Клон от математиката, който се занимава с изучаването на свойствата на различни фигури (точки, линии, ъгли, двуизмерни и триизмерни обекти), техните размери и относителни позиции. За улеснение на преподаването геометрията е разделена на планиметрия и стереометрия. В…… Енциклопедия на Collier

Геометрия на пространства с измерения, по-големи от три; терминът се прилага към тези пространства, чиято геометрия първоначално е разработена за случай на три измерения и едва след това обобщена за броя на измеренията n>3, предимно евклидово пространство, ... ... Математическа енциклопедия

N-мерната евклидова геометрия е обобщение на евклидовата геометрия към пространство с повече измерения. Въпреки че физическото пространство е триизмерно и човешките сетива са предназначени да възприемат три измерения, N е триизмерно... ... Wikipedia

Този термин има други значения, вижте Пирамидацу (значения). Надеждността на този раздел от статията е поставена под въпрос. Трябва да проверите точността на фактите, посочени в този раздел. Може да има обяснения на страницата за разговори... Уикипедия

- (Constructive Solid Geometry, CSG) технология, използвана при моделиране на твърди тела. Конструктивната блокова геометрия често, но не винаги, е начинът за моделиране в 3D графики и CAD. Позволява ви да създадете сложна сцена или... Wikipedia

Constructive Solid Geometry (CSG) е технология, използвана в моделирането на твърдо тяло. Конструктивната блокова геометрия често, но не винаги, е начинът за моделиране в 3D графики и CAD. Тя... ... Уикипедия

Този термин има други значения, вижте Обем (значения). Обемът е адитивна функция на набор (мярка), характеризираща капацитета на площта на пространството, която заема. Първоначално възниква и се прилага без строго... ... Wikipedia

Тип куб Правилен многостен Лице квадрат Върхове Ръбове Лица ... Wikipedia

Обемът е адитивна функция на набор (мярка), характеризираща капацитета на площта на пространството, която заема. Първоначално възниква и се прилага без строга дефиниция по отношение на триизмерните тела на триизмерното евклидово пространство.... ... Wikipedia

Част от пространството, ограничено от набор от краен брой равнинни многоъгълници (вижте ГЕОМЕТРИЯ), свързани по такъв начин, че всяка страна на който и да е многоъгълник е страна на точно един друг многоъгълник (наречен... ... Енциклопедия на Collier

Диагонални сечения. Сечението на призмата с равнина, минаваща през диагонала на основата и двата странични ръба, съседни на нея, се нарича диагонално сечение на призмата. Сечение на пирамида с равнина, минаваща през диагонала на основата и върха, се нарича диагонално сечение на пирамидата. Нека равнината пресича пирамидата и е успоредна на нейната основа. Частта от пирамидата, затворена между тази равнина и основата, се нарича пресечена пирамида. Напречното сечение на пирамида се нарича още основа на пресечена пирамида.

Построяване на сечения При построяването на сечения на многостени основните са построяването на пресечната точка на права и равнина, както и на пресечната линия на две равнини. Ако са дадени две точки A и B на права и са известни техните проекции A' и B' върху равнината, тогава точката C на пресечната точка на данните на правата и равнината ще бъде точката на пресичане на правите AB и A'B' Ако са дадени три точки A, B, C от равнината и са известни техните проекции A', B', C' върху друга равнина, тогава за да се намери пресечната линия на тези равнини, точките P и Q на пресичане на правите AB и AC с втората равнина. Правата PQ ще бъде желаната пресечна линия на равнините.

Упражнение 1 Построете сечение от куб с равнина, минаваща през точки E, F, лежащи на ръбовете на куба и върха B. Решение. За да построим сечение на куб, минаващо през точки E, F и връх B, свързваме с отсечки точки E и B, F и B. През точки E и F начертаваме прави, успоредни съответно на BF и BE. Полученият успоредник BFGE ще бъде желаната секция.

Упражнение 2 Построете сечение от куб с равнина, минаваща през точки E, F, G, разположени по ръбовете на куба. Решение. За да построите сечение на куб, минаващо през точки E, F, G, начертайте права линия EF и означете P нейната пресечна точка с AD. Нека Q означава пресечната точка на правите PG и AB. Нека свържем точки E и Q, F и G. Полученият трапец EFGQ ще бъде желаното сечение.

Упражнение 3 Построете сечение на куба с равнина, минаваща през точки E, F, G, разположени по ръбовете на куба. Решение. За да построите сечение на куб, минаващо през точки E, F, G, начертайте права линия EF и означете P нейната пресечна точка с AD. Нека означим с Q, R точките на пресичане на права PG с AB и DC. Нека означим с S пресечната точка на FR с CC 1. Нека свържем точките E и Q, G и S. Полученият петоъгълник EFSGQ ще бъде желаното сечение.

Упражнение 4 Построете сечение на куба с равнина, минаваща през точки E, F, G, разположени по ръбовете на куба. Решение. За да построим сечение на куб, минаващо през точки E, F, G, намираме пресечната точка P на правата EF и лицевата равнина ABCD. Нека означим с Q, R пресечните точки на права PG с AB и CD. Начертайте права RF и означете S, T нейните точки на пресичане с CC 1 и DD 1. Начертайте права TE и означете U нейната пресечна точка с A 1 D 1. Свържете точките E и Q, G и S, U и F Полученият шестоъгълник EUFSGQ ще бъде желаното сечение.

Упражнение 5 Построете сечение на куба с равнина, минаваща през точки E, F, G, принадлежащи съответно на лицата BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, AA 1 B 1 B. Решение. От тези точки спускаме перпендикулярите EE’, FF’, GG’ към равнината на лицето ABCD и намираме точките I и H на пресечната точка на правите FE и FG с тази равнина. IH ще бъде пресечната линия на желаната равнина и равнината на лицето ABCD. Нека означим с Q, R пресечните точки на правата IH с AB и BC. Нека начертаем прави PG и QE и означим R, S техните пресечни точки с AA 1 и CC 1. Нека начертаем прави SU, UV и RV, успоредни на PR, PQ и QS. Полученият шестоъгълник RPQSUV ще бъде желаната секция.

Упражнение 6 Построете сечение на куба с равнина, минаваща през точки E, F, лежащи на ръбовете на куба, успоредни на диагонала BD. Решение. Нека начертаем прави FG и EH успоредни на BD. Нека начертаем права линия FP, успоредна на EG и да свържем точките P и G. Свържем точките E и G, F и H. Полученият петоъгълник EGPFH ще бъде желаното сечение.

Построете сечение на призмата ABCA 1 B 1 C 1 с равнина, минаваща през точки E, F, G. Упражнение 8 Решение. Нека свържем точки E и F. Нека начертаем права FG и нейната пресечна точка с CC 1, означим H. Нека начертаем права EH и нейната пресечна точка с A 1 C 1, означим I. Нека свържем точките I и G. Полученият четириъгълник EFGI ще бъде желаното сечение.

Построете сечение на призмата ABCA 1 B 1 C 1 с равнина, минаваща през точки E, F, G. Упражнение 9 Решение. Нека начертаем права линия EG и означим H и I нейните точки на пресичане с CC 1 и AC. Нека начертаем права линия IF и нейната пресечна точка с AB ще означим K. Ще начертаем права FH и нейната пресечна точка с B 1 C 1 ще означим L. Нека свържем точките E и K, G и L. Полученият петоъгълник EKFLG ще бъде желаното сечение.

