Разделы сайта
Выбор редакции:
- Лабораторная работа по информатике "работа с каталогами информационных образовательных ресурсов" Министерство образования РФ
- Сочинение My working day на английском с переводом
- Star wars: история далекой-далекой галактики - легенды и сказания
- Импульс силы можно рассчитать по формуле
- ю Высшие и центральные государственные учреждения
- Милославская мария борисовна совет федерации
- Духовно-рыцарские ордена – кратко
- Великая французская революция
- Загадочная цивилизация мерое Прогулка по древнему городу
- Сочинение Pros and cons of the Internet на английском с переводом
Реклама
Доверительный интервал с вероятностью 95. Доверительный интервал для оценки среднего (дисперсия известна) в MS EXCEL. Доверительный интервал для среднего |
Доверительный интервал
– предельные значения статистической величины, которая с заданной доверительной вероятностью γ будет находится в этом интервале при выборке большего объема. Обозначается как P(θ - ε . На практике выбирают доверительную вероятность γ из достаточно близких к единице значений γ = 0.9 , γ = 0.95 , γ = 0.99 .
Назначение сервиса . С помощью этого сервиса определяются:
Пример №1
. В колхозе из общего стада в 1000 голов овец выборочной контрольной стрижке подверглись 100 овец. В результате был установлен средний настриг шерсти 4,2 кг на одну овцу. Определить с вероятностью 0,99 среднюю квадратическую ошибку выборки при определении среднего настрига шерсти на одну овцу и пределы, в которых заключена величина настрига, если дисперсия равна 2,5 . Выборка бесповторная.
Классификация доверительных интерваловПо виду оцениваемого параметра:По типу выборки:
Расчет средней ошибки выборки при случайном отбореРасхождение между значениями показателей, полученных по выборке, и соответствующими параметрами генеральной совокупности называется ошибкой репрезентативности .Обозначения основных параметров генеральной и выборочной совокупности.
Формулы расчета численности выборки при собственно-случайном способе отбора
Метод доверительных интерваловАлгоритм нахождения доверительного интервала включает следующие шаги:
Пример №1
. При проверке годности партии таблеток (250 шт.) оказалось, что средний вес таблетки 0,3 г, а СКО веса 0,01 г. Найти доверительный интервал, в который с вероятностью 90% попадает норма веса таблетки.
Пример
. По результатам выборочного наблюдения (выборка В приложение) вычислите несмещенные оценки среднего значения, дисперсии и среднего квадратического отклонения генеральной совокупности.
Пример
. Найдите доверительные интервалы для оценки среднего значения и среднего квадратического отклонения генеральных совокупностей при доверительной вероятности y, если из генеральных совокупностей сделана выборка В и y.
Пример . 1. Используя результаты расчетов, выполненных в задании № 2 и полагая, что эти данные получены при помощи собственно-случайного 10-ти процентного бесповторного отбора, определить:
Задание . Поточная линия по производству однотипных деталей подвергалась реконструкции Заданы две выборки отображающие процент брака в партиях деталей выпускаемых на данной линии до и после реконструкции Можно ли достоверно утверждать, что после реконструкции процент брака в партиях деталей снизился? Пример . Ниже приведены данные по затратам на бурение (у.е.) для 49 скважин Западно-Сибирской нефтяной базы России:
1. Выбираем 5 значений из таблицы. Пусть это будет 3 столбец: 132, 37, 48, 29, 60.
2. Вводим исходные данные.
В поле Количество групп выбираем пункт «не делать группировку ». Поле «Доверительный интервал генерального среднего, дисперсия и среднеквадратическое отклонения » указываем значение γ = 0.95 (что соответствует α=0.05). В поле « Выборка » указываем значение 10 (поскольку из 49 значений выбрали 5, что соответствует 10,2% (5/49x100%)). В разделе «Выводит в отчет» отмечаем первый пункт «Доверительный интервал для генерального среднего» . 3. Полученное решение сохраняется в формате Word (скачать).
Примечание : в данном случае в расчетах используется Оценка среднеквадратического отклонения. Задание №2
: В целях изучения затрат времени на изготовление одной детали рабочими завода проведена 10% -ная случайная бесповторная выборка, в результате которой получено распределение деталей по затратам времени, представленное в прил. Б.
Решение
.
Задание №3
: Используя результаты расчетов, выполненных в задании №2 и полагая, что эти данные получены при помощи повторного отбора, определить:
Решение
.
