"Статистика

Статистика и обработка на данни в психологията
(продължение)

Корелационен анализ

При изучаване корелацииопитайте се да установите дали има някаква връзка между два показателя в една и съща извадка (например между височината и теглото на децата или между нивото IQи училищно представяне) или между две различни извадки (например при сравняване на двойки близнаци), и ако тази връзка съществува, тогава дали увеличението на един показател е придружено от увеличение (положителна корелация) или намаляване (отрицателна корелация) на другият.

С други думи, корелационният анализ помага да се установи дали е възможно да се предскажат възможните стойности на един индикатор, като се знае стойността на друг.

Досега, когато анализирахме резултатите от нашия опит с изследването на ефектите от марихуаната, ние умишлено игнорирахме такъв показател като времето за реакция. Междувременно би било интересно да се провери дали има връзка между ефективността на реакциите и тяхната скорост. Това би позволило например да се твърди, че колкото по-бавен е човек, толкова по-точни и ефективни ще бъдат неговите действия и обратно.

За целта могат да се използват два различни метода: параметричният метод за изчисляване на коефициента на Браве-Пиърсън (r) и изчисляването на коефициента на корелация на ранг на Спирман (r s), който се прилага към порядковите данни, т.е. е непараметричен. Нека обаче първо да разберем какъв е коефициентът на корелация.

Коефициент на корелация

Коефициентът на корелация е стойност, която може да варира от +1 до -1. В случай на пълна положителна корелация, този коефициент е плюс 1, а при пълна отрицателна корелация е минус 1. На графиката това съответства на права линия, минаваща през пресечните точки на стойностите на всяка информация двойка:

Ако тези точки не се подреждат в права линия, а образуват "облак", коефициентът на корелация в абсолютна стойност става по-малък от единица и когато този облак се закръгли, се доближава до нула:

Ако коефициентът на корелация е 0, двете променливи са напълно независими една от друга.

В хуманитарните науки корелацията се счита за силна, ако нейният коефициент е по-голям от 0,60; ако надвишава 0,90, тогава корелацията се счита за много силна. Въпреки това, за да може да се направят изводи за връзките между променливите, големината на извадката е от голямо значение: колкото по-голяма е извадката, толкова по-надеждна е стойността на получения корелационен коефициент. Има таблици с критични стойности на корелационните коефициенти на Браве-Пиърсън и Спирман за различен брой степени на свобода (той е равен на броя на двойките минус 2, т.е. н- 2). Само ако коефициентите на корелация са по-големи от тези критични стойности, те могат да се считат за надеждни. Така че, за да бъде надежден коефициентът на корелация от 0,70, в анализа трябва да се вземат поне 8 двойки данни (з = n-2 = 6) при изчисляване на r (виж таблица 4 в приложението) и 7 двойки данни (h = n-2 = 5) при изчисляване на r s (Таблица 5 в приложението).

Искам още веднъж да подчертая, че същността на тези два коефициента е малко по-различна. Отрицателният коефициент r показва, че ефективността най-често е толкова по-висока, колкото по-кратко е времето за реакция, докато при изчисляване на коефициента r s е необходимо да се провери дали по-бързите субекти винаги реагират по-точно, а по-бавните по-малко точно.

Коефициент на корелация на Brave-Pearson (r) - Това е параметричен индикатор, за чието изчисляване се сравняват средните и стандартните отклонения на резултатите от две измервания. В този случай се използва формула (може да изглежда различно за различните автори)

където Σ XY -сумата от произведенията на данните от всяка двойка;
n-брой двойки;
X - средно за променливите данни Х;
Й - средно за променливи данни Й
S x -стандартно отклонение за разпределение NS;
S y -стандартно отклонение за разпределение в

Коефициент на корелация на ранга на Спиърман ( r s ) е непараметричен индикатор, с помощта на който се опитват да разкрият връзката между ранговете на съответните величини в две серии от измервания.

Този фактор е по-лесен за изчисляване, но резултатите са по-малко точни от използването на r. Това се дължи на факта, че при изчисляване на коефициента на Спиърман се използва реда на данните, а не техните количествени характеристики и интервалите между класовете.

Факт е, че когато използват коефициента на корелация на ранговете на Спиърман (rs), те проверяват само дали класирането на данните за която и да е извадка ще бъде същото като в редица други данни за тази извадка, които са свързани по двойки с първите (за например, дали класират „студенти, когато издържат и психология, и математика, или дори с двама различни учители по психология?). Ако коефициентът е близо до +1, това означава, че и двете серии практически съвпадат, а ако този коефициент е близо до -1, можем да говорим за пълна обратна връзка.

Коефициент r sизчислено по формулата

където д- разликата между ранговете на конюгираните стойности на атрибутите (независимо от неговия знак) и - броя на двойките.

Обикновено този непараметричен тест се използва в случаите, когато е необходимо да се направят някои заключения не толкова за интервалимежду данните, колко за тях редици,а също и когато кривите на разпределение са твърде асиметрични и не позволяват използването на параметрични критерии като коефициента r (в тези случаи е необходимо количествените данни да се превърнат в ординални).

Резюме

И така, разгледахме различни параметрични и непараметрични статистически методи, използвани в психологията. Нашият преглед беше много повърхностен и основната му задача беше да накара читателя да разбере, че статистиката не е толкова страшна, колкото изглежда и изисква предимно здрав разум. Припомняме, че данните за „опит“, с които се занимавахме тук, са фиктивни и не могат да послужат като основа за каквито и да било изводи. Такъв експеримент обаче наистина си струва да се проведе. Тъй като за този експеримент е избрана чисто класическа техника, същият статистически анализ може да се използва в много различни експерименти. Във всеки случай ни се струва, че сме очертали някои основни насоки, които могат да бъдат полезни за тези, които не знаят откъде да започнат статистически анализ на получените резултати.

литература

1. Годфрой Дж.Какво е психология. - М., 1992г.
2. Шатийон Г., 1977 Statistique en humaines Sciences, Trois-Rivieres, Ed. SMG.
3. Гилбърт Н.. 1978. Statistiques, Монреал, Изд. HRW.
4. Moroney M.J., 1970 Comprendre la statistique, Verviers, Gerard et Cie.
5. Сийгъл С., 1956. Непараметрична статистика, Ню Йорк, MacGraw-Hill Book Co.

Приложение Таблици

Бележки. 1) За големи проби или нива на значимост, по-малки от 0,05, вижте таблиците в ръководствата за статистика.

2) Таблици със стойности за други непараметрични критерии могат да бъдат намерени в специални ръководства (виж библиографията).

7.3.1. Коефициенти на корелация и детерминация.Може да се определи количествено стегнатост на комуникациятамежду факторите и неговите фокус(напред или назад), като се изчисли:

1) ако трябва да определите линейна връзка между два фактора, - съотношение на двойкикорелации: в 7.3.2 и 7.3.3 се разглеждат операциите за изчисляване на коефициента на линейна корелация на двойката по Bravais – Pearson ( r) и коефициент на корелация на ранга на Спиърман по двойки ( r);

2) ако искаме да определим връзката между два фактора, но тази зависимост е очевидно нелинейна, тогава съотношение на корелация ;

3) ако искаме да определим връзката между един фактор и определен набор от други фактори, тогава (или, еквивалентно, "множествен коефициент на корелация");

4) ако искаме да идентифицираме изолирано връзката на един фактор само с конкретен друг, включен в групата фактори, влияещи на първия, за които трябва да считаме влиянието на всички останали фактори непроменено, то частичен (частичен) коефициент на корелация .

Всеки коефициент на корелация (r, r) не може да надвишава 1 по абсолютна стойност, тоест -1< r (r) < 1). Если получено значение 1, то это значит, что рассматриваемая зависимость не статистическая, а функциональная, если 0 - корреляции нет вообще.

Знакът при коефициента на корелация определя посоката на връзката: знакът "+" (или без знак) означава, че връзката прав (положителен), знакът "-" - че връзката обратен (отрицателен). Знакът няма нищо общо със сковаността на комуникацията

Коефициентът на корелация характеризира статистическата връзка. Но често е необходимо да се определи друг вид зависимост, а именно: какъв е приносът на даден фактор за формирането на друг свързан фактор. Този вид зависимост с известна степен на условност се характеризира с коефициент на детерминация (д ) се определя по формулата д = r 2 ´100% (където r е корелационният коефициент на Браве – Пиърсън, виж 7.3.2). Ако са направени измервания скала на порядъка (скала на ранговете), то с известно увреждане на надеждността, вместо стойността на r, стойността на r (коефициентът на корелация на Спиърман, вижте 7.3.3) може да бъде заместена във формулата.

Например, ако получихме като характеристика на зависимостта на фактор B от фактор A, коефициентът на корелация r = 0,8 или r = –0,8, тогава D = 0,8 2 ´100% = 64%, тоест около 2 ½ 3. Следователно приносът на фактор А и неговите промени за образуването на фактор В е приблизително 2 ½ 3 върху общия принос на всички фактори като цяло.

7.3.2. Коефициент на корелация по Bravais-Pearson.Процедурата за изчисляване на корелационния коефициент на Браве – Пиърсън ( r ) може да се използва само в случаите, когато връзката се разглежда въз основа на проби с нормално честотно разпределение ( нормална дистрибуция ) и се получава чрез измервания в скалите на интервалите или съотношенията. Изчислената формула за този коефициент на корелация:

å ( хаз -) ( газ -)

r = .

n × s x × s y

Какво показва коефициентът на корелация? Първо, знакът при коефициента на корелация показва насочеността на връзката, а именно: знакът "-" показва, че връзката обратен, или отрицателен(има тенденция: с намаляване на стойностите на един фактор, съответните стойности на друг фактор се увеличават и с увеличение намаляват), а липсата на знак или знак "+" показва прав, или положителенвръзки (има тенденция: с увеличаване на стойностите на един фактор, стойностите на друг се увеличават, а с намаляване те намаляват). Второ, абсолютната (независима от знака) стойност на коефициента на корелация говори за плътността (здравостта) на връзката. Обичайно е да се разглежда (по-скоро условно): за стойности на r< 0,3 корреляция много слаб, доста често просто не се взема предвид, за 0,3 £ r< 5 корреляция слаб, за 0,5 £ r< 0,7) - средно аритметично, за 0,7 £ r 0,9 £) - силени накрая, за r> 0,9 - много силен.В нашия случай (r »0,83) връзката е обратна (отрицателна) и силна.

Припомнете си: стойностите на коефициента на корелация могат да бъдат в диапазона от –1 до +1. Ако стойността на r надхвърли тези граници, това показва, че в изчисленията направих грешка ... Ако r= 1, това означава, че връзката не е статистическа, а функционална - което на практика не се случва в спорта, биологията, медицината. Въпреки че с малък брой измервания е възможен произволен избор на стойности, който дава картина на функционалната връзка, но такъв случай е толкова по-малко вероятен, колкото по-голям е обемът на сравняваните проби (n), т.е. брой двойки сравнени измервания.

Таблицата за изчисление (Таблица 7.1) е изградена по формулата.

Таблица 7.1.

Изчислителна таблица за изчисление по Bravais-Pearson

Дотолкова доколкото сх = ï ï = ï ï» 0,42, а

с y = ï ï» 0,32, r" –1,24ï (11´0,42´0,32) » –1,24ï 1,48 » –0,83 .

С други думи, трябва да знаете много твърдо, че коефициентът на корелация не мога надвишава 1,0 по абсолютна стойност. Това често дава възможност да се избегнат груби грешки или, по-точно, да се открият и коригират грешките, направени в изчисленията.

7.3.3. Коефициент на корелация на Спирман. Както вече споменахме, коефициентът на корелация на Браве – Пиърсън (r) може да се прилага само в случаите, когато анализираните фактори в честотното разпределение са близки до нормалните и стойностите на варианта се получават чрез измервания задължително в скалата на съотношенията или в скалата на интервалите, което се случва, ако те са изразени физически единици. В други случаи се намира коефициентът на корелация на Спиърман ( r). Този коефициент обаче могаприлага се и в случаите, когато е позволено (и е желателно ! ) прилагат коефициента на корелация на Браве-Пиърсън. Но трябва да се има предвид, че процедурата за определяне на коефициента според Bravais-Pearson има по-висока мощност („разрешаванеспособност"), Следователно rпо-информативен от r... Дори и с големи нотклонение rможе да бъде от порядъка на ± 10%.

Таблица 7.2 Формула за изчисление на коефициентите

x i y i R x R y | d R | d R 2 ent на корелация според Spearman

13,2 4,75 8,5 3,0 5,5 30,25 r= 1 -. Vos

13,5 4,70 11,0 2,0 9,0 81,00 използвайте нашия пример

12,7 5,10 4,5 6,5 2,0 4,00 за изчисление rно изградете

12,5 5,40 3,0 9,0 6,0 36,00 друга маса (Таблица 7.2).

13,0 5,10 6,0 6,5 0,5 0,25 Заместете стойностите:

13,2 5,00 8,5 4,5 4,0 16,00 r = 1– =

13,1 5,00 7,0 4,5 2,5 6,25 =1– 2538:1320 » 1–1,9 » – 0,9.

13,4 4,65 10,0 1,0 9,0 81,00 Виждаме: rсе оказа малко

12,4 5,60 2,0 11,0 9,0 81,00 повече от rно се различава

12,3 5,50 1,0 10,0 9,0 81,00 не е много голям. В крайна сметка, кога

12,7 5,20 4,5 8,0 3,5 12,25 този малък нсмисъл rи r

åd R 2 = 423 са много приблизителни, малко надеждни, тяхната действителна стойност може да варира значително, следователно разликата rи rпри 0,1 е незначително. обикновеноrсе счита за аналогr но само по-малко точни... Знаци на rи rпоказва посоката на връзката.

7.3.4. Приложение и валидиране на корелационни коефициенти.Определянето на степента на корелация между факторите е необходимо, за да управляваме развитието на фактора, от който се нуждаем: за това трябва да въздействаме на други фактори, които значително го влияят, и трябва да знаете мярката за тяхната ефективност. Необходимо е да се знае за взаимовръзката на факторите за разработване или избор на готови тестове: информационното съдържание на теста се определя от съотношението на неговите резултати с проявите на знака или свойството, което ни интересува. Всяка форма на подбор е невъзможна без познаване на корелациите.

По-горе беше отбелязано, че в спортната и като цяло педагогическата, медицинската и дори икономическата и социологическа практика е от голям интерес да се определи дали принос , което на един фактор допринася за образуването на друг... Това се дължи на факта, че в допълнение към разглеждания фактор-причина, цел(интересуваме се) фактор акт, даващ всеки един или друг принос към него, и др.

Смята се, че мярка за приноса на всеки фактор-причина може да бъде коефициент на детерминация D i = r 2 ´100%. Така например, ако r = 0,6, т.е. връзката между факторите A и B е средна, тогава D = 0,6 2 ´100% = 36%. Знаейки следователно, че приносът на фактор А за образуването на фактор В е приблизително 1 ½ 3, може например да се посвети приблизително 1 на целенасоченото развитие на този фактор. ½ 3 тренировъчни пъти. Ако коефициентът на корелация е r = 0,4, тогава D = r 2 100% = 16%, или приблизително 1 ½ 6 - повече от два пъти по-малко и съответно само 1 трябва да се даде на развитието му според тази логика ½ 6 част от времето за обучение.

Стойностите D i за различни значими фактори дават приблизителна представа за количествената връзка на техните влияния върху целевия фактор, който ни интересува, за подобряване на който ние всъщност работим върху други фактори (напр. Например, бягащ дълъг скачач работи за увеличаване на скоростта на своя спринт, така че той е факторът, който има най-значителен принос за формиране на резултата при скокове).

Припомнете си това дефиниране двместо rслагам r, въпреки че, разбира се, точността на определянето се оказва по-ниска.

Базиран избирателен(изчислен въз основа на извадкови данни) на коефициента на корелация, не е възможно да се направи извод за надеждността на факта, че има връзка между разглежданите фактори като цяло. За да направите такова заключение с различна степен на валидност, използвайте стандарт тестове за корелационна значимост... Използването им предполага линейна връзка между факторите и нормална дистрибуциячестоти във всеки от тях (което означава не селективно, а общото им представяне).

Можете например да приложите t-теста на Студент. Неговият ра-

равномерна формула: т стр= –2 , където k е коефициентът на корелация на изследваната проба, a н- обемът на сравняваните проби. Получената изчислена стойност на t-критерия (tp) се сравнява с табличната стойност при избраното ниво на значимост и броя на степените на свобода n = n - 2. За да се отървете от изчислената работа, можете да използвате специална маса критични стойности на коефициентите на корелация на извадката(виж по-горе), съответстващо на наличието на надеждна връзка между факторите (като се вземе предвид н и а).

Таблица 7.3.

Гранични стойности на надеждността на коефициента на корелация на извадката

Броят на степените на свобода при определяне на коефициентите на корелация се приема равен на 2 (т.е. н= 2) Посочено в табл. Стойностите 7.3 имат по-ниски граници на доверие вярно коефициентът на корелация е 0, тоест с такива стойности не може да се твърди, че изобщо има корелация. Ако стойността на извадковия коефициент на корелация е по-висока от посочената в таблицата, може да се приеме, че истинският коефициент на корелация не е равен на нула при подходящо ниво на значимост.

Но отговорът на въпроса дали има реална връзка между разглежданите фактори оставя място за друг въпрос: в какъв интервал се истински смисъл коефициентът на корелация, какъвто всъщност може да бъде, за безкрайно голям н? Този интервал за всяка конкретна стойност rи нсравняваните фактори могат да бъдат изчислени, но е по-удобно да се използва графичната система ( номограма), където всяка двойка криви е конструирана за някои посочени по-горе н, съответства на границите на интервала.

Ориз. 7.4. Доверителни граници за коефициента на корелация на извадката (a = 0,05). Всяка крива съответства на тази над нея н.

Позовавайки се на номограмата на фиг. 7.4, е възможно да се определи диапазонът от стойности на истинския коефициент на корелация за изчислените стойности на коефициента на корелация на извадката при a = 0,05.

7.3.5. Корелационни отношения.Ако двойна корелация нелинейни, е невъзможно да се изчисли коефициентът на корелация, да се определи корелационни отношения ... Задължително изискване: знаците трябва да се измерват по скала на отношенията или в скала от интервали. Можете да изчислите корелационната зависимост на фактора хот фактор Йи корелационната зависимост на фактора Йот фактор х- те се различават. С малък обем н от разглежданите проби, представляващи факторите, за изчисляване на корелационните съотношения можете да използвате формулите:

съотношение на корелация h x ½ y= ;

съотношение на корелация h y ½ х= .

Тук и са средните аритметични на извадките X и Y, и - вътрешнокласов аритметични средни. Тоест - средноаритметичната стойност на тези стойности в извадката на фактор X, с която същите стойности са конюгирани в извадката на фактор Y (например, ако фактор X съдържа стойности 4, 6 и 5, с които 3 варианта със същата стойност от 9 са конюгирани в извадката на фактор Y, тогава = (4 + 6 + 5) ½ 3 = 5). Съответно - средноаритметичната стойност на тези стойности в извадката на фактор Y, с които са свързани същите стойности в извадката на фактор X. Нека дадем пример и да изчислим:

NS: 75 77 78 76 80 79 83 82 ; Y: 42 42 43 43 43 44 44 45 .

Таблица 7.4

Таблица за изчисление

Следователно, h y ½ x= "0,63.

7.3.6. Частични и множествени коефициенти на корелация.За да оценим връзката между 2 фактора, изчислявайки коефициентите на корелация, ние като че ли приемаме по подразбиране, че никакви други фактори не оказват влияние върху тази връзка. В действителност това не е така. Така че връзката между теглото и височината е много значително повлияна от калориен прием, количеството системна физическа активност, наследствеността и т.н. Когато е необходимо при оценка на връзката между 2 фактора вземете предвид значителното въздействиедруги фактори и в същото време да се изолира от тях, считайки ги за непроменени, изчисли частен (в противен случай - частичен ) коефициенти на корелация.

Пример: трябва да оцените сдвоените връзки между 3 по същество действащи фактора X, Y и Z. r XY (Z) е частичен (частичен) коефициент на корелация между фактори X и Y (докато стойността на фактор Z се счита за непроменена), r ZX (Y) - частичен коефициент на корелация между факторите Z и X (с постоянна стойност на фактор Y), r YZ (X) - частичен коефициент на корелация между факторите Y и Z (при еднаква стойност на фактор X). Използване на изчислените прости сдвоени (според Bravais-Pearson) корелационни коефициенти r XY, r XZ и r YZ, м

Можете да изчислите частичните (частични) коефициенти на корелация по формулите:

r XY - r XZ ´ r YZ r XZ - r XY ´ r ZY r ZY –r ZX ´ r YZ

r XY (Z) =; r XZ (Y) =; r ZY (X) =

Ö (1– r 2 XZ) (1– r 2 YZ) Ö (1– r 2 XY) (1– r 2 ZY) Ö (1– r 2 ZX) (1– r 2 YX)

А коефициентите на частична корелация могат да приемат стойности от –1 до +1. Като ги възведем на квадрат, получаваме съответните частни детерминационни коефициенти също наричан частни мерки за сигурност(умножавайки по 100, изразяваме в %%). Частичните коефициенти на корелация се различават повече или по-малко от простите (пълни) сдвоени коефициенти, което зависи от силата на влиянието на третия фактор върху тях (като че ли непроменен). Тества се нулевата хипотеза (H 0), тоест хипотезата за липса на връзка (зависимост) между факторите X и Y (с общия брой характеристики к) чрез изчисляване на t-критерия по формулата: T P = r XY (Z) ´ ( н–К) 1 ½ 2 ´ (1– r 2 XY (Z)) –1 ½ 2 .

Ако TР< T a n, хипотезата е приета (считаме, че няма зависимост), но ако T P ³ T a n - хипотезата е опровергана, тоест се смята, че зависимостта наистина се осъществява. T a n се взема от таблицата T- Критерий на ученика, и к- броят на взетите под внимание фактори (в нашия пример 3), броят на степените на свобода н= n - 3. Други коефициенти на частична корелация се проверяват по подобен начин (във формулата вместо r XY (Z) е съответно заместен r XZ (Y) или r ZY (X)).

Таблица 7.5

Първоначални данни

Ö (1 - 0,71 2) (1 - 0,71 2) Ö (1 - 0,5) (1 - 0,5)

За да се оцени зависимостта на фактора X от комбинираното действие на няколко фактора (тук фактори Y и Z), се изчисляват стойностите на коефициентите на корелация на прости двойки и се изчисляват с тяхна помощ. коефициент на множествена корелация r X (YZ):

Ö r 2 XY + r 2 XZ - 2 r XY ´ r XZ ´ r YZ

r X (YZ) = .

Ö 1 - r 2 YZ

7.2.7. Коефициент на асоцииране.Често се изисква количествено определяне на връзката между качествознаци, т.е. такива характеристики, които не могат да бъдат представени (характеризирани) количествено, които неизмерим... Например, задачата е да се установи дали има връзка между спортната специализация на занимаващите се и такива личностни свойства като интровертност (ориентацията на индивида към явленията на собствения му субективен свят) и екстроверсия (ориентацията на индивидуално към света на външните обекти). Легендата е представена в табл. 7.6.

Таблица 7.6.

Очевидно само честотите на разпространение могат да бъдат числата, с които разполагаме. В този случай изчислете коефициент на асоцииране (друго име " коефициент на непредвидена ситуация "). Помислете за най-простия случай: връзката между две двойки характеристики, докато изчисленият коефициент на случайност се нарича тетрахоричен (виж таблицата).

Таблица 7.7.

Изчисленията се правят по формулата:

обява - пр. н. е. 100 - 225 –123

Изчисляването на коефициенти на асоцииране (коефициенти на конюгиране) с по-голям брой характеристики се свързва с изчисления, използващи подобна матрица от съответния ред.