В этой статье собрана и структурирована информация, необходимая для решения практически любого примера по теме числовые ряды, от нахождения суммы ряда до исследования его на сходимость.

Обзор статьи.

Начнем с определений знакоположительного, знакопеременного ряда и понятия сходимости. Далее рассмотрим стандартные ряды, такие как гармонический ряд, обобщенно гармонический ряд, вспомним формулу для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. После этого перейдем к свойствам сходящихся рядов, остановимся на необходимом условии сходимости ряда и озвучим достаточные признаки сходимости ряда. Теорию будем разбавлять решением характерных примеров с подробными пояснениями.

Навигация по странице.

Основные определения и понятия.

Пусть мы имеем числовую последовательность , где .

Приведем пример числовой последовательности: .

Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида .

В качестве примера числового ряда можно привести сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = -0.5 : .

Называют общим членом числового ряда или k–ым членом ряда.

Для предыдущего примера общий член числового ряда имеет вид .

Частичная сумма числового ряда – это сумма вида , где n – некоторое натуральное число. называют также n-ой частичной суммой числового ряда.

К примеру, четвертая частичная сумма ряда есть .

Частичные суммы образуют бесконечную последовательность частичных сумм числового ряда.

Для нашего ряда n –ая частичная сумма находится по формуле суммы первых n членов геометрической прогрессии , то есть, будем иметь следующую последовательность частичных сумм: .

Числовой ряд называется сходящимся , если существует конечный предел последовательности частичных сумм . Если предел последовательности частичных сумм числового ряда не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.

Суммой сходящегося числового ряда называется предел последовательности его частичных сумм, то есть, .

В нашем примере , следовательно, ряд сходится, причем его сумма равна шестнадцати третьим: .

В качестве примера расходящегося ряда можно привести сумму геометрической прогрессии со знаменателем большем, чем единица: . n–ая частичная сумма определяется выражением , а предел частичных сумм бесконечен: .

Еще одним примером расходящегося числового ряда является сумма вида . В этом случае n–ая частичная сумма может быть вычислена как . Предел частичных сумм бесконечен .

Сумма вида называется гармоническим числовым рядом .

Сумма вида , где s – некоторое действительное число, называется обобщенно гармоническим числовым рядом .

Приведенных определений достаточно для обоснования следующих очень часто используемых утверждений, рекомендуем их запомнить.

ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД ЯВЛЯЕТСЯ РАСХОДЯЩИМСЯ.

Докажем расходимость гармонического ряда.

Предположим, что ряд сходится. Тогда существует конечный предел его частичных сумм. В этом случае можно записать и , что приводит нас к равенству .

С другой стороны,


Не вызывают сомнения следующие неравенства . Таким образом, . Полученное неравенство указывает нам на то, что равенство не может быть достигнуто, что противоречит нашему предположению о сходимости гармонического ряда.

Вывод: гармонический ряд расходится.

СУММА ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ ВИДА СО ЗНАМЕНАТЕЛЕМ q ЯВЛЯЕТСЯ СХОДЯЩИМСЯ ЧИСЛОВЫМ РЯДОМ, ЕСЛИ , И РАСХОДЯЩИМСЯ РЯДОМ ПРИ .

Докажем это.

Мы знаем, что сумма первых n членов геометрической прогрессии находится по формуле .

При справедливо


что указывает на сходимость числового ряда.

При q = 1 имеем числовой ряд . Его частичные суммы находятся как , а предел частичных сумм бесконечен , что указывает на расходимость ряда в этом случае.

Если q = -1 , то числовой ряд примет вид . Частичные суммы принимают значение для нечетных n , и для четных n . Из этого можно сделать вывод, что предел частичных сумм не существует и ряд расходится.

При справедливо


что указывает на расходимость числового ряда.

ОБОБЩЕННО ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД СХОДИТСЯ ПРИ s > 1 И РАСХОДИТСЯ ПРИ .

Доказательство.

Для s = 1 получим гармонический ряд , а выше мы установили его расходимость.

При s справедливо неравенство для всех натуральных k . В силу расходимости гармонического ряда можно утверждать, что последовательность его частичных сумм неограниченна (так как не существует конечного предела). Тогда последовательность частичных сумм числового ряда тем более неограниченна (каждый член этого ряда больше соответствующего члена гармонического ряда), следовательно, обобщенно гармонический ряд расходится при s .

Осталось доказать сходимость ряда при s > 1 .

