Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Разностное уравнение представляет собой уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в любой точке с её значением в одной или нескольких точках, отстоящих от данной на определенный интервал. Пример:

\[Г (z+1) = zГ(z)\]

Для разностных уравнений с постоянными коэффициентами существуют детально разработанные методы нахождения решения в замкнутой форме. Неоднородное и однородное разностные уравнения n-го порядка задаются соответственно уравнениями, где \ постоянные коэффициенты.

Однородные разностные уравнения.

Рассмотрим уравнение n-го порядка

\[(a_nE^n +a{n-1}E^n1 + \cdots +a_1Е + a_1)y(k) = 0 \]

Предлагаемое решение следует искать в виде:

где \ - подлежащая определению постоянная величина. Вид предполагаемого решения, задаваемый уравнением, не является наиболее распространенным. Допустимые значения \ служат корнями многочлена от \[ е^r.\] При\[ \beta = е^r \]предполагаемое решение становится таким:

где \[\beta\] - подлежащая определению постоянная величина. Подставляя уравнение и учитывая \, получим следующее характеристическое уравнение:

Неоднородные разностные уравнения. Метод неопределенных коэффициентов. Рассмотрим разностное уравнение n-го порядка

\[ (a_nЕn +а_{n-1}Еn^-1+\cdots+ а_1Е +a_1)y(k) =F(k) \]

Ответ имеет следующий вид:

Где можно решить разностное уравнение онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Решение обыкновенных линейных разностных уравнений

с постоянными коэффициентами

Связь выхода и входа линейной дискретной системы может быть описана обыкновенным линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами

,

где y[ n] - выходной сигнал в момент n ,

x[ n] - входной сигнал в момент n ,

a i , b k – постоянные коэффициенты.

Для решения таких уравнений могут использоваться два метода

• Прямой метод,
• Метод Z – преобразования.

Вначале рассмотрим решение линейного разностного уравнения с помощью прямого метода.

Общее решение неоднородного (с отличной от нуля правой частью) линейного разностного уравнения равно сумме общего решения линейного однородного разностного уравнения и частного решения неоднородного уравнения

Общее решение однородного разностного уравнения (zero- input response ) y h [ n]

определяется в виде

.

Подставляя это решение в однородное уравнение, получаем

Такой полином называют характеристическим полиномом системы. Он имеет N корней . Корни могут быть действительными или комплексными и некоторые корни - совпадающими (кратными).

Если корни являются действительными и разными, то решение однородного уравнения имеет вид

где коэффициенты

Если некоторый корень, например, λ 1 имеет кратность m , то соответствующий ему член решения приобретает форму

Если все коэффициенты однородного уравнения и соответственно характеристического многочлена действительны, то два члена решения, соответствующие простым комплексно сопряженным корням можно представить (записать) в виде , при этом коэффициенты A, B определяются по начальным условиям.

Вид частного решения y p [ n] уравнения зависит от правой части (входного сигнала) и определяется согласно нижеприведенной таблице

Таблица 1. Вид частного решения для различного характера правой части

Решение линейного разностного уравнения методом Z – преобразования заключается в применении Z – преобразования к уравнению с использованием свойств линейности и временного сдвига. В результате получается линейное алгебраическое уравнение относительно Z - изображения искомой функции. Обратное Z – преобразование дает искомое решение во временной области. Для получения обратного Z – преобразования чаще всего используется разложение рационального выражения на простые (элементарные) дроби, так как обратное преобразование от отдельной элементарной дроби имеет простой вид.

Заметим, что для перехода во временную область могут использоваться и другие методы вычисления обратного Z – преобразования.

Пример . Определим отклик (выходной сигнал) системы, описываемой линейным разностным уравнением , на входной сигнал

Решение .

1. Прямой метод решения уравнения.

Однородное уравнение . Его характеристический полином .

Корни полинома .

Решение однородного уравнения .

Поскольку,то частное решение определяем в виде .

Подставляем его в уравнение

Для нахождения константы К примем n = 2 . Тогда

Или , К=2,33

Отсюда частное решение и общее решение разностного уравнения (1)

Найдем константы С 1 и С 2 . Для этого положим n = 0 , тогда из исходного разностного уравнения получаем . Для данного уравнения

Поэтому . Из выражения (1)

Следовательно,

.

Из выражения (1) для n = 1 имеем .
Получаем следующие два уравнения для С 1 и С 2

.

Решение этой системы дает следующие значения: С 1 =0,486 и С 2 = -0,816.

Следовательно, общее решение данного уравнения

2. Решение методом Z – преобразования.

Возьмем Z – преобразование от исходного разностного уравнения , учитывая свойство (теорему) временного сдвига . Получаем

Рассмотрим разностное уравнение n-го порядка

y(k) = F(k) (92)

Как и для дифференциальных уравнений, решение всегда опре­деляется для уравнений первого порядка и в общем случае не может быть найдено для уравнений более высокого порядка.

Вспомогательное решение.

Рассмотрим однородной уравнение первого порядка

a 1 (k)y(k+1) + a 0 (k)y(k) = 0, (93)

где a 0 (k)≠0 и a 1 (k)≠0. Его можно переписать в виде

y(k+1) = a(k)y(k). (94)

при k=0,1,2...

у(1)=а(0)у(0),

у(2)=а(1)а(0)у(0)

у(3)=а(2)а(1)а(0)у(0)

или, в общем случае,

так что общее решение уравнения (94) равно

Нижний предел произведения произволен, так как любое фик­сированное число множителей а(0), а(1), и а(2), ... можно объединить с произвольной постоянной С.

Решение однородного уравнения выше первого порядка в общем случае не выражается в виде элементарных функций, так как процедура, основанная на уравнениях (81) и (82), при зависящих от k коэффициентах перестает быть справедливой. Если известны все, кроме одного, независимые решения уравнения, то можно определить и ос­тавшееся решение. Как и для дифференциальных уравнений, в ряде отдель­ных случаев удается получить, решение в явном виде. Уравнение вида

a n f(k + n)y(k + n) + ... + a 1 f (k + 1)y(k + 1) + a n f(k)y(k) = 0,

где коэффициенты а i - постоянные величины, путем подстановки z(k)=f(k)y(k) сводится к разностному уравнению с постоянными коэффициентами. Проце­дура отчасти сходна с используемой для дифференциального уравнения Эй­лера, но замене в данном случае подлежит зависимая (а не независимая) пе­ременная. Этот метод широко используется при решении уравнений с пе­ременными коэффициентами.

Дифференциальные уравнения систем автоматического регулирования. Методика составления дифференциальных уравнений систем автоматического регулирования.

Общие замечания.

Системы автоматического регулирования разнообразны по своему назначению и конструктивному исполнению. Поведение САР может описываться обыкновенными дифференциальными уравнениями в частных производных, разностными уравнениями и т.д.

Любая САР представляет совокупность отдельных взаимодействующих друг с другом элементов, соединенных между собой связями. Первым этапом при составлении дифференциальных уравнений САР является разделение системы на отдельные элементы и составление дифференциальных уравнений этих элементов. Уравнения элементов и уравнения связей между отдельными элементами описывают процесс в системе регулирования, т.е. изменение по времени всех координат системы. Зная уравнения элементов и уравнения связей, можно составить структурную схему САР.

Структурная схема САР характеризует геометрию системы, т.е. показывает, из каких элементов состоит САР и как эти элементы связаны между собой. Состояние САР, а также каждого входящего в нее элемента характеризуется некоторым числом независимых переменных. Этими переменными могут быть как электрические величины (ток, напряжение, и т.д.), так и механические (скорость, угол поворота, перемещение и т.д.). Обычно, чтобы характеризовать состояние системы или ее элемента, выбирают одну обобщенную координату на входе системы или элемента (g(t)) и одну – на выходе (x(t)). В ряде случаев такое представление невозможно, так как система или ее элемент могут иметь несколько входных и выходных величин. В многомерных системах можно рассматривать векторные входную и выходную величины с размерностями, совпадающими соответственно с числом входных и выходных величин САР.

Составление и линеаризация дифференциальных уравнений элементов систем.

При составлении дифференциальных уравнений САР основной задачей является составление дифференциальных уравнений отдельных элементов системы. Уравнение отдельных элементов составляются на основе тех физических законов, которые характеризуют поведение элемента.

