Напомняме ви, че този урок разбира силови свойствас естествени показатели и нула. Рационалните степени и техните свойства ще бъдат разгледани в уроците в 8. клас.

Естественият показател има няколко важни свойства, които улесняват изчисляването в примери за експонента.

Имот номер 1
Продукт от градуси

Помня!

При умножаване на градуси със същите основи основата остава непроменена, а степените се събират.

a m · a n = a m + n, където "a" е произволно число, а "m", "n" са всякакви естествени числа.

Това свойство на градуси също засяга произведението от три или повече градуса.

• Опростете израза.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Представя се като степен.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Представя се като степен.
  (0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Важно!

Моля, имайте предвид, че в посочения имот ставаше дума само за умножение на степени с на същото основание ... Не се отнася за тяхното добавяне.

Не можете да замените сумата (3 3 + 3 2) с 3 5. Това е разбираемо, ако
брои (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 и 3 5 = 243

Имот номер 2
Частни степени

Помня!

При разделяне на степени със същите основи основата остава непроменена, а степента на делителя се изважда от степента на делимото.

Използвайки свойства #1 и #2, можете лесно да опростите изразите и да извършите изчисления.

• Пример. Опростете израза.
  4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 - 4m - 3 = 4 2m + 5
• Пример. Намерете стойността на израз, като използвате свойствата на степента.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  Важно!

  Моля, имайте предвид, че в имот 2 става дума само за делене на степени с еднакви основи.

  Не можете да замените разликата (4 3 −4 2) с 4 1. Това е разбираемо, ако се брои (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 и 4 1 = 4

  Бъди внимателен!

  Имот номер 3
  Експоненция

  Помня!

  При повишаване на степента в степен, основата на степента остава непроменена, а степените се умножават.

  (a n) m = a n · m, където "a" е произволно число, а "m", "n" са всякакви естествени числа.

  
  

  Свойства 4
  Степен на работа

  Помня!

  При повишаване в степен на произведение всеки от факторите се издига до степен. След това резултатите се умножават.

  (a · b) n = a n · b n, където "a", "b" са всякакви рационални числа; "N" е произволно естествено число.

  • Пример 1.
    (6 a 2 b 3 s) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 s 1 2 = 36 a 4 b 6 s 2
    
  • Пример 2.
    (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

  Важно!

  Имайте предвид, че свойство № 4, подобно на други свойства на мощността, се прилага в обратен ред.

  (a n b n) = (a b) n

  Тоест, за да умножите градуси със същите показатели, можете да умножите основите, а експонентът да остане непроменен.

  • Пример. Изчисли.
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000
  • Пример. Изчисли.
    0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

  В по-сложни примери може да има случаи, когато умножението и деленето трябва да се извършват върху степени с различни основи и различни експоненти. В този случай ви съветваме да постъпите по следния начин.

  Например, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
  

  Пример за повишаване на десетична степен.

  4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

  Свойства 5
  Степен на коефициент (фракция)

  Помня!

  За да повишите частно на степен, можете да вдигнете отделен дивидент и делител на тази степен и да разделите първия резултат на втория.

  (a: b) n = a n: b n, където “a”, “b” са всякакви рационални числа, b ≠ 0, n е всяко естествено число.

  • Пример. Представете израза под формата на частни степени.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Напомняме, че частното може да се представи като дроб. Затова на следващата страница ще се спрем по-подробно на темата за повдигане на дроб на степен.

Как умножавате градусите? Кои градуси могат да се умножават и кои не? Как да умножим число по градус?

В алгебрата произведението от степени може да се намери в два случая:

1) ако степените имат еднакви основи;

2) ако градусите имат еднакви показатели.

При умножаване на градуси със същите основи, основата трябва да бъде оставена същата, а индикаторите трябва да се добавят:

При умножаване на градуси със същите показатели общият индикатор може да бъде изваден от скобите:

Нека да разгледаме как да умножаваме градуси с помощта на конкретни примери.

Единицата в експонентата не се записва, но когато градусите се умножат, те вземат предвид:

При умножаване броят на градусите може да бъде произволен. Трябва да се помни, че не е необходимо да пишете знака за умножение преди буквата:

В изразите първо се извършва степенуване.

Ако трябва да умножите число по степен, първо трябва да извършите степенуването и едва след това умножението:

www.algebraclass.ru

Събиране, изваждане, умножение и деление на степени

Събиране и изваждане на степени

Очевидно числата със степени могат да се добавят, както и други количества , като ги добавите един по един с техните знаци.

И така, сборът от a 3 и b 2 е a 3 + b 2.
Сборът от a 3 - b n и h 5 -d 4 е a 3 - b n + h 5 - d 4.

Коефициенти същите степени на едни и същи променливиможе да се добавя или изважда.

И така, сборът от 2a 2 и 3a 2 е 5a 2.

Очевидно е също, че ако вземете два квадрата a, или три квадрата a, или пет квадрата a.

Но градусите различни променливии различни степени идентични променливи, трябва да бъдат добавени чрез добавянето им с техните знаци.

И така, сумата от 2 и 3 е сумата от 2 + a 3.

Очевидно е, че квадратът на a и кубът на a не са равни на два пъти квадрата на a, а на два пъти куба на a.

Сборът от a 3 b n и 3a 5 b 6 е a 3 b n + 3a 5 b 6.

Изважданеградуси се извършва по същия начин като събирането, с изключение на това, че знаците на извадените трябва да се променят съответно.

Или:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Умножение на градуси

Числата със степени могат да се умножават, подобно на други величини, като се записват едно след друго, със или без знак за умножение между тях.

И така, резултатът от умножаването на a 3 по b 2 е a 3 b 2 или aaabb.

Или:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Резултатът в последния пример може да бъде подреден чрез добавяне на същите променливи.
Изразът ще приеме формата: a 5 b 5 y 3.

Като сравняваме няколко числа (променливи) със степени, можем да видим, че ако две от тях се умножат, тогава резултатът е число (променлива) със степен, равна на суматастепени на термини.

И така, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.

Тук 5 е степента на резултата от умножението, равна на 2 + 3, сумата от степените на членовете.

И така, a n .a m = a m + n.

За a n, a се взема като фактор толкова пъти, колкото е равна степента на n;

А m се приема като фактор толкова пъти, колкото е степента на m;

Ето защо, градуси със същите стъбла могат да се умножат чрез добавяне на степените.

И така, a 2 .a 6 = a 2 + 6 = a 8. И x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6.

Или:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n + 1

Умножете (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Отговор: x 4 - y 4.
Умножете (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Това правило е вярно и за числа, чиито експоненти са - отрицателен.

1. И така, a -2 .a -3 = a -5. Това може да се запише като (1 / aa).(1 / aaa) = 1 / aaaaa.

2.y -n .y -m = y -n-m.

3.a -n .a m = a m-n.

Ако a + b се умножи по a - b, резултатът е a 2 - b 2: т.е

Резултатът от умножаването на сбора или разликата на две числа е равен на сбора или разликата на техните квадрати.

Ако сборът и разликата от две числа се повдигнат до квадрат, резултатът ще бъде равен на сбора или разликата от тези числа в четвъртистепен.

И така, (a - y). (A + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2) ⋅ (a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4) ⋅ (a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Деление на степени

Числата на степента могат да бъдат разделени, подобно на други числа, чрез изваждане от делителя или чрез поставянето им в дробна форма.

Така че a 3 b 2 разделено на b 2 е равно на 3.

5, разделено на 3, изглежда като $ \ frac $. Но това е равно на 2. В поредица от числа
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
всяко число може да бъде разделено на друго и степента ще бъде равно на разликастепен на делими числа.

При разделяне на степени с една и съща основа техните показатели се изваждат..

И така, y 3: y 2 = y 3-2 = y 1. Тоест $ \ frac = y $.

И a n + 1: a = a n + 1-1 = a n. Тоест $ \ frac = a ^ n $.

Или:
y 2m: y m = y m
8a n + m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Правилото важи и за числата с отрицателенстойностите на градусите.
Резултатът от разделянето на -5 на -3 е -2.
Също така, $ \ frac: \ frac = \ frac \ Frac = \ frac = \ frac $.

h 2: h -1 = h 2 + 1 = h 3 или $ h ^ 2: \ frac = h ^ 2. \ frac = h ^ 3 $

Необходимо е много добре да се овладее умножението и деленето на степени, тъй като такива операции се използват много широко в алгебрата.

Примери за решаване на примери с дроби, съдържащи числа със степени

1. Намаляване на експонентите в $ \ frac $ Отговор: $ \ frac $.

2. Намаляване на експонентите в $ \ frac $. Отговор: $ \ frac $ или 2x.

3. Намалете степените a 2 / a 3 и a -3 / a -4 и ги доведете до общия знаменател.
a 2 .a -4 е -2 първи числител.
a 3 .a -3 е a 0 = 1, вторият числител.
a 3 .a -4 е -1, общият числител.
След опростяване: a -2 / a -1 и 1 / a -1.

4. Намалете степените 2a 4 / 5a 3 и 2 / a 4 и ги доведете до общия знаменател.
Отговор: 2a 3 / 5a 7 и 5a 5 / 5a 7 или 2a 3 / 5a 2 и 5 / 5a 2.

5. Умножете (a 3 + b) / b 4 по (a - b) / 3.

6. Умножете (a 5 + 1) / x 2 по (b 2 - 1) / (x + a).

7. Умножете b 4 / a -2 по h -3 / x и a n / y -3.

8. Разделете a 4 / y 3 на a 3 / y 2. Отговор: а/г.

Свойства на степента

Напомняме ви, че този урок разбира силови свойствас естествени показатели и нула. Рационалните степени и техните свойства ще бъдат разгледани в уроците в 8. клас.

Естественият показател има няколко важни свойства, които улесняват изчисляването в примери за експонента.

Имот номер 1
Продукт от градуси

При умножаване на градуси със същите основи основата остава непроменена, а степените се събират.

a m · a n = a m + n, където "a" е произволно число, а "m", "n" са всякакви естествени числа.

Това свойство на градуси също засяга произведението от три или повече градуса.

Моля, имайте предвид, че в посочения имот става въпрос само за умножение на степени със същите основи.... Не се отнася за тяхното добавяне.

Не можете да замените сумата (3 3 + 3 2) с 3 5. Това е разбираемо, ако
брои (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 и 3 5 = 243

Имот номер 2
Частни степени

При разделяне на степени със същите основи основата остава непроменена, а степента на делителя се изважда от степента на делимото.

Изчисли.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Пример. Решете уравнението. Ние използваме собствеността на частните степени.
3 8: t = 3 4

Отговор: t = 3 4 = 81

Използвайки свойства #1 и #2, можете лесно да опростите изразите и да извършите изчисления.

Пример. Опростете израза.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 - 4m - 3 = 4 2m + 5

Пример. Намерете стойността на израз, като използвате свойствата на степента.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Моля, имайте предвид, че в имот 2 става дума само за делене на степени с еднакви основи.

Не можете да замените разликата (4 3 −4 2) с 4 1. Това е разбираемо, ако изчислим (4 3 −4 2) = (64 - 16) = 48 и 4 1 = 4

Имот номер 3
Експоненция

При повишаване на степента в степен, основата на степента остава непроменена, а степените се умножават.

(a n) m = a n · m, където "a" е произволно число, а "m", "n" са всякакви естествени числа.

Имайте предвид, че свойство № 4, подобно на други свойства на мощността, се прилага в обратен ред.

(a n b n) = (a b) n

Тоест, за да умножите градуси със същите показатели, можете да умножите основите, а експонентът да остане непроменен.

В по-сложни примери може да има случаи, когато умножението и деленето трябва да се извършват върху степени с различни основи и различни експоненти. В този случай ви съветваме да постъпите по следния начин.

Например, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Пример за повишаване на десетична степен.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Свойства 5
Степен на коефициент (фракция)

За да повишите частно на степен, можете да вдигнете отделен дивидент и делител на тази степен и да разделите първия резултат на втория.

(a: b) n = a n: b n, където “a”, “b” са всякакви рационални числа, b ≠ 0, n е всяко естествено число.

Напомняме, че частното може да се представи като дроб. Затова на следващата страница ще се спрем по-подробно на темата за повдигане на дроб на степен.

Степени и корени

Операции с правомощия и корени. Степен с отрицателен ,

нулева и дробна индикатор. За изразите, които нямат смисъл.

Операции с градуси.

1. При умножаване на градуси със същата основа се добавят техните показатели:

а м · a n = a m + n.

2. При деление на степени с една и съща основа, техните показатели приспаднати .

3. Степента на произведението на два или повече фактора е равна на произведението на степените на тези фактори.

4. Степента на съотношението (дроба) е равна на съотношението на степените на дивидента (числителя) и делителя (знаменателя):

(а / б) n = a n / b n.

5. При повишаване на степен до степен техните показатели се умножават:

Всички горепосочени формули се четат и изпълняват в двете посоки отляво надясно и обратно.

ПРИМЕР (2 · 3 · 5/15) ² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900/225 = 4 .

Коренни операции. Във всички формули по-долу символът означава аритметичен корен(радикалният израз е положителен).

1. Коренът на произведението на няколко фактора е равен на произведението на корените на тези фактори:

2. Коренът на съотношението е равен на съотношението на корените на дивидента и делителя:

3. При издигане на корен на степен е достатъчно да се вдигне до тази степен корен номер:

4. Ако увеличим степента на корена с m пъти и в същото време повишим радикалното число на m-та степен, тогава стойността на корена няма да се промени:

5. Ако намалим степента на корена с коефициент m и в същото време извлечем корена на m -та степен от радикалното число, тогава стойността на корена няма да се промени:

Разширяване на понятието степен. Досега разглеждахме степени само с естествен степен; но действията със сили и корени също могат да доведат до отрицателен, нулаи дробнаиндикатори. Всички тези показатели за степен изискват допълнително определение.

Степен с отрицателен показател. Степента на число с отрицателен (целочислен) показател се дефинира като единица, разделена на степента на същото число с степен, равна на абсолютната стойност на отрицателен показател:

Сега формулата а м : a n = a m - nможе да се използва не само за мпо-голям от н, но и при мпо-малко от н .

ПРИМЕР а 4: а 7 = а 4 — 7 = а — 3 .

Ако искаме формулата а м : a n = а м — нбеше справедливо, когато m = n, имаме нужда от дефиниция на нулевата степен.

Нулева оценка. Силата на всяко ненулево число с нула степен е 1.

ПРИМЕР 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Дробен показател. За да повишите реално число a на степен m / n, трябва да извлечете n-тия корен от m-та степен на това число a:

За изразите, които нямат смисъл. Има няколко такива израза.

където а ≠ 0 , не съществува.

Наистина, ако приемем това х- някакво число, тогава в съответствие с дефиницията на операцията на деление имаме: а = 0· х, т.е. а= 0, което противоречи на условието: а ≠ 0

— произволно число.

Наистина, ако приемем, че този израз е равен на някакво число х, тогава според дефиницията на операцията за разделяне имаме: 0 = 0 х... Но това равенство важи за произволно число х, както се изисква за доказване.

0 0 — произволно число.

Решение. Помислете за три основни случая:

1) х = 0 – тази стойност не отговаря на даденото уравнение

2) при х> 0 получаваме: х / х= 1, т.е. 1 = 1, откъдето следва, че

Какво х- произволно число; но като се има предвид, че в

нашия случай х> 0, отговорът е х > 0 ;

Правила за умножение за степени с различен корен

СТЕПЕН С РАЦИОНАЛЕН ПОКАЗАТЕЛ,

ГРАДУСНА ФУНКЦИЯ IV

§ 69. Умножение и деление на степени с еднакви основи

Теорема 1.За да умножите градуси със същите основи, достатъчно е да добавите експонентите и да оставите основата същата, т.е.

Доказателство.По дефиниция на степента

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Разгледахме произведението на две степени. Всъщност доказаното свойство е вярно за произволен брой степени със същите основи.

Теорема 2.За да разделим степени със същите основи, когато индексът на делителя е по-голям от индекса на делителя, достатъчно е да извадим индекса на делителя от индекса на делителя и да оставим основата същата, т.е. в m> n

(а =/= 0)

Доказателство.Припомнете си, че частното от деленето на едно число на друго е число, което, когато се умножи по делител, дава дивидента. Следователно, докажете формулата където а = / = 0, това е същото като доказването на формулата

Ако m> n , след това числото t - n ще бъде естествено; следователно, по теорема 1

Теорема 2 е доказана.

Трябва да се отбележи, че формулата

доказано от нас само при предположението, че m> n ... Следователно все още не е възможно да се направят от доказаното например следните изводи:

Освен това все още не сме разгледали степени с отрицателни експоненти и все още не знаем какво значение може да се даде на израза 3 - 2 .

Теорема 3. За да повишите степента до степен, достатъчно е да умножите индикаторите, като оставите основата на мощността същата, това е

Доказателство.Използвайки дефиницията на степента и теорема 1 от този раздел, получаваме:

Q.E.D.

Например, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Устно.) Определете х от уравнения:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 х ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 х ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 х ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 х .

519. (U st n about.) За опростяване:

520. Опростете:

521. Тези изрази трябва да бъдат представени под формата на степени със същите основи:

1) 32 и 64; 3) 8 5 и 16 3; 5) 4 100 и 32 50;

2) -1000 и 100; 4) -27 и -243; 6) 81 75 8 200 и 3 600 4 150.

Урок на тема: "Правилата за умножение и деление на степени с еднакви и различни показатели. Примери"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, пожелания. Всички материали са проверени от антивирусна програма.

Учебни помагала и симулатори в онлайн магазин Интеграл за 7 клас
Ръководство за учебника Ю.Н. Макаричева Ръководство за учебника A.G. Мордкович

Целта на урока: научете се как да извършвате действия с числа.

Като начало, нека си спомним понятието "степен на число". Израз като $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) $ може да бъде представен като $ a ^ n $.

Обратното също е вярно: $ a ^ n = \ подскоба (a * a * \ ldots * a) _ (n) $.

Това равенство се нарича "нотация на степента като продукт". Ще ни помогне да определим как да умножаваме и разделяме градуси.
Помня:
аЕ основата на степента.
н- степен.
Ако n = 1, следователно, числото авзе веднъж и съответно: $ a ^ n = a $.
Ако n = 0, тогава $ a ^ 0 = 1 $.

Защо се случва това, можем да разберем, когато се запознаем с правилата за умножение и разделяне на степени.

Правила за умножение

Пример.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Това свойство е удобно за използване за опростяване на работата при повишаване на число на голяма степен.
Пример.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

б) Ако степените се умножат с различни основи, но една и съща степен.
За да $ a ^ n * b ^ n $, запишете степените като произведение: $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) * \ underbrace (b * b * \ ldots * b) _ ( м) $.
Ако разменим факторите и преброим получените двойки, получаваме: $ \ underbrace ((a * b) * (a * b) * \ ldots * (a * b)) _ (n) $.

Следователно, $ a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n $.

Пример.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Правила за разделяне

Значи е необходимо $ \ frac (a ^ n) (a ^ m) $, където n> m.

Нека запишем степените като дроб:

$ \ frac (\ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n)) (\ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (m)) $.

Сега нека отменим дроба.

Оказва се: $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n-m) = a ^ (n-m) $.
означава, $ \ frac (a ^ n) (a ^ m) = a ^ (n-m) $.

Това свойство ще помогне да се обясни ситуацията с повишаване на числото до нулева степен. Да предположим, че n = m, тогава $ a ^ 0 = a ^ (n-n) = \ frac (a ^ n) (a ^ n) = 1 $.

Примери.
$ \ frac (3 ^ 3) (3 ^ 2) = 3 ^ (3-2) = 3 ^ 1 = 3 $.

$ \ frac (2 ^ 2) (2 ^ 2) = 2 ^ (2-2) = 2 ^ 0 = 1 $.

б) Основите на степента са различни, показателите са еднакви.
Да кажем, че имате нужда от $ \ frac (a ^ n) (b ^ n) $. Нека запишем степените на числата като дроб:

$ \ frac (\ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n)) (\ underbrace (b * b * \ ldots * b) _ (n)) $.

Пример.
$ \ frac (4 ^ 3) (2 ^ 3) = (\ frac (4) (2)) ^ 3 = 2 ^ 3 = 8 $.

Една от основните характеристики в алгебрата, а и в цялата математика, е степента. Разбира се, в 21-ви век всички изчисления могат да се извършват на онлайн калкулатор, но е по-добре за развитието на мозъците да се научите как да го правите сами.

В тази статия ще разгледаме най-важните въпроси относно това определение. А именно, ще разберем какво представлява той като цяло и какви са основните му функции, какви свойства има в математиката.

Нека да разгледаме примери за това как изглежда изчислението, какви са основните формули. Нека анализираме основните видове величини и как те се различават от другите функции.

Нека разберем как да решим различни проблеми, използвайки тази стойност. Нека покажем с примери как се повишава до нула степен, ирационална, отрицателна и т.н.

Онлайн калкулатор за степенуване

Каква е степента на число

Какво означава изразът „повдигане на число на степен“?

Силата n на числото a е произведение на факторите на стойността a n пъти подред.

Математически изглежда така:

a n = a * a * a *… a n.

Например:

• 2 3 = 2 в третата стъпка. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 в стъпка. две = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 в стъпка. четири = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 в 5 стъпки. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 = 10 в 4 стъпки. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

По-долу ще има таблица с квадрати и кубчета от 1 до 10.

Таблица с оценки от 1 до 10

По-долу ще бъдат дадени резултатите от издигането на естествени числа в положителни степени - "от 1 до 100".

Силови свойства

Какво е характерно за такава математическа функция? Нека разгледаме основните свойства.

Учените са установили следното признаци, характерни за всички степени:

• a n * a m = (a) (n + m);
• a n: a m = (a) (n-m);
• (a b) m = (a) (b * m).

Нека проверим с примери:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. От друга страна 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

По същия начин: 2 3: 2 2 = 8/4 = 2. В противен случай 2 3-2 = 2 1 = 2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. И ако е различно? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Както виждате, правилата работят.

Но какво да кажем за със събиране и изваждане? Просто е. Първо се извършва степенуването и едва след това събирането и изваждането.

Нека видим някои примери:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16. Моля, обърнете внимание: правилото няма да работи, ако първо извадите: (5 - 3) 2 = 2 2 = 4.

Но в този случай първо трябва да изчислите събирането, тъй като в скоби има действия: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Как се произвежда изчисления в по-сложни случаи? Редът е същият:

• ако има скоби - трябва да започнете с тях;
• след това степенуване;
• след това изпълнете действията на умножение, деление;
• след събиране, изваждане.

Има специфични свойства, които не са характерни за всички степени:

1. n-тият корен от числото a в степен m ще бъде записан като: a m / n.
2. При издигане на дроб на степен: и числителят, и знаменателят са обект на тази процедура.
3. При повишаване на произведението на различни числа в степен, изразът ще съответства на произведението на тези числа в дадена степен. Тоест: (a * b) n = a n * b n.
4. Когато повишавате число до отрицателна стъпка., Трябва да разделите 1 на число в същия st-no, но със знак "+".
5. Ако знаменателят на дроба е в отрицателна степен, тогава този израз ще бъде равен на произведението на числителя и знаменателя в положителна степен.
6. Всяко число в степен 0 = 1 и в стъпка. 1 = за себе си.

Тези правила са важни в отделни случаи, ще ги разгледаме по-подробно по-долу.

Степен с отрицателен показател

Какво да направите, когато степента е минус, т.е. когато степента е отрицателна?

Въз основа на свойства 4 и 5(виж точката по-горе), Оказва се:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1/5 2 = 1/25.

И обратно:

1 / A (- n) = A n, 1/2 (-3) = 2 3 = 8.

И ако дроб?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.

Степен с естествен показател

Тя се разбира като степен с показатели, равни на цели числа.

Неща, които трябва да запомните:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1 ... и т.н.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3 ... и т.н.

Освен това, ако (-a) 2 n +2, n = 0, 1, 2 ... тогава резултатът ще бъде със знак "+". Ако отрицателно число се повиши на нечетна степен, тогава обратното.

Общите свойства и всички описани по-горе специфични характеристики също са характерни за тях.

Дробна степен

Този изглед може да бъде написан по схемата: A m / n. Той се чете като: n-ти корен от числото A в степен m.

Можете да правите каквото искате с дробен степен: да го намалите, да го разложите на части, да го увеличите до различна степен и т.н.

Ирационална оценка

Нека α е ирационално число и A ˃ 0.

За да разберете същността на степен с такъв индикатор, разгледайте различни възможни случаи:

• A = 1. Резултатът ще бъде равен на 1. Тъй като има аксиома - 1 във всички степени е равно на единица;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2, r 1 ˂ r 2 - рационални числа;

• 0˂А˂1.

В този случай, напротив: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 при същите условия като във втория параграф.

Например, степента е π.Рационално е.

r 1 - в този случай е равно на 3;

r 2 - ще бъде равно на 4.

Тогава за A = 1, 1 π = 1.

A = 2, след това 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

А = 1/2, тогава (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Тези степени се характеризират с всички описани по-горе математически операции и специфични свойства.

Заключение

Да обобщим - за какво са тези стойности, какво е предимството на такива функции? Разбира се, на първо място, те опростяват живота на математиците и програмистите при решаване на примери, тъй като ви позволяват да сведете до минимум изчисленията, да съкратите алгоритмите, да организирате данни и много други.

Къде другаде може да бъде полезно това знание? Във всяка работеща специалност: медицина, фармакология, дентална медицина, строителство, инженеринг, инженеринг, дизайн и др.

Ако трябва да повишите определено число до степен, можете да използвате. И сега ще се спрем по-подробно на свойства на градусите.

Експоненциални числаотварят големи възможности, те ни позволяват да трансформираме умножението в събиране, а събирането е много по-лесно от умножаването.

Например, трябва да умножим 16 по 64. Продуктът на умножението на тези две числа е 1024. Но 16 е 4x4, а 64 е 4x4x4. Тоест 16 на 64 = 4x4x4x4x4, което също е 1024.

Числото 16 може да бъде представено и като 2x2x2x2, а 64 като 2x2x2x2x2x2 и ако умножим, отново получаваме 1024.

Сега нека използваме правилото. 16 = 4 2 или 2 4, 64 = 4 3 или 2 6, в същото време 1024 = 6 4 = 4 5 или 2 10.

Следователно нашата задача може да се запише по различен начин: 4 2 x4 3 = 4 5 или 2 4 x2 6 = 2 10 и всеки път получаваме 1024.

Можем да решим редица подобни примери и да видим, че умножаването на числа със степени намалява до добавяне на експоненти, или експоненциална, разбира се, при условие че основите на факторите са равни.

Така, без да умножаваме, можем веднага да кажем, че 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.

Това правило е вярно и при деление на числа със степени, но в този случай, напр степента на делителя се изважда от степента на дивидента... Така 2 5: 2 3 = 2 2, което в обикновените числа е 32: 8 = 4, тоест 2 2. Нека обобщим:

a m х a n = a m + n, a m: a n = a m-n, където m и n са цели числа.

На пръв поглед може да изглежда какво е умножение и деление на числа със степенине е много удобно, защото първо трябва да представите числото в експоненциална форма. Не е трудно да представим числата 8 и 16 в тази форма, тоест 2 3 и 2 4, но как да направите това с числата 7 и 17? Или какво да направите, когато числото може да бъде представено в експоненциална форма, но основите на експоненциалните изрази на числата са много различни. Например, 8 × 9 е 2 3 × 3 2, в който случай не можем да сумираме степените. Нито 2 5, нито 3 5 е отговорът, нито отговорът се намира в интервала между тези две числа.

Тогава си струва ли изобщо да се занимавате с този метод? Определено си заслужава. Той предлага огромни предимства, особено за сложни и отнемащи време изчисления.