Korelasyon katsayısının işareti veya y'si gösterir. Fechner işaret korelasyon katsayısı ve bazı sıralama katsayıları. Ampirik korelasyon ilişkisi

Ve bazı sıralama katsayıları

Alt bölümde tartışılanlara ek olarak. 10.2 korelasyon katsayısı

İlişki, belirleme katsayısı, korelasyon

Aşınma, değerlendirme için başka katsayılar da var

İncelenenler arasındaki ilişkinin yakınlık derecesi

Olaylar ve onları bulmanın formülü yeterli

Basit. Bu katsayılardan bazılarına bakalım.

Fechner işareti korelasyon katsayısı

Bu katsayı en basit göstergedir

İletişimin yakınlığının derecesi, bir Alman bilim adamı tarafından önerildi

G. Fechner. Bu gösterge, derecenin değerlendirilmesine dayanmaktadır.

Bireysel sapmaların yönlerinin tutarlılığı

Faktörün değerleri ve ilgili özelliklerden elde edilen özellikler

İlgili ortalama değerler. Bunu belirlemek için hesaplayın

Ortaya çıkan () ve faktöriyelin () ortalama değerleri gösterilmektedir.

işaretlerini bulun ve ardından ortalamadan sapma işaretlerini bulun.

Sonuç ve faktör özelliklerinin tüm değerleri. Eğer

Karşılaştırılan değer ortalamadan büyükse “+” işareti konur,

ve daha azsa - “-” işareti. İşaretlerin ayrı ayrı çakışması

seri değerleri X ve y tutarlı varyasyon anlamına gelir ve bunların

Tutarsızlık tutarlılığın ihlalidir.

Fechner katsayısı aşağıdaki formül kullanılarak bulunur:

, (10.40)

Nerede İLE- bireysel sapma işaretlerinin eşleşme sayısı

Ortalama değerden yeni değerler;

N, bireysel sapmaların işaretlerindeki tutarsızlıkların sayısıdır

Ortalama değerden yeni değerler.

-1 ≤ olduğuna dikkat edin Kf≤ 1. Ne zaman Kf= ±1 tam bir doğrudan var

karşılıklı veya ters tutarlılık. Şu tarihte: Kf= 0 - arasındaki bağlantı

Gözlem sırası yok.

Örnek 10.1'in başlangıç ​​verilerini kullanarak katsayıyı hesaplıyoruz

Ent Fechner. Belirlenmesi için gerekli veriler

Tim masada. 10.4.

Masadan 10.4 bunu bulduk İLE= 6; N= 0, dolayısıyla forma göre-

le (10.40) elde ederiz: , yani tam bir doğrudan bağımlılık

silah hırsızlıkları arasında ( X) ve silahlı suçlular

yami ( sen). Alınan değer Kf varılan sonucu doğruluyor

Korelasyon katsayısı hesaplandıktan sonra yeni

X ve y satırları arasında oldukça yakın bir düz çizgi var

Doğrusal bağımlılık.

Tablo 10.4

Çalınması

silahlar, X

Silahlı

Suçlar, sen

Ortalamadan sapma işaretleri

773 4481 − −

1130 9549 − −

1138 8873 − −

1336 12160 + +

1352 18059 + +

1396 19154 + +

Spearman'ın sıra korelasyon katsayısı

Bu katsayı sıralamayı, yani korelasyonu ifade eder.

Belirlenen faktörün değerleri ve sonuç değerleri değildir;

İşaretler ve dereceleri (her sırada işgal edilen yerlerin sayısı)

Artan veya azalan sırada değerler). Cor-

Spearman'ın rütbe ilişkileri, farkın dikkate alınmasına dayanmaktadır.

Faktör sıralamaları ve sonuç karakteristik değerleri. İçin

Bunu bulmak için aşağıdaki formül kullanılır:

, (10.41)

Sıra farkının karesi nerede?

Verilere dayanarak Spearman katsayısını hesaplayalım

Örnek 10.1. Faktör tanımanın değeri

ka X başlangıçta bunları artan sırada düzenledik, ardından seri X koştu-

şişmanlamaya gerek yok. Seriyi (en küçükten en büyüğe) sıralıyoruz sen.

Hesaplama için gerekli tüm veriler tabloya yerleştirilmiştir. 10.5.

Tablo 10.5

Rütbeler Rgx sıra X Rütbeler Rgy sıra sen|di| = |Rgxi− Rgyi|

Şimdi (10.41) formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

-1 ≤ ρ olduğuna dikkat edin C≤ 1, yani sonuç değeri şunu gösterir:

Silah hırsızlığı ile silahlı suç arasında olduğu doğrudur

Fechner oranı- bu, faktörün bireysel değerlerinin ve sonuçta ortaya çıkan özelliklerin, faktörün ve sonuçta ortaya çıkan özelliklerin ortalama değerlerinden sapma yönlerindeki tutarlılık derecesinin bir değerlendirmesidir. Fechner katsayısı, Spearman katsayısı ve Kandel katsayısı gibi katsayılarla birlikte şu anlama gelir: işaret korelasyon katsayıları. İşaret korelasyon katsayısı, faktörün bireysel değerlerinin sapma yönlerinin tutarlılık derecesinin ve karşılık gelen ortalamalardan elde edilen işaretlerin değerlendirilmesine dayanır. Aşağıdaki şekilde hesaplanır:

A #n b " data-id="a;b" data-formul="(a-b)/(a+b)" data-r="K f ">Değerinizi hesaplayın

Fechner katsayısı –1'den +1'e kadar değerler alabilmektedir. Kf = 1, doğrudan bir bağlantının olası varlığını, Kf = -1 ise geri beslemenin olası varlığını gösterir.

Hizmetin amacı. Bu hizmet Fechner katsayısını çevrimiçi hesaplamak için tasarlanmıştır. Bu katsayının anlamlılığı da belirlenir.

Talimatlar. Veri miktarını (satır sayısı) belirtin ve İleri'ye tıklayın. Ortaya çıkan çözüm bir Word dosyasına kaydedilir. Çözümü Excel'de test etmek için otomatik olarak bir şablon da oluşturulur.

Fechner katsayısının hesaplanması aşağıdaki adımlardan oluşur:

1. Her bir karakteristik (X ve Y) için ortalama değerler belirlenir.
2. Her bir özelliğin ortalama değerinden sapma işaretleri (-,+) belirlenir.
3. İşaretler eşleşiyorsa A değerini, değilse B değerini atayın.
4. A ve B sayısı, aşağıdaki formülü kullanarak Fechner katsayısını hesaplayarak sayılır: K f = (na - n b)/(n a + n b) burada n a, bireysel değerlerin ortalamadan sapma işaretlerinin tesadüf sayısıdır ; n b - uyumsuzlukların sayısı.

Fechner oranı[-1;+1] arasında değişir ve niteliksel özellikler arasındaki ilişkinin yakınlığını değerlendirmek için kullanılır (parametrik olmayan yöntemler).

Fechner katsayısının grafiksel gösterimi

Örnek 1. Yüksek sıcaklık koşullarında sıvı kaybı azaltılmış bir kil çözeltisi geliştirilirken, biri %2 CMC ve %1 Na2CO3 ve diğeri %2 CMC, %1 Na2CO3 ve %0,1 potasyum dikromat içeren iki formülasyon paralel olarak test edildi. Sonuç olarak aşağıdaki X değerleri elde edildi (30 saniye sonra su kaybı).

Sonuçlar: Eşleşme sayısı ve işaret uyumsuzluğu sayısı eşit olduğundan işaret korelasyon katsayısının sonuç değeri sıfırdır. Bu, bu göstergenin ana dezavantajıdır. Bu göstergeye dayanarak herhangi bir ilişkinin olmadığı varsayılabilir. Doğrusal korelasyon katsayısı Korelasyon katsayısının öneminin kontrol edilmesi: Sonuçlar: Elde edilen doğrusal korelasyon katsayısı değeri, toplam yakılan yakıt arzı içindeki pay ile doğumda beklenen yaşam süresi arasındaki ilişkinin orta düzeyde olduğunu, yani ters bir ilişkinin varlığına işaret etmektedir. Bu nedenle %95 olasılıkla korelasyonun hala anlamlı olduğunu varsayabiliriz. Ampirik korelasyon oranı: Ampirik korelasyon ilişkisinin öneminin kontrol edilmesi: Sonuçlar: Ampirik korelasyon oranının elde edilen değeri, incelenen özellikler arasında orta düzeyde bir ilişki olduğunu gösterir. Dolayısıyla %95 olasılıkla analiz edilen göstergeler arasındaki korelasyonun önemsiz olduğu sonucuna varabiliriz. Spearman'ın sıra korelasyon katsayısı: Sonuçlar: Spearman katsayısının hesaplanmasının sonuçlarına dayanarak, toplam yanmış yakıt arzındaki pay ile doğumda beklenen yaşam süresi arasında zayıf bir ters ilişki olduğu varsayılabilir. Kendal Sıra Korelasyon Katsayısı: Sonuçlar: Sıraların hesaplanan korelasyon katsayısına göre, çalışılan özellikler arasında zayıf bir ters ilişkinin olduğu varsayılabilir. · Bir ilişki biçimi olarak doğrusal bir fonksiyonun kullanılma olasılığının kontrol edilmesi Doğrusal bir korelasyon denklemi kullanmanın mümkün olduğu düşünülür, ancak doğrusal bir ilişki hipotezini test etmek için değerini kullanmak daha verimlidir. Sonuçlar: Bu nedenle, yakılan yakıtların toplam arzındaki pay ile doğumda beklenen yaşam süresi arasında doğrusal bir ilişki olduğu hipotezi doğrudur. Ortalama insani gelişme seviyesine sahip ülkeler · Faktör ile ortaya çıkan özellik arasında bir ilişkinin varlığının belirlenmesi Analitik gruplama Ampirik regresyon çizgisi Sonuçlar: Performans göstergesinin ortalama değerleri gruplara göre karşılaştırıldığında şu eğilimi görebiliriz: Yakılan yakıtların toplam arzındaki pay ne kadar yüksek olursa, doğumda beklenen yaşam süresi de o kadar yüksek olur (eğer olası sıçramaları hesaba katmazsak). diğer faktörlere bağlı olabilir), yani özellikler arasında doğrudan bir korelasyonun varlığını varsayabiliriz. Korelasyon alanı Sonuçlar: Birimlerin ana kısmı, esas olarak koordinat sisteminin sol alt köşesinden sağ üst köşeye kadar uzanan bir bulut oluşturur, özellikler arasında doğrudan bir ilişki olduğu varsayılabilir. Korelasyon tablosu Faktör özelliğine göre gruplama yaparken grup sayısı 6'dır. Etkin özelliğe göre gruplama yaparken grup sayısını faktör özelliğine göre grup sayısına eşit olarak ayarlayacağız, yani. Faktör niteliğine ilişkin veri bulunmayan ülkeleri de hariç tutuyoruz; ülke sayısı otuza düşürüldü, yani. Şimdi bir korelasyon tablosu oluşturuyoruz: Korelasyon tablosu Doğumda ortalama yaşam beklentisi, yıl 52,0-57,2 57,2-62,4 62,4-67,6 67,6-70,1 70,1-72,6 72,6-75,1 Toplam Yanmış yakıtların toplam tedarik hacmindeki payı, % 15-30 30-45 45-60 60-75 75-90 90-100 Toplam Sonuçlar: Korelasyon ilişkisinin yönünü belirlemek zordur, esas olarak korelasyon tablosundaki frekanslar sol üst köşeden sağ alt köşeye kadar köşegen üzerinde bulunur, yani faktör karakteristiğinin büyük değerleri büyük değerlere karşılık gelir ​Ortaya çıkan sonuçtan dolayı, özellikler arasında doğrudan bir korelasyonun varlığını varsayabiliriz. · İlişkinin yakınlık derecesini değerlendirmek için göstergeler Bahsetmeye değer Fechner katsayısı , Az miktarda ilk bilgi olduğunda bir bağlantının varlığını belirlemek için kullanılması tavsiye edilen, bir bağlantının temel yakınlık derecesini karakterize eden. Her bir özelliğin ( ve ) bireysel değerlerinin ortalama değerinden sapma davranışının karşılaştırılmasına dayanır. Bu durumda dikkate alınan sapmaların büyüklüğü değildir. ve işaretleri (“+” veya “-”). Her satırdaki ortalama değerden sapma işaretlerini belirledikten sonra, tüm işaret çiftlerini göz önünde bulundurun ve eşleşme () ve uyumsuzluk () sayısını sayın. Fechner katsayısı (), eşleşme çiftleri ve işaret uyumsuzlukları sayısındaki farkın toplamlarına oranı olarak hesaplanır, yani. gözlenen birimlerin toplam sayısına göre: . (9.12) Açıkçası, eğer her bir karakteristik için tüm sapmaların işaretleri çakışıyorsa, o zaman . Bu doğrudan bir bağlantının