Zaten eski Mısır'da sadece aritmetik değil, aynı zamanda geometrik ilerlemeyi de biliyorlardı. Örneğin Rhind papirüsünden bir görev: “Yedi yüzün yedi kedisi vardır; her kedi yedi fare yer, her fare yedi başak mısır yer, her kulak yedi ölçek arpa yetiştirebilir. Bu serideki sayılar ve toplamları ne kadar büyük?

Pirinç. 1. Eski Mısır geometrik ilerleme problemi

Bu görev başka zamanlarda farklı halklar arasında farklı varyasyonlarla birçok kez tekrarlandı. Örneğin, XIII.Yüzyılda yazılmıştır. Pisalı Leonardo'nun (Fibonacci) "Abaküs Kitabı"nda, her biri 7 katır ve her biri 7 torba içeren 7 yaşlı kadının Roma'ya (tabii ki hacılar) giderken ortaya çıktığı bir sorun var. 7 somunu var, her birinde 7 bıçak var ve her birinde 7 kılıf var. Sorun kaç tane öğe olduğunu soruyor.

Geometrik ilerlemenin ilk n üyesinin toplamı S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . Bu formül örneğin şu şekilde kanıtlanabilir: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

b 1 q n sayısını S n'ye ekleyelim ve şunu elde edelim:

Dolayısıyla S n (q - 1) = b 1 (q n - 1) ve gerekli formülü elde ederiz.

Zaten Antik Babil'in VI. Yüzyıla kadar uzanan kil tabletlerinden birinde. M.Ö örneğin, 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1 toplamını içerir. Doğru, diğer birçok durumda olduğu gibi, bu gerçeğin Babilliler tarafından nerede bilindiğini bilmiyoruz. .

Birçok kültürde, özellikle de Hindistan'da, geometrik ilerlemenin hızlı büyümesi, defalarca evrenin büyüklüğünün açık bir sembolü olarak kullanılmaktadır. Satrancın ortaya çıkışıyla ilgili meşhur efsanede hükümdar, mucidine bir ödül seçme fırsatı verir ve ondan, satranç tahtasının ilk hücresine konulduğu takdirde elde edilecek miktarda buğday tanesi ister. satranç tahtası, ikincide iki, üçüncüde dört, dördüncüde sekiz vb., sayı her iki katına çıktığında. Vladyka bunun en fazla birkaç çuval olduğunu düşündü ama yanlış hesapladı. Mucidin, satranç tahtasının 64 karesinin tamamı için, 20 basamaklı bir sayı olarak ifade edilen (2 64 - 1) tane almış olması gerektiğini görmek kolaydır; Dünya yüzeyinin tamamı ekilse bile gerekli sayıda tohumun toplanması en az 8 yıl alacaktır. Bu efsane bazen satranç oyununun içinde saklı olan neredeyse sınırsız olasılıklara bir gönderme olarak yorumlanır.

Bu sayının gerçekte 20 haneli olduğu gerçeğini görmek kolaydır:

2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1,6 10 19 (daha doğru bir hesaplama 1,84 10 19 verir). Ama acaba bu sayının hangi rakamla bittiğini bulabilir misiniz?

Payda mutlak değer olarak 1'den büyükse geometrik ilerleme artıyor, birden küçükse azalıyor. İkinci durumda, qn sayısı yeterince büyük n için keyfi olarak küçük olabilir. Artan bir üstel beklenmedik bir hızla artarken, azalan bir üstel de aynı hızla azalır.

N ne kadar büyük olursa, qn sayısı o kadar zayıf olur sıfırdan farklı olur ve S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) geometrik ilerlemesinin n üyelerinin toplamı S \u003d b 1 sayısına o kadar yakın olur / (1 - q) . (Çok mantıklı, örneğin F. Viet). S sayısına sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamı denir. Ancak yüzyıllar boyunca ALL geometrik ilerlemesinin toplamının sonsuz sayıda terimle birlikte ne anlama geldiği sorusu matematikçiler için yeterince açık değildi.

Azalan bir geometrik ilerleme, örneğin Zeno'nun "Isırma" ve "Aşil ve kaplumbağa" aporialarında görülebilir. İlk durumda, tüm yolun (uzunluğu 1 olduğunu varsayalım) sonsuz sayıda parçanın (1/2, 1/4, 1/8, vb.) toplamı olduğu açıkça gösterilmiştir. Bu, elbette şu andan itibaren geçerlidir: sonlu toplam sonsuz geometrik ilerleme hakkındaki fikirlerin bakış açısı. Ve yine de - bu nasıl olabilir?

Aşil ile ilgili çıkmazda durum biraz daha karmaşık çünkü burada ilerlemenin paydası 1/2'ye değil, başka bir sayıya eşit. Örneğin Aşil'in v hızıyla koştuğunu, kaplumbağanın u hızıyla hareket ettiğini ve aralarındaki başlangıç ​​uzaklığının l olduğunu varsayalım. Aşil bu mesafeyi l/v sürede koşacaktır, kaplumbağa ise bu süre içinde lu/v kadar mesafe kat edecektir. Aşil bu bölümden geçtiğinde, onunla kaplumbağa arasındaki mesafe l (u / v) 2 vb.'ye eşit olacaktır. Kaplumbağayı yakalamanın, ilkiyle sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamını bulmak anlamına geldiği ortaya çıktı. terim l ve payda u / v. Bu toplam - Aşil'in sonunda kaplumbağa ile buluşma noktasına kadar koşacağı bölüm - eşittir l / (1 - u / v) \u003d lv / (v - u) . Ancak yine de bu sonucun nasıl yorumlanması gerektiği ve bunun neden anlamlı olduğu uzun süredir pek açık değildi.

Geometrik ