Арифметические операции в позиционных системах счисления

Рассмотрим более подробно арифметические операции в двоич­ной системе счисления. Арифметика двоичной системы счисле­ния основывается на использовании таблиц сложения, вычита­ния и умножения цифр. Арифметические операнды располага­ются в верхней строке и в первом столбце таблиц, а результаты на пересечении столбцов и строк:

Рассмотрим подробно каждую операцию.

Сложение. Таблица двоичного сложения предельно проста. Только в одном случае, когда производится сложение1+1, происходит перенос в старший разряд. ,

Вычитание. При выполнении операции вычитания всегда из большего по абсолютной величине числа вычитается мень­шее и ставится соответствующий знак. В таблице вычитания 1 с чертой означает заем в старшем разряде.

Умножение. Операция умножения выполняется с использо­ванием таблицы умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления с последовательным умножени­ем множимого на очередную цифру множителя.

Деление. Операция деления выполняется по алгоритму, по­добному алгоритму выполнения операции деления в десяти­чной системе счисления.

Цель работы:

Уметь выполнять арифметические операции в двоичной системе счисления.

Задание

Выполните упражнение 1. Перед выполнением упражнения изучите мате- риал по теме из подраздела 2.1.4 .

Упражнение 1

Формулировка задания

Даны числа 1001 (2) и 101 (2) . Найти сумму этих чисел.

Решение

1001 (2)

+ 101 (2)

1. При сложении двух единиц согласно таблице 2 получаем 10. В младшем разряде записываем 0 , а 1 переносится влево на одну позицию.

100 1 (2)

+ 10 1 (2)

2. При сложении двух нолей получаем 0. Не забываем про 1, которую перенесли из младшего разряда. При сложении 0 и 1 получаем 1 .

10 01 (2)

+ 1 01 (2)

3. При сложении 0 и 1 получаем 1 .

1 001 (2)

+ 101 (2)

1 110 (2)

4. В старшем разряде осталась только 1 .

5 Проведем проверку.

1001 (2) =9 (10) , 101 (2) =5 (10) , 1110 (2) =14 (10)

Упражнение 2

Формулировка задания

Даны числа 1101 (2) и 11 (2) . Найти разность этих чисел.

Решение

При вычитании из 0 единицы, занимается единица из старшего ближайшего разряда, отличного от 0. При этом, единица занятая в старшем разряде, даёт 2 единицы в младшем разряде и по единице во всех разрядах между старшим и младшим.

Проверка.

1101 2 =2 3 +2 2 +1=13 10

1010 2 =2 3 +2=10 10

Упражнение 3

Формулировка задания

Даны числа 111 (2) и 101 (2) . Найти произведение этих чисел.

Операция умножения сводится к многократному сдвигу и сложению

Пример

Проверка.

111 2 =2 2 +2+1=7 10

101 2 =2 2 +1=5 10

100011 2 =2 5 +2+1=32+3=35 10 =7*5.

Построение таблиц истинности для логических формул

Цель работы

Уметь строить таблицы истинности для заданных логических формул.

Задание

Выполните упражнение 1. Перед выполнением упражнения изучите материал по теме из подразделов 2.1.4, 2.1.5 , 2.1.6, 2.1.7 .

Упражнение 1

Формулировка задания

Дана логическая формула . Построить таблицу истинности для данной формулы.

Решение :

1. Расставляем приоритеты выполнения операций:

1) – операция отрицания высказывания В . Результат выполнения операции присваиваем переменной .

2) – операция логического умножения (конъюнкция) высказываний и . Результат выполнения операции присваиваем переменной .

3) – операция логического следования (импликация) высказываний и . Результат выполнения операций присваиваем переменной .

2. Строим таблицу, состоящую из пяти столбцов:

В Исходные данные таблицы записываем имена высказываний А и В . В остальные три столбца записываем имена переменных, которым присваиваем результаты логических операций.

3. Исходные данные таблицы заполняем возможными комбинациями значений высказываний А и В (первый вариант – когда оба высказывания истинны; второй и третий варианты – когда одно из высказываний истинно, а другое ложно; четвертый вариант – когда оба высказывания ложны).

5. Заполняем значениями столбец с именем Y . Для этого по таблице истинности основных логических операций определяем значение операции конъюнкции Y =0 (при А =1 и Х =0) и т.д.

Основы алгоритмизации и программирования

Цель работы

· Уметь выполнять словесный алгоритм.

· Научиться представлять алгоритмы решений простейших задач в виде блок-схем и писать по ним программы.

Примечание

Студент должен выполнить задание в двух вариантах:

· Выполнить словесный алгоритм и записать его результат.

· Представить словесный алгоритм в виде блок-схемы и программы. Ввести программу, запустить её, получить результат.

Задание

Выполнить упражнение 1. Перед выполнением упражнения изучите материал по теме.

Упражнение 1

Линейный алгоритм

Формулировка задания

2) Составить блок-схему и написать программу по заданному алгоритму.

Словесный алгоритм

В результате работы линейного алгоритма:

найти значение переменных: k, n, m.

Решение :

1) Словесный алгоритм выполняется последовательно.

· Значение k = 8 подставляется в m =k+2=10.

· Значение k = 8, m =10 подставляется в n =k+m =18.

· Вычисляется новое k = n – 2 * k =18 – 2 * 8 = 2.

· Вычисляется новое m:=k+n=2+18=20.

В результате работы линейного алгоритма значение переменных равны:

n=18, k=2, m=20.

2) Блок-схема алгоритма задачи представлена на рисунке19.

Программа алгоритма, представленного на рисунке19.

k, m, n: integer;

Writeln (‘ввести k’); {На экран выводится подсказка – текст в скобках}

Readln (k); {Ввод с клавиатуры переменной k}

Writeln (‘k=’, k,’ n=’, n,’ m=’, m); {Вывод переменных k, n, m}

В фигурных скобках даются пояснения (комментарии) к операторам.

В блок-схеме, представленной на рисунке 20, значение переменной k вводится с клавиатуры. Поэтому в программе этому блоку соответствует оператор ввода, что позволяет ввести с клавиатуры любое значение переменной k.

Вывод

Алгоритм линейного типа, заданный в виде перечисления операций, может быть значительно сложнее. В результате вероятность ошибки словесного вычисления (задание 1) возрастает. Если представить алгоритм в виде блок-схемы, то чётко просматривается последовательность выполнения операций. Алгоритм можно усложнить за счёт ввода переменной k с клавиатуры.

Запись алгоритма в виде программы значительно упрощается, если следовать по блок-схеме рисунка 20.

· Блоку 1 соответствует слово BEGIN(начало).

· Блоку 2 соответствует оператор ввода Readln (k).

· Блоки 3¸6 переписываются с рисунка 20.

· Блоку 7 соответствует оператор вывода Writeln (‘k=’, k,’ n=’, n,’ m=’, m).

· Блоку 8 соответствует слово END(конец программы).

В результате выполнения программы линейного типа можно получить только по одному значению для каждой переменной. Если с клавиатуры ввести другое значение переменной k, то оператор вывода выдаст следующий результат.

Если необходимо вычислить таблицу значений при изменении переменной k, то следует выбрать циклический алгоритм.

Рисунок 20 - Блок-схема линейного алгоритма

Упражнение 2

Разветвляющийся алгоритм

Формулировка задания

1) Выполнить словесный алгоритм. Записать результат.

Словесный алгоритм

Задан фрагмент алгоритма:

если W > R, то R=W+R, иначе W=R-W.

В результате выполнения данного алгоритма с начальными значениями: W=-7, R=55

на экран будет выведено: W R

Решение :

1) Для начальных значений: W=-7, R=55 условие W > R не выполняется. В этом случае выполняется вторая ветка W=R-W=55+7=62.

В результате работы алгоритма значение переменных равны: W=62, R=55.

2) Блок-схема словесного алгоритма представлена на рисунке 21.

На рисунке 21 появился новый блок 3, в котором проверяется условие. Блок проверки условия образует ветвление по двум направлениям в алгоритме.

В блок-схеме видно, что в зависимости от условия w>r выполняется одна из веток алгоритма. Затем выводится результат вычисления.

Рисунок 21 - Алгоритм ветвления

· Блоку 2 соответствует оператор ввода Readln (w, r).

· Блоку 3 соответствует оператор условия if w > r then w:= w + r else r:=r-w.

· Блоку 4 соответствует оператор присваивания w = w+r.

· Блоку 5 соответствует оператор присваивания r=r-w.

· Блоку 6 соответствует оператор вывода Writeln (’ w =’, w, ’ r =’, r).

Программа алгоритма ветвления, представленного на рисунке 21.

Writeln (‘ввести w, r’); {На экран выводится подсказка – текст в скобках}

Readln (w, r); {Ввод с клавиатуры переменных w, r }

if w > r then

Writeln (’ w =’, w, ’ r =’, r); {Вывод результата}

Упражнение 3

Алгоритмы. Циклы

Формулировка задания

1) Выполнить словесный алгоритм. Записать результат.

2) Составить блок-схему и написать программу по алгоритму.

Пример1

Циклический алгоритм со счётчиком циклов задан в виде словесного описания.

Начало цикла для i от 1 до 3

конец цикла; Вывод d, s.

Решение :

1) В алгоритме указан диапазон изменения счётчика i, где видно, что должно быть выполнено три цикла.

· После выполнения первого цикла значения переменных равны d=2, s=2.

· Полученные значения подставляются во втором цикле.

· После выполнения второго цикла значения переменных равны d=4, s=6.

· Полученные значения во втором цикле подставляются при выполнении третьего цикла.

· В результате выполнения алгоритма значение переменных равны: d=8, s=14.

2) Блок-схема словесного алгоритма цикла со счётчиком представлена на рисунке 22.

Рисунок 22 - Алгоритм цикла со счётчиком

· Блоку 1 соответствует служебное слово BEGIN.

· Блоку 2 соответствует оператор ввода readln (n).

· Блоку 3 соответствуют операторы присваивания s:=0; d:=1;

· Блоку 4 соответствует оператор цикла со счётчиком for i:=1 to n do.

· Блоку 5 соответствуют операторы присваивания d: =2 * d; s: =s + d;

· Блоку 6 соответствует оператор вывода Writeln (‘d= ’, d, ‘s = ’, s);

· Блоку 7 соответствует служебное слово END.

Программа алгоритма цикла со счётчиком, представленного на рисунке 22.

s, d, i, n:integer;

writeln (‘ввести количество циклов-n’);

for i:=1 to n do {оператор цикла с параметрами}

Writeln (‘ d= ’, d, ‘ s = ’, s);

End; {конец оператора цикла}

Пример 2

Циклический алгоритм с предусловием задан в виде словесного описания.

Заданы начальные значения переменных:

Начало цикла. Пока y>x выполнить:

конец цикла;

Определить количество циклов k и значения переменной y после выхода из цикла.

Решение

1) Цикл выполняется до тех пор, пока выполняется условие y>x.

· Так как y=5, x=1, то условие y>x выполняется и значение y вычисляется по формуле y = y – x.

· В результате выполнения первого цикла y=4.

· Во втором цикле условие y>x выполняется, после второго цикла значение y=3.

· В третьем цикле условие y>x выполняется, после окончания третьего цикла значение y=2.

· В четвертом цикле условие y>x выполняется, после выполнения цикла значение y=1.

· При значениях y=1, x=1 условие y>x не выполняется, цикл не будет выполняться. Следовательно, цикл закончится и выполнится четыре цикла.

На выходе из цикла значения переменных будут равны: k=4, y=1, x=1.

2) Программа алгоритма цикла с предусловием, представленного на рисунке 12.

k, x, y: integer;

writeln (‘ ввести x, y ’);

while y>x do {оператор цикла с предусловием}

writeln (‘ k=’, k , ‘ y= ’ , y);

end; {конец оператора цикла с предусловием }

В программе до выполнения цикла не задано начальное значение k. По умолчанию оно равно нулю.

В примере используется оператор цикла с предусловием, который в данном примере выполняется при условии y>x. Условие проверяется при входе в цикл. В теле цикла счётчик задан в виде оператора присваивания k:=k+1, который выдаёт количество выполненных циклов.

Пример3

Циклический алгоритм примера 2 переписать, используя оператор цикла с постусловием. Результат будет тот же.

Программа алгоритма цикла с постусловием, представленного на рисунке 13.

k, x, y: integer;

writeln (‘ввести x, y , ’);

repeat {оператор цикла с постусловием}

readln (‘ k=’ , k , ‘ y= ’, y);

until y<=x; {конец оператора цикла с постусловием }

Упражнение 4

Одномерные массивы

Пример 1

Требуется найти максимальный элемент одномерного массива и его номер по порядку следования в массиве. Представить алгоритм задачи в виде блок-схемы и написать по ней программу.

Решение

1) Алгоритм поиска: вводим переменную Mах, в которую записываем 1-ый элемент массива. Затем в цикле сравниваем каждый последующий элемент с Mах. Если число, хранящееся в текущем элементе, больше хранящегося в Mах, то число из текущего элемента записываем в Mах.

Программа поиска максимального элемента одномерного массива и его номера:

х: array of integer;

k, max, n, i: integer;

Writeln (‘ввести количество элементов массива n’);

for i:=1 to n do

readln (х[i]); {ввод элементов массива }

for i:=1 to n do

if х[i]>max then

writeln(’ max = ’ , max , ’ k =’ , k);

Блок-схема алгоритма поиска максимального элемента одномерного массива и его номера представлена на рисунке 23.

Блок 2 - ввод количества элементов одномерного массива.

Блок 3 - начало цикла, в котором будут вводиться элементы одномерного массива.

Блок 4 - ввод элементов одномерного массива в цикле.

Блок 5 – значение первого элемента одномерного массива присваивается максимальному элементу.

Блок 6 - начало цикла, в котором в блоке 7 проверяется условие максимального элемента одномерного массива и в блоке 8 фиксируется значение и номер максимального элемента одномерного массива.

В блоке 9 - выводится максимальный элемент одномерного массива и его номер.

Рисунок 23 - Алгоритм поиска максимального элемента одномерного массива и его номера

Двумерные массивы

Пример 2

Для двумерного массива, состоящего из N строк и М столбцов, найти сумму элементов 3-столбца.

Решение

Таблица идентификаторов

Программа поиска суммы элементов 3-столбца двумерного массива:

a: array[ 1.. 10, 1..10] of integer;

s, i, j, n, m:integer;

writeln(’ввести количество строк- n и столбцов-m’);

for i:=l to n do

for j:=l to m do

writeln(’ ввести элемент массива a[ ’, i , ’ , ’ , j , ’ ]= ’);

readln (a,); {ввод элемента массива}

writeln(a); {вывод элемента массива}

for i:=1 to n do

s:=s+a[ i, 3]; {сумма элементов 3 столбца}

writeln(’s=’,s,);

Контрольная работа

Выполнить задания контрольной работы по темам:

1. Системы счисления.

2. Алгебра логики.

3. Алгоритмизация и программирование.

Примечание: При сложении двух чисел, равных 1, в данном разряде получается 0, а 1-ца переносится в старший разряд.

Пример_21 : Даны числа 101 (2) и 11 (2) . Найти сумму этих чисел.

где 101 (2) = 5 (10) , 11 (2) = 3 (10) , 1000 (2) = 8 (10) .

Проверка: 5+3=8.

При вычитании из 0 единицы, занимается единица из старшего ближайшего разряда, отличного от 0. При этом, единица занятая в старшем разряде, даёт 2 единицы в младшем разряде и по единице во всех разрядах между старшим и младшим.

Пример_22 : Даны числа 101 (2) и 11 (2) . Найти разность этих чисел.

где 101 (2) =5 (10) , 11 (2) =3 (10) , 10 (2) =2 (10) .

Проверка: 5-3=2.

Операция умножения сводится к многократному сдвигу и сложению.

Пример_23 : Даны числа 11 (2) и 10 (2) . Найти произведение этих чисел.

где 11 (2) =3 (10) , 10 (2) =2 (10) , 110 (2) =6 (10) .

Проверка: 3*2=6.

Арифметические операции в восьмеричной системе счисления

При сложении двух чисел, в сумме равных 8, в данном разряде получается 0, а 1-ца переносится в старший разряд.

Пример_24 : Даны числа 165 (8) и 13 (8) . Найти сумму этих чисел.

где 165 (8) = 117 (10) , 13 (8) = 11 (10) , 200 (8) = 128 (10) .

При вычитании из меньшего числа большего, занимается единица из старшего ближайшего разряда, отличного от 0. При этом, единица занятая в старшем разряде, даёт 8 в младшем разряде.

Пример_25 : Даны числа 114 (8) и 15 (8) . Найти разность этих чисел.

где 114 (8) =76 (10) , 15 (8) =13 (10) , 77 (8) =63 (10) .

Арифметические операции в шестнадцатеричной системе счисления

При сложении двух чисел, в сумме равных 16, в данном разряде записывают 0, а 1-ца переносят в старший разряд.

Пример_26 : Даны числа 1B5 (16) и 53 (16) . Найти сумму этих чисел.

где 1B5 (16) = 437 (10) , 53 (16) = 83 (10) , 208 (16) = 520 (10) .

При вычитании из меньшего числа большего, занимается единица из старшего ближайшего разряда, отличного от 0. При этом, единица занятая в старшем разряде, даёт 16 в младшем разряде.

Пример_27 : Даны числа 11A (16) и 2C (16) . Найти разность этих чисел.

где 11A (16) =282 (10) , 2C (16) =44 (10) , EE (16) =238 (10) .

Кодирование данных в ЭВМ

Данные в компьютере представляются в виде кода, который состоит из единиц и нулей в разной последовательности.

Код – набор условных обозначений для представления информации. Кодирование – процесс представления информации в виде кода.

Коды чисел

При выполнении арифметических операций в ЭВМ применяют прямой, обратный и дополнительный коды чисел.

Прямой код

Прямой код (представление в виде абсолютной величины со знаком) двоичного числа – это само двоичное число, в котором все цифры, изображающие его значение, записываются как в математической записи, а знак числа записывается двоичной цифрой.

Целые числа могут представляться в компьютере со знаком или без знака.

Целые числа без знака обычно занимают в памяти один или два байта. Для хранения целых чисел со знаком отводится один, два или четыре байта, при этом старший (крайний левый) разряд отводится под знак числа. Если число положительное, то в этот разряд записывается 0, если отрицательное,- то 1.

Пример_28 :

1 (10) =0 000 0001 (2) , -1 (10) =1 000 0001 (2)

Положительные числа в ЭВМ всегда представляются с помощью прямого кода. Прямой код числа полностью совпадает с записью самого числа в ячейке машины. Прямой код отрицательного числа отличается от прямого кода соответствующего положительного числа лишь содержимым знакового разряда.

Прямой код используется при хранении чисел в памяти ЭВМ, а также при выполнении операций умножения и деления, но формат представления чисел в прямом коде неудобен для использования в вычислениях, поскольку сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел выполняется по–разному, а потому требуется анализировать знаковые разряды операндов. Поэтому прямой код практически не применяется при реализации в АЛУ арифметических операций над целыми числами. Но отрицательные целые числа не представляются в ЭВМ с помощью прямого кода. Вместо этого формата широкое распространение получили форматы представления чисел в обратном и дополнительном кодах.

Обратный код

Обратный код положительного числа совпадает с прямым, а при записи отрицательного числа все его цифры, кроме цифры, изображающей знак числа, заменяются на противоположные (0 заменяется на 1, а 1 - на 0).

Пример_29 :

Пример_30 :

Для восстановления прямого кода отрицательного числа из обратного кода надо все цифры, кроме цифры, изображающей знак числа, заменить на противоположные.

Дополнительный код

Дополнительный код положительного числа совпадает с прямым, а код отрицательного числа образуется путем прибавления 1 к обратному коду.

Пример_31 :

Пример_32 :

Пример_33 :

Для целого числа -32 (10) записать дополнительный код.

1. После перевода числа 32 (10) в двоичную систему счисления получим:

32 (10) =100000 (2) .

2. Прямой код положительного числа 32 (10) равен 0010 0000.

3. Для отрицательного числа -32 (10) прямой код равен 1010 0000.

4. Обратный код числа -32 (10) равен 1101 1111.

5. Дополнительный код числа -32 (10) равен 1110 0000.

Пример_34 :

Дополнительный код числа равен 0011 1011. Найти значение числа в десятичной системе счисления.

