Нека да разгледаме как да съставим уравнението на права линия, минаваща през две точки, като използваме примери.

Пример 1.

Направете уравнението на правата линия, минаваща през точките A (-3; 9) и B (2; -1).

Метод 1 - съставете уравнението на права линия с наклон.

Уравнението на права линия с наклон има вида. Замествайки координатите на точки A и B в уравнението на правата линия (x = -3 и y = 9 - в първия случай, x = 2 и y = -1 - във втория), получаваме система от уравнения от което намираме стойностите на k и b:

Добавяйки 1-во и 2-ро уравнения член по член, получаваме: -10 = 5k, откъдето k = -2. Замествайки k = -2 във второто уравнение, намираме b: -1 = 2 · (-2) + b, b = 3.

По този начин, y = -2x + 3 е желаното уравнение.

Метод 2 - съставете общото уравнение на правата линия.

Общото уравнение на правата линия има вида. Замествайки координатите на точки A и B в уравнението, получаваме системата:

Тъй като броят на неизвестните е по-голям от броя на уравненията, системата не е разрешима. Но можете да изразите всички променливи чрез една. Например, чрез b.

Умножаване на първото уравнение на системата по -1 и добавяне на член по член с второто:

получаваме: 5a-10b = 0. Следователно a = 2b.

Заместете получения израз във второто уравнение: 2 · 2b -b + c = 0; 3b + c = 0; c = -3b.
Заместете a = 2b, c = -3b в уравнението ax + by + c = 0:

2bx + by-3b = 0. Остава да разделим двете части на b:

Общото уравнение на права линия лесно се свежда до уравнението на права линия с наклон:

Метод 3 - съставете уравнението на права линия, минаваща през 2 точки.

Уравнението на права линия, минаваща през две точки, има:

Заместете в това уравнение координатите на точки A (-3; 9) и B (2; -1)

(тоест x 1 = -3, y 1 = 9, x 2 = 2, y 2 = -1):

и опростете:

откъдето 2x + y-3 = 0.

В училищния курс най-често се използва уравнението на права линия с наклон. Но най-лесният начин е да се изведе и използва формулата за уравнението на права линия, минаваща през две точки.

Коментирайте.

Ако при заместване на координатите на дадените точки един от знаменателите на уравнението

се оказва равно на нула, тогава желаното уравнение се получава чрез приравняване на нула на съответния числител.

Пример 2.

Направете уравнение на права линия, минаваща през две точки C (5; -2) и D (7; -2).

Заменете в уравнението права линия, минаваща през 2 точки, координатите на точки C и D.

Нека правата минава през точките M 1 (x 1; y 1) и M 2 (x 2; y 2). Уравнението на правата линия, минаваща през точката M 1, има вида y-y 1 = к (x - x 1), (10.6)

където к - все още неизвестен коефициент.

Тъй като правата линия минава през точка M 2 (x 2 y 2), координатите на тази точка трябва да отговарят на уравнението (10.6): y 2 -y 1 = к (x 2 -x 1).

От тук намираме Заместване на намерената стойност к в уравнение (10.6), получаваме уравнението на права линия, минаваща през точки M 1 и M 2:

Приема се, че в това уравнение x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Ако x 1 = x 2, тогава правата линия, минаваща през точките M 1 (x 1, y I) и M 2 (x 2, y 2), е успоредна на оста на ординатите. Неговото уравнение има формата х = х 1 .

Ако y 2 = y I, тогава уравнението на правата линия може да бъде записано като y = y 1, правата линия M 1 M 2 е успоредна на оста на абсцисата.

Уравнение на права линия в сегменти

Нека правата пресича оста Ox в точка M 1 (a; 0), а оста Oy - в точка M 2 (0; b). Уравнението ще приеме формата:
тези.
... Това уравнение се нарича уравнението на права линия в сегменти, тъй като числата a и b показват кои отсечки са отрязани с права линия по координатните оси.

Уравнение на права линия, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на даден вектор

Нека намерим уравнението на права линия, минаваща през дадена точка Mo (x O; y o), перпендикулярна на даден ненулев вектор n = (A; B).

Вземете произволна точка M (x; y) на права линия и разгледайте вектора M 0 M (x - x 0; y - y o) (виж фиг. 1). Тъй като векторите n и M o M са перпендикулярни, тяхното скаларно произведение е нула: т.е.

A (x - xo) + B (y - yo) = 0. (10.8)

Уравнение (10.8) се нарича уравнението на права линия, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на даден вектор .

Векторът n = (A; B), перпендикулярен на правата линия, се нарича нормален нормален вектор на тази права .

Уравнение (10.8) може да се пренапише като Ax + Wu + C = 0 , (10.9)

където A и B са координатите на нормалния вектор, C = -Aх о - Ву о - свободен член. Уравнение (10.9) е общото уравнение на правата линия(виж фиг. 2).

Фиг. 1 Фиг. 2

Канонични уравнения на правата линия

,

Където
- координати на точката, през която минава правата линия, и
е векторът на посоката.

Криви от втори ред кръг

Кръгът е множеството от всички точки на равнината, еднакво отдалечени от дадена точка, която се нарича център.

Каноничното уравнение на окръжност с радиус Р центрирано в точката
:

По-специално, ако центърът на залога съвпада с началото, тогава уравнението ще изглежда така:

Елипса

Елипса е набор от точки в равнина, сумата от разстоянията от всяка от които до две дадени точки и , които се наричат ​​фокуси, имат константа
по-голямо от разстоянието между фокусите
.

Каноничното уравнение на елипса, чиито фокуси лежат върху оста Ox, а началото на координатите в средата между фокусите има формата
г деа дължината на голямата полуос;б - дължината на малката полуос (фиг. 2).

Връзка между параметрите на елипсата
и изразено чрез съотношението:

(4)

Елипса на ексцентриситетанаречено съотношение на междуфокалното разстояние2вкъм главната ос2а:

Директорки елипси се наричат ​​прави линии, успоредни на оста Oy, които са на разстояние от тази ос. Директрисни уравнения:
.

Ако в уравнението на елипсата
, то фокусите на елипсата са на оста Oy.

Така,

Тази статия разкрива получаването на уравнението на права линия, минаваща през две дадени точки в правоъгълна координатна система, разположена върху равнина. Нека изведем уравнението на права линия, минаваща през две дадени точки в правоъгълна координатна система. Нагледно ще покажем и решим няколко примера, свързани с обхванатия материал.

Преди да се получи уравнението на права линия, минаваща през две дадени точки, е необходимо да се обърне внимание на някои факти. Има една аксиома, която гласи, че през две несъвпадащи точки на равнината е възможно да се начертае права линия и само една. С други думи, две дадени точки от равнината се определят от права линия, минаваща през тези точки.

Ако равнината е определена от правоъгълна координатна система Oxy, тогава всяка права линия, изобразена в нея, ще съответства на уравнението на права линия в равнината. Съществува и връзка с вектора на посоката на правата линия.Тези данни са достатъчни за генериране на уравнението на права линия, преминаваща през две дадени точки.

Нека разгледаме пример за решаване на подобен проблем. Необходимо е да се състави уравнение на правата линия a, минаваща през две несъвпадащи точки M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2), които са в декартовата координатна система.

В каноничното уравнение на права линия върху равнина, която има формата x - x 1 ax = y - y 1 ay, е посочена правоъгълна координатна система O xy с права линия, която се пресича с нея в точка с координати M 1 (x 1, y 1) с направляващ вектор a → = (ax, ay).

Необходимо е да се състави каноничното уравнение на правата линия a, която минава през две точки с координати M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2).

Правата a има вектор на посока M 1 M 2 → с координати (x 2 - x 1, y 2 - y 1), тъй като пресича точки M 1 и M 2. Получихме необходимите данни, за да трансформираме каноничното уравнение с координатите на вектора на посоката M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) и координатите на точките M 1 (x 1, y 1) лежащи върху тях и M 2 (x 2, y 2). Получаваме уравнение от вида x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 или x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.

Помислете за фигурата по-долу.

След изчисленията записваме параметричните уравнения на права линия върху равнина, която минава през две точки с координати M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2). Получаваме уравнение от вида x = x 1 + (x 2 - x 1) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ или x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Нека разгледаме по-подробно решението на няколко примера.

Пример 1

Запишете уравнението на права линия, минаваща през 2 дадени точки с координати M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.

Решение

Каноничното уравнение за права линия, пресичаща се в две точки с координати x 1, y 1 и x 2, y 2, приема формата x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Съгласно условието на задачата имаме, че x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Заменете числовите стойности в уравнението x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. От тук получаваме, че каноничното уравнение приема формата x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Отговор: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Ако трябва да решите проблем с различен вид уравнение, тогава първо можете да преминете към каноничното, тъй като е по-лесно да стигнете от него до всяко друго.

Пример 2

Начертайте общото уравнение на правата линия, минаваща през точките с координати M 1 (1, 1) и M 2 (4, 2) в координатната система O x y.

Решение

Първо, трябва да запишете каноничното уравнение на дадена права линия, която минава през дадените две точки. Получаваме уравнение от вида x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1.

Нека приведем каноничното уравнение до необходимия вид, тогава получаваме:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Отговор: x - 3 y + 2 = 0.

Примери за такива задачи бяха разгледани в училищните учебници в уроците по алгебра. Училищните задачи се различаваха по това, че добре познатото уравнение на права линия с наклон, което има формата y = k x + b. Ако трябва да намерите стойността на наклона k и числото b, за което уравнението y = kx + b дефинира права в системата O xy, която минава през точките M 1 (x 1, y 1) и M 2 ( x 2, y 2) , където x 1 ≠ x 2. Когато x 1 = x 2 , тогава наклонът приема стойността на безкрайност, а правата М 1 М 2 се определя от общо непълно уравнение от вида x - x 1 = 0 .

Защото точките М 1и М 2са на права линия, то техните координати удовлетворяват уравнението y 1 = k x 1 + b и y 2 = k x 2 + b. Необходимо е да се реши системата от уравнения y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b за k и b.

За да направите това, намерете k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 или k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

При такива стойности на k и b, уравнението на правата линия, преминаваща през дадените две точки, приема следния вид y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 или y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Запомнянето на такъв огромен брой формули наведнъж няма да работи. За да направите това, трябва да увеличите броя на повторенията в решенията на проблеми.

Пример 3

Запишете уравнението на правата линия с наклона, минаваща през точките с координати M 2 (2, 1) и y = k x + b.

Решение

За да решим задачата, използваме формула с наклон, която има формата y = k x + b. Коефициентите k и b трябва да приемат такава стойност, че това уравнение да съответства на права линия, минаваща през две точки с координати M 1 (- 7, - 5) и M 2 (2, 1).

точки М 1и М 2са разположени на права линия, то техните координати трябва да обърнат уравнението y = k x + b вярно равенство. От това получаваме, че - 5 = k (- 7) + b и 1 = k 2 + b. Комбинирайте уравнението в системата - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b и решете.

При замяна намираме това

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 kk = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Сега стойностите k = 2 3 и b = - 1 3 се заменят в уравнението y = k x + b. Получаваме, че търсеното уравнение, преминаващо през дадените точки, е уравнение от вида y = 2 3 x - 1 3.

Този метод на решение предопределя загубата на много време. Има начин, по който задачата се решава буквално в две стъпки.

Записваме каноничното уравнение на правата линия, минаваща през M 2 (2, 1) и M 1 (- 7, - 5), което има формата x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6.

Сега се обръщаме към уравнението в наклона. Получаваме, че: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Отговор: y = 2 3 x - 1 3.

Ако в триизмерното пространство има правоъгълна координатна система O xyz с две определени несъвпадащи точки с координати M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2), a права линия M 1 M 2, е необходимо да се получи уравнението на тази права линия.

Имаме тези канонични уравнения от вида x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az и параметрични уравнения от вида x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ z = z 1 + az λ могат да определят права в координатната система O x y z, минаваща през точките с координати (x 1, y 1, z 1) с вектор на посока a → = (ax, ay, az).

Прави M 1 M 2 има вектор на посоката от вида M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), където правата минава през точката M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2), следователно каноничното уравнение може да бъде от вида x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 или x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, на свой ред параметричен x = x 1 + (x 2 - x 1) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ или x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) Λ z = z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Помислете за фигура, която показва 2 дадени точки в пространството и уравнението на права линия.

Пример 4

Напишете уравнението на права линия, дефинирана в правоъгълна координатна система O xyz на триизмерно пространство, минаваща през дадени две точки с координати M 1 (2, - 3, 0) и M 2 (1, - 3, - 5 ).

Решение

Необходимо е да се намери каноничното уравнение. Тъй като говорим за триизмерно пространство, това означава, че когато права линия минава през дадени точки, желаното канонично уравнение ще приеме формата x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ...

По хипотеза имаме, че x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. От това следва, че необходимите уравнения могат да бъдат записани, както следва:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Отговор: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter

Дадени са две точки M 1 (x 1, y 1)и M 2 (x 2, y 2)... Записваме уравнението на правата във вида (5), където квсе още неизвестен коефициент:

От точката М 2принадлежи на дадена права линия, то координатите й удовлетворяват уравнение (5):. Изразявайки от това и го замествайки в уравнение (5), получаваме изискваното уравнение:

Ако това уравнение може да бъде пренаписано във вид, по-удобен за запомняне:

(6)

Пример.Запишете уравнението на правата линия, минаваща през точките M 1 (1.2) и M 2 (-2.3)

Решение. ... Използвайки свойството на пропорция и извършвайки необходимите трансформации, получаваме общото уравнение на правата линия:

Ъгъл между две прави линии

Помислете за два реда л 1и л 2:

л 1: , , и

л 2: , ,

φ е ъгълът между тях (). Фигура 4 показва:.

Оттук , или

С помощта на формула (7) може да се определи един от ъглите между правите. Вторият ъгъл е.

Пример... Две прави линии са дадени от уравненията y = 2x + 3 и y = -3x + 2. намерете ъгъла между тези прави.

Решение... От уравненията се вижда, че k 1 = 2 и k 2 = -3. замествайки тези стойности във формула (7), намираме

... Следователно ъгълът между тези линии е равен.

Условия за успоредност и перпендикулярност на две прави

Ако прави л 1и л 2тогава са успоредни φ=0 и tgφ = 0... от формула (7) следва, че откъдето k 2 = k 1... По този начин условието за успоредност на две прави прави е равенството на техните наклони.

Ако прави л 1и л 2тогава са перпендикулярни φ = π / 2, α 2 = π / 2 + α 1. ... По този начин, условието за перпендикулярност на две прави линии е техните наклони да са реципрочни по големина и противоположни по знак.

Разстояние от точка до линия

Теорема. Ако е дадена точка M (x 0, y 0), тогава разстоянието до правата линия Ax + Vy + C = 0 се определя като

Доказателство. Нека точка M 1 (x 1, y 1) е основата на перпендикуляра, спуснат от точка M върху дадена права линия. Тогава разстоянието между точките M и M 1:

Координатите x 1 и y 1 могат да бъдат намерени като решение на системата от уравнения:

Второто уравнение на системата е уравнението на права линия, минаваща през дадена точка M 0 перпендикулярно на дадена права линия.

Ако трансформираме първото уравнение на системата във вида:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

тогава, решавайки, получаваме:

Замествайки тези изрази в уравнение (1), намираме:

Теоремата е доказана.

Пример.Определете ъгъла между правите: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2 tgj =; j = p / 4.

Пример.Покажете, че правите 3x - 5y + 7 = 0 и 10x + 6y - 3 = 0 са перпендикулярни.

Откриваме: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, следователно правите линии са перпендикулярни.

Пример.Дадени са върховете на триъгълника A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Намерете уравнението за височината, изтеглена от връх C.

Намираме уравнението на страната AB:; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Необходимото уравнение за височина е: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.

k =. Тогава y =. Защото височина минава през точка C, тогава нейните координати удовлетворяват това уравнение: откъдето b = 17. Общо:.

Отговор: 3x + 2y - 34 = 0.

Разстоянието от точка до права линия се определя от дължината на перпендикуляра, спуснат от точка до права линия.

Ако правата е успоредна на проекционната равнина (h | | P 1), след това, за да се определи разстоянието от точката Адо прав знеобходимо е да спуснете перпендикуляра от точката Ана хоризонтала з.

Нека разгледаме по-сложен пример, когато правата линия заема общо положение. Нека е необходимо да се определи разстоянието от точката Мдо прав аобща позиция.

Задачата за определяне разстояние между успоредни линиирешен подобно на предишния. На една права линия се взема точка, от нея се спуска перпендикуляр на друга права линия. Дължината на перпендикуляра е равна на разстоянието между успоредните прави.

Крива от втори редсе нарича права, определена от уравнение от втора степен спрямо текущите декартови координати. Като цяло Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

където A, B, C, D, E, F са реални числа и поне едно от числата A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0.

кръг

Център на кръга- това е мястото на точките в равнината, еднакво отдалечена от точката на равнината C (a, b).

Кръгът се дава от следното уравнение:

Където x, y са координатите на произволна точка от окръжността, R е радиусът на окръжността.

Уравнение на обиколката

1. Няма член с x, y

2. Равни коефициенти при x 2 и y 2

Елипса

Елипсасе нарича място на точките в равнина, сумата от разстоянията на всяка от които от две дадени точки от тази равнина се нарича фокуси (постоянна стойност).

Канонично уравнение на елипса:

X и y принадлежат на елипса.

а - голяма полуос на елипсата

b - малка полуос на елипсата

Елипсата има 2 оси на симетрия OX и OY. Осите на симетрия на елипсата са нейните оси, точката на тяхното пресичане е центърът на елипсата. Оста, върху която са разположени фокусите, се нарича фокална ос... Точката на пресичане на елипсата с осите е върхът на елипсата.

Коефициент на компресия (разтягане): ε = s / a- ексцентриситет (характеризира формата на елипсата), колкото по-малка е тя, толкова по-малко ще се разтяга елипсата по фокалната ос.

Ако центровете на елипсата не са в центъра на C (α, β)

Хипербола

Хиперболасе нарича местоположение на точките в равнина, абсолютната стойност на разликата в разстоянията, всяка от които от две дадени точки от тази равнина, наречени фокуси, е постоянна стойност, различна от нула.

Канонично уравнение на хипербола

Хиперболата има 2 оси на симетрия:

a е реалната полуос на симетрия

b - въображаема полуос на симетрия

Асимптоти на хипербола:

парабола

параболасе нарича местоположението на точките в равнината, еднакво отдалечени от дадена точка F, наречена фокус и дадена права линия, наречена директриса.

Канонично параболно уравнение:

Y 2 = 2px, където p е разстоянието от фокуса до директрисата (параболен параметър)

Ако върхът на параболата C (α, β), тогава уравнението на параболата (y-β) 2 = 2p (x-α)

Ако фокалната ос се вземе като ординатна ос, тогава уравнението на параболата ще приеме вида: x 2 = 2qу