величины показано на рис. 5.9. Рис. 5.9. Плотность вероятности равномерного распределения имеет вид: где а и Ь - параметры закона, определяющие пределы изменения случайной величины X. Закону равномерного распределения подчиняются, в частности, погрешности от трения в опорах приборов, неисключенные остатки систематических погрешностей, погрешности дискретности в цифровых приборах, погрешности размеров в пределах одной группы сортировки при селективной сборке, погрешности параметров изделий, отобранных в более узких пределах, по сравнению с технологическим допуском, суммарная погрешность обработки, вызван- Интеграл носит название нормированной функции Лапласа, а его значения для х - X различных / = --табулированы. Значение нормированной функции Лапласа Ф(/) с погрешностью менее Ю"5 можно определить по формуле Если / >0, Ф(/) = 7", а если / < 0, то Ф(/) = 1-7". Функция Лапласа нечетная, т. е. Для отрицательных значений /табличные данные берутся со знаком минус. Вероятность того, что случайная величина, подчиняющаяся закону нормального распределения, при измерениях примет значение в пределах (х, х,), можно записать через Ф(/) следующим образом: У теоретической кривой нормального распределения ветви ее асимптотически приближаются к оси абсцисс, т. е. зона рассеивания случайной величины х лежит в пределах ±оо. Практически зона рассеивания случайной величины х ограничена конечными пределами. Например, вероятность того, что случайная величина будет находиться в пределах линейным изменением во времени доминирующего фактора (износ режущего инструмента, температурная деформация и т. д.), погрешности, возникающие за счет округления величин, полученных при измерении на приборах, и др. Функция распределения F(x) равномерного распределения (интегральная функция распределения) выражается следующим уравнением для (а < х < Ь): Вид функции распределения показан на рис. 5.10. Математическое ожидание Л/(х), дисперсия 0(х) и среднее квадратичное отклонение (а) случайной величины, подчиняющейся равномерному распределению, соответственно равны: Практически предельное поле рассеивания со при равномерном распределении равно Ь - а или с учетом (5.48), т. е. со = Ь - а = 2т/Зет. Рис. 5.10. Рис. 5.11. Закон СимпсонаВид кривой треугольного распределения показан на рис. 5.11. Плотность вероятности имеет вид: По этому закону распределены, например, погрешности суммы (разности) двух равномерно распределенных величин. Если, например, отклонения размеров отверстия и вала распределены в пределах полей допусков равномерно, а допуски вала и отверстия примерно одинаковые, то зазоры в пределах допуска зазора будут распределены по закону треугольника. Плотность вероятности зазоров при этом будет иметь следующий вид: где 5т(п, 5^ - соответственно минимальное и максимальное значения зазора в соединении; .$т = ^"^^"ла _ среднее значение зазора в соединении; /Г5 = 5т1п - допуск зазора; л - текущее значение зазора. Функция распределения закона Симпсона имеет вид: Графическое представление интегральной функции распределения приведено на рис. 5.12. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение случайной величины, подчиняющейся закону Симпсона, соответственно равны: Практически предельное поле рассеивания сопри распределении случайной величины по закону Симпсона равно 2/, т. е. Напомним определение плотности вероятности. Введем теперь понятие равномерного распределения вероятностей: Определение 2 Распределение называется равномерным, если на интервале, содержащем все возможные значения случайной величины, плотность распределения постоянна, то есть: Рисунок 1. Найдем значение константы $\ C$, используя следующее свойство плотности распределения: $\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\varphi \left(x\right)dx}=1$ \[\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\varphi \left(x\right)dx}=\int\limits^a_{-\infty }{0dx}+\int\limits^b_a{Cdx}+\int\limits^{+\infty }_b{0dx}=0+Cb-Ca+0=C(b-a)\] \ \ Таким образом, функция плотности равномерного распределения имеет вид: Рисунок 2. График имеет следующий вид (рис. 1): Рисунок 3. Плотность равномерного распределения вероятности Функция равномерного распределения вероятностейНайдем теперь функцию распределения при равномерном распределении. Для этого будем использовать следующую формулу: $F\left(x\right)=\int\limits^x_{-\infty }{\varphi (x)dx}$
Таким образом, функция распределения имеет вид: Рисунок 4. График имеет следующий вид (рис. 2): Рисунок 5. Функция равномерного распределения вероятности. Вероятность попадания случайной величины в интервал $({\mathbf \alpha },{\mathbf \beta })$ при равномерном распределении вероятностейДля нахождения вероятности попадания случайной величины в интервал $(\alpha ,\beta)$ при равномерном распределении вероятностей будем пользоваться следующей формулой: Математическое ожидание: Среднее квадратическое отклонение: Примеры решения задачи на равномерное распределение вероятностейПример 1 Интервал движения между троллейбусами составляет 9 минут. Составить функцию распределения и плотность распределения случайной величины $X$ ожидания пассажирами троллейбуса. Найти вероятность того, что пассажир дождется троллейбус меньше чем через три минуты. Найти вероятность того, что пассажир дождется троллейбус не менее чем через 4 минуты. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение
Таким образом, плотность распределения, по формуле функции плотности равномерного распределения вероятности, имеет вид: Рисунок 6. По формуле функции равномерного распределения вероятности, нашем случае функция распределения имеет вид: Рисунок 7.
Получаем: \} |
Читайте: |
---|
Новое
- Основные понятия теории вероятностей Значение е теория вероятности
- Set out — английский фразовый глагол
- Английская грамматика для начинающих: смотрим видео бесплатно
- Общая биология для студентов
- Какие продукты образуются и сколько молекул атф запасается в клетках Сколько молекул атф запасается в процессе
- «У меня миллион навязчивых мыслей»: как жить с обсессивно-компульсивным расстройством?
- Отчет по самообразованию "развитие сенсорных способностей детей младшего дошкольного возраста" Отчет по самообразованию воспитателя первой младшей группы
- Образование государства русь
- Завоевание англии вильгельмом нормандским (1066 г
- Сталин Иосиф Виссарионович: биография Сталин сообщение по истории