varlığını karakterize eder. Tüm işaretler çakışmazsa, o zaman , ve geri bildirimi karakterize eder. Fechner katsayısı, bir bağlantının yakınlığının diğer göstergeleri gibi -1'den +1'e kadar değerler alabilir. Örnek 9.3. Sekiz çift kardeş için aşağıdaki büyüme verileri mevcuttur (Tablo 9.2). Tablo 9.2 - Sekiz çift kardeş için büyüme verileri Kardeşimin boyu, cm Kız kardeşinin boyu, cm Kardeşlerin büyümesi arasındaki ilişkinin yakınlığını aşağıdakilere dayanarak belirleyin: a) Fechner katsayısı; b) Spearman ve Kendal sıra korelasyon katsayıları. Çözüm: a) Ortalama değerleri hesaplayın ve: Her satırdaki ortalama değerden sapma işaretlerini belirledikten sonra, tüm işaret çiftlerini göz önünde bulundurun ve eşleşme () ve uyumsuzluk () sayısını sayın: . Fechner katsayısı () formül 9.8 kullanılarak hesaplanır: . Fechner katsayısının () değerine dayanarak, ve arasında çok yakın bir ilişki olduğu sonucuna varabiliriz. b) Mevcut verilere dayanarak (tablo 9.2'nin 1-2. sütunları), Spearman ve Kendal sıra korelasyon katsayılarını bulmak için tablo 9.3'ü oluşturacağız. Tablo 9.3 - Spearman ve Kendal sıra korelasyon katsayılarının hesaplanması için gerekli hesaplanan değerler Puanlama «+» «-» 6,5 6,5 1,5 1,5 6,5 6,5 -0,5 -1 -2 2,5 -0,5 -1,5 0,25 6,25 0,25 2,25 - - Bu örnekte bireysel değerler tekrarlanmıştır. Tekrarlanan değerleri sıralarken, işgal ettikleri yerlerin toplamının artan sırada aritmetik ortalaması olarak hesaplanan bir sıralama atanır. Sıraların hesaplanması 3. ve 4. sütunlarda gösterilmektedir. bu vesileyle tekrarlanan sıralar Hem Spearman katsayısı hem de Kendal katsayısı için özel olarak düzeltilmiş formüller bulunmaktadır. Bununla birlikte, pratikte, daha önce verilen Spearman formülü, çok küçük bir hata verdiğinden, sıralamaların tekrarlanması durumunda sıklıkla kullanılır: . Tekrarlanan sıralamalar için Kendal katsayısı formülüşu forma sahiptir: , Nerede , daha önce olduğu gibi, a ve -maksimum puan miktarını ayarlayan ve formülle belirlenen göstergeler, burada karşılık gelen satırda tekrar eden sıraların sayısıdır ve: Sıralama değerleri kesinlikle artan sırada olduğundan yalnızca . İlk sıra değerleri çiftinden sonra, burada altı durumda değerler vardır ve tek bir durum yoktur, burada . Bu, 7. sütuna “6” sayısını ve 8. sütuna “0” sayısını koyduğumuz anlamına gelir. Daha sonra, ikinci sıra değerleri çiftinden sonra, burada dört durumda değerler vardır ve tek bir durum yoktur, burada . Bu, 7. sütuna “4” sayısını ve 8. sütuna “0” sayısını koyduğumuz anlamına gelir. ". İkinci sıra değerleri çiftinden sonra, burada üç durumda değerler ve iki durumda - bu, 7. sütuna "3" sayısını ve 8. sütuna "2" sayısını vb. koyduğumuz anlamına gelir. . . Hesaplama 7. ve 8. sütunlarda gösterilmektedir. Hesaplama sonuçlarına dayanmaktadır. Dolayısıyla Kendal sıra korelasyon katsayısı: Katsayının () değerine dayanarak, ve arasında çok yakın bir ilişki olduğu sonucuna varabiliriz. Kız kardeşinin büyümesi büyük ölçüde erkek kardeşinin büyümesine bağlıdır. Kendal katsayısının hesaplanmasından bahsetmişken, popülasyonun gözlenen birimlerinin özelliklerden birine göre sırasız olarak kaydedilmesi durumunda (Tablo 9.2.), değerleri sıraladıktan sonra bir kez daha vurgulanmalıdır. özelliklerden biri örneğin , bunları kesinlikle artan (veya azalan) sıraya göre düzenleyerek yeniden yazılmalı ve ikinci özellik için, kaynak verilerdeki her birinin değerlerine karşılık gelen sıra değerlerini kaydedin (Tablo 9.3). Uyum katsayısı Sıra korelasyonu () yalnızca iki için değil, aynı zamanda daha fazla sayıda gösterge (faktör) için de belirlenebilir. Bu durumda hesaplanan göstergeye denir uyum katsayısı() ve aşağıdaki formülle hesaplanır: , (9.13) ilişkili faktörlerin sayısı nerede; Gözlem sayısı; - faktörlere göre sıra toplamının aritmetik ortalamalarından sapmalarının karelerinin toplamı, yani. A) veya anlam bakımından aynı olan (9.14) B) göstergenin sıralaması nerede. (9.15) Uyum katsayısı, uzman değerlendirmelerinde, incelenen faktörler veya nesneler arasındaki yerlerin (sıralamaların) önceliklerine göre dağılımındaki uzman görüşlerinin tutarlılığını belirlemek için sıklıkla kullanılır. Örnek 9.4. Beş şirket için aşağıdaki veriler olsun (tablo 9.4'ün 1-4. sütunları). Tablo 9.4 – Uyum katsayılarının başlangıç ​​verileri ve ara hesaplamaları Firma Kâr, bin ruble İşletme sermayesi maliyeti, milyon ruble. 100 ruble başına maliyetler. ürünler, ovun. Faktör sıralamaları Sıralar toplamı Sıra toplamının karesi 2,0 2,5 1,8 2,2 2,4 Σ Uyum katsayısını kullanarak arasındaki ilişkinin yakınlığını belirleyiniz. Çözüm: 1. Her bir göstergeyi ve üç göstergeyi sıralıyoruz (sütun 5-7). 2. Her satırın (sütun 8) sıra toplamını ve beş satırın toplamını bulun 3. Her satırdaki sıraların toplamının karesini alın ve beş satırın toplamını bulun (sütun 9): . 4. Formül 9.11'i kullanarak bulun: . 5. Uyum katsayısını hesaplayın: Uyum katsayısının küçük değeri dikkate alındığında incelenen göstergeler arasındaki ilişkinin çok önemsiz olduğunu söyleyebiliriz. Bağımlılığın yakınlığını ölçmek için oldukça nadir kullanılan başka katsayılar da vardır (ilişki ve koşullu katsayılar; Pearson'un karşılıklı olumsallık katsayısı; Chuprov katsayısı). Parametrik Olmayan Yöntemler Korelasyon ve regresyon analizinin kullanılması tüm özelliklerin aynı olmasını gerektirir. niceliksel olarakölçüldü. Analitik gruplamaların oluşturulması, ortaya çıkan özelliğin niceliksel olması gerektiğini varsayar. Parametrik Yöntemler temel nicel dağılım parametrelerinin (ortalamalar ve varyanslar) kullanımına dayanmaktadır. Aynı zamanda istatistikler de kullanıyor parametrik olmayan yöntemler arasında bir bağlantı kurulmasının yardımıyla niteliksel (niteliksel) özellikler. Bağımlı değişkenin normal dağılım koşulu gerekli olmadığından, uygulama kapsamı parametrik olanlardan daha geniştir, ancak bu, ilişkilere ilişkin araştırmanın derinliğini azaltır. Niteliksel özellikler arasındaki ilişkiyi incelerken, onu bir denklemle temsil etme görevi belirlenmemiştir. Burada sadece bir bağlantının varlığını tespit etmekten ve sıkılığını ölçmekten bahsediyoruz. İstatistiksel araştırma pratiğinde bazen aralarındaki bağlantıları analiz etmek gerekli olabilir. alternatif işaretler, yalnızca zıt (birbirini dışlayan) özelliklere sahip gruplar tarafından temsil edilir. Bu durumda bağlantının gücü hesaplanarak değerlendirilebilir. birliktelik katsayısı. Hesaplama için birliktelik katsayısı“dört alan” tablosu olarak adlandırılan ve aşağıdaki forma sahip olan dört hücreli bir korelasyon tablosu oluşturulur: A B a+b C D c+d a+c s+g a+b+c+d Frekansları ve birliktelik katsayısını içeren “dört alan” tablosuyla ilgili olarak aşağıdaki formülle ifade edilir: . (9.16) İlişkilendirme katsayısı -1 ila +1 arasında değişir; +1 veya -1'e ne kadar yakınsa, çalışılan özellikler birbiriyle o kadar güçlü ilişkilidir. 0,3'ten az değilse bu, niteliksel özellikler arasında bir bağlantının varlığını gösterir. Örnek 9.5. Baba ve oğulların boylarına ilişkin mevcut veriler Tablo 9.5'te sunulmaktadır. Tablo 9.5 - Baba ve oğulların boy ve kişilere göre dağılımı. Oğlunun boyu Babanın boyu Toplam Ortalamanın altında Ortalamanın üstü Ortalamanın altında Ortalamanın üstü Toplam Birliktelik katsayısını Tablo 9.5'e göre hesaplayalım: Çünkü babalarla oğulların boyları arasında bir ilişki vardır. Birbiriyle ilişkili özelliklerin her biri için grup sayısı ikiden fazla ise, bu tür tablolar için niteliksel özellikler arasındaki ilişkinin yakınlığı kullanılarak ölçülebilir. karşılıklı beklenmedik durumun göstergesi A.A. Çuprova: (9.17) ilk istatistiksel değerin olası değerlerinin sayısı nerede (sütunlardaki grup sayısı); İkinci istatistiğin olası değerlerinin sayısı (satır gruplarının sayısı); Karşılıklı beklenmedik durum indeksi (dağıtım tablosundaki bir hücrenin kare frekanslarının, karşılık gelen sütun ve satırın son frekanslarının çarpımına oranlarının toplamı olarak tanımlanır). Bu miktardan bir çıkardığımızda elde ederiz. Karşılıklı olasılık katsayısı A.A. Chuprov 0 ile 1 arasında değişmektedir, ancak zaten 0,3 değerinde, incelenen özelliklerin çeşitliliği arasında yakın bir ilişkiden bahsedebiliriz. Örnek 9.6. 100 ailenin üyelerinin eğitim düzeyine ilişkin veriler Tablo 9.6'da gösterilmektedir. Tablo 9.6 - Ailelerin karı-koca eğitim durumuna göre dağılımı Not: frekanslar - üst satırlar; kareleri (parantez içinde) orta sıralardır; frekansların karelerinin bir sütundaki frekansların toplamlarına bölünmesi - alt satırlar; son sütunlarda - frekansların toplamı, bölme sonuçlarının toplamı (A) ve ayrıca alt sayının üst sayıya bölünmesinin sonucu - son sütun (B). Daha sonra , . Karşılıklı olasılık katsayısı A.A. Çuprova: . Değeri, aile oluşumunda karı kocanın eğitim düzeyleri arasında gözle görülür bir ilişki olduğunu gösterir.

X1	9	9	11	9	8	11	10	8	10
X2	10	11	10	12	11	12	12	10	9

Söz konusu çözeltilerin sıvı kaybı değerlerine göre ayırt edilebilir olup olmadığını kontrol eder.

Örnek #2. İşaret korelasyon katsayısı veya Fechner katsayısı, bireysel faktör değerlerinin ve sonuçta ortaya çıkan özelliklerin karşılık gelen ortalamalardan sapma yönlerindeki tutarlılık derecesinin değerlendirilmesine dayanır. Aşağıdaki şekilde hesaplanır:

,

burada n a, bireysel değerlerin ortalamadan sapma işaretlerinin eşleşme sayısıdır; n b - uyumsuzlukların sayısı.

Fechner oranı-1'den +1'e kadar değerler alabilir. Kf = 1, doğrudan bir bağlantının olası varlığını, Kf = -1 ise geri beslemenin olası varlığını gösterir.

Örnek No.2
Tabloda verilen verileri kullanarak Fechner katsayısını hesaplama örneğine bakalım:
Ortalama değerler:

		Ortalamadan sapma işaretleri X	Y ortalamasından sapma işaretleri	(a) karakterlerini eşleştirin veya (b) karakterlerini eşleştirin

Katsayının değeri geri bildirimin varlığını varsayabileceğimizi gösterir.

İşaret Korelasyon Katsayısının Tahmini.

Fechner katsayısını tahmin etmek için anlamlılığını değerlendirmek ve güven aralığını bulmak yeterlidir.
Fechner katsayısının önemi.

Öğrenci tablosunu kullanarak t tablosunu buluruz:
t tablosu (n-m-1;a) = (6;0,05) = 1,943
Tob > ttable olduğundan işaret korelasyon katsayısının 0'a eşit olduğu hipotezini reddediyoruz. Başka bir deyişle Fechner katsayısı istatistiksel olarak anlamlıdır.

Fechner katsayısı için güven aralığı:
r(-1,0;-0,4495)

Örnek #3.
Tabloda verilen verileri kullanarak işaret korelasyon katsayısının hesaplanması örneğine bakalım.

19. yüzyılın ikinci yarısında G. T. Fechner tarafından önerilen korelasyon katsayısı, iki değişken arasındaki ilişkinin en basit ölçüsüdür. İki psikolojik özelliğin karşılaştırılmasına dayanır. X Ben Ve sen Ben, bireysel değerlerin ortalamadan sapma işaretlerini karşılaştırarak aynı örnek üzerinde ölçülen: ve
. İki değişken arasındaki korelasyona ilişkin sonuç, bu işaretlerin eşleşme sayılarının ve uyumsuzluklarının sayılmasına dayanarak yapılır.

Örnek

İzin vermek X Ben Ve sen Ben– aynı denek örneğinde ölçülen iki özellik. Fechner katsayısını hesaplamak için, her bir özellik için ortalama değerlerin yanı sıra değişkenin her bir değeri için - ortalamadan sapma işaretinin hesaplanması gerekir (Tablo 8.1):

Tablo 8.1

	X Ben	sen Ben			Tanım

Masada: A– işaretlerin çakışması, B– işaretlerin uyumsuzluğu; N a – eşleşme sayısı, N b – uyumsuzlukların sayısı (bu durumda N bir = 4 N b = 6).

Fechner korelasyon katsayısı aşağıdaki formülle hesaplanır:

(8.1)

Bu durumda:

Çözüm

İncelenen değişkenler arasında zayıf negatif bir ilişki vardır.

Fechner korelasyon katsayısının yeterince katı bir kriter olmadığı, bu nedenle yalnızca veri işlemenin ilk aşamasında ve ön sonuçların formüle edilmesi için kullanılabileceği belirtilmelidir.

8. 4. Pearson korelasyon katsayısı

Pearson korelasyon katsayısının orijinal prensibi, momentlerin çarpımının kullanılmasıdır (bir değişkenin değerinin ortalama değerden sapması):

Momentlerin çarpımlarının toplamı büyük ve pozitif ise, o zaman X Ve en doğrudan bağımlılıkla bağlantılı; toplam büyük ve negatifse, o zaman X Ve en ters ilişkiyle güçlü bir şekilde ilişkili; Son olarak eğer aralarında bir bağlantı yoksa X Ve en anların çarpımlarının toplamı sıfıra yakındır.

İstatistiklerin örneklem büyüklüğüne bağlı olmadığından emin olmak için momentlerin çarpımlarının toplamı yerine ortalama değer alınır. Ancak ayırma örneklem büyüklüğüne göre değil serbestlik derecesi sayısına göre yapılmaktadır. N - 1.

Büyüklük
arasındaki bağlantının bir ölçüsüdür. X Ve en ve kovaryans denir X Ve en.

Doğa ve teknik bilimlerdeki birçok problemde kovaryans, bağlantının tamamen tatmin edici bir ölçüsüdür. Dezavantajı ise değer aralığının sabit olmaması yani belirsiz sınırlar içerisinde değişebilmesidir.

Bir ilişki ölçüsünü standartlaştırmak için kovaryansı standart sapmaların etkisinden kurtarmak gerekir. Bunu yapmak için bölmeniz gerekir S xy Açık S x ve S y:

(8.3)

Nerede R xy- korelasyon katsayısı veya Pearson momentlerinin çarpımı.

Korelasyon katsayısını hesaplamak için genel formül aşağıdaki gibidir:

(bazı dönüşümler)

(8.4)

Veri dönüştürmenin etkisi R xy:

1. Doğrusal dönüşümler X Ve sen tip bx + A Ve ölmek + C arasındaki ilişkinin büyüklüğünü değiştirmeyecektir. X Ve sen.

2. Doğrusal dönüşümler X Ve sen en B < 0, D> 0 ve ayrıca ne zaman B> 0 ve D < 0 изменяют знак коэффициента корреляции, не меняя его величины.

Pearson korelasyon katsayısının güvenilirliği (veya aksi halde istatistiksel anlamlılığı) farklı şekillerde belirlenebilir:

Pearson ve Spearman korelasyon katsayılarının kritik değerleri tablolarına göre (bkz. Ek, Tablo XIII). Hesaplamalarda elde edilen değer ise R xy Belirli bir numune için kritik (tablo) değeri aşarsa Pearson katsayısı istatistiksel olarak anlamlı kabul edilir. Bu durumda serbestlik derecesi sayısı şuna karşılık gelir: N– 2, nerede N– karşılaştırılan değer çiftlerinin sayısı (örnek boyutu).

Ekteki Tablo XV'e göre “Korelasyon katsayısının istatistiksel anlamlılığı için gereken değer çifti sayısı.” Bu durumda hesaplamalarda elde edilen korelasyon katsayısına odaklanmak gerekir. Örneklem büyüklüğünün belirli bir katsayı için tablodaki değer çifti sayısına eşit veya bundan büyük olması istatistiksel olarak anlamlı kabul edilir.

Korelasyon katsayısının hatasına oranı olarak hesaplanan Öğrenci katsayısına göre:

(8.5)

Korelasyon katsayısı hatası aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Nerede M r - korelasyon katsayısı hatası, R- korelasyon katsayısı; N- karşılaştırılan çiftlerin sayısı.

Aşağıdaki problemin çözümü örneğini kullanarak hesaplama prosedürünü ve Pearson korelasyon katsayısının istatistiksel öneminin belirlenmesini ele alalım.

Görev

22 lise öğrencisi iki testte test edildi: USK (öznel kontrol düzeyi) ve MkU (başarı motivasyonu). Aşağıdaki sonuçlar elde edildi (Tablo 8.2):

Tablo 8.2

	ABD ( X Ben)	MkU ( sen Ben)		ABD ( X Ben)	MkU ( sen Ben)

Egzersiz yapmak

Yüksek düzeyde içselliğe (USC puanı) sahip kişilerin, başarılı olmak için yüksek düzeyde motivasyonla karakterize edildiği hipotezini test etmek.