1. Первый (знаковый) разряд числа 0 011 1011 равен 0, следовательно, число положительное.

2. У положительного числа дополнительный, обратный и прямой код совпадают.

3. Число в двоичной системе счисления получаем из записи прямого кода – 111011 (2) (нули из старших разрядов отбрасываем).

4. Число 111011 (2) после перевода в десятичную систему счисления равно 59 (10) .

Пример_35 :

Дополнительный код числа равен 1011 1011. Найти значение числа в десятичной системе счисления.

1. Знаковый разряд числа 1 011 1011 равен 1, следовательно, число отрицательное.

2. Для определения обратного кода числа из дополнительного кода вычитаем единицу. Обратный код равен 1 011 1010.

3. Прямой код получаем из обратного заменой всех двоичных цифр числа на противоположные (1 на 0, 0 на 1). Прямой код числа равен 1 100 0101 (в знаковом разряде записываем 1).

4. Число в двоичной системе счисления получаем из записи прямого кода – -100 0101 (2) .

4. Число -1000101 (2) после перевода в десятичную систему счисления равно -69 (10) .

Похожая информация.

Задания на определение значений в различных системах счисления и их оснований

Задание 1. Для кодирования символов @, $, &, % используются двухразрядные последовательные двоичные числа. Первому символу соответствует число 00. С помощью данных символов была закодирована такая последовательность: $%&&@$. Декодируйте данную последовательность и переведите результат в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение.

1. Сопоставим двоичные числа кодируемым ими символам:
00 — @, 01 — $, 10 — &, 11 — %

3. Переведем двоичное число в шестнадцатеричную систему счисления:
0111 1010 0001 = 7A1

Ответ. 7A1 16 .

Задание 2. В саду 100 x фруктовых деревьев, из которых 33 x – яблони, 22 x …
– груши, 16 x – сливы, 17 x — вишни. Чему равно основание системы счисления (x).

Решение.

1. Заметим, что все слагаемые – двузначные числа. В любой системе счисления их можно представить так:
a * x 1 + b * x 0 = ax + b, где a и b – это цифры соответствующих разрядов числа.
Для трехзначного числа будет так:
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = ax 2 + bx + c

2. Условие задачи таково:
33 x + 22 x + 16 x + 17 x = 100 x
Подставим числа в формулы:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x 2

3. Решим квадратное уравнение:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 7 2 – 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. Квадратный корень из D равен 11.
Корни квадратного уравнения:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 или x = (-7 — 11) / (2 * (-1)) = 9

4. Отрицательное число не может быть основанием системы счисления. Поэтому x может быть равен только 9.

Ответ. Искомое основание системы счисления равно 9.

Задание 3. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 12 записывается как 110. Найдите это основание.

Решение.

Сначала распишем число 110 через формулу записи чисел в позиционных системах счисления для нахождения значения в десятичной системе счисления, а затем найдем основание методом перебора.

110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x

Нам надо получить 12. Пробуем 2: 2 2 + 2 = 6. Пробуем 3: 3 2 + 3 = 12.

Значит основание системы счисления равно 3.

Ответ. Искомое основание системы счисления равно 3.

Шестнадцатеричная и восьмеричная системы счисления

Задание 1. Какому числу в шестнадцатеричной системе счисления соответствует число 11000101?

Решение.

При переводе двоичного числа в шестнадцатеричное, первое разбивается на группы по четыре разряда, начиная с конца. В случае, если количество разрядов не делится нацело на четыре, то первая четверка дописывается нулями впереди. Каждой четверке однозначно соответствует одна цифра шестнадцатеричной системы счисления.

11000101 = 1100 0101 = С5 16

Нет необходимости иметь таблицу соответствия перед глазами. Двоичный счет 15 первых чисел можно осуществить в уме или последовательно расписать. При этом не следует забывать, что 10 в десятичной системе соответствует A в шестнадцатеричной, 11 – B, 12 – C, 13 – D, 14 – E, 15 – F.

Ответ. 11000101 = С5 16

Задание 2. Вычислите сумму двоичных чисел x и y, при x = 10100 и y = 10101. Результаты представьте в виде восьмеричного числа.

Решение.