Построете сечение на призмата ABCA 1 B 1 C 1 с равнина, успоредна на AC 1, минаваща през точки D 1. Упражнение 10 Решение. През точка D начертаваме права, успоредна на AC 1 и означаваме E нейната пресечна точка с правата BC 1. Тази точка ще принадлежи на равнината на лицето ADD 1 A 1. Начертайте права DE и означете F нейната пресечна точка с ръб пр.н.е. Нека свържем с отсечка точките F и D. През точка D начертаваме права, успоредна на правата FD и означаваме с G точката на пресичане с ръба A 1 C 1, H – точката на пресичане с права A 1 B 1. Нека начертаем права DH и означим с P нейната пресечна точка с ръб AA 1. Свържем с отсечка точките P и G. Полученият четириъгълник EFIK ще бъде търсеното сечение.

Построете сечение на призмата ABCA 1 B 1 C 1 с равнина, минаваща през точки E на ребро BC, F на лице ABB 1 A 1 и G на лице ACC 1 A 1. Упражнение 11 Решение. Нека начертаем права GF и намерим точката H на нейното пресичане с равнината ABC. Нека начертаем права EH и означим с P и I нейните пресечни точки с AC и AB. Нека начертаем прави линии PG и IF и означим S, R и Q техните пресечни точки с A 1 C 1, A 1 B 1 и BB 1. Нека свържем точките E и Q, S и R. Полученият петоъгълник EQRSP ще бъде желаната секция.

Построете сечение на правилна шестоъгълна призма с равнина, минаваща през точки A, B, D 1. Упражнение 12 Решение. Забележете, че сечението ще минава през точка E 1. Нека начертаем права AB и да намерим нейните пресечни точки K и L с правите CD и FE. Нека начертаем правите KD 1, LE 1 и да намерим техните пресечни точки P, Q с правите CC 1 и FF 1. Шестоъгълникът ABPD 1 E 1 Q ще бъде желаното сечение.

Построете сечение на правилна шестоъгълна призма с равнина, минаваща през точки A, B’, F’. Упражнение 13 Решение. Нека начертаем отсечки AB’ и AF’. През точка B' прекарваме права, успоредна на AF', а нейната пресечна точка с EE 1 означаваме E'. През точка F' прекарваме права, успоредна на AB', а нейната пресечна точка с CC 1 означаваме като C'. През точките E’ и C’ прокарваме прави, успоредни на AB’ и AF’, а пресечните им точки с D 1 E 1 и C 1 D 1 означаваме като D’, D”. Нека свържем точки B’, C’; D', D"; F', E'. Полученият седмоъгълник AB’C’D”D’E’F’ ще бъде желаната секция.

Построете сечение на правилна шестоъгълна призма с равнина, минаваща през точките F’, B’, D’. Упражнение 14 Решение. Нека начертаем прави F’B’ и F’D’ и да намерим техните пресечни точки P и Q с равнината ABC. Нека направим директен PQ. Нека R означава пресечната точка на PQ и FC. Нека означим пресечната точка на F’R и CC 1 като C’. Нека свържем точки B’, C’ и C’, D’. През точка F' прекарваме прави, успоредни на C'D' и B'C', а техните пресечни точки с AA 1 и EE 1 означаваме като A' и E'. Нека свържем точки A’, B’ и E’, D’. Полученият шестоъгълник A’B’C’D’E’F’ ще бъде желаната секция.

Отговорът на този въпрос „какво е призма?“, Както е случаят с всеки геометричен термин, става ясен, ако изучавате свойствата на даден обект. Разбира се, можете да запомните сложен научен термин, според който призмата е един от видовете полиедри, чиито основи са успоредни, а страничните стени са паралелограми, но е по-лесно да запомните свойствата на обекта и след това можете дори независимо да формулирате концепцията за призма.