Задание №4 : Из партии электроламп взята 20% -ная случайная бесповторная выборка для определения среднего веса спирали. Результаты выборки следующие. Вес, мг:38-40;40-42;42-44;44-46. Число спиралей:15;30;45;10. Определить с вероятностью 0.95 доверительные пределы, в которых лежит средний вес спирали, для всей партии электроламп. Решение
.
Задание №5 : На заводе электроламп из партии продукции в количестве 16000 шт. ламп взято на выборку 1600 шт. (случайный, бесповторный отбор), из которых 40 шт. оказались бракованными. Определить с вероятностью 0.997 пределы, в которых будет находиться процент брака для всей партии продукции. Решение
.
Константин Кравчик доходчиво объясняет, что такое доверительный интервал в медицинских исследованиях и как его использовать «Катрен-Стиль» продолжает публикацию цикла Константина Кравчика о медицинской статистике. В двух предыдущих статьях автор касался объяснения таких понятий, как и . Константин Кравчик Математик-аналитик. Специалист в области статистических исследований в медицине и гуманитарных науках Город: Москва Очень часто в статьях по клиническим исследованиям можно встретить загадочное словосочетание: «доверительный интервал» (95 % ДИ или 95 % CI - confidence interval). Например, в статье может быть написано: «Для оценки значимости различий использовали t-критерий Стьюдента с расчетом 95 % доверительного интервала». Какого же значение «95 % доверительного интервала» и зачем его рассчитывать? Что такое доверительный интервал? - Это диапазон, в котором находятся истинные средние значения в генеральной совокупности. А что, бывают «неистинные» средние значения? В каком‑то смысле да, бывают. В мы объясняли, что невозможно измерить интересующий параметр во всей генеральной совокупности, поэтому исследователи довольствуются ограниченной выборкой. В этой выборке (например, по массе тела) есть одно среднее значение (определенный вес), по которому мы и судим о среднем значении во всей генеральной совокупности. Однако едва ли средний вес в выборке (особенно небольшой) совпадет со средним весом в генеральной совокупности. Поэтому более правильно рассчитывать и пользоваться диапазоном средних значений генеральной совокупности. Например, представим, что 95 % доверительный интервал (95 % ДИ) по гемоглобину составляет от 110 до 122 г/л. Это означает, что с вероятностью 95 % истинное среднее значение по гемоглобину в генеральной совокупности будет находиться в пределах от 110 до 122 г/л. Иными словами, мы не знаем средний показатель гемоглобина в генеральной совокупности, но можем с 95 %-й вероятностью указать диапазон значений для этого признака. Доверительный интервал особенно уместен для разницы в средних значениях между группами или, как это называют, в размере эффекта. Допустим, мы сравнивали эффективность двух препаратов железа: давно присутствующего на рынке и только что зарегистрированного. После курса терапии оценили концентрацию гемоглобина в исследуемых группах пациентов, и статистическая программа нам посчитала, что разность между средними значениями двух групп с вероятностью 95 % находится в диапазоне от 1,72 до 14,36 г/л (табл. 1). Табл. 1. Критерий для независимых выборок Трактовать это следует так: у части пациентов генеральной совокупности, которая принимает новый препарат, гемоглобин будет выше в среднем на 1,72–14,36 г/л, чем у тех, кто принимал уже известный препарат. Иными словами, в генеральной совокупности разность в средних значениях по гемоглобину у групп с 95 %-й вероятностью находится в этих пределах. Судить, много это или мало, будет уже исследователь. Смысл всего этого в том, что мы работаем не с одним средним значением, а с диапазоном значений, следовательно, мы более достоверно оцениваем разницу по параметру между группами. В статистических пакетах, на усмотрение исследователя, можно самостоятельно сужать или расширять границы доверительного интервала. Снижая вероятности доверительного интервала, мы сужаем диапазон средних. Например, при 90 % ДИ диапазон средних (или разницы средних) будет уже, чем при 95 %. И наоборот, увеличение вероятности до 99 % расширяет диапазон значений. При сравнении групп нижняя граница ДИ может пересечь нулевую отметку. Например, если мы расширили границы доверительного интервала до 99 %, то границы интервала расположились от –1 до 16 г/л. Это означает, что в генеральной совокупности есть группы, различие средних между которыми по изучаемому признаку равняется 0 (М=0). При помощи доверительного интервала можно проверять статистические гипотезы. Если доверительный интервал пересекает нулевое значение, то нулевая гипотеза, предполагающая, что группы не различаются по изучаемому параметру, верна. Пример описан выше, когда мы расширили границы до 99 %. Где‑то в генеральной совокупности у нас нашлись группы, которые никак не различались. 95% доверительный интервал разницы по гемоглобину, (г/л)На рисунке в виде линии изображен 95 % доверительный интервал разницы средних значений по гемоглобину между двумя группами. Линия проходит нулевую отметку, следовательно, имеет место разница между средними значениями, равная нулю, что подтверждает нулевую гипотезу о том, что группы не различаются. Диапазон разницы между группами лежит от –2 до 5 г/л, Это означает, что гемоглобин может как снизиться на 2 г/л, так и повыситься на 5 г/л. Доверительный интервал - очень важный показатель. Благодаря ему можно посмотреть, были ли различия в группах действительно за счет разности средних или за счет большой выборки, т. к. при большой выборке шансы найти различия больше, чем при малой. На практике это может выглядеть так. Мы взяли выборку в 1000 человек, измерили уровень гемоглобина и обнаружили, что доверительный интервал разницы средних лежит от 1,2 до 1,5 г/л. Уровень статистической значимости при этом p Мы видим, что концентрация гемоглобина повысилась, но практически незаметно, следовательно, статистическая значимость появилась именно за счет объема выборки. Доверительный интервал может быть высчитан не только для средних значений, но и для пропорций (и отношений рисков). Например, нас интересует доверительный интервал пропорций пациентов, которые достигли ремиссии, принимая разработанное лекарство. Допустим, что 95 % ДИ для пропорций, т. е. для доли таких пациентов, лежит в пределах 0,60–0,80. Таким образом, мы можем сказать, что наше лекарство оказывает терапевтический эффект от 60 до 80 % случаев. Доверительный интервал для математического ожидания - это такой вычисленный по данным интервал, который с известной вероятностью содержит математическое ожидание генеральной совокупности. Естественной оценкой для математического ожидания является среднее арифметическое её наблюденных значений. Поэтому далее в течение урока мы будем пользоваться терминами "среднее", "среднее значение". В задачах рассчёта доверительного интервала чаще всего требуется ответ типа "Доверительный интервал среднего числа [величина в конкретной задаче] находится от [меньшее значение] до [большее значение]". С помощью доверительного интервала можно оценивать не только средние значения, но и удельный вес того или иного признака генеральной совокупности. Средние значения, дисперсия, стандартное отклонение и погрешность, через которые мы будем приходить к новым определениям и формулам, разобраны на уроке Характеристики выборки и генеральной совокупности . Точечная и интервальная оценки среднего значенияЕсли среднее значение генеральной совокупности оценивается числом (точкой), то за оценку неизвестной средней величины генеральной совокупности принимается конкретное среднее, которое рассчитано по выборке наблюдений. В таком случае значение среднего выборки - случайной величины - не совпадает со средним значением генеральной совокупности. Поэтому, указывая среднее значение выборки, одновременно нужно указывать и ошибку выборки. В качестве меры ошибки выборки используется стандартная ошибка , которая выражена в тех же единицах измерения, что и среднее. Поэтому часто используется следующая запись: . Если оценку среднего требуется связать с определённой вероятностью, то интересующий параметр генеральной совокупности нужно оценивать не одним числом, а интервалом. Доверительным интервалом называют интервал, в котором с определённой вероятностью P находится значение оцениваемого показателя генеральной совокупности. Доверительный интервал, в котором с вероятностью P = 1 - α находится случайная величина , рассчитывается следующим образом: , α = 1 - P , которое можно найти в приложении к практически любой книге по статистике. На практике среднее значение генеральной совокупности и дисперсия не известны, поэтому дисперсия генеральной совокупности заменяется дисперсией выборки , а среднее генеральной совокупности - средним значением выборки . Таким образом, доверительный интервал в большинстве случаев рассчитывается так: . Формулу доверительного интервала можно использовать для оценки среднего генеральной совокупности, если
Среднее значение выборки является несмещённой оценкой среднего генеральной совокупности . В свою очередь, дисперсия выборки не является несмещённой оценкой дисперсии генеральной совокупности . Для получения несмещённой оценки дисперсии генеральной совокупности в формуле дисперсии выборки объём выборки n следует заменить на n -1. Пример 1. Собрана информация из 100 случайно выбранных кафе в некотором городе о том, что среднее число работников в них составляет 10,5 со стандартным отклонением 4,6. Определить доверительный интервал 95% числа работников кафе. где - критическое значение стандартного нормального распределения для уровня значимости α = 0,05 . Таким образом, доверительный интервал 95% среднего числа работников кафе составил от 9,6 до 11,4. Пример 2. Для случайной выборки из генеральной совокупности из 64 наблюдений вычислены следующие суммарные величины: сумма значений в наблюдениях , сумма квадратов отклонения значений от среднего . Вычислить доверительный интервал 95 % для математического ожидания. вычислим стандартное отклонение: , вычислим среднее значение: . Подставляем значения в выражение для доверительного интервала: где - критическое значение стандартного нормального распределения для уровня значимости α = 0,05 . Получаем: Таким образом, доверительный интервал 95% для математического ожидания данной выборки составил от 7,484 до 11,266. Пример 3. Для случайной выборки из генеральной совокупности из 100 наблюдений вычислено среднее значение 15,2 и стандартное отклонение 3,2. Вычислить доверительный интервал 95 % для математического ожидания, затем доверительный интервал 99 %. Если мощность выборки и её вариация остаются неизменными, а увеличивается доверительный коэффициент, то доверительный интервал сузится или расширится? Подставляем данные значения в выражение для доверительного интервала: где - критическое значение стандартного нормального распределения для уровня значимости α = 0,05 . Получаем: . Таким образом, доверительный интервал 95% для среднего данной выборки составил от 14,57 до 15,82. Вновь подставляем данные значения в выражение для доверительного интервала: где - критическое значение стандартного нормального распределения для уровня значимости α = 0,01 . Получаем: . Таким образом, доверительный интервал 99% для среднего данной выборки составил от 14,37 до 16,02. Как видим, при увеличении доверительного коэффициента увеличивается также критическое значение стандартного нормального распределения, а, следовательно, начальная и конечная точки интервала расположены дальше от среднего, и, таким образом, доверительный интервал для математического ожидания увеличивается. Точечная и интервальная оценки удельного весаУдельный вес некоторого признака выборки можно интерпретировать как точечную оценку удельного веса p этого же признака в генеральной совокупности. Если же эту величину нужно связать с вероятностью, то следует рассчитать доверительный интервал удельного веса p признака в генеральной совокупности с вероятностью P = 1 - α : . Пример 4. В некотором городе два кандидата A и B претендуют на пост мэра. Случайным образом были опрошены 200 жителей города, из которых 46% ответили, что будут голосовать за кандидата A , 26% - за кандидата B и 28% не знают, за кого будут голосовать. Определить доверительный интервал 95% для удельного веса жителей города, поддерживающих кандидата A . Пусть у нас имеется большое количество предметов, с нормальным распределением некоторых характеристик (например, полный склад однотипных овощей, размер и вес которых варьируется). Вы хотите знать средние характеристики всей партии товара, но у Вас нет ни времени, ни желания измерять и взвешивать каждый овощ. Вы понимаете, что в этом нет необходимости. Но сколько штук надо было бы взять на выборочную проверку? Прежде, чем дать несколько полезных для этой ситуации формул напомним некоторые обозначения. Во-первых, если бы мы все-таки промерили весь склад овощей (это множество элементов называется генеральной совокупностью), то мы узнали бы со всей доступной нам точностью среднее значение веса всей партии. Назовем это среднее значение Х ср.ген . - генеральным средним. Мы уже знаем, что определяется полностью, если известно его среднее значение и отклонение s. Правда, пока мы ни Х ср.ген., ни s генеральной совокупности не знаем. Мы можем только взять некоторую выборку, замерить нужные нам значения и посчитать для этой выборки как среднее значение Х ср.выб., так и среднее квадратическое отклонение S выб. Известно, что если наша выборочная проверка содержит большое количество элементов (обычно n больше 30), и они взяты действительно случайным образом, то s генеральной совокупности почти не будет отличаться от S выб Кроме того, для случая нормального распределения мы можем пользоваться следующими формулами: С вероятностью 95% С вероятностью 99% . В общем виде c вероятностью Р(t)Связь значения t со значением вероятности Р(t), с которой мы хотим знать доверительный интервал, можно взять из следующей таблицы:
Таким образом, мы определили, в каком диапазоне находится среднее значение для генеральной совокупности (с данной вероятностью). Если у нас нет достаточно большой выборки, мы не можем утверждать, что генеральная совокупность имеет s = S выб. Кроме того, в этом случае проблематична близость выборки к нормальному распределению. В этом случае также пользуются S выб вместо s в формуле: но значение t для фиксированной вероятности Р(t) будет зависеть от количества элементов в выборке n. Чем больше n, тем ближе будет полученный доверительный интервал к значению, даваемому формулой (1). Значения t в этом случае берутся из другой таблицы (t-критерий Стьюдента), которую мы приводим ниже: Значения t-критерия Стьюдента для вероятности 0,95 и 0,99  