Запишем разность :



Очевидно, что , тогда


Распишем полученное неравенство для n = 2, 4, 8, 16, …



Используя эти результаты, с исходным числовым рядом можно провести следующие действия:



Выражение представляет собой сумму геометрической прогрессии, знаменатель которой равен . Так как мы рассматриваем случай при s > 1 , то . Поэтому
. Таким образом, последовательность частичных сумм обобщенно гармонического ряда при s > 1 является возрастающей и в тоже время ограниченной сверху значением , следовательно, она имеет предел, что указывает на сходимость ряда . Доказательство завершено.

Числовой ряд называется знакоположительным , если все его члены положительны, то есть, .

Числовой ряд называется знакочередующимся , если знаки его соседних членов различны. Знакочередующийся числовой ряд можно записать в виде или , где .

Числовой ряд называется знакопеременным , если он содержит бесконечное множество как положительных, так и отрицательных членов.

Знакочередующийся числовой ряд является частным случаем знакопеременного ряда.

Ряды

являются знакоположительным, знакочередующимся и знакопеременным соответственно.

Для знакопеременного ряда существует понятие абсолютной и условной сходимости.

абсолютно сходящимся , если сходится ряд из абсолютных величин его членов, то есть, сходится знакоположительный числовой ряд .

К примеру, числовые ряды и абсолютно сходятся, так как сходится ряд , являющийся суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся , если ряд расходится, а ряд сходится.

В качестве примера условно сходящегося числового ряда можно привести ряд . Числовой ряд , составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, расходящийся, так как является гармоническим. В то же время, исходный ряд является сходящимся, что легко устанавливается с помощью . Таким образом, числовой знакочередующийся ряд условно сходящийся.

Свойства сходящихся числовых рядов.

Пример.

Докажите сходимость числового ряда .

Решение.

Запишем ряд в другом виде . Числовой ряд сходится, так как обобщенно гармонический ряд является сходящимся при s > 1 , а в силу второго свойства сходящихся числовых рядов будет сходится и ряд с числовым коэффициентом .

Пример.

Сходится ли числовой ряд .

Решение.

Преобразуем исходный ряд: . Таким образом, мы получили сумму двух числовых рядов и , причем каждый из них сходится (смотрите предыдущий пример). Следовательно, в силу третьего свойства сходящихся числовых рядов, сходится и исходный ряд.

Пример.

Докажите сходимость числового ряда и вычислите его сумму.

Решение.

Данный числовой ряд можно представить в виде разности двух рядов:

Каждый из этих рядов представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, следовательно, является сходящимся. Третье свойство сходящихся рядов позволяет утверждать, что исходный числовой ряд сходится. Вычислим его сумму.

Первый член ряда есть единица, а знаменатель соответствующей геометрической прогрессии равен 0.5 , следовательно, .

Первым членом ряда является 3 , а знаменатель соответствующей бесконечно убывающей геометрической прогрессии равен 1/3 , поэтому .

Воспользуемся полученными результатами для нахождения суммы исходного числового ряда:

Необходимое условие сходимости ряда.

Если числовой ряд сходится, то предел его k-ого члена равен нулю: .

При исследовании любого числового ряда на сходимость в первую очередь следует проверять выполнение необходимого условия сходимости. Невыполнение этого условия указывает на расходимость числового ряда, то есть, если , то ряд расходится.

С другой стороны нужно понимать, что это условие не является достаточным. То есть, выполнение равенства не говорит о сходимости числового ряда . К примеру, для гармонического ряда необходимое условие сходимости выполняется , а ряд расходится.

Пример.

Исследовать числовой ряд на сходимость.

Решение.

Проверим необходимое условие сходимости числового ряда:

Предел n-ого члена числового ряда не равен нулю, следовательно, ряд расходится.

Достаточные признаки сходимости знакоположительного ряда.

При использовании достаточных признаков для исследования числовых рядов на сходимость постоянно приходится сталкиваться с , так что рекомендуем обращаться к этому разделу при затруднениях.

Необходимое и достаточное условие сходимости знакоположительного числового ряда.

Для сходимости знакоположительного числового ряда необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.

Начнем с признаков сравнения рядов. Их суть заключается в сравнении исследуемого числового ряда с рядом, сходимость или расходимость которого известна.

Первый, второй и третий признаки сравнения.

Первый признак сравнения рядов.

Пусть и - два знакоположительных числовых ряда и выполняется неравенство для всех k = 1, 2, 3, ... Тогда из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости ряда следует расходимость .

Первый признак сравнения используется очень часто и представляет собой очень мощный инструмент исследования числовых рядов на сходимость. Основную проблему представляет подбор подходящего ряда для сравнения. Ряд для сравнения обычно (но не всегда) выбирается так, что показатель степени его k-ого члена равен разности показателей степени числителя и знаменателя k-ого члена исследуемого числового ряда. К примеру, пусть , разность показателей степени числителя и знаменателя равна 2 – 3 = -1 , поэтому, для сравнения выбираем ряд с k-ым членом , то есть, гармонический ряд. Рассмотрим несколько примеров.

Пример.

Установить сходимость или расходимость ряда .

Решение.

Так как предел общего члена ряда равен нулю , то необходимое условие сходимости ряда выполнено.

Несложно заметить, что справедливо неравенство для всех натуральных k . Мы знаем, что гармонический ряд расходится, следовательно, по первому признаку сравнения исходный ряд также является расходящимся.

Пример.

Исследуйте числовой ряд на сходимость.

Решение.

Необходимое условие сходимости числового ряда выполняется, так как . Очевидно выполнение неравенства для любого натурального значения k . Ряд сходится, так как обобщенно гармонический ряд является сходящимся для s > 1 . Таким образом, первый признак сравнения рядов позволяет констатировать сходимость исходного числового ряда.

Пример.

Определите сходимость или расходимость числового ряда .

Решение.

, следовательно, необходимое условие сходимости числового ряда выполнено. Какой ряд выбрать для сравнения? Напрашивается числовой ряд , а чтобы определиться с s , внимательно исследуем числовую последовательность . Члены числовой последовательности возрастают к бесконечности. Таким образом, начиная с некоторого номера N (а именно, с N = 1619 ), члены этой последовательности будут больше 2 . Начиная с этого номера N , справедливо неравенство . Числовой ряд сходится в силу первого свойства сходящихся рядов, так как получается из сходящегося ряда отбрасыванием первых N – 1 члена. Таким образом, по первому признаку сравнения сходящимся является ряд , а в силу первого свойства сходящихся числовых рядов сходится будет и ряд .

Второй признак сравнения.

Пусть и - знакоположительные числовые ряды. Если , то из сходимости ряда следует сходимость . Если , то из расходимости числового ряда следует расходимость .

Следствие.

Если и , то из сходимости одного ряда следует сходимость другого, а из расходимости следует расходимость.

Исследуем ряд на сходимость с помощью второго признака сравнения. В качестве ряда возьмем сходящийся ряд . Найдем предел отношения k-ых членов числовых рядов:

Таким образом, по второму признаку сравнения из сходимости числового ряда следует сходимость исходного ряда.

Пример.

Исследовать на сходимость числовой ряд .

Решение.

Проверим необходимое условие сходимости ряда . Условие выполнено. Для применения второго признака сравнения возьмем гармонический ряд . Найдем предел отношения k-ых членов:

Следовательно, из расходимости гармонического ряда следует расходимость исходного ряда по второму признаку сравнения.

Для информации приведем третий признак сравнения рядов.

Третий признак сравнения.

Пусть и - знакоположительные числовые ряды. Если с некоторого номера N выполняется условие , то из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости ряда следует расходимость .

Признак Даламбера.

Замечание.

Признак Даламбера справедлив, если предел бесконечен, то есть, если , то ряд сходится, если , то ряд расходится.

Если , то признак Даламбера не дает информацию о сходимости или расходимости ряда и требуется дополнительное исследование.

Пример.

Исследуйте числовой ряд на сходимость по признаку Даламбера.

Решение.

Проверим выполнение необходимого условия сходимости числового ряда, предел вычислим по :

Условие выполнено.

Воспользуемся признаком Даламбера:

Таким образом, ряд сходится.

Радикальный признак Коши.

Пусть - знакоположительный числовой ряд. Если , то числовой ряд сходится, если , то ряд расходится.

Замечание.

Радикальный признак Коши справедлив, если предел бесконечен, то есть, если , то ряд сходится, если , то ряд расходится.

Если , то радикальный признак Коши не дает информацию о сходимости или расходимости ряда и требуется дополнительное исследование.

Обычно достаточно легко разглядеть случаи, когда лучше всего использовать радикальный признак Коши. Характерным является случай, когда общий член числового ряда представляет собой показательно степенное выражение. Рассмотрим несколько примеров.

Пример.

Исследовать знакоположительный числовой ряд на сходимость с помощью радикального признака Коши.

Решение.