При составлении дифференциальных уравнений элементов САР следует стремиться возможно точнее описать поведение данного элемента. Однако сложность получаемых при этом уравнений затрудняет исследование свойств их решений. Поэтому при составлении дифференциальных уравнений необходимо стремиться к разумному компромиссу между возможно более полным описанием поведения элемента и возможностью обозрения и исследования полученных уравнений.

Если динамика элемента описывается линейным дифференциальным уравнением, то этот элемент называется линейным , если дифференциальное уравнение не линейно, то элемент называется нелинейным .

Для упрощения анализа, когда это возможно, приближенно заменяют нелинейные дифференциальные уравнения такими линейными уравнениями, решение которых с достаточной степенью точности совпадают с решениями нелинейных уравнений. Этот процесс замены нелинейного дифференциального уравнения линейным называется линеаризацией .

Если дифференциальное уравнение элемента нелинейно из-за нелинейности его статической характеристики, то линеаризация уравнения сводится к замене нелинейной характеристики элемента x =φ(g ) некоторой линейной функцией x = ag + b . Аналитически эта замена производится с помощью разложения в ряд Тейлора функции x =φ(g ) в окрестности точки, соответствующей установившемуся состоянию и отбрасывания всех членов содержащих отклонение ∆g входной величины элемента в степени выше первой. Геометрически это означает замену кривой x =φ(g ) касательной, проведенной к кривой в точке (x 0 , g 0), соответствующей установившемуся состоянию работы элемента (рис. 29). В других случаях линеаризация производится путем проведения секущей, мало отклоняющейся от функции x =φ(g ) в требуемом диапазоне изменения входной величины элемента.

Наряду с линеаризуемыми характеристиками имеются такие характеристики, которые не поддаются такой линеаризации. К ним относятся, например, характеристики, не разлагаемые в ряд Тейлора в окрестности точки установившегося состояния. Такие характеристики будем называть существенно нелинейными .

Рассмотрим процесс линеаризации нелинейного уравнения элемента с помощью ряда Тейлора. Пусть поведение элемента описывается нелинейным дифференциальным уравнением

F(x n , x ’ , x, g) = 0 (1). Тогда установившееся состояние элемента характеризуется уравнением F(0, 0, x, g) = 0 (2). пусть g 0 и х 0 – значения установившегося состояния. Тогда координаты g и х можно записать в виде x = x 0 + ∆x, g = g 0 + ∆g, где ∆g и ∆x – отклонение координат g и х от установившегося состояния. Уравнение (1) в отклонениях имеет вид:

F(∆x ’’ , ∆x ’ , x 0 + ∆x, g 0 + ∆g) = 0 (3).

Разложим левую часть уравнения (3) в ряд Тейлора относительно точки установившегося состояния (0, 0, x 0 , g 0):

Частные производные в левой части уравнения (4) представляют собой некоторые числа, величины которых зависят от вида функции F(x ’’ , x ’ , x, g) и значений координат x 0 и g 0 .

Считая отклонения ∆g, ∆x от установившегося состояния, а также их производные по времени малыми и пологая, что функция F(x ’’ , x ’ , x, g) достаточно гладкая по всем аргументам в окрестности точки, соответствующей установившемуся состоянию, отбросим в уравнении (4) все члены, которые содержат отклонения ∆g и ∆x, а также их производные в степени выше первой. Полученное уравнение (5) является линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами,,,и представляет собой результат линеаризации уравнения (1).

Очевидно, что необходимым условием линеаризации является возможность разложения в ряд Тейлора функции F(x ’’ , x ’ , x, g) в окрестности точки, соответствующей установившемуся состоянию.

Процесс линеаризации уравнения (1) может быть геометрически интерпретирован следующим образом. В пространстве переменных x ’’ , x ’ , x, g уравнение (1) задает некоторую поверхность. Переход от уравнения (1) к линейному уравнению (5) означает замену поверхности некоторой касательной плоскостью, проведенной к поверхности в точке, соответствующей установившемуся состоянию. Естественно, что ошибка при такой замене тем меньше, чем меньше отличаются друг от друга точки поверхности и точки плоскости. Это справедливо лишь в некоторой малой окрестности установившегося состояния.

Понятие управляемости и наблюдаемости.

