Одинаковый порядок малости. Примеры. Доказательство свойства о представлении функции в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции

Разделы сайта

Выбор редакции:

Понятие бесконечно малых и бесконечно больших величин играет важную роль в математическом анализе. Многие задачи просто и легко решаются используя понятия бесконечно больших и малых величин.

Бесконечно малые .

Переменная называется бесконечно малой, если для любогосуществует такое значение, что каждое следующии за ним значениебудет по абсолютной величине меньше.

Если -бесконечно малая то говорят, что стремится к нулю, и пишут:.

Бесконечно большие .

Переменная x называется бесконечно большой , если для всякого положительного числа c существует такое значение , что каждое следующее за нимx будет по абсолютной величине больше . Пишут:

Величина, обратная к бесконечно большой , есть величина бесконечно малая , и обратно.

10. Свойства пределов функции

1) Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

2) Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.

Расширенное свойство предела суммы:

Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.

3) Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела:

4) Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

Расширенное свойство предела произведения

Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:

5) Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

11. Первый замечательный предел

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности ().

Точка K - точка пересечения луча с окружностью, а точка L - с касательной к единичной окружности в точке . Точка H - проекция точки K на ось OX .

Очевидно, что:

(где - площадь сектора )

Подставляя в (1), получим:

Так как при :

Умножаем на :

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

12-13. Второй замечательный предел

или

Доказательство второго замечательного предела:

Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая:

1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где - это целая часть x.

Отсюда следует: , поэтому

Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .

2. Пусть . Сделаем подстановку , тогда

Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного Х

14. Частные производные.

Пусть z=f (x,y ) . Зафиксируем какую-либо точку (x,y ), а затем, не меняя закрепленного значения аргумента y , придадим аргументу x приращение . Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по x и обозначается и определяется формулой .

Аналогично, если x сохраняет постоянное значение, а y получает приращение , то z получает частное приращение z по y ,.

Определение . Частной производной по x от функции z=f (x,y ) называется предел отношения частного приращения по x к приращению при стремлении к нулю, т.е.

Частная производная обозначается одним из символов.

Аналогично определяется частная производная по y :

Таким образом, частные производные функции двух переменных вычисляются по тем же правилам, что и производные функции одного переменного.

Пример . Найти частные производные функции z=x 2 e x-2y .

Частные производные функции любого числа переменных определяются аналогично.

Сравнение бесконечно малых функций, эквивалентные функции

Бесконечно малые и бесконечно большие величины.

О.1. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А (сколь большим бы мы его не взяли) существует номер N такой, что при n›N выполняется неравенство | х п | › А, т.е. какое бы большое число А мы не взяли, найдется такой номер, начиная с которого все члены последовательности окажутся больше А.

Определение 6 . Последовательность {α п } называется бесконечно малой, если для любого положительного числа ε (сколь малым бы мы его не взяли) существует номер N такой, что при n›N выполняется неравенство | α п | ‹ε.

1. Последовательность {п} является бесконечно большой.

2. Последовательность {} является бесконечно малой.

Теорема 1. Если {х п } - бесконечно большая последовательность и все ее члены отличны от нуля, х п ≠0, то последовательность {α п }=- бесконечно малая, и, обратно, если {α п } бесконечно малая последовательность, α п ≠0, то последовательность {х п }=бесконечно большая.

Сформулируем основные свойства бесконечно малых последовательностей в виде теорем.

Теорема 2. Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малые последовательности.

Пример 2. Последовательность с общим членом бесконечно малая, т.к. т.е заданная последовательность является суммой бесконечно малых последовательностей и и поэтому является бесконечно малой.

Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 3. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Следствие. Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Замечание. Частное двух бесконечно малых последовательностей может быть любой последовательностью и может не иметь смысла.

Например, если , , то все элементы последовательности равны 1 и данная последовательность является ограниченной. Если , , то последовательность - бесконечно большая, и наоборот, если , а , то - бесконечно малая последовательность. Если начиная с некоторого номера элементы последовательности равны нулю, то последовательность не имеет смысла.

Теорема 4. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.

Пример 3. Последовательность бесконечно малая, т.к. и последовательность {}- бесконечно малая, последовательность - ограничена, т.к. ‹ 1. Следовательно, - бесконечно малая последовательность.

Следствие. Произведение бесконечно малой последовательности на число есть бесконечно малая последовательность.

