Сибирски държавен университет по телекомуникации и информатика

Катедра по висша математика

по дисциплина: "Теория на вероятностите и математическа статистика"

"Формула на общата вероятност и формула на Байес (Байесова) и тяхното приложение"

Завършено:

Ръководител: професор Б. П. Зеленцов

Новосибирск, 2010 г

Въведение 3

1. Формула за обща вероятност 4-5

2. Формула на Байес (Байес) 5-6

3. Задачи с решения 7-11

4. Основните области на приложение на байесовата формула (Байесова) 11

Заключение 12

Литература 13

Въведение

Теорията на вероятностите е един от класическите клонове на математиката. Има дълга история. Основите на този клон на науката са положени от велики математици. Ще назова например Ферма, Бернули, Паскал.
По-късното развитие на теорията на вероятностите е определено в трудовете на много учени.
Учени от нашата страна дадоха голям принос към теорията на вероятностите:
П. Л. Чебишев, А. М. Ляпунов, А. А. Марков, А. Н. Колмогоров. Вероятностните и статистическите методи вече са дълбоко вградени в приложенията. Използват се във физиката, инженерството, икономиката, биологията и медицината. Тяхната роля особено нарасна във връзка с развитието на компютърните технологии.

Например, за изследване на физически явления се извършват наблюдения или експерименти. Техните резултати обикновено се записват като стойности на някои от наблюдаваните величини. Когато повтаряме експерименти, откриваме разпръснати резултати. Например, повтаряйки измервания на едно и също количество със същото устройство при поддържане на определени условия (температура, влажност и т.н.), получаваме резултати, които поне малко, но все пак се различават един от друг. Дори многобройните измервания не дават възможност да се предвиди точно следващото измерване. В този смисъл те казват, че резултатът от измерването е произволна величина. Още по-очевиден пример за произволна променлива е номерът на печеливш лотариен билет. Има много други примери за случайни променливи. Въпреки това в света на инцидентите се откриват определени закономерности. Математическият апарат за изучаване на такива модели се осигурява от теорията на вероятностите.
По този начин теорията на вероятностите се занимава с математическия анализ на случайни събития и произволни променливи, свързани с тях.

1. Формула на общата вероятност.

Нека има група от събития Х 1 ,Х 2 ,..., H nсъс следните свойства:

1) всички събития са несъвместими по двойки: H i

2) тяхното обединение образува пространството на елементарните резултати W:

В този случай ще кажем това Х 1 , Х 2 ,...,H nформа пълна група от събития... Такива събития понякога се наричат хипотези.

Нека бъде А- някакво събитие: АÌW (диаграмата на Вен е показана на фигура 8). Тогава има формула за обща вероятност:

П(А) = П(А/Х 1)П(Х 1) + П(А/Х 2)П(Х 2) + ...+П(А/H n)П(H n) =

Доказателство. Очевидно: А =

П(А) = П(

Като се има предвид, че по теоремата за умножение П(

Пример... В магазина се продават електрически лампи, произведени от три завода, като делът на първия завод е 30%, втория - 50%, а третия - 20%. Дефектът в техните продукти е съответно 5%, 3% и 2%. Каква е вероятността произволно избрана лампа в магазин да се окаже дефектна.

Нека събитието Х 1 е, че избраната лампа идва от първата фабрика, Х 2 на втория, Х 3 - при третото растение. Очевидно:

П(Х 1) = 3/10, П(Х 2) = 5/10, П(Х 3) = 2/10.

Нека събитието Асе състои във факта, че избраната лампа се оказа дефектна; A/H iозначава събитие, състоящо се във факта, че дефектна лампа е избрана от лампи, произведени в ито растение. От формулировката на проблема следва:

П (А/ Х 1) = 5/10; П(А/ Х 2) = 3/10; П(А/ Х 3) = 2/10

Използвайки формулата за общата вероятност, получаваме

2. Формула на Байес (Байес)

Нека бъде Х 1 ,Х 2 ,...,H n- пълна група от събития и АÌ W - някакво събитие. След това, според формулата за условната вероятност

Тук П(H k/А) - условна вероятност за събитие (хипотеза) H kили вероятността това H kсе изпълнява при условие, че събитието Асе случи.

Чрез теоремата за вероятностното умножение числителят на формула (1) може да бъде представен като

П = П = П(А/H k)П(H k)

За да представите знаменателя на формула (1), можете да използвате формулата за общата вероятност

П(А)

Сега от (1) може да се получи формула, наречена формула на Байес:

Формулата на Байес изчислява вероятността за реализация на хипотезата H kпри условие, че събитието Асе случи. Формулата на Байес също се нарича формулата за вероятността от хипотези.Вероятност П(H k) се нарича априорна вероятност на хипотезата H kи вероятността П(H k/А) - апостериорната вероятност.

Теорема. Вероятността за хипотеза след тестване е равна на произведението на вероятността за хипотеза преди тестване на съответната условна вероятност за събитие, настъпило по време на тестването, разделена на общата вероятност за това събитие.

Пример.Помислете за горния проблем за електрическите лампи, просто променете въпроса за проблема. Да предположим, че клиент е купил крушка в този магазин и се оказа дефектна. Намерете вероятността тази лампа да е произведена във втора фабрика. Величината П(Х 2) = 0,5 в този случай, това е априорната вероятност за събитие, че закупената лампа е произведена във втори завод. След като получихме информация, че закупената лампа е дефектна, можем да коригираме нашата оценка за възможността за производство на тази лампа във втория завод, като изчислим апостериорната вероятност за това събитие.

Нека напишем формулата на Байес за този случай

От тази формула получаваме: П(Х 2 /А) = 15/34. Както можете да видите, получената информация доведе до факта, че вероятността за събитието, което ни интересува, е по-ниска от предходната вероятност.

3. Проблеми с решения.

Цел 1.Магазинът е получил нови продукти от три предприятия. Процентът на тези продукти е както следва: 20% - продукти на първа фирма, 30% - продукти на втора фирма, 50% - продукти на трета фирма; освен това 10% от продуктите на първото предприятие са с най-високо качество, на второто предприятие - 5% и на третото - 20% от продуктите с най-високо качество. Намерете вероятността случайно закупен нов продукт да е от най-висок клас.

Решение.Нека означим с Vв случай, че е закупен първокласен продукт чрез

Можете да приложите формулата за общата вероятност и в нашата нотация:

Замествайки тези стойности във формулата за общата вероятност, получаваме желаната вероятност:

Цел 2.Един от тримата стрелци е извикан на линията на огъня и прави два изстрела. Вероятността да се уцели целта с един изстрел за първия стрелец е 0,3, за втория - 0,5; за третия - 0,8. Целта не е улучена. Намерете вероятността изстрелите да бъдат направени от първия стрелец.

Цел на работата:да се формират уменията за решаване на задачи от теорията на вероятностите по формулата на общата вероятност и формулата на Байес.

Формула за обща вероятност

Вероятност за събитие А, което може да се случи само ако се появи едно от несъвместимите събития B x, B 2, ..., B p,образувайки пълна група, е равна на сумата от произведенията на вероятностите на всяко от тези събития по съответната условна вероятност за събитие A:

Тази формула се нарича формула за обща вероятност.

Вероятността за хипотези. формула на Байес

Нека събитието Аможе да възникне, ако се случи някое от несъвместимите събития B b B 2, ..., B p,образувайки пълна група. Тъй като не се знае предварително кое от тези събития ще се случи, те се наричат ​​хипотези. Вероятност за събитие Асе определя по формулата на общата вероятност:

Да кажем, че е извършен тест, в резултат на който се появи събитието А... Необходимо е да се определи как са се променили (поради факта, че събитието Авече се е случило) вероятностите на хипотезите. Условните вероятности на хипотези се намират по формулата

В тази формула индексът / = 1,2

Тази формула се нарича формула на Байес (на името на английския математик, който я е извел; публикувана през 1764 г.). Формулата на Байес ви позволява да надцените вероятностите на хипотезите, след като резултатът от теста стане известен, в резултат на което се появи събитие А.

Цел 1.Фабриката произвежда определен тип част, всяка част има дефект с вероятност 0,05. Частта се разглежда от един инспектор; той открива дефект с вероятност 0,97 и ако не бъде открит дефект, предава детайла в готовия продукт. Освен това инспекторът може по погрешка да отхвърли част, която няма дефект; вероятността за това е 0,01. Намерете вероятностите за следните събития: A - частта ще бъде отхвърлена; B - частта ще бъде отхвърлена, но погрешно; C - частта ще бъде предадена в готовия продукт с дефект.

Решение

Да обозначим хипотезите:

н= (стандартна част ще бъде получена за контрол);

н= (за контрол ще бъде получена нестандартна част).

Събитие А =(частта ще бъде отхвърлена).

От условието на задачата намираме вероятностите

R N (A) = 0,01; Pfi (A) = 0,97.

Използвайки формулата за общата вероятност, получаваме

Вероятността частта да бъде отхвърлена по погрешка е

Нека намерим вероятността частта да бъде предадена в готовия продукт с дефект:

Отговор:

Цел 2.Продуктът се проверява за стандартизация от един от тримата експерти по стоки. Вероятността продуктът да стигне до първия търговец е 0,25, до втория - 0,26 и до третия - 0,49. Вероятността продуктът да бъде разпознат от стандартния първи експерт по стоки е 0,95, вторият - 0,98, третият - 0,97. Намерете вероятността стандартен артикул да е проверен от втори инспектор.

Решение

Нека да посочим събития:

Л. =(продуктът ще отиде при търговеца за проверка); / = 1, 2, 3;

B =(продуктът ще се счита за стандартен).

Според условието на задачата вероятностите са известни:

Известни са и условните вероятности

Използвайки формулата на Байес, намираме вероятността стандартен продукт да бъде проверен от втори инспектор:

Отговор:"0,263.

Задача 3. Две автоматични машини произвеждат части, които отиват към общ конвейер. Вероятността за получаване на нестандартна част на първата машина е 0,06, а на втората - 0,09. Производителността на втората машина е два пъти по-висока от тази на първата. От конвейера е взета нестандартна част. Намерете вероятността тази част да е произведена от втората машина.

Решение

Нека да посочим събития:

А. =(частта, взета от конвейера, се произвежда от / -та машина); / = 1,2;

V= (участието ще бъде нестандартно).

Известни са и условните вероятности

Използвайки формулата за общата вероятност, намираме

Използвайки формулата на Байес, намираме вероятността взетата нестандартна част да бъде произведена от втората машина:

Отговор: 0,75.