Çözüm

1. Pearson korelasyon katsayısını aşağıdaki modifikasyonda kullanıyoruz (bkz. formül 8.4):

Bir mikro hesap makinesinde veri işlemenin kolaylığı için (gerekli bilgisayar programının yokluğunda), aşağıdaki formda bir ara çalışma tablosu oluşturulması önerilir (Tablo 8.3):

Tablo 8.3

				X Ben sen Ben
				X 1 sen 1 X 2 sen 2 X 3 sen 3 X N sen N
				Σ X Ben sen Ben

2. Hesaplamalar yapıyoruz ve değerleri formülde değiştiriyoruz:

3. Pearson korelasyon katsayısının istatistiksel anlamlılığını üç şekilde belirleriz:

1. yöntem:

Masada XIII Ek 1. ve 2. anlamlılık seviyeleri için katsayının kritik değerlerini buluyoruz: R cr.= 0,42; 0,54 (ν = N – 2 = 20).

Şu sonuca varıyoruz ki R xy > R cr . yani korelasyon her iki düzey için de istatistiksel olarak anlamlıdır.

2. yöntem:

Masayı kullanalım. Pearson korelasyon katsayısının 0,58'e eşit istatistiksel anlamlılığı için yeterli değer çifti sayısını (konu sayısı) belirlediğimiz XV: 1., 2. ve 3. anlamlılık seviyeleri için sırasıyla , 12, 18 ve 28 .

Dolayısıyla korelasyon katsayısının 1. ve 2. düzeyler için anlamlı olduğu ancak 3. anlamlılık düzeyine "ulaşmadığı" sonucuna varıyoruz.

3. yöntem:

Korelasyon katsayısının hatasını ve Öğrenci katsayısını Pearson katsayısının hataya oranı olarak hesaplıyoruz:

Masada X serbestlik derecesi sayısı ile 1., 2. ve 3. anlamlılık seviyeleri için Öğrenci katsayısının standart değerlerini buluyoruz ν = N – 2 = 20: T cr. = 2,09; 2,85; 3,85.

Genel sonuç

USC ve MCU testlerinden alınan puanlar arasındaki korelasyon 1. ve 2. anlamlılık düzeyinde istatistiksel olarak anlamlıdır.

Not:

Pearson korelasyon katsayısı yorumlanırken aşağıdaki hususlar dikkate alınmalıdır:

Pearson katsayısı, ikili ölçek haricinde çeşitli ölçekler (oran, aralık veya sıra) için kullanılabilir.

Korelasyon her zaman bir neden-sonuç ilişkisi anlamına gelmez. Başka bir deyişle, bir grup denekte boy ve kilo arasında pozitif bir korelasyon bulduğumuzu varsayalım, o zaman bu, boyun ağırlığa bağlı olduğu veya bunun tersi anlamına gelmez (bu işaretlerin her ikisi de üçüncü (harici) bir faktöre bağlıdır). değişken, bu durumda bir kişinin genetik yapısal özellikleriyle ilişkilidir).

R xu » 0 yalnızca aralarında bağlantı olmadığında gözlemlenemez X Ve sen, aynı zamanda güçlü doğrusal olmayan bağlantı durumunda (Şekil 8.2 a). Bu durumda negatif ve pozitif korelasyonlar dengelenir ve bu da bağlantının olmadığı yanılsamasına neden olur.

R xy arasında güçlü bir bağlantı varsa oldukça küçük olabilir. X Ve ençalışılandan daha dar bir değer aralığında gözlemlenmiştir (Şekil 8.2 b).

Örnekleri farklı yöntemlerle birleştirmek, oldukça yüksek bir korelasyon yanılsaması yaratabilir (Şekil 8.2 c).

sen Ben sen Ben sen Ben

+ + . .

X Ben X Ben X Ben

Pirinç. 8.2. Korelasyon katsayısının değerini yorumlarken olası hata kaynakları (metindeki açıklamalar (3 - 5. maddeler notları))

 

---

Okumak:
Etnik grupların psikolojik özellikleri Bir etnik grubun ayırt edici özellikleri İkinci Dünya Savaşı Koşullarında SSCB'nin Ekonomisi ve Ulusal Ekonomisi SSCB'nin Ulusal Ekonomisi Ayrılanlar için ilahiyi okuma sırası Ayrılanlar için ilahiyi kim okumalı Rusya Günü'ne adanmış tüm Rusya yaratıcı yarışması “Ülkemizle gurur duyuyoruz” “Rusya'nın Gururu” yarışmasına katılım için organizasyon ücreti Draenor'da uçmayı nerede öğrenebilirim?