5.3 Математический анализ

Основатели современной науки - Коперник, Кеплер, Галилей и Ньютон - подходили к исследованию природы как математики. Исследуя движение, математики выработали такое фундаментальное понятие, как функция, или отношение между переменными, например d = kt2, где d - расстояние, пройденное свободно падающим телом, а t - число секунд, которое тело находится в свободном падении. Понятие функции сразу же стало центральным в определении скорости в данный момент времени и ускорения движущегося тела. Математическая трудность этой проблемы заключалась в том, что в любой момент тело проходит нулевое расстояние за нулевой промежуток времени. Поэтому, определяя значение скорости в момент времени делением пути на время, мы придем к математически бессмысленному выражению 0/0.

Задача определения и вычисления мгновенных скоростей изменения различных величин привлекала внимание почти всех математиков XVII в., включая Барроу, Ферма, Декарта и Валлиса. Предложенные ими разрозненные идеи и методы были объединены в систематический, универсально применимый формальный метод Ньютоном и Г. Лейбницем (1646 - 1716), создателями дифференциального исчисления. По вопросу о приоритете в разработке этого исчисления между ними велись горячие споры, причем Ньютон обвинял Лейбница в плагиате. Однако, как показали исследования историков науки, Лейбниц создал математический анализ независимо от Ньютона. В результате конфликта обмен идеями между математиками континентальной Европы и Англии на долгие годы оказался прерванным с ущербом для английской стороны. Английские математики продолжали развивать идеи анализа в геометрическом направлении, в то время как математики континентальной Европы, в том числе И. Бернулли (1667 - 1748), Эйлер и Лагранж достигли несравненно больших успехов, следуя алгебраическому, или аналитическому, подходу.

Основой всего математического анализа является понятие предела. Скорость в момент времени определяется как предел, к которому стремится средняя скорость, когда значение t все ближе подходит к нулю. Дифференциальное исчисление дает удобный в вычислениях общий метод нахождения скорости изменения функции при любом значении х. Эта скорость получила название производной. Из общности записи видно, что понятие производной применимо не только в задачах, связанных с необходимостью найти скорость или ускорение, но и по отношению к любой функциональной зависимости, например, к какому-нибудь соотношению из экономической теории. Одним из основных приложений дифференциального исчисления являются т. н. задачи на максимум и минимум; другой важный круг задач - нахождение касательной к данной кривой.

Оказалось, что с помощью производной, специально изобретенной для работ с задачами движения, можно также находить площади и объемы, ограниченные соответственно кривыми и поверхностями. Методы евклидовой геометрии не обладали должной общностью и не позволяли получать требуемые количественные результаты. Усилиями математиков XVII в. были созданы многочисленные частные методы, позволявшие находить площади фигур, ограниченных кривыми того или иного вида, и в некоторых случаях была отмечена связь этих задач с задачами на нахождение скорости изменения функций. Но, как и в случае дифференциального исчисления, именно Ньютон и Лейбниц осознали общность метода и тем самым заложили основы интегрального исчисления.

Метод Ньютона-Лейбница начинается с замены кривой, ограничивающей площадь, которую требуется определить, приближающейся к ней последовательностью ломаных, аналогично тому, как это делалось в изобретенном греками методе исчерпывания. Точная площадь равна пределу суммы площадей n прямоугольников, когда n обращается в бесконечность. Ньютон показал, что этот предел можно найти, обращая процесс нахождения скорости изменения функции. Операция, обратная дифференцированию, называется интегрированием. Утверждение о том, что суммирование можно осуществить, обращая дифференцирование, называется основной теоремой математического анализа. Подобно тому, как дифференцирование применимо к гораздо более широкому классу задач, чем поиск скоростей и ускорений, интегрирование применимо к любой задаче, связанной с суммированием, например, к физическим задачам на сложение сил.

Алгоритм Дейкстры

ТЕОРИЯ ГРАФОВ - это область дискретной математики, особенностью которой является геометрический подход к изучению объектов. Основной объект теории графов-граф и его обобщения...

Выдающиеся люди статистики. П.Л. Чебышев

Наибольшее число работ Чебышева посвящено математическому анализу. В диссертации 1847 на право чтения лекций Чебышев исследует интегрируемость некоторых иррациональных выражений в алгебраических функциях и логарифмах...

Проанализируем учебники по Алгебре и начала математического анализа таких авторов, как Колмогоров А.Н. и Мордкович А.Г. В учебнике для 10-11 классов 2008 года общеобразовательных учреждений под редакцией А.Н. Колмогорова, авторы которого: А.Н...

Изучение свойств случайных величин, планирование эксперимента и анализ данных

Получим зависимость точности метода измерения прочности от факторов: А, С, E. Вычислим z0j = (zmaxj + zminj)/2 (41) ?zj = (zmaxj - zminj)/2 (42) xj = (zj - z0j)/ ?zj (43) Составим матрицу планирования...

Исследование метода продолжения решения по параметру для нелинейных САУ

Проанализировав приведенный выше графический и тестовый материал, описывающий решение систем нелинейных алгебраических уравнений методом продолжения решения по параметру можно сделать соответствующие выводы: 1...

Регрессия - зависимость среднего значения какой-либо величины Y от другой величины X. Понятие регрессии в некотором смысле обобщает понятие функциональной зависимости y = f(x)...

Исследование статистической зависимости давления в идеальном газе Ферми-Дирака от его температуры

Линейная регрессия Для нахождения коэффициентов a и b методом наименьших квадратов были посчитаны следующие необходимые параметры: = 3276,8479; = 495,4880; = 2580,2386; = 544,33; В нашем случае коэффициенты а и b соответственно равны: . Следовательно...

Итерационные алгебраические методы реконструкции изображения

Исследуя данные вычислений для этих задач можно сказать, что для данного метода количества уравнений и количества неизвестных играет существенную роль...

Математика и современный мир

Всякое точное объяснение того или иного явления - математично и, наоборот, все, что точно - математика. Любое же точное описание - это описание на соответствующем математическом языке...

Математическое моделирование в задачах расчета и проектирования систем автоматического управления

Выполним анализ нескорректированной системы с использованием критериев Михайлова и Гурвица. Найдем передаточную функцию всей системы Составим матрицу Гурвица a0=1; a1=7.4; a2=19; a3=10; По критерию Гурвица для того...

Метод наименьших квадратов

Начнем с понятия о дисперсионном анализе регрессии. Разберем это понятие на примере линейной зависимости. Согласно МНК можем представить: , где. Здесь второе соотношение - найденное уравнение регрессии, есть случайная величина со средним...

Минимакс и многокритериальная оптимизация

Прежде чем мы начнем рассматривать саму задачу оптимизации, договоримся, каким математическим аппаратом будем пользоваться. Для решения задач с одним критерием достаточно уметь работать с функцией одной переменной...

Непрерывная случайная величина

Регрессионный анализ - метод моделирования измеряемых данных и исследования их свойств. Данные состоят из пар значений зависимой переменной (переменной отклика) и независимой переменной (объясняющей переменной)...

Особенности языка математики

Для описания времени, понимаемого как время жизненного мира, время человеческого бытия, наиболее удобен язык феноменологии. Но феноменологическое описание времени и вечности вполне может использовать и математический язык...

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем

Из графического представления решения системы дифференциальных уравнений первого порядка, описывающей динамику популяций двух видов, взаимодействующих между собой по типу «хищник-жертва» и с учетом внутривидового взаимодействия, видно...

XIX век является началом нового, четвертого периода в истории математики – периода современной математики.

Мы уже знаем , что одним из главных направлений развития математики в четвертом периоде является усиление строгости доказательств во всей математике, особенно перестройка математического анализа на логической основе. Во второй половинеXVIII в. делались многократные попытки перестройки математического анализа: введение определения предела (Даламбер и др.), определение производной как предела отношения (Эйлер и др.), результаты Лагранжа и Карно и т. д., но этим работам не хватало системы, а иногда они были неудачны. Однако они готовили почву, на которой перестройка в XIX в. смогла быть осуществлена. В XIX в. это направление развития математического анализа стало ведущим. Им занялись О.Коши, Б. Больцано, К. Вейерштрасс и др.

1.Огюстен Луи Коши (1789−1857) окончил в Париже Политехническую школу и Институт путей сообщения. С 1816 г. член Парижской академии и профессор Политехнической школы. В 1830−1838 гг. в годы республики он был в эмиграции из-за своих монархистских убеждений. С 1848 г. Коши стал профессором Сорбонны – Парижского университета. Он опубликовал более 800 работ по математическому анализу, дифференциальным уравнениям, теории функций комплексной переменной, алгебре, теории чисел, геометрии, механике, оптике и др. Главными областями его научных интересов были математический анализ и теория функций комплексной переменной.

Свои лекции по анализу, прочитанные в Политехнической школе, Коши издал в трех сочинениях: «Курс анализа» (1821), «Резюме лекций по исчислению бесконечно малых» (1823), «Лекция по приложениям анализа к геометрии», 2 тома (1826, 1828). в этих книгах впервые математический анализ строится на основе теории пределов. они означали начало коренной перестройки математического анализа.

Коши дает следующее определение предела переменной: « Если значения, последовательно приписываемые одной и той же переменной, неограниченно приближаются к фиксированному значению, так что в конце концов отличаются от него сколь угодно мало, то последнее называют пределом всех остальных». Суть дела здесь выражена хорошо, но слова « сколь угодно мало» сами нуждаются в определении, а кроме того, здесь формулируется определение предела переменной, а не предела функции. Далее автор доказывает различные свойства пределов.

Затем Коши приводит такое определение непрерывности функции: функция называется непрерывной (в точке), если бесконечно малое приращение аргумента порождает бесконечно малое приращение функции, т.е., на современном языке

Потом у него следуют различные свойства непрерывных функций.

В первой книге рассматривает также теорию рядов: дает определение суммы числового ряда как предела его частичной суммы, вводит ряд достаточных признаков сходимости числовых рядов, а также степенные ряды и область их сходимости – все это как в действительной, так и в комплексной области.

Дифференциальное и интегральное исчисление он излагает во второй книге.

Коши дает определение производной функции как предела отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, и дифференциал, как предела отношения приОтсюда следует, что. Далее рассматриваются обычные формулы производных; при этом автор часто использует теорему Лагранжа о средних значениях.

В интегральном исчислении Коши впервые выдвигает в качестве основного понятия определенный интеграл. Он вводит его также впервые, как предел интегральных сумм. Здесь же доказывается важная теорема об интегрируемости непрерывной функции. Неопределенный интеграл у него определяется как такая функцияаргументачтоКроме того, здесь рассматриваются разложения функций в ряды Тейлора и Маклорена.

Во второй половине XIX в. ряд ученых: Б. Риман, Г. Дарбу и др. нашли новые условия интегрируемости функции и даже изменили само определение определенного интеграла таким образом, чтобы его можно было применить к интегрированию некоторых разрывных функций.

В теории дифференциальных уравнений Коши занимался, главным образом, доказательствами принципиально важных теорем существования: существования решения обыкновенного дифференциального уравнения сначала первого, а потом -го порядка; существования решения для линейной системы уравнений с частными производными.

В теории функций комплексной переменной Коши является основоположником; ей посвящены многие его статьи. В XVIII в. Эйлер и Даламбер положили лишь начало этой теории. В вузовском курсе теории функций комплексной переменной мы постоянно встречаем имя Коши: условия Коши − Римана существования производной, интеграл Коши, интегральная формула Коши и т.д.; многие теоремы о вычетах функции также принадлежат Коши. В этой области получили весьма важные результаты также Б.Риман, К. Вейерштрасс, П. Лоран и др.

Вернемся к основным понятиям математического анализа. Во второй половине века выяснилось, что в области обоснования анализа многое сделал до Коши и Вейерщтрасса чешский ученый Бернард Больцано (1781 – 1848). Он до Коши дал определения предела, непрерывности функции и сходимости числового ряда, доказал критерий сходимости числовой последовательности, а также, задолго до того, как она появилась у Вейерштрасса, теорему: если числовое множество ограниченно сверху (снизу), то оно имеет точную верхнюю (точную нижнюю) грань. Он рассмотрел ряд свойств непрерывных функций; вспомним, что в вузовском курсе математического анализа имеются теоремы Больцано – Коши и Больцано – Вейерштрасса о функциях, непрерывных на отрезке. Больцано исследовал и некоторые вопросы математического анализа, например, построил первый пример функции, непрерывной на отрезке, но не имеющей производной ни в одной точке отрезка. При жизни Больцано смог опубликовать только пять небольших работ, поэтому его результаты стали известны слишком поздно.

2.В математическом анализе все явственнее чувствовалось отсутствие четкого определения функции. Значительный вклад в решение спора о том, что понимать под функцией, внес французский ученый Жан Фурье. Он занимался математической теорией теплопроводности в твердом теле и в связи с этим использовал тригонометрические ряды (ряды Фурье)

эти ряды позднее стали широко применяться в математической физике – науке, которая занимается математическими методами исследования встречающихся в физике дифференциальных уравнений в частных производных. Фурье доказал, что любую непрерывную кривую, независимо от того, из каких разнородных частей она составлена, можно задать единым аналитическим выражением – тригонометрическим рядом, и что это можно сделать и для некоторых кривых с разрывами. Исследование таких рядов, проведенное Фурье, вновь поставило вопрос, что же понимать под функцией. Можно ли считать, что подобная кривая задает функцию? (Это возобновление старого спора XVIII в о соотношении между функцией и формулой на новом уровне.)

В 1837 г. немецкий математик П. Дирехле впервые дал современное определение функции: « есть функция переменной(на отрезкеесли каждому значению(на этом отрезке) соответствует совершенно определенное значение, причем безразлично, каким образом установлено это соответствие – аналитической формулой, графиком, таблицей либо даже просто словами». Обращает на себя внимание добавление: «безразлично, каким образом установлено это соответствие». Определение Дирехле получило общее признание довольно быстро. Правда, сейчас принято функцией называть само соответствие.

3.Современный стандарт строгости в математическом анализе впервые появился в работах Вейерштрасса (1815−1897) долгое время работал учителем математики в гимназиях, а в 1856 г. стал профессором Берлинского университета. Слушатели его лекций постепенно издавали их в виде отдельных книг, благодаря чему содержание лекций Вейерштрасса стало хорошо известным в Европе. Именно Вейерштрасс стал систематически употреблять в математическом анализе язык Он дал определение предела последовательности, определение предела функции на языке(которое часто неправильно называют определением Коши), строго доказал теоремы о пределах и так называемую теорему Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности: возрастающая (убывающая) последовательность, ограниченная сверху (снизу), имеет конечный предел. Он стал использовать понятия точной верхней и точной нижней грани числового множества, понятие предельной точки множества, доказал теорему (у которой есть и другой автор – Больцано): ограниченное числовое множество имеет предельную точку, рассмотрел некоторые свойства непрерывных функций. Много работ Вейерштрасс посвятил теории функций комплексной переменной, обосновав ее с помощью степенных рядов. Он занимался также вариационным исчислением, дифференциальной геометрией и линейной алгеброй.

4.Остановимся еще на теории бесконечных множеств. Ее создателем был немецкий математик Кантор. Георг Кантор (18451918) много лет работал профессором университета в Галле. Работы по теории множеств опубликовал, начиная с 1870г. Он доказал несчетность множества действительных чисел, установив, таким образом, существование неэквивалентных бесконечных множеств, ввел общее понятие мощности множества, выяснил принципы сравнения мощностей. Кантор построил теорию трансфинитных, «несобственных» чисел, приписав низшее, наименьшее трансфинитное число мощности счетного множества (в частности, множества натуральных чисел), мощности множества действительных чисел – более высокое, большее трансфинитное число, и т.д.; это дало ему возможность построить арифметику трансфинитных чисел, похожую на обычную арифметику натуральных чисел. Кантор систематически применял актуальную бесконечность, например, возможность полностью «исчерпать» натуральный ряд чисел, в то время как до него в математикеXIX в. использовалась лишь потенциальная бесконечность.

Теория множеств Кантора при своем появлении вызвала возражения многих математиков, но постепенно пришло признание тогда, когда стало ясным ее огромное значение для обоснования топологии и теории функций действительной переменной. Но оставались логические пробелы в самой теории, в частности, были обнаружены парадоксы теории множеств. Вот один из наиболее известных парадоксов. Обозначим через множество всех таких множеств, которые не являются элементами самих себя. Выполняется ли включениетакже и не является элементомтак как по условию ввходят в качестве элементов только такие множества, которые не являются элементами самих себя; если жето по условию выполняется включениепротиворечие в обоих случаях.

Эти парадоксы были связаны с внутренней противоречивостью некоторых множеств. Становилось ясным, что в математике можно пользоваться не любыми множествами. Существование парадоксов было преодолено созданием уже в начале XX в. аксиоматической теории множеств (Э. Цермело, а. Френкелем, Д. Нейманом и др.), которая, в частности, отвечала на вопрос: какими множествами можно пользоваться в математике? Оказывается, можно пользоваться пустым множеством, объединением данных множеств, множеством всех подмножеств данного множества и др.

В следующие 10 лет естественные науки сблизятся с гуманитарными для ответа на сложные вопросы человечества. И язык математики будет играть в этом огромную роль. Станут возможными открытия новых тенденций истории, их объяснения, а в будущем даже предсказания того, что произойдёт. Так считает исследователь истории Жан-Батист Мишель (Jean-Baptiste Michel), который в феврале этого года выступая на TED, изложил свою точку зрения на то, чем математика может быть полезна историкам.

В своем коротком (6 мин.) выступлении Жан-Батист Мишель рассказывает о том, что оцифрованная история находится на пути раскрытия глубоких базовых тенденций, таких как перемены в языке или смертоносность войн.

Текст выступления

Оказывается, язык математики является мощным инструментом. Он способствовал значительному прогрессу в физике, биологии и экономике, однако не в гуманитарных науках и истории. Возможно, люди думают, что это невозможно — невозможно подсчитать деяния человечества или измерить историю. Однако я думаю иначе. Вот несколько примеров.

Мы с моим коллегой Эрезом размышляли вот о чём: два короля, живущие в разных столетиях, говорят на абсолютно разных языках. Это мощная историческая сила.Например, словарный запас и правила грамматики, используемые королём Англии Альфредом Великим, сильно отличались от речи короля хип-хопа Джей-Зи. (Смех)Ничего не поделаешь. Со временем язык меняется, и это влиятельный фактор.

Мы с Эрезом хотели узнать об этом побольше. Поэтому мы обратились к классу спряжения прошедшего времени, где окончание "-ed" у глагола обозначает действие в прошедшем времени. "Today I walk." [Я гуляю сегодня] "Yesterday I walked." [Я гулял вчера]. Но не все глаголы являются правильными. Например, "Yesterday I thought." [Вчера я размышлял]. Любопытно, что сегодня во времена Джей-Зи у нас больше правильных глаголов, нежели их было во времена Альфреда. Например, глагол "to wed" [жениться] стал правильным.

Мы с Эрезом проследили судьбы более 100 неправильных глаголов за 12 веков истории английского языка и заметили, что это сложное историческое изменениеможно обобщить довольно простой математической формулой: если глагол используется в 100 раз чаще других, он становится правильным в 10 раз медленней.Вот вам исторический факт в математической обертке.

В некоторых случаях математика помогает объяснить или предложить версии для исторических событий. Вместе со Стивом Пинкером мы размышляли над масштабами войн двух прошлых веков. Существует известная закономерность: войны, унёсшие в 100 раз больше жизней, случались в 10 раз реже. Например, 30 войн по смертоносности сходные с Шестидневной войной, и только 4 войны, унёсшие в 100 раз больше жизней, как это сделала Первая мировая война. Так какой же исторический механизм приводит к этому? Какова первопричина?

Используя математический анализ, мы со Стивом полагаем, что в основе лежит очень простое свойство нашего мозга. Это хорошо известное свойство понимания относительных величин, таких как интенсивность светового потока или громкость.Например, если для битвы нам нужно мобилизовать 10 000 солдат, цифра покажется нам огромной, особенно если в прошлый раз были мобилизованы только 1 000 солдат.Но это совсем не много, относительно немного, никто и не заметит, если к данному моменту были мобилизованы 100 000 солдат. Из-за того, как мы представляем величины, по мере продолжения войны количество мобилизованных и раненых будет увеличиваться не линейно — 10 000, 11 000, 12 000, а экспоненциально: 10 000, 20 000, 40 000. Этим объясняется модель, о которой мы говорили ранее.

Математика способна связать известные свойства человеческого мозга с долговременной исторической моделью, которая простирается на века и континенты.

Думаю, эти пару примеров станут обычным явлением в последующие 10 лет. Это станет возможным благодаря высокой скорости оцифровки исторических документов.С начала времён было написано около 130 миллионов книг. Многие книги были оцифрованы компаниями вроде Google — более 20 миллионов книг. Когда исторические факты доступны в цифровой форме, можно легко и быстро просмотреть тенденции нашей истории и культуры, используя математический анализ.

Поэтому, я думаю, в следующие 10 лет естественные науки сблизятся с гуманитарными для ответа на сложные вопросы человечества. И язык математики будет играть в этом огромную роль. Станут возможными открытия новых тенденций истории, их объяснения, а в будущем даже предсказания того, что произойдёт.

Большое спасибо.

(Аплодисменты)

Перевод: Olga Dmitrochenkova

Arabic Bulgarian Chinese Croatian Czech Danish Dutch English Estonian Finnish French German Greek Hebrew Hindi Hungarian Icelandic Indonesian Italian Japanese Korean Latvian Lithuanian Malagasy Norwegian Persian Polish Portuguese Romanian Russian Serbian Slovak Slovenian Spanish Swedish Thai Turkish Vietnamese

definition - Математический_анализ

В учебном процессе к анализу относят:

При этом элементы функционального анализа и теории интеграла Лебега даются факультативно, а ТФКП , вариационное исчисление , теория дифференциальных уравнений читаются отдельными курсами. Строгость изложения следует образцам конца XIX века и в частности использует наивную теорию множеств .

Программа курса анализа, читаемого в университетах РФ, примерно соответствует программе англо-американского курса «Calculus » .

История

Предшественниками математического анализа были античный метод исчерпывания и метод неделимых . Все три направления, включая анализ, роднит общая исходная идея: разложение на бесконечно малые элементы , природа которых, впрочем, представлялась авторам идеи довольно туманно. Алгебраический подход (исчисление бесконечно малых ) начинает появляться у Валлиса , Джеймса Грегори и Барроу . В полной мере новое исчисление как систему создал Ньютон , который, однако, долгое время не публиковал свои открытия.

Официальной датой рождения дифференциального исчисления можно считать май , когда Лейбниц опубликовал первую статью «Новый метод максимумов и минимумов…» . Эта статья в сжатой и малодоступной форме излагала принципы нового метода, названного дифференциальным исчислением.

Лейбниц и его ученики

Эти определения поясняются геометрически, при этом на рис. бесконечно малые приращения изображены конечными. Рассмотрение опирается на два требования (аксиомы). Первое:

Требуется, чтобы две величины, отличающиеся друг от друга лишь на бесконечно малую величину, можно было брать [при упрощении выражений?] безразлично одну вместо другой.

Продолжение каждой такой линии называется касательной к кривой. Исследуя касательную, проходящую через точку , Лопиталь придаёт большое значение величине

достигающее экстремальных значений в точках перегиба кривой, отношению же к не придаётся никакого особого значения.

Примечательно нахождение точек экстремума . Если при непрерывном увеличении диаметра ордината сначала возрастает, а затем убывает, то дифференциал сначала положителен по сравнению с , а потом отрицателен.

Но всякая непрерывно возрастающая или убывающая величина не может превратиться из положительной в отрицательную, не проходя через бесконечность или нуль… Отсюда следует, что дифференциал наибольшей и наименьшей величины должен равняться нулю или бесконечности.

Вероятно, эта формулировка не безупречна, если вспомнить о первом требовании: пусть, скажем, , тогда в силу первого требования

в нуле правая часть равна нулю, а левая нет. Видимо следовало сказать, что можно преобразовать в соответствии с первым требованием так, чтобы в точке максимума . . В примерах все само собой понятно, и лишь в теории точек перегиба Лопиталь пишет, что равен нулю в точке максимума, будучи разделён на .

Далее, при помощи одних дифференциалов формулируются условия экстремума и рассмотрено большое число сложных задач, относящихся в основном к дифференциальной геометрии на плоскости. В конце книги, в гл. 10, изложено то, что теперь называют правилом Лопиталя , хотя и в не совсем обычной форме. Пусть величина ординаты кривой выражена дробью, числитель и знаменатель которой обращаются в нуль при . Тогда точка кривой с имеет ординату , равную отношению дифференциала числителя к дифференциалу знаменателя, взятому при .

По замыслу Лопиталя написанное им составляло первую часть Анализа, вторая же должна была содержать интегральное исчисление, то есть способ отыскания связи переменных по известной связи их дифференциалов. Первое его изложение дано Иоганном Бернулли в его Математических лекциях о методе интеграла . Здесь дан способ взятия большинства элементарных интегралов и указаны методы решения многих дифференциальных уравнений первого порядка.

Указывая на практическую полезность и простоту нового метода Лейбниц писал:

То, что человек, сведущий в этом исчислении, может получить прямо в трёх строках, другие учёнейшие мужи принуждены были искать, следуя сложными обходными путями.

Эйлер

Перемены, произошедшие за последующие полвека, отражены в обширном трактате Эйлера . Изложение анализа открывает двухтомное «Введение», где собраны изыскания о различных представлениях элементарных функций. Термин «функция» впервые появляется лишь в у Лейбница , однако на первые роли его выдвинул именно Эйлер. Изначальная трактовка понятия функции состояла в том, что функция - это выражение для счёта (нем. Rechnungsausdrϋck ) или аналитическое выражение .

Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этой переменного количества и чисел или постоянных количеств.

Подчёркивая, что «основное различие функций лежит в способе составления их из переменного и постоянных», Эйлер перечисляет действия, «посредством которых количества могут друг с другом сочетаться и перемешиваться; действиями этими являются: сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корней; сюда же следует отнести также решение [алгебраических] уравнений. Кроме этих действий, называемых алгебраическими, существует много других, трансцендентных, как-то: показательные, логарифмические и бесчисленные другие, доставляемые интегральным исчислением». Такая трактовка позволяла без труда обращаться с многозначными функциями и не требовала пояснения, над каким полем рассматривается функция: выражение для счёта определено для комплексных значений переменных даже тогда, когда для рассматриваемой задачи это не нужно.

Операции в выражении допускались лишь в конечном числе, а трансцендентное проникало при помощи бесконечно большого числа . В выражениях это число используется наряду с натуральными числами. Напр., считается допустимым такое выражение для экспоненты

в котором лишь поздние авторы видели предельный переход. С аналитическими выражениями производились разнообразные преобразования, позволившие Эйлеру найти представления для элементарных функций в виде рядов, бесконечных произведений и т. д. Эйлер преобразует выражения для счёта так, как это делают в алгебре, не обращая внимания на возможность вычислить значение функции в точке по каждой из написанных формул.

В отличие от Лопиталя Эйлер подробно рассматривает трансцендентные функции и в особенности два наиболее изученные их классы - показательные и тригонометрические. Он обнаруживает, что все элементарные функции могут быть выражены при помощи арифметических действий и двух операций - взятия логарифма и экспоненты .

Сам ход доказательства прекрасно демонстрирует технику использования бесконечно большого. Определив синус и косинус при помощи тригонометрического круга, Эйлер выводит из формул сложения следующее:

Полагая и , он получает

отбрасывая бесконечно малые величины большего порядка. Используя это и аналогичное выражение, Эйлер получает и свою знаменитую формулу

Указав различные выражения для функций, которые теперь называют элементарными, Эйлер переходит к рассмотрению кривых на плоскости, начертанным свободным движением руки. По его мнению, не для всякой такой кривой можно отыскать единое аналитическое выражение (см. также Спор о струне). В XIX веке с подачи Казорати это утверждение считалось ошибочным: по теореме Вейерштрасса всякая непрерывная в современном смысле кривая может быть приближенно описана полиномами. На самом деле Эйлера это едва ли убедило, ведь нужно ещё переписать предельный переход при помощи символа .

Изложение дифференциального исчисления Эйлер начинает с теории конечных разностей, за ним в третьей главе следует философское разъяснение о том, что «бесконечно малое количество есть точно нуль», более всего не устроившее современников Эйлера. Затем из конечных разностей при бесконечно малом приращении образуются дифференциалы, а из интерполяционной формулу Ньютона - формула Тейлора . Этот метод в существенном восходит к работам Тейлора (1715 г.). При этом у Эйлера появляется устойчивое отношение , которое, однако, рассматривается как отношение двух бесконечно малых. Последние главы посвящены приближенному вычислению при помощи рядов.

В трёхтомном интегральном исчислении Эйлер трактует вводит понятие интеграла так:

Та функция, дифференциал которой , называется его интегралом и обозначается знаком , поставленным спереди.

В целом же эта часть трактата Эйлера посвящена более общей с современной точки зрения задаче об интегрировании дифференциальных уравнений. При этом Эйлер находит ряд интегралов и дифференциальных уравнений, которые приводят к новым функциям, напр., -функции, эллиптические функции и т. д. Строгое доказательство их неэлементарности было дано в 1830-х годах Якоби для эллиптических функций и Лиувиллем (см. элементарные функции).

Лагранж

Следующим крупным произведением, сыгравшим значительную роль в развитии концепции анализа, явилась Теория аналитических функций Лагранжа и обширный пересказ работ Лагранжа, выполненный Лакруа в несколько эклектической манере.

Желая избавиться от бесконечно малого вовсе, Лагранж обратил связь между производными и рядом Тейлора. Под аналитической функцией Лагранж понимал произвольную функцию, исследуемую методами анализа. Саму функцию он обозначил как , дав графический способ записи зависимости - ранее же Эйлер обходился одними переменными. Для применения методов анализа по мнению Лагранжа необходимо, чтобы функция разлагалась в ряд

коэффициенты которого будут новыми функциями . Остаётся назвать производной (дифференциальным коэффициентом) и обозначить его как . Таким образом, понятие производной вводится на второй странице трактата и без помощи бесконечно малых. Остаётся заметить, что

поэтому коэффициент является удвоенной производной производной , то есть

Такой подход к трактовке понятия производной используется в современной алгебре и послужил основой для создания теории аналитических функций Вейерштрасса .

Лагранж оперировал такими рядами как формальными и получил ряд замечательных теорем. В частности, впервые и вполне строго доказал разрешимость начальной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений в формальных степенных рядах.

Вопрос об оценке точности приближений, доставляемых частными суммами ряда Тейлора, впервые был поставлен именно Лагранжем: в конце Теории аналитических функций он вывел то, что теперь называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Однако, в противоположность современным авторам, Лагранж не видел нужды в употреблении этого результата для обоснования сходимости ряда Тейлора.

Вопрос о том, действительно ли функции, употребимые в анализе, могут быть разложены в степенной ряд, впоследствии стал предметом дискуссии. Конечно, Лагранжу было известно, что в некоторых точках элементарные функции могут не разлагаться в степенной ряд, однако в этих точках они и недифференцируемы ни в каком смысле. Коши в своём Алгебраическом анализе привёл в качестве контрпримера функцию

доопределённую нулём в нуле. Эта функция всюду гладкая на вещественной оси и в нуле имеет нулевой ряд Маклорена, который, следовательно, не сходится к значению . Против этого примера Пуассон возразил, что Лагранж определял функцию как единое аналитическое выражение, в примере Коши же функция задана по разному в нуле, и при . Лишь в конце XIX века Прингсхейм доказал, что существует бесконечно дифференцируемая функция, заданная единым выражением, ряд Маклорена для которой расходится. Пример такой функцией доставляет выражение

Дальнейшее развитие

В последней трети XIX века Вейерштрасс произвёл арифметизацию анализа, полагая геометрическое обоснование недостаточным, и предложил классическое определение предела через ε-δ-язык. Он же создал первую строгую теорию множества вещественных чисел . В это же время попытки усовершенствования теоремы об интегрируемости по Риману привели к созданию классификации разрывности вещественных функций. Также были открыты «патологические» примеры (нигде не дифференцируемые непрерывные функции , заполняющие пространство кривые). В связи с этим Жордан разработал теорию меры , а Кантор - теорию множеств , и в начале XX века математический анализ был формализован с их помощью. Другим важным событием XX века стала разработка нестандартного анализа как альтернативного подхода к обоснованию анализа.

Разделы математического анализа

См. также

Библиография

Энциклопедические статьи

Учебная литература

Стандартные учебники

На протяжении многих лет в России популярны следующие учебники:

Некоторые ВУЗы имеют собственные руководства по анализу:

• Математика в техническом университете Сборник учебных пособий в 21 томе.

• Богданов Ю. С. Лекции по математическому анализу (в двух частях). - Минск: БГУ, 1974. - 357 с.

Учебники повышенной сложности

Учебники:

• Рудин У. Основы математического анализа. М., 1976 - небольшая книга, написана очень чётко и сжато.

Задачники повышенной сложности:

• Г.Полиа, Г.Сеге, Задачи и теоремы из анализа.

Античность

В античный период появились некоторые идеи, которые в дальнейшем привели к интегральному исчислению, но в ту эпоху эти идеи не были развиты строгим, систематическим образом. Расчёты объёмов и площадей, являющиеся одной из целей интегрального исчисления, можно найти в московском математическом папирусе из Египта (ок. 1820 до н. э.), но формулы являются скорее инструкциями, без каких-либо указаний на метод, а некоторые просто ошибочны. В эпоху греческой математики Евдокс (ок. 408-355 до н. э.) для вычисления площадей и объёмов использовал метод исчерпывания , который предвосхищает понятие предела, а позже эту идею дальше развил Архимед (ок. 287-212 до н. э.), изобретя эвристики , которые напоминают методы интегрального исчисления. Метод исчерпывания позже изобрёл в Китае Лю Хуэй в III веке нашей эры, который он использовал для вычисления площади круга. В V нашей эры Цзу Чунчжи разработал метод вычисления объёма шара, который позже назовут принципом Кавальери .

Средневековье

В XIV веке индийский математик Мадхава Сангамаграма и астрономо-математическая школа Керала ввели многие компоненты исчисления, такие как ряды Тейлора , аппроксимацию бесконечных рядов , интегральный признак сходимости , ранние формы дифференцирования, почленное интегрирование, итерационные методы для решения нелинейных уравнений и определение того, что площадь под кривой является её интегралом. Некоторые считают, что «Юктибхаза» (Yuktibhāṣā) является первым трудом по математическому анализу.

Современная эпоха

В Европе основополагающим трудом стал трактат Бонавентура Кавальери , в котором он утверждал, что объёмы и площади могут быть рассчитаны как суммы объёмов и площадей бесконечно тонкого сечения. Идеи были похожи на то, что изложил Архимед в работе «Метод», но этот трактат Архимеда был утерян до первой половины XX века. Работа Кавальери не была признана, так как его методы могли привести к ошибочным результатам, и бесконечно малым величинам он создал сомнительную репутацию.

Формальное исследование исчисления бесконечно малых, которое Кавальери соединил с исчислением конечных разностей , проводилось в Европе примерно в это же время. Пьер Ферма , утверждая, что он заимствовал это из Диофанта , ввёл понятие «квази-равенства» (англ. adequality ), которое представляло собой равенство с точностью до бесконечно малой ошибки. Большой вклад внесли также Джон Валлис , Исаак Барроу и Джеймс Грегори . Последние два около 1675 года доказали вторую фундаментальную теорему исчисления .

Основания

В математике основания относятся к строгому определению предмета, отталкиваясь от точных аксиом и определений. На начальном этапе развития исчисления использование бесконечно малых величин считалось нестрогим, оно подвергалось жёсткой критике рядом авторов, в первую очередь Мишелем Роллем и епископом Беркли . Беркли превосходно описал бесконечно малые как «призраки умерших количеств» в своей книге «The Analyst» в 1734 году. Разработка строгих основ для исчисления заняло математиков на протяжении более столетия после Ньютона и Лейбница, и до сих пор сегодня в некоторой степени является активной областью исследований.

Несколько математиков, в том числе Маклорен , пытались доказать обоснованность использования бесконечно малых, но это удалось сделать только 150 лет спустя трудами Коши и Вейерштрасса , которые наконец-то нашли средства, как уклониться от простых «мелочёвок» бесконечно малых величин, и были положены начала дифференциального и интегрального исчисления. В трудах Коши мы находим универсальный спектр основополагающих подходов, в том числе определение непрерывности в терминах бесконечно малых и (несколько неточный) прототип (ε, δ)-определения предела в определении дифференцирования. В своём труде Вейерштрасс формализует понятие предела и устраняет бесконечно малые величины. После этого труда Вейерштрасса общей основой исчисления стали пределы, а не бесконечно малые величины. Бернхард Риман использовал эти идеи, чтобы дать точное определение интеграла. Кроме того, в этот период идеи исчисления были обобщены на евклидово пространство и на комплексную плоскость .

В современной математике основы исчисления включаются в раздел вещественного анализа , который содержит полные определения и доказательства теорем исчисления. Сфера исследований исчисления стала значительно шире. Анри Лебег разработал теорию мер множества и использовал её для определения интегралов от всех функций, кроме самых экзотических. Лоран Шварц ввёл в рассмотрение обобщённые функции , которые можно использовать для вычисления производных любой функции вообще.

Введение пределов определило не единственный строгий подход к основанию исчисления. Альтернативой может быть, например, нестандартный анализ Абрахама Робинсона . Подход Робинсона, разработанный в 1960-е годы, использует технические средства из математической логики для расширения системы вещественных чисел бесконечно малыми и бесконечно большими числами, как это было в исходной концепции Ньютона-Лейбница. Эти числа, называемые гипердействительными , можно использовать в обычных правилах исчисления, подобно тому, как это делал Лейбниц.

Важность

Хотя некоторые идеи исчисления ранее были разработаны в Египте , Греции , Китае , Индии , Ираке, Персии и Японии , современное использование исчисления началось в Европе в XVII веке, когда Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц построили на базе работ предшествующих математиков его основные принципы. Развитие исчисления было основано на более ранних концепциях мгновенного движения и площади под кривой.

Дифференциальное исчисление применяется в расчётах, связанных со скоростью и ускорением , углом наклона кривой и оптимизацией . Применение интегрального исчисления включает расчёты с участием площадей , объёмов , длин дуг , центров масс , работы и давления . Более сложные приложения включают расчёты степенных рядов и рядов Фурье .

Исчисление [ ] также используется для получения более точного представления о природе пространства, времени и движения. Веками математики и философы боролись с парадоксами, связанными с делением на ноль или нахождением суммы бесконечного ряда чисел. Эти вопросы возникают при изучении движения и вычислении площадей. Древнегреческий философ Зенон Элейский дал несколько известных примеров таких парадоксов . Исчисление предоставляет инструменты для разрешения этих парадоксов, в частности, пределы и бесконечные ряды.

Пределы и бесконечно малые величины

Примечания

1. Morris Kline, Mathematical thought from ancient to modern times , Vol. I
2. Archimedes, Method , in The Works of Archimedes ISBN 978-0-521-66160-7
3. Dun, Liu; Fan, Dainian; Cohen, Robert Sonné. A comparison of Archimdes" and Liu Hui"s studies of circles (англ.) : journal. - Springer, 1966. - Vol. 130 . - P. 279 . - ISBN 0-792-33463-9 . , Chapter, p. 279
4. Zill, Dennis G.; Wright, Scott; Wright, Warren S. Calculus: Early Transcendentals (неопр.) . - 3. - Jones & Bartlett Learning (англ.) русск. , 2009. - С. xxvii. - ISBN 0-763-75995-3 . , Extract of page 27
5. Indian mathematics
6. von Neumann, J., «The Mathematician», in Heywood, R. B., ed., The Works of the Mind , University of Chicago Press, 1947, pp. 180-196. Reprinted in Bródy, F., Vámos, T., eds., The Neumann Compedium , World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 1995, ISBN 9810222017 , pp. 618-626.
7. André Weil: Number theory. An approach through history. From Hammurapi to Legendre. Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 1984, ISBN 0-8176-4565-9 , p. 28.
8. Leibniz, Gottfried Wilhelm. The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz. Cosimo, Inc., 2008. Page 228. Copy
9. Unlu, Elif Maria Gaetana Agnesi (неопр.) . Agnes Scott College (April 1995). Архивировано 5 сентября 2012 года.

Ссылки

• Ron Larson, Bruce H. Edwards (2010). «Calculus», 9th ed., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-547-16702-2
• McQuarrie, Donald A. (2003). Mathematical Methods for Scientists and Engineers , University Science Books. ISBN 978-1-891389-24-5
• James Stewart (2008). Calculus: Early Transcendentals , 6th ed., Brooks Cole Cengage Learning.