Призмени елементи

Доста простите свойства на призмата са трудни за разбиране, без първо да се проучат редица термини, които се използват за обозначаване на определени елементи от дадено геометрично тяло. Различават се следните елементи на призмата:

• Всяка призма има две основи, те са многоъгълници и са разположени в успоредни равнини.
• Странични лица - всички лица на призмата (с изключение на основите).
• Странична повърхност - набор от странични лица.
• Пълната повърхност е набор от странични лица и основи.
• Страничните ръбове са общи за страничните лица.
• Височината е сегмент, начертан от една основа към друга перпендикулярно на равнините, в които се намират.
• Диагонал - сегмент, начертан от един връх на призма до друг.
• Диагонална равнина - равнина, която минава през един от страничните ръбове на призмата и диагонала на една от основите.
• Диагонално сечение - сечение, образувано от пресечната точка на призма и диагонална равнина.
• Ортогонално сечение - сечение, образувано от пресечната точка на призма и равнина, която е перпендикулярна на страничния ръб.
• Развитие на призма - представяне на всички лица на призма в една равнина без изкривяване на размерите на лицата.

Свойства на призмата

Сега, когато сте запознати с елементите на призмата, можете да разгледате нейните основни свойства, както и формули, които ви позволяват да намерите обема и площта на фигура:

• Основите на призмата са равни многоъгълници.
• Страничните стени на призмата са успоредници.
• Всички странични ръбове на призмата са равни и успоредни един на друг.
• Ортогоналното сечение е перпендикулярно на всички странични ребра.

Формули за изчисляване на площ и обем

За да намерите обема на призмата, има много проста формула: V = S*h, където S е площта на призмата, h е височината.

За да намерите общата повърхност на призмата, трябва да намерите площта на нейната странична повърхност и да умножите получената стойност по два пъти основната площ. От своя страна, за да намерите площта на страничната повърхност, можете да използвате формулата: S = P*l, където P е периметърът на перпендикулярното сечение, l е дължината на страничното ребро.

Специални видове призми

Някои призми имат специални отличителни свойства и за тях са измислени специални имена:

• паралелепипед (знак - успоредници в основата);
• права призма (знак - страничните ребра са перпендикулярни на основите);
• правилна призма (характеристика - многоъгълник с равни страни и ъгли в основата, правоъгълници в основите);
• полуправилна призма (знак - квадратчета в основите).

Призма в оптиката

В оптиката призмата е обект с формата на геометрично тяло (призма), изработен от прозрачен материал. Свойствата на призмите се използват широко в оптиката, по-специално в биноклите. Призматичните бинокли използват двойна призма на Поро и призма на Абе, наречени на техните изобретатели. Тези призми, поради своята специална структура и разположение, създават един или друг оптичен ефект.

Призма на Поро е призма, чиято основа е равнобедрен триъгълник. Двойна призма на Поро се създава благодарение на специалното разположение в пространството на две призми на Поро. Двойната призма на Поро ви позволява да обърнете изображението, да увеличите оптичното разстояние между обектива и окуляра, като същевременно запазите външните размери.

Призма на Абе е призма, чиято основа е триъгълник с ъгли 30°, 60°, 90°. Призмата на Абе се използва, когато е необходимо да се обърне изображение, без да се отклонява зрителната линия към обекта.

Описание на презентацията по отделни слайдове:

1 слайд

Описание на слайда:

2 слайд

Описание на слайда:

Определение 1. Полиедър, две от чиито лица са многоъгълници със същото име, лежащи в успоредни равнини, и всеки два ръба, които не лежат в тези равнини, са успоредни, се нарича призма. Терминът "призма" е от гръцки произход и буквално означава "отрязан" (тяло). Многоъгълниците, лежащи в успоредни равнини, се наричат ​​основи на призмата, а останалите лица се наричат ​​странични лица. Следователно повърхността на призмата се състои от два равни многоъгълника (основи) и паралелограми (странични стени). Има триъгълни, четириъгълни, петоъгълни и др. в зависимост от броя на върховете на основата.

3 слайд

Описание на слайда:

Всички призми са разделени на прави и наклонени. (Фиг. 2) Ако страничният ръб на призмата е перпендикулярен на равнината на нейната основа, тогава такава призма се нарича права; Ако страничният ръб на призмата е перпендикулярен на равнината на нейната основа, тогава такава призма се нарича наклонена. Правата призма има правоъгълни странични стени. Перпендикуляр към равнините на основите, чиито краища принадлежат на тези равнини, се нарича височина на призмата.

