Örnek sonuçlarının matematiksel ve istatistiksel analizi için yalnızca konum özelliklerinin bilinmesi yeterli değildir. Aynı ortalama değer tamamen farklı numuneleri karakterize edebilir.

Bu nedenle bunlara ek olarak istatistikler de dikkate alınır. saçılma özellikleri (varyasyonlar, veya dalgalanmalar ) sonuçlar.

1. Değişim aralığı

Tanım. Kapsamında varyasyon, en büyük ve en küçük numune sonuçları arasındaki farktır ve şu şekilde gösterilir: R ve belirlendi

R=X maksimum - X dk.

Bu göstergenin bilgi değeri küçüktür, ancak küçük örneklem boyutlarıyla sporcuların en iyi ve en kötü sonuçları arasındaki farkı değerlendirmek kolaydır.

2. Farklılık

Tanım. Varyans karakteristik değerlerin aritmetik ortalamadan sapmasının ortalama karesi denir.

Gruplandırılmamış veriler için varyans aşağıdaki formülle belirlenir:

Nerede X Ben– özelliğin değeri, - ortalama.

Aralıklar halinde gruplandırılmış veriler için varyans aşağıdaki formülle belirlenir:

,

Nerede X Ben- ortalama değer Ben gruplama aralığı, N Ben– aralık frekansları.

Hesaplamaları basitleştirmek ve sonuçları yuvarlarken (özellikle örneklem boyutunu arttırırken) hesaplama hatalarını önlemek için, varyansı belirlemek için başka formüller de kullanılır. Aritmetik ortalama zaten hesaplanmışsa, gruplandırılmamış veriler için aşağıdaki formül kullanılır:

 2 =
,

gruplandırılmış veriler için:

.

Bu formüller, toplam işareti altında farkın karesi ortaya çıkarılarak önceki formüllerden elde edilir.

Aritmetik ortalama ve varyansın aynı anda hesaplandığı durumlarda aşağıdaki formüller kullanılır:

gruplanmamış veriler için:

 2 =
,

gruplandırılmış veriler için:

.

3. Ortalama kare(standart)sapma

Tanım. Ortalama kare (standart ) sapma sonuçların ortalama değerden sapma derecesini mutlak birimler cinsinden karakterize eder, çünkü dağılımdan farklı olarak ölçüm sonuçlarıyla aynı ölçüm birimlerine sahiptir. Başka bir deyişle standart sapma, bir gruptaki sonuçların ortalama değer etrafındaki dağılımının yoğunluğunu veya grubun homojenliğini gösterir.

Gruplandırılmamış veriler için standart sapma formüller kullanılarak belirlenebilir.

 =
,

 =
veya =
.

Aralıklar halinde gruplandırılmış veriler için standart sapma aşağıdaki formüllerle belirlenir:

,

veya
.

4. Aritmetik ortalama hatası (ortalama hata)

Aritmetik ortalama hatası ortalamanın dalgalanmasını karakterize eder ve aşağıdaki formülle hesaplanır:

.

Formülden de görülebileceği gibi örneklem büyüklüğü arttıkça ortalamanın hatası örnek hacminin kareköküyle orantılı olarak azalmaktadır.

5. Değişim katsayısı

Değişim katsayısı yüzde olarak ifade edilen standart sapmanın aritmetik ortalamaya oranı olarak tanımlanır:

.

Varyasyon katsayısı% 10'u geçmezse numunenin homojen kabul edilebileceğine, yani genel bir popülasyondan elde edilebileceğine inanılmaktadır.

Örnek ortalamasına göre değerlerin değişimini değerlendirmek için kullanılan dağılımın temel özellikleri dağılım, standart sapma ve değişim katsayısıdır.

1. Dağılım(lat. dağılım - saçılma ) – x i değerlerinin aritmetik ortalamalarından kare sapmalarının aritmetik ortalaması.

Dağılım (D)- dağılım ölçüsü (ortalamadan sapma) şu şekilde belirlenir: aritmetik ortalama her seçenekten çıkarılır, farkın karesi alınır ve karşılık gelen frekansla çarpılır. Daha sonra, tüm ürünlerin toplamını belirleyin ve bunu nüfus hacmine bölün:

Gruplandırılmış veriler için varyans belirlenir:

Dağılımın boyutu, değişen özelliğin ölçüm birimleriyle örtüşmüyor.

Pratik problemleri çözerken, örnek varyansını hesaplamak için formüllerin kullanılmasına ek olarak, varyans düzeltildi. Gerçek şu ki, örnek varyansın değeri, gerçek varyansa göre hafife alınan değerler verir, bu nedenle küçük örneklerle (n)< 30) необходимо применять исправленную дисперсию и среднеквадратическое отклонение :

veya

2. Örneklenmiş ve düzeltilmiş standart sapma (σ, s) varyansın kareköküdür. Standart sapmanın boyutu, dağılım boyutunun aksine, deneysel verilerin ölçüm birimleriyle örtüşür, bu nedenle esas olarak incelenen özelliğin dağılımını karakterize etmek için kullanılır.

Örnek 1’de varyans hesaplamasını (Tablo 5) sunalım.

Tablo 5

Ara varyans hesaplamaları

Kümelenmiş örnek verilerin varyansı:

Standart sapma buna göre eşittir:

Düzeltilmiş standart sapma:

Örneklem ve düzeltilmiş sapmaların hesaplanmasına yönelik formüllerin yalnızca paydalarda farklılık gösterdiğini unutmayın. Yeterince büyük n için, örnek ve düzeltilmiş varyanslar çok az farklılık gösterir; dolayısıyla pratikte düzeltilmiş varyans, eğer n ise kullanılır.< 30 .

3. Değişim katsayısı (v)– örnek gözlemlerin homojenliğinin bir göstergesi olarak kullanılan, bir özelliğin dağılımının göreceli bir ölçüsüdür (Tablo 6).

Değişim katsayısı, standart sapmanın yüzde olarak ifade edilen aritmetik ortalamaya oranıdır. Ek olarak, varyasyon katsayısı genellikle farklı ölçüm birimlerinde ifade edilen çeşitli özelliklerin varyasyon derecesini karşılaştırırken (karşılaştırırken) kullanılır.

Dispersiyonun doğasını belirlemek için boyutsuz varyasyon katsayısı v aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

,

burada σ – standart sapma;

Örnek verilerin aritmetik ortalaması.

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı

Yüksek mesleki eğitimin devlet eğitim kurumu

"MATI" - K. E. Tsiolkovsky'nin adını taşıyan Rusya Devlet Teknoloji Üniversitesi

"Uçak Motoru Üretim Teknolojisi" Bölümü

Laboratuvar atölyesi

MATLAB. Ders 2

DENEYSEL VERİLERİN İSTATİSTİKSEL ANALİZİ

Tarafından düzenlendi:

Kuritsyna V.V.

Moskova 2011

GİRİİŞ

Modern bir deneycinin sahip olması gereken araçların cephaneliğinde, istatistiksel veri işleme ve analiz yöntemleri özel bir yer tutar. Bunun nedeni, yeterince karmaşık herhangi bir deneyin sonucunun, deneysel veriler işlenmeden elde edilememesidir.

Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik aparatı geliştirilmiş ve kitlesel rastgele olayların doğasında bulunan modelleri tanımlamak için kullanılmıştır. Her rastgele olay, karşılık gelen bir rastgele değişkenle (bu durumda deneyin sonucu) ilişkilendirilir.

Rastgele değişkenleri tanımlamak için aşağıdaki özellikler kullanılır:

A) sayısal özellikler rastgele değişken (örneğin, matematiksel beklenti, varyans, ...);

B) dağıtım kanunu Rastgele değişken – rastgele değişkenle ilgili tüm bilgileri taşıyan bir fonksiyon.

Rastgele bir değişkenin dağılım yasasının sayısal özellikleri ve parametreleri belirli bir bağımlılıkla birbirine bağlıdır. Çoğu zaman, sayısal özelliklerin değerine bağlı olarak, bir rastgele değişkenin dağılım kanunu varsayılabilir.

Rastgele bir değişkenin dağılım yasası genellikle belirli bir değeri kabul eden bir rastgele değişkenin olasılık dağılım fonksiyonu olarak adlandırılır. Bu, bir rastgele değişkenin olası aralık değerlerini, bu aralıklara düşme olasılığıyla ilişkilendiren bir fonksiyondur.

RASTGELE DEĞİŞKENLERİN ÖZELLİKLERİ

Rastgele değişkenlerin gruplandırılma merkezinin konumunun özellikleri

Rastgele değişkenlerin gruplandırma merkezinin konumunun sayısal özellikleri olarak, rastgele değişkenin matematiksel beklentisi veya ortalama değeri, modu ve medyanı kullanılır (Şekil 3.1.).

Beklenen değer rastgele değişken Y, MY veya a ile gösterilir ve aşağıdaki formülle belirlenir:

a = BENİM = ∫ Yϕ (Y ) dY .

Matematiksel beklenti, rastgele değişkenlerin gruplandırma merkezinin konumunu veya eğrinin altındaki alanın kütle merkezinin konumunu gösterir. Matematiksel beklenti, bir rastgele değişkenin sayısal bir özelliğidir, yani dağılım fonksiyonunun parametrelerinden biridir.

ϕ (Y ϕ (Y)maks

Pirinç. 3.1. Rastgele değişken X'in gruplandırma özellikleri

Bir rastgele değişken Y'nin modu, olasılık yoğunluğunun maksimum değere sahip olduğu Mo Y değeridir.

Rastgele Y'nin medyanı, şu duruma karşılık gelen Me Y değeridir:

P(Y< МеY ) = P (Y >Me Y ) = 0,5 .

Geometrik olarak medyan, olasılık yoğunluk eğrisinin çevrelediği alanı ikiye bölen çizgi üzerindeki noktaların apsisini temsil eder.

Rastgele bir değişkenin saçılma özellikleri

Bir rastgele değişken Y'nin dağılımın merkezi etrafındaki saçılımının ana özelliklerinden biri, D(Y) veya σ 2 ile gösterilen ve aşağıdaki formülle belirlenen dağılımdır:

D(Y ) = σ 2 = ∫ (Y - a) 2 ϕ (Y ) dY .

Varyans, rastgele bir değişkenin karesi boyutundadır ve bu her zaman uygun değildir. Çoğu zaman, varyans yerine, varyansın karekökünün pozitif değeri, rastgele bir değişkenin dağılımının bir ölçüsü olarak kullanılır. standart sapma veya standart sapma:

σ = D (Y) = σ 2.

Dağılım gibi standart sapma da bir değerin matematiksel beklenti etrafındaki yayılmasını karakterize eder.

Uygulamada, dispersiyon karakteristiği olarak adlandırılan varyasyon katsayısı Standart sapmanın matematiksel beklentiye oranını temsil eden ν:

ν = σa %100 .

Değişim katsayısı, rastgele değişkenin ortalamasına kıyasla ne kadar dağılım olduğunu gösterir.

Gözlem örneğinin özellikleri

Ortalama değer gözlemlenen karakteristik aşağıdaki formül kullanılarak tahmin edilebilir

Y = 1 ∑ n Y ben ,

n ben = 1

burada Yi, i'inci gözlemdeki (deneydeki) özelliğin değeridir, i=1...n. ; n – gözlem sayısı.

Numune standart sapması formülle belirlenir:

ν = Y S .

Varyasyon katsayısını ν bilerek, aşağıdaki formülü kullanarak doğruluk göstergesini H belirleyebilirsiniz:

H = n.

Araştırma ne kadar doğru yapılırsa göstergenin değeri o kadar düşük olacaktır.

İncelenen olgunun doğasına bağlı olarak, çalışmanın doğruluğu %3-5'i aşmıyorsa yeterli kabul edilir.

Bu alışılmadık bir durum değil büyük hata. Brüt hataları tahmin etmenin birkaç yolu vardır. En basit olanı hesaplamaya dayanmaktadır maksimum bağıl sapma U. Bunu yapmak için ölçüm sonuçları monoton olarak artan bir dizi değer halinde düzenlenir. Serinin en küçük Y min veya en büyük Y max üyesi büyük hata kontrolüne tabidir. Hesaplama aşağıdaki formüller kullanılarak gerçekleştirilir:

U değeri, belirli bir güven olasılığı U α için tablo değeriyle karşılaştırılır. Eğer U ≤ U α ise bu gözlemde büyük bir hata yoktur. Aksi halde gözlem sonucu elenir ve

Y ve S'yi yeniden hesaplayın. Daha sonra büyük hataları değerlendirme ve ortadan kaldırma prosedürü, serinin uç üyeleri için U ≤ U α eşitsizliği sağlanana kadar tekrarlanır.

Çoğu durumda istatistiksel gözlemlerin sonuçları tanımlanabilir. teorik dağıtım yasaları. Deneysel olarak elde edilen verileri yorumlarken, gözlemsel sonuçlara en iyi karşılık gelen rastgele bir değişkenin teorik dağılım yasasını belirlemek görevi ortaya çıkar. Daha spesifik olarak bu görev, rastgele bir numunenin belirli bir dağıtım yasasına ait olduğu hipotezinin test edilmesiyle ilgilidir.

Doğası gereği farklı olan analiz edilen süreçler, farklı dağıtım yasalarının uygulama alanlarını belirlemektedir. Dolayısıyla, aynı işleme koşulları altında yapılan teknolojik bir deneyin sonucu tamamen farklı yasalara tabidir ve yazı ve tura ile para atma deneyinin sonucu tamamen farklı yasalara tabidir. Güvenilirlik özelliklerinin ve başarısızlıkların rastgele değişkenlerinin dağılım yasalarının da kendine has özellikleri vardır.

İLE temel istatistiksel özelliklerölçüm serileri (değişken seriler) şunları içerir: konum özellikleri (ortalama özellikler, veya numunenin merkezi eğilimi); saçılma özellikleri (varyasyonlar veya dalgalanmalar) Ve X şekil özellikleri dağıtımlar.

İLE konum özellikleri ilgili olmak aritmetik ortalama (ortalama değer), moda Ve medyan.

İLE saçılma özellikleri (varyasyonlar veya dalgalanmalar) ilgili olmak: çeşitlilik aralığı, dağılım, ortalama kare (standart) sapma, aritmetik ortalama hatası (ortalama hata), varyasyon katsayısı ve benzeri.

Formun özelliklerine ilgili olmak çarpıklık katsayısı, çarpıklık ölçüsü ve basıklık.

Pozisyon Özellikleri

Aritmetik ortalama– numunenin temel özelliklerinden biri.

Numunenin diğer sayısal özellikleri gibi, hem ham birincil verilerden hem de bu verilerin gruplandırılmasının sonuçlarından hesaplanabilir.

Ham veriler üzerinde hesaplamanın doğruluğu daha yüksektir, ancak hesaplama sürecinin büyük örneklem büyüklüğü nedeniyle emek yoğun olduğu ortaya çıkmaktadır.

Gruplandırılmamış veriler için aritmetik ortalama aşağıdaki formülle belirlenir:

Nerede N- örnek boyut, X 1 , X 2 , ... X n - ölçüm sonuçları.

Gruplandırılmış veriler için:

Nerede N- örnek boyut, k– gruplandırma aralıklarının sayısı, n ben– aralık frekansları, x ben– aralıkların medyan değerleri.

Moda

Tanım 1. Moda - örnek verilerde en sık tekrarlanan değer. Belirlenmiş Ay ve aşağıdaki formülle belirlenir:

modal aralığın alt sınırı, gruplama aralığının genişliği, modal aralığın frekansı, modaldan önceki aralığın frekansı, modaldan sonraki aralığın frekansı.

Tanım 2. Moda Mo Ayrık rassal değişken en olası değerine denir.

Geometrik olarak mod, dağılım eğrisinin maksimum noktasının apsisi olarak yorumlanabilir. Var iki modlu Ve çok modlu dağıtımlar. Minimumu olan ancak maksimumu olmayan dağılımlar vardır. Bu tür dağılımlara denir anti-modal .

Tanım. Modal aralık En yüksek frekansa sahip gruplama aralığı denir.

Medyan

Tanım. Medyan - sıralanan serinin ortasında yer alan ölçüm sonucu, diğer bir deyişle medyan, özelliğin değeridir X deneysel veri değerlerinin yarısı ondan küçük olduğunda ve ikinci yarısı daha büyük olduğunda belirlenir Meh.

Örnek boyutu ne zaman N- çift sayı, yani çift sayıda ölçüm sonucu varsa, medyanı belirlemek için sıralanan serinin ortasında bulunan iki örnek göstergenin ortalama değeri hesaplanır.

Aralıklar halinde gruplandırılmış veriler için medyan aşağıdaki formülle belirlenir:

,

medyan aralığının alt sınırı nerede; gruplandırma aralığı genişliği, 0,5 N– örnek hacminin yarısı, – medyan aralığın frekansı, – medyandan önceki aralığın toplam frekansı.

Tanım. Medyan aralık ilk kez biriken frekansın örnek hacminin yarısından fazlasına çıktığı aralıktır ( N/ 2) veya biriken frekans 0,5'ten büyük olacaktır.

Ampirik dağılımın asimetrik bir şekli olduğunda ortalamanın, modun ve medyanın sayısal değerleri farklılık gösterir.

Ölçüm sonuçlarının dağılım özellikleri

Örnek sonuçlarının matematiksel ve istatistiksel analizi için yalnızca konum özelliklerinin bilinmesi yeterli değildir. Aynı ortalama değer tamamen farklı numuneleri karakterize edebilir.

Bu nedenle bunlara ek olarak istatistikler de dikkate alınır. saçılma özellikleri (varyasyonlar, veya dalgalanmalar ) sonuçlar.

Varyasyon aralığı

Tanım. Kapsamında varyasyon, en büyük ve en küçük numune sonuçları arasındaki farktır ve şu şekilde gösterilir: R ve belirlendi

R=X maksimum - X dk.

Bu göstergenin bilgi değeri küçüktür, ancak küçük örneklem boyutlarıyla sporcuların en iyi ve en kötü sonuçları arasındaki farkı değerlendirmek kolaydır.

Dağılım

Tanım. Varyans karakteristik değerlerin aritmetik ortalamadan sapmasının ortalama karesi denir.

Gruplandırılmamış veriler için varyans aşağıdaki formülle belirlenir:

s2 = , (1)

Nerede Şi– özelliğin değeri aritmetik ortalamadır.

Aralıklar halinde gruplandırılmış veriler için varyans aşağıdaki formülle belirlenir:

,

Nerede x ben- ortalama değer Ben gruplama aralığı, n ben– aralık frekansları.

Hesaplamaları basitleştirmek ve sonuçları yuvarlarken (özellikle örneklem boyutunu arttırırken) hesaplama hatalarını önlemek için, varyansı belirlemek için başka formüller de kullanılır. Aritmetik ortalama zaten hesaplanmışsa, gruplandırılmamış veriler için aşağıdaki formül kullanılır:

gruplandırılmış veriler için:

.

Bu formüller, toplam işareti altında farkın karesi ortaya çıkarılarak önceki formüllerden elde edilir.

Rastgele bir değişkenin dağılımı, onun matematiksel beklenti noktasına göre yayılmasını karakterize eder. Rastgele bir değişkenin spektrumundaki elemanların saçılması, saçılma merkezinin her iki tarafında meydana geldiğinden, bunu hesaba katmak için ya çift dereceli merkezi momentler ya da mutlak merkezi momentler kullanılır. İkinci derecenin merkezi anını dikkate almak yeterlidir m2 ve birinci dereceden mutlak merkezi an t 1. İlki denir dağılım , ve ikinci - ortalama sapma . Onları daha ayrıntılı olarak inceleyelim.

Dağılım rastgele değişken X birkaç tanımı vardır:

– DSV;

D( X) = = m2 = e( 2) = (59)

– NSV,

Varyans operatörü D aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1) D(C) = 0

2) D(Müşteri Deneyimi) = C 2 · D(X) . (60)

3) D(C+X) = D(X)

Dağılım operatörünün özelliklerinin ispatındaki durum, matematiksel beklenti operatörü için belirtilen duruma benzer. Bu özelliklerin fiziksel anlamı üzerinde duralım.

İlk özellik sabit bir değerin yayılma olmadığını söylüyor. Yoruma gerek yok.

Ölçeği x ekseni boyunca değiştirirken ( ikinci mülk ), eski varyansın ölçek faktörünün karesiyle çarpılmasıyla yeni varyans değeri elde edilir.

Üçüncü mülk dağılım, koordinatların kökenini bir miktar hareket ettirirken C apsis ekseni boyunca, merkezleme aktarımı telafi ettiğinden rastgele değişkenin varyansı değişmez.

Bu özelliklerin birleşimi, dağılım operatörünün bir rastgele değişkenin doğrusal dönüşümüne tepkisini ifade eder. X :

D( C 1 + C 2 ∙ X) = C 2 2 ∙ D(X) . (61)

Varyansın tanımından, boyutunun, karakterize ettiği rastgele değişkenin boyutunun karesine eşit olduğu sonucu çıkar. Bunu anlamak her zaman kolay değildir. Örneğin, biraz mesafe olduğunu söylersek S= 567,89 m ve varyansı D(S) = 9∙10 -4 m2, daha sonra bu miktarların karşılaştırılması farklı boyutlar ölçümlerin doğruluğu konusunda fikir vermez. Bu gerçek, dağılımın bir özelliği olarak başka bir göstergenin kullanılmasına katkıda bulunmuştur: standart .

Standart veya standart sapma (RMS) temsil eder pozitif değer varyansın karekökü ve karakterize eder SW'nin dağılım merkezine göre yayılması rastgele değişkenin kendisinin ifade edildiği aynı birimlerde:

(62)

Standardın özellikleri dispersiyonun özelliklerine göre belirlenir:

1) S C = 0

2) S Müşteri Deneyimi = C·S X (63)

3) S C + X= s X

Şimdi önceden verilen mesafeyi karakterize edersek S=567,89m standart S =3*10 -2 m o zaman bu mesafenin doğruluğuna dair fikrimiz yeterli olacaktır.

Ortalama sapma rastgele değişkenin mutlak birinci dereceden merkezi momentidir X , harfle gösterilir ϑ X ve tanım (58)'e göre hesaplanır R = 1 :

– DSV;

ϑ X= τ1 = e(| |)= (64)

– NSV.

Özellikler ortalama sapma standardın özelliklerine benzer (bu kaliteyi kontrol edin) Alıştırmalar 2.1):

1) ϑ X = 0

2)ϑ Müşteri Deneyimi = |C|·ϑ X (65)

3) ϑ C + X = ϑ X

2.2.6 Tek boyutlu dağılım örnekleri.

Teoride ve pratikte önemli rol oynayan bazı kesikli ve sürekli rastgele değişkenlerin dağılım yasalarını ele alalım.

Olay göstergesi.

Etkinlik göstergesi ben bir Bernoulli testlerinin özel bir durumunu temsil eder. Bu ayrık bir rastgele değişkendir. sadece iki olası değerler 0 Ve 1 olasılıklarla ( 1 – P ) Ve P sırasıyla. Burada P = P(A) – Bir olayın meydana gelme olasılığı A , bir yerde anlatılmış W. Örnek olarak ve daha karmaşık yasaları incelerken kullanmak amacıyla bu rastgele değişken için yukarıda tanıtılan tüm özellikleri ele alalım.

Verilen:X = ben bir = {X 1 = 0; X 2 = 1} ; P(X 1) = P(Ā ) = 1 – P =Q ; P(X 2) = P(A) = P.

Bulmak: 1) F(ben bir) – ? 2) e(ben bir) – ? 3) D(ben bir) – ? 4) S BEN – ?

Çözüm:

1) Dağıtım fonksiyonunu, (44)'te önerildiği gibi dağıtım serisinin genişletilmiş tablosuna yerleştireceğiz:

Sayısal özellikleri (51), (59) ve (62) formüllerini kullanarak belirleriz:

2)e(ben bir) = 0∙Q + 1∙P = P ;

3)D(ben bir) = =a 2 - = 0 2 ∙ Q+1 2 ∙P – P 2 = P∙(1 – P) = pq ;

4) = .

Olay göstergesi, tekrarlanan denemelerin incelenmesinde ve diğer problemlerin çözümünde yardımcı rastgele değişken olarak kullanılır.

2.2.6.2 Düzgün dağıtım.

Bu bölümdeki materyali açıklamak için bir örnek olarak 2.2 sürekli rastgele değişkenler için çalışıyoruz sürekli düzgün dağılım bazı segmentlerde [ A; B ] Dağıtım denir üniforma eğer bir segmentte yoğunluk olasılıklar devamlı bu segmentte ve onun dışında sıfıra eşittir. Bu dağılımı bir problem çözme biçiminde incelediğimizi hayal edelim.

Verilen: F(X) = C , [A; B] ; F(X) = 0 bu segmentin dışında.

Bulmak: 1 ) sabit dağıtım yoğunluğu C – ?, 2 ) F(X) – ?, 3 )e(X) – ?, 4 ) Ay( X) – ?, 5 ) Ben( X) – ?, 6 ) D(X) – ?, 7 ) S X – ?, 8 ) ϑ X – ?, 9 )P(X 1 <X<X 2) – ?

Çözüm: Kendinizi şu şekilde yürütün: Alıştırmalar 2.2.

Yanıtlar: 1 ) C = 1 / (B – A) ; 2 ) F(X) = (X – A) / (B – A) ; 3 ) e(X) = (A + B)/2 ;

4 ) Ay( X) - belirlenmedi; 5 ) Ben( X) = e(X) ; 6 ) D(X) = (B – A) 2 / 12 ;

7 ) S X = (B – A) /() ;8 ) ϑ X = (B – A) / 4 ; 9 ) P(X 1 < X < X 2) = (X 2 – X 1)/(B – A) , Ne zaman ]X 1 ; X 2 [ [A;B] .

Yoğunluk grafikleri ve düzgün dağılım fonksiyonları aşağıdaki şekillerde sunulmaktadır ( Şekil 19 Ve 20 ).

F(X) F(X)

C

S=1 C=1/

0 bir E(X) bX 0 bir E(X) bX

Pirinç. 2.19 Üniforma yoğunluğu Şek. 2.20 Tek tip fonksiyon