Для всякой логической формулы с помощью тождественных преобразований можно построить бесконечно много равносильных ей формул. В алгебре логики одной из основных задач является поиск канонических форм (т. е. формул, построенных по единому правилу, канону).

Если логическая функция выражена через дизъюнкцию, конъюнкцию и отрицание переменных, то такая форма представления называется нормальной.

Среди нормальных форм выделяются совершенные нормальные формы (такие формы, в которых функции записываются единственным образом).

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ)

Определение. Формулу называют элементарной конъюнкцией, если она образованна конъюнкцией некоторого числа переменных или их отрицаний.

Примеры: y, ¬ y, х 1 ∧ ¬ х 2 ∧ х 3 ∧ х 4

Определение. Формула называтся дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ), если она является дизъюнкцией неповторяющихся элементарных конъюнкций.

ДНФ записывается в следующей форме: F 1 ∨ F 2 ∨ ... ∨ F n , где F i - элементарная конъюнкция

Примеры: ¬ х 1 ∧ х 2 ∨ х 1 ∧ ¬ х 2 ∨ х 1 ∧ ¬ х 2 ∧ х 3 , ¬ y 1 ∨ y 1 ∧ y 2 ∨ ¬ y 2

Определение. Логическая формула от k переменных называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ), если:
1) формула является ДНФ, в которой каждая элементарная конъюнкция есть конъюнкция k переменных х 1 , х 2 , …, х k , причем на i-м месте этой конъюнкции стоит либо переменная х i , либо ее отрицание;
2) все элементарные конъюнкции в такой ДНФ попарно различны.

Пример: (¬ х 1 ∧ х 2 ∧ х 3) ∨ (х 1 ∧ ¬ х 2 ∧ х 3) ∨ (х 1 ∧ х 2 ∧ ¬ х 3)

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ)

Определение. Формулу называют элементарной дизъюнкцией, если она образована дизъюнкцией некоторого числа переменных или их отрицаний.

Примеры: ¬ х 3 , х 1 ∨ х 2 , х 1 ∨ х 2 ∨ ¬ х 3

Определение. Формула называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ), если она является конъюнкцией неповторяющихся элементарных дизъюнкций.

КНФ записывается в следующей форме: F 1 ∧ F 2 ∧ ... ∧ F n , где F i - элементарная дизъюнкция

Примеры: (х 1 ∨ ¬ х 2) ∧ х 3 , (х 1 ∨ х 2) ∧ (¬ х 1 ∨ х 2 ∨ х 3) ∧ (х 1 ∨ ¬ х 2 ∨ ¬ х 3)

Определение. Логическая формула от k переменных называется совершенной конъюнктивной нормальной формой (КДНФ), если:
1) формула является КНФ, в которой каждая элементарная дизъюнкция есть дизъюнкция k переменных х 1 , х 2 , …, х k , причем на i-м месте этой дизъюнкции стоит либо переменная х i , либо ее отрицание;
2) все элементарные дизъюнкции в такой КНФ попарно различны.

Пример: (х 1 ∨ х 2 ∨ х 3) ∧ (¬ х 1 ∨ ¬ х 2 ∨ х 3)

Заметим, что любую логическую функцию, не равную тождественно 0 или 1, можно представить в виде СДНФ или СКНФ .

Алгоритм построения СДНФ по таблице истинности

1. Выбрать все строки таблицы, в которых значение функции равно единице.
2. Для каждой такой строки записать конъюнкцию всех переменных следующим образом: если значение некоторой переменной в этом наборе равно 1, то в конъюнкцию включаем саму переменную, в противном случае - ее отрицание.
3. Все полученные конъюнкции связываем операциями дизъюнкции.

Алгоритм построения СКНФ по таблице истинности

1. Выбрать все строки таблицы, в которых значение функции равно нулю.
2. Для каждой такой строки записать дизъюнкцию всех переменных следующим образом: если значение некоторой переменной в этом наборе равно 0, то в конъюнкцию включаем саму переменную, в противном случае - ее отрицание.
3. Все полученные дизъюнкции связываем операциями конъюнкции.

Анализ алгоритмов показывает, что если на большей части строк таблицы истинности значение функции равно 0, то для получения ее логической формулы лучше построить СДНФ, в противном случае - СКНФ.

Пример: Дана таблица истинности логической функции от трех переменных. Построить логическую формулу, реализующую эту функцию.

Т.к. на большинстве строк таблицы истинности значение функции равно 1, то построим СКНФ. В результате получим следующую логическую формулу:
F = (¬ x ∨ y ∨ z) ∧ (¬ x ∨ y ∨ ¬ z)

Проверим полученную формулу. Для этого построим таблицу истинности функции.

Сравнив исходную таблицу истинности и построенную для логической формулы, заметим, что столбцы значений функции совпадают. Значит, логическая функция построена верно.

Введем понятие элементарной дизъюнкции.

Элементарной дизъюнкцией называется выражение вида

Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) логической функции называется конъюнкция любого конечного множества попарно различных элементарных дизъюнкций. Например, логические функции

представляют собой конъюнкции элементарных дизъюнкций. Следовательно, они записаны в конъюнктивной нормальной форме.

Произвольная логическая функция, заданная аналитическим выражением, может быть приведена к КНФ путем выполнения следующих операций:

Использования правила инверсии, если операция отрицания применена к логическому выражению;

Использования аксиомы дистрибутивности относительно умножения:

Использования операции поглощения:

Исключения в дизъюнкциях повторяющихся переменных или их отрицаний;

Удаления всех одинаковых элементарных дизъюнкций, кроме одной;

Удаления всех дизъюнкций, в которые одновременно входят переменная и ее отрицание.

Справедливость перечисленных операций вытекает из основных аксиом и тождественных соотношений алгебры логики.

Конъюнктивная нормальная форма называется совершенной, если каждая входящая в нее элементарная дизъюнкция содержит в прямом или инверсном виде все переменные, от которых зависит функция.

Преобразование КНФ к совершенной КНФ осуществляется путем выполнения следующих операций:

Прибавления к каждой элементарной дизъюнкции конъюнкций переменных и их отрицаний, если они не входят в данную элементарную дизъюнкцию;

Использования аксиомы дистрибутивности;

Удаление всех одинаковых элементарных дизъюнкций, кроме одной.

В совершенной КНФ может быть представлена любая логическая функция, кроме

тождественно равной единице (). Отличительным свойством совершенной КНФ является то, что представление в ней логической функции единственно.

Элементарные дизъюнкции, входящие в совершенную КНФ функции, носят название конституент нуля. Каждая конституента нуля, входящая в совершенную КНФ, обращается в нуль на единственном наборе значений переменных, который является нулевым набором функции. Следовательно, число нулевых наборов логической функции совпадает с числом конституент нуля, входящих в ее совершенную КНФ.

Логическая функция константа нуля в совершенной КНФ представляется конъюнкцией 2nконституент нуля. Сформулируем правило составления СКНФ логической функции по таблице соответствия.

Для каждой строки таблицы соответствия, в которой функция равна нулю, составляется элементарная дизъюнкция всех переменных. При этом в дизъюнкцию входит сама переменная, если ее значение равно нулю, или отрицание, если ее значение равно единице. Полученные элементарные дизъюнкции объединяются знаком конъюнкции.

Пример 3.4. Для логической функции z(x), заданной таблицей соответствия 2.2, определим совершенную конъюнктивную форму.

Для первой строки таблицы, которая соответствует нулевому набору функции 000, находим конституенту нуля . Выполнив аналогичные операции для второй, третьей и пятой строк, определим искомую совершенную КНФ функции:

Необходимо отметить, что для функций, число единичных наборов которых превышает число нулевых наборов, более компактной является их запись в виде СКНФ и наоборот.

Конъюнктивная нормальная форма удобна для автоматического доказательства теорем . Любая булева формула может быть приведена к КНФ. Для этого можно использовать: закон двойного отрицания , закон де Моргана , дистрибутивность .

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Формулы в КНФ :

  ¬ A ∧ (B ∨ C) , {\displaystyle \neg A\wedge (B\vee C),} (A ∨ B) ∧ (¬ B ∨ C ∨ ¬ D) ∧ (D ∨ ¬ E) , {\displaystyle (A\vee B)\wedge (\neg B\vee C\vee \neg D)\wedge (D\vee \neg E),} A ∧ B . {\displaystyle A\wedge B.}

  Формулы не в КНФ :

  ¬ (B ∨ C) , {\displaystyle \neg (B\vee C),} (A ∧ B) ∨ C , {\displaystyle (A\wedge B)\vee C,} A ∧ (B ∨ (D ∧ E)) . {\displaystyle A\wedge (B\vee (D\wedge E)).}

  Но эти 3 формулы не в КНФ эквивалентны следующим формулам в КНФ:

  ¬ B ∧ ¬ C , {\displaystyle \neg B\wedge \neg C,} (A ∨ C) ∧ (B ∨ C) , {\displaystyle (A\vee C)\wedge (B\vee C),} A ∧ (B ∨ D) ∧ (B ∨ E) . {\displaystyle A\wedge (B\vee D)\wedge (B\vee E).}

  Построение КНФ

  Алгоритм построения КНФ

  1) Избавиться от всех логических операций, содержащихся в формуле, заменив их основными: конъюнкцией, дизъюнкцией, отрицанием. Это можно сделать, используя равносильные формулы:

  A → B = ¬ A ∨ B , {\displaystyle A\rightarrow B=\neg A\vee B,} A ↔ B = (¬ A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬ B) . {\displaystyle A\leftrightarrow B=(\neg A\vee B)\wedge (A\vee \neg B).}

  2) Заменить знак отрицания, относящийся ко всему выражению, знаками отрицания, относящимися к отдельным переменным высказываниям на основании формул:

  ¬ (A ∨ B) = ¬ A ∧ ¬ B , {\displaystyle \neg (A\vee B)=\neg A\wedge \neg B,} ¬ (A ∧ B) = ¬ A ∨ ¬ B . {\displaystyle \neg (A\wedge B)=\neg A\vee \neg B.}

  3) Избавиться от знаков двойного отрицания.

  4) Применить, если нужно, к операциям конъюнкции и дизъюнкции свойства дистрибутивности и формулы поглощения.

  Пример построения КНФ

  Приведем к КНФ формулу

  F = (X → Y) ∧ ((¬ Y → Z) → ¬ X) . {\displaystyle F=(X\rightarrow Y)\wedge ((\neg Y\rightarrow Z)\rightarrow \neg X).}

  Преобразуем формулу F {\displaystyle F} к формуле, не содержащей → {\displaystyle \rightarrow } :

  F = (¬ X ∨ Y) ∧ (¬ (¬ Y → Z) ∨ ¬ X) = (¬ X ∨ Y) ∧ (¬ (¬ ¬ Y ∨ Z) ∨ ¬ X) . {\displaystyle F=(\neg X\vee Y)\wedge (\neg (\neg Y\rightarrow Z)\vee \neg X)=(\neg X\vee Y)\wedge (\neg (\neg \neg Y\vee Z)\vee \neg X).}

  В полученной формуле перенесем отрицание к переменным и сократим двойные отрицания:

  F = (¬ X ∨ Y) ∧ ((¬ Y ∧ ¬ Z) ∨ ¬ X) . {\displaystyle F=(\neg X\vee Y)\wedge ((\neg Y\wedge \neg Z)\vee \neg X).}

  Например, следующая формула записана в 2-КНФ:

  (A ∨ B) ∧ (¬ B ∨ C) ∧ (B ∨ ¬ C) . {\displaystyle (A\lor B)\land (\neg B\lor C)\land (B\lor \neg C).}

  Определение 1. Конъюнктивным одночленом (элементарной конъюнкцией) от переменных называется конъюнкция этих переменных или их отрицаний.

  Например , – элементарная конъюнкция.

  Определение 2. Дизъюнктивным одночленом (элементарной дизъюнкцией) от переменных называется дизъюнкция этих переменных или их отрицаний.

  Например , – элементарнаядизъюнкция.

  Определение 3. Формула, равносильная данной формуле алгебры высказываний и являющаяся дизъюнкцией элементарных конъюнктивных одночленов, называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) данной формулы.

  Например, – ДНФ.

  Определение 4. Формула, равносильная данной формуле алгебры высказываний и являющаяся конъюнкцией элементарных дизъюнктивных одночленов, называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ) данной формулы.

  Например , – КНФ.

  Для каждой формулы алгебры высказываний можно найти множество дизъюнктивных и конъюнктивных нормальных форм.

  Алгоритм построения нормальных форм

  С помощью равносильностей алгебры логики заменить все имеющиеся в формуле операции основными: конъюнкцией, дизъюнкцией, отрицанием:

  Избавиться от знаков двойного отрицания.

  Применить, если нужно, к операциям конъюнкции и дизъюнкции свойства дистрибутивности и формулы поглощения.

  2.6. Совершенная дизъюнктивная и совершенная конъюнктивная нормальные формы

  Любая булева функция может иметь много представлений в виде ДНФ и КНФ. Особое место среди этих представлений занимают совершенные ДНФ (СДНФ) и совершенные КНФ (СКНФ).

  Определение 1. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) – это ДНФ, в которой в каждый конъюнктивный одночлен каждая переменная из наборавходит ровно один раз, причем входит либо сама, либо ее отрицание.

  Конструктивно СДНФ для каждой формулы алгебры высказываний, приведенной к ДНФ, можно определить следующим образом:

  Определение 2. Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) формулы алгебры высказываний называется ее ДНФ, обладающая следующими свойствами:

  Определение 3. Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) – это КНФ, в которой в каждый дизъюнктивный одночлен каждая переменная из наборавходит ровно один раз, причем входит либо сама, либо ее отрицание.

  Конструктивно СКНФ для каждой формулы алгебры высказываний, приведенной к КНФ, можно определить следующим образом.

  Определение 4. Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) данной формулы алгебры высказываний называется такая ее КНФ, которая удовлетворяет следующим свойствам.

  Теорема 1. Каждая булева функция от переменных, не являющаяся тождественно ложной, может быть представлена в СДНФ, и притом единственным образом.

  Способы нахождения СДНФ

  1-й способ

  2-й способ

  выделяем строки, где формула принимает значение 1;

  составляем дизъюнкцию конъюнкций при условии, что если переменная входит в конъюнкцию со значением 1, то записываем эту переменную, если со значением 0, то ее отрицание. Получаем СДНФ.

  Теорема 2. Каждая булева функция от переменных, не являющаяся тождественно истинной, может быть представлена в СКНФ, и притом единственным образом.

  Способы нахождения СКНФ

  1-й способ – с помощью равносильных преобразований:

  2-й способ – с помощью таблиц истинности:

  выделяем строки, где формула принимает значение 0;

  составляем конъюнкцию дизъюнкций при условии, что если переменная входит в дизъюнкцию со значением 0, то записываем эту переменную, если со значением 1, то ее отрицание. Получаем СКНФ.

  Пример 1. Постройте КНФ функции .

  Решение

  Исключим связку «» с помощью законов преобразования переменных:

  = /законы де Моргана и двойного отрицания/ =

  /дистрибутивные законы/ =

  Пример 2. Приведите к ДНФ формулу .

  Решение

  Выразим логические операции ичерез,и:

  = /отнесем отрицание к переменным и сократим двойные отрицания/ =

  = /закон дистрибутивности/ .

  Пример 3. Запишите формулу в ДНФ и СДНФ.

  Решение

  Используя законы логики, приведем данную формулу к виду, содержащему только дизъюнкции элементарных конъюнкций. Полученная формула и будет искомой ДНФ:

  Для построения СДНФ составим таблицу истинности для данной формулы:

  Помечаем те строки таблицы, в которых формула (последний столбец) принимает значение 1. Для каждой такой строки выпишем формулу, истинную на наборе переменных ,,данной строки:

  строка 1: ;

  строка 3: ;

  строка 5: .

  Дизъюнкция этих трех формул будет принимать значение 1 только на наборах переменных в строках 1, 3, 5, а следовательно, и будет искомой совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ):

  Пример 4. Приведите формулу к СКНФ двумя способами:

  а) с помощью равносильных преобразований;

  б) с помощью таблицы истинности.

  Решение:

  Преобразуем вторую элементарную дизъюнкцию:

  Формула имеет вид:

  б) составим таблицу истинности для данной формулы:

  Помечаем те строки таблицы, в которых формула (последний столбец) принимает значение 0. Для каждой такой строки выпишем формулу, истинную на наборе переменных ,,данной строки:

  строка 2: ;

  строка 6: .

  Конъюнкция этих двух формул будет принимать значение 0 только на наборах переменных в строках 2 и 6, а следовательно, и будет искомой совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ):

  Вопросы и задачи для самостоятельного решения

  1. С помощью равносильных преобразований приведите к ДНФ формулы:

  2. С помощью равносильных преобразований приведите к КНФ формулы:

  3. С помощью второго дистрибутивного закона преобразуйте ДНФ в КНФ:

  а) ;

  4. Преобразуйте заданные ДНФ в СДНФ:

  5. Преобразуйте заданные КНФ в СКНФ:

  6. Для заданных логических формул постройте СДНФ и СКНФ двумя способами: с помощью равносильных преобразований и с помощью таблицы истинности.

  б) ;

  
  

  Пример. Найти КНФ формулы

  ~ ~

  

  Совершенную дизъюнктивную нормальную форму СДНФ можно строить, используя следующий алгоритм:

  1. = 1. алгоритма ДНФ

  2. = 2. алгоритма ДНФ

  3. = 3. алгоритма ДНФ

  4. = 4. алгоритма ДНФ

  5. Опустить тождественно ложные слагаемые, т. е. слагаемые вида

  6. Пополнить оставшиеся слагаемые недостающими переменными

  7. Повторить пункт 4.

  Пример. Найти СДНФ формулы.

  ~

  

  

  

  

  Для построения СКНФ можно пользоваться следующей схемой:

  Пример. Найти СДНФ формулы.

  
  

  ~

  

  Известно (теоремы 2.11, 2.12), что СДНФ и СКНФ определены формулой однозначно и, значит, их можно строить по таблице истинности формулы .

  Схема построения СДНФ и СКНФ по таблице истинности приведена ниже, для формулы ~ :

  			~
  			1 0 1 0 1 1 0 1	СДНФ; СКНФ.

  2.2. Задание.

  2.2.1 Ниже приведены логические выражения. Максимально упростите выражения своего варианта, воспользовавшись законами логики Буля. Затем с помощью таблиц истинности сравните ваше упрощенное выражение с исходным.

  
  
  

  

  

  

  

  

  

  2.2.2. Выяснить вопрос о равносильности f 1 и f 2 путем сведения их к СДНФ (табл. 1).

  2.2.3. Найти двойственную функцию для f 3 по обобщенному и булевому принципу (табл.1). Сравнить полученные результаты.

  №	f 1	f 2	f 3

  2.3. Контрольные вопросы.

  2.3.1. Дайте определение высказывания.

  2.3.2. Перечислите основные операции над высказыванием.

  2.3.3. Что такое таблица истинности?

  2.3.4. Составить таблицы истинности для следующих формул:

  ~ ~ ~ ;

  2.3.5. Учитывая соглашения о порядке выполнения операций, опустить «лишние» скобки и знак « » в формулах:

  ;

  2.3.6. Применяя равносильные преобразования, доказать тождественную истинность формул:

  2.3.7. Найти двойственные формулы:

  

  

  )

  2.3.8. Привести к совершенной ДНФ (СДНФ) форме следующие формулы:

  ~

  2.3.9. Привести к совершенной КНФ (СКНФ) форме следующие формулы:

  

  ~

  

  

  Лабораторная работа № 3

  Тема: «Минимизация булевых функций. Логические схемы»

  Цель: Приобретение практических навыков работы с методами минимизации булевых функций.

  3.1. Теоретические сведения .

  Минимальные формы

  Как было показано в , любая булева функция представима в совершенной нормальной форме (дизъюнктивной или конъюнктивной). Более того, такое представление является первым шагом перехода от табличного задания функции к ее аналитическому выражению. В дальнейшем будем исходить из дизъюнктивной формы, а соответствующие результаты для конъюнктивной формы получается на основе принципа двойственности .

  Каноническая задача синтеза логических схем в булевом базисе сводится к минимизации булевых функций, т.е. к представлению их в дизъюнктивной нормальной форме, которая содержит наименьшее число букв (переменных и их отрицаний). Такие формы называют минимальными. При каноническом синтезе предполагается, что на входы схемы подаются как сигналы , так и их инверсий .

  Формула, представленная в дизъюнктивной нормальной форме, упрощается многократными применением операции склеивания и операции поглощения и (дуальные тождества для конъюнктивной нормальной формы имеют вид: и ). Здесь под и можно понимать любую формулу булевой алгебры. В результате приходим к такому аналитическому выражению, когда дальнейшие преобразования оказываются уже невозможными, т.е. получаем тупиковую форму.

  Среди тупиковых форм находится и минимальная дизъюнктивная форма, причем она может быть неединственной. Чтобы убедиться в том, что данная тупиковая форма является минимальной, необходимо найти все тупиковые формы и сравнить их по числу входящих в них букв.

  Пусть, например, функция задана в совершенной нормальной дизъюнктивной форме:

  Группируя члены и применяя операцию склеивания, имеем .

  При другом способе группировки получим:

  Обе тупиковые формы не являются минимальными. Чтобы получить минимальную форму, нужно догадаться повторить в исходной формуле один член (это всегда можно сделать, так как ). В первом случае таким членом может быть . Тогда . Добавив член , получим: . Перебрав все возможные варианты, можно убедиться, что две последние формы являются минимальными.

  Работа с формулами на таком уровне подобна блужданию в потемках. Процесс поиска минимальных форм становится более наглядным и целеустремленным, если использовать некоторые графические и аналитические представления и специально разработанную для этой цели символику.

  Многомерный куб

  Каждой вершине -мерного куба можно поставить в соответствие конституенту единицы. Следовательно, подмножество отмеченных вершин является отображением на -мерном кубе булевой функции от переменных в совершенной дизъюнктивной нормальной форме. На рис. 3.1 показано такое отображение для функции из п.3.7.

  

  Рис.3.1 Отображение на трехмерном кубе функции, представленной в СДНФ

  Для отображения функции от переменных, представленной в любой дизъюнктивной нормальной форме, необходимо установить соответствие между ее минитермами и элементами -мерного куба.

  Минитерм ( -1)-го ранга можно рассматривать как результат склеивания двух минитермов -го ранга (конституент единицы), т.е. , На -мерном кубе это соответствует замене двух вершин, которые отличаются только значениями координаты , соединяющим эти вершины, ребром (говорят, что ребро покрывает инцидентные ему вершины). Таким образом, минитермам ( -1)-го порядка соответствуют ребра -мерного куба. Аналогично устанавливается соответствие минитермов ( -2)-го порядка - граням -мерного куба, каждая из которых покрывает четыре вершины (и четыре ребра).

  Элементы -мерного куба, характеризующиеся измерениями, называют -кубами. Так, вершины являются 0-кубами, ребра – 1-кубами, грани – 2-кубами и т.д. Обобщая приведенные рассуждения, можно считать, что минитерм ()-го ранга в дизъюнктивной нормальной форме для функции переменных отображается -кубом, причем каждый -куб покрывает все те -кубы низшей размерности, которые связаны с его вершинами. В качестве примера на рис. 3.2 дано отображение функции трех переменных. Здесь минитермы и соответствуют 1-кубам (), а минитерм отображается 2-кубом ().

  

  Рис.3.2 Покрытие функции

  Итак, любая дизъюнктивная нормальная форма отображается на -мерном кубе совокупностью -кубов, которые покрывают все вершины, соответствующие конституентам единицы (0-кубы). Справедливо и обратное утверждение: если некоторая совокупность -кубов покрывает множество всех вершин, соответствующих единичным значениям функции, то дизъюнкция соответствующих этим -кубам минитермов является выражение данной функции в дизъюнктивной нормальной форме. Говорят, что такая совокупность -кубов (или соответствующих им минитермов) образует покрытие функции.

  Стремление к минимальной форме интуитивно понимается как поиск такого покрытия, число -кубов которого было бы поменьше, а их размерность - побольше. Покрытие, соответствующее минимальной форме, называют минимальным покрытием. Например, для функции покрытие на рис. 3.3 соответствует минимальным формам и .

  

  Рис. 3.3 Покрытия функции .

  слева – ; справа –

  Отображение функции на -мерном кубе наглядно и просто при . Четырехмерный куб можно изобразить, как показано на рис. 3.4, где отображены функция четырех переменных и ее минимальное покрытие, соответствующее выражению . Использование этого метода при требует настолько сложных построений, что теряется все его преимущества.

  Рис. 3.4 Отображение функции на четырехмерном кубе

  Карты Карно

  В другом методе графического отображения булевых функций используются карты Карно , которые представляют собой специально организованные таблицы соответствия. Столбцы и строки таблицы соответствуют всевозможным наборам значений не более двух переменных, причем эти наборы расположены в таком порядке, что каждый последующий отличается от предыдущего значением только одной из переменных. Благодаря этому и соседние клетки таблицы по горизонтали и вертикали отличаются значением только одной переменной. Клетки, расположенные по краям таблицы, также считаются соседними и обладают этим свойством. На рис. 3.5 показаны карты Карно для двух, трех, четырех переменных.

  
  

  Рис. 3.5 Карты Карно для двух, трех и четырех переменных

  Как и в обычных таблицах истинности, клетки наборов, на которых функция принимает значение 1, заполняются единицами (нули обычно не вписываются, им соответствуют пустые клетки). Например, на рис. 3.6, а показана карта Карно для функции, отображение которой на четырехмерном кубе дано на рис. 3.4. Для упрощения строки и столбцы, соответствующие значениям 1 для некоторой переменной, выделяются фигурной скобкой с обозначением этой переменной.

  
  

  Рис. 3.6 Отображение на карте Карно функции четырех переменных

  (а) и ее минимального покрытия (б)

  Между отображениями функции на n -мерном кубе и на карте Карно имеет место взаимно-однозначное соответствие. На карте Карно s -кубу соответствует совокупность 2 соседних клеток, размещенных в строке, столбце, квадрате или прямоугольнике (с учетом соседства противоположных краев карты). Поэтому все положения, изложенные в выше (см. п. многомерный куб ), справедливы для карт Карно. Так, на рис. 3.6, б показано покрытие единиц карты, соответствующее минимальной дизъюнктивной форме рассматриваемой функции.

  Считывание минитермов с карты Карно осуществляется по простому правилу. Клетки, образующие s -куб, дают минитер (n–s) -го ранга, в который входят те (n–s) переменные, которые сохраняют одинаковые значения на этом s -кубе, причем значении 1 соответствуют сами переменные, а значениям 0 – их отрицания. Переменные, которые не сохраняют свои значения на s -кубе, в минитерме отсутствуют. Различные способы считывания приводят к различным представлениям функции в дизъюнктивной нормальной форме (крайняя правая является минимальной) (рис. 3.7).

  
  

  Использование карт Карно требует более простых построений по сравнению с отображением на n -мерном кубе, особенно в случае четырех переменных. Для отображения функций пяти переменных используется две карты Карно на четыре переменные, а для функции шести переменных – четыре таких карты. При дальнейшем увеличении числа переменных карты Карно становятся практически непригодными.

  Известные в литературе карты Вейча отличаются только другим порядком следования наборов значений переменных и обладают теми же свойствами, что и карты Карно.

  Комплекс кубов

  Несостоятельность графических методов при большом числе переменных компенсируется различными аналитическими методами представления булевых функций. Одним из таких представлений является комплекс кубов , использующий терминологию многомерного логического пространства в сочетании со специально разработанной символикой.

  ). 0-кубы, соответствующие конституентам единицы, представляются наборами значений переменных, на которых функция равна единице. Очевидно, в записи

  

  Рис. 3.8 Комплекс кубов функции трех переменных (а ) и его символическое представление (б )

  Комплекс кубов образует максимальное покрытие функции . Исключая из него все те s -кубы, которые покрываются кубами высшей размерности, получаем покрытия, соответствующие тупиковым формам. Так, для рассматриваемого примера (рис. 3.8) имеем тупиковое покрытие

  ,

  которое соответствует функции . В данном случае это покрытие является и минимальным.

  Для двух булевых функций операция дизъюнкции соответствует объединению их комплексов кубов , а операция конъюнкции - пересечению комплексов кубов . Отрицанию функции соответствует дополнение комплекса кубов, т. е. , причем определяется всеми вершинами, на которых функция принимает значение 0. Таким образом, имеет место взаимно-однозначное соответствие (изоморфизм) между алгеброй булевых функций и булевых множеств, представляющих комплексы кубов.

  Представление функции в виде комплексов кубов менее наглядно, однако его важнейшие достоинства состоят в том, что снимаются ограничения по числу переменных и облегчается кодирование информации при использовании вычислительных машин.

  Минимизация булевых функций

  Постановка задачи. Минимизация схемы в булевом базисе сводится к поиску минимальной дизъюнктивной формы, которой соответствует минимальное покрытие. Общее число букв, вхо­дящих в нормальную форму, выражается ценой покрытия , где - число - кубов, образующих покрытие данной функции от п переменных. Минимальное покрытие характеризуется наименьшим значением его цены.

  Обычно задача минимизации решается в два шага. Сначала ищут сокращенное покрытие, которое включает все -кубы максимальной размерности, но не содержит ни одного куба, покрывающегося каким-либо кубом этого покрытия. Соответствующею дизъюнктивную нормальную форму называют сокращенной, а ее минитермы - простыми импликантами. Для данной функции сокращенное покрытие является единственным, но оно может быть избыточным вследствие того, что некоторые из кубов покрываются совокупностями других кубов.

  На втором шаге осуществляется переход от сокращенной к тупиковым дизъюнктивным нормальным формам, из которых выбираются минимальные формы. Тупиковые формы образуются путем исключения из сокращенного покрытия всех избыточных кубов, без которых оставшаяся совокупность кубов еще образует покрытие данной функции, но при дальнейшем исключении любого из кубов она уже не покрывает множества всех вершин, соответствующих единичным значениям функции, т. е. перестает быть покрытием.

  Куб сокращенного покрытия, который покрывает вершины данной функции, не покрываемые никакими другими кубами, не может оказаться избыточным и всегда войдет в минимальное покрытие. Такой куб, как и соответствующая ему импликанта, называют экстремалью (существенной импликантой), а покрываемые им вершины - отмененными вершинами. Множество экстремалей образует ядро покрытия, ясно, что при переходе от сокращенного покрытия к минимальному прежде всего следует выделить все экстремали. Если множество экстремалей не образует покрытия, то оно дополняется до покрытия кубами из сокращенного покрытия.

  Приведенные определения иллюстрируются на рис. 3.9, где сокращенное покрытие (см. рис. 3.9а,) и минимальные покрытия (рис. 3.9б) и (см. рис. 3.9, б) выражаются следующим образом.