Определение. Функция f(x) называется бесконечно большой при , если для любого, даже сколь угодно большого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от М, δ=δ(М)), что для всех х, не равных х 0 и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Записывают: или при .

Например, функция есть бесконечно большая функция при ; функция при .

Если f(x) стремится к бесконечности при и принимает лишь положительные значения, то пишут , если лишь отрицательные значения, то .

Определение. Функция f(x), заданная на всей числовой прямой, называется бесконечно большой при , если для любого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от М, N=N(М)), что при всех х, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Например, функция у=2 х есть бесконечно большая функция при ; функция является бесконечно большой функцией при .

Свойства бесконечно больших функций:

1. Произведение б.б.ф. на функцию, предел которой отличен от нуля, есть б.б.ф.

2. Сумма б.б.ф. и ограниченной функции есть б.б.ф.

3. Частное от деления б.б.ф. на функцию, имеющую предел, есть б.б.ф.

Например, если функция f(x)=tgx есть б.б.ф. при , функция φ(х)=4х-3 при имеет предел (2π-3) отличный от нуля, а функция ψ(х)=sinx – ограниченная функция, то

f(x) φ(х)=(4х-3) tgx; f(x) + ψ(х)= tgx + sinx; есть бесконечно большие функции при .

Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при , если

По определению предела функции равенство (1) означает: для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от ε, δ=δ(ε)), что для всех х, не равных х 0 и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Теорема. Для выполнения равенства необходимо и достаточно, чтобы функция была бесконечно малой при . При этом функция может быть представлена в виде .

Аналогично определяется б.м.ф. при ,- 0, , во всех случаях f(x)0.

Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми; обозначают обычно греческими буквами α, β и т.д.

Например, у=х 2 при х→0; у=х-2 при х→2; у=sinx при х→πк, - бесконечно малые функции.

Свойства бесконечно малых функций:

1. Сумма конечного числа бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая;

2. Произведение конечного числа бесконечно малых функций, а также бесконечно малой функции на ограниченную функция, есть величина бесконечно малая;

3. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нолю, если величина бесконечно малая.

Рассмотрим последнее свойство при если функции и являются бесконечно малыми (Сравнение бесконечно малых функций):

1). Если , то называется бесконечно малой, более высокого порядка малости, чем .

Пример . При х→2 функция (х - 2) 3 бесконечно малая более высокого порядка, чем (х -2), так как .

2). Если , то и называются бесконечно малыми одного порядка (имеют одинаковую скорость стремления к нолю);

Пример . При х→0 функции 5х 2 и х 2 являются бесконечно малыми одного порядка, так как .

3). Если ,то и называются эквивалентными бесконечно малыми, обозначаются ~., то

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями: функция обратная бесконечно малой является бесконечно большой (и наоборот), т.е. если - бесконечно малая функция, то - бесконечно большая.

Исчисление бесконечно малых и больших

Исчисление бесконечно малых - вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная сумма бесконечно малых. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием для дифференциальных и интегральных исчислений , составляющих основу современной высшей математики . Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела .

Бесконечно малая

Последовательность a n называется бесконечно малой , если . Например, последовательность чисел - бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x 0 , если .

Функция называется бесконечно малой на бесконечности , если либо .

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то f (x ) − a = α(x ) , .

Бесконечно большая величина

Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция x sinx , неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при .

Последовательность a n называется бесконечно большой , если .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x 0 , если .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности , если либо .

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших

Сравнение бесконечно малых величин

Как сравнивать бесконечно малые величины?
Отношение бесконечно малых величин образует так называемую неопределённость .

Определения

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величины α(x ) и β(x ) (либо, что не суть важно для определения, бесконечно малые последовательности).

Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя .

Примеры сравнения

С использованием О -символики полученные результаты могут быть записаны в следующем виде x 5 = o (x 3). В данном случае справедливы записи 2x 2 + 6x = O (x ) и x = O (2x 2 + 6x ).

Эквивалентные величины

Определение

Если , то бесконечно малые величины α и β называются эквивалентными ().
Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых величин одного порядка малости.

При справедливы следующие соотношения эквивалентности (как следствия из т.н. замечательных пределов):

Теорема

Предел частного (отношения) двух бесконечно малых величин не изменится, если одну из них (или обе) заменить эквивалентной величиной .

Данная теорема имеет прикладное значение при нахождении пределов (см. пример).

Пример использования

Заменяя s i n 2x эквивалентной величиной 2x , получаем

Исторический очерк

Понятие «бесконечно малое» обсуждалось ещё в античные времена в связи с концепцией неделимых атомов, однако в классическую математику не вошло. Вновь оно возродилось с появлением в XVI веке «метода неделимых» - разбиения исследуемой фигуры на бесконечно малые сечения.

В XVII веке произошла алгебраизация исчисления бесконечно малых. Они стали определяться как числовые величины, которые меньше всякой конечной (ненулевой) величины и всё же не равны нулю. Искусство анализа заключалось в составлении соотношения, содержащего бесконечно малые (дифференциалы), и затем - в его интегрировании .

Математики старой школы подвергли концепцию бесконечно малых резкой критике. Мишель Ролль писал, что новое исчисление есть «набор гениальных ошибок »; Вольтер ядовито заметил, что это исчисление представляет собой искусство вычислять и точно измерять вещи, существование которых не может быть доказано. Даже Гюйгенс признавался, что не понимает смысла дифференциалов высших порядков.

Как иронию судьбы можно рассматривать появление в середине века нестандартного анализа , который доказал, что первоначальная точка зрения - актуальные бесконечно малые - также непротиворечива и могла бы быть положена в основу анализа.

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Бесконечно малая величина" в других словарях:

БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ ВЕЛИЧИНА - переменная величина в некотором процессе, если она в этом процессе безгранично приближается (стремится) к нулю … Большая политехническая энциклопедия

Бесконечно малая величина - ■ Нечто неизвестное, но имеет отношение к гомеопатии … Лексикон прописных истин

Определения и свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций в точке. Доказательства свойств и теорем. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.

Содержание

См. также: Бесконечно малые последовательности - определение и свойства
Свойства бесконечно больших последовательностей

Определение бесконечно малой и бесконечно большой функции

Пусть x 0 есть конечная или бесконечно удаленная точка: ∞ , -∞ или +∞ .

Определение бесконечно малой функции
Функция α(x) называется бесконечно малой при x стремящемся к x 0 0 , и он равен нулю:
.

Определение бесконечно большой функции
Функция f(x) называется бесконечно большой при x стремящемся к x 0 , если функция имеет предел при x → x 0 , и он равен бесконечности:
.

Свойства бесконечно малых функций

Свойство суммы, разности и произведения бесконечно малых функций

Сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых функций при x → x 0 является бесконечно малой функцией при x → x 0 .

Это свойство является прямым следствием арифметических свойств пределов функции .

Теорема о произведении ограниченной функции на бесконечно малую

Произведение функции, ограниченной на некоторой проколотой окрестности точки x 0 , на бесконечно малую, при x → x 0 , является бесконечно малой функцией при x → x 0 .

Свойство о представлении функции в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции

Для того, чтобы функция f(x) имела конечный предел , необходимо и достаточно, чтобы
,
где - бесконечно малая функция при x → x 0 .

Свойства бесконечно больших функций

Теорема о сумме ограниченной функции и бесконечно большой

Сумма или разность ограниченной функции, на некоторой проколотой окрестности точки x 0 , и бесконечно большой функции, при x → x 0 , является бесконечно большой функцией при x → x 0 .

Теорема о частном от деления ограниченной функции на бесконечно большую

Если функция f(x) является бесконечно большой при x → x 0 , а функция g(x) - ограничена на некоторой проколотой окрестности точки x 0 , то
.

Теорема о частном от деления ограниченной снизу функции на бесконечно малую

Если функция , на некоторой проколотой окрестности точки , по абсолютной величине ограничена снизу положительным числом:
,
а функция является бесконечно малой при x → x 0 :
,
и существует проколотая окрестность точки , на которой , то
.

Свойство неравенств бесконечно больших функций

Если функция является бесконечно большой при :
,
и функции и , на некоторой проколотой окрестности точки удовлетворяют неравенству:
,
то функция также бесконечно большая при :
.

Это свойство имеет два частных случая.

Пусть, на некоторой проколотой окрестности точки , функции и удовлетворяют неравенству:
.
Тогда если , то и .
Если , то и .

