Hedef:

• Antiderivatif kavramının oluşumu.
• İntegralin algılanmasına hazırlık.
• Hesaplama becerilerinin oluşumu.
• Güzellik duygusunu geliştirmek (alışılmadık olandaki güzelliği görme yeteneği).

Matematiksel analiz, diferansiyel ve integral hesap yöntemlerini kullanarak fonksiyonların ve genellemelerinin incelenmesine adanmış bir dizi matematik dalıdır.

Şu ana kadar diferansiyel hesap adı verilen matematiksel analizin bir dalını inceledik ve bunun özü "küçük" bir fonksiyonun incelenmesiydi.

Onlar. Her tanım noktasının yeterince küçük komşuluklarındaki bir fonksiyonun incelenmesi. Türev alma işlemlerinden biri türevi (diferansiyel) bulmak ve onu fonksiyonlar çalışmasına uygulamaktır.

Ters problem daha az önemli değildir. Bir fonksiyonun, tanımındaki her bir noktanın yakınındaki davranışı biliniyorsa, o zaman fonksiyon bir bütün olarak nasıl yeniden yapılandırılabilir? tanımının tüm kapsamı boyunca. Bu problem integral hesabı olarak adlandırılan çalışmanın konusudur.

Entegrasyon, farklılaşmanın ters etkisidir. Veya f(x) fonksiyonunu belirli bir f`(x) türevinden geri yüklemek. Latince “integro” kelimesi restorasyon anlamına gelir.

Örnek No.1.

(x)`=3x 2 olsun.
f(x)'i bulalım.

Çözüm:

Türev alma kuralına göre f(x) = x 3 olduğunu tahmin etmek zor değil çünkü (x 3)` = 3x 2
Ancak f(x)'in benzersiz bir şekilde bulunmadığını kolaylıkla fark edebilirsiniz.
f(x) olarak alabiliriz
f(x)= x 3 +1
f(x)= x 3 +2
f(x)= x 3 -3, vb.

Çünkü her birinin türevi 3x2'ye eşittir. (Bir sabitin türevi 0'dır). Tüm bu işlevler birbirinden sabit bir terimle farklılık gösterir. Bu nedenle problemin genel çözümü f(x) = x 3 + C şeklinde yazılabilir; burada C herhangi bir sabit reel sayıdır.

Bulunan f(x) fonksiyonlarından herhangi biri çağrılır PRİMODYUM F`(x)= 3x 2 fonksiyonu için

Tanım. Bir F(x) fonksiyonuna, belirli bir J aralığındaki bir f(x) fonksiyonu için ters türev denir, eğer bu aralıktaki tüm x'ler için F`(x)= f(x) ise. Yani F(x)=x 3 fonksiyonu f(x)=3x 2'nin (- ∞ ; ∞) üzerinde ters türevidir.
Tüm x ~R için eşitlik doğru olduğundan: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Daha önce de fark ettiğimiz gibi, bu fonksiyonun sonsuz sayıda antiderivatifi vardır (bkz. örnek No. 1).

Örnek No.2. F(x)=x fonksiyonu (0; +) aralığındaki tüm f(x)= 1/x için ters türevdir, çünkü bu aralıktaki tüm x'ler için eşitlik geçerlidir.
F'(x)= (x 1/2)'=1/2x -1/2 =1/2x

Örnek No. 3. F(x)=tg3x fonksiyonu f(x)=3/cos3x'in (-n/ aralığında) ters türevidir. 2; P/ 2),
Çünkü F'(x)=(tg3x)'= 3/cos 2 3x

Örnek No. 4. F(x)=3sin4x+1/x-2 fonksiyonu f(x)=12cos4x-1/x 2'nin (0;∞) aralığında ters türevidir.
Çünkü F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

Ders 2.

Konu: Terstürev. Bir antiderivatif fonksiyonun temel özelliği.

Antiderivatifi incelerken aşağıdaki ifadeye güveneceğiz. Bir fonksiyonun sabitliğinin işareti: Eğer J aralığında fonksiyonun türevi Ψ(x) 0'a eşitse, bu aralıkta Ψ(x) fonksiyonu sabittir.

Bu ifade geometrik olarak gösterilebilir.

Ψ`(x)=tgα, γde α'nın Ψ(x) fonksiyonunun grafiğine apsis x 0 noktasındaki teğetin eğim açısı olduğu bilinmektedir. J aralığının herhangi bir noktasında Ψ`(υ)=0 ise, Ψ(x) fonksiyonunun grafiğine herhangi bir teğet için tanα=0 δ olur. Bu, fonksiyonun grafiğinin herhangi bir noktasındaki teğetinin apsis eksenine paralel olduğu anlamına gelir. Bu nedenle, belirtilen aralıkta, Ψ(x) fonksiyonunun grafiği y=C düz çizgi parçasıyla çakışır.

Yani, eğer bu aralıkta f`(x)=0 ise, f(x)=c fonksiyonu J aralığında sabittir.

Aslında, J aralığından keyfi bir x 1 ve x 2 için, bir fonksiyonun ortalama değerine ilişkin teoremi kullanarak şunu yazabiliriz:
f(x 2) - f(x 1) = f`(c) (x 2 - x 1), çünkü f`(c)=0 ise f(x 2)= f(x 1)

Teorem: (Antitürev fonksiyonunun ana özelliği)

Eğer F(x), J aralığındaki f(x) fonksiyonunun ters türevlerinden biri ise, o zaman bu fonksiyonun tüm ters türevlerinin kümesi şu biçimde olur: F(x)+C, burada C herhangi bir gerçek sayıdır.

Kanıt:

x Є J için F`(x) = f (x) olsun, sonra (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x) olsun.
J aralığında f(x)'in başka bir terstürevi olan Φ(x)'in var olduğunu varsayalım; Φ`(x) = f(x),
o zaman (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0, x Є J için.
Bu, Φ(x) - F(x)'in J aralığında sabit olduğu anlamına gelir.
Dolayısıyla Φ(x) - F(x) = C.
Buradan itibaren Φ(x)= F(x)+C.
Bu, eğer F(x), J aralığındaki bir f(x) fonksiyonu için bir ters türev ise, bu fonksiyonun tüm ters türevleri kümesinin şu şekilde olduğu anlamına gelir: F(x)+C, burada C herhangi bir gerçek sayıdır.
Sonuç olarak, belirli bir fonksiyonun herhangi iki antiderivatifi birbirinden sabit bir terimle farklılık gösterir.

Örnek: f(x) = cos x fonksiyonunun ters türevleri kümesini bulun. İlk üçünün grafiğini çizin.

Çözüm: Sin x, f(x) = cos x fonksiyonunun ters türevlerinden biridir
F(x) = Sin x+C – tüm antitürevlerin kümesi.

F 1 (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F 3 (x) = Sin x+1

Geometrik çizim: Herhangi bir ters türev F(x)+C'nin grafiği, r(0;c)'nin paralel transferi kullanılarak ters türev F(x)'in grafiğinden elde edilebilir.

Örnek: f (x) = 2x fonksiyonu için grafiği t.M (1;4)'ten geçen bir ters türev bulun.

Çözüm: F(x)=x 2 +C – problemin koşullarına göre tüm antitürevlerin kümesi, F(1)=4.
Bu nedenle, 4 = 1 2 +C
C = 3
F(x) = x 2 +3

Bir noktanın düz bir çizgi boyunca hareketini düşünelim. Zaman almasına izin ver T hareketin başlangıcından itibaren nokta belli bir mesafe kat etmiştir s(t). Daha sonra anlık hız v(t) fonksiyonun türevine eşit s(t), yani v(t) = s"(t).

Uygulamada ters problemle karşılaşırız: bir noktanın hareket hızı göz önüne alındığında v(t) gittiği yolu bul s(t) yani böyle bir işlev bulun s(t), türevi şuna eşit olan v(t). İşlev s(t),öyle ki s"(t) = v(t), fonksiyonun ters türevi olarak adlandırılır v(t).

Örneğin, eğer v(t) = аt, Nerede A belirli bir sayıysa, o zaman işlev
s(t) = (аt2) / 2v(t),Çünkü
s"(t) = ((аt 2) / 2) " = аt = v(t).

İşlev F(x) fonksiyonun ters türevi denir f(x) bir süreliğine, eğer hepsi içinse X bu boşluktan F"(x) = f(x).

Örneğin, fonksiyon F(x) = günah x fonksiyonun ters türevidir f(x) = çünkü x,Çünkü (sin x)" = çünkü x; işlev F(x) = x 4/4 fonksiyonun ters türevidir f(x) = x 3, Çünkü (x 4/4)" = x 3.

Sorunu ele alalım.

Görev.

x 3/3, x 3/3 + 1, x 3/3 – 4 fonksiyonlarının aynı f(x) = x 2 fonksiyonunun ters türevleri olduğunu kanıtlayın.

Çözüm.

1) F 1 (x) = x 3/3 olsun, o zaman F" 1 (x) = 3 ∙ (x 2 /3) = x 2 = f(x) olsun.

2) F 2 (x) = x 3/3 + 1, F" 2 (x) = (x 3/3 + 1)" = (x 3/3)" + (1)" = x 2 = f( X).

3) F 3 (x) = x 3 /3 – 4, F" 3 (x) = (x 3 /3 – 4)" = x 2 = f (x).

Genel olarak, C'nin bir sabit olduğu herhangi bir x 3/3 + C fonksiyonu, x 2 fonksiyonunun bir ters türevidir. Bu, sabitin türevinin sıfır olmasından kaynaklanmaktadır. Bu örnek, belirli bir fonksiyon için antitürevinin belirsiz bir şekilde belirlendiğini göstermektedir.

F 1 (x) ve F 2 (x) aynı f(x) fonksiyonunun iki ters türevi olsun.

O halde F 1 "(x) = f(x) ve F" 2 (x) = f(x).

Farklarının türevi g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) sıfıra eşittir, çünkü g"(x) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x) ) – f(x) = 0.

Belirli bir aralıkta g"(x) = 0 ise y = g(x) fonksiyonunun grafiğinin bu aralığın her noktasındaki teğeti Ox eksenine paraleldir. Dolayısıyla y = fonksiyonunun grafiği g(x) Ox eksenine paralel düz bir çizgidir, yani g(x) = C, burada C bir miktar sabittir Eşitliklerden g(x) = C, g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) bundan F 1 (x) = F 2 (x) + S sonucu çıkar.

Dolayısıyla, eğer F(x) fonksiyonu f(x) fonksiyonunun belirli bir aralıktaki ters türevi ise, o zaman f(x) fonksiyonunun tüm ters türevleri F(x) + C formunda yazılır, burada C bir a'dır keyfi sabit.

Belirli bir f(x) fonksiyonunun tüm antiderivatiflerinin grafiklerini ele alalım. Eğer F(x), f(x) fonksiyonunun ters türevlerinden biri ise, o zaman bu fonksiyonun herhangi bir ters türevi, F(x)'e bir sabitin eklenmesiyle elde edilir: F(x) + C. y = F( fonksiyonlarının grafikleri x) + C, Oy ekseni boyunca kaydırılarak y = F(x) grafiğinden elde edilir. C'yi seçerek antiderivatifin grafiğinin belirli bir noktadan geçmesini sağlayabilirsiniz.

Antiderivatif bulma kurallarına dikkat edelim.

Belirli bir fonksiyonun türevini bulma işlemine ne ad verildiğini hatırlayın. farklılaşma. Verilen bir fonksiyonun terstürevini bulma işlemine ters işlem denir. entegrasyon(Latince kelimeden "eski haline getirmek").

Antitürev tablosu bazı işlevler için bir türev tablosu kullanılarak derlenebilir. Mesela bunu bilmek (çünkü x)" = -sin x, aldık (-cos x)" = sin x, buradan tüm antiderivatif fonksiyonların olduğu sonucu çıkar günah xşeklinde yazılır -çünkü x + C, Nerede İLE- devamlı.

Antiderivatiflerin bazı anlamlarına bakalım.

1) İşlev: x p, p ≠ -1. Terstürev: (x p+1) / (p+1) + C.

2) İşlev: 1/x, x > 0. Terstürev: x + C'de.

3) İşlev: x p, p ≠ -1. Terstürev: (x p+1) / (p+1) + C.

4) İşlev: eski. Terstürev: e x + C.

5) İşlev: günah x. Terstürev: -çünkü x + C.

6) İşlev: (kx + b) p, р ≠ -1, k ≠ 0. Terstürev: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.

7) İşlev: 1/(kx + b), k ≠ 0. Terstürev: (1/k) ln (kx + b)+ C.

8) İşlev: e kx + b, k ≠ 0. Terstürev: (1/k) e kx + b + C.

9) İşlev: günah (kx + b), k ≠ 0. Terstürev: (-1/k) çünkü (kx + b).

10) İşlev: cos (kx + b), k ≠ 0. Terstürev: (1/k) sin (kx + b).

Entegrasyon kuralları kullanılarak elde edilebilir farklılaşma kuralları. Bazı kurallara bakalım.

İzin vermek F(x) Ve G(x)– sırasıyla fonksiyonların antiderivatifleri f(x) Ve g(x) belli bir aralıkta. Daha sonra:

1) işlev F(x) ± G(x) fonksiyonun ters türevidir f(x) ± g(x);

2) işlev AF(x) fonksiyonun ters türevidir af(x).

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Antiderivatifin tanımı.

Bir f(x) fonksiyonunun (a; b) aralığındaki ters türevi, eşitliğin verilen aralıktaki herhangi bir x için geçerli olduğu bir F(x) fonksiyonudur.

C sabitinin türevinin sıfıra eşit olduğu gerçeğini dikkate alırsak eşitlik doğrudur . Bu nedenle, f(x) fonksiyonu, keyfi bir C sabiti için bir F(x)+C ters türevleri kümesine sahiptir ve bu ters türevler, keyfi bir sabit değerle birbirlerinden farklılık gösterir.

Belirsiz integralin tanımı.

f(x) fonksiyonunun antitürevlerinin tamamına bu fonksiyonun belirsiz integrali denir ve şöyle gösterilir: .

İfade denir integrand ve f(x) – integral fonksiyonu. İntegral f(x) fonksiyonunun diferansiyelini temsil eder.

Diferansiyeli verilen bilinmeyen bir fonksiyonu bulma eylemine ne ad verilir? belirsiz entegrasyon, çünkü entegrasyonun sonucu tek bir F(x) fonksiyonu değil, onun antitürevleri F(x)+C'nin bir kümesidir.

Türevin özelliklerine dayanarak formüle edilebilir ve kanıtlanabilir. belirsiz integralin özellikleri(bir antiderivatifin özellikleri).

Belirsiz integralin birinci ve ikinci özelliklerinin ara eşitlikleri açıklama amacıyla verilmiştir.

Üçüncü ve dördüncü özellikleri kanıtlamak için eşitliklerin sağ taraflarının türevlerini bulmak yeterlidir:

Bu türevler integrandlara eşittir, bu da birinci özellikten dolayı bir kanıttır. Son geçişlerde de kullanılır.

Dolayısıyla entegrasyon sorunu, farklılaşma sorununun tersidir ve bu sorunlar arasında çok yakın bir bağlantı vardır:

• ilk özellik entegrasyonun kontrol edilmesine izin verir. Yapılan entegrasyonun doğruluğunu kontrol etmek için elde edilen sonucun türevini hesaplamak yeterlidir. Türev alma sonucu elde edilen fonksiyon integrand'a eşit çıkıyorsa bu, entegrasyonun doğru yapıldığı anlamına gelir;
• Belirsiz integralin ikinci özelliği, bir fonksiyonun bilinen bir diferansiyelinden antitürevini bulmayı sağlar. Belirsiz integrallerin doğrudan hesaplanması bu özelliğe dayanmaktadır.

Bir örneğe bakalım.

Örnek.

x = 1'de değeri bire eşit olan fonksiyonun ters türevini bulun.

Çözüm.

