Разделы сайта
Выбор редакции:
- Функция распределения случайной величины
- Значение фразеологизма «сказка про белого бычка
- Значение на скорую руку в большом современном толковом словаре русского языка Фразеологический оборот на скорую руку
- Ключевые идеи концепции развития математического образования в рф и ит-образование
- Презентация на тему "биография афанасия фета"
- Существует ли закон определяющий место обучения (школу) по месту проживания?
- Записки классного руководителя, или Три укола от бешенства для современных «мамочек
- Русско-финский разговорник для туристов (путешественников) с произношением
- Население антарктиды Какие народы проживали в антарктиде
- Конспект занятия на тему "космос" в старшей группе Самопознание космос и планеты старшая группа
Реклама
Определенная система линейных уравнений. Линейные уравнения. Система линейных уравнений. Система линейных уравнений с тремя переменными |
С n неизвестными это система вида: где a ij и b i (i=1,…,m; b=1,…,n) - некоторые известные числа, а x 1 ,…,x n - неизвестные числа. В обозначении коэффициентов a ij индекс i определяет номер уравнения, а второй j - номер неизвестного, у которого расположен этот коэффициент. Однородная система - когда все свободные члены системы равны нулю (b 1 = b 2 = … = b m = 0 ), обратная ситуация — неоднородная система . Квадратная система - когда число m уравнений равняется числу n неизвестных. Решение системы — совокупность n чисел c 1 , c 2 , …, c n , таких, что подстановка всех c i вместо x i в систему превращает все её уравнения в тождества . Совместная система - когда у системы есть хоть бы 1-но решение, и несовместная система , когда у системы нет решений. У совместной системы такого вида (как приведен выше, пусть она будет (1)) может быть одно либо больше решений. Решения c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n (1) и c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n (2) совместной системы типа (1) будут различными , когда не выполняется даже 1-но из равенств: c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) . Совместная система типа (1) будет определённой , когда у нее есть только одно решение; когда у системы есть хотя бы 2 разных решений, она становится недоопределённой . Когда уравнений больше, чем неизвестных, система является переопределённой . Коэффициенты при неизвестных записываются как матрица: Она называется матрицей системы . Числа, которые стоят в правых частях уравнений, b 1 ,…,b m являются свободными членами . Совокупность n чисел c 1 ,…,c n является решением этой системы, когда все уравнения системы обращаются в равенство после подставки в них чисел c 1 ,…,c n вместо соответствующих неизвестных x 1 ,…,x n . При решении системы линейных уравнений могут возникнуть 3 варианта: 1. У системы есть только одно решение. 2. У системы есть нескончаемое число решений. Например , . Решением этой системы будут все пары чисел, которые отличаются знаком. 3. У системы нет решений. Например , , если бы решение существовало, то x 1 + x 2 равнялось бы в одно время 0 и 1. Методы решения систем линейных уравнений.Прямые методы дают алгоритм, по которому находится точное решение СЛАУ (систем линейных алгебраических уравнений). И если бы точность была абсолютной, они бы нашли его. Реальная электро-вычислительная машина, конечно, работает с погрешностью, поэтому решение будет приблизительным. Системы линейных уравнений. Лекция 6. Системы линейных уравнений. Основные понятия. Система видa называется системой - линейных уравнений с неизвестными . Числа , , называются коэффициентами системы . Числа , называются свободными членами системы , – переменными системы . Матрица называется основной матрицей системы , а матрица – расширенной матрицей системы . Матрицы - столбцы И - соответственно матрицами свободных членов и неизвестных системы . Тогда в матричной форме систему уравнений можно записать в виде . Решением системы называется значений переменных , при подстановке которых, все уравнения системы обращаются в верные числовые равенства. Всякое решение системы можно представить в виде матрицы - столбца . Тогда справедливо матричное равенство . Система уравнений называется совместной если она имеет хотя бы одно решение и несовместной если не имеет ни одного решения. Решить систему линейных уравнений это значит выяснить совместна ли она и в случае совместности найти её общее решение. Система называется однородной если все её свободные члены равны нулю. Однородная система всегда совместна, так как имеет решение Теорема Кронекера – Копелли. Ответ на вопрос существования решений линейных систем и их единственности позволяет получить следующий результат, который можно сформулировать в виде следующих утверждений относительно системы линейных уравнений с неизвестными (1) Теорема 2 . Система линейных уравнений (1) совместна тогда и только тогда когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной (. Теорема 3 . Если ранг основной матрицы совместной системы линейных уравнений равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Теорема 4 . Если ранг основной матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений. Правила решения систем. 3. Находят выражение главных переменных через свободные и получают общее решение системы. 4. Придавая свободным переменным произвольные значения получают все значения главных переменных. Методы решения систем линейных уравнений. Метод обратной матрицы. причем , т. е. система имеет единственное решение. Запишем систему в матричном виде где , , . Умножим обе части матричного уравнения слева на матрицу Так как , то получаем , откуда получаем равенство для нахождения неизвестных Пример 27. Методом обратной матрицы решить систему линейных уравнений Решение. Обозначим через основную матрицу системы . Пусть , тогда решение найдем по формуле . Вычислим . Так как , то и система имеет единственное решение. Найдем все алгебраические дополнения , , , , , , , , Таким образом . Сделаем проверку . Обратная матрица найдена верно. Отсюда по формуле , найдем матрицу переменных . . Сравнивая значения матриц, получим ответ: . Метод Крамера. Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными причем , т. е. система имеет единственное решение. Запишем решение системы в матричном виде или Обозначим . . . . . . . . . . . . . . , Таким образом, получаем формулы для нахождения значений неизвестных, которые называются формулами Крамера . Пример 28. Решить методом Крамера следующую систему линейных уравнений . Решение. Найдем определитель основной матрицы системы . Так как , то , система имеет единственное решение. Найдем остальные определители для формул Крамера , , . По формулам Крамера находим значения переменных Метод Гаусса. Метод заключается в последовательном исключении переменных. Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными. Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов: На первом этапе расширенная матрица системы приводится с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду , где , которой соответствует система После этого переменные считаются свободными и в каждом уравнении переносятся в правую часть. На втором этапе из последнего уравнения выражается переменная , полученное значение подставляется в уравнение. Из этого уравнения выражается переменная . Этот процесс продолжается до первого уравнения. В результате получается выражение главных переменных через свободные переменные . Пример 29. Решить методом Гаусса следующую систему Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду . Так как больше числа неизвестных, то система совместна и имеет бесконечное множество решений. Запишем систему для ступенчатой матрицы Определитель расширенной матрицы этой системы, составленный из трех первых столбцов не равен нулю, поэтому его считаем базисным. Переменные Будут базисными а переменная – свободной. Перенесем ее во всех уравнениях в левую часть Из последнего уравнения выражаем Подставив это значение в предпоследнее второе уравнение, получим откуда . Подставив значения переменных и в первое уравнение, найдем . Ответ запишем в следующем виде Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы. Сбор и использование персональной информацииПод персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним. От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами. Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию. Какую персональную информацию мы собираем:
Как мы используем вашу персональную информацию:
Раскрытие информации третьим лицамМы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам. Исключения:
Защита персональной информацииМы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения. Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компанииДля того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности. |
Читайте: |
---|
Популярное:
Новое
- Значение фразеологизма «сказка про белого бычка
- Значение на скорую руку в большом современном толковом словаре русского языка Фразеологический оборот на скорую руку
- Ключевые идеи концепции развития математического образования в рф и ит-образование
- Презентация на тему "биография афанасия фета"
- Существует ли закон определяющий место обучения (школу) по месту проживания?
- Записки классного руководителя, или Три укола от бешенства для современных «мамочек
- Русско-финский разговорник для туристов (путешественников) с произношением
- Население антарктиды Какие народы проживали в антарктиде
- Конспект занятия на тему "космос" в старшей группе Самопознание космос и планеты старшая группа
- Кем я стану, когда вырасту