• Что такое стереометрия?
• Возникновение и развитие стереометрии
• Основные фигуры в пространстве
• Обозначение точек и примеры их моделей
• Обозначение прямых
• Примеры моделей прямых
• Обозначение плоскостей и примеры их моделей
• Что еще изучает стереометрия?
• Окружающие нас предметы и геометрические тела
• Изображение геометрических тел на чертежах
• Практическое (прикладное) значение стереометрии
• Аксиомы стереометрии
• Следствия из аксиом стереометрии
• Закрепление
• Используемая литература

Что такое стереометрия?

Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Возникновение и развитие стереометрии.

• Развитие стереометрии началось значительно позднее планиметрии.
• Стереометрия развивалась из наблюдений и решений вопросов, которые возникали в процессе практической деятельности человека.

• Уже первобытный человек, занявшись земледелием, делал попытки оценивать, хотя бы в грубых чертах, размер собранного им урожая по массам хлеба, сложенного в кучи, копны или скирды.
• Строитель даже самых древних примитивных построек должен был как-то учитывать материал, которым он располагал, и и уметь подсчитать, сколько материала потребуется для возведения той или иной постройки.

• Каменотесное дело у древних египтян и халдеев требовало знакомства с метрическими свойствами хотя бы простейших геометрических тел.
• Потребность земледелия, мореплавания, ориентировки во времени толкали людей к астрономическим наблюдениям, а последние – к изучению свойств сферы и её частей, а следовательно и законов взаимного расположения плоскостей и линий в пространстве.

Основные фигуры в пространстве.

Плоскость –геометрическая фигура, простирающаяся неограниченно во все стороны

Обозначение точек и примеры их моделей.

Точки обозначаются прописными латинскими буквами А, В, С, …

Примерами моделей точек являются:

атомы и молекулы

планеты в масштабах вселенной

Обозначение прямых.

• Прямые обозначаются:
• строчными латинскими буквами a, b, c, d, e, k, …
• двумя заглавными латинскими буквами AB, CD …

Примеры моделей прямых.

Примерами моделей прямых могут служить:

инверсионные следы самолетов

Обозначение плоскостей и примеры их моделей.

Плоскости обозначаются греческими буквами α, β, γ,…

Примерами моделей плоскостей могут служить:

поверхность воды

поверхность стола

Что еще изучает стереометрия?

На ряду с точкой, прямой и плоскостью стереометрия изучает геометрические тела и их поверхности.

Окружающие нас предметы и геометрические тела.

Окружающие нас предметы дают представления о геометрических телах.

А изучая свойства геометрических фигур – воображаемых объектов, мы получаем сведения о геометрических свойствах реальных предметов и можем использовать эти свойства в практической деятельности.

кристаллы- многогранники

жестяная банка - цилиндр

упаковка для конфет - конус

Изображения геометрических тел на чертежах.

• Изображением пространственной фигуры служит её проекция на ту или иную плоскость.
• Невидимые части фигуры изображаются штриховыми линиями.

Практическое (прикладное) значение стереометрии.

• Геометрические тела являются вымышленными объектами
• Изучая свойства геометрических фигур, мы получаем представления о геометрических свойствах реальных предметов (их форме, взаимном расположении и т.д.)
• Стереометрия широко используется в строительном деле, архитектуре, машиностроении и других областях науки и техники

Аксиомы стереометрии.

• Аксиома – это утверждение о свойствах геометрических фигур, принимается в качестве исходных положений, на основе которых доказываются далее теоремы и вообще строится вся геометрия.

Аксиомы стереометрии.

А1 . Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.

Аксиомы стереометрии.

А2 . Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки этой прямой лежат в этой плоскости.

В таком случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.

Аксиомы стереометрии.

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Говорят, что плоскости пересекаются по прямой

Следствия из аксиом.

Теорема 1: Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Теорема 2: Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и при том только одна.

Закрепление.

1.Назовите плоскости, в которых лежат прямые:

Закрепление.

2. Назовите точку пересечения прямой СE с плоскостью ADB.

3. Назовите прямые, по которым пересекаются плоскости:

Используемая литература

• Геометрия. 10-11 классы: учеб. Для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни/Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 21-е изд. – М.: Просвещение, 2012.- 255 с.: ил.
• Геометрия: методическое пособие для высших педагогических заведений и преподавателей средней школы: ч. 2 Стереометрия/ под ред. Проф. И.К. Андронова.

1-й урок: Что изучает стереометрия? Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» - объемный, пространственный и «метрео» - измерять. Многие геометрические термины переведены с древнегреческого языка, т.к. геометрия зародилась в Древней Греции и развивалась в философских школах.

2-й урок: Основные фигуры стереометрии. Существуют различные способы изображения плоскости: плоскость изображают параллелограммом; плоскость обозначается фигурой, ограниченной двумя параллельными прямыми и двумя произвольными кривыми; плоскость передается фигурой произвольной формы.

3-й урок: Пространственные фигуры. Урок посвящается подготовке к введению аксиом стереометрии. Учащимся предлагаются следующие задачи: 1. Изобразите прямую а, лежащую на ней точку А и не лежащую на ней точку В. 2. Изобразите плоскость и две пересекающиеся прямые а и b, лежащие на ней. 3. Изобразите плоскость, лежащие на ней точки А и В, а также точки C и D, расположенные на разные стороны от плоскости. 4. Изобразите плоскость и пересекающую ее прямую а. 5. Изобразите плоскости, пересекающиеся под прямым углом.

5-й урок: Признаки параллельности плоскостей. При изучении аксиом стереометрии вспоминаем первые аксиомы планиметрии и формулируем их пространственн ые аналогии. В результате получаем следующую таблицу: Акс иом а ЧертежФормулировка П1П1 Какова бы ни была прямая в пространстве, существуют точки пространства, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. П2П2 Через любые две точки пространства можно провести прямую, и притом только одну.

6-й урок: Параллельное проектирование. Рассмотрим следствия из аксиом: ЧертежФормулировка Сл.1Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Изображение пространственных фигур на плоскости На тему отводятся семь занятий: 1. П Параллельное проектирование и его основные свойства; 2. П Параллельное проектирование плоских фигур; 3. И Изображение пространственных фигур в параллельной проекции; 4. С Сечение многогранников; 5. З Золотое сечение; 6. Ц Центральное проектирование и его свойства; 7. И Изображение пространственных фигур в центральной проекции.

Занятие 1: Параллельное проектирование и его основные свойства. Основные свойства параллельного проектирования: 1. параллельной проекцией прямой является прямая или точка; 2. параллельной проекцией отрезка является отрезок или точка; 3. отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой, сохраняется (в частности, середина отрезка при параллельном проектировании переходит в середину соответствующего отрезка); 4. параллельной проекцией двух параллельных прямых являются параллельные прямые, или одна прямая, или две точки; 5. отношение длин отрезков, лежащих на параллельных прямых, при параллельном проектировании сохраняется; 6. если фигура лежит в плоскости, параллельной плоскости проектирования, то ее параллельной проекцией на эту плоскость будет фигура, равная исходной.

Занятие 2: Параллельные проекции плоских фигур. Рассматривается вопрос об изображении плоских фигур при параллельном проектировании. Учащиеся должны представить себе, какие фигуры являются параллельными проекциями многоугольников и окружности. Выяснить какие свойства многоугольников сохраняются при параллельном проектирования. Узнать как строятся параллельные проекци основных плоских фигур.

Золотое сечение в архитектуре Известный русский архитекторы М. Казаков и В. Баженов широко использовали в своем творчестве золотое сечение. Например, золотое сечение можно обнаружить в архитектуре здания сената в Кремле. По проекту М. Казакова в Москве была построена Первой клинической Еще один архитектурный шедевр Москвы – дом Пашкова – является одним из наиболее совершенных произведений архитектуры В. Баженова.

Многогранники. В этот курс включены следующие занятия: 1. Правильные многогранники. Правильные многогранники. 2. Полуправильные многогранники. Полуправильные многогранники. 3. Звездчатые многогранники. Звездчатые многогранники. 4. Теорема Эйлера. Теорема Эйлера.

Занятие 4: Теорема Эйлера. Одно из наиболее интересных свойств выпуклых многогранников описано теоремой Эйлера. Название многогранник а Число верш ин(В) Числ о ребе р (Р) Числ о гран ей (Г) Треугольная пирамида 464 Четырехуголь ная призма 8126 Пятиугольная бипирамида правильный додекаэдр n-угольная пирамида n+12n2n n-угольная призма 2n2n3n3nn+2 Сначала с учащимися рассматриваются известные им многогранники и заполняется таблица. Затем выводится и сама теорема: В-Р+Г=2

Углы между прямыми и плоскостями в пространстве. При изучении данной темы желательно отметить, что проблема измерения углов восходит к глубокой древности. Следует как можно шире осветить историю создания измерительных приборов и методы измерения. Для это предлагается провести следующие занятия: 1. Объем фигур в пространстве. Объем цилиндра; Объем фигур в пространстве. Объем цилиндра; 2. Принцип Кавальери;Принцип Кавальери; 3. Объем конуса; Объем конуса; 4. Объем шара. Объем шара.

Занятие 1: Объем фигур в пространстве. Объем цилиндра. На этом занятии рассматриваются проблемы измерения объемов пространственных фигур. Перечисляются основные свойства объема: oоoобъем фигуры в пространстве является неотрицательным числом; oоoобъем куба с ребром 1 равен 1; oрoравные фигуры имеют равные объемы; oеoесли фигура Ф составлена из фигур Ф 1 и Ф 2, то объем фигуры Ф равен сумме объемов фигур Ф 1 и Ф 2.

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Аксиомы стереометрии Геометрия. Урок № 1 10 класс Евклид Если теорему так и не смогли доказать, она становится аксиомой Николаева Валентина Васильевна, учитель математики ГБОУ Центра образования № 55

Геометрия Планиметрия Стереометрия stereos - телесный, твердый, объемный, пространственный metreo - измерять

Стереометрия Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве Основные фигуры в пространстве: А Точка а Прямая Плоскость

Обозначение основных фигур в пространстве: точка прямая плоскость A, B, C, … a, b, c, … или A В, B С, CD, …

Геометрические тела: Куб Параллелепипед Тетраэдр Октаэдр

Геометрические тела: Цилиндр Конус Шар

Геометрические понятия: Плоскость – грань Прямая – ребро Точка – вершина вершина грань ребро

Аксиома (от греч. ax íõ ma – принятие положения) - исходное положение научной теории, принимаемое без доказательства - "Так называемые аксиомы математики - это те немногие мыслительные определения, которые необходимы в математике в качестве исходного пункта " Ф. Энгельс

Аксиомы стереометрии А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна  А В С

Аксиомы стереометрии А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости  А В

Аксиомы стереометрии А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей  

Аксиомы стереометрии описывают: А1 А2 А3 А В С  Способ задания плоскости  А В Взаимное расположение прямой и плоскости Взаимное расположение плоскостей  

Взаимное расположение прямой и плоскости Прямая лежит в плоскости Прямая пересекает плоскость Прямая не пересекает плоскость Множество общих точек Единственная общая точка Нет общих точек  а  а М g а а   а ∩  = М а ⊄ 

Прочитайте чертеж A С

Прочитайте чертеж B c b a

Прочитайте чертеж

а) две плоскости, содержащие прямую DE , прямую EF ; б) прямую, по которой пересекаются плоскости DEF и SBC ; плоскости FDE и SAC . А С В S D F E Пользуясь данным рисунком, назовите:

Домашнее задание: Выучить аксиомы 2) Введение, п. 2,3, стр. 4 – 6 3) № 1 (в, г); 2(в, г)

Предварительный просмотр:

План - конспект урока «Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии»

Место урока в структуре образовательного процесса :

1. Урок по учебному плану – первый.
2. Тема урока согласно поурочно-тематическому планированию учебного

материала по геометрии в 10 классе «Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии».

Тип урока – комбинированный.

Использование образовательных технологий :

педагогического общения:

• планирование коммуникативной структуры взаимодействия с учащимися;
• создание эмоциональной атмосферы;
• создание обратной связи в общении с учащимися на уроке.

информационные:

• использование интернета для подготовки к уроку;
• использование слайд-презентации с целью сделать общение с учащимися интересным, увлекательным, эмоциональным, позволяющим увеличить темп урока, активизировать внимание учащихся, повысить интерес к предмету;
• выдача групповых и индивидуальных заданий по теме урока.

здоровьесберегающие :

• создание благоприятного психологического климата в классе;
• соблюдение организационно-педагогических условий проведения урока – чередование видов учебной деятельности, плотности проведения урока.

Цель урока : ознакомить учащихся с содержанием курса стереометрии, изучить

аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве.

Задачи урока :

обучающие:

• создать условия для формирования основных понятий, аксиом;
• сформировать умение работать с текстом учебника и текстом, предъявляемым на экране монитора;
• сформировать умение находить примеры на предметах окружающего мира, мыслить пространственно, анализировать, наблюдать, делать выводы

развивающие:

• развивать логическое мышление, память, пространственное воображение, познавательный интерес;
• расширять представления учащихся об окружающем мире;
• поддерживать интерес к изучаемому предмету;
• содействовать развитию навыка самостоятельной работы учащихся посредством вовлечения их в исследовательскую деятельность

воспитывающие:

активизировать интерес к изучаемому материалу, используя ИКТ.

Оснащение урока:

1. Персональный компьютер, мультимедийный проектор
2. Презентация «Аксиомы стереометрии»
3. Модели геометрических тел
4. Приложения (раздаточный материал)

Ход урока:

Используемая литература и интернет-ресурсы:

1. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутусов и др. «Геометрия 10-11», Москва, «Просвещение», 2011 г.
2. В.А. Яровенко – Методическое пособие для учителя «Поурочные разработки по геометрии к учебному комплекту Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева, 10 класс» - Москва, «ВАКО», 2006 г.
3. Сайт Савченко Е.М http://le-savchen.ucoz.ru/ «Учителю – сайтостроителю».

Предварительный просмотр:

Приложение 1.

Раздаточный материал

к вопросам для самоконтроля

Приложение 2.

Раздаточный материал – задача

Цикл уроков по теме: "Аксиомы стереометрии" состоит из следующих уроков:

1. Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии"

2. Некоторые слкдствия из аксиом.

3;4. Решение задач на применение аксиом и их следствий.

5. Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий. Самостоятельная работа.

Для каждого урока подготовлена презентация.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Цикл уроков по теме: «Аксиомы стереометрии и их следствия».

Урок 1. Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии.

Цели урока:

1. ознакомить учащихся с содержанием курса стереометрии;
2. изучить аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве;
3. учить применять аксиомы стереометрии при решении задач.

Ход урока:

Слайд 1.

1. Организационный момент.

2. Изучение нового материала.

Учитель: Уже три года, начиная с 7 класса, мы с вами изучаем школьный курс геометрии.

Слайд 2. Вопросы учащимся:

Что такое геометрия? (Геометрия – наука о свойствах геометрических фигур)

Что такое планиметрия? (Планиметрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости)

Какие основные понятия планиметрии вы знаете? (точка, прямая)

Учитель: Сегодня мы приступаем к изучению нового раздела геометрии – стереометрии.

Слайд 3. Стереометрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. (Учащиеся делают запись в тетрадь)

Слайд 4. Основные понятия пространства: точка, прямая, плоскость.

Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола, стены, пола, потолка и т.д. Плоскость, как геометрическую фигуру, нужно представлять простирающейся во все стороны, бесконечной. Обозначаются плоскости греческими буквами α, β, γ и т. д.

1. Назовите точки, лежащие в плоскости β; не лежащие в плоскости β.

2. Назовите прямые: лежащие в плоскости β; не лежащие в плоскости β.

Слайд 5. Об основных понятиях (точка, прямая, плоскость) мы имеем наглядное представление и определения им не даются. Их свойства выражены в аксиомах.

Наряду с точкой, прямой, плоскостью в стереометрии рассматривают геометрические тела (куб, параллелепипед, цилиндр, тетраэдр, конус и др.), изучают их свойства, вычисляют их площади и объемы. Представление о геометрических телах дают окружающие нас предметы.

Слайд 6. Вопросы учащимся:

Какие геометрические тела вам напоминают предметы, изображенные на этих рисунках.

Назовите предметы из окружающей вас обстановки (нашей классной комнаты) напоминающие вам геометрические тела.

Слайд 7. Практическая работа (в тетрадях)

1. Изобразите в тетради куб (видимые линии – сплошной линией, невидимые – пунктиром).

2. Обозначьте вершины куба заглавными буквами АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1

3. Выделите цветным карандашом:

• вершины А, С, В 1 , Д 1 ; отрезки АВ, СД, В 1 С, Д 1 С; диагонали квадрата АА 1 В 1 В.

Обратить внимание учащихся на видимые и невидимые линии на рисунке; изображение квадрата АА 1 В 1 В в пространстве.

Слайд 8. Вопросы к учащимся:

Что такое аксиома? Какие аксиомы планиметрии вы знаете?

В пространстве основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах.

Слайд 9. Учащиеся делают записи и рисунки в тетрадях.

Аксиома 1. (А1) Через любые 3 точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.

Слайд 10. Отметить, что если взять не 3, а 4 произвольные точки, то через них может не проходить ни одна плоскость, то есть 4 точки могут не лежать в одной плоскости.

Слайд 11. Аксиома 2. (А2) Если 2 точки прямой лежат в плоскости, то и все точки прямой лежат в этой плоскости. В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.

Слайд 12. Вопрос учащимся:

Сколько общих точек имеют прямая и плоскость? (рис.1 – бесконечно много; рис.2 – одну)

Слайд 13. Аксиома 3. (А3) Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой.

3. Закрепление изученного материала.

Слайд 14. Решение задач из учебника № 1(а,б), 2(а).

Учащиеся читают условие задач и по рисунку на слайде дают ответ с объяснением.

Задача 1.

а) Р, Е (АДВ) РЕ (АДВ) по А 2

Аналогично МК (ВДС)

В,Д (АДВ) и (ВДС) ВД (АДВ) и (ДВС)

Аналогично АВ (АДВ) и (АВС)

С, Е (АВС) и (ДЕС) СЕ (АВС) и (ДЕС)

б) С (ДК) и (АВС) ДК ∩ (АВС) = С. Т.к. точек пересечения прямой и плоскости не более одной (прямая не лежит в плоскости), то это единственная точка.

Аналогично СЕ ∩ (АДВ) = Е.

Задача 2(а)

В плоскости ДСС 1 : Д, С, С 1 , Д 1 , К, М, R. В плоскости ВQС: В 1 , В, Р, Q, С 1 , М, С.

Слайд 15. 4. Подведение итогов урока. Вопросы учащимся:

1. Как называется раздел геометрии, который мы будем изучать в 10-11 классах?
2. Что такое стереометрия?
3. Сформулируйте с помощью рисунка аксиомы стереометрии, которые вы изучили сегодня на уроке.

Слайд 16. 5. Домашнее задание.

Урок 2. Некоторые следствия из аксиом.

Цели урока:

Повторить аксиомы стереометрии и применение их при решении задач домашнего задания;

Ознакомить учащихся со следствиями из аксиом;

Научить применять следствия из аксиом при решении задач, а также закрепить умение применять аксиомы стереометрии при решении задач;

Повторить формулы вычисления площади ромба.

Ход урока.

Слайд 1. 1. Организационный момент. Сообщение темы и целей урока.

Слайд 2.

1)Сформулируйте аксиомы стереометрии и оформите рисунки на доске.

2) №1 (в,г); 2(б,д).

Учащиеся устно с места по рисунку на слайде отвечают на вопросы домашнего задания.

Слайд 3. 3. Изучение нового материала. Рассмотрим и докажем следствия из аксиом.

Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна.

Учащиеся записывают формулировку в тетради и, отвечая на вопросы учителя, делают соответствующие записи и рисунки в тетрадь.

Что дано в теореме? (прямая и не лежащая на ней точка)

Что надо доказать? (проходит плоскость; одна)

Что можно использовать для доказательства? (аксиомы стереометрии)

Какая из аксиом позволяет построить плоскость? (А1, через три точки проходит плоскость и притом только одна)

Что есть в данной теореме и чего не хватает для использования А1 (имеем – точку; необходимы – еще две точки)

Где построим еще две точки? (на данной прямой)

Какой вывод можем сделать? (через три точки строим плоскость)

Принадлежит ли данной плоскости прямая? (да)

На основании чего можно сделать такой вывод? (на основании А2: если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости)

Сколько плоскостей можно провести через данные прямую и данную точку? (одну)

Почему? (так как плоскость, проходящая через прямую и плоскость, проходит через данную точку и две точки на прямой, значит по А1 эта плоскость – единственная)

Слайд 4. Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна.

Учащиеся доказывают теорему самостоятельно, затем прослушиваются несколько доказательств и делаются дополнения и уточнения (если они необходимы)

Обратить внимание на то, что доказательство опирается не на аксиомы, а на следствие 1.

Слайд 5. 4. Закрепление изученного материала.

Задача 6 (из учебного пособия)

Учащиеся работают в тетрадях, предлагают свои варианты решения, затем сравнивают свое решение с решением на экране. Разбираются два случая: 1) точки не лежат на одной прямой; 2) точки лежат на одной прямой.

Слайд 6,7. Задача на слайде. Учащиеся читают условие, делают рисунок и необходимые записи в тетрадях. Учитель проводит фронтальную работу с классом по вопросам задачи. В ходе решения задачи повторяем формулы вычисления площади ромба.

Дано: АВСД – ромб, АС∩ВД=О, М , (А,Д,О) ; АВ = 4см, А=60º.

Найти: (В,С) ; Д (МОВ); (МОВ)∩(АДО); S АВСД .

Решение:

Обратить внимание на тот факт, что если две плоскости имеют общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки.

5. Подведение итогов:

Сформулируйте аксиомы стереометрии.

Сформулируйте следствия из аксиом.

Цель урока достигнута. Аксиомы стереометрии повторили, познакомились со следствиями из аксиом и применили их при решении задач.

Выставление отметок (с комментариями)

Слайд 8. 6. Постановка домашнего задания :

Урок 3. Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий.

Цели урока:

Повторить аксиомы стереометрии и их следствия;

Сформировать навык применения аксиом стереометрии и их следствий при решении задач;

Учащиеся знают аксиомы стереометрии и их следствия и умеют применять их при решении задач.

Ход урока.

Слайд 1. 1. Организационный момент. Сообщение темы и целей урока.

2. Актуализация знаний учащихся.

1) Проверка домашнего задания по вопросам учащихся.

Перед уроком у нескольких учащихся взять на проверку тетради с домашней работой.

2) Двое учащихся готовят у доски доказательство следствий из аксиом.

3) Двое учащихся (1 уровень) и двое учащихся (2 уровень) работают по карточкам индивидуального опроса. Слайд.

4) Фронтальная работа с учащимися.

Слайд 2. Дано: куб АВСДА1В1С1Д1

Найдите:

1. Несколько точек, которые лежат в плоскости α; (А, В, С, Д)
2. Несколько точек, которые не лежат в плоскости α; (А 1 , В 1 , С 1 , Д 1 )
3. Несколько прямых, которые лежат в плоскости α; (АВ, ВС, СД, АД, АС, ВД)
4. Несколько прямых, которые не лежат в плоскости α; (А 1 В 1 , В 1 С 1 , С 1 Д 1 , А 1 Д 1 , А 1 С 1 , В 1 Д 1 , АА 1 , ВВ 1 , СС 1 , ДД 1 )
5. Несколько прямых которые пересекают прямую ВС; (ВВ 1 , СС 1 )
6. Несколько прямых, которые не пересекают прямую ВС. (АД, АА 1 …)

Слайд 3. Заполните пропуски, чтобы получилось верное утверждение:

Слайд 4. Лежат ли прямые АА 1 , АВ, АД в одной плоскости? (Прямые АА 1 , АВ, АД проходят через точку А, но не лежат в одной плоскости)

3. Решение задач.

Слайд 5. Учащиеся решают задачи № 7, 10, 14 из учебного пособия, делая соответствующие рисунки и записи на доске и в тетрадях.

Задача № 7.

2) Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку М?

Решение: По следствию 2:

2) Все прямые, проходящие через точку М, не обязательно лежат в одной плоскости. (см. пример со слайда 4)

Задача 10. Учащиеся решают задачу самостоятельно (аналогично задаче № 7). Учитель выборочно берет тетради на проверку и оказывает индивидуальную помощь в решении задачи учащимся, которые не справились с заданием.

Задача № 14. Решение: Все прямые а, b, с лежат в одной плоскости. В этом случае по следствию 2 можно провести плоскость, и через три прямые проходит одна плоскость.

Одна из трех прямых, например с, не лежит в плоскости α, определяемой прямыми а и b. В этом случае через заданные три прямые проходят три различные плоскости, определяемые парами прямых а и b, а и с, b и с.

Слайд 6. Учащиеся делают рисунок и необходимые построения и записи в тетрадях. При построении учащиеся проговаривают аксиомы, результат построения записывают с помощью символики.

Задача. Дано: куб АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1

т.М лежит на ребре ВВ 1 , т.N лежит на ребре СС 1 и точка К лежит на ребре ДД 1

а) Назовите плоскости, в которых лежат точки М; N.

б) найдите т.F-точку пересечения прямых МN и ВС. Каким свойством обладает точка F?

в) найдите точку пересечения прямой КN и плоскости АВС.

г) найдите линию пересечения плоскостей МNК и АВС.

Решение:

Слайд 7. Для решения следующей задачи повторим формулу вычисления площади четырехугольника. Вывод формулы разбирают по слайду.

Учащиеся записывают формулу в тетрадь.

Слайд 8. Докажите , что все вершины четырехугольника АВСД лежат в одной плоскости, если его диагонали АС и ВД пересекаются.

Вычислите площадь четырехугольника, если АС┴ВД, АС = 10см, ВД = 12см.

Ответ: 60 см 2

4. Подведение итогов урока.

Что вызвало затруднения? Учитель объявляет отметки за урок с комментарием.

Слайд 9.

Урок 4. Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий.

Цели урока:

Провести контроль знаний аксиом стереометрии и их следствий;

Закрепить сформированный навык применения аксиом стереометрии и их следствий при решении задач;

Повторить: теорему Пифагора и ее применение; формулы вычисления площадей равностороннего треугольника, прямоугольника.

Ход урока.

Слайд 1. 1. Организационный момент. Сообщение темы и целей урока.

Слайд 2. 2. Проверка домашнего задания.

Перед уроком у нескольких учащихся взять на проверку тетради с домашней работой.

Двое учащихся готовят у доски решения задач из домашней работы - № 9, 15.

Остальные учащиеся отвечают на вопросы математического диктанта по слайду.

Слайд 3. 3. Решение задач (фронтальная работа с классом)

Задача № 1.

Дан тетраэдр МАВС, каждое ребро которого равно 6 см.

1. Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости: а) МАВ и МFС; б) МСF и АВС.
2. Найдите длину СF и SАВС
3. Как построить точку пересечения прямой ДЕ с плоскостью АВС?

Вопросы к учащимся (при необходимости):

Какие точки одновременно принадлежат обеим плоскостям. На основании какой аксиомы можно сделать вывод?

Сформулируйте свойство медианы равнобедренного треугольника.

Сформулируйте теорему Пифагора.

Почему можно применить теорему Пифагора в данном случае?

Какими способами можно вычислить площадь равностороннего треугольника?

Всегда ли можно построить точку пересечения прямой ДЕ с плоскостью АВС?

Слайд 4. Задача №2.

1. Как построить точку пересечения плоскости АВС с прямой Д 1 Р?
2. Как построить линию пересечения плоскости АД 1 Р и АВВ 1 ?
3. Вычислите длину отрезков АР и АД 1 , если АВ = а

Решение:

Слайд 5. Задача №3.

Дано : Точки А, В, С не лежат на одной прямой.

Докажите , что точка Р лежит в плоскости АВС.

С помощью анимации на слайде учащиеся делают соответствующие построения и необходимые выводы. Делают записи в тетрадях с помощью математических символов, проговаривая соответствующие аксиомы и следствия из аксиом.

Вопросы учащимся (по необходимости):

Зная, что точки А, В, С не лежат на одной прямой, какой вывод можно сделать?

Если точки А и В лежат в плоскости, какой вывод о прямой АВ можно сделать?

Какой вывод можно сделать о точке М?

Если точки А и С лежат в плоскости, какой вывод о прямой АС можно сделать?

Какой вывод можно сделать о точке К?

Зная, что точки М и К лежат в плоскости, какой вывод можно сделать о прямой МК?

Какой вывод можно сделать о точке Р?

Решение (другой способ доказательства):

АВ∩АС=А. По второму следствию, прямые АВ и АС определяют плоскость α. Точка М принадлежит АВ, а значит, принадлежит плоскости α, и точка К принадлежит АС, а значит, и плоскости α. По аксиоме А2: МК лежит в плоскости α. Точка Р принадлежит МК, а значит, и плоскости α.

Слайд 6. Задача № 4.

Плоскости α и β пересекаются по прямой с. Прямая а лежит в плоскости α и пересекает плоскость β. Пересекаются ли прямые а и с? Почему?

Вопросы учащимся (при необходимости):

Зная, что прямая а пересекает плоскость β, какой вывод можно сделать? (Прямая и плоскость имеют общую точку, например, точку В)

Каким свойством обладает точка В? (Точка В принадлежит и прямой а, и плоскости α, и плоскости β)

Если точка принадлежит двум плоскостям одновременно, то что мы можем сказать о взаимном положении плоскостей? (плоскости пересекаются по прямой, например с)

Каково взаимное расположение точки В и прямой с? (точка В принадлежит прямой с)

Зная, что точка В принадлежит и прямой а, и прямой с, какой вывод можно сделать об этих прямых? (прямые пересекаются в точке В)

Слайд 7. Задача №5.

Дан прямоугольник АВСД, О – точка пересечения его диагоналей. Известно, что точки А, В, О лежат в плоскости α. Докажите, что точки С и Д также лежат в плоскости α. Вычислите площадь прямоугольника, если АС = 8 см, АОВ = 60º.

Задача предназначена для самостоятельного решения с обсуждением решения и оказанием индивидуальной помощи учащимся. Полезно обсудить различные способы нахождения площади прямоугольника:

Предложить учащимся решить задачу разными способами. Ответ: 16 см 2 .

4. Подведение итогов урока:

Какие аксиомы и теоремы мы применяли на уроке при решении задач? Сформулируйте.

Какие задачи были самыми интересными, самыми сложными?

Что полезного для вас лично было на уроке?

Что вызвало затруднения?

Выставление отметок за урок (с комментированием каждой отметки)

Слайд 8. 5. Постановка домашнего задания:

Урок 5. Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий. Самостоятельная работа (20 мин.)

Цели урока:

Закрепить усвоение вопросов теории в процессе решения задач;

Проверить уровень подготовленности учащихся путем проведения самостоятельной работы контролирующего характера.

Ход урока.

Слайд 1. 1. Организационный момент.

Сообщение темы и целей урока.

Слайд 2. 2. Проверка домашнего задания.

Перед уроком у нескольких учащихся взять на проверку тетради с домашней работой.

Задача 1.

Прямые а и b пересекаются в точке О, А а, В b, Р АВ. Докажите, что прямые а и b и точка Р лежат в одной плоскости.

Решение:

Слайд 3. Задача 2.

На данном рисунке плоскость α содержит точки А, В, С, Д, но не содержит точку М. Постройте точку К – точку пересечения прямой АВ и плоскости МСД. Лежит ли точка К в плоскости α.

Решение:

Слайды 4, 5, 6 3.Устное решение задач на повторение теории (по слайдам)

Слайды 7,8 4. Самостоятельная работа (разноуровневая, контролирующего характера) Учащиеся выбирают свой уровень сложности.

5. Подведение итогов.

1) Собрать тетради с самостоятельной работой.

2) Объявление отметок с комментированием.

Слайд 9. 6. Домашнее задание.

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Урок 1 Тема: "Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии."

Что такое геометрия? Геометрия – наука о свойствах геометрических фигур «Геометрия» - (греч.) – «землемерие» - Что такое планиметрия? Планиметрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости. А а Основные понятия планиметрии: точка прямая - Основные понятия планиметрии?

Стереометрия - раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве

Основные фигуры в пространстве: точка прямая плоскость α β Обозначение: А; В; С; …; М;… а А В М N Р Обозначение: a, b, с, d…, m, n,… (или двумя заглавными латинскими) Обозначение: α , β , γ … Ответьте на вопросы по рисунку: 1. Назовите точки, лежащие в плоскости β ; не лежащие в плоскости β . 2. Назовите прямые, лежащие в плоскости β ; не лежащие в плоскости β

Некоторые геометрические тела. А В С Д Д 1 С 1 В 1 А 1 куб А В С Д А 1 В 1 С 1 Д 1 параллелепипед А В С Д тетраэдр цилиндр конус

Назовите какие геометрические тела вам напоминают предметы, изображенные на этих рисунках: Назовите предметы из окружающей вас обстановки (нашей классной комнаты) напоминающие вам геометрические тела.

Практическая работа. 1. Изобразите в тетради куб (видимые линии – сплошной линией, невидимые – пунктиром). 2. Обозначьте вершины куба заглавными буквами АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 А В С Д Д 1 С 1 В 1 А 1 3. Выделите цветным карандашом: вершины А, С, В 1 , Д 1 отрезки АВ, СД, В 1 С, Д 1 С диагонали квадрата АА 1 В 1 В

Что такое аксиома? Аксиома – это утверждение о свойствах геометрических фигур, принимается в качестве исходных положений, на основе которых доказываются далее теоремы и вообще строится вся геометрия. Аксиомы планиметрии: - через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. из трех точек прямой одна, и только одна, лежит между двумя другими. имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой…

Аксиомы стереометрии. А В С А1 . Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна. α

Если ножки стола не одинаковы по длине, то стол стоит на трех ножках, т.е. опирается на три «точки», а конец четвертой ножки (четвертая точка) не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.

Аксиомы стереометрии. А В α А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки этой прямой лежат в этой плоскости. Говорят: прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.

а М Прямая лежит в плоскости Прямая пересекает плоскость Сколько общих точек имеют прямая и плоскость?

Аксиомы стереометрии. α β А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Говорят: плоскости пересекаются по прямой. А а

Решить задачи: №1(а,б); 2(а) А В С Д Р Е К М А В С Д А 1 В 1 С 1 Д 1 Q P R К М Назовите по рисунку: а) плоскости, в которых лежат прямые ДВ, АВ, МК, РЕ, ЕС; б) точки пересечения прямой ДК с плоскостью АВС, прямой СЕ с плоскостью АДВ. а) точки, лежащие в плоскостях ДСС 1 и В Q С № 1(а,б) № 2(а)

Подведем итоги урока: 1) Как называется раздел геометрии, который мы будем изучать в 10-11 классах? 2) Что такое стереометрия? 3) Сформулируйте с помощью рисунка аксиомы стереометрии, которые вы изучили сегодня на уроке. А А В В α α А α β

Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна. Дано: а, М ¢ а Доказать: (а, М) с α α - единственная а М α Доказательство: 1 . Р, О с а; { Р,О,М } ¢ а Р О По аксиоме А1: через точки Р, О, М проходит плоскость. По аксиоме А2: т.к. две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости, т.е. (а, М) с α 2 . Любая плоскость проходящая через прямую а и точку М проходит через точки Р, О, и М, значит по аксиоме А1 она – единственная. Ч.т.д. Некоторые следствия из аксиом:

Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Дано: а ∩ b Доказать: 1. (а∩ b) с α 2. α - единственная а b М Н α Доказательство: 1.Через а и Н а, Н b проходит плоскость α . (М, Н) α , (М,Н) b , значит по А2 все точки b принадлежат плоскости. 2. Плоскость проходит через а и b и она единственная, т.к. любая плоскость, проходящая через прямые а и b , проходит и через Н, значит α – единственная.

Решить задачу № 6 А В С α Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все отрезки лежат в одной плоскости. Доказательство: 1. (А,В,С) α , значит по А1 через А,В,С проходит единственная плоскость. 2. Две точки каждого отрезка лежат в плоскости, значит по А2 все точки каждого из отрезков лежат в плоскости α . 3. Вывод: АВ, ВС, АС лежат в плоскости α 1 случай. А В С α 2 случай. Доказательство: Так как 3 точки принадлежат одной прямой, то по А2 все точки этой прямой лежат в плоскости.

Задача. А В С Д М О АВСД – ромб, О – точка пересечения его диагоналей, М – точка пространства, не лежащая в плоскости ромба. Точки А, Д, О лежат в плоскости α . Определить и обосновать: Лежат ли в плоскости α точки В и С? Лежит ли в плоскости МОВ точка Д? Назовите линию пересечения плоскостей МОВ и АДО. Вычислите площадь ромба, если сторона его равна 4 см, а угол равен 60 º . Предложите различные способы вычисления площади ромба.

Устная работа. А В С Д А 1 В 1 С 1 Д 1 α Дано: куб АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 Найдите: Несколько точек, которые лежат в плоскости α ; Несколько точек, которые не лежат в плоскости α ; Несколько прямых, которые лежат в плоскости α ; Несколько прямых, которые не лежат в плоскости α ; Несколько прямых которые пересекают прямую ВС; Несколько прямых, которые не пересекают прямую ВС. Задача 1.

Устная работа. Задача 2. α А М В а b c Заполните пропуски, чтобы получилось верное утверждение:

Устная работа. А В С Д А 1 В 1 С 1 Д 1 α Прямые АА 1 , АВ, АД проходят через точку А, но не лежат в одной плоскости Лежат ли прямые АА 1 , АВ, АД в одной плоскости?

Решите задачи из учебного пособия: стр. 8 № 7, 10, 14. Работа учащихся на доске и в тетрадях:

Задача 1 А В С Д А 1 В 1 С 1 Д 1 М N F К Дано: куб АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 т.М лежит на ребре ВВ 1 , т. N лежит на ребре СС 1 и точка К лежит на ребре ДД 1 а) назовите плоскости, в которых лежат точки М; N . б) найдите т. F- точку пересечения прямых М N и ВС. Каким свойством обладает точка F ? в) найдите точку пересечения прямой К N и плоскости АВС О г) найдите линию пересечения плоскостей М N К и АВС

Задача (устно) А В С Д М О АВСД – ромб, О – точка пересечения его диагоналей, М – точка пространства, не лежащая в плоскости ромба. Точки А, Д, О лежат в плоскости α . Определить и обосновать: 1. Какие еще точки лежат в плоскости α ? Лежат ли в плоскости α точки В и М? Лежит ли в плоскости МОД точка В? Назовите линию пересечения плоскостей МОС и АДО. Точка О – общая точка плоскостей МОВ и МОС. Верно ли что эти плоскости пересекаются по прямой МО? Назовите три прямые, лежащие в одной плоскости; не лежащие в одной плоскости.

Задача (устно) А В С М Стороны АВ и АС треугольника АВС лежат в плоскости. Докажите, что и медиана лежит в плоскости.

С Д В Е F О М Задача (устно) В чем ошибка чертежа, где О Е F . Дайте объяснение. Как должен выглядеть правильный чертеж.

1 уровень А В С S К М N 1. Пользуясь данным рисунком, назовите: а) четыре точки, лежащие в плоскости S АВ; б)плоскость, в которой лежит прямая М N ; в) прямую по которой пересекаются плоскости S АС и S ВС. 2. Точка С – общая точка плоскости и. Прямая с проходит через точку С. Верно ли, что плоскости и пересекаются по прямой с. Ответ объясните. 3. Через прямую а и точку А можно провести две различные плоскости. Каково взаимное расположение прямой а и точки А. Ответ объясните. 2 уровень S А В С Д Е F 1. Пользуясь данным рисунком назовите: а) две плоскости, содержащие прямую ДЕ; б) прямую, по которой пересекаются плоскости АЕ F и S ВС; в) плоскости, которые пересекает прямая S В. 2. Прямые а, b и с имеют общую точку. Верно ли, что данные прямые лежат в одной плоскости? Ответ обоснуйте. 3. Плоскости и пересекаются по прямой с. Прямая а лежит в плоскости и пересекает плоскость. Каково взаимное расположение прямых а и с?

А В С Д А 1 В 1 С 1 Д 1 Уровень 3 (на карточках) 1. Пользуясь данным рисунком, назовите: а) две плоскости, содержащие прямую В 1 С; б) прямую, по которой пересекаются плоскости В 1 СД и АА 1 Д 1 ; в) плоскость, не пересекающуюся с прямой СД 1 . 2. Четыре прямые попарно пересекаются. Верно ли, что если любые три из них лежат в одной плоскости, то все четыре прямые лежат в одной плоскости? Ответ объясните. 3. Вершина С плоского четырехугольника АВСД лежит в плоскости, а а точки А, В, Д не лежат в этой плоскости. Прямые АВ и АД пересекают плоскость в точках В 1 иД 1 соответственно. Каково взаимное расположение точек С, В 1 и Д 1 ? Ответ объясните.

Домашнее задание: повторить материал из планиметрии и сделать в тетрадях конспект по следующим вопросам: Определение параллельных прямых Взаимное расположение двух прямых на плоскости Построение прямой, параллельной данной Аксиому о параллельных прямых

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ САМАРСКОЙ ОБЛАСТИ «СЫЗРАНСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА УРОКА ГЕОМЕТРИИ

РАЗРАБОТАЛА:

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ Н.В.ТИХОНОВА

Тема урока: «Аксиомы стереометрии»

Цель урока: Освоение основных понятий стереометрии

Задачи:

Образовательные:

освоение основных понятий стереометрии;

ознакомление с основными понятиями и аксиомами стереометрии;

отработка умения переноса знаний из планиметрии в стереометрию.

Развивающие:

развитие познавательных интересов, интеллектуальных и творческих способностей в процессе выполнения математических заданий;

развитие внимания, памяти, речи, интеллектуального потенциала, логического мышления студентов;

развитие умение выделять главное, сравнивать изучаемые факты,

логически излагать мысли и находить аналогии;

расширение кругозора студентов;

развитие информационных компетенций.

Воспитательные:

воспитание умения обосновывать высказываемую позицию;

уважительно относиться к мнению оппонента, сотрудничать в процессе совместного выполнения задач;

формировать в ходе урока чувства коллективизма и коммуникативность.

Тип урока: комбинированный

Форма организации деятельности студентов: групповая, индивидуальная.

Материально-дидактическое оснащение:

приложение:

описание проблемы (приложение 1);

информация для размышления (приложение 2);

задание по проверке усвоения теоретического материала (приложение 3);

эталоны ответов к приложению 3 (приложение 4);

оценочный лист (приложение 5);

рефлексия (приложение 6);

оформление доски (приложение 7).

Организационный момент: введение студентов в тему, сообщение цели урока

(3 минуты)

Преподаватель: Здравствуйте, сегодня мы приступаем к изучению нового раздела геометрии, который называется стереометрия.

Вопрос: Что изучает наука геометрия? (геометрические фигуры и их свойства)

Вопрос: Что означает приставка «стерео» и где в жизни вы с ней встречались? (стереозвук, стереоизображение и т.п.). Стерео означает объём, пространство.

Следовательно, мы будем изучать геометрические фигуры и их свойства, но в пространстве.

Т.о. Стереометрия -это раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве.

Изучать будем трёхмерное пространство, в котором мы и живём (надо знать среду своего обитания).

Вопрос: Назовите его измерения. (длина, ширина, высота)

Вопрос: А как вы думаете существуют другие пространства? Ну, например, с четвёртым измерениям?

А почему бы и нет. Об этом много сейчас говорят и пишут. Ах, вы его не видели. А может просто у человека устроен так глаз! Вот возьмём глаз мухи. Он устроен так, что она на экране телевизора видит каждый кадр отдельно, для неё там неподвижные картинки, поэтому она не слетает с экрана, какие бы там не показывали баталии. Но, стоит только занести руку, чтобы её прихлопнуть, она сразу же улетает, настолько чувствителен её глаз.

Преподаватель: Вот вышли мы из плоскости в пространство, значит и основных понятий (фигур) стало больше. Наша задача состоит в том, чтобы выяснить, какая фигура добавиться в пространстве к основным фигурам, а также указать её свойства (то есть сформулировать аксиомы), так как дать определение основной фигуры мы не можем. Изучать стереометрию мы будем в сравнении с планиметрией и всё, что знаем на плоскости берем с собой в пространство.

2. Конфронтация, мотивация студентов

(2 минуты)

Преподаватель: Наука геометрия строится логически.

Перечисляются основные геометрические понятия (фигуры), которые вводятся без определений.

Как, например, немецкий художник эпохи Возрождения Альбрехт Дюрер в своих работах по математике определил: «Точка-не имеющая ни величины, ни длины, ни ширины, ни толщины. Она начало всех телесных вещей, которые бы мы хотели построить или представить воображением. Изображают её в виде точечного знака-прикосновением пера».

Формулируются аксиомы, которые не требуют доказательства, но в которых отражаются свойства основных фигур.

Доказываются теоремы.

Исходя из сказанного, мы должны решить - какую ещё фигуру надо добавить к основным в планиметрии, чтобы получить основные понятия стереометрии и сформулировать аксиомы для её пояснения (метаплан, приложение 1).

Информация (6 минут)

Преподаватель: Для решения поставленной проблемы вам необходимо освежить аналогичные знания по планиметрии и найти ответы на поставленные вопросы.

Всё, что касается плоскости, будет изображено на коричневых параллелограммах-часть плоскости (модель-крышка стола,поверхность тетради и т. д.); всё, что будет в пространстве, будем изображать на облаке (как бы объёмное что-то).

Вопрос: А теперь вспомните, из чего состоят все геометрические фигуры. (Из множества точек).

Значит и плоскость - множество точек, и пространство-множество точек.

Решение поставленной задачи могут быть разными, но вам необходимо выбрать то, которое, по-вашему, наиболее верное. Для решения данной проблемы вам предлагается информация на доске и в информационном листе (приложение 2).

(Информация на доске, смотри приложение 7).

1. Исследование (3 минуты)

Преподаватель: Изучив информацию, обсудите её с другом в своей микрогруппе. Определитесь, что вам необходимо учесть для представления своего варианта ответа.

1. 1. Принятие решения (5 минут)

Преподаватель: Примите решение самое правильное на ваш взгляд и оформите его в метаплане.

Презентация или дискуссия (9 минут)

Преподаватель: Каждая микрогруппа по очереди оформляет свой выбор на магнитной доске, аргументируя свой его.

7.Сверка с оригинальным решением (7 минут)

Преподаватель: в связи с тем, что в пространстве добавилось новое понятие плоскость, которое не имеет определения, то появилась необходимость в указании её свойств (аксиом), с целью правильного понимания этой фигуры.

Возникают вопросы:

Что такое прямая?

Это множество точек, бесконечное по обе стороны, лежащее в какой-то плоскости. Но, плоскость-это тоже множество точек. Отсюда и аксиома А1, смотрим на доску и в приложение 2.

А что такое пространство?

Это тоже множество точек, причём бесконечное. И среди них есть точки, которые находятся в определенной плоскости. Отсюда и

Аксиома С 1: Какова бы ни была плоскость существуют точки,принадлежащие плоскости, и точки, не принадлежащие ей. (см. метаплан на доске)

Преподаватель: Если микрогруппа ответила правильно, то ставит в свой оценочный лист (приложение 5) «+», если не правильно или неточно, то ничего не ставит.

Можно предложить следующую модель этой аксиомы: в космическом корабле, где невесомость рассыпали ведро ягоды (точки). Какие-то ягоды находятся на поверхности стола (на плоскости), какие-то выше или ниже его поверхности.

Кто может привести свою модель. За дополнения микрогруппа получает дополнительные плюсы в оценочный лист.

Когда пресекаются две прямые вы знаете из аксиомы А 2. А как определить пересечение двух плоскостей?

Аксиома С 2: Если две различные плоскости имеют точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. (см. метаплан на доске)

Не забывайте свои результаты отражать в оценочном листе.

Можно предложить следующую модель этой аксиомы: полуоткрытая книга.

Приведите вы примеры моделей, их можно найти в любом помещении (пересечение двух стен).

Чтобы задать единственную прямую необходимо всего две точки. А что необходимо, чтобы задать единственную плоскость?

Аксиома С 3: Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

А сколько точек задают две пересекающиеся прямые? (3 точки)

Модель: дверь (плоскость) в кабинете закреплена на двух шарнирах (точках).

Вот она заняла одно положение,вот-другое и т. д. То есть через две точки можно провести множество плоскостей. А теперь я к двум точкам (шарнирам) добавлю ещё одну на этой же прямой (ещё один шарнир). Что изменилось? Ничего. Значит надо взять третью точку, не лежащую на одной прямой с первыми двумя. Закрываю дверь на замок или шпингалет (точка). Всё! Плоскость (дверь) не сдвинуть. Положение её одно единственное, а значит и плоскость единственная!

За эту аксиому, если она сформулирована правильно, поставьте в оценочном листе два плюса.

А ваши модели? (Во время этого этапа преподаватель на магнитной доске оформляет свой вариант, не убирая варианты обучающихся).

Контроль по применению полученных знаний (6 минут)

Преподаватель: В качестве разминки предлагаю всем классическую задачу: В кабинет влетели три мухи. Когда они будут находиться в плоскости? (Этот вопрос любят задавать преподаватели ТГУ абитуриентам на вступительных экзаменах).

А теперь у каждого своё задание по проверке усвоения теоретического материала (приложение 3).

Затем по оценочным листам выставляем себе оценки.

Подведение итогов, рефлексия. (4 минуты)

Преподаватель: Теперь проверим, как вы усвоили теоретический материал. Для этого сдайте мне информационные листы, взамен получите контрольные листы (приложение 4). Каждый из вас выполнял работу самостоятельно. Проверьте правильность ваших ответов и отразите их в оценочных листах.

Преподаватель: Ваша работа оставила приятное впечатление. Каково ваше мнение об уроке? На столах у вас карточки - символы. Солнце - символ хорошей погоды, а значит и хорошего настроения. Если урок вам понравился, было интересно, полезно, то при голосовании поднимите эту карточку.

Если на уроке не всё было интересно, то поднимите Облачко - символ переменной погоды.

Если урок совсем не понравился и время тянулось бесконечно-то поднимите Луну -символ того, что на этом уроке просто хотелось спать.

А в заключении урока хочу сказать, что наука геометрия появилась из практической деятельности человека. Это сложное слово состоит из двух частей: гео (от греческого ge -Земля), ...метрия (от греческого metreo -измеряю). Поэтому, надеюсь, что сегодня вы ещё раз убедились в необходимости изучения этой науки.

10.Задания на дом: пункт 1 и 2. повторить теорему косинусов, задачи планиметрические.

Всем спасибо за урок.