Разделы сайта
Выбор редакции:
- Явление фазы луны результат затмения
- Толковая библия лопухина - лучшее толкование библии
- Кислотно-щелочной баланс организма – рН
- Известные события произошедшие 12 сентября
- Правила вычисления производных
- Иван III – Государь всея Руси
- Первые металлургические мануфактуры тульского края Где появились первые металлургические заводы
- Формирование ууд на уроках в начальной школе презентация к уроку на тему
- Презентация "герой сталинградской битвы василий григорьевич зайцев"
- Маргинал или изгой общества Кто это такой
Реклама
Интегрирование простейших дробей примеры с подробным решением. Интегрирование рациональных дробей. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование |
Интегрирование дробно-рациональной функции.
|
Пример 1 |
Найти интеграл рациональной дроби: $$ \int \frac{dx}{x^2-10x+16} $$ |
Решение |
Дробь является правильной и многочлен имеет только комплексные корни. Поэтому выделим полный квадрат: $$ \int \frac{dx}{x^2-10x+16} = \int \frac{dx}{x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9} = $$ Сворачиваем полный квадрат и подводим под знак дифференциала $ x-5 $: $$ = \int \frac{dx}{(x-5)^2 - 9} = \int \frac{d(x-5)}{(x-5)^2-9} = $$ Пользуясь таблицей интегралов получаем: $$ = \frac{1}{2 \cdot 3} \ln \bigg | \frac{x-5 - 3}{x-5 + 3} \bigg | + C = \frac{1}{6} \ln \bigg |\frac{x-8}{x-2} \bigg | + C $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
Ответ |
$$ \int \frac{dx}{x^2-10x+16} = \frac{1}{6} \ln \bigg |\frac{x-8}{x-2} \bigg | + C $$ |
Пример 2 |
Выполнить интегрирование рациональных дробей: $$ \int \frac{x+2}{x^2+5x-6} dx $$ |
Решение |
Решим квадратное уравнение: $$ x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_{12} = \frac{-5\pm \sqrt{25-4\cdot 1 \cdot (-6)}}{2} = \frac{-5 \pm 7}{2} $$ Записываем корни: $$ x_1 = \frac{-5-7}{2} = -6; x_2 = \frac{-5+7}{2} = 1 $$ С учётом полученных корней, преобразуем интеграл: $$ \int \frac{x+2}{x^2+5x-6} dx = \int \frac{x+2}{(x-1)(x+6)} dx = $$ Выполняем разложение рациональной дроби: $$ \frac{x+2}{(x-1)(x+6)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+6} = \frac{A(x-6)+B(x-1)}{(x-1)(x+6)} $$ Приравниваем числители и находим коэффициенты $ A $ и $ B $: $$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$ $$ Ax + 6A + Bx - B = x + 2 $$ $$ \begin{cases} A + B = 1 \\ 6A - B = 2 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} A = \frac{3}{7} \\ B = \frac{4}{7} \end{cases} $$ Подставляем в интеграл найденные коэффициенты и решаем его: $$ \int \frac{x+2}{(x-1)(x+6)}dx = \int \frac{\frac{3}{7}}{x-1} dx + \int \frac{\frac{4}{7}}{x+6} dx = $$ $$ = \frac{3}{7} \int \frac{dx}{x-1} + \frac{4}{7} \int \frac{dx}{x+6} = \frac{3}{7} \ln |x-1| + \frac{4}{7} \ln |x+6| + C $$ |
Ответ |
$$ \int \frac{x+2}{x^2+5x-6} dx = \frac{3}{7} \ln |x-1| + \frac{4}{7} \ln |x+6| + C $$ |
Задача нахождения неопределенного интеграла дробно рациональной функции сводится к интегрированию простейших дробей. Поэтому рекомендуем для начала ознакомиться с разделом теории разложение дроби на простейшие.
Пример.
Найти неопределенный интеграл .
Решение.
Так как степень числителя подынтегральной функции равна степени знаменателя, то для начала выделяем целую часть, проводя деление столбиком многочлена на многочлен:
Поэтому, .
Разложение полученной правильной рациональной дроби на простейшие дроби имеет вид . Следовательно,
Полученный интеграл представляет собой интеграл простейшей дроби третьего типа. Забегая немного вперед, отметим, что взять его можно методом подведения под знак дифференциала.
Так как , то . Поэтому
Следовательно,
Теперь перейдем к описанию методов интегрирования простейших дробей каждого из четырех типов.
Интегрирование простейших дробей первого типа
Для решения этой задачи идеально подходит метод непосредственного интегрирования:
Пример.
Найти множество первообразных функции
Решение.
Найдем неопределенный интеграл , используя свойства первообразной, таблицу первообразных и правило интегрирования .
К началу страницы
Интегрирование простейших дробей второго типа
Для решения этой задачи также подходит метод непосредственного интегрирования:
Пример.
Решение.
К началу страницы
Интегрирование простейших дробей третьего типа
Для начала представляем неопределенный интеграл в виде суммы:
Первый интеграл берем методом подведения под знак дифференциала:
Поэтому,
У полученного интеграла преобразуем знаменатель:
Следовательно,
Формула интегрирования простейших дробей третьего типа принимает вид:
Пример.
Найдите неопределенный интеграл .
Решение.
Используем полученную формулу:
Если бы у нас не было этой формулы, то как бы мы поступили:
К началу страницы
Интегрирование простейших дробей четвертого типа
Первый шаг – подводим под знак дифференциала:
Второй шаг – нахождение интеграла вида . Интегралы подобного вида находятся с использованием рекуррентных формул. (Смотрите раздел интегрирование с использованием рекуррентных формул). Для нашего случая подходит следующая рекуррентная формула:
Пример.
Найдите неопределенный интеграл
Решение.
Для данного вида подынтегральной функции используем метод подстановки. Введем новую переменную (смотрите раздел интегрирование иррациональных функций):
После подстановки имеем:
Пришли к нахождению интеграла дроби четвертого типа. В нашем случае имеем коэффициенты М = 0, р = 0, q = 1, N = 1
и n = 3
. Применяем рекуррентную формулу:
После обратной замены получаем результат:
Интегрирование тригонометрических функций | ||||||||||||||||||||
1.Интегралы вида вычисляются преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму по формулам:
Например,
2.Интегралы вида , где m
или n
– нечетное положительное число, вычисляются подведением под знак дифференциала.
Например,
3.Интегралы вида , где m и n –четные положительные числа, вычисляются с помощью формул понижения степени: Например, 4.Интегралы где вычисляются заменой переменной: или Например, 5.Интегралы вида сводятся к интегралам от рациональных дробей с помощью универсальной тригонометрической подстановки тогда (т.к. =[после деления числителя и знаменателя на ]= ; Например, Следует заметить, что использование универсальной подстановки нередко приводит к громоздким выкладкам. |
||||||||||||||||||||
§5. Интегрирование простейших иррациональностей | ||||||||||||||||||||
Рассмотрим методы интегрирования простейших видов иррациональностей.
1. Функции такого вида интегрируются так же, как простейшие рациональные дроби 3–го типа: в знаменателе из квадратного трехчлена выделяется полный квадрат и вводится новая переменная.
Пример.
2. (под знаком интеграла–рациональная функция аргументов ). Интегралы такого вида вычисляются с помощью замены . В частности, в интегралах вида обозначают . Если подынтегральная функция содержит корни разных степеней: , то обозначают , где n
– наименьшее общее кратное чиселm,k
.
Пример 1.
Пример 2. –неправильная рациональная дробь, выделим целую часть:
3.Интегралы вида вычисляются с помощью тригонометрических подстановок: |
44
45 Определённый интеграл
Определённый интеграл - аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция илифункционал, а вторая - область в множестве задания этой функции (функционала).
Определение
Пусть определена на . Разобьём на части с несколькими произвольными точками . Тогда говорят, что произведено разбиение отрезка Далее выберем произвольную точку , ,
Определённым интегралом от функции на отрезке называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю , если он существует независимо от разбиения и выбора точек , то есть
Если существует указанный предел, то функция называется интегрируемой на по Риману.
Обозначения
· - нижний предел.
· - верхний предел.
· - подынтегральная функция.
· - длина частичного отрезка.
· - интегральная сумма от функции на соответствующей разбиению .
· - максимальная длина част.отрезка.
Свойства
Если функция интегрируема по Риману на , то она ограничена на нем.
Определённый интеграл как площадь фигуры
Определённый интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми и и графиком функции .
Теорема Ньютона - Лейбница
[править]
(перенаправлено с «Формула Ньютона-Лейбница»)
Формула Ньютона - Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной.
Доказательство
Пусть на отрезке задана интегрируемая функция . Начнем с того, что отметим, что
то есть не имеет никакого значения, какая буква ( или ) стоит под знаком в определенном интеграле по отрезку .
Зададим произвольное значение и определим новую функцию . Она определена для всех значений , потому что мы знаем, что если существует интеграл от на , то существует также интеграл от на , где . Напомним, что мы считаем по определению
(1)
Заметим, что
Покажем, что непрерывна на отрезке . В самом деле, пусть ; тогда
и если , то
Таким образом, непрерывна на независимо от того, имеет или не имеет разрывы; важно, что интегрируема на .
На рисунке изображен график . Площадь переменной фигуры равна . Ее приращение равно площади фигуры , которая в силу ограниченности , очевидно, стремится к нулю при независимо от того, будет ли точкой непрерывности или разрыва , например точкой .
Пусть теперь функция не только интегрируема на , но непрерывна в точке . Докажем, что тогда имеет в этой точке производную, равную
(2)
В самом деле, для указанной точки
(1) , (3)
Мы положили , а так как постоянная относительно ,TO . Далее, в силу непрерывности в точке для всякого можно указать такое , что для .
что доказывает, что левая часть этого неравенства есть о(1) при .
Переход к пределу в (3) при показывает существование производной от в точке и справедливость равенства (2). При речь здесь идет соответственно о правой и левой производной.
Если функция непрерывна на , то на основании доказанного выше соответствующая ей функция
(4)
имеет производную, равную . Следовательно, функция есть первообразная для на .
Это заключение иногда называется теоремой об интеграле с переменным верхним пределом или теоремой Барроу.
Мы доказали, что произвольная непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке первообразную, определенную равенством (4). Этим доказано существование первообразной для всякой непрерывной на отрезке функции.
Пусть теперь есть произвольная первообразная функции на . Мы знаем, что , где - некоторая постоянная. Полагая в этом равенстве и учитывая, что , получим .
Таким образом, . Но
Несобственный интеграл
[править]
Материал из Википедии - свободной энциклопедии
Определённый интеграл называется несобственным , если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:
· Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;
· Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка .
[править]Несобственные интегралы I рода
. Тогда:
1. Если и интеграл называется . В этом случае называется сходящимся.
, или просто расходящимся.
Пусть определена и непрерывна на множестве от и . Тогда:
1. Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода . В этом случае называется сходящимся.
2. Если не существует конечного ( или ), то интеграл называется расходящимся к , или просто расходящимся.
Если функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, то может существовать несобственный интеграл данной функции с двумя бесконечными пределами интегрирования, определяющийся формулой:
, где с - произвольное число.
[править]Геометрический смысл несобственного интеграла I рода
Несобственный интеграл выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.
[править]Примеры
[править]Несобственные интегралы II рода
Пусть определена на , терпит бесконечный разрыв в точке x=a и . Тогда:
1. Если , то используется обозначение и интеграл называется
называется расходящимся к , или просто расходящимся.
Пусть определена на , терпит бесконечный разрыв при x=b и . Тогда:
1. Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода . В этом случае интеграл называется сходящимся.
2. Если или , то обозначение сохраняется, а называется расходящимся к , или просто расходящимся.
Если функция терпит разрыв во внутренней точке отрезка , то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:
[править]Геометрический смысл несобственных интегралов II рода
Несобственный интеграл выражает площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции
[править]Пример
[править]Отдельный случай
Пусть функция определена на всей числовой оси и имеет разрыв в точках .
Тогда можно найти несобственный интеграл
[править]Критерий Коши
1. Пусть определена на множестве от и .
Тогда сходится
2. Пусть определена на и .
Тогда сходится
[править]Абсолютная сходимость
Интеграл называется абсолютно сходящимся
, если сходится.
Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.
[править]Условная сходимость
Интеграл называется условно сходящимся , если сходится, а расходится.
48 12. Несобственные интегралы.
При рассмотрении определённых интегралов мы предполагали, что область интегрирования ограничена (более конкретно, является отрезком [a ,b ]); для существования определённого интеграла необходима ограниченность подынтегральной функции на [a ,b ]. Будем называть определённые интегралы, для которых выполняются оба эти условия (ограниченность и области интегрирования, и подынтегральной функции) собственными ; интегралы, для которых нарушаются эти требования (т.е. неограничена либо подынтегральная функция, либо область интегрирования, либо и то, и другое вместе) несобственными . В этом разделе мы изучим несобственные интегралы.
- 12.1. Несобственные интегралы по неограниченному промежутку (несобственные интегралы первого рода).
- 12.1.1. Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Примеры.
- 12.1.2. Формула Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла.
- 12.1.3. Признаки сравнения для неотрицательных функций.
- 12.1.3.1. Признак сравнения.
- 12.1.3.2. Признак сравнения в предельной форме.
- 12.1.4. Абсолютная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку.
- 12.1.5. Признаки сходимости Абеля и Дирихле.
- 12.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода).
- 12.2.1. Определение несобственного интеграла от неограниченной функции.
- 12.2.1.1. Особенность на левом конце промежутка интегрирования.
- 12.2.1.2. Применение формулы Ньютона-Лейбница.
- 12.2.1.3. Особенность на правом конце промежутка интегрирования.
- 12.2.1.4. Особенность во внутренней точке промежутка интегрирования.
- 12.2.1.5. Несколько особенностей на промежутке интегрирования.
- 12.2.2. Признаки сравнения для неотрицательных функций.
- 12.2.2.1. Признак сравнения.
- 12.2.2.2. Признак сравнения в предельной форме.
- 12.2.3. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов от разрывных функций.
- 12.2.4. Признаки сходимости Абеля и Дирихле.
12.1. Несобственные интегралы по неограниченному промежутку
(несобственные интегралы первого рода).
12.1.1. Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку . Пусть функция f (x ) определена на полуоси и интегрируема по любому отрезку [ от, подразумевая в каждом из этих случаев существование и конечность соответствующих пределов. Теперь решения примеров выглядят более просто: .
12.1.3. Признаки сравнения для неотрицательных функций
. В этом разделе мы будем предполагать, что все подынтегральные функции неотрицательны на всей области определения. До сих пор мы определяли сходимость интеграла, вычисляя его: если существует конечный предел первообразной при соответствующем стремлении ( или ), то интеграл сходится, в противном случае - расходится. При решении практических задач, однако, важно в первую очередь установить сам факт сходимости, и только затем вычислять интеграл (к тому же первообразная часто не выражается через элементарные функции). Сформулируем и докажем ряд теорем, которые позволяют устанавливать сходимость и расходимость несобственных интегралов от неотрицательных функций, не вычисляя их.
12.1.3.1. Признак сравнения
. Пусть функции f
(x
) и g
(x
) интегр
Напомним, что дробно-рациональными называют функции вида $$ f(x) = \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}, $$ в общем случае являющиеся отношением двух многочленов %%P_n(x)%% и %%Q_m(x)%%.
Если %%m > n \geq 0%%, то рациональную дробь называют правильной , в противном случае — неправильной. Используя правило деления многочленов , неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена %%P_{n - m}%% степени %%n - m%% и некоторой правильной дроби, т.е. $$ \frac{P_n(x)}{Q_m(x)} = P_{n-m}(x) + \frac{P_l(x)}{Q_n(x)}, $$ где степень %%l%% многочлена %%P_l(x)%% меньше степени %%n%% многочлена %%Q_n(x)%%.
Таким образом, неопределенный интеграл от рациональной функции можно представить суммой неопределенных интегралов от многочлена и от правильной рациональной дроби.
Интегралы от простейших рациональных дробей
Среди правильных рациональных дробей выделяют четыре типа, которые относят к простейшим рациональным дробям :
- %%\displaystyle \frac{A}{x - a}%%,
- %%\displaystyle \frac{A}{(x - a)^k}%%,
- %%\displaystyle \frac{Ax + B}{x^2 + px + q}%%,
- %%\displaystyle \frac{Ax + B}{(x^2 + px + q)^k}%%,
где %%k > 1%% — целое и %%p^2 - 4q < 0%%, т.е. квадратные уравнения не имеют действительных корней.
Вычисление неопределенных интегралов от дробей первых двух типов
Вычисление неопределенных интегралов от дробей первых двух типов не вызывает затруднений: $$ \begin{array}{ll} \int \frac{A}{x - a} \mathrm{d}x &= A\int \frac{\mathrm{d}(x - a)}{x - a} = A \ln |x - a| + C, \\ \\ \int \frac{A}{(x - a)^k} \mathrm{d}x &= A\int \frac{\mathrm{d}(x - a)}{(x - a)^k} = A \frac{(x-a)^{-k + 1}}{-k + 1} + C = \\ &= -\frac{A}{(k-1)(x-a)^{k-1}} + C. \end{array} $$
Вычисление неопределенного интегралов от дробей третьего типа
Дробь третьего типа сначала преобразуем, выделив полный квадрат в знаменателе: $$ \frac{Ax + B}{x^2 + px + q} = \frac{Ax + B}{(x + p/2)^2 + q - p^2/4}, $$ так как %%p^2 - 4q < 0%%, то %%q - p^2/4 > 0%%, которое обозначим как %%a^2%%. Заменив также %%t = x + p/2, \mathrm{d}t = \mathrm{d}x%%, преобразуем знаменатель и запишем интеграл от дроби третьего типа в форме $$ \begin{array}{ll} \int \frac{Ax + B}{x^2 + px + q} \mathrm{d}x &= \int \frac{Ax + B}{(x + p/2)^2 + q - p^2/4} \mathrm{d}x = \\ &= \int \frac{A(t - p/2) + B}{t^2 + a^2} \mathrm{d}t = \int \frac{At + (B - A p/2)}{t^2 + a^2} \mathrm{d}t. \end{array} $$
Последний интеграл, используя линейность неопределенного интеграла, представим в виде суммы двух и в первом из них введем %%t%% под знак дифференциала: $$ \begin{array}{ll} \int \frac{At + (B - A p/2)}{t^2 + a^2} \mathrm{d}t &= A\int \frac{t \mathrm{d}t}{t^2 + a^2} + \left(B - \frac{pA}{2}\right)\int \frac{\mathrm{d}t}{t^2 + a^2} = \\ &= \frac{A}{2} \int \frac{\mathrm{d}\left(t^2 + a^2\right)}{t^2 + a^2} + - \frac{2B - pA}{2}\int \frac{\mathrm{d}t}{t^2 + a^2} = \\ &= \frac{A}{2} \ln \left| t^2 + a^2\right| + \frac{2B - pA}{2a} \text{arctg}\frac{t}{a} + C. \end{array} $$
Возвращаясь к исходной переменной %%x%%, в итоге для дроби третьего типа получаем $$ \int \frac{Ax + B}{x^2 + px + q} \mathrm{d}x = \frac{A}{2} \ln \left| x^2 + px + q\right| + \frac{2B - pA}{2a} \text{arctg}\frac{x + p/2}{a} + C, $$ где %%a^2 = q - p^2 / 4 > 0%%.
Вычисление интеграла 4 типа сложно, поэтому в этом курсе не рассматривается.
Читайте: |
---|
Новое
- Толковая библия лопухина - лучшее толкование библии
- Кислотно-щелочной баланс организма – рН
- Известные события произошедшие 12 сентября
- Правила вычисления производных
- Иван III – Государь всея Руси
- Первые металлургические мануфактуры тульского края Где появились первые металлургические заводы
- Формирование ууд на уроках в начальной школе презентация к уроку на тему
- Презентация "герой сталинградской битвы василий григорьевич зайцев"
- Маргинал или изгой общества Кто это такой
- Студенческие строительные отряды (ссо - вссо) Движение вссо как называли в ссср