Пример 3. Из работников фирмы случайным образом отобрано 30 человек. По выборке оказалось, что средняя зарплата (в месяц) составляет 10 тыс. рублей при среднем квадратическом отклонении 3 тыс. рублей. С вероятностью 0,99 определить среднюю зарплату в фирме. Решение: По условию имеем n = 30, Х ср. =10000, S=3000, Р = 0,99. Для нахождения доверительного интервала воспользуемся формулой, соответствующей критерию Стьюдента. По таблице для n = 30 и Р = 0,99 находим t=2,756, следовательно, т.е. искомый доверительный интервал 27484 < Х ср.ген < 32516. Итак, с вероятностью 0,99 можно утверждать, что интервал (27484; 32516)
содержит внутри себя среднюю зарплату в фирме. Примером интервальной оценки является доверительный интервал. Доверительный интервал - это отрезок, центром которого является точечная оценка числовой характеристики, включающий истинное значение данной числовой характеристики с заданной вероятностью. Эта вероятность называется доверительной вероятностью. Таким образом, доверительный интервал является мерой точности оценки, а доверительная вероятность характеризует ее достоверность. Размер доверительного интервала зависит от того, каким значением доверительной вероятности задается экспериментатор. Чем больше доверительная вероятность, тем шире должен быть интервал, чтобы с заданной вероятностью включать в себя истинное значение числовой характеристики. Часто выбирают значение доверительной вероятности Р д = 0,95, полагая таким образом, что это значение достаточно велико, чтобы считать, что доверительный интервал “практически всегда” накрывает истинное значение. Только иногда, в случае ответственных и очень ответственных исследований полагают Р д = 0,99 и 0,999 соответственно. Процедура построения доверительного интервала включает в себя два этапа: Запись вероятностного утверждения относительно некоторой случайной функции, включающей в себя разность или отношение оценки и числовой характеристики. Такая функция несет информацию о степени близости упомянутых величин. Необходимо, чтобы закон распределения функции был известен; Вероятностное утверждение преобразуется к виду, при котором границы доверительного интервала числовой характеристики представлены в явном виде. Примерами функций с известным распределением, которые удовлетворяют необходимым требованиям, являются следующие: имеющая нормальное распределение, если величина X распределена нормально, а значение s[X] известно; 2) (3.25) имеющая распределение Стьюдента c m = N-1, если величина X распределена нормально, а значение s[X] заранее неизвестно, но его оценка может быть получена из опытных данных при помощи формулы (3.23); 3) (3.26) имеющая распределение Пирсона с m = N-1, если величина Х распределена нормально. Напомним, что параметры распределений m являются числами степеней свободы. Кроме того здесь использованы обозначения: - cреднее арифметическое значение, - среднее квадратическое значение, равное корню квадратному из дисперсии, [X] - оценка среднего кадратического значения, определяемая как корень квадратный из несмещенной оценки дисперсии, N - объем выборки. Функции Z и t могут быть использованы при построении доверительного интервала для математического ожидания, тогда как при помощи функции c 2 строится доверительный интервал для дисперсии. Построим доверительный интервал для математического ожидания при условии, что в нашем распоряжении имеются результаты N наблюдений нормально распределенной величины Х, а среднее квадратическое значение заранее известно из независимых наблюдений. Поскольку функция Z распределена нормально, можно использовать соответствующую таблицу для определения значения z a , такого, что за пределами - z a и + z a остается часть площади под кривой распределения в сумме равная a, тогда как в пределах [- z a ,+ z a ] заключена часть площади, равная 1 - a . Только что сказанное соответствует следующему вероятностному утверждению: Р{- z a ££+z a }= 1-a. (3.27) (Вероятность выполнения неравенства, заключенного в фигурных скобках, равна 1-a.). Преобразуем выражение в скобках: Р{- z a }= 1 - a Назовем величину 1-a = Р д доверительной вероятностью Р д. Согласно (3.28) при этой доверительной вероятности доверительный интервал для М[X] задается пределами: . (3.29) Замечание: К сожалению таблицы нормального распределения в разных книгах строятся неодинаково. Иногда приводится интеграл вероятности Ф(z) = |
Популярное:
Новое
- Сочинение My working day на английском с переводом
- Star wars: история далекой-далекой галактики - легенды и сказания
- Импульс силы можно рассчитать по формуле
- ю Высшие и центральные государственные учреждения
- Милославская мария борисовна совет федерации
- Духовно-рыцарские ордена – кратко
- Великая французская революция
- Загадочная цивилизация мерое Прогулка по древнему городу
- Сочинение Pros and cons of the Internet на английском с переводом
- Мазепа и Кочубей: политический детектив эпохи Войска Запорожского Дочь кочубея