Разделы сайта
Выбор редакции:
- Маргинал или изгой общества Кто это такой
- Студенческие строительные отряды (ссо - вссо) Движение вссо как называли в ссср
- Целебные свойства марганцовки — полезные советы
- Подготовка к егэ по обществознанию
- Гитлер в «Mein Kampf»: «Русские – великий народ» - aquilaaquilonis
- Бои на Халхин-Голе (1939)
- Умножение на однозначное число столбиком
- Методическая разработка семинара для педагогов дополнительного образования на тему «Создание развивающей образовательной среды для обучающихся на занятиях
- Ноев ковчег. Ковчег спасения. Значение «ноев ковчег Что означает фразеологизм ноев ковчег
- Презентация по физике на тему "звуковые волны"
Реклама
Владение терминологией, а также знание свойств различных геометрических фигур помогут в решении многих задач по геометрии. Изучая такой раздел как планиметрия, учащийся не редко встречает термин “многоугольник”. Какую фигуру характеризует данное понятие? Многоугольник – определение геометрической фигурыЗамкнутая ломаная линия, все участки которой лежат в одной плоскости и не имеют участков самопересечения, образует геометрическую фигуру под названием многоугольник. Число звеньев ломаной должно быть не менее 3-х. Иными словами, многоугольник определяется как часть плоскости, границей которой выступает замкнутая ломаная. В ходе решения задач с участием многоугольника, нередко фигурируют такие понятия как:
При этом число звеньев и число вершин ломаной в пределах одного многоугольника совпадают. В зависимости от количества углов (или отрезков ломаной соответственно) определяется и вид многоугольника:
Если многоугольная фигура имеет равные углы и соответственно стороны, то говорят, что данный многоугольник правильный. Типы многоугольниковВсе многоугольные геометрические фигуры разделяются на 2 типа – выпуклые и вогнутые.
Свойства многоугольникаВне зависимости от того, является изучаемая многоугольная фигура правильной или нет, она обладает приведенными ниже свойствами. Так:
π – радианная мера развернутого угла, соответствует 180°, p – число углов (вершин) многоугольной фигуры (p-угольника).
p – число сторон p-угольника.
§ 1 Понятие треугольника В этом уроке Вы познакомитесь с такими фигурами как треугольник и многоугольник. Если три точки, не лежащие на одной прямой, соединить отрезками, то получится треугольник. Треугольник имеет три вершины и три стороны. Перед вами треугольник АВС, он имеет три вершины (точку А, точку В и точку С) и три стороны (АВ, АС и СВ). Кстати, эти же стороны можно называть и по-другому: АВ=ВА, АС=СА, СВ=ВС. Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла. На рисунке вы видите угол А, угол В, угол С. Таким образом, треугольник - это геометрическая фигура, образованнаятремя отрезками, которые соединяют три, не лежащие на одной прямой, точки. § 2 Понятие многоугольника и его виды Кроме треугольников, существуют четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники и так далее. Одним словом их можно назвать многоугольники. На рисунке Вы видите четырехугольник DMKE. Точки D, M, K и E являются вершинами четырехугольника. Отрезки DM, MK, KE, ED являются сторонами данного четырехугольника. Так же, как и в случае с треугольником, стороны четырехугольника образуют в вершинах четыре угла, как Вы догадались, отсюда и название - четырехугольник. У данного четырехугольника вы видите на рисунке угол D, угол M, угол K и угол E. А какие четырехугольники Вам уже известны? Квадрат и прямоугольник! Каждый из них имеет по четыре угла и четыре стороны. Еще один вид многоугольников - пятиугольник. Точки O, P, X, Y, Т являются вершинами пятиугольника, а отрезки TO, OP, PX, XY, YT являются сторонами данного пятиугольника. У пятиугольника соответственно пять углов и пять сторон. Как Вы считаете, сколько углов и сколько сторон у шестиугольника? Правильно, шесть! Рассуждая аналогичным образом, можно сказать, сколько сторон, вершин или углов имеет тот или иной многоугольник. И можно сделать вывод, что треугольник — это тоже многоугольник, у которого имеется ровно три угла, три стороны и три вершины. Таким образом, на этом уроке Вы познакомились с такими понятиями как треугольник и многоугольник. Узнали, что треугольник имеет 3 вершины, 3 стороны и 3 угла, четырехугольник - 4 вершины, 4 стороны и 4 угла, пятиугольник - соответственно 5 сторон, 5 вершин,5 углов и так далее. Список использованной литературы:
Многоугольником называется геометрическая фигура, которая со всех сторон ограничена замкнутой ломаной линией. При этом количество звеньев ломаной не должно быть меньше трех. Каждая пара отрезков ломаной имеет общую точку и образует углы. Количество углов совместно с количеством отрезков ломаной являются основными характеристиками многоугольника. В каждом многоугольнике количество звеньев ограничивающей замкнутой ломаной совпадает с количеством углов. Сторонами в геометрии принято называть звенья ломаной линии, которая ограничивает геометрический объект. Вершинами называют точки соприкосновения двух соседних сторон , по количеству которых получают свои названия многоугольники. Если замкнутая ломаная состоит из трех отрезков, она носит название треугольника; соответственно, из четырех отрезков - четырехугольником, из пяти - пятиугольником и пр. Для обозначения треугольника или четырехугольника пользуются заглавными латинскими буквами, обозначающими его вершины. Буквы называют по порядку - по часовой стрелке или против нее. Основные понятияОписывая определение многоугольника, следует учитывать некоторые смежные геометрические понятия:
Как уже упоминалось выше, названия многоугольных геометрических строятся исходя из количества вершин. Если у фигуры их количество равняется n, она носит название n-угольника:
Любой выпуклый n-угольник можно поделить на треугольники . При этом количество треугольников бывает меньше количества сторон на 2. Виды фигурЭто многоугольник с тремя вершинами и тремя отрезками, соединяющими их. При этом точки соединения отрезков не лежат на одной прямой. Точки соединения отрезков - это вершины треугольника . Сами отрезки называются сторонами треугольника. Общая сумма внутренних углов каждого треугольника равняется 180°. По соотношениям между сторонами все треугольники можно подразделять на несколько видов:
Кроме того, принято различать следующие треугольники:
ЧетырехугольникЧетырехугольником называется плоская фигура, имеющая 4 вершины и 4 отрезка, которые их последовательно соединяют.
На одной прямой не может находиться сразу три вершины четырехугольника. ВидеоДополнительную информацию о многоугольниках вы найдете в этом видео.
Виды многоугольников: ЧетырехугольникиЧетырехугольники , соответственно, состоят из 4-х сторон и углов. Стороны и углы, расположенные напротив друг друга, называются противоположными . Диагонали делят выпуклые четырехугольники на треугольники (см. на рисунке). Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360° (по формуле: (4-2)*180°). ПараллелограммыПараллелограмм - это выпуклый четырехугольник с противоположными параллельными сторонами (на рис. под номером 1). Противоположные стороны и углы в параллелограмме всегда равны. А диагонали в точке пересечения делятся пополам. ТрапецииТрапеция - это тоже четырехугольник, и в трапеции параллельны только две стороны, которые называются основаниями . Другие стороны - это боковые стороны . Трапеция на рисунке под номером 2 и 7. Как и в треугольнике: Если боковые стороны равны, то трапеция - равнобедренная ; Если один из углов прямой, то трапеция - прямоугольная. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им. РомбРомб - это параллелограмм, у которого все стороны равны. Помимо свойств параллелограмма, ромбы имеют своё особое свойство - диагонали ромба перпендикулярны друг другу и делят углы ромба пополам . На рисунке ромб под номером 5. ПрямоугольникиПрямоугольник - это параллелограмм, у которого каждый угол прямой (см. на рис. под номером 8). Помимо свойств параллелограмма, прямоугольники имеют своё особое свойство - диагонали прямоугольника равны . КвадратыКвадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны (№4). Обладает свойствами прямоугольника и ромба (так как все стороны равны).
На этом уроке мы приступим уже к новой теме и введем новое для нас понятие «многоугольник». Мы рассмотрим основные понятия, связанные с многоугольниками: стороны, вершины углы, выпуклость и невыпуклость. Затем докажем важнейшие факты, такие как теорема о сумме внутренних углов многоугольника, теорема о сумме внешних углов многоугольника. В итоге, мы вплотную подойдем к изучению частных случаев многоугольников, которые будут рассматриваться на дальнейших уроках. Тема: Четырехугольники Урок: Многоугольники В курсе геометрии мы изучаем свойства геометрических фигур и уже рассмотрели простейшие из них: треугольники и окружности. При этом мы обсуждали и конкретные частные случаи этих фигур, такие как прямоугольные, равнобедренные и правильные треугольники. Теперь пришло время поговорить о более общих и сложных фигурах - многоугольниках . С частным случаем многоугольников мы уже знакомы - это треугольник (см. Рис. 1). Рис. 1. Треугольник В самом названии уже подчеркивается, что это фигура, у которой три угла. Следовательно, в многоугольнике их может быть много, т.е. больше, чем три. Например, изобразим пятиугольник (см. Рис. 2), т.е. фигуру с пятью углами. Рис. 2. Пятиугольник. Выпуклый многоугольник Определение. Многоугольник - фигура, состоящая из нескольких точек (больше двух) и соответствующего количества отрезков, которые их последовательно соединяют. Эти точки называются вершинами многоугольника, а отрезки - сторонами . При этом никакие две смежные стороны не лежат на одной прямой и никакие две несмежные стороны не пересекаются. Определение. Правильный многоугольник - это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и углы равны. Любой многоугольник разделяет плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. Внутреннюю область также относят к многоугольнику . Иными словами, например, когда говорят о пятиугольнике , имеют в виду и всю его внутреннюю область, и границу. А ко внутренней области относятся и все точки, которые лежат внутри многоугольника, т.е. точка тоже относится к пятиугольнику (см. Рис. 2). Многоугольники еще иногда называют n-угольниками, чтобы подчеркнуть, что рассматривается общий случай наличия какого-то неизвестного количества углов (n штук). Определение. Периметр многоугольника - сумма длин сторон многоугольника. Теперь надо познакомиться с видами многоугольников. Они делятся на выпуклые и невыпуклые . Например, многоугольник, изображенный на Рис. 2, является выпуклым, а на Рис. 3 невыпуклым. Рис. 3. Невыпуклый многоугольник Определение 1. Многоугольник называется выпуклым , если при проведении прямой через любую из его сторон весь многоугольник лежит только по одну сторону от этой прямой. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники . Легко представить, что при продлении любой стороны пятиугольника на Рис. 2 он весь окажется по одну сторону от этой прямой, т.е. он выпуклый. А вот при проведении прямой через в четырехугольнике на Рис. 3 мы уже видим, что она разделяет его на две части, т.е. он невыпуклый. Но существует и другое определение выпуклости многоугольника. Определение 2. Многоугольник называется выпуклым , если при выборе любых двух его внутренних точек и при соединении их отрезком все точки отрезка являются также внутренними точками многоугольника. Демонстрацию использования этого определения можно увидеть на примере построения отрезков на Рис. 2 и 3. Определение. Диагональю многоугольника называется любой отрезок, соединяющий две не соседние его вершины. Для описания свойств многоугольников существуют две важнейшие теоремы об их углах: теорема о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника и теорема о сумме внешних углов выпуклого многоугольника . Рассмотрим их. Теорема. О сумме внутренних углов выпуклого многоугольника (n -угольника). Где - количество его углов (сторон). Доказательство 1. Изобразим на Рис. 4 выпуклый n-угольник. Рис. 4. Выпуклый n-угольник Из вершины проведем все возможные диагонали. Они делят n-угольник на треугольника, т.к. каждая из сторон многоугольника образует треугольник, кроме сторон, прилежащих к вершине . Легко видеть по рисунку, что сумма углов всех этих треугольников как раз будет равна сумме внутренних углов n-угольника. Поскольку сумма углов любого треугольника - , то сумма внутренних углов n-угольника: Что и требовалось доказать. Доказательство 2. Возможно и другое доказательство этой теоремы. Изобразим аналогичный n-угольник на Рис. 5 и соединим любую его внутреннюю точку со всеми вершинами. Рис. 5. Мы получили разбиение n-угольника на n треугольников (сколько сторон, столько и треугольников). Сумма всех их углов равна сумме внутренних углов многоугольника и сумме углов при внутренней точке, а это угол . Имеем: Что и требовалось доказать. Доказано. По доказанной теореме видно, что сумма углов n-угольника зависит от количества его сторон (от n). Например, в треугольнике , а сумма углов . В четырехугольнике , а сумма углов - и т.д. Теорема. О сумме внешних углов выпуклого многоугольника (n -угольника). Где - количество его углов (сторон), а , …, - внешние углы. Доказательство. Изобразим выпуклый n-угольник на Рис. 6 и обозначим его внутренние и внешние углы. Рис. 6. Выпуклый n-угольник с обозначенными внешними углами Т.к. внешний угол связан со внутренним как смежные, то и аналогично для остальных внешних углов. Тогда: В ходе преобразований мы воспользовались уже доказанной теоремой о сумме внутренних углов n-угольника . Доказано. Из доказанной теоремы следует интересный факт, что сумма внешних углов выпуклого n-угольника равна от количества его углов (сторон). Кстати, в отличие от суммы внутренних углов. Список литературы
Домашнее задание |
Читайте: |
---|
Популярное:
Новое
- Студенческие строительные отряды (ссо - вссо) Движение вссо как называли в ссср
- Целебные свойства марганцовки — полезные советы
- Подготовка к егэ по обществознанию
- Гитлер в «Mein Kampf»: «Русские – великий народ» - aquilaaquilonis
- Бои на Халхин-Голе (1939)
- Умножение на однозначное число столбиком
- Методическая разработка семинара для педагогов дополнительного образования на тему «Создание развивающей образовательной среды для обучающихся на занятиях
- Ноев ковчег. Ковчег спасения. Значение «ноев ковчег Что означает фразеологизм ноев ковчег
- Презентация по физике на тему "звуковые волны"
- Как решать уравнения с модулем