Процесс или объект принято называть полностью управляемым, если он может быть переведен из некоторого состояния х(t 0) в желаемое состояние равновесия х(t 1) за конечный интервал времени t 1 – t 0 . Другими словами, процесс является полностью управляемым, если существует управляющее воздействие m(t), определенное на конечном интервале времени t 0 ≤ t ≤ t 1 , которое переводит процесс из начального состояния х(t 0) в желаемое состояние равновесия х(t 1) за время t 1 – t 0 .

Необходимые и достаточные условия полной управляемости для случая дискретных систем можно сформулировать следующим образом.

Линейный дискретный процесс n-го порядка является полностью управляемым тогда и только тогда, когда векторы

s 1 = φ(-T)h(T),

s 2 = φ(-T)h(T),

s n = φ(-T)h(T)

линейно независимы.

Эти векторы возникают в связи со следующими преобразованиями.

(t) = Ax(t) + d m(t),

в котором m(t) – единственное управляющее воздействие. Случай единственного управляющего воздействия рассматривается ради упрощения интерпретации получаемых выражений. Уравнение переходных состояний процесса имеет вид

где φ(Т) – матрица перехода процесса и
.

Понятию управляемости можно дать еще и другое толкование, способствующее лучшему его пониманию. Пусть линейный многомерный процесс описывается векторным дифференциальным уравнением (t) = Ax(t) + D m(t), где х – n-мерный вектор состояния;

m – r-мерный вектор, представляющий управляющие воздействия;

А – квадратичная матрица коэффициентов n-го порядка;

D – матрица управления размера n×r.

Матрица А может быть приведена к диагональной форме

,

где λ i – собственные значения матрицы А линейного процесса, которые предполагаются все различными.

Применяя подстановку x=Tz, уравнение запишем в канонической форме

(t) = Λz(t) + ∆ m(t),

где
. Векторz будем называть каноническим вектором состояния.

Процесс, описываемый уравнением (t) = Ax(t) + D m(t), является управляемым, если матрица ∆ не содержит строк, все элементы которых равны нулю; координаты, соответствующие ненулевым строкам ∆, считаются управляемыми.

Пример:

Вывести дифференциальное уравнение центробежного маятника, который применяется в качестве чувствительного элемента в некоторых САР. Схема маятника изображена на рисунке. Входной величиной является угловая скорость ω, а выходной величиной – перемещение х платформы. При увеличении скорости вращения шары под действием центробежной силы расходятся и перемещают платформу. На платформу воздействует также сила упругости пружины, силы демпфирования и силы инерции.

Введем обозначения: с – коэффициент жесткости пружины; k – коэффициент вязкого трения; m – масса шара; М – масса частей, участвующих в поступательном движении вдоль оси ОХ; ω – угловая скорость вала; f 0 – сила предварительного поджатия пружины.

Для составления дифференциального уравнения центробежного маятника используем уравнение Лагранжа второго рода:
(I = 1, 2,…, n) (*). В качестве обобщенной координаты x i выберем выходную координату – перемещение платформы х. Найдем выражение для кинетической энергии Т, потенциальной энергии П и диссипативной функции R центробежного маятника. Из рисунка видно, что

ρ = r + l sin α, x = 2a(1 – cos α).

Кинетическая энергия системы Т = Т 1 + Т 2 + Т 3 , где Т 1 – кинетическая энергия во вращательном движении вокруг оси ОХ; Т 2 – кинетическая энергия шаров во вращательном движении вокруг точек А и А’; Т 3 – кинетическая энергия масс в поступательном движении вдоль оси ОХ. Имеем:

,

,
. (*1)

Потенциальная энергия маятника П = П 1 + П 2 + П 3 , где П 1 – потенциальная энергия масс, движущихся параллельно оси ОХ; П 2 – потенциальная энергия; П 3 – потенциальная энергия пружины. Для рассматриваемого случая имеем:

,
,
. (*2)

Найдем обобщенную диссипативную силу Q R . Благодаря наличию демпфера сила сухого трения мала по сравнению с силой вязкого трения и ею можно пренебречь. Согласно формуле
будем иметь

. (*3)

Вычислим значение отдельных слагаемых, входящих в уравнение Лагранжа (*):

,

,

.

Подставим полученные выражения в уравнение Лагранжа второго рода (*), тогда

Введем следующее обозначения:

,
,

; (*5)

. (*6)

С учетом принятых обозначений уравнение центробежного маятника запишется в виде

Уравнение (*7) представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение. Состояние равновесия (х 0 , ω 0) является решением уравнения

Рассмотрим малые колебания маятника относительно состояния равновесия

х = х 0 + ∆х, ω = ω 0 + ∆ω. (*9)

Разложим функции f 1 (x), f 2 (x), f 3 (x, ω) в ряд Тейлора в окрестности состояния равновесия (х 0 , ω 0).

где функции F 1 (∆x), F 2 (∆x), F 3 (∆x, ∆ω) имеют более высокий порядок малости по сравнению с ∆x и ∆ω. Учитывая, что x’ = ∆x’ и x” = ∆x”, и принимая во внимание выражения (*8), (*9), (*10), уравнение (*7) можно переписать в виде

где функция

имеет более высокий порядок малости по сравнению с
. Отбрасывая функцию
, получим линеаризованное уравнение колебаний маятника относительно состояния равновесия (х 0 , ω 0)

, (*11)

,

(*12)

.

Введение

В последние десятилетия математические методы всё настойчивее проникают в гуманитарные науки и в частности, в экономику. Благодаря математике и её эффективному применению можно надеяться на экономический рост и процветание государства. Эффективное, оптимальное развитие невозможно без использования математики.

Целью данной работы является изучение применения разностных уравнений в экономической сфере общества.

Перед данной работой ставятся следующие задачи: определение понятия разностных уравнений; рассмотрение линейных разностных уравнений первого и второго порядка и их применение в экономике.

При работе над курсовым проектом были использованы доступные для изучения материалы учебных пособий по экономике, математическому анализу, работы ведущих экономистов и математиков, справочные издания, научные и аналитические статьи, опубликованные в Интернет - изданиях.

Разностные уравнения

§1. Основные понятия и примеры разностных уравнений

Разностные уравнения играют большую роль в экономической теории. Многие экономические законы доказывают с помощью именно этих уравнений. Разберем основные понятия разностных уравнений.

Пусть время t выступает как независимая переменная, а зависимая переменная определяется для времени t, t-1, t-2 и т.д.

Обозначим через значение в момент времени t; через - значение функции в момент, сдвинутый назад на единицу (например, в предыдущем часу, на предыдущей неделе и т.д.); через - значение функции y в момент, сдвинутый на две единицы назад, и т.д.

Уравнение

где - постоянные, называется разностным неоднородным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Уравнение

В котором =0, называется разностным однородным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами. Решить разностное уравнение n-го порядка - значит найти функцию, которая обращает это уравнение в верное тождество.

Решение, в котором отсутствует произвольная постоянная, называется частным решением разностного уравнения; если же в решении есть произвольная постоянная, то оно называется общим решением. Можно доказать следующие теоремы.

Теорема 1. Если однородное разностное уравнение (2) имеет решения и, то решением будет также функция

где и - произвольные постоянные.

Теорема 2. Если - частное решение неоднородного разностного уравнения (1) и - общее решение однородного уравнения (2), то общим решением неоднородного уравнения (1) будет функция

Произвольные постоянные. Эти теоремы сходны с теоремами для дифференциальных уравнений. Системой линейных разностных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами называется система вида

где - вектор из неизвестных функций, - вектор из известных функций.

Есть матрица размера nn.

Эта система может быть решена сведением к разностному уравнению n-го порядка по аналогии с решением системы дифференциальных уравнений.

§ 2. Решение разностных уравнений

Решение разностного уравнения первого порядка. Рассмотрим неоднородное разностное уравнение

Соответствующее однородное уравнение есть

Проверим, будет ли функция

решением уравнения (3).

Подставляя в уравнение (4), получаем

Следовательно, есть решение уравнения (4).

Общее решение уравнения (4) есть функция

где C - произвольная постоянная.

Пусть - частное решение неоднородного уравнения (3). Тогда общее решение разностного уравнения (3) есть функция

Найдем частное решение разностного уравнения (3), если f(t)=c, где c - некоторая переменная.

Будем искать решение в виде постоянной m. Имеем

Подставив эти постоянные в уравнение

получаем

Следовательно, общее решение разностного уравнения

Пример1 . Найти с помощью разностного уравнения формулу прироста денежного вклада А в сбербанке, положенного под p % годовых.

Решение . Если некоторая сумма положена в банк под сложный процент p, то к концу года t её размер составит

Это однородное разностное уравнение первого порядка. Его решение

где C - некоторая постоянная, которую можно рассчитать по начальным условиям.

Если принять, то C=A, откуда

Это известная формула подсчета прироста денежного вклада, положенного в сбербанк под сложный процент.

Решение разностного уравнения второго порядка. Рассмотрим неоднородное разностное уравнение второго порядка

и соответствующее однородное уравнение

Если k является корнем уравнения

есть решение однородного уравнения (6).

Действительно, подставляя в левую часть уравнения (6) и учитывая (7), получаем

Таким образом, если k - корень уравнения (7), то - решение уравнения (6). Уравнение (7) называется характеристическим уравнением для уравнения (6). Если дискриминант характеристическое уравнение (7) больше нуля, то уравнение (7) имеет два разных действительных корня и, а общее решение однородного уравнения (6) имеет следующий вид.

Контрольные вопросы:

1. Какая функция называется сеточной?

2. Какое уравнение называется разностным?

3. Какие уравнения называются разностными уравнениями 1-го порядка?

4. Как находится общее решение неоднородного разностного уравнения 1-го порядка?

5. Какое решение разностного уравнения называется фундаментальным?

6. Почему общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид геометрической прогрессии?

Задания.

1. Написать процедуру решения разностного уравнения первого порядка с начальным условием .

2. Для заданного уравнения найти общее и частное решение аналитически.

3. Сравнить результаты вычислений по рекуррентной формуле с аналитическим решением.

4. Выяснить, как влияет на результат возмущение начального условия, коэффициентов уравнения, правой части.

Найдем общее решение разностного уравнения 1-го порядка

. (1)

Частное решение однородного уравнения при получим, используя рекуррентную формулу: . Поскольку значение Y в каждом следующем узле сетки удваивается, получается геометрическая прогрессия со знаменателем q=2:

Частное решение неоднородного уравнения найдем в виде:, где А - неопределенный коэффициент. Тогда , , и, приравняв полученное значение к заданной правой части, найдем неопределенный коэффициент A=. Окончательно, общее решение: .

Используя начальное условие , находим константу: . Окончательно, частное решение при заданном начальном условии:

.

Для исследования устойчивости решения к возмущению самого решения и начального условия рассмотрим следующее уравнение:

с возмущенным начальным условием

(здесь - величина возмущения). Вычитая исходное уравнение (1), получим разностное уравнение для возмущения:

с начальным условием . Решение этого уравнения имеет вид: , т.е. даже малое возмущение в каком-либо узле экспоненциально растет с увеличением номера узла.

Студенту необходимо проиллюстрировать сказанное выше: исследовать влияние возмущений начального условия, правых частей и коэффициентов уравнения, изменив рекуррентную формулу.

Вариант, в соответствии с номером студента по списку в журнале, необходимо решить на языке программирования C++ (допускается использование среды Builder) или Pascal (допускается использование среды Delphi).

1. Рекуррентная формула для получения численного решения.
2. Аналитическое решение разностного уравнения. Общее решение и частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
3. Исследовать устойчивость решения к возмущению начального условия и решения аналитически.

б) при возмущении коэффициентов уравнения;

в) при возмущении правой части.

Тема:Разностные уравнения 2 порядка

Контрольные вопросы:

1. Какие уравнения называются разностными уравнениями 2-го порядка?

2. Что такое характеристическое уравнение?

3. Как выглядит частное решение однородного разностного уравнения 2-го порядка с действительными корнями характеристического уравнения?

4. Как выглядит частное решение однородного разностного уравнения 2-го порядка с комплексными корнями характеристического уравнения?

5. Как находится общее решение неоднородного разностного уравнения 2-го порядка?

6. Что такое численное и аналитическое решение разностного уравнения 2-го порядка?

7. Какие задачи называются хорошо обусловленными?

Задания

1. Написать процедуру решения разностной краевой задачи для уравнения второго порядка с граничными условиями , .

2. Для заданного уравнения найти общее и частное решение аналитически и проверить критерий обусловленности.

3. Сравнить результаты вычислений по рекуррентной формуле с аналитическим решением.

4. Выяснить, как влияет на результат возмущение граничных условий и правой части.