Сложим два числа. Правила двоичной и десятичной арифметики одинаковы:

При переводе двоичного числа в восьмеричное, первое разбивается на группы по три разряда, начиная с конца. В случае, если количество разрядов не делится нацело на три, то первая тройка дописывается нулями впереди:

Ответ. Сумма двоичных чисел 10100 и 10101, представленная в восьмеричной системе счисления равна 51.

Перевод в двоичную систему счисления

Задание 1. Чему равно число 37 в двоичной системе счисления?

Решение.

Можно выполнить преобразование делением на 2 и комбинацией остатков в обратном порядке.

Другой способ – это разложить число на сумму степеней двойки, начиная со старшей, вычисляемый результат которой меньше данного числа. При преобразовании пропущенные степени числа следует заменять нулями:

37 10 = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101

Ответ. 37 10 = 100101 2 .

Задание 2. Сколько значащих нулей в двоичной записи десятичного числа 73?

Решение.

Разложим число 73 на сумму степеней двойки, начиная со старшей и умножая пропущенные степени в дальнейшем на нули, а существующие на единицу:

73 10 = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001

Ответ. В двоичной записи десятичного числа 73 присутствует четыре значащих нуля.

Задание 3. Вычислите сумму чисел x и y при x = D2 16 , y = 37 8 . Результат представьте в двоичной системе счисления.

Решение.

Вспомним, что каждая цифра шестнадцатеричного числа формируется четырьмя двоичными разрядами, каждая цифра восьмеричного числа – тремя:

D2 16 = 1101 0010
37 8 = 011 111

Сложим полученные числа:

Ответ. Сумма чисел D2 16 и y = 37 8 , представленная в двоичной системе счисления равна 11110001.

Задание 4. Дано: a = D7 16 , b = 331 8 . Какое из чисел c , записанных в двоичной системе счисления, отвечает условию a < c < b ?

1. 11011001
2. 11011100
3. 11010111
4. 11011000

Решение.

Переведем числа в двоичную систему счисления:

D7 16 = 11010111
331 8 = 11011001

Первые четыре разряда у всех чисел совпадают (1101). Поэтому сравнение упрощается до сравнения младших четырех разрядов.

Первое число из перечня равно числу b , следовательно, не подходит.

Второе число больше как b . Третье число равно a .

Только четвертое число подходит: 0111 < 1000 < 1001.

Ответ. Четвертый вариант (11011000) отвечает условию a < c < b .

Перевод в десятичную систему счисления

Задание 1. Какому числу в десятичной системе счисления соответствует число 24 16 ?

Решение.

24 16 = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36

Ответ. 24 16 = 36 10

Задание 2. Известно, что X = 12 4 + 4 5 + 101 2 . Чему равно число X в десятичной системе счисления?

Решение.

12 4 = 1 * 4 1 + 2 * 4 0 = 4 + 2 = 6
4 5 = 4 * 5 0 = 4
101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
Находим число: X = 6 + 4 + 5 = 15

Ответ. X = 15 10

Задание 3. Вычислите значение суммы 10 2 + 45 8 + 10 16 в десятичной системе счисления.

Решение.

Переведем каждое слагаемое в десятичную систему счисления:
10 2 = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45 8 = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10 16 = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
Сумма равна: 2 + 37 + 16 = 55

Ответ. 55 10

Арифметические операции в двоичной системе счисления

Системы счисления

Номер темы:

В двоичной системе счисления арифметические операции выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления, т.к. они обе являются позиционными (наряду с восьмеричной, шестнадцатеричной и др.).

Сложение

Сложение одноразрядных двоичных чисел выполняется по следующим правилам:

В последнем случае, при сложении двух единиц, происходит переполнение младшего разряда, и единица переносится в старший разряд. Переполнение возникает в случае, если сумма равна основанию системы счисления (в данном случае это число 2) или больше его (для двоичной системы счисления это не актуально).

Сложим для примера два любых двоичных числа:

Вычитание

Вычитание одноразрядных двоичных чисел выполняется по следующим правилам:

0 — 1 = (заем из старшего разряда) 1

Умножение

Умножение одноразрядных двоичных чисел выполняется по следующим правилам:

Деление

Деление выполняется так же как в десятичной системе счисления: