Разделы сайта
Выбор редакции:
- Загадочная цивилизация мерое Прогулка по древнему городу
- Сочинение Pros and cons of the Internet на английском с переводом
- Мазепа и Кочубей: политический детектив эпохи Войска Запорожского Дочь кочубея
- Примеры из литературы: самовоспитание личности Самовоспитание 2 примера из литературы
- Численность, занятость, социальная защита
- Лингвистический энциклопедический словарь
- Урок географии канады Канада — общие сведения
- К Епанчину отправляется Мышкин - главный герой, которого создал Достоевский -"идиот"
- Неравномерное(переменное) движение
- Фазы луны Лунные и солнечные затмения
Реклама
График первообразной функции и его свойства. Первообразная и неопределенный интеграл — Гипермаркет знаний. Объём тела вращения |
Цель:
Математический анализ - совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. Если до настоящего времени мы изучали раздел математического анализа, называемого диффренциальным исчислением, суть которого заключается в изучении функции в “малом”. Т.е. исследование функции в достаточно малых окрестностях каждой точки определения. Одна из операций дифференцирования- нахождение производной (дифференциала) и применении к исследованию функций. Не менее важной является обратная задача. Если известно поведение функции в окрестностях каждой точки ее определения, то как восстановить функцию в целом, т.е. во всей области ее определения. Эта задача составляет предмет изучения так называемого интегрального исчисления. Интегрированием называется действие обратное дифференцированию. Или восстановление функции f(х) по данной производной f`(х). Латинское слово “integro” означает – восстановление. Пример №1 . Пусть (х)`=3х 2 . Решение: Опираясь на правило дифференцирования, нетрудно догадаться, что f(х)=х 3 , ибо (х 3)`=3х 2 Т.к.производная каждой из них равно 3х 2 . (Производная постоянной равна 0). Все эти функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым. Поэтому общее решение задачи можно записать в виде f(х)= х 3 +С, где С - любое постоянное действительное число. Любую из найденных функций f(х) называют ПЕРВООБРАЗНОЙ для функции F`(х)= 3х 2 Определение.
Функция F(х) называется первообразной для функции
f(х) на заданном промежутке J, если для всех х из этого промежутка F`(х)= f(х). Так функция F(х)=х 3 первообразная для f(х)=3х 2 на (- ∞
; ∞). Как мы уже заметили, данная функция имеет бесконечное множество первообразных (смотри пример № 1). Пример № 2.
Функция F(х)=х есть первообразная для всех f(х)= 1/х на
промежутке (0; +), т.к. для всех х из этого промежутка, выполняется равенство. Пример № 3.
Функция F(х)=tg3х есть первообразная для f(х)=3/cos3х на
промежутке (-п/2;
п/2), Пример № 4.
Функция F(х)=3sin4х+1/х-2 первообразная для f(х)=12cos4х-1/х 2
на промежутке (0;∞) Лекция 2. Тема: Первообразная. Основное свойство первообразной функции. При изучении первообразной будем опираться на следующее утверждение. Признак постоянства функции: Если на промежутке J производная Ψ(х) функции равна 0, то на этом промежутке функция Ψ(х) постоянна. Это утверждение можно продемонстрировать геометрически. Известно, что Ψ`(х)=tgα, γде α-угол наклона касательной к графику функции Ψ(х) в точке с абсциссой х 0 . Если Ψ`(υ)=0 в любой точке промежутка J, то tgα=0 δля любой касательной к графику функции Ψ(х). Это означает, что касательная к графику функции в любой его точке параллельна оси абсцисс. Поэтому на указанном промежутке график функции Ψ(х) совпадает с отрезком прямой у=С. Итак, функция f(х)=с постоянна на промежутке J, если f`(х)=0 на этом промежутке. Действительно, для произвольного х 1 и х 2 из промежутка
J по теореме о среднем значении функции можно записать: Теорема: (Основное свойство первообразной функции) Если F(х) одна из первообразных для функции f(х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С - любое действительное число. Доказательство: Пусть F`(х) = f (х), тогда (F(х)+С)`= F`(х)+С`= f (х), для х Є J. Пример: Найти множество первообразных функции f (х) = cos х. Изобразить графики первых трех. Решение:
Sin х - одна из первообразных для функции f (х) = cos х F 1 (х) = Sin х-1 Геометрическая иллюстрация: График любой первообразной F(х)+С можно получить из графика первообразной F(х) при помощи параллельного переноса r (0;с). Пример: Для функции f (х) = 2х найти первообразную, график которой проходит через т.М (1;4) Решение:
F(х)=х 2 +С – множество всех первообразных, F(1)=4 - по условию задачи.
Рассмотрим движение точки вдоль прямой. Пусть за время t от начала движения точка прошла путь s(t). Тогда мгновенная скорость v(t) равна производной функции s(t), то есть v(t) = s"(t). В практике встречается обратная задача: по заданной скорости движения точки v(t) найти пройденный ею путь s(t) , то есть найти такую функцию s(t), производная которой равна v(t) . Функцию s(t), такую, что s"(t) = v(t) , называют первообразной функции v(t). Например, если v(t) = аt
, где а
– заданное число, то функция Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке, если для всех х из этого промежутка F"(x) = f(x). Например, функция F(x) = sin x является первообразной функции f(x) = cos x, так как (sin x)" = cos x ; функция F(x) = х 4 /4 является первообразной функции f(x) = х 3 , так как (х 4 /4)" = х 3 . Рассмотрим задачу. Задача . Доказать, что функции х 3 /3, х 3 /3 + 1, х 3 /3 – 4 являются первообразной одной и той же функции f(x) = х 2 . Решение . 1) Обозначим F 1 (x) = х 3 /3, тогда F" 1 (x) = 3 ∙ (х 2 /3) = х 2 = f(x). 2) F 2 (x) = х 3 /3 + 1, F" 2 (x) = (х 3 /3 + 1)" = (х 3 /3)" + (1)"= х 2 = f(x). 3) F 3 (x) = х 3 /3 – 4, F" 3 (x) = (х 3 /3 – 4)" = х 2 = f(x). Вообще любая функция х 3 /3 + С, где С – постоянная, является первообразной функции х 2 . Это следует из того, что производная постоянной равна нулю. Этот пример показывает, что для заданной функции ее первообразная определяется неоднозначно. Пусть F 1 (x) и F 2 (x) – две первообразные одной и той же функции f(x). Тогда F 1 "(x) = f(x) и F" 2 (x) = f(x). Производная их разности g(х) = F 1 (x) – F 2 (x) равна нулю, так как g"(х) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x) – f(x) = 0. Если g"(х) = 0 на некотором промежутке, то касательная к графику функции у = g(х) в каждой точке этого промежутка параллельна оси Ох. Поэтому графиком функции у = g(х) является прямая, параллельная оси Ох, т.е. g(х) = С, где С – некоторая постоянная. Из равенств g(х) = С, g(х) = F 1 (x) – F 2 (x) следует, что F 1 (x) = F 2 (x) + С. Итак, если функция F(x) является первообразной функции f(x) на некотором промежутке, то все первообразные функции f(x) записываются в виде F(x) + С, где С – произвольная постоянная. Рассмотрим графики всех первообразных заданной функции f(x). Если F(x) – одна из первообразных функции f(x), то любая первообразная этой функции получается прибавлением к F(x) некоторой постоянной: F(x) + С. Графики функций у = F(x) + С получаются из графика у = F(x) сдвигом вдоль оси Оу. Выбором С можно добиться того, чтобы график первообразной проходил через заданную точку. Обратим внимание на правила нахождения первообразных. Вспомним, что операцию нахождения производной для заданной функции называют дифференцированием . Обратную операцию нахождения первообразной для данной функции называют интегрированием (от латинского слова «восстанавливать» ). Таблицу первообразных для некоторых функций можно составить, используя таблицу производных. Например, зная, что (cos x)" = -sin x, получаем (-cos x)" = sin x , откуда следует, что все первообразные функции sin x записываются в виде -cos x + С , где С – постоянная. Рассмотрим некоторые значения первообразных. 1) Функция: х р, р ≠ -1 . Первообразная: (х р+1) / (р+1) + С. 2) Функция: 1/х, х > 0. Первообразная: ln x + С. 3) Функция: х р, р ≠ -1 . Первообразная: (х р+1) / (р+1) + С. 4) Функция: е х . Первообразная: е х + С. 5) Функция: sin x . Первообразная: -cos x + С. 6) Функция: (kx + b) p , р ≠ -1, k ≠ 0. Первообразная: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + С. 7) Функция: 1/(kx + b), k ≠ 0 . Первообразная: (1/k) ln (kx + b)+ С. 8) Функция: е kx + b , k ≠ 0 . Первообразная: (1/k) е kx + b + С. 9) Функция: sin (kx + b), k ≠ 0 . Первообразная: (-1/k) cos (kx + b) . 10) Функция: cos (kx + b), k ≠ 0. Первообразная: (1/k) sin (kx + b). Правила интегрирования можно получить с помощью правил дифференцирования . Рассмотрим некоторые правила. Пусть F(x) и G(x) – первообразные соответственно функций f(x) и g(x) на некотором промежутке. Тогда: 1) функция F(x) ± G(x) является первообразной функции f(x) ± g(x); 2) функция аF(x) является первообразной функции аf(x). сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна. Определение первообразной. Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x) , что выполняется равенство для любого х из заданного промежутка. Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство . Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C , для произвольной константы С , причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину. Определение неопределенного интеграла. Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается . Выражение называют подынтегральным выражением , а f(x) – подынтегральной функцией . Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x) . Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x) , а множество ее первообразных F(x)+C . На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной). Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла приведены для пояснения. Для доказательства третьего и четвертого свойств достаточно найти производные от правых частей равенств: Эти производные равны подынтегральным функциям, что и является доказательством в силу первого свойства. Оно же используется в последних переходах. Таким образом, задача интегрирования является обратной задаче дифференцирования, причем между этими задачами очень тесная связь:
Рассмотрим пример. Пример. Найти первообразную функции , значение которой равно единице при х = 1 . Решение. Мы знаем из дифференциального исчисления, что (достаточно заглянуть в таблицу производных основных элементарных функций). Таким образом, . По второму свойству . То есть, имеем множество первообразных . При х = 1 получим значение . По условию, это значение должно быть равно единице, следовательно, С = 1 . Искомая первообразная примет вид . Пример. Найти неопределенный интеграл и результат проверить дифференцированием. Решение. По формуле синуса двойного угла из тригонометрии , поэтому Для каждого математического действия существует обратное ему действие. Для действия дифференцирования (нахождения производных функций) тоже существует обратное действие — интегрирование. Посредством интегрирования находят (восстанавливают) функцию по заданной ее производной или дифференциалу. Найденную функцию называют первообразной . Определение. Дифференцируемая функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка справедливо равенство: F′(x)=f (x) . Примеры. Найти первообразные для функций: 1) f (x)=2x; 2) f (x)=3cos3x. 1) Так как (х²)′=2х, то, по определению, функция F (x)=x² будет являться первообразной для функции f (x)=2x. 2) (sin3x)′=3cos3x. Если обозначить f (x)=3cos3x и F (x)=sin3x, то, по определению первообразной, имеем: F′(x)=f (x), и, значит, F (x)=sin3x является первообразной для f (x)=3cos3x. Заметим, что и (sin3x+5 )′=3cos3x , и (sin3x-8,2 )′=3cos3x , ... в общем виде можно записать: (sin3x+С )′=3cos3x , где С — некоторая постоянная величина. Эти примеры говорят о неоднозначности действия интегрирования, в отличие от действия дифференцирования, когда у любой дифференцируемой функции существует единственная производная. Определение. Если функция F (x) является первообразной для функции f (x) на некотором промежутке, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F (x)+C , где С — любое действительное число. Совокупность всех первообразных F (x)+C функции f (x) на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается символом ∫ (знак интеграла). Записывают: ∫f (x) dx=F (x)+C . Выражение ∫f (x) dx читают: «интеграл эф от икс по дэ икс». f (x) dx — подынтегральное выражение, f (x) — подынтегральная функция, х — переменная интегрирования. F (x) — первообразная для функции f (x) , С — некоторая постоянная величина. Теперь рассмотренные примеры можно записать так: 1) ∫ 2хdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C. Что же означает знак d? d — знак дифференциала — имеет двойное назначение: во-первых, этот знак отделяет подынтегральную функцию от переменной интегрирования; во-вторых, все, что стоит после этого знака диференцируется по умолчанию и умножается на подынтегральную функцию. Примеры. Найти интегралы: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp. 3) После значка дифференциала d стоит х х , а р ∫ 2хрdx=рх²+С. Сравните с примером 1). Сделаем проверку. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x). 4) После значка дифференциала d стоит р . Значит, переменная интегрирования р , а множитель х следует считать некоторой постоянной величиной. ∫ 2хрdр=р²х+С. Сравните с примерами 1) и 3). Сделаем проверку. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p). |
Популярное:
Новое
- Сочинение Pros and cons of the Internet на английском с переводом
- Мазепа и Кочубей: политический детектив эпохи Войска Запорожского Дочь кочубея
- Примеры из литературы: самовоспитание личности Самовоспитание 2 примера из литературы
- Численность, занятость, социальная защита
- Лингвистический энциклопедический словарь
- Урок географии канады Канада — общие сведения
- К Епанчину отправляется Мышкин - главный герой, которого создал Достоевский -"идиот"
- Неравномерное(переменное) движение
- Фазы луны Лунные и солнечные затмения
- Домашнее обучение: дистанционные школы и экстернаты