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями

Из двух предыдущих свойств вытекает связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.

Если функция является бесконечно большой при , то функция является бесконечно малой при .

Если функция являются бесконечно малой при , и , то функция является бесконечно большой при .

Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией можно выразить символическим образом:
, .

Если бесконечно малая функция имеет определенный знак при , то есть положительна (или отрицательна) на некоторой проколотой окрестности точки , то можно записать так:
.
Точно также если бесконечно большая функция имеет определенный знак при , то пишут:
, или .

Тогда символическую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями можно дополнить следующими соотношениями:
, ,
, .

Дополнительные формулы, связывающие символы бесконечности, можно найти на странице
«Бесконечно удаленные точки и их свойства ».

Доказательство свойств и теорем

Доказательство теоремы о произведении ограниченной функции на бесконечно малую

Для доказательства этой теоремы, мы воспользуемся . А также используем свойство бесконечно малых последовательностей, согласно которому

Пусть функция является бесконечно малой при , а функция ограничена в некоторой проколотой окрестности точки :
при .

Поскольку существует предел , то существует проколотая окрестность точки , на которой определена функция . Пусть есть пересечение окрестностей и . Тогда на ней определены функции и .

.
,
a последовательность является бесконечно малой:
.

Воспользуемся тем, что произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность:
.
.

Теорема доказана.

Доказательство свойства о представлении функции в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции

Необходимость . Пусть функция имеет в точке конечный предел
.
Рассмотрим функцию:
.
Используя свойство предела разности функций , имеем:
.
То есть есть бесконечно малая функция при .

Достаточность . Пусть и . Применим свойство предела суммы функций :
.

Свойство доказано.

Доказательство теоремы о сумме ограниченной функции и бесконечно большой

Для доказательства теоремы, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне

при .

Поскольку существует предел , то существует проколотая окрестность точки , на которой функция определена. Пусть есть пересечение окрестностей и . Тогда на ней определены функции и .

Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат окрестности :
.
Тогда определены последовательности и . Причем последовательность является ограниченной:
,
a последовательность является бесконечно большой:
.

Поскольку сумма или разность ограниченной последовательности и бесконечно большой
.
Тогда, согласно определению предела последовательности по Гейне,
.

Теорема доказана.

Доказательство теоремы о частном от деления ограниченной функции на бесконечно большую

Для доказательства, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне . Также используем свойство бесконечно больших последовательностей, согласно которому является бесконечно малой последовательностью.

Пусть функция является бесконечно большой при , а функция ограничена в некоторой проколотой окрестности точки :
при .

Поскольку функция бесконечно большая, то существует проколотая окрестность точки , на которой она определена и не обращается в нуль:
при .
Пусть есть пересечение окрестностей и . Тогда на ней определены функции и .

Поскольку частное от деления ограниченной последовательности на бесконечно большую является бесконечно малой последовательностью, то
.
Тогда, согласно определению предела последовательности по Гейне,
.

Теорема доказана.

Доказательство теоремы о частном от деления ограниченной снизу функции на бесконечно малую

Для доказательства этого свойства, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне . Также используем свойство бесконечно больших последовательностей, согласно которому является бесконечно большой последовательностью.

Пусть функция является бесконечно малой при , а функция ограничена по абсолютной величине снизу положительным числом, на некоторой проколотой окрестности точки :
при .

По условию существует проколотая окрестность точки , на которой функция определена и не обращается в нуль:
при .
Пусть есть пересечение окрестностей и . Тогда на ней определены функции и . Причем и .

Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат окрестности :
.
Тогда определены последовательности и . Причем последовательность является ограниченной снизу:
,
а последовательность является бесконечно малой с отличными от нуля членами:
, .

Поскольку частное от деления ограниченной снизу последовательности на бесконечно малую является бесконечно большой последовательностью, то
.
И пусть имеется проколотая окрестность точки , на которой
при .

Возьмем произвольную последовательность , сходящуюся к . Тогда, начиная с некоторого номера N , элементы последовательности будут принадлежать этой окрестности:
при .
Тогда
при .

Согласно определению предела функции по Гейне,
.
Тогда по свойству неравенств бесконечно больших последовательностей,
.
Поскольку последовательность произвольная, сходящаяся к , то по определению предела функции по Гейне,
.

Свойство доказано.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.

См. также: