Разделы сайта
Выбор редакции:
- Правила вычисления производных
- Иван III – Государь всея Руси
- Первые металлургические мануфактуры тульского края Где появились первые металлургические заводы
- Формирование ууд на уроках в начальной школе презентация к уроку на тему
- Презентация "герой сталинградской битвы василий григорьевич зайцев"
- Маргинал или изгой общества Кто это такой
- Студенческие строительные отряды (ссо - вссо) Движение вссо как называли в ссср
- Целебные свойства марганцовки — полезные советы
- Подготовка к егэ по обществознанию
- Гитлер в «Mein Kampf»: «Русские – великий народ» - aquilaaquilonis
Реклама
Производные элементарных функций определение. Правила вычисления производных. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения |
Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная - одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную? Геометрический и физический смысл производнойПусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:
Иначе это можно записать так: Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке. Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения. Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени: Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел: Правило первое: выносим константуКонстанту можно вынести за знак производной. Более того - это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило - если можете упростить выражение, обязательно упрощайте . Пример. Вычислим производную: Правило второе: производная суммы функцийПроизводная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций. Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример. Найти производную функции: Правило третье: производная произведения функцийПроизводная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле: Пример: найти производную функции: Решение: Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной. В вышеуказанном примере мы встречаем выражение: В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной. Правило четвертое: производная частного двух функцийФормула для определения производной от частного двух функций: Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных. С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных. Приведем без доказательства формулы производных основных элементарных функций: 1. Степенная функция: (x n)` =nx n -1 . 2. Показательная функция: (a x)` =a x lna(в частности, (е x)` = е x). 3. Логарифмическая функция: (в частности, (lnx)` = 1/x). 4. Тригонометрические функции: (cosх)` = -sinx (tgх)` = 1/cos 2 x (ctgх)` = -1/sin 2 x 5. Обратные тригонометрические функции: Можно доказать, что для дифференцирования степенно-показательной функции необходимо дважды использовать формулу для производной сложной функции, а именно, дифференцировать ее и как сложную степенную функцию, и как сложную показательную, и сложить результаты: (f(x) (x))` =(x)*f(x) (x)-1 *f(x)` +f(x) (x) *lnf(x)*(x)`. Производные высших порядковПоскольку производная функции сама является функцией, она тоже может иметь производную. Понятие производной, которое было рассмотрено выше, относится к производной первого порядка. Производной n -го порядка называется производная от производной (n- 1)-го порядка. Например,f``(x) = (f`(x))` - производная второго порядка (или вторая производная),f```(x) = (f``(x))` - производная третьего порядка (или третья производная) и т.д. Иногда для обозначения производных более высокого порядка используются или римские арабские цифры в скобках, например,f (5) (x) илиf (V) (x) для производной пятого порядка. Физический смысл производных высших порядков определяется так же, как и для первой производной: каждая из них представляет собой скорость изменения производной предыдущего порядка. Например, вторая производная представляет собой скорость изменения первой, т.е. скорость скорости. Для прямолинейного движения она означает ускорение точки в момент времени. Эластичность функцииЭластичностью функции
Е х (у)называется предел отношения
относительного приращения функции у к
относительному приращению аргумента
х при последнем, стремящемся к нулю: Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция у = f(x) при изменении независимой переменной х на 1%. В экономическом смысле отличие этого показателя от производной в том, что производная имеет единицы измерения, и поэтому ее величина зависит от того, в каких единицах измеряются переменные. Например, если зависимость объема производства от времени выражается соответственно в тоннах и месяцах, то производная будет показывать предельное увеличения объема в тоннах за месяц; если же измерять эти показатели, допустим, в килограммах и днях, то и сама функция, и ее производная будут другими. Эластичность же является по сути своей величиной безразмерной (измеряется в процентах или долях) и поэтому не зависит от масштаба показателей. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложенияТеорема Ферма . Если дифференцируемая на промежутке функция достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю. Без доказательства. Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что в точке наибольшего или наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс (рисунок 3.3). Теорема Ролля . Пусть функция у =f(x) удовлетворяет следующим условиям: 2) дифференцируема на интервале (а, b); 3) на концах отрезка принимает равные значения, т.е. f(a) =f(b). Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка, в которой производная функции равна нулю. Без доказательства. Геометрический смысл теоремы Ролля заключается в том, что найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс (например, на рисунке 3.4 таких точек две). Если f(a) =f(b) = 0, то теорему Ролля можно сформулировать по-другому: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль производной. Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа. Теорема Лагранжа . Пусть функция у =f(х) удовлетворяет следующим условиям: 1) непрерывна на отрезке [а, b]; 2) дифференцируема на интервале (а, b). Тогда внутри отрезка
существует по крайней мере одна такая
точка с, в кдторой производная равна
частному от деления приращения функций
на приращение аргумента на этом отрезке:
Без доказательства. Чтобы понять физический
смысл теоремы Лагранжа, отметим, что
Геометрический смысл
теоремы Лагранжа проиллюстрирован
рисунком 3.5. Отметим, что выражение
Следствие: если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция тождественно постоянна на этом промежутке. В самом деле, возьмем
на этом промежутке
промежуток .
По теореме Лагранжа в этом промежутке
найдется точка с, для которой Правило Лопиталя . Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле. Иными словами, если
имеется неопределенность вида
Без доказательства. Применение правила Лопиталя для нахождения пределов будет рассмотрено на практических занятиях. Достаточное условие возрастания (убывания) функции . Если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка, то функция возрастает (убывает) на этом промежутке. Доказательство.
Рассмотрим два значения х 1 и х 2 из данного промежутка (пусть х 2 >
х 1). По теореме Лагранда на [х 1 ,
х 2 ] существует точка с, в которой Теорема доказана. Геометрическая
интерпретация условия монотонности
функции: если касательные к кривой в
некотором промежутке направлены под
острыми углами к оси абсцисс, то функция
возрастает, а если под тупыми, то убывает
(см. рисунок 3.6). Замечание: необходимое
условие монотонности более слабое. Если
функция возрастает (убывает) на некотором
промежутке, то производная неотрицательна
(неположительна) на этом промежутке
(т.е. в отдельных точках производная
монотонной функции может равняться
нулю). Запомнить очень легко. Ну и не будем далеко ходить, сразу же рассмотрим обратную функцию. Какая функция является обратной для показательной функции? Логарифм: В нашем случае основанием служит число: Такой логарифм (то есть логарифм с основанием) называется «натуральным», и для него используем особое обозначение: вместо пишем. Чему равен? Конечно же, . Производная от натурального логарифма тоже очень простая: Примеры:
Ответы:
Экспонента и натуральный логарифм - функции уникально простые с точки зрения производной. Показательные и логарифмические функции с любым другим основанием будут иметь другую производную, которую мы с тобой разберем позже, после того как пройдем правила дифференцирования. Правила чего? Опять новый термин, опять?!... Дифференцирование
- это процесс нахождения производной. Только и всего. А как еще назвать этот процесс одним словом? Не производнование же... Дифференциалом математики называют то самое приращение функции при. Происходит этот термин от латинского differentia — разность. Вот. При выводе всех этих правил будем использовать две функции, например, и. Нам понадобятся также формулы их приращений: Всего имеется 5 правил. Если - какое-то постоянное число (константа), тогда. Очевидно, это правило работает и для разности: . Докажем. Пусть, или проще. Примеры.
Найдите производные функций: Решения:
Здесь все аналогично: введем новую функцию и найдем ее приращение: Производная: Примеры:
Решения:
Теперь твоих знаний достаточно, чтобы научиться находить производную любой показательной функции, а не только экспоненты (не забыл еще, что это такое?). Итак, где - это какое-то число. Мы уже знаем производную функции, поэтому давай попробуем привести нашу функцию к новому основанию: Для этого воспользуемся простым правилом: . Тогда: Ну вот, получилось. Теперь попробуй найти производную, и не забудь, что эта функция - сложная. Получилось? Вот, проверь себя: Формула получилась очень похожая на производную экспоненты: как было, так и осталось, появился только множитель, который является просто числом, но не переменной. Примеры:
Ответы:
Это просто число, которое невозможно посчитать без калькулятора, то есть никак не записать в более простом виде. Поэтому в ответе его в таком виде и оставляем. Заметим, что здесь частное двух функций, поэтому применим соответствующее правило дифференцирования: В этом примере произведение двух функций: Здесь аналогично: ты уже знаешь производную от натурального логарифма: Поэтому, чтобы найти произвольную от логарифма с другим основанием, например, : Нужно привести этот логарифм к основанию. А как поменять основание логарифма? Надеюсь, ты помнишь эту формулу: Только теперь вместо будем писать: В знаменателе получилась просто константа (постоянное число, без переменной). Производная получается очень просто: Производные показательной и логарифмической функций почти не встречаются в ЕГЭ, но не будет лишним знать их. Что такое «сложная функция»? Нет, это не логарифм, и не арктангенс. Данные функции может быть сложны для понимания (хотя, если логарифм тебе кажется сложным, прочти тему «Логарифмы» и все пройдет), но с точки зрения математики слово «сложная» не означает «трудная». Представь себе маленький конвейер: сидят два человека и проделывают какие-то действия с какими-то предметами. Например, первый заворачивает шоколадку в обертку, а второй обвязывает ее ленточкой. Получается такой составной объект: шоколадка, обернутая и обвязанная ленточкой. Чтобы съесть шоколадку, тебе нужно проделать обратные действия в обратном порядке. Давай создадим подобный математический конвейер: сперва будем находить косинус числа, а затем полученное число возводить в квадрат. Итак, нам дают число (шоколадка), я нахожу его косинус (обертка), а ты затем возводишь то, что у меня получилось, в квадрат (обвязываешь ленточкой). Что получилось? Функция. Это и есть пример сложной функции: когда для нахождения ее значения мы проделываем первое действие непосредственно с переменной, а потом еще второе действие с тем, что получилось в результате первого. Другими словами, сложная функция - это функция, аргументом которой является другая функция
: . Для нашего примера, . Мы вполне можем проделывать те же действия и в обратном порядке: сначала ты возводишь в квадрат, а я затем ищу косинус полученного числа: . Несложно догадаться, что результат будет почти всегда разный. Важная особенность сложных функций: при изменении порядка действий функция меняется. Второй пример: (то же самое). . Действие, которое делаем последним будем называть «внешней» функцией
, а действие, совершаемое первым - соответственно «внутренней» функцией
(это неформальные названия, я их употребляю только для того, чтобы объяснить материал простым языком). Попробуй определить сам, какая функция является внешней, а какая внутренней: Ответы:
Разделение внутренней и внешней функций очень похоже на замену переменных: например, в функции производим замену переменных и получаем функцию. Ну что ж, теперь будем извлекать нашу шоколадку - искать производную. Порядок действий всегда обратный: сначала ищем производную внешней функции, затем умножаем результат на производную внутренней функции. Применительно к исходному примеру это выглядит так: Другой пример: Итак, сформулируем, наконец, официальное правило: Алгоритм нахождения производной сложной функции: Вроде бы всё просто, да? Проверим на примерах: Решения:
1) Внутренняя: ; Внешняя: ; 2) Внутренняя: ; (только не вздумай теперь сократить на! Из под косинуса ничего не выносится, помнишь?) 3) Внутренняя: ; Внешняя: ; Сразу видно, что здесь трёхуровневая сложная функция: ведь - это уже сама по себе сложная функция, а из нее еще извлекаем корень, то есть выполняем третье действие (шоколадку в обертке и с ленточкой кладем в портфель). Но пугаться нет причин: все-равно «распаковывать» эту функцию будем в том же порядке, что и обычно: с конца. То есть сперва продифференцируем корень, затем косинус, и только потом выражение в скобках. А потом все это перемножим. В таких случаях удобно пронумеровать действия. То есть, представим, что нам известен. В каком порядке будем совершать действия, чтобы вычислить значение этого выражения? Разберем на примере: Чем позже совершается действие, тем более «внешней» будет соответствующая функция. Последовательность действий - как и раньше: Здесь вложенность вообще 4-уровневая. Давай определим порядок действий. 1. Подкоренное выражение. . 2. Корень. . 3. Синус. . 4. Квадрат. . 5. Собираем все в кучу: Производная функции
- отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращении аргумента: Базовые производные:
Правила дифференцирования:
Константа выносится за знак производной: Производная суммы: Производная произведения: Производная частного: Производная сложной функции: Алгоритм нахождения производной от сложной функции:
|
Популярное:
Как решать уравнения с модулем |
Новое
- Иван III – Государь всея Руси
- Первые металлургические мануфактуры тульского края Где появились первые металлургические заводы
- Формирование ууд на уроках в начальной школе презентация к уроку на тему
- Презентация "герой сталинградской битвы василий григорьевич зайцев"
- Маргинал или изгой общества Кто это такой
- Студенческие строительные отряды (ссо - вссо) Движение вссо как называли в ссср
- Целебные свойства марганцовки — полезные советы
- Подготовка к егэ по обществознанию
- Гитлер в «Mein Kampf»: «Русские – великий народ» - aquilaaquilonis
- Бои на Халхин-Голе (1939)