Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.

Если даны две точки плоскости и , то длину отрезка можно вычислить по формуле

Если даны две точки пространства и , то длину отрезка можно вычислить по формуле

Примечание: Формулы останутся корректными, если переставить местами соответствующие координаты: и , но более стандартен первый вариант

Пример 3

Решение: по соответствующей формуле:

Ответ:

Для наглядности выполню чертёж

Отрезок – это не вектор , и перемещать его куда-либо, конечно, нельзя. Кроме того, если вы выполните чертеж в масштабе: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки), то полученный ответ можно проверить обычной линейкой, непосредственно измерив длину отрезка.

Да, решение короткое, но в нём есть ещё пара важных моментов, которые хотелось бы пояснить:

Во-первых, в ответе ставим размерность: «единицы». В условии не сказано, ЧТО это, миллиметры, сантиметры, метры или километры. Поэтому математически грамотным решением будет общая формулировка: «единицы» – сокращенно «ед.».

Во-вторых, повторим школьный материал, который полезен не только для рассмотренной задачи:

Обратите внимание на важный технический приём – вынесение множителя из-под корня . В результате вычислений у нас получился результат и хороший математический стиль предполагает вынесение множителя из-под корня (если это возможно). Подробнее процесс выглядит так: . Конечно, оставить ответ в виде не будет ошибкой – но недочетом-то уж точно и весомым аргументом для придирки со стороны преподавателя.

Вот другие распространенные случаи:

Нередко под корнем получается достаточно большое число, например . Как быть в таких случаях? На калькуляторе проверяем, делится ли число на 4: . Да, разделилось нацело, таким образом: . А может быть, число ещё раз удастся разделить на 4? . Таким образом: . У числа последняя цифра нечетная, поэтому разделить в третий раз на 4 явно не удастся. Пробуем поделить на девять: . В результате:
Готово.

Вывод: если под корнем получается неизвлекаемое нацело число, то пытаемся вынести множитель из-под корня – на калькуляторе проверяем, делится ли число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т.д.

В ходе решения различных задач корни встречаются часто, всегда пытайтесь извлекать множители из-под корня во избежание более низкой оценки да ненужных заморочек с доработкой ваших решений по замечанию преподавателя.

Давайте заодно повторим возведение корней в квадрат и другие степени:

Правила действий со степенями в общем виде можно найти в школьном учебнике по алгебре, но, думаю, из приведённых примеров всё или почти всё уже ясно.

Задание для самостоятельного решения с отрезком в пространстве:

Пример 4

Даны точки и . Найти длину отрезка .

Решение и ответ в конце урока.

Существуют три основных системы координат, используемых в геометрии, теоретической механике, других разделах физики: декартова, полярная и сферическая. В этих системах координат каждая точка имеет три координаты. Зная координаты двух точек, можно определить расстояние между этими двумя точками.

Вам понадобится

• Декартовы, полярные и сферические координаты концов отрезка

Инструкция

Рассмотрите для начала прямоугольную декартову систему координат. Положение точки в пространстве в этой системе координат определяется координатами x,y и z. Из начала координат к точке проводится радиус-вектор. Проекции этого радиус-вектора на координатные оси и будут координатами этой точки.
Пусть у вас теперь есть две точки с координатами x1,y1,z1 и x2,y2 и z2 соответственно. Обозначьте за r1 и r2, соответственно, радиус-векторы первой и второй точки. Очевидно, что расстояние между этими двумя точками будет равно модулю вектора r = r1-r2, где (r1-r2) - векторная разность.
Координаты вектора r, очевидно, будут следующими: x1-x2, y1-y2, z1-z2. Тогда модуль вектора r или расстояние между двумя точками будет равно: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2)).

Рассмотрите теперь полярную систему координат, в которой координата точки будет задаваться радиальной координатой r (радиус-вектор в плоскости XY), угловой координатой? (углом между вектором r и осью X) и координатой z, аналогичной координате z в декартовой системе.Полярные координаты точки можно перевести в декартовы следующим образом: x = r*cos?, y = r*sin?, z = z. Тогда расстояние между двумя точками с координатами r1, ?1 ,z1 и r2, ?2, z2 будет равно R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?1-r2*sin?2)^2)+((z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2)+((z1-z2)^2))

Теперь рассмотрите сферическую систему координат. В ней положение точки задается тремя координатами r, ? и?. r - расстояние от начала координат до точки, ? и? - азимутальные и зенитный угол соответственно. Угол? аналогичен углу с таким же обозначением в полярной системе координат, а? - угол между радиус-вектором r и осью Z, причем 0координатами r1, ?1, ?1 и r2, ?2 и?2 будет равно R = sqrt(((r1*sin?1*cos?1-r2*sin?2*cos?2)^2)+((r1*sin?1*sin?1-r2*sin?2*sin?2)^2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)) = (((r1*sin?1)^2)+((r2*sin?2)^2)-2r1*r2*sin?1*sin?2*(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2))

Пусть отрезок задан двумя точками в плоскости координат, тогда можно найти его длину с помощью теоремы Пифагора.

Инструкция

Пусть заданы координаты концов отрезка (x1- y1) и (x2- y2). Начертите отрезок в системе координат.

Опустите перпендикуляры из концов отрезка на оси X и Y. Отрезки, отмеченные на рисунке красным, являются проекциями исходного отрезка на оси координат.

Если выполнить параллельный перенос, отрезков-проекций к концам отрезков, то получится прямоугольный треугольник. Катетами этого треугольника будут являться перенесенные проекции, а гипотенузой - сам отрезок AB.

Длины проекций легко вычисляются. Длина проекции на ось Y будет равна y2-y1, а длина проекции на ось X - x2-x1. Тогда по теореме Пифагора |AB|²- = (y2 - y1)²- + (x2 - x1)²-, где |AB| - длина отрезка.

Представив эту схему нахождения длины отрезка в общем случае, легко вычислять длину отрезка, не строя отрезок. Посчитаем длину отрезка, координаты концов которого (1-3) и (2-5). Тогда |AB|²- = (2 - 1)²- + (5 - 3)²- = 1 + 4 = 5, таким образом длина искомого отрезка равна 5^1/2.

Приведу подробный пример, как можно определить длину отрезка по заданным координатам, воспользовавшись сервисом онлайн на сайте Контрольная работа Ру.

Допустим, вам надо найти длину отрезка на плоскости

(в пространстве вы можете по-аналогии расчитывать, только надо изменить точку на размерность трёх)

Отрезок AB имеет концы с координатами A (1, 2) и B (3, 4).

Для того, чтобы вычислить длину отрезка AB воспользуйтесь следующими шагами:

1. Перейдите на страницу сервиса по нахождению расстояния между двумя точками онлайн:

Мы можем этим пользоваться, т.к. длина отрезка по коорд. как раз и равна расстоянию между точками A и B.

Чтобы задать правильную размерность точки A, то потяните за нижний правый край влево, как показано на рис.

После того, как ввели координаты первой точки A(1, 2), то нажмите на кнопку

3. На втором шаге вы увидите форму для ввода второй точки B, введите её координаты, как рис. ниже:

Точки a и b введены! Решение:

Найдем расстояние между точками (s)

В этой статье мы поговорим о нахождении координат середины отрезка по координатам его концов. Сначала мы дадим необходимые понятия, далее получим формулы для нахождения координат середины отрезка, в заключении рассмотрим решения характерных примеров и задач.

Навигация по странице.

Понятие середины отрезка.

Для того, чтобы ввести понятие середины отрезка, нам потребуются определения отрезка и его длины.

Понятие отрезка дается на уроках математики в пятом классе средней школы следующим образом: если взять две произвольных несовпадающих точки А и В , приложить к ним линейку и провести от А к В (или от В к А ) линию, то мы получим отрезок АВ (или отрезок В А). Точки А и В называются концами отрезка . Следуем иметь в виду, что отрезок АВ и отрезок ВА есть один и тот же отрезок.

Если отрезок АВ бесконечно продолжить в обе стороны от концов, то мы получим прямую АВ (или прямую ВА ). Отрезок АВ представляет собой часть прямой АВ , заключенную между точками А и В . Таким образом, отрезок АВ – это объединение точек А , В и множества всех точек прямой АВ , находящихся между точками А и В . Если взять произвольную точку М прямой АВ , находящуюся между точками А и В , то говорят, что точка М лежит на отрезке АВ .

Длиной отрезка АВ называется расстояние между точками А и В при заданном масштабе (отрезке единичной длины). Длину отрезка АВ будем обозначать как .

Определение.

Точка С называется серединой отрезка АВ , если она лежит на отрезке АВ и находится на одинаковом расстоянии от его концов.

То есть, если точка С является серединой отрезка АВ , то она лежит на нем и .

Далее нашей задачей будет нахождение координат середины отрезка АВ , если заданы координаты точек А и В на координатной прямой или в прямоугольной системе координат .

Координата середины отрезка на координатной прямой.

Пусть нам задана координатная прямая Ох и две несовпадающих точки А и В на ней, которым соответствуют действительные числа и . Пусть точка С – середина отрезка АВ . Найдем координату точки С .

Так как точка С – середина отрезка АВ , то справедливо равенство . В разделе расстояние от точки до точки на координатной прямой мы показали, что расстояние между точками равно модулю разности их координат, следовательно, . Тогда или . Из равенства находим координату середины отрезка АВ на координатной прямой: - она равна полусумме координат концов отрезка. Из второго равенства получаем , что невозможно, так как мы брали несовпадающие точки А и В .

Итак, формула для нахождения координаты середины отрезка АВ с концами и имеет вид .

Координаты середины отрезка на плоскости.

Введем прямоугольную декартову систему координат Оxyz на плоскости. Пусть нам даны две точки и и известно, что точка С – середина отрезка АВ . Найдем координаты и точки С .

По построению прямые параллельны, а также параллельны прямые , поэтому, по теореме Фалеса из равенства отрезков АС и СВ следует равенство отрезков и , а так же отрезков и . Следовательно, точка - середина отрезка , а - середина отрезка . Тогда в силу предыдущего пункта этой статьи и .

По этим формулам можно вычислять координаты середины отрезка АВ и в случаях, когда точки А и В лежат на одной из координатных осей или на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей. Оставим эти случаи без комментариев, а приведем графические иллюстрации.

Таким образом, середина отрезка АВ на плоскости с концами в точках и имеет координаты .

Координаты середины отрезка в пространстве.

Пусть в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz и заданы две точки и . Получим формулы для нахождения координат точки С , которая является серединой отрезка АВ .

Рассмотрим общий случай.

Пусть и - проекции точек А , В и С на координатные оси Оx , Оу и Oz соответственно.

По теореме Фалеса , следовательно, точки есть середины отрезков соответственно. Тогда (смотрите первый пункт этой статьи). Так мы получили формулы для вычисления координат середины отрезка по координатам его концов в пространстве .

Эти формулы можно применять и в случаях, когда точки А и В лежат на одной из координатных осей или на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей, а также если точки А и В лежат в одной из координатных плоскостей или в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей.

Координаты середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов.

Формулы для нахождения координат середины отрезка легко получить, обратившись к алгебре векторов.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Oxy и точка С – середина отрезка АВ , причем и .

По геометрическому определению операций над векторами справедливо равенство (точка С является точкой пересечения диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и , то есть, точка С – середина диагонали параллелограмма). В статье координаты вектора в прямоугольной системе координат мы выяснили, что координаты радиус-вектора точки равны координатам этой точки, следовательно, . Тогда, выполнив соответствующие операции над векторами в координатах , имеем . Откуда можно сделать вывод, что точка С имеет координаты .

Абсолютно аналогично могут быть найдены координаты середины отрезка АВ через координаты его концов в пространстве. В этом случае, если С – середина отрезка АВ и , то имеем .

Нахождение координат середины отрезка, примеры, решения.

Во многих задачах приходится использовать формулы для нахождения координат середины отрезка. Рассмотрим решения наиболее характерных примеров.

Начнем с примера, в котором лишь требуется применить формулу.

Пример.

На плоскости заданы координаты двух точек . Найдите координаты середины отрезка АВ .

Решение.

Пусть точка С – середина отрезка АВ . Ее координаты равны полусуммам соответствующих координат точек А и В :

Таким образом, середина отрезка АВ имеет координаты .

Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.

Если даны две точки плоскости и , то длину отрезка можно вычислить по формуле

Если даны две точки пространства и , то длину отрезка можно вычислить по формуле

Примечание: Формулы останутся корректными, если переставить местами соответствующие координаты: и , но более стандартен первый вариант

Пример 3

Решение: по соответствующей формуле:

Ответ:

Для наглядности выполню чертёж

Отрезок – это не вектор , и перемещать его куда-либо, конечно, нельзя. Кроме того, если вы выполните чертеж в масштабе: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки), то полученный ответ можно проверить обычной линейкой, непосредственно измерив длину отрезка.

Да, решение короткое, но в нём есть ещё пара важных моментов, которые хотелось бы пояснить:

Во-первых, в ответе ставим размерность: «единицы». В условии не сказано, ЧТО это, миллиметры, сантиметры, метры или километры. Поэтому математически грамотным решением будет общая формулировка: «единицы» – сокращенно «ед.».

Во-вторых, повторим школьный материал, который полезен не только для рассмотренной задачи:

Обратите внимание на важный технический приём – вынесение множителя из-под корня . В результате вычислений у нас получился результат и хороший математический стиль предполагает вынесение множителя из-под корня (если это возможно). Подробнее процесс выглядит так: . Конечно, оставить ответ в виде не будет ошибкой – но недочетом-то уж точно и весомым аргументом для придирки со стороны преподавателя.

Вот другие распространенные случаи:

Нередко под корнем получается достаточно большое число, например . Как быть в таких случаях? На калькуляторе проверяем, делится ли число на 4: . Да, разделилось нацело, таким образом: . А может быть, число ещё раз удастся разделить на 4? . Таким образом: . У числа последняя цифра нечетная, поэтому разделить в третий раз на 4 явно не удастся. Пробуем поделить на девять: . В результате:
Готово.

Вывод: если под корнем получается неизвлекаемое нацело число, то пытаемся вынести множитель из-под корня – на калькуляторе проверяем, делится ли число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т.д.

В ходе решения различных задач корни встречаются часто, всегда пытайтесь извлекать множители из-под корня во избежание более низкой оценки да ненужных заморочек с доработкой ваших решений по замечанию преподавателя.

Давайте заодно повторим возведение корней в квадрат и другие степени:

Правила действий со степенями в общем виде можно найти в школьном учебнике по алгебре, но, думаю, из приведённых примеров всё или почти всё уже ясно.

Задание для самостоятельного решения с отрезком в пространстве:

Пример 4

Даны точки и . Найти длину отрезка .

Решение и ответ в конце урока.