4 слайд

Описание на слайда:

Свойства на призмата. 1. Основите на призмата са равни многоъгълници. 2. Страничните стени на призмата са успоредници. 3. Страничните ръбове на призмата са равни.

5 слайд

Описание на слайда:

Площта на призмата и площта на страничната повърхност на призмата. Повърхността на полиедъра се състои от краен брой многоъгълници (лица). Площта на многостена е сумата от площите на всичките му лица. Площта на призмите (Spr) е равна на сумата от площите на нейните странични лица (площ на страничната повърхност Sside) и площите на две основи (2Sbas) - равни многоъгълници: Spop = Sside + 2Sbas. Теорема. Площта на страничната повърхност на призмата е равна на произведението на периметъра на нейното перпендикулярно сечение и дължината на страничния ръб.

6 слайд

Описание на слайда:

Доказателство. Страничните стени на права призма са правоъгълници, чиито основи са страните на основата на призмата, а височините са равни на височината h на призмата. Sстрана на повърхността на призмата е равна на сбора S от посочените триъгълници, т.е. равна на сумата от произведенията на страните на основата и височината h. Изваждайки фактора h извън скоби, получаваме в скоби сумата от страните на основата на призмата, т.е. периметър P. И така, Sside = Ph. Теоремата е доказана. Последица. Площта на страничната повърхност на права призма е равна на произведението на периметъра на нейната основа и нейната височина. Наистина, в права призма основата може да се разглежда като перпендикулярно сечение, а страничният ръб е височината.

7 слайд

Описание на слайда:

Сечение на призма 1. Сечение на призма с равнина, успоредна на основата. Сечението образува многоъгълник, равен на многоъгълника, лежащ в основата. 2. Сечение на призма с равнина, минаваща през два несъседни странични ръба. В напречното сечение се образува успоредник. Това сечение се нарича диагонално сечение на призмата. В някои случаи резултатът може да бъде диамант, правоъгълник или квадрат.

8 слайд

Описание на слайда:

Слайд 9

Описание на слайда:

Определение 2. Правилна призма, чиято основа е правилен многоъгълник, се нарича правилна призма. Свойства на правилната призма 1. Основите на правилната призма са правилни многоъгълници. 2. Страничните стени на правилна призма са равни правоъгълници. 3. Страничните ръбове на правилна призма са равни.

10 слайд

Описание на слайда:

Сечение на правилна призма. 1. Разрез на правилна призма с равнина, успоредна на основата. Сечението образува правилен многоъгълник, равен на многоъгълника, лежащ в основата. 2. Сечение на правилна призма с равнина, минаваща през два несъседни странични ръба. В напречното сечение се образува правоъгълник. В някои случаи може да се образува квадрат.

11 слайд

Описание на слайда:

Симетрия на правилна призма 1. Центърът на симетрия с четен брой страни на основата е пресечната точка на диагоналите на правилна призма (фиг. 6)

Триъгълната призма е триизмерно тяло, образувано от комбиниране на правоъгълници и триъгълници. В този урок ще научите как да намерите вътрешния (обем) и външния (повърхнината) размер на триъгълна призма.

Триъгълна призма е пентаедър, образуван от две успоредни равнини, в които са разположени два триъгълника, образуващи две лица на призма, а останалите три лица са успоредници, образувани от страните на триъгълниците.

Елементи на триъгълна призма

Триъгълниците ABC и A 1 B 1 C 1 са призмени основи .

Четириъгълниците A 1 B 1 BA, B 1 BCC 1 и A 1 C 1 CA са странични стени на призмата .

Страните на лицата са призмени ребра(A 1 B 1, A 1 C 1, C 1 B 1, AA 1, CC 1, BB 1, AB, BC, AC), една триъгълна призма има общо 9 лица.

Височината на призмата е перпендикулярният сегмент, който свързва двете страни на призмата (на фигурата е h).

Диагоналът на призмата е сегмент, който има краища в два върха на призмата, които не принадлежат на едно и също лице. За триъгълна призма такъв диагонал не може да бъде начертан.

Основна площ е площта на триъгълното лице на призмата.

е сумата от площите на четириъгълните лица на призмата.

Видове триъгълни призми

Има два вида триъгълна призма: права и наклонена.

Правата призма има правоъгълни странични стени, а наклонената призма има успоредни странични стени (виж фигурата)

Призма, чиито странични ръбове са перпендикулярни на равнините на основите, се нарича права.

Призма, чиито странични ръбове са наклонени спрямо равнините на основите, се нарича наклонена.

Основни формули за изчисляване на триъгълна призма

Обем на триъгълна призма

За да намерите обема на триъгълна призма, трябва да умножите площта на нейната основа по височината на призмата.

Обем на призмата = основна площ х височина

V=S основно ч

Площ на страничната повърхност на призмата

За да намерите страничната повърхност на триъгълна призма, трябва да умножите периметъра на нейната основа по нейната височина.

Площ на страничната повърхност на триъгълна призма = периметър на основата x височина

S страна = P основна ч

Обща повърхност на призмата

За да намерите общата повърхност на призма, трябва да добавите нейната основна площ и странична повърхност.

тъй като S страна = P main. h, тогава получаваме:

Пълен оборот =P основно h+2S основен

Правилна призма - права призма, чиято основа е правилен многоъгълник.

Свойства на призмата:

Горната и долната основа на призмата са равни многоъгълници.
Страничните стени на призмата имат формата на успоредник.
Страничните ръбове на призмата са успоредни и равни.

Съвет: Когато изчислявате триъгълна призма, трябва да обърнете внимание на използваните единици. Например, ако основната площ е посочена в cm 2, тогава височината трябва да бъде изразена в сантиметри, а обемът в cm 3. Ако основната площ е в mm 2, тогава височината трябва да бъде изразена в mm, а обемът в mm 3 и т.н.

Пример за призма

В този пример:
— ABC и DEF съставляват триъгълните основи на призмата
- ABED, BCFE и ACFD са правоъгълни странични лица
— Страничните ръбове DA, EB и FC съответстват на височината на призмата.
— Точките A, B, C, D, E, F са върховете на призмата.

Задачи за изчисляване на триъгълна призма

Проблем 1. Основата на права триъгълна призма е правоъгълен триъгълник с катети 6 и 8, страничният ръб е 5. Намерете обема на призмата.
Решение:Обемът на права призма е равен на V = Sh, където S е площта на основата и h е страничният ръб. Площта на основата в този случай е площта на правоъгълен триъгълник (нейната площ е равна на половината от площта на правоъгълник със страни 6 и 8). Така обемът е равен на:

V = 1/2 6 8 5 = 120.

Задача 2.

През средната линия на основата на триъгълната призма е начертана равнина, успоредна на страничния ръб. Обемът на отсечената триъгълна призма е 5. Намерете обема на първоначалната призма.

Решение:

Обемът на призмата е равен на произведението на площта на основата и височината: V = S основа h.

Триъгълникът, лежащ в основата на оригиналната призма, е подобен на триъгълника, лежащ в основата на отсечената призма. Коефициентът на подобие е 2, тъй като сечението е начертано през средната линия (линейните размери на по-големия триъгълник са два пъти по-големи от линейните размери на по-малкия). Известно е, че площите на подобни фигури се отнасят като квадрат на коефициента на подобие, т.е. S 2 = S 1 k 2 = S 1 2 2 = 4S 1 .

Основната площ на цялата призма е 4 пъти по-голяма от основната площ на отрязаната призма. Височините на двете призми са еднакви, така че обемът на цялата призма е 4 пъти обема на отсечената призма.

Така необходимият обем е 20.