Diferansiyel hesaptan biliyoruz ki (sadece temel temel fonksiyonların türevleri tablosuna bakın). Böylece, . İkinci mülk olarak . Yani elimizde birçok antiderivatif var. x = 1 için değeri elde ederiz. Koşula göre bu değerin bire eşit olması gerekir, dolayısıyla C = 1 olur. İstenilen antiderivatif formu alacaktır.

Örnek.

Belirsiz integrali bulun ve sonucu türev alarak kontrol edin.

Çözüm.

Trigonometriden çift açılı sinüs formülünü kullanma , Bu yüzden

Her matematiksel eylemin ters bir eylemi vardır. Farklılaşma eylemi (fonksiyonların türevlerini bulma) için aynı zamanda ters bir eylem de vardır - entegrasyon. İntegral yoluyla, verilen türevinden veya diferansiyelinden bir fonksiyon bulunur (yeniden oluşturulur). Bulunan fonksiyon çağrılır antiderivatif.

Tanım. Türevlenebilir fonksiyon F(x) fonksiyonun antiderivatifi denir f(x) belirli bir aralıkta, eğer herkes içinse X bu aralıktan itibaren aşağıdaki eşitlik geçerlidir: F'(x)=f(x).

Örnekler. Fonksiyonların ters türevlerini bulun: 1) f (x)=2x; 2) f(x)=3cos3x.

1) (x²)′=2x olduğundan, tanım gereği, F(x)=x² fonksiyonu, f(x)=2x fonksiyonunun ters türevi olacaktır.

2) (sin3x)'=3cos3x. Eğer f (x)=3cos3x ve F (x)=sin3x'i belirtirsek, o zaman ters türevin tanımı gereği elimizde: F′(x)=f (x) bulunur ve dolayısıyla F (x)=sin3x şöyle olur: f ( x)=3cos3x için bir terstürev.

Şunu unutmayın (sin3x +5 )′= 3cos3x, ve (sin3x -8,2 )′= 3cos3x, ... genel olarak şunu yazabiliriz: (sin3x +C)′= 3cos3x, Nerede İLE- bazı sabit değerler. Bu örnekler, herhangi bir türevlenebilir fonksiyonun tek bir türevi olduğunda, türev alma eyleminin aksine, entegrasyon eyleminin belirsizliğini gösterir.

Tanım. Eğer fonksiyon F(x) fonksiyonun ters türevidir f(x) belirli bir aralıkta bu fonksiyonun tüm antiderivatiflerinin kümesi şu şekilde olur:

F(x)+C, burada C herhangi bir gerçek sayıdır.

Söz konusu aralıktaki f (x) fonksiyonunun tüm anti türevleri F (x) + C kümesine belirsiz integral denir ve sembolüyle gösterilir. ∫ (integral işareti). Yazın: ∫f (x) dx=F (x)+C.

İfade ∫f(x)dxşunu okuyun: “x'ten dex'e integral ef.”

f(x)dx- integral ifadesi,

f(x)— integral işlevi,

X entegrasyon değişkenidir.

F(x)- bir fonksiyonun antiderivatifi f(x),

İLE- bazı sabit değerler.

Şimdi ele alınan örnekler şu şekilde yazılabilir:

1) ∫ 2xdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

D işareti ne anlama geliyor?

D- diferansiyel işaret - ikili bir amacı vardır: ilk olarak, bu işaret integrali integral değişkeninden ayırır; ikincisi, bu işaretten sonra gelen her şey varsayılan olarak farklılaştırılır ve integrandla çarpılır.

Örnekler. İntegralleri bulun: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) Diferansiyel simgesinden sonra D maliyetler XX, A R

∫ 2хрdx=рх²+С. Örnekle karşılaştırın 1).

Bir kontrol yapalım. F'(x)=(px²+C)'=p·(x²)'+C'=p·2x=2px=f (x).

4) Diferansiyel simgesinden sonra D maliyetler R. Bu, entegrasyon değişkeninin R ve çarpan X sabit bir değer olarak kabul edilmelidir.

∫ 2хрдр=р²х+С. Örneklerle karşılaştırın 1) Ve 3).

Bir kontrol yapalım. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).