Задача 4.Тества се устройство, състоящо се от две единици, чиято надеждност е съответно 0,8 и 0,9. Възлите се провалят независимо един от друг. Устройството се провали. Намерете, като вземете това предвид, вероятността от хипотези:

• а) само първият възел е дефектен;
• б) само вторият възел е дефектен;
• в) и двата възела са дефектни.

Решение

Нека да посочим събития:

D = (седмият възел няма да се провали); и = 1,2;

D - съответни противоположни събития;

А= (по време на теста ще има повреда на устройството).

От условието на задачата получаваме: P (D) = 0,8; П (Л 2) = 0,9.

Чрез свойството на вероятностите за противоположни събития

Събитие Аравно на сбора от произведенията на независими събития

Използвайки теоремата за събиране на вероятностите за непоследователни събития и теоремата за умножаване на вероятностите за независими събития, получаваме

Сега намираме вероятностите на хипотезите:

Отговор:

Задача 5.В завода болтовете се изработват на три машини, които произвеждат съответно 25%, 30% и 45% от общия брой болтове. При производството на металорежещи машини скрапът е съответно 4%, 3% и 2%. Каква е вероятността болт, случайно взет от входящ продукт, да бъде дефектен?

Решение

Нека да посочим събития:

4 = (взетият произволно болт е направен на / -та машина); и = 1, 2, 3;

V= (болт, взет на случаен принцип, ще бъде дефектен).

От условието на задачата, използвайки формулата на класическата вероятност, намираме вероятностите на хипотезите:

Също така, използвайки класическата формула за вероятност, намираме условните вероятности:

Използвайки формулата за общата вероятност, намираме

Отговор: 0,028.

Задача 6.Електронната схема принадлежи на една от трите страни с вероятност 0,25; 0,5 и 0,25. Вероятността веригата да работи след гарантирания експлоатационен живот за всяка партида е съответно 0,1; 0,2 и 0,4. Намерете вероятността една произволно избрана схема да работи след гаранционния срок.

Решение

Нека да посочим събития:

4 = (произволно взета схема от r-та страна); i = 1, 2, 3;

V= (произволно избрана схема ще работи след гаранционния срок).

По условието на задачата са известни вероятностите на хипотезите:

Известни са също условните вероятности:

Използвайки формулата за общата вероятност, намираме

Отговор: 0,225.

Задача 7.Устройството съдържа два блока, изправността на всеки от които е необходима за работата на устройството. Вероятностите за работа без отказ за тези блокове са съответно 0,99 и 0,97. Устройството не работи. Определете вероятността и двете единици да са се повредили.

Решение

Нека да посочим събития:

D = (z-тата единица ще се провали); и = 1,2;

А= (устройството ще се повреди).

От условието на задачата по свойството на вероятностите за противоположни събития получаваме: DD) = 1-0,99 = 0,01; DD) = 1-0,97 = 0,03.

Събитие Авъзниква само когато поне едно от събитията D или А 2.Следователно това събитие е равно на сбора от събития А= D + А 2 .

Чрез теоремата за добавяне за вероятностите за съвместни събития получаваме

Използвайки формулата на Байес, намираме вероятността устройството да се повреди поради повреда на двата модула.

Отговор:

Задачи за самостоятелно решаване Цел 1.В склада на телевизионното студио има 70% от кинескопите, произведени от завод №1; останалите кинескопи са произведени от завод № 2. Вероятността кинескопът да не се повреди през гаранционния срок е 0,8 за кинескопите на завод № 1 и 0,7 - за кинескопите на завод № 2. Кинескопът има издържа гаранционния срок. Намерете вероятността той да е произведен от завод №2.

Цел 2.Частите се доставят към монтажа от три автоматични машини. Известно е, че 1-ва машина дава 0,3% скрап, 2-ра - 0,2%, 3-та - 0,4%. Намерете вероятността да получите дефектна част за сглобяване, ако са получени 1000 части от 1-ва машина, 2000 от 2-ра и 2500 от 3-та.

Цел 3.Същите части се произвеждат на две машини. Вероятността частта, произведена на първата машина, ще бъде стандартна е 0,8, а на втората е 0,9. Производителността на втората машина е три пъти по-голяма от тази на първата. Намерете вероятността стандартна част да бъде взета на случаен принцип от конвейер, който получава части от двете машини.

Задача 4.Шефът на фирмата реши да използва услугите на две от трите транспортни фирми. Вероятността за ненавременна доставка на стоки за първа, втора и трета фирма е съответно 0,05; 0,1 и 0,07. Сравнявайки тези данни с данните за безопасността на превоза на товари, ръководителят стигна до заключението, че изборът е равен и реши да го направи чрез жребий. Намерете вероятността изпратеният товар да бъде доставен навреме.

Задача 5.Устройството съдържа два блока, изправността на всеки от които е необходима за работата на устройството. Вероятностите за работа без отказ за тези блокове са съответно 0,99 и 0,97. Устройството не работи. Определете вероятността втората единица да се повреди.

Задача 6. Монтажният цех получава части от три автоматични машини. Първата машина дава 3% от скрапа, втората - 1%, а третата - 2%. Определете вероятността недефектна част да попадне в монтажа, ако от всяка машина са получени съответно 500, 200, 300 части.

Задача 7.Складът получава продукти от три фирми. Освен това продуктите на първата компания съставляват 20%, втората - 46%, а третата - 34%. Известно е също, че средният процент на нестандартни продукти за първата фирма е 5%, за втората - 2%, а за третата - 1%. Намерете вероятността продуктът, взет на случаен принцип, да е произведен от втора компания, ако се окаже стандартен.

Проблем 8.Дефект в продуктите на растението поради дефект ае 5%, а сред отхвърлените на осн апродуктите са дефектни в 10% от случаите Р.И в продукти без дефекти а, дефект Рсе среща в 1% от случаите. Намерете вероятността да срещнете дефект Рвъв всички продукти.

Проблем 9.Фирмата разполага с 10 нови автомобила и 5 стари, които преди това са били в ремонт. Вероятността за правилна работа за нова кола е 0,94, за стара - 0,91. Намерете вероятността избраната кола да работи правилно.

Проблем 10.Два сензора изпращат сигнали към общ комуникационен канал, като първият от тях изпраща два пъти повече сигнали от втория. Вероятността за получаване на изкривен сигнал от първия сензор е 0,01, от втория - 0,03. Каква е вероятността да се получи изкривен сигнал в общия комуникационен канал?

Проблем 11.Има пет партиди продукти: три партиди по 8 броя, от които 6 стандартни и 2 нестандартни и две партиди по 10 броя, от които 7 стандартни и 3 нестандартни. Една от партидите се избира на случаен принцип и част от тази партида се взема. Определете вероятността взетата част да бъде стандартна.

Проблем 12.Монтажът получава средно 50% от частите от първия завод, 30% от втория завод и 20% от третия завод. Вероятността първата фабрична част да е с отлично качество е 0,7; за части от второто и третото растение съответно 0,8 и 0,9. Частта взета на случаен принцип се оказа с отлично качество. Намерете вероятността частта да е произведена от първата фабрика.

Проблем 13.Митническата проверка на МПС се извършва от двама инспектори. Средно от 100 автомобила 45 преминават през първия инспектор. Вероятността превозно средство, което отговаря на митническите разпоредби, да не бъде задържано при проверка е 0,95 за първия инспектор и 0,85 за втория. Намерете вероятността превозно средство, което отговаря на митническите разпоредби, да не бъде задържано.

Проблем 14.Необходимите части за сглобяването на устройството идват от две автоматични машини, чиято производителност е еднаква. Изчислете вероятността да получите стандартна част за сглобяване, ако една от машините дава средно 3% нарушение на стандарта, а другата - 2%.

Проблем 15.Треньорът по вдигане на тежести изчисли, че за да получи отборни точки в дадена тегловна категория, един състезател трябва да избута щанга от 200 кг. За място в отбора се борят Иванов, Петров и Сидоров. По време на тренировка Иванов се опита да вдигне такава тежест в 7 случая, а в 3 от тях. Петров рейзна 6 пъти от 13, а Сидоров има 35% шанс да се справи успешно с летвата. Треньорът ще изтегли на случаен принцип един атлет, който да се присъедини към отбора.

• а) Намерете вероятността избраният спортист да спечели точки за отбора.
• б) Отборът не получи никакви точки. Намерете вероятността Сидоров да е говорил.

Проблем 16.В бяла кутия има 12 червени и 6 сини топки. В черно - 15 червени и 10 сини топки. Хвърлете заровете. Ако броят на точките е кратен на 3, тогава топката се взема на случаен принцип от бялата кутия. Ако падне друг брой точки, топката се взема на случаен принцип от черната кутия. Каква е вероятността да се появи червена топка?

Проблем 17.Има радиолампи в две кутии. Първата кутия съдържа 12 лампи, от които 1 е нестандартна; във втория 10 лампи, от които 1 е нестандартна. От първата кутия беше взета произволно лампа и беше прехвърлена във втората. Намерете вероятността лампата, извадена на случаен принцип от втората кутия, да бъде нестандартна.

Проблем 18.Бяла топка се пуска в урна, съдържаща две топки, след което една топка се взема на случаен принцип от нея. Намерете вероятността отстранената топка да се окаже бяла, ако всички възможни предположения за първоначалния състав на топките (по цвят) са еднакво възможни.

Проблем 19.Стандартна част се хвърля в кутия, съдържаща 3 еднакви части, след което една част се изважда на случаен принцип. Намерете вероятността стандартна част да е премахната, ако всички възможни предположения за броя на стандартните части, първоначално в кутията, са еднакво вероятни.

Проблем 20.За подобряване на качеството на радиокомуникацията се използват два радиоприемника. Вероятността за получаване на сигнал от всеки приемник е 0,8 и тези събития (получаване на сигнал от приемника) са независими. Определете вероятността за приемане на сигнал, ако вероятността за безотказна работа по време на радиокомуникационната сесия за всеки приемник е 0,9.

Нека са известни техните вероятности и съответните условни вероятности. Тогава вероятността за настъпване на събитието е равна на:

Тази формула се нарича формули за обща вероятност... В учебниците той се формулира чрез теорема, доказателството на която е елементарно: според алгебра на събитията, (събитието се случи и илислучи се събитие ислед като дойде събитието илислучи се събитие ислед като дойде събитието или …. илислучи се събитие ислед като дойде събитието)... Тъй като хипотези несъвместими и събитието е зависимо, тогава от теорема за добавяне за вероятностите на непоследователни събития (първа стъпка)и теорема за умножение за вероятностите на зависими събития (втора стъпка):

Вероятно мнозина имат предчувствие за съдържанието на първия пример =)

Където и да плюеш - навсякъде урна:

Проблем 1

Има три еднакви урни. В първата урна има 4 бели и 7 черни топки, във втората - само бели, а в третата - само черни топки. Една урна се избира на случаен принцип и от нея се изтегля на случаен принцип топка. Каква е вероятността тази топка да е черна?

Решение: разгледайте събитието - черна топка ще бъде извлечена от произволно избрана урна. Това събитие може или не може да се случи в резултат на изпълнението на една от следните хипотези:
- ще бъде избрана 1-ва урна;
- ще бъде избрана 2-та урна;
- ще бъде избрана 3-та урна.

Тъй като урната е избрана на случаен принцип, изборът на която и да е от трите урни еднакво възможно, следователно:

Моля, имайте предвид, че изброените хипотези се формират пълна група от събития, тоест според условието черната топка може да се появи само от тези урни, а например да не лети от билярдната маса. Нека направим проста междинна проверка:
, добре, да продължим:

Първата урна съдържа 4 бели + 7 черни = 11 топки всяка класическо определение:
- вероятността за извличане на черна топка в състояниече ще бъде избрана първата урна.

Във втората урна има само бели топки, така че ако бъде избранпоявата на черната топка става невъзможен: .

И накрая, в третата урна има само черни топки, което означава, че съответните условна вероятностизвличането на черната топка ще бъде (събитието е валидно).

- вероятността черна топка да бъде извадена от произволно избрана урна.

Отговор:

Анализираният пример отново подсказва колко важно е МОЛЯ В УСЛОВИЯ. Да вземем същите проблеми с урни и топки - с тяхната външна прилика, методите за решаване могат да бъдат напълно различни: някъде трябва само да приложите класическа дефиниция на вероятността, някъде събития независими, някъде зависим, но някъде говорим за хипотези. В същото време няма ясен формален критерий за избор на път на решение - почти винаги трябва да мислите за това. Как да повишите квалификацията си? Решаваме, решаваме и пак решаваме!

Задача 2

В стрелбището има 5 пушки с различна точност. Вероятностите за уцелване на целта за даден стрелец са съответно равни на 0,5; 0,55; 0,7; 0,75 и 0,4. Каква е вероятността да уцели цел, ако стрелецът направи един изстрел със произволно избрана пушка?

Кратко решение и отговор в края на урока.

В повечето актуални проблеми хипотезите, разбира се, не са еднакво вероятни:

Проблем 3

В пирамидата има 5 пушки, три от които са снабдени с телескопичен мерник. Вероятността стрелецът да уцели целта при стрелба от пушка с телескопичен мерник е 0,95; за пушка без телескопичен мерник тази вероятност е 0,7. Намерете вероятността целта да бъде улучена, ако стрелецът изстреля един изстрел от произволно взета пушка.

Решение: в този проблем броят на пушките е точно същият като в предишния, но има само две хипотези:
- стрелецът избира пушка с телескопичен мерник;
- стрелецът избира пушка без телескопичен мерник.
от класическа дефиниция на вероятността: .
Контрол:

Помислете за събитието: - Стрелецът удря целта с произволно взета пушка.
По условие: .

Според формулата на общата вероятност:

Отговор: 0,85

На практика съкратен начин за формализиране на задачата, с който също сте запознати, е напълно приемлив:

Решение: според класическата дефиниция: - вероятността за избор на пушка съответно с и без оптичен мерник.

По условие, - вероятността за поразяване на целта от съответните видове пушки.

Според формулата на общата вероятност:
- вероятността стрелецът да удари целта от произволно избрана пушка.

Отговор: 0,85

Следващата задача за самостоятелно решение:

Проблем 4

Двигателят работи в три режима: нормален, принудителен и празен ход. В режим на празен ход вероятността за повреда е 0,05, при нормална работа - 0,1, а в принудителен режим - 0,7. 70% от времето двигателят работи в нормален режим и 20% в принудителен режим. Каква е вероятността от повреда на двигателя по време на работа?

За всеки случай нека ви напомня - за да получите стойностите на вероятностите, процентите трябва да се разделят на 100. Бъдете много внимателни! Според моите наблюдения условията на задачите за формулата на общата вероятност често се опитват да се объркат; и специално подбрах такъв пример. Ще ви кажа една тайна - аз почти се обърках =)

Решение в края на урока (оформено в кратък начин)

Проблеми с формулата на Байеса

Материалът е тясно свързан със съдържанието на предишния параграф. Нека събитието настъпи в резултат на изпълнението на една от хипотезите ... Как да определим вероятността да се осъществи тази или онази хипотеза?

В състояниетова събитие вече се случи, вероятности на хипотези надценявамспоред формулите, получили фамилното име на английския свещеник Томас Байс:

- вероятността хипотезата да се осъществи;
- вероятността хипотезата да се осъществи;
…
- вероятността хипотезата да се осъществи.

На пръв поглед изглежда пълен абсурд - защо да се преизчисляват вероятностите на хипотезите, ако вече са известни? Но всъщност има разлика:

- това е априори(оценено предитестове) вероятности.

- това е a posteriori(оценено следтестове) вероятностите на същите хипотези, преизчислени във връзка с "новооткрити обстоятелства" - като се вземе предвид фактът, че събитието автентично се случи.

Нека разгледаме тази разлика с конкретен пример:

Проблем 5

Складът получи 2 партиди продукти: първата - 4000 броя, втората - 6000 броя. Средният процент на нестандартни артикули в първата партида е 20%, а във втората - 10%. Продуктът, взет на случаен принцип от склада, се оказа стандартен. Намерете вероятността да е: а) от първата партида, б) от втората партида.

Първа част решениясе състои в използване на формулата за общата вероятност. С други думи, изчисленията се извършват при допускането, че тестът все още не са произведении събитие "Продуктът се оказа стандартен"докато дойде.

Помислете за две хипотези:
- продуктът, взет на случаен принцип, ще бъде от 1-ва партида;
- продуктът, взет на случаен принцип, ще бъде от 2-ра партида.

Общо: 4000 + 6000 = 10000 артикула на склад. Според класическата дефиниция:
.

Контрол:

Помислете за зависимо събитие: - произволен артикул, взет от склад щестандартен.

В първата партида 100% - 20% = 80% от стандартните продукти, следователно: в състояниече принадлежи на 1-ва страна.

По същия начин, във втората партида, 100% - 10% = 90% от стандартните продукти и - вероятността продуктът, взет на случаен принцип от склада, ще бъде стандартен в състояниече принадлежи на 2-ра страна.

Според формулата на общата вероятност:
- вероятността продуктът, взет на случаен принцип от склада, ще бъде стандартен.

Част две. Нека продуктът, взет на случаен принцип от склада, се окаже стандартен. Тази фраза е директно изписана в условието и посочва факта, че събитието се случи.

Според формулите на Байес:

а) е вероятността избраният стандартен продукт да принадлежи към 1-ва партида;

б) - вероятността избраният стандартен продукт да принадлежи към 2-ра партида.

След преоценкахипотези, разбира се, все още се формират пълна група:
(Преглед;-))

Отговор:

Иван Василиевич ще ни помогне да разберем значението на преоценката на хипотезите, който отново смени професията си и стана директор на завода. Той знае, че днес 1-ви цех е изпратил 4000 артикула в склада, а 2-ри цех - 6000 артикула и идва да се увери в това. Да предположим, че всички продукти са от един и същи вид и са в един контейнер. Естествено, Иван Василиевич предварително изчисли, че продуктът, който сега ще извлече за проверка, най-вероятно ще бъде произведен от 1-вия цех и с вероятност - от втория. Но след като избраният артикул е стандартен, той възкликва: „Какъв готин болт! - по-скоро беше пуснат от 2-ри магазин." По този начин вероятността за втората хипотеза е надценена към по-добро, а вероятността за първата хипотеза е подценена:. И тази преоценка не е неоснователна - в края на краищата 2-ри цех произведе не само повече продукти, но и работи 2 пъти по-добре!

Чиста субективност, казвате? Отчасти - да, освен това самият Байес интерпретира a posterioriвероятности като ниво на доверие... Не всичко обаче е толкова просто – в байесовия подход има обективно зърно. В крайна сметка, вероятността продуктът да бъде стандартен (0,8 и 0,9 съответно за 1-ви и 2-ри семинар)това е предварителен(априори) и средно аритметичнооценки. Но, философски казано, всичко тече, всичко се променя, включително и вероятностите. Възможно е, че по време на изследванетопо-успешен 2-ри семинар увеличи процента на стандартните продукти (и/или 1-ва работилница намалена), и ако проверите по-голямо количество или всичките 10 хиляди артикула на склад, тогава надценените стойности ще се окажат много по-близо до истината.

Между другото, ако Иван Василиевич извлече нестандартна част, тогава напротив - той повече ще "подозира" първия магазин и по-малко - втория. Предлагам да се уверите в това сами:

Проблем 6

Складът получи 2 партиди продукти: първата - 4000 броя, втората - 6000 броя. Средният процент на нестандартните артикули в първата партида е 20%, във втората - 10%. Продуктът, взет на случаен принцип от склада, се оказа нестандартен. Намерете вероятността да е: а) от първата партида, б) от втората партида.

Състоянието се отличава с две букви, които съм подчертал с удебелен шрифт. Проблемът може да бъде решен от нулата или можете да използвате резултатите от предишни изчисления. В извадката извърших цялостно решение, но така че да няма формално припокриване със задача № 5, събитието „Произволно взетият продукт от склада ще бъде нестандартен“означено с.

Байесовата схема за надценяване на вероятностите е повсеместна и различни измамници също активно я използват. Помислете за трибуквеното акционерно дружество, което се превърна в нарицателно, което привлича депозити от населението, уж ги инвестира някъде, редовно изплаща дивиденти и т.н. Какво се случва? Ден след ден, месец след месец и все повече и повече нови факти, предавани чрез реклама и от уста на уста, само повишават нивото на доверие във финансовата пирамида. (Последваща байесова преоценка поради минали събития!)... Тоест в очите на вложителите има постоянно увеличаване на вероятността "Това е сериозен офис"; докато вероятността за обратната хипотеза е („Това са следващите измамници“), разбира се, намалява и намалява. Останалото според мен е разбираемо. Прави впечатление, че спечелената репутация дава време на организаторите да се скрият успешно от Иван Василиевич, който остана не само без партида болтове, но и без панталони.

Ще се върнем към не по-малко любопитни примери малко по-късно, но засега следващият по ред е може би най-често срещаният случай с три хипотези:

Проблем 7

Електрическите лампи се произвеждат в три завода. Първият завод произвежда 30% от общия брой лампи, вторият - 55%, а третият - останалите. Продуктите на 1-ви завод съдържат 1% дефектни лампи, 2-ри - 1,5%, 3-ти - 2%. Магазинът получава продукти и от трите фабрики. Закупената лампа се оказа дефектна. Каква е вероятността да е произведен от 2-ри завод?

Забележете, че в задачи за формулите на Байес в условието задължителноима определено какво станасъбитие, в този случай покупката на лампа.

Броят на събитията се увеличи и решениепо-удобно е да се подреди в „бърз“ стил.

Алгоритъмът е абсолютно същият: на първата стъпка намираме вероятността изобщо да е закупена лампа ще се окажедефектен.

Използвайки първоначалните данни, ние превеждаме процентите във вероятности:
- вероятностите лампата да е произведена съответно от 1-ва, 2-ра и 3-та фабрика.
Контрол:

По същия начин: - вероятността от производство на дефектна лампа за съответните фабрики.

Според формулата на общата вероятност:

- вероятността закупената лампа да е дефектна.

Стъпка втора. Да предположим, че закупената лампа се оказа дефектна (събитието се случи)

Според формулата на Байес:
- вероятността закупената дефектна лампа да е произведена от втори завод

Отговор:

Защо първоначалната вероятност за 2-ра хипотеза се е увеличила след преоценката? В крайна сметка вторият завод произвежда лампи със средно качество (първото е по-добро, третото е по-лошо). Така че защо се е увеличил a posterioriвероятността дефектната лампа да е от 2-ра фабрика? Това вече не се дължи на "репутацията", а на размера. Тъй като завод номер 2 произвежда най-голям брой лампи, той (поне субективно) се обвинява: "Най-вероятно тази дефектна лампа е от там".

Интересно е да се отбележи, че вероятностите на 1-ва и 3-та хипотези бяха надценени в очакваните посоки и станаха равни:

Контрол: , което трябваше да бъде проверено.

Между другото, за подценени и надценени оценки:

Проблем 8

В студентската група 3 души са с високо ниво на обучение, 19 души са със средно ниво и 3 са с ниско ниво. Вероятностите за успешно полагане на изпита за тези студенти са съответно равни: 0,95; 0,7 и 0,4. Известно е, че даден студент е издържал изпита. Каква е вероятността:

а) беше подготвен много добре;
б) е изготвен среден;
в) беше лошо подготвен.

Извършете изчисления и анализирайте резултатите от преоценката на хипотезата.

Задачата е близка до реалността и е особено правдоподобна за група студенти по кореспонденция, където учителят практически не познава способностите на този или онзи ученик. В този случай резултатът може да доведе до доста неочаквани последици. (особено за изпити през 1-ви семестър)... Ако лошо подготвен ученик има късмета да има билет, тогава учителят вероятно ще го счита за добър ученик или дори за силен ученик, което ще донесе добри дивиденти в бъдеще. (естествено, трябва да "вдигнете летвата" и да поддържате имиджа си)... Ако ученик преподава, тъпче, повтаря 7 дни и 7 нощи, но просто няма късмет, тогава по-нататъшните събития могат да се развият по най-лошия възможен начин - с многобройни повторения и балансиране на ръба на заминаването.

Излишно е да казвам, че репутацията е най-важният капитал, неслучайно много корпорации носят имената и фамилните имена на бащите си-основатели, ръководили бизнеса преди 100-200 години и се прославили с безупречната си репутация.

Да, байесовият подход е субективен до известна степен, но ... така работи животът!

Нека консолидираме материала с последен индустриален пример, в който ще говоря за техническите тънкости на решението, които все още не са срещани:

Проблем 9

Три цеха на завода произвеждат еднотипни части, които се изпращат за сглобяване в общ контейнер. Известно е, че първият цех произвежда 2 пъти повече части от втория цех и 4 пъти повече от третия цех. В първия цех скрапът е 12%, във втория - 8%, в третия - 4%. За контрол една част се взема от контейнера. Каква е вероятността тя да бъде дефектна? Каква е вероятността възстановената дефектна част да бъде освободена от 3-ти сервиз?

Таки Иван Василиевич се завръща на кон =) Филмът трябва да има щастлив край =)

Решение: за разлика от задачи № 5-8, тук изрично е зададен въпросът, който се решава по формулата за обща вероятност. Но от друга страна условието е малко "криптирано" и училищното умение да съставяме най-простите уравнения ще ни помогне да решим този пъзел. Удобно е да вземете най-малката стойност за "x":

Нека е съотношението на частите, произведени от третия цех.

По условие първият цех произвежда 4 пъти повече от третия, така че делът на 1-вия цех е.

Освен това първият цех произвежда 2 пъти повече продукти от втория цех, което означава, че делът на последния е:.

Нека съставим и решим уравнението:

Така: - вероятностите частта, извадена от контейнера, да е била освободена съответно от 1-ви, 2-ри и 3-ти магазин.

Контрол: . Освен това няма да е излишно да погледнете отново фразата „Известно е, че първият цех произвежда продукти 2 пъти повече от втория цех и 4 пъти повече от третия.и се уверете, че получените стойности на вероятностите наистина отговарят на това условие.

Първоначално делът на 1-вия или делът на 2-ри цех може да се вземе за "X" - вероятностите ще бъдат еднакви. Но, по един или друг начин, най-трудният участък е преминат и решението влиза в назъбената коловоза:

От условието намираме:
- вероятността от производство на дефектни части за съответните сервизи.

Според формулата на общата вероятност:
- вероятността част, взета на случаен принцип от контейнера, ще бъде нестандартна.

Въпрос втори: каква е вероятността възстановената дефектна част да бъде освободена от 3-ти сервиз? Този въпрос предполага, че частта вече е извлечена и е установено, че е дефектна. Преоценяваме байесовската хипотеза:
Е необходимата вероятност. Съвсем очаквано - в края на краищата третият цех произвежда не само най-малката част от части, но и води по качество!

В този случай трябваше опростете четириетажна дроб, което при задачи по формулите на Байес трябва да се прави доста често. Но за този урок някак случайно взех примери, в които много изчисления могат да се направят без обикновени дроби.

Тъй като условието не съдържа елементи "a" и "b", тогава е по-добре да предоставите отговора с текстови коментари:

Отговор: - вероятността частта, извадена от контейнера, да е дефектна; - вероятността възстановената дефектна част да бъде освободена от 3-ти сервиз.

Както можете да видите, проблемите за формулата за обща вероятност и байесовите формули са доста прости и вероятно поради тази причина те толкова често се опитват да усложнят условието, което вече споменах в началото на статията.

Още примери има във файла с готови решения за Ф.П.В. и формулите на Байес, освен това сигурно ще има желаещи да се запознаят по-задълбочено с тази тема в други източници. А темата наистина е много интересна - което си струва само едно Парадокс на Байес, което обосновава онзи ежедневен съвет, че ако човек е диагностициран с рядко заболяване, тогава има смисъл той да проведе втори или дори два повторни независими прегледа. Изглежда, че това се прави единствено от отчаяние ... - но не! Но да не говорим за тъжни неща.

а) - вероятността студентът, издържал изпита, да е много добре подготвен. Обективната първоначална вероятност се оказва надценена, тъй като почти винаги някои „средни селяни“ имат късмет с въпроси и отговарят много силно, което създава погрешното впечатление за безупречна подготовка.

б) - вероятността студентът, издържал изпита, да е средно подготвен. Първоначалната вероятност се оказва леко надценена, т.к учениците със средно ниво на обучение обикновено са мнозинство, освен това тук учителят ще включва неуспешно отговорени „отлични ученици“, а понякога и слабо представящ се ученик, който е имал голям късмет с билет.

v) - вероятността студентът, издържал изпита, да е зле подготвен. Първоначалната вероятност беше надценена към по-лошо. Не е изненадващо.

Урок номер 4.

Тема: Формула на общата вероятност. формула на Байес. Схемата на Бернули. Полиномна схема. Хипергеометрична диаграма.

ФОРМУЛА НА ОБЩАТА ВЕРОЯТНОСТ

FORMULA BAYES

ТЕОРИЯ

Формула за обща вероятност:

Нека има пълна група от непоследователни събития:

(, Тогава вероятността за събитие А може да се изчисли по формулата

(4.1)

Събитията се наричат ​​хипотези. Излагат се хипотези относно частта от експеримента, в която има несигурност.

, където са предходните вероятности на хипотезите

формула на Байес:

Нека експериментът е завършен и е известно, че в резултат на експеримента, събитие А. Тогава е възможно, като се вземе предвид тази информация надценява вероятността от хипотези:

(4.2)

, където апостериорни вероятности на хипотези

РЕШЕНИЕ НА ПРОБЛЕМИ

Цел 1.

състояние

В 3-те партиди части, получени в склада, са подходящи части 89 %, 92 % и 97 % съответно. Броят на частите в партидите се отнася и за двете 1:2:3.

Каква е вероятността част, избрана на случаен принцип от склада, да бъде дефектна? Нека се знае, че произволно избрана част се оказва дефектна. Намерете вероятностите той да принадлежи на първата, втората и третата страна.

Решение:

Нека означим с A събитието, че произволно избрана част се окаже дефектна.

1-ви въпрос - към формулата за общата вероятност

2-ри въпрос - към формулата на Байес

Излагат се хипотези относно частта от експеримента, в която има несигурност. В този проблем несигурността е от коя партида е произволно избраната част.

Оставете първата партида аподробности. След това във втората партида - 2 ачасти, а в третата - 3 аподробности. Общо в три партии 6 аподробности.

(процентът на брака на първия ред беше преобразуван във вероятност)

(процентът на брака на втория ред беше преобразуван във вероятност)

(процентът на брака на третия ред беше преобразуван във вероятност)

Използвайки формулата за общата вероятност, ние изчисляваме вероятността за събитие А

-отговор на 1 въпрос

Изчисляваме вероятностите дефектната част да принадлежи на първата, втората и третата страна, използвайки формулата на Байес:

Цел 2.

състояние:

В първата урна 10 топки: 4 бял пясък 6 черен. Във втората урна 20 топки: 2 бял пясък 18 черен. Една топка се избира на случаен принцип от всяка урна и се поставя в третата урна. След това една топка се избира на случаен принцип от третата урна. Намерете вероятността топката, взета от третата урна, да бъде бяла.

Решение:

Отговорът на проблемния въпрос може да бъде получен с помощта на формулата за обща вероятност:

Несигурността е в това кои топки удрят третата урна. Излагаме хипотези относно състава на топките в третата урна.

H1 = (в третата урна има 2 бели топки)

H2 = (в третата урна има 2 черни топки)

H3 = (в третата урна има 1 бяла и 1 черна топка)

A = (топката, взета от 3-та урна, ще бъде бяла)

Цел 3.

Бяла топка беше пусната в урна, съдържаща 2 топки с неизвестен цвят. След това извличаме 1 топка от тази урна. Намерете вероятността топката, извадена от урната, да бъде бяла. Топката, извадена от гореописаната урна, се оказа бяла. Намерете вероятностите че в урната преди прехвърлянето има 0 бели топки, 1 бяла топка и 2 бели топки .

1 въпрос c - по формулата на общата вероятност

2 въпрос– По формулата на Байес

Несигурността се крие в оригиналния състав на топките в урната. Ние излагаме следните хипотези относно първоначалния състав на топките в урната:

Здравей = (урната бешеi-1 бяла топка),i = 1,2,3

, i = 1,2,3(в ситуация на пълна несигурност, предходните вероятности на хипотезите се приемат за еднакви, тъй като не можем да кажем, че една опция е по-вероятна от друга)

A = (топката, извадена от урната след прехвърляне, ще бъде бяла)

Нека изчислим условните вероятности:

Нека направим изчисление, използвайки формулата за общата вероятност:

Отговор на 1 въпрос

За да отговорим на втория въпрос, използваме формулата на Байес:

(намалено в сравнение с предишната вероятност)

(непроменено спрямо предходната вероятност)

(увеличено в сравнение с предишната вероятност)

Заключение от сравнението на предходни и постериорни вероятности на хипотези: първоначалната несигурност се е променила количествено

Задача 4.

състояние:

При преливане на кръв е необходимо да се вземат предвид кръвните групи на донора и пациента. На човек, който има четвърта групакръв всяка кръвна група може да се прелива, човече с втора и трета групаможе да се налива или кръвта на неговата група, или първият.На човека с първа кръвна групавъзможно кръвопреливане само първата група.Известно е, че сред населението 33,7 % имат първа група ny, 37,5 % имат втора група, 20,9%имат трета групаи 7,9% имат 4-та група.Намерете вероятността на произволно взет пациент да бъде прелята кръвта на произволно взет донор.

Решение:

Излагаме хипотези за кръвната група на произволно взет пациент:

Здравейте = (пациентi-та кръвна група),i = 1,2,3,4

(Процентите, преобразувани във вероятности)

A = (може да се прелива)

По формулата за общата вероятност получаваме:

Тоест трансфузията може да се извърши в около 60% от случаите.

Схема на Бернули (или биномна схема)

Изпитанията на Бернули -това е независими тестове 2 резултатът, който условно наричаме успех и провал.

п-процент на успех

q- вероятността от неуспех

Вероятност за успех не се променя от опит в опит

Резултатът от предишния тест не засяга следващите тестове.

Извършването на описаните по-горе тестове се нарича схема на Бернули или биномна схема.

Примери за тестове на Бернули:

успех -ГЕРБ

неуспех-опашки

Правилен калъф за монети

грешен калъф за монети

стри qне се променяйте от опит в опит, ако по време на експеримента не сменим монетата

успех -пусни "6"

Неуспех -всички останали

Правилен калъф за зарове

Неправилен калъф за матрица

стри qне се променяйте от опит в опит, ако по време на експеримента не сменяме заровете

успех -удари

Неуспех -мис

p = 0,1 (стрелецът удря в един удар от 10)

стри qне се променяйте от опит в опит, ако по време на експеримента не сменим стрелката

Формулата на Бернули.

Нека бъдеДържани н стр. Помислете за събитията

(vn Опитите на Бернули с успехp ще се случиm успехи),

- има стандартна нотация за вероятностите от такива събития

<-Формулата на Бернули за изчисляване на вероятностите (4.3)

Обяснение на формулата : вероятността да възникнат m успеха (вероятностите се умножават, тъй като тестовете са независими и тъй като всички са еднакви, се появява степен), - вероятността да възникнат nm неуспехи (обяснението е същото като за успехите) , - броят на начините за изпълнение на събитията, тоест по колко начина могат да бъдат поставени m успеха на n места.

Последиците от формулата на Бернули:

Следствие 1:

Нека бъдеДържани нИзпитания на Бернули с вероятност за успех стр. Помислете за събитията

А (m1,m2) = (брой успехи вn Тестовете на Бернули ще бъдат в диапазона [m1;m2])

(4.4)

Обяснение на формулата: Формулата (4.4) следва от формула (4.3) и теоремата за добавяне на вероятности за непоследователни събития, тъй като - сборът (обединение) от несъвместими събития, като вероятността за всяко се определя по формула (4.3).

Следствие 2

Нека бъдеДържани нИзпитания на Бернули с вероятност за успех стр. Помислете за събитие

A = (вn Изпитанията на Бернули ще имат поне 1 успех}

(4.5)

Обяснение на формулата: ={ няма да има успех в изпитанията на Бернули) =

(всички n теста ще се провалят)

Проблем (за формулата на Бернули и нейните последствия)пример за задача 1.6-D. з.

Правилна монета хвърлете 10 пъти... Намерете вероятностите за следните събития:

A = (гербът ще бъде нарисуван точно 5 пъти)

B = (гербът ще бъде нарисуван не повече от 5 пъти)

C = (гербът ще бъде изпуснат поне 1 път)

Решение:

Нека преформулираме проблема по отношение на тестовете на Бернули:

n = 10 брой тестове

успех- ГЕРБ

p = 0,5 - вероятност за успех

q = 1-p = 0,5 - вероятност за отказ

За да изчислим вероятността за събитие А, използваме Формулата на Бернули:

За да изчислим вероятността за събитие B, използваме следствие 1Да се Формулата на Бернули:

За да изчислим вероятността за събитие C, използваме следствие 2Да се Формулата на Бернули:

Схемата на Бернули. Изчисляване по приблизителни формули.

ПРИБЛИЗИТЕЛНА ФОРМУЛА НА MUAVRE-LAPLACE

Местна формула

струспех и qпровал тогава за всички мприблизителната формула е валидна:

, (4.6)

м.

Стойността на функцията може да се намери в специалния маса. Той съдържа стойности само за. Но функцията е четна, т.е.

Ако, значи се вярва

Интегрална формула

Ако броят на опитите n в схемата на Бернули е голям и вероятностите също са високи струспех и qнеуспех, тогава приблизителната формула е валидна за всички (4.7) :

Значението на функцията може да се намери в специална таблица. Той съдържа стойности само за. Но функцията е странна, т.е. .

Ако, значи се вярва

ПРИБЛИЗИТЕЛНИ ФОРМУЛИ НА ПОАСОН

Местна формула

Нека броят на опитите нспоред схемата на Бернули тя е висока и вероятността за успех в един тест е малка, а работата също е малка. След това се определя по приблизителната формула:

, (4.8)

Вероятността броят на успехите в n опитите на Бернули е м.

Стойности на функциите може да се види в специална таблица.

Интегрална формула

Нека броят на опитите нспоред схемата на Бернули тя е висока и вероятността за успех в един тест е малка, а работата също е малка.

Тогава определя се по приблизителната формула:

, (4.9)

Вероятността броят на успехите в n опити на Бернули е в диапазона.

Стойности на функциите може да се види в специална таблица и след това да се обобщи по диапазон.

Можете да видите като примери за задачи 1.7 и 1.8 D. z.

Изчисляване по формулата на Поасон.

Проблем (формула на Поасон).

състояние:

Вероятността от изкривяване на един знак при предаване на съобщение по комуникационна линия е 0.001. Съобщението се счита за прието, ако в него няма изкривяване. Намерете вероятността, че съобщението се състои от 20 думи със 100знаци всеки.

Решение:

Нека означим с А

-брой знаци в съобщението

успех: характерът не е изкривен

Вероятност за успех

Да изчислим. Вижте препоръки за използване на приблизителни формули ( ) : за изчисление трябва да кандидатствате Формулата на Поасон

Вероятности за формулата на Поасон по отношение на иm може да се намери в специална таблица.

състояние:

Телефонната централа обслужва 1000 абоната. Вероятността в рамките на една минута някой абонат да се нуждае от връзка е 0,0007. Изчислете вероятността поне 3 обаждания да пристигнат на телефонната централа за минута.

Решение:

Нека преформулираме проблема от гледна точка на схемата на Бернули

успех: пристига обаждане

Вероятност за успех

- диапазонът, в който трябва да лежи броят на успехите

A = (ще бъдат получени поне три обаждания) -събитие, вероятността за което се изисква. намерете в задачата

(ще има по-малко от три обаждания) Отидете на добавяне. събитие, тъй като неговата вероятност е по-лесна за изчисляване.

(изчисляване на сроковете виж специална таблица)

Поради това,

Проблем (местна формула на Muvre-Laplace)

състояние

Вероятност за уцелване на целта с един изстрел е равно на 0,8.Определете вероятността, че на 400ще се появят изстрели точно 300хитове.

Решение:

Нека преформулираме проблема от гледна точка на схемата на Бернули

n = 400 - брой тестове

m = 300 - брой успехи

успех - удар

(Въпрос на проблема от гледна точка на схемата на Бернули)

Авансово плащане:

Ние изпълняваме независими тестове, във всеки от които разграничаваме m опции.

p1 - ​​вероятност за получаване на първия вариант в един тест

p2 е вероятността да се получи втората опция в един тест

…………..

pm е вероятността за получаванеm-ти вариант в един тест

p1,p2, …………… ..,pm не се променяйте от опит в опит

Последователността от тестове, описана по-горе, се нарича полиномна схема.

(за m = 2 полиномната схема се превръща в биномна схема), тоест описаната по-горе биномна схема е специален случай на по-обща схема, наречена полиномна схема).

Помислете за следните събития

А (n1, n2,…., Nm) = (в n теста, описани по-горе, опция 1 се появи n1 пъти, опция 2 се появи n2 пъти,… .. и т.н., nm пъти опция m се появи)

Формула за изчисляване на вероятностите с помощта на полиномна схема

състояние

Зарове хвърлени 10 пъти.Необходимо е да се намери вероятността "6" да се хвърли 2 пъти, и "5" ще бъде премахнат 3 пъти.

Решение:

Нека означим с А събитие, вероятността за което искате да намерите в проблема.

n = 10 -брой опити

m = 3

Вариант 1 - Капка 6

p1 = 1/6n1 = 2

Вариант 2 - Капка 5

p2 = 1/6n2 = 3

Вариант 3 - отпадане от всяко лице, с изключение на 5 и 6

p3 = 4/6n3 = 5

P (2,3,5) -? (вероятността на събитието, посочено в формулировката на проблема)

Задача за полиномна схема

състояние

Намерете вероятността сред 10 произволно избраните хора ще имат четири рождени дни през първото тримесечие, три през второто, двама в третото и един в четвъртото.

Решение:

Нека означим с А събитие, вероятността за което искате да намерите в проблема.

Нека преформулираме проблема по отношение на полиномна схема:

n = 10 -брой опити = брой хора

m = 4- броят на опциите, които различаваме във всеки опит

Вариант 1 - раждане през 1-во тримесечие

p1 = 1/4n1 = 4

Вариант 2 - раждане през 2-ро тримесечие

p2 = 1/4n2 = 3

Вариант 3 - раждане през 3-то тримесечие

p3 = 1/4n3 = 2

Вариант 4 - раждане през 4-то тримесечие

p4 = 1/4n4 = 1

P (4,3,2,1) -? (вероятността на събитието, посочено в формулировката на проблема)

Предполагаме, че вероятността да се родиш в което и да е тримесечие е една и съща и е равна на 1/4.Нека извършим изчислението, използвайки формулата за полиномната схема:

Задача за полиномна схема

състояние

В урната 30 топки: добре дошъл обратно.3 бели, 2 зелени, 4 сини и 1 жълти.

Решение:

Нека означим с А събитие, вероятността за което искате да намерите в проблема.

Нека преформулираме проблема по отношение на полиномна схема:

n = 10 -брой опити = брой избрани топки

m = 4- броят на опциите, които различаваме във всеки опит

Вариант 1 - избор на бяла топка

p1 = 1/3n1 = 3

Вариант 2 - изборът на зелената топка

p2 = 1/6n2 = 2

Вариант 3 - избор на синя топка

p3 = 4/15n3 = 4

Вариант 4 - избор на жълта топка

p4 = 7/30n4 = 1

P (3,2,4,1) -? (вероятността на събитието, посочено в формулировката на проблема)

p1,p2, p3,стр.4 не се променяйте от опит в опит, тъй като изборът се прави с връщането

Нека извършим изчислението, използвайки формулата за полиномната схема:

Хипергеометрична схема

Нека има n елемента от k видове:

n1 от първия тип

n2 от втория тип

nk тип k

От тези n елемента, произволно без връщанеизберете m елементи

Помислете за събитието A (m1, ..., mk), което се състои във факта, че сред избраните m елемента ще има

m1 от първия тип

m2 от втория тип

mk тип k

Вероятността за това събитие се изчислява по формулата

P (A (m1, ..., mk)) = (4.11)

Пример 1.

Задачата за хипергеометричната схема (образец за задачата 1.9 D. h)

състояние

В урната 30 топки: 10 бели, 5 зелени, 8 сини и 7 жълти(топките се различават само по цвят). 10 топки се избират на случаен принцип от урната без връщане. Намерете вероятността сред избраните топки да има: 3 бели, 2 зелени, 4 сини и 1 жълти.

Ние имамеn = 30,k = 4,

n1 = 10,n2 = 5,n3 = 8,n4 = 7,

m1 = 3,m2 = 2,m3 = 4,m4 = 1

P (A (3,2,4,1)) = = можете да броите до число, като знаете формулата за комбинации

Пример 2.

Пример за изчисление по тази схема: вижте изчисления за играта Sportloto (тема 1)

Ако събитието Аможе да се случи само когато едно от събитията, които се формират пълна група от несъвместими събития , след това вероятността за събитието Аизчислено по формулата

Тази формула се нарича формула за обща вероятност .

Помислете отново за пълната група от несъвместими събития, вероятностите за които са ... Събитие Аможе да се случи само заедно с някое от събитията, които ще наречем хипотези ... Тогава по формулата на общата вероятност

Ако събитието Асе случи, тогава може да промени вероятностите на хипотезите .

По теоремата за вероятностното умножение

.

По същия начин, за други хипотези

Получената формула се нарича формула на Байес (по байесовата формула ). Вероятностите на хипотезите се наричат постериорни вероятности , докато - предходни вероятности .

Пример.Магазинът е получил нови продукти от три предприятия. Процентът на тези продукти е както следва: 20% - продукти на първа фирма, 30% - продукти на втора фирма, 50% - продукти на трета фирма; освен това 10% от продуктите на първото предприятие са с най-високо качество, на второто предприятие - 5% и на третото - 20% от продуктите с най-високо качество. Намерете вероятността случайно закупен нов продукт да е от най-висок клас.

Решение.Нека означим с Vсъбитие, състоящо се в това, че ще бъде закупен първокласен продукт, като ние обозначаваме събитията, състоящи се в закупуване на продукти, принадлежащи съответно на първо, второ и трето предприятие.

Можете да приложите формулата за общата вероятност и в нашата нотация:

Замествайки тези стойности във формулата за общата вероятност, получаваме желаната вероятност:

Пример.Един от тримата стрелци е извикан на линията на огъня и прави два изстрела. Вероятността да се уцели целта с един изстрел за първия стрелец е 0,3, за втория - 0,5; за третия - 0,8. Целта не е улучена. Намерете вероятността изстрелите да бъдат направени от първия стрелец.

Решение.Възможни са три хипотези:

Първият стрелец е извикан на линията на огъня,

Вторият стрелец е извикан на линията на огъня

Трети стрелец е извикан на линията на огъня.

Тъй като повикването към линията на огъня на всеки стрелец е еднакво възможно, тогава

В резултат на експеримента се наблюдава събитие Б – след изстрелите целта не е улучена. Условните вероятности за това събитие при направените хипотези са:

използвайки формулата на Байес, намираме вероятността от хипотезата след експеримента:

Пример.На три автоматични машини се обработват части от един и същи вид, които след обработка идват на общ конвейер. Първата машина дава 2% скрап, втората - 7%, третата - 10%. Производителността на първата машина е 3 пъти по-голяма от производителността на втората, а на третата е 2 пъти по-малка от втората.

а) Какъв е процентът на дефектите на конвейера?

б) Какви са пропорциите на частите на всяка машина сред дефектните части на конвейера?

Решение.Нека вземем произволно едно парче от поточната линия и да разгледаме събитие А - дефектна част. Свързва се с хипотези за това къде е обработена тази част: - част, взета на случаен принцип, е обработена на тая машина.

Условни вероятности (в формулировката на проблема те са дадени под формата на проценти):

Зависимостта между производителността на машината означава следното:

И тъй като хипотезите образуват пълна група, тогава.

След като решихме получената система от уравнения, намираме:.

а) Пълната вероятност частта, взета произволно от конвейера, е дефектна:

С други думи, в масата на частите, излизащи от поточната линия, скрапът е 4%.

б) Нека се знае, че произволно взетата част е дефектна. Използвайки формулата на Байес, намираме условните вероятности на хипотезите:

Така в общата маса на дефектните части на конвейера делът на първата машина е 33%, втората - 39%, третата - 28%.

Практически задачи

Упражнение 1

Решаване на задачи в основните раздели на теорията на вероятностите

Целта е придобиване на практически умения за решаване на задачи на

раздели от теорията на вероятностите

Подготовка за практическото задание

Запознаване с теоретичния материал по тази тема, изучаване на теоретичното съдържание, както и съответните раздели в литературни източници

Редът на заданието

Решете 5 задачи според номера на варианта на задачата, даден в таблица 1.

Опции за изходни данни

маса 1

Състав на доклада за задача 1

5 решени задачи според номера на варианта.

Задачи за самостоятелно решаване

1 .. Дали са следните групи събития инциденти: а) опит - хвърляне на монета; разработки: A1- външния вид на герба; A2- появата на число; б) опит - хвърляне на две монети; разработки: В 1- появата на два герба; В 2 -появата на две числа; В 3- появата на един герб и един номер; в) опит - хвърляне на зар; разработки: C1 -появата на не повече от две точки; C2 -появата на три или четири точки; C3 -появата на най-малко пет точки; г) опит - изстрел в мишена; разработки: D1- удар; D2 -мис; д) опит - два изстрела в целта; разработки: E0- нито един удар; E1- един удар; E2- две попадения; е) опит - премахване на две карти от тестето; разработки: F1 -появата на два червени картона; F2- появата на две черни карти?

2. В урна А бяло и Б черни топки. Една топка се изважда от урната на случаен принцип. Намерете вероятността тази топка да е бяла.

3. В урна А бял пясък Б черни топки. Една топка се изважда от урната и се оставя настрана. Тази топка се оказа бяла. След това от урната се взема друга топка. Намерете вероятността тази топка също да бъде бяла.

4. В урна А бели и Б черни топки. Извадиха една топка от урната и я оставиха настрана, без да гледат. След това от урната беше извадена още една топка. Оказа се бяло. Намерете вероятността първата оставена топка също да е бяла.

5. От урна, съдържаща А бели и Б черни топки, извадете една по една всички топки с изключение на една. Намерете вероятността последната топка, останала в урната, да бъде бяла.

6. От урна, в която А бели топки и B черни, извадете всички топки в него подред. Намерете вероятността бялата топка да бъде извадена втора по ред.

7. В урната има A бели и B черни топки (А > 2). От урната се изваждат наведнъж две топки. Намерете вероятността и двете топки да са бели.

8. В урна А бяло и Б черни топки (A> 2, B> 3). От урната се изваждат наведнъж пет топки. Намерете вероятността Рфактът, че две от тях ще бъдат бели и три черни.

9. В игра, състояща се от X налични продукти аздефектен. Избран от партида за проверка I продукти. Намерете вероятността Рфактът, че от тях точно Дж артикулите ще бъдат дефектни.

10. Зарът се хвърля веднъж. Намерете вероятността от следните събития: А -появата на четен брой точки; V- появата на най-малко 5 точки; С-появата на не повече от 5 точки.

11. Заровете се хвърлят два пъти. Намерете вероятността Рфакта, че и двата пъти ще се появи еднакъв брой точки.

12. Хвърлете два зара едновременно. Намерете вероятностите за следните събития: А- сборът на отпадналите точки е равен на 8; V- произведението на отпадналите точки е равно на 8; С-сборът на падналите точки е по-голям от произведението им.

13. Хвърлят се две монети. Кое от събитията е по-вероятно: А -монетите ще падат от едни и същи страни; V -монетите ще падат от различни страни?

14. В урна А бели и Б черни топки (А > 2; Б > 2). От урната се изваждат едновременно две топки. Кое събитие е по-вероятно: А- топки от същия цвят; V -топки с различни цветове?

15. Трима играчи играят карти. На всеки от тях бяха раздадени 10 карти и две карти бяха оставени при тегленето. Един от играчите вижда, че има 6 карти от боя с диаманти и 4 - не от боя с диаманти. Той изхвърля две от тези четири карти и взема покупката за себе си. Намерете вероятността той да купи два диаманта.

16. От урна, съдържаща NSот преномерираните топки, извадете всички топки в него на случаен принцип една по една. Намерете вероятността номерата на извадените топки да се подредят: 1, 2, ..., NS

17. Същата урна като в предходната задача, но след изваждането всяка топка се връща обратно и се смесва с други, като се записва нейният номер. Намерете вероятността естествената последователност от числа да бъде записана: 1, 2, ..., n.

18. Пълно тесте карти (52 листа) се разделя на случаен принцип на две равни пакета от 26 листа. Намерете вероятностите за следните събития: А -всеки от пакетите ще съдържа две аса; V- в единия пакет няма да има аса, а в другия - и четирите; Отедин от пакетите ще има едно асо, а другият ще има три.

19. В първенството по баскетбол участват 18 отбора, от които на случаен принцип се формират две групи от по 9 отбора. Сред участниците в състезанието има 5 отбора

допълнителен клас. Намерете вероятностите за следните събития: А -всички отбори от най-висок клас ще бъдат включени в една и съща група; V- два отбора извън клас ще попаднат в една от групите, а три - в другата.

20. Девет карти съдържат числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Две от тях се изваждат на случаен принцип и се поставят на масата по реда на появяване, след което се чете полученото число, за пример 07 (седем), 14 (четиринадесет) и т.н. Намерете вероятността числото да бъде четно.

21. На пет карти са изписани числа: 1, 2, 3, 4, 5. Две от тях, една след друга, се изваждат. Намерете вероятността числото на втората карта да бъде по-високо от това на първата.

22. Същият въпрос като в Задача 21, но първата карта след изваждането се връща обратно и се смесва с останалите и се записва числото на нея.

23. В урна А бяло, Б черни и C червени топки. От урната извадете една по една всички топки в нея и запишете цветовете им. Намерете вероятността бялото да се появи преди черното в този списък.

24. Има две урни: в първата А бели и Б черни топки; във втория C бяло и Д черен. От всяка урна се изважда топка. Намерете вероятността и двете топки да са бели.

25. При условията на задача 24 намерете вероятността извадените топки да бъдат с различен цвят.

26. В барабана на револвера има седем гнезда, от които пет съдържат патрони, а две остават празни. Барабанът се върти, в резултат на което един от слотовете е произволно срещу цевта. След това спусъкът се натиска; ако клетката е била празна, не се изстрелва. Намерете вероятността Рфактът, че след като повторим този експеримент два пъти подред, няма да стреляме и двата пъти.

27. При същите условия (виж задача 26) намерете вероятността и двата пъти да се случи изстрел.

28. Урната съдържа А; топки, маркирани с цифри 1, 2, ..., Да сеОт урната азедна по една топка се отстранява (И<к), номерът на топката се записва и топката се връща обратно в урната. Намерете вероятността Рче всички записани числа ще бъдат различни.

29. Думата "книга" е съставена от пет букви от изрязаната азбука. Дете, което не може да чете, разпръсна тези букви и след това ги събра в произволен ред. Намерете вероятността Рче отново получи думата "книга".

30. Думата "ананас" е съставена от буквите на нарязаната азбука. Дете, което не може да чете, разпръсна тези букви и след това ги събра в произволен ред. Намерете вероятността Рфактът, че той отново има думата "ананас

31. Няколко карти се изтеглят от пълно тесте карти (52 листа, 4 боя). Колко карти трябва да бъдат изтеглени, за да се твърди с вероятност по-голяма от 0,50, че между тях ще има карти от една боя?

32. нчовек е произволно седнал на кръгла маса (N> 2). Намерете вероятността Рче две фиксирани лица Аи Vще бъде близо.

33. Същият проблем (виж 32), но таблицата е правоъгълна, а N човек е седнал произволно от едната му страна.

34. Числа от 1 до Н.От тях ндве бъчви се избират на случаен принцип. Намерете вероятността и двете бъчви да имат числа по-малко от k (2

35. Бъчвите за лото имат номера от 1 до Н.От тях ндве бъчви се избират на случаен принцип. Намерете вероятността на една от бъчвите да е записано число, по-голямо от k , а от другата - по-малко от к . (2

36. Батерия от Моръдия, стрелящи по група, състояща се от нцели (М< N). Оръжията избират целите си последователно, произволно, при условие че няма две оръдия да стрелят по една и съща цел. Намерете вероятността Ркойто цели с числа 1, 2, ..., М.

37 .. Батерия, състояща се от Да сепушки, стреля по група, състояща се от азсамолет (Да се< 2). Всяко оръжие избира целта си произволно и независимо от останалите. Намерете вероятността всичко Да сеоръжията ще стрелят по една и съща цел.

38. При условията на предишната задача намерете вероятността всички оръдия да стрелят по различни цели.

39. Четири топки са разпръснати на случаен принцип върху четири дупки; всяка топка удря една или друга дупка с еднаква вероятност и независимо от останалите (няма пречки няколко топки да ударят една и съща дупка). Намерете вероятността да има три топки в една от дупките, една в другата и да няма топки в другите две дупки.

40. Маша се скарала с Петя и не иска да се вози в същия автобус с него. 5 автобуса тръгват от общежитието до института от 7 до 8 часа. Тези, които нямат време за тези автобуси, закъсняват за лекцията. По колко начина Маша и Петя могат да стигнат до института с различни автобуси и да не закъснеят за лекцията?

41. В ИТ отдела на банката работят 3 анализатори, 10 програмисти и 20 инженери. За извънреден труд на официален празник ръководителят на отдела трябва да назначи един служител. По колко начина може да се направи това?

42. Ръководителят на службата за сигурност на банката трябва да разполага всеки ден по 10 охранители на 10 поста. По колко начина може да се направи това?

43. Новият президент на банката трябва да назначи 2 нови вицепрезиденти измежду 10 директори. По колко начина може да се направи това?

44. Един от воюващите залови 12, а другите 15 пленници. По колко начина могат да бъдат разменени 7 военнопленници?

45. Петя и Маша събират видео дискове. Петя има 30 комедии, 80 екшъна и 7 мелодрами, Маша има 20 комедии, 5 екшъна и 90 мелодрами. По колко начина Петя и Маша могат да си разменят 3 комедии, 2 екшъна и 1 мелодрама?

46. ​​При условията на проблем 45 по колко начина Петя и Маша могат да си разменят 3 мелодрами и 5 комедии?

47. При условията на задача 45 по колко начина Петя и Маша могат да си разменят 2 екшън филма и 7 комедии.

48. Един от воюващите залови 15, а другите 16 пленници. По колко начина могат да бъдат разменени 5 военнопленници?

49. Колко коли могат да бъдат регистрирани в 1 град, ако номерът има 3 цифри и 3 букви (само тези, чието изписване съвпада с латинските - A, B, E, K, M, H, O, P, C, T , U, X )?

50. Един от воюващите залови 14, а останалите 17 пленници. По колко начина могат да бъдат разменени 6 военнопленници?

51. Колко различни думи можете да направите, като пренаредите буквите в думата „мама“?

52. В кошницата има 3 червени и 7 зелени ябълки. От него се изважда една ябълка. Намерете вероятността да бъде червено.

53. В кошницата има 3 червени и 7 зелени ябълки. Извадиха от него една зелена ябълка и я оставиха настрана. След това извадете още 1 ябълка от кошницата. Каква е вероятността тази ябълка да е зелена?

54. В партида от 1000 артикула 4 са с дефекти. За контрол се избира партида от 100 артикула. Каква е вероятността LLP да няма дефектни в контролната партида?

56. През 80-те години на миналия век играта "спортно тото 5 от 36" беше популярна в СССР. Играчът отбеляза 5 числа от 1 до 36 на картата и получи награди с различни деноминации, ако познае различен брой числа, обявени от комисията за теглене. Намерете вероятността играчът да не е отгатнал нито едно число.

57. През 80-те години на миналия век играта "спортно тото 5 от 36" беше популярна в СССР. Играчът отбеляза 5 числа от 1 до 36 на картата и получи награди с различни деноминации, ако познае различен брой числа, обявени от комисията за теглене. Намерете вероятността играчът да познае едно число.

58. През 80-те години на миналия век играта "спортно тото 5 от 36" беше популярна в СССР. Играчът отбеляза 5 числа от 1 до 36 на картата и получи награди с различни деноминации, ако познае различен брой числа, обявени от комисията за теглене. Намерете вероятността играчът да е отгатнал 3 числа.

59. През 80-те години на миналия век играта "спортно тото 5 от 36" беше популярна в СССР. Играчът отбеляза 5 числа от 1 до 36 на картата и получи награди с различни деноминации, ако познае различен брой числа, обявени от комисията за теглене. Намерете вероятността играчът да не е отгатнал всичките 5 числа.

60. През 80-те години на миналия век играта "спортно тото 6 от 49" беше популярна в СССР. Играчът отбеляза 6 числа от 1 до 49 на картата и получи награди с различни деноминации, ако познае различен брой числа, обявени от комисията за теглене. Намерете вероятността играчът да познае 2 числа.

61. През 80-те години на миналия век играта "спортно тото 6 от 49" беше популярна в СССР. Играчът отбеляза 6 числа от 1 до 49 на картата и получи награди с различни деноминации, ако познае различен брой числа, обявени от комисията за теглене. Намерете вероятността играчът да не е отгатнал нито едно число.

62. През 80-те години на миналия век играта "спортно тото 6 от 49" беше популярна в СССР. Играчът отбеляза 6 числа от 1 до 49 на картата и получи награди с различни деноминации, ако познае различен брой числа, обявени от комисията за теглене. Намерете вероятността играчът да е отгатнал всичките 6 числа.

63. В партида от 1000 артикула 4 са с дефекти. За контрол се избира партида от 100 артикула. Каква е вероятността за дружество с ограничена отговорност да има само 1 дефектна партида в контролната партида?

64. Колко различни думи можете да направите, като пренаредите буквите в думата "книга"?

65. Колко различни думи можете да направите, като пренаредите буквите в думата "ананас"?

66. В асансьора влязоха 6 души, а общежитието е на 7 етажа. Каква е вероятността всичките 6 души да излязат на един етаж?

67. В асансьора влязоха 6 души, сградата е 7 етажна. Каква е вероятността всичките 6 души да излязат на различни етажи?

68. При гръмотевична буря е възникнало скъсване на проводника в участъка между км 40 и 79 от електропровода. Ако приемем, че скалата е еднакво възможна във всяка точка, намерете вероятността скалата да се е появила между 40-ия и 45-ия километър.

69. На 200-километров участък от газопровода възниква изтичане на газ между компресорни станции А и Б, което е еднакво възможно във всяка точка на газопровода. каква е вероятността течът да се случи на не повече от 20 km от A

70. На 200-километров участък от газопровода възниква изтичане на газ между компресорни станции А и Б, което е еднакво възможно във всяка точка на тръбопровода. каква е вероятността течът да се случи по-близо до A, отколкото до B

71. Радарът на инспектора на КАТ е с точност 10 км/ч и се закръглява към най-близката страна. Кое се случва по-често – закръгляване в полза на шофьора или на инспектора?

72. Маша прекарва от 40 до 50 минути по пътя до института и всяко време в този интервал е еднакво вероятно. Каква е вероятността тя да прекара 45 до 50 минути на път.

73. Петя и Маша се съгласиха да се срещнат при паметника на Пушкин от 12:00 до 13:00 часа, но никой не можа да посочи точния час на пристигането. Те се разбраха да изчакат 15 минути един за друг. Каква е вероятността от срещата им?

74. Рибарите са уловили 120 риби във водоема, от които 10 опръстенени. Какъв е шансът да хванете пръстеновидна риба?

75. Извадете всички ябълки на свой ред от кошницата, съдържаща 3 червени и 7 зелени ябълки. каква е вероятността втората ябълка да се окаже червена?

76. Извадете всички ябълки на свой ред от кошницата, съдържаща 3 червени и 7 зелени ябълки. каква е вероятността последната ябълка да е зелена?

77. Студентите смятат 10 от 50 билета за „добри“. Петя и Маша се редуват да изтеглят един билет. Каква е вероятността Маша да получи „добър“ билет?

78. Студентите смятат, че от 50 билета 10 са „добри“. Петя и Маша се редуват да изтеглят един билет. Каква е вероятността и двамата да получат „добър“ билет?

79. Маша дойде на изпита, знаейки отговорите на 20 от 25 въпроса на програмата.Професорът задава 3 въпроса. Каква е вероятността Маша да отговори на 3 въпроса?

80. Маша дойде на изпита, знаейки отговорите на 20 от 25 въпроса на програмата.Професорът задава 3 въпроса. Каква е вероятността Маша да не отговори на нито един въпрос?

81. Маша дойде на изпита, знаейки отговорите на 20 от 25 въпроса на програмата.Професорът задава 3 въпроса. Каква е вероятността Маша да отговори на 1 въпрос?

82. Статистиката на заявките за кредити в банката е, както следва: 10% - държавно. органи, 20% - други банки, останалите - физически лица. Вероятността за неизплащане на заеми е съответно 0,01, 0,05 и 0,2. Каква част от заемите не се връщат?

83. Вероятността седмичният оборот на търговеца на сладолед ще надхвърли 2000 рубли. е 80% при ясно време, 50% при променлива облачност и 10% при дъждовно време. Каква е вероятността оборотът да надвиши 2000 рубли? ако вероятността за ясно време е 20%, а променлива облачност и дъждове - по 40%.

84. В урна А бяла (б) и Б черни (h) топки. От урната се изваждат две топки (едновременно или последователно). Намерете вероятността и двете топки да са бели.

85. В урна А бели и Б

86. В урна А бели и Б

87. В урна А бели и Б черни топки. Едната топка се изважда от урната, отбелязва се нейният цвят и топката се връща в урната. След това от урната се взема друга топка. Намерете вероятността тези топки да бъдат с различни цветове.

88. Включва кутия с девет нови тенис топки. За играта се вземат три топки; след мача се връщат обратно. При избора на топки не се разграничават изиграни и неизиграни. Каква е вероятността след три игри да не останат топки в полето?

89. Напускане на апартамента, н всеки гост ще си сложи своите галоши;

90. Напускане на апартамента, нгостите със същия размер на обувките носят галоши на тъмно. Всеки от тях може да различи десния галош от левия, но не може да различи своя от друг. Намерете вероятността, че всеки гост ще облече галоши, принадлежащи на един чифт (може и да не е техен).

91. При условията на задача 90 намерете вероятността всеки да си тръгне в галошите си ако гостите не могат да разграничат десните галоши от левите и просто вземат първите два калоша, които попаднат.

92. Извършва се стрелба по самолета, уязвимите части на който са два двигателя и кабината. За да ударите (забраните) самолет, е достатъчно да ударите едновременно двата двигателя или пилотската кабина. При тези условия на стрелба вероятността да се удари първият двигател е p1втори двигател p2,пилотска кабина p3.Части от самолета се удрят независимо една от друга. Намерете вероятността самолетът да бъде ударен.

93. Двама стрелци, независимо един от друг, правят два изстрела (всеки в своята цел). Вероятност за уцелване на цел с един изстрел за първия стрелец p1за втория p2.Победител в състезанието е стрелецът с най-много дупки в мишената. Намерете вероятността Pxкакво ще спечели първият стрелец.

94. зад космически обект обектът се открива с вероятност Р.Откриването на обект във всеки цикъл става независимо от другите. Намерете вероятността за NSцикли обектът ще бъде открит.

95. 32 букви от руската азбука са написани на картите на разделената азбука. Пет карти се изваждат на случаен принцип една след друга и се поставят на масата по реда на появяване. Намерете вероятността да получите думата "край".

96. Две топки са разпръснати произволно и независимо една от друга в четири клетки, разположени една след друга в права линия. Всяка топка с еднаква вероятност от 1/4 удря всяка клетка. Намерете вероятността топките да попаднат в съседни клетки.

97. По самолета се изстрелват запалителни патрони. Горивото на самолета е концентрирано в четири резервоара, разположени във фюзелажа един след друг. Площите на резервоарите са еднакви. За да се запали самолетът, е достатъчно да се удари с два снаряда или в същия резервоар, или в съседни резервоари. Известно е, че два снаряда са попаднали в района на танковете. Намерете вероятността самолетът да се запали.

98. От пълно тесте карти (52 листа) се изваждат четири карти наведнъж. Намерете вероятността и четирите от тези карти да са от различни цветове.

99. Четири карти се изваждат наведнъж от пълно тесте карти (52 листа), но всяка карта след като бъде извадена се връща в тестето. Намерете вероятността и четирите от тези карти да са от различни цветове.

100. Когато запалването е включено, двигателят започва да работи с голяма вероятност Р.

101. Устройството може да работи в два режима: 1) нормален и 2) ненормален. Нормалният режим се наблюдава в 80% от всички случаи на работа на устройството; ненормални - 20%. Вероятността от повреда на устройството с течение на времето Tв нормален режим е 0,1; при ненормално - 0,7. Намерете пълната вероятност Рповреда на устройството.

102. Магазинът получава стоки от 3 доставчици: 55% от 1-ви, 20% от 2-ри и 25% от 3-ти. Брачността е съответно 5, 6 и 8 процента. Каква е вероятността закупеният дефектен продукт да е от втори доставчик.

103. Потокът от автомобили покрай бензиностанцията се състои от 60% камиони и 40% леки автомобили. Каква е вероятността да намерите камион на бензиностанция, ако вероятността да го заредите е 0,1, а тази на лек автомобил е 0,3

104. Потокът от автомобили покрай бензиностанцията се състои от 60% камиони и 40% леки автомобили. Каква е вероятността да намерите камион на бензиностанция, ако вероятността да го заредите е 0,1, а тази на лек автомобил е 0,3

105. Магазинът получава стоки от 3 доставчици: 55% от 1-ви, 20% от 2-ри и 25% от 3-ти. Брачността е съответно 5, 6 и 8 процента. Каква е вероятността закупеният дефектен продукт да дойде от 1-ви доставчик.

106. 32 букви от руската азбука са написани на картите на разделената азбука. Пет карти се изваждат на случаен принцип една след друга и се поставят на масата по реда на появяване. Намерете вероятността да получите думата "книга".

107. Магазинът получава стоки от 3 доставчици: 55% от 1-ви, 20 от 2-ри и 25% от 3-ти. Брачността е съответно 5, 6 и 8 процента. Каква е вероятността закупеният дефектен продукт да дойде от 1-ви доставчик.

108. Две топки са разпръснати произволно и независимо една от друга в четири клетки, разположени една след друга в права линия. Всяка топка с еднаква вероятност от 1/4 удря всяка клетка. Намерете вероятността 2 топки да попаднат в една клетка

109. Когато запалването е включено, двигателят започва да работи с голяма вероятност Р.Намерете вероятността двигателят да започне да работи при повторно включване на запалването;

110. По самолета се изстрелват запалителни патрони. Горивото на самолета е концентрирано в четири резервоара, разположени във фюзелажа един след друг. Площите на резервоарите са еднакви. За да запалите самолета, достатъчно е да ударите един и същи резервоар с два снаряда. Известно е, че два снаряда са попаднали в района на танковете. Намерете вероятността самолетът да се запали

111. Самолетът е обстрелван със запалителни снаряди. Горивото на самолета е концентрирано в четири резервоара, разположени във фюзелажа един след друг. Площите на резервоарите са еднакви. За да се запали самолетът, е достатъчно да се ударят съседните танкове с два снаряда. Известно е, че два снаряда са попаднали в района на танковете. Намерете вероятността самолетът да се запали

112. В урна А бели и Б черни топки. Едната топка се изважда от урната, отбелязва се нейният цвят и топката се връща в урната. След това от урната се взема друга топка. Намерете вероятността и двете извадени топки да бъдат бели.

113. В урна А бели и Б черни топки. От урната се изваждат наведнъж две топки. Намерете вероятността тези топки да бъдат с различни цветове.

114. Две топки са разпръснати произволно и независимо една от друга в четири клетки, разположени една след друга в права линия. Всяка топка с еднаква вероятност от 1/4 удря всяка клетка. Намерете вероятността топките да попаднат в съседни клетки.

115. Маша дойде на изпита, знаейки отговорите на 20 от 25 въпроса на програмата.Професорът задава 3 въпроса. Каква е вероятността Маша да отговори на 2 въпроса?

116. Студентите смятат, че от 50 билета 10 са „добри”. Петя и Маша се редуват да изтеглят един билет. Каква е вероятността и двамата да получат „добър“ билет?

117. Статистиката на заявките за кредити в банката е, както следва: 10% - държавно. органи, 20% - други банки, останалите - физически лица. Вероятността за неизплащане на заеми е съответно 0,01, 0,05 и 0,2. Каква част от заемите не се връщат?

118. 32 букви от руската азбука са написани на картите на разделената азбука. Пет карти се изваждат на случаен принцип една след друга и се поставят на масата по реда на появяване. Намерете вероятността да получите думата "край".

119 Статистиката на исканията за кредити в банката е както следва: 10% - държавно. органи, 20% - други банки, останалите - физически лица. Вероятността за неизплащане на заеми е съответно 0,01, 0,05 и 0,2. Каква част от заемите не се връщат?

120. Вероятността седмичният оборот на търговеца на сладолед ще надхвърли 2000 рубли. е 80% при ясно време, 50% при променлива облачност и 10% при дъждовно време. Каква е вероятността оборотът да надвиши 2000 рубли? ако вероятността за ясно време е 20%, а променлива облачност и дъждове - по 40%.