. По радикальному признаку Коши получаем .

Следовательно, ряд сходится.

Пример.

Сходится ли числовой ряд .

Решение.

Воспользуемся радикальным признаком Коши , следовательно, числовой ряд сходится.

Интегральный признак Коши.

Пусть - знакоположительный числовой ряд. Составим функцию непрерывного аргумента y = f(x) , аналогичную функции . Пусть функция y = f(x) положительная, непрерывная и убывающая на интервале , где ). Тогда в случае сходимости несобственного интеграла сходится исследуемый числовой ряд. Если же несобственный интеграл расходится, то исходный ряд тоже расходится.

При проверке убывания функции y = f(x) на интервале Вам может пригодится теория из раздела .

Пример.

Исследуйте числовой ряд с положительными членами на сходимость.

Решение.

Необходимое условие сходимости ряда выполнено, так как . Рассмотрим функцию . Она положительная, непрерывная и убывающая на интервале . Непрерывность и положительность этой функции не вызывает сомнения, а на убывании остановимся чуть подробнее. Найдем производную:
. Она отрицательная на промежутке , следовательно, функция убывает на этом интервале.

Стандартными методами, но зашли в тупик с очередным примером.

В чём состоит трудность и где может быть загвоздка? Отложим в сторону намыленную верёвку, спокойно проанализируем причины и ознакомимся с практическими приёмами решения.

Первое, и самое главное : в подавляющем большинстве случаев для исследования сходимости ряда необходимо применить какой-нибудь знакомый способ, но общий член ряда набит настолько хитрой начинкой, что совершенно не очевидно, что с ней делать. И вы ходите по кругу: не срабатывает первый признак, не годится второй, не получается третьим, четвёртым, пятым методом, потом черновики отбрасываются в сторону и всё начинается заново. Обычно это связано с недостатком опыта или пробелами в других разделах математического анализа. В частности, если запущены пределы последовательностей и поверхностно разобраны пределы функций , то придётся туго.

Иными словами, человек просто не видит нужный приём решения в силу недостатка знаний или опыта.

Бывает виновато и «затмение», когда, например, элементарно не выполнен необходимый признак сходимости ряда, но по незнанию, невнимательности либо небрежности это выпадает из поля зрения. И получается как в той байке, где профессор математики решил детскую задачку с помощью диких рекуррентных последовательностей и числовых рядов =)

В лучших традициях сразу живые примеры: ряды и их родственники – расходятся, так как в теории доказаны пределы последовательностей . Скорее всего, в первом семестре из вас вытрясут душу за доказательство на 1-2-3 страницы, но сейчас вполне достаточно показать невыполнение необходимого условия сходимости ряда, сославшись на известные факты. Известные? Если студент не знает, что корень энной степени – штука чрезвычайно мощная, то, скажем, ряды поставят его в тупик. Хотя решение, как дважды два: , т.е. по понятной причине оба ряда расходятся. Скромного комментария «данные пределы доказаны в теории» (или даже вовсе его отсутствия) вполне хватит для зачёта, всё-таки выкладки достаточно тяжёлые и относятся они точно не к разделу числовых рядов.

А изучив ближайшие примеры, вы будете только удивляться краткости и прозрачности многих решений:

Пример 1

Исследовать сходимость ряда

Решение : прежде всего, проверяем выполнение необходимого признака сходимости . Это не формальность, а отличный шанс расправиться с примером «малой кровью».

«Осмотр места происшествия» наводит на мысль о расходящемся ряде (случай обобщенного гармонического ряда), но опять же возникает вопрос, как учесть логарифм в числителе?

Примерные образцы оформления задач в конце урока.

Не редкость, когда приходится проводить двухходовое (а то и трёхходовое) рассуждение:

Пример 6

Исследовать сходимость ряда

Решение : сначала аккуратно разбираемся с тарабарщиной числителя. Последовательность – ограничена: . Тогда:

Сравним наш ряд с рядом . В силу только что полученного двойного неравенства, для всех «эн» будет выполнено:

Теперь сравним ряд с расходящимся гармоническим рядом .

Знаменатель дроби меньше знаменателя дроби , поэтому сама дробь – больше дроби (распишите несколько первых членов, если не понятно). Таким образом, для любого «эн»:

А значит, по признаку сравнения ряд расходится вместе с гармоническим рядом.

Если немного видоизменить знаменатель: , то первая часть рассуждений будет аналогична: . Но вот для доказательства расходимости ряда уже применим только предельный признак сравнения, так как неравенство неверно.

Ситуация со сходящимися рядами «зеркальна», то есть, например, для ряда можно использовать оба признака сравнения (неравенство справедливо), а для ряда – только предельный признак (неравенство неверно).

Продолжаем наше сафари по дикой природе, где на горизонте замаячило стадо грациозных и сочных антилоп:

Пример 7

Исследовать сходимость ряда

Решение : необходимый признак сходимости выполняется, и мы снова задаёмся классическим вопросом: что делать? Перед нами нечто напоминающее сходящийся ряд , однако, чёткого правила тут нет – такие ассоциации зачастую обманчивы.

Зачастую, да не в этот раз. С помощью предельного признака сравнения сравним наш ряд со сходящимся рядом . В ходе вычисления предела используем замечательный предел , где в качестве бесконечно малой величины выступает :

сходится вместе с рядом .

Вместо применения стандартного искусственного приёма домножения и деления на «тройку», можно было изначально провести сравнение со сходящимся рядом .
Но здесь желательна оговорка, что константа-множитель общего члена не влияет на сходимость ряда. И как раз в таком стиле оформлено решение следующего примера:

Пример 8

Исследовать сходимость ряда

Образец в конце урока.

Пример 9

Исследовать сходимость ряда

Решение : в предыдущих примерах мы пользовались ограниченностью синуса, но сейчас это свойство оказывается вне игры. Знаменатель дроби более высокого порядка роста , чем числитель, поэтому при аргумент синуса и весь общий член бесконечно малЫ . Необходимое условие сходимости, как понимаете, выполнено, что не позволяет нам отлынивать от работы.

Проведём разведку: в соответствии с замечательной эквивалентностью , мысленно отбросим синус и получим ряд . Ну а уж такое-то….

Оформляем решение:

Сравним исследуемый ряд с расходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:

Заменим бесконечно малую эквивалентной: при .

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится вместе с гармоническим рядом.

Пример 10

Исследовать сходимость ряда

Это пример для самостоятельного решения.

Для планирования дальнейших действий в подобных примерах здОрово помогает мысленное отбрасывание синуса, арксинуса, тангенса, арктангенса. Но помните, такая возможность существует лишь при бесконечно малом аргументе, не так давно мне попался провокационный ряд:

Пример 11

Исследовать сходимость ряда
.

Решение : здесь бесполезно использовать ограниченность арктангенса, и эквивалентность тоже не работает. Выход неожиданно прост:


Исследуемый ряд расходится , так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Вторая причина «затыка на задании» состоит в приличной навороченности общего члена , что вызывает затруднения уже технического характера. Грубо говоря, если рассмотренные выше ряды относятся к разряду «фиг догадаешься», то эти – к категории «хрен решишь». Собственно, это и называют сложностью в «обычном» понимании. Далеко не каждый правильно разрулит несколько факториалов, степеней, корней и прочих обитателей саванны. Больше всего проблем доставляют, конечно же, факториалы:

Пример 12

Исследовать сходимость ряда

Как возвести факториал в степень? Легко. По правилу действий со степенями, необходимо возвести в степень каждый множитель произведения:

И, конечно же, внимание и ещё раз внимание, сам-то по себе признак Даламбера работает традиционно:

Таким образом, исследуемый ряд сходится .

Напоминаю рациональную методику устранения неопределённости : когда понятен порядок роста числителя и знаменателя – совсем не обязательно мучаться и раскрывать скобки.

Пример 13

Исследовать сходимость ряда

Зверь очень редкий, но встречается, и было бы несправедливым обойти его объективом камеры.

Что такое факториал с двойным восклицательным знаком? Факториал «накручивает» произведение положительных чётных чисел:

Аналогично, факториал «накручивает» произведение положительных нечётных чисел:

Проанализируйте, в чём состоит отличие от и

Пример 14

Исследовать сходимость ряда

А в этом задании постарайтесь не запутаться со степенями, замечательными эквивалентностями и замечательными пределами .

Образцы решений и ответы в конце урока.

Но студент достаётся на корм не только тиграм – свою добычу выслеживают и хитрые леопарды:

Пример 15

Исследовать сходимость ряда

Решение : практически мгновенно отпадают необходимый признак сходимости, предельный признак, признаки Даламбера и Коши. Но хуже всего, что бессилен неоднократно выручавший нас признак с неравенствами. Действительно, сравнение с расходящимся рядом невозможно, так как неравенство неверно – множитель-логарифм только увеличивает знаменатель, уменьшая саму дробь по отношению к дроби . И другой глобальный вопрос: а почему мы вообще изначально уверены, что наш ряд непременно обязан расходиться и его нужно сравнивать с каким-либо расходящимся рядом? Вдруг он вообще сходится?

Интегральный признак? Несобственный интеграл навевает траурное настроение. Вот если бы у нас был ряд … тогда да. Стоп! Так и рождаются идеи. Оформляем решение в два шага:

1) Сначала исследуем сходимость ряда . Используем интегральный признак :

Подынтегральная функция непрерывна на

Таким образом, ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

2) Сравним наш ряд с расходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится вместе с рядом .

И в таком решении нет ничего необычного или творческого – так и надо решать!

Предлагаю самостоятельно оформить следующую двухходовку:

Пример 16

Исследовать сходимость ряда

Студент с некоторым опытом в большинстве случаев сразу видит, сходится ряд или расходится, но, бывает, что хищник ловко маскируется в кустах:

Пример 17

Исследовать сходимость ряда

Решение : на первый взгляд вообще не понятно, как ведёт себя этот ряд. А если перед нами туман, то логично начать с черновой проверки необходимого условия сходимости ряда. В целях устранения неопределённости используем непотопляемый метод умножения и деления на сопряженное выражение :

Необходимый признак сходимости не сработал, но вывел на чистую воду нашего тамбовского товарища. В результате выполненных преобразований получен эквивалентный ряд , который в свою очередь сильно напоминает сходящийся ряд .

Записываем чистовое решение:

Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:

Умножим и разделим на сопряженное выражение:

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом .

Возможно, у некоторых возник вопрос, откуда на нашем африканском сафари появились волки? Не знаю. Завезли, наверное. Следующую трофейную шкуру добывать вам:

Пример 18

Исследовать сходимость ряда

Примерный образец решения в конце урока

И, наконец, ещё одна мысль, которая в отчаянии посещает многих студентов: а не использовать ли более редкий признак сходимости ряда ? Признак Раабе, признак Абеля, признак Гаусса, признак Дирихле и прочие неведомые зверушки. Идея рабочая, но в реальных примерах осуществляется очень редко. Лично я за все годы практики лишь 2-3 раза прибегнул к признаку Раабе , когда действительно ничего не помогло из стандартного арсенала. Полностью воспроизвожу ход своего экстремального квеста:

Пример 19

Исследовать сходимость ряда

Решение : Безо всяких сомнений признак Даламбера. В ходе вычислений активно использую свойства степеней, а также второй замечательный предел :

Вот тебе и раз. Признак Даламбера не дал ответа, хотя ничего не предвещало такого исхода.

Пошерстив справочник, я нашёл доказанный в теории малоизвестный предел и применил более сильный радикальный признак Коши:

Вот тебе и два. И, главное, совершенно не понятно, сходится ряд или расходится (крайне редкая для меня ситуация). Необходимый признак сравнения? Без особых надежд – даже если немыслимым образом разберусь с порядком роста числителя и знаменателя, то это ещё не гарантирует вознаграждения.

Полный даламбер, но самое скверное, что ряд нужно решить. Нужно. Ведь это будет первый случай, когда я сдамся. И тут мне вспомнилось, что вроде существуют ещё какие-то более сильные признаки. Передо мной был уже не волк, не леопард и не тигр. Это был огромный слон, размахивающий большим хоботом. Пришлось взять в руки гранатомёт:

Признак Раабе

Рассмотрим положительный числовой ряд .
Если существует предел , то:
а) При ряд расходится . Причём полученное значение может быть нулевым или отрицательным
б) При ряд сходится . В частности, ряд сходится при .
в) При признак Раабе не даёт ответа .

Составляем предел и бережно-аккуратно упрощаем дробь:


Да, картина, мягко говоря, неприятная, но я уже не удивился.Подобные пределы раскалываются с помощью правила Лопиталя , и первая мысль, как потом выяснилась, оказалось правильной. Но сначала я где-то час крутил-вертел предел «обычными» методами, однако неопределённость не желала устраняться. А ходьба по кругу, как подсказывает опыт – типичный признак того, что выбран неверный способ решения.

Пришлось обратиться к русской народной мудрости: «Если ничего не помогает, прочитайте инструкцию». И когда я открыл 2-й том Фихтенгольца, то к великой радости обнаружил исследование идентичного ряда . И дальше пошло решение по образцу.

6. Признак Раабе

Теорема 6. Если существует предел:

то: 1) при ряд (А) сходится, 2) при ряд расходится.

Доказательство. Доказывается вспомогательное утверждение:

Утверждение 1. (12)

Доказательство. Рассматривается выражение:

Прологарифмировали обе части равенства:

Возвратились к пределу:

Из равенства (11), на основании определения предела числовой последовательности, следует, что для любого сколь угодно малого существует, такой что для выполняется неравенство:

1) Пусть, тогда. Обозначили, тогда, начиная с номера, из неравенства (13) следует, что выполняется следующее неравенство:

взяли любое число. По (12), для достаточно больших будет выполняться:

Отсюда, по (14), следует:

Справа - отношение двух последовательных членов ряда Дирихле при; после применения теоремы 4 становится очевидной сходимость ряда (А).

2) Пусть, тогда, аналогично пункту (1), из (13) следует неравенство:

Отсюда сразу нашли:

после применения к ряду (А) и ряду Дирихле теоремы 4 становится видна расходимость ряда (А).

Замечание 5. Признак Раабе значительно сильнее признака Даламбера

Замечание 6. При признак Раабе ответа на поставленный вопрос не дает.

11) Исследовать ряд с помощью признаков Даламбера и Раабе:

Признак Даламбера на вопрос о сходимости данного ряда ответа не дает. Исследуется ряд с помощью признака Раабе:

Получилась неопределенность типа, поэтому применили 1-е правило Лопиталя-Бернулли:

Рад расходится при, сходится при, а при признак Раабе на вопрос о сходимости ответа не дает.

12) Исследовать ряд с помощью признака Раабе:

Получилась неопределенность типа, но, прежде чем применить 1-е правило Лопиталя-Бернулли, находится производная от выражения, для этого оно логарифмируется и ищется производная от логарифма:

Теперь можно найти производную от выражения:

Возвратились к пределу. Применяется 1-е правило Лопиталя-Бернулли:

Рассматривается выражение. После применения к нему 1-го правила Лопиталя-Бернулли:

Отсюда следует, что:

Подставили это равенство в выражение:

Отсюда, по признаку Раабе, следует, что данный ряд расходится при, сходится при, а при признак Раабе ответа на вопрос о сходимости ряда не дает.

Додаткові умови збіжності числових рядів

Візьмемо для ознаки Куммера в якості розбіжного ряду гармонійний ряд (3.1). У цьому випадку ми маємо. Отримана ознака збіжності може бути сформульована таким чином. Теорема (ознака збіжності Раабе). Ряд, збігається, якщо знайдеться таке...

Знакопеременные ряды

Теорема (Признак Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если: Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е. ; Общий член ряда стремится к нулю:. При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенствам. Замечания...

Теорема 1 (признак Даламбера). Пусть дан ряд, где все > 0.Если существует предел, то при 0<1 ряд сходится, а при > 1 ряд сходится.

Знакочередующиеся и знакопеременные ряды

Теорема 2 (признак Коши). Пусть дан ряд, . (1) Если существует конечный предел, то 1) при ряд сходится;2) при ряд расходится.

Знакочередующиеся и знакопеременные ряды

Теорема 3 (интегральный признак сходимости). Пусть функция f(x) определена, непрерывна, положительна и не возрастает на луче. Тогда: 1) числовой ряд сходится...

Знакочередующиеся и знакопеременные ряды

Определение. Числовой ряд a1 - a2 + a3 - … + (- 1) n - 1an + … , где все числа an положительны, называется знакочередующимся. Пример. Ряд является знакочередующимся, а ряд знакочередующимся не является...

Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов

В математических приложениях, а также при решении некоторых задач в экономике, статистике и других областях рассматриваются суммы с бесконечным числом слагаемых. Здесь мы дадим определение того, что понимается под такими суммами...

1.Д.П.: Продлим AC на AM1=OC и BD на DN1=OB. 2. По теореме Пифагора в?M1ON1: M1N1=10. 3. Проведем M1KN1D. MK?AK=K. 4. ?BOC=?KAM1 (поЙ признаку: BO=KM1, OC=AM1, по построению, BOC=KM1A=90, накрест лежащие при BN1 KM1, M1C - секущей) AK=BC. 5. M1KDN1 - параллелограмм, DK=M1N1 =10; MN =DK/2= (AD+BC)/2=5...

Различные методы решения планиметрических задач

1.Д.П.: Продлим AC на AM1=OC и BD на DN=OB. 2. Рассмотрим?OMN, NOM=90°, тогда по теореме Пифагора в?MON MN=10. 3. Постоим: AEMN, DFMN, OKBC. 4. ?AME = ?KOC и?DFN=?BOK (по II признаку) ME=KC, FN=BKMN=BC+AD=a+b=10MN=10/2=5. Ответ: MN=5...

Разрешимость одной краевой задачи

Рассмотрим нелинейную краевую задачу: (1) (2) Имеет место представление (3) Оператор - линейный ограниченный симметрический; имеет спектр в интервале; - положителен, т. е. для любого имеет место неравенство...

Пусть дан положительный ряд: , где. (А) Теорема 5. Если существует предел: , (5) то: 1) при ряд (А) сходится, 2) при ряд расходится. Доказательство. Из равенства (5) на основании определения предела числовой последовательности следует...

Сходимость положительных рядов

Теорема 6. Если существует предел: (18) то: 1) при ряд (А) сходится, 2) при - расходится. Доказательство. Доказывается с помощью схемы Куммера. Пусть. Рассматривается ряд Сопоставим его с рядом, который расходится...

Устойчивость по Ляпунову

Пусть --- решение системы уравнений, определенное на некотором интервале, и --- решение той же системы уравнений, определенное на некотором интервале. Будем говорить, что решение является продолжением решения, если...

Формулировка в предельной форме

Замечание. Если Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): R=1 , то признак Раабе не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Доказательство

Доказательство основано на применении обобщённого признака сравнения при сравнении с обобщённым гармоническим рядом

См. также

• Признак сходимости д’Аламбера - аналогичный признак, основанный на отношении соседних членов.

Напишите отзыв о статье "Признак Раабе"

Литература

• Архипов, Г. И., Садовничий, В. А., Чубариков, В. Н. Лекции по математическому анализу: Учебник университетов и пед. вузов / Под ред. В. А. Садовничего. - М .: Высшая школа , 1999. - 695 с. - ISBN 5-06-003596-4. .
• - статья из Математической энциклопедии

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .

Возьмем в признаке Куммера в качестве расходящегося ряда (12.1) гармонический ряд

В этом случае мы имеем

Полученный признак сходимости может быть сформулирован следующим образом.

Теорема (признак сходимости Раабе). Ряд

сходится, если найдется такое что

Этот ряд расходится, если, начиная с некоторого будет

Предельная форма признака Раабе выглядит следующим образом:

то ряд (12.9) сходится, а если

то расходится.

Признак сходимости Раабе существенно чувствительней, чем сходный с ним признак сходимости Даламбера. Действительно, там, где признак Даламбера, взятый в его предельной форме, устанавливает сходимость ряда (12.9):

там признак Раабе дает .

Аналогично для ряда, на расходимость которого указывает признак Даламбера, по признаку Раабе будет

1. Рассмотрим ряд

Здесь так что при каждом конкретном х

и применение признака Даламбера здесь безрезультатно. Признак же Раабе дает

Отсюда видно, что при рассматриваемый ряд сходится, а при расходится. Заметим попутно, что при ряд (12.10) превращается в гармонический, который, как известно, расходится. То, что признак Раабе в своей исходной (непредельной) форме устанавливает расходимость гармонического ряда, не может считаться самостоятельным результатом, так как само составляющее признак Раабе утверждение как раз опирается на эту расходимость.

Составим отношение соседних членов этого ряда:

Будем разлагать стоящие справа Логарифмы и квадратные корни в соответствии с формулой Тейлора по степеням . В этом и в следующих примерах мы будем пользоваться предельными признаками сходимости. Это значит, что нам придется неограниченно увеличивать значения переменной Поэтому каждая следующая степень будет при увеличении бесконечно малой высшего порядка по сравнению с предыдущими. Отбрасывая все степени, начиная с некоторой, будем совершать ошибку, которая будет мала не только абсолютно, но и по сравнению с последним из удержанных членов. Эта относительная ошибка будет тем меньшей, чем больше значение и исчезает в пределе при неограниченном возрастании . В зависимости от требуемой точности рассуждений мы будем удерживать в формулах Тейлора для соответствующих функций то или иное число членов. Далее мы будем связывать знаком выражения, отличающиеся друг от друга величинами, малыми по сравнению с той точностью, которую дают удержанные и выписанные члены.

Сначала ограничимся членами логарифмов и корней, содержащими в степени не выше первой. Мы будем иметь

Следовательно, и признак сходимости Даламбера здесь нам никакого ответа дать не может.