Метод наименьших квадратов представляет собой математическую процедуру построения линейного уравнения, которое бы наиболее точно соответствовало набору двух рядов чисел. Целью применения данного способа является минимизация общей квадратичной ошибки. В программе Excel имеются инструменты, с помощью которых можно применять данный метод при вычислениях. Давайте разберемся, как это делается.

· Использование метода в Экселе

o Включение надстройки «Поиск решения»

o Условия задачи

o Решение

Использование метода в Экселе

Метод наименьших квадратов (МНК) является математическим описанием зависимости одной переменной от второй. Его можно использовать при прогнозировании.

Включение надстройки «Поиск решения»

Для того, чтобы использовать МНК в Экселе, нужно включить надстройку «Поиск решения» , которая по умолчанию отключена.

1. Переходим во вкладку «Файл» .

2. Кликаем по наименованию раздела «Параметры» .

3. В открывшемся окне останавливаем выбор на подразделе «Надстройки» .

4. В блоке «Управление» , который расположен в нижней части окна, устанавливаем переключатель в позицию «Надстройки Excel» (если в нём выставлено другое значение) и жмем на кнопку «Перейти…» .

5. Открывается небольшое окошко. Ставим в нём галочку около параметра «Поиск решения» . Жмем на кнопку «OK» .

Теперь функция Поиск решения в Excel активирована, а её инструменты появились на ленте.

Урок: Поиск решения в Экселе

Условия задачи

Опишем применение МНК на конкретном примере. Имеем два ряда чисел x и y , последовательность которых представлена на изображении ниже.

Наиболее точно данную зависимость может описать функция:

При этом, известно что при x=0 y тоже равно 0 . Поэтому данное уравнение можно описать зависимостью y=nx .

Нам предстоит найти минимальную сумму квадратов разности.

Решение

Перейдем к описанию непосредственного применения метода.

1. Слева от первого значения x ставим цифру 1 . Это будет приближенная величина первого значения коэффициента n .

2. Справа от столбца y добавляем ещё одну колонку – nx . В первую ячейку данного столбца записываем формулу умножения коэффициента n на ячейку первой переменной x . При этом, ссылку на поле с коэффициентом делаем абсолютной, так как это значение меняться не будет. Кликаем по кнопке Enter .

3. Используя маркер заполнения, копируем данную формулу на весь диапазон таблицы в столбце ниже.

4. В отдельной ячейке высчитываем сумму разностей квадратов значений y и nx . Для этого кликаем по кнопке «Вставить функцию» .

5. В открывшемся «Мастере функций» ищем запись «СУММКВРАЗН» . Выбираем её и жмем на кнопку «OK» .

6. Открывается окно аргументов. В поле «Массив_x» y . В поле «Массив_y» вводим диапазон ячеек столбца nx . Для того, чтобы ввести значения, просто устанавливаем курсор в поле и выделяем соответствующий диапазон на листе. После ввода жмем на кнопку «OK» .

7. Переходим во вкладку «Данные» . На ленте в блоке инструментов «Анализ» жмем на кнопку «Поиск решения» .

8. Открывается окно параметров данного инструмента. В поле «Оптимизировать целевую функцию» указываем адрес ячейки с формулой «СУММКВРАЗН» . В параметре «До» обязательно выставляем переключатель в позицию «Минимум» . В поле «Изменяя ячейки» указываем адрес со значением коэффициента n . Жмем на кнопку «Найти решение» .

9. Решение будет отображаться в ячейке коэффициентаn . Именно это значение будет являться наименьшим квадратом функции. Если результат удовлетворяет пользователя, то следует нажать на кнопку «OK» в дополнительном окне.

Как видим, применение метода наименьших квадратов довольно сложная математическая процедура. Мы показали её в действии на простейшем примере, а существуют гораздо более сложные случаи. Впрочем, инструментарий Microsoft Excel призван максимально упростить производимые вычисления.

http://multitest.semico.ru/mnk.htm

Общие положения

Чем меньше числа по абсолютной величине, тем лучше подобрана прямая (2). В качестве характеристики точности подбора прямой (2) можно принять сумму квадратов

Условия минимума S будут

	(6)
	(7)

Уравнения (6) и (7) можно записать в таком виде:

	(8)
	(9)

Из уравнений (8) и (9) легко найти a и b по опытным значениям x i и y i . Прямая (2), определяемая уравнениями (8) и (9), называется прямой, полученной по методу наименьших квадратов (этим названием подчеркивается то, что сумма квадратов S имеет минимум). Уравнения (8) и (9), из которых определяется прямая (2), называются нормальными уравнениями.

Можно указать простой и общий способ составления нормальных уравнений. Используя опытные точки (1) и уравнение (2), можно записать систему уравнений для a и b

Умножим левую и правую части каждого из этих уравнений на коэффициент при первой неизвестной a (т.е. на x 1 , x 2 , ..., x n) и сложим полученные уравнения, в результате получится первое нормальное уравнение (8).

Умножим левую и правую части каждого из этих уравнений на коэффициент при второй неизвестной b, т.е. на 1, и сложим полученные уравнения, в результате получится второе нормальное уравнение (9).

Этот способ получения нормальных уравнений является общим: он пригоден, например, и для функции

есть величина постоянная и ее нужно определить по опытным данным (1).

Систему уравнений для k можно записать:

Найти прямую (2) по методу наименьших квадратов.

Решение. Находим:

X i =21, y i =46,3, x i 2 =91, x i y i =179,1.

Записываем уравнения (8) и (9)91a+21b=179,1,

21a+6b=46,3, отсюда находим
a=0,98 b=4,3.

Которое находит самое широкое применение в различных областях науки и практической деятельности. Это может быть физика, химия, биология, экономика, социология, психология и так далее, так далее. Волею судьбы мне часто приходится иметь дело с экономикой, и поэтому сегодня я оформлю вам путёвку в удивительную страну под названием Эконометрика =) …Как это не хотите?! Там очень хорошо – нужно только решиться! …Но вот то, что вы, наверное, определённо хотите – так это научиться решать задачи методом наименьших квадратов . И особо прилежные читатели научатся решать их не только безошибочно, но ещё и ОЧЕНЬ БЫСТРО;-) Но сначала общая постановка задачи + сопутствующий пример:

Пусть в некоторой предметной области исследуются показатели , которые имеют количественное выражение. При этом есть все основания полагать, что показатель зависит от показателя . Это полагание может быть как научной гипотезой, так и основываться на элементарном здравом смысле. Оставим, однако, науку в сторонке и исследуем более аппетитные области – а именно, продовольственные магазины. Обозначим через:

– торговую площадь продовольственного магазина, кв.м.,
– годовой товарооборот продовольственного магазина, млн. руб.

Совершенно понятно, что чем больше площадь магазина, тем в большинстве случаев будет больше его товарооборот.

Предположим, что после проведения наблюдений/опытов/подсчётов/танцев с бубном в нашем распоряжении оказываются числовые данные:

С гастрономами, думаю, всё понятно: – это площадь 1-го магазина, – его годовой товарооборот, – площадь 2-го магазина, – его годовой товарооборот и т.д. Кстати, совсем не обязательно иметь доступ к секретным материалам – довольно точную оценку товарооборота можно получить средствами математической статистики . Впрочем, не отвлекаемся, курс коммерческого шпионажа – он уже платный =)

Табличные данные также можно записать в виде точек и изобразить в привычной для нас декартовой системе .

Ответим на важный вопрос: сколько точек нужно для качественного исследования?

Чем больше, тем лучше. Минимально допустимый набор состоит из 5-6 точек. Кроме того, при небольшом количестве данных в выборку нельзя включать «аномальные» результаты. Так, например, небольшой элитный магазин может выручать на порядки больше «своих коллег», искажая тем самым общую закономерность, которую и требуется найти!

Если совсем просто – нам нужно подобрать функцию , график которой проходит как можно ближе к точкам . Такую функцию называют аппроксимирующей (аппроксимация – приближение) или теоретической функцией . Вообще говоря, тут сразу появляется очевидный «претендент» – многочлен высокой степени, график которого проходит через ВСЕ точки. Но этот вариант сложен, а зачастую и просто некорректен (т.к. график будет всё время «петлять» и плохо отражать главную тенденцию) .

Таким образом, разыскиваемая функция должна быть достаточно простА и в то же время отражать зависимость адекватно. Как вы догадываетесь, один из методов нахождения таких функций и называется методом наименьших квадратов . Сначала разберём его суть в общем виде. Пусть некоторая функция приближает экспериментальные данные :


Как оценить точность данного приближения? Вычислим и разности (отклонения) между экспериментальными и функциональными значениями (изучаем чертёж) . Первая мысль, которая приходит в голову – это оценить, насколько великА сумма , но проблема состоит в том, что разности могут быть и отрицательны (например, ) и отклонения в результате такого суммирования будут взаимоуничтожаться. Поэтому в качестве оценки точности приближения напрашивается принять сумму модулей отклонений:

или в свёрнутом виде: (вдруг кто не знает: – это значок суммы, а – вспомогательная переменная-«счётчик», которая принимает значения от 1 до ) .

Приближая экспериментальные точки различными функциями, мы будем получать разные значения , и очевидно, где эта сумма меньше – та функция и точнее.

Такой метод существует и называется он методом наименьших модулей . Однако на практике получил гораздо бОльшее распространение метод наименьших квадратов , в котором возможные отрицательные значения ликвидируются не модулем, а возведением отклонений в квадрат:

, после чего усилия направлены на подбор такой функции , чтобы сумма квадратов отклонений была как можно меньше. Собственно, отсюда и название метода.

И сейчас мы возвращаемся к другому важному моменту: как отмечалось выше, подбираемая функция должна быть достаточно простА – но ведь и таких функций тоже немало: линейная , гиперболическая , экспоненциальная , логарифмическая , квадратичная и т.д. И, конечно же, тут сразу бы хотелось «сократить поле деятельности». Какой класс функций выбрать для исследования? Примитивный, но эффективный приём:

– Проще всего изобразить точки на чертеже и проанализировать их расположение. Если они имеют тенденцию располагаться по прямой, то следует искать уравнение прямой с оптимальными значениями и . Иными словами, задача состоит в нахождении ТАКИХ коэффициентов – чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей.

Если же точки расположены, например, по гиперболе , то заведомо понятно, что линейная функция будет давать плохое приближение. В этом случае ищем наиболее «выгодные» коэффициенты для уравнения гиперболы – те, которые дают минимальную сумму квадратов .

А теперь обратите внимание, что в обоих случаях речь идёт о функции двух переменных , аргументами которой являются параметры разыскиваемых зависимостей :

И по существу нам требуется решить стандартную задачу – найти минимум функции двух переменных .

Вспомним про наш пример: предположим, что «магазинные» точки имеют тенденцию располагаться по прямой линии и есть все основания полагать наличие линейной зависимости товарооборота от торговой площади. Найдём ТАКИЕ коэффициенты «а» и «бэ», чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей. Всё как обычно – сначала частные производные 1-го порядка . Согласно правилу линейности дифференцировать можно прямо под значком суммы:

Если хотите использовать данную информацию для реферата или курсовика – буду очень благодарен за поставленную ссылку в списке источников, такие подробные выкладки найдёте мало где:

Составим стандартную систему:

Сокращаем каждое уравнение на «двойку» и, кроме того, «разваливаем» суммы:

Примечание : самостоятельно проанализируйте, почему «а» и «бэ» можно вынести за значок суммы. Кстати, формально это можно проделать и с суммой

Перепишем систему в «прикладном» виде:

после чего начинает прорисовываться алгоритм решения нашей задачи:

Координаты точек мы знаем? Знаем. Суммы найти можем? Легко. Составляем простейшую систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными («а» и «бэ»). Систему решаем, например, методом Крамера , в результате чего получаем стационарную точку . Проверяя достаточное условие экстремума , можно убедиться, что в данной точке функция достигает именно минимума . Проверка сопряжена с дополнительными выкладками и поэтому оставим её за кадром (при необходимости недостающий кадр можно посмотреть ) . Делаем окончательный вывод:

Функция наилучшим образом (по крайне мере, по сравнению с любой другой линейной функцией) приближает экспериментальные точки . Грубо говоря, её график проходит максимально близко к этим точкам. В традициях эконометрики полученную аппроксимирующую функцию также называют уравнением пАрной линейной регрессии .

Рассматриваемая задача имеет большое практическое значение. В ситуации с нашим примером, уравнение позволяет прогнозировать, какой товарооборот («игрек») будет у магазина при том или ином значении торговой площади (том или ином значении «икс») . Да, полученный прогноз будет лишь прогнозом, но во многих случаях он окажется достаточно точным.

Я разберу всего лишь одну задачу с «реальными» числами, поскольку никаких трудностей в ней нет – все вычисления на уровне школьной программы 7-8 класса. В 95 процентов случаев вам будет предложено отыскать как раз линейную функцию, но в самом конце статьи я покажу, что ничуть не сложнее отыскать уравнения оптимальной гиперболы, экспоненты и некоторых других функций.

По сути, осталось раздать обещанные плюшки – чтобы вы научились решать такие примеры не только безошибочно, но ещё и быстро. Внимательно изучаем стандарт:

Задача

В результате исследования взаимосвязи двух показателей, получены следующие пары чисел:

Методом наименьших квадратов найти линейную функцию, которая наилучшим образом приближает эмпирические (опытные) данные. Сделать чертеж, на котором в декартовой прямоугольной системе координат построить экспериментальные точки и график аппроксимирующей функции . Найти сумму квадратов отклонений между эмпирическими и теоретическими значениями. Выяснить, будет ли функция лучше (с точки зрения метода наименьших квадратов) приближать экспериментальные точки.

Заметьте, что «иксовые» значения – натуральные, и это имеет характерный содержательный смысл, о котором я расскажу чуть позже; но они, разумеется, могут быть и дробными. Кроме того, в зависимости от содержания той или иной задачи как «иксовые», так и «игрековые» значения полностью или частично могут быть отрицательными. Ну а у нас дана «безликая» задача, и мы начинаем её решение :

Коэффициенты оптимальной функции найдём как решение системы:

В целях более компактной записи переменную-«счётчик» можно опустить, поскольку и так понятно, что суммирование осуществляется от 1 до .

Расчёт нужных сумм удобнее оформить в табличном виде:


Вычисления можно провести на микрокалькуляторе, но гораздо лучше использовать Эксель – и быстрее, и без ошибок; смотрим короткий видеоролик:

Таким образом, получаем следующую систему :

Тут можно умножить второе уравнение на 3 и из 1-го уравнения почленно вычесть 2-е . Но это везение – на практике системы чаще не подарочны, и в таких случаях спасает метод Крамера :
, значит, система имеет единственное решение.

Выполним проверку. Понимаю, что не хочется, но зачем же пропускать ошибки там, где их можно стопроцентно не пропустить? Подставим найденное решение в левую часть каждого уравнения системы:

Получены правые части соответствующих уравнений, значит, система решена правильно.

Таким образом, искомая аппроксимирующая функция: – из всех линейных функций экспериментальные данные наилучшим образом приближает именно она.

В отличие от прямой зависимости товарооборота магазина от его площади, найденная зависимость является обратной (принцип «чем больше – тем меньше») , и этот факт сразу выявляется по отрицательному угловому коэффициенту . Функция сообщает нам о том, что с увеличение некоего показателя на 1 единицу значение зависимого показателя уменьшается в среднем на 0,65 единиц. Как говорится, чем выше цена на гречку, тем меньше её продано.

Для построения графика аппроксимирующей функции найдём два её значения:

и выполним чертёж:


Построенная прямая называется линией тренда (а именно – линией линейного тренда, т.е. в общем случае тренд – это не обязательно прямая линия) . Всем знакомо выражение «быть в тренде», и, думаю, что этот термин не нуждается в дополнительных комментариях.

Вычислим сумму квадратов отклонений между эмпирическими и теоретическими значениями. Геометрически – это сумма квадратов длин «малиновых» отрезков (два из которых настолько малы, что их даже не видно) .

Вычисления сведём в таблицу:


Их можно опять же провести вручную, на всякий случай приведу пример для 1-й точки:

но намного эффективнее поступить уже известным образом:

Еще раз повторим: в чём смысл полученного результата? Из всех линейных функций у функции показатель является наименьшим, то есть в своём семействе это наилучшее приближение. И здесь, кстати, не случаен заключительный вопрос задачи: а вдруг предложенная экспоненциальная функция будет лучше приближать экспериментальные точки?

Найдем соответствующую сумму квадратов отклонений – чтобы различать, я обозначу их буквой «эпсилон». Техника точно такая же:


И снова на всякий пожарный вычисления для 1-й точки:

В Экселе пользуемся стандартной функцией EXP (синтаксис можно посмотреть в экселевской Справке) .

Вывод : , значит, экспоненциальная функция приближает экспериментальные точки хуже, чем прямая .

Но тут следует отметить, что «хуже» – это ещё не значит , что плохо. Сейчас построил график этой экспоненциальной функции – и он тоже проходит близко к точкам – да так, что без аналитического исследования и сказать трудно, какая функция точнее.

На этом решение закончено, и я возвращаюсь к вопросу о натуральных значениях аргумента. В различных исследованиях, как правило, экономических или социологических, натуральными «иксами» нумеруют месяцы, годы или иные равные временнЫе промежутки. Рассмотрим, например, такую задачу.

Метод наименьших квадратов (МНК) относится к сфере регрессионного анализа. Он имеет множество применений, так как позволяет осуществлять приближенное представление заданной функции другими более простыми. МНК может оказаться чрезвычайно полезным при обработке наблюдений, и его активно используют для оценки одних величин по результатам измерений других, содержащих случайные ошибки. Из этой статьи вы узнаете, как реализовать вычисления по методу наименьших квадратов в Excel.

Постановка задачи на конкретном примере

Предположим, имеются два показателя X и Y. Причем Y зависит от X. Так как МНК интересует нас с точки зрения регрессионного анализа (в Excel его методы реализуются с помощью встроенных функций), то стоит сразу же перейти к рассмотрению конкретной задачи.

Итак, пусть X — торговая площадь продовольственного магазина, измеряемая в квадратных метрах, а Y — годовой товарооборот, определяемый в миллионах рублей.

Требуется сделать прогноз, какой товарооборот (Y) будет у магазина, если у него та или иная торговая площадь. Очевидно, что функция Y = f (X) возрастающая, так как гипермаркет продает больше товаров, чем ларек.

Несколько слов о корректности исходных данных, используемых для предсказания

Допустим, у нас есть таблица, построенная по данным для n магазинов.

Согласно математической статистике, результаты будут более-менее корректными, если исследуются данные по хотя бы 5-6 объектам. Кроме того, нельзя использовать «аномальные» результаты. В частности, элитный небольшой бутик может иметь товарооборот в разы больший, чем товарооборот больших торговых точек класса «масмаркет».

Суть метода

Данные таблицы можно изобразить на декартовой плоскости в виде точек M 1 (x 1 , y 1), … M n (x n , y n). Теперь решение задачи сведется к подбору аппроксимирующей функции y = f (x), имеющей график, проходящий как можно ближе к точкам M 1, M 2, .. M n .

Конечно, можно использовать многочлен высокой степени, но такой вариант не только труднореализуем, но и просто некорректен, так как не будет отражать основную тенденцию, которую и нужно обнаружить. Самым разумным решением является поиск прямой у = ax + b, которая лучше всего приближает экспериментальные данные, a точнее, коэффициентов - a и b.

Оценка точности

При любой аппроксимации особую важность приобретает оценка ее точности. Обозначим через e i разность (отклонение) между функциональными и экспериментальными значениями для точки x i , т. е. e i = y i - f (x i).

Очевидно, что для оценки точности аппроксимации можно использовать сумму отклонений, т. е. при выборе прямой для приближенного представления зависимости X от Y нужно отдавать предпочтение той, у которой наименьшее значение суммы e i во всех рассматриваемых точках. Однако, не все так просто, так как наряду с положительными отклонениями практически будут присутствовать и отрицательные.

Решить вопрос можно, используя модули отклонений или их квадраты. Последний метод получил наиболее широкое распространение. Он используется во многих областях, включая регрессионный анализ (в Excel его реализация осуществляется с помощью двух встроенных функций), и давно доказал свою эффективность.

Метод наименьших квадратов

В Excel, как известно, существует встроенная функция автосуммы, позволяющая вычислить значения всех значений, расположенных в выделенном диапазоне. Таким образом, ничто не помешает нам рассчитать значение выражения (e 1 2 + e 2 2 + e 3 2 + ... e n 2).

В математической записи это имеет вид:

Так как изначально было принято решение об аппроксимировании с помощью прямой, то имеем:

Таким образом, задача нахождения прямой, которая лучше всего описывает конкретную зависимость величин X и Y, сводится к вычислению минимума функции двух переменных:

Для этого требуется приравнять к нулю частные производные по новым переменным a и b, и решить примитивную систему, состоящую из двух уравнений с 2-мя неизвестными вида:

После нехитрых преобразований, включая деление на 2 и манипуляции с суммами, получим:

Решая ее, например, методом Крамера, получаем стационарную точку с некими коэффициентами a * и b * . Это и есть минимум, т. е. для предсказания, какой товарооборот будет у магазина при определенной площади, подойдет прямая y = a * x + b * , представляющая собой регрессионную модель для примера, о котором идет речь. Конечно, она не позволит найти точный результат, но поможет получить представление о том, окупится ли покупка в кредит магазина конкретной площади.

Как реализоавать метод наименьших квадратов в Excel

В "Эксель" имеется функция для расчета значения по МНК. Она имеет следующий вид: «ТЕНДЕНЦИЯ» (известн. значения Y; известн. значения X; новые значения X; конст.). Применим формулу расчета МНК в Excel к нашей таблице.

Для этого в ячейку, в которой должен быть отображен результат расчета по методу наименьших квадратов в Excel, введем знак «=» и выберем функцию «ТЕНДЕНЦИЯ». В раскрывшемся окне заполним соответствующие поля, выделяя:

• диапазон известных значений для Y (в данном случае данные для товарооборота);
• диапазон x 1 , …x n , т. е. величины торговых площадей;
• и известные, и неизвестные значения x, для которого нужно выяснить размер товарооборота (информацию об их расположении на рабочем листе см. далее).

Кроме того, в формуле присутствует логическая переменная «Конст». Если ввести в соответствующее ей поле 1, то это будет означать, что следует осуществить вычисления, считая, что b = 0.

Если нужно узнать прогноз для более чем одного значения x, то после ввода формулы следует нажать не на «Ввод», а нужно набрать на клавиатуре комбинацию «Shift» + «Control»+ «Enter» («Ввод»).

Некоторые особенности

Регрессионный анализ может быть доступен даже чайникам. Формула Excel для предсказания значения массива неизвестных переменных — «ТЕНДЕНЦИЯ» — может использоваться даже теми, кто никогда не слышал о методе наименьших квадратов. Достаточно просто знать некоторые особенности ее работы. В частности:

• Если расположить диапазон известных значений переменной y в одной строке или столбце, то каждая строка (столбец) с известными значениями x будет восприниматься программой в качестве отдельной переменной.
• Если в окне «ТЕНДЕНЦИЯ» не указан диапазон с известными x, то в случае использования функции в Excel программа будет рассматривать его как массив, состоящий из целых чисел, количество которых соответствует диапазону с заданными значениями переменной y.
• Чтобы получить на выходе массив «предсказанных» значений, выражение для вычисления тенденции нужно вводить как формулу массива.
• Если не указаны новые значения x, то функция «ТЕНДЕНЦИЯ» считает их равным известным. Если и они не заданы, то в качестве аргумента берется массив 1; 2; 3; 4;…, который соразмерен диапазону с уже заданными параметрами y.
• Диапазон, содержащий новые значения x должен состоять из такого же или большего количества строк или столбцов, как диапазон с заданными значениями y. Иными словами он должен быть соразмерным независимым переменным.
• В массиве с известными значениями x может содержаться несколько переменных. Однако если речь идет лишь об одной, то требуется, чтобы диапазоны с заданными значениями x и y были соразмерны. В случае нескольких переменных нужно, чтобы диапазон с заданными значениями y вмещался в одном столбце или в одной строке.

Функция «ПРЕДСКАЗ»

Регрессионный анализ в Excel реализуется с помощью нескольких функций. Одна из них называется «ПРЕДСКАЗ». Она аналогична «ТЕНДЕНЦИИ», т. е. выдает результат вычислений по методу наименьших квадратов. Однако только для одного X, для которого неизвестно значение Y.

Теперь вы знаете формулы в Excel для чайников, позволяющие спрогнозировать величину будущего значения того или иного показателя согласно линейному тренду.

Ну вот, на работе перед инспекцией отчитались, статья дома для конференции написана — можно теперь и в блог писать. Пока данные свои обрабатывал, понял, что не могу не написать про очень классную и нужную надстройку в Excel, которая называется . Так что статья будет посвящена именно этой надстройке, и расскажу я о ней на примере использования метода наименьших квадратов (МНК) для поиска неизвестных коэффициентов уравнения при описании экспериментальных данных.

Как включить надстройку «поиск решения»

Для начала разберемся, как эту надстройку включить.

1. Идем в меню «Файл» и выбираем пункт «Параметры Excel»

2. В появившемся окне выбираем «Поиск решения» и нажимаем «перейти».

3. В следующем окне ставим галочку напротив пункта «поиск решения» и нажимаем «ОК».

4. Надстройка активирована — теперь ее можно найти в пункте меню «Данные».

Метод наименьших квадратов

Теперь вкратце о методе наименьших квадратов (МНК) и о том, где его можно применять.

Допустим, у нас есть набор данных после совершения нами какого-то эксперимента, где мы изучали влияния величины Х на величину Y.

Мы хотим это влияние описать математически, чтобы потом этой формулой пользоваться и знать, что, если мы поменяем величину Х на столько-то, получим величину Y такую-то...

Возьму супер-простой пример (см. рис.).

Ежу понятно, что точки расположились друг за другом как будто по прямой, а потому мы смело предполагаем, что наша зависимость описывается линейной функцией y=kx+b. При этом мы точно уверены, что при X равном нулю значение Y тоже равно нулю. Значит, функция, описывающая зависимость, будет еще проще: y=kx (вспоминаем школьную программу).

В общем, нам предстоит найти коэффициент k. Вот это мы и сделаем с помощью МНК с применением надстройки «поиск решения».

Метод заключается в том, чтобы (здесь — внимание: нужно вдуматься) сумма квадратов разностей экспериментально полученных и соответствующих расчетных значений была минимальной. То есть когда X1=1 реально измеренное значение Y1=4,6, а расчетное y1=f (x1) равно 4, квадрат разности будет (y1-Y1)^2=(4-4,6)^2=0,36. Со следующими так же: когда X2=2, реально измеренное значение Y2=8,1, а расчетное у2 равно 8, квадрат разности будет (y2-Y2)^2=(8-8,1)^2=0,01. И сумма всех этих квадратов должна быть минимально возможной.

Итак, приступим к тренировке по использованию МНК и надстройки Excel «поиск решения» .

Применение надстройки поиск решения

1. Если не включили надстройку «поиск решения», то возвращаемся к пункту Как включить надстройку «поиск решения» и включаем 🙂

2. В ячейку А1 введем значение «1». Эта единица будет первым приближением к реальному значению коэффициента (k) нашей функциональной зависимости y=kx.

3. В столбце B у нас расположились значения параметра X, в столбце C — значения параметра Y. В ячейках столбца D вводим формулу: «коэффициент k умножить на значение Х». Например, в ячейке D1 вводим «=A1*B1», в ячейке D2 вводим "=A1*B2" и т.д.

4. Мы считаем, что коэффициент к равен единице и функция f (x)=у=1*х – это первое приближение к нашему решению. Можем рассчитать сумму квадратов разностей между измеренными значениями величины Y и рассчитанными по формуле y=1*х. Можем все это сделать вручную, вбивая в формулу соответствующие ссылки на ячейки: "=(D2-C2)^2+(D3-C3)^2+(D4-C4)^2... и т.д. В конце концов ошибаемся и понимаем, что потеряли кучу времени. В Excel для расчета суммы квадратов разностей есть специальная формула, «СУММКВРАЗН», которая все за нас и сделает. Введем ее в ячейку А2 и зададим исходные данные: диапазон измеренных значений Y (столбец C) и диапазон рассчитанных значений Y (столбец D).

4. Сумму разностей квадратов рассчитали – теперь идем во вкладку «Данные» и выбираем «Поиск решения».

5. В появившемся меню в качестве изменяемой ячейки выбираем ячейку A1 (та, что с коэффициентом k).

6. В качестве целевой выбираем ячейку A2 и задаем условие «установить равной минимальному значению». Помним, что это ячейка, где у нас производится расчёт суммы квадратов разностей расчетного и измеренного значений, и сумма эта должна быть минимальной. Нажимаем «выполнить».

7. Коэффициент k подобран. Теперь можно убедиться, что рассчитанные значения теперь очень близки к измеренным.

P.S.

Вообще, конечно, для аппроксимации экспериментальных данных в Excel существуют специальные инструменты, которые позволяют осуществлять описание данных с помощью линейной, экспоненциальной, степенной и полиномиальной функцией, поэтому часто можно обойтись и без надстройки «поиск решения» . Обо всех этих способах апппроксимации я рассказывал в своем , так что если интересно, — посмотрите. А вот когда дело касается какой-нибудь экзотической функции с одним неизвестным коэффициентом или задач оптимизации, то здесь надстройка как нельзя кстати.

Надстройку «поиск решения» можно использовать и для других задач, главное — понять суть: есть ячейка, где мы подбираем значение, а есть целевая ячейка, в которой задано условие для подбора неизвестного параметра.
Вот и все! В следующей статье расскажу сказку про отпуск, так что, чтобы не проворонить выход статьи,

Метод наименьших квадратов (МНК) основан на минимизации суммы квадратов отклонений выбранной функции от исследуемых данных. В этой статье аппроксимируем имеющиеся данные с помощью линейной функции y = a x + b .

Метод наименьших квадратов (англ. Ordinary Least Squares , OLS ) является одним из базовых методов регрессионного анализа в части оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным.

Рассмотрим приближение функциями, зависящими только от одной переменной:

• Линейная: y=ax+b (эта статья)
• : y=a*Ln(x)+b
• : y=a*x m
• : y=a*EXP(b*x)+с
• : y=ax 2 +bx+c

Примечание : Случаи приближения полиномом с 3-й до 6-й степени рассмотрены в этой статье. Приближение тригонометрическим полиномом рассмотрено здесь.

Линейная зависимость

Нас интересует связь 2-х переменных х и y . Имеется предположение, что y зависит от х по линейному закону y = ax + b . Чтобы определить параметры этой взаимосвязи исследователь провел наблюдения: для каждого значения х i произведено измерение y i (см. файл примера ). Соответственно, пусть имеется 20 пар значений (х i ; y i).

Примечание: Если шаг изменения по х постоянен, то для построения диаграммы рассеяния можно использовать , если нет, то необходимо использовать тип диаграммы Точечная .

Из диаграммы очевидно, что связь между переменными близка к линейной. Чтобы понять какая из множества прямых линий наиболее «правильно» описывает зависимость между переменными, необходимо определить критерий, по которому будут сравниваться линии.

В качестве такого критерия используем выражение:

где ŷ i = a * x i + b ; n – число пар значений (в нашем случае n=20)

Вышеуказанное выражение представляет собой сумму квадратов расстояний между наблюденными значениями y i и ŷ i и часто обозначается как SSE ( Sum of Squared Errors ( Residuals ), сумма квадратов ошибок (остатков) ) .

Метод наименьших квадратов заключается в подборе такой линии ŷ = ax + b , для которой вышеуказанное выражение принимает минимальное значение.

Примечание: Любая линия в двухмерном пространстве однозначно определяется значениями 2-х параметров: a (наклон) и b (сдвиг).

Считается, что чем меньше сумма квадратов расстояний, тем соответствующая линия лучше аппроксимирует имеющиеся данные и может быть в дальнейшем использована для прогнозирования значений y от переменной х. Понятно, что даже если в действительности никакой взаимосвязи между переменными нет или связь нелинейная, то МНК все равно подберет «наилучшую» линию. Таким образом, МНК ничего не говорит о наличии реальной взаимосвязи переменных, метод просто позволяет подобрать такие параметры функции a и b , для которых вышеуказанное выражение минимально.

Проделав не очень сложные математические операции (подробнее см. ), можно вычислить параметры a и b :

Как видно из формулы, параметр a представляет собой отношение ковариации и , поэтому в MS EXCEL для вычисления параметра а можно использовать следующие формулы (см. файл примера лист Линейная ):

= КОВАР(B26:B45;C26:C45)/ ДИСП.Г(B26:B45) или

= КОВАРИАЦИЯ.В(B26:B45;C26:C45)/ДИСП.В(B26:B45)

Также для вычисления параметра а можно использовать формулу = НАКЛОН(C26:C45;B26:B45) . Для параметра b используйте формулу = ОТРЕЗОК(C26:C45;B26:B45) .

И наконец, функция ЛИНЕЙН() позволяет вычислить сразу оба параметра. Для ввода формулы ЛИНЕЙН(C26:C45;B26:B45) необходимо выделить в строке 2 ячейки и нажать CTRL + SHIFT + ENTER (см. статью про ). В левой ячейке будет возвращено значение а , в правой – b .

Примечание : Чтобы не связываться с вводом формул массива потребуется дополнительно использовать функцию ИНДЕКС() . Формула = ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C26:C45;B26:B45);1) или просто = ЛИНЕЙН(C26:C45;B26:B45) вернет параметр, отвечающий за наклон линии, т.е. а . Формула = ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C26:C45;B26:B45);2) вернет параметр, отвечающий за пересечение линии с осью Y, т.е. b .

Вычислив параметры, на диаграмме рассеяния можно построить соответствующую линию.

Еще одним способом построения прямой линии по методу наименьших квадратов является инструмент диаграммы Линия тренда . Для этого выделите диаграмму, в меню выберите вкладку Макет , в группе Анализ нажмите Линия тренда , затем Линейное приближение .

Поставив в диалоговом окне галочку в поле «показывать уравнение на диаграмме» можно убедиться, что найденные выше параметры совпадают со значениями на диаграмме.

Примечание : Для того, чтобы параметры совпадали необходимо, чтобы тип у диаграммы был . Дело в том, что при построении диаграммы График значения по оси Х не могут быть заданы пользователем (пользователь может указать только подписи, которые не влияют на расположение точек). Вместо значений Х используется последовательность 1; 2; 3; … (для нумерации категорий). Поэтому, если строить линию тренда на диаграмме типа График , то вместо фактических значений Х будут использованы значения этой последовательности, что приведет к неверному результату (если, конечно, фактические значения Х не совпадают с последовательностью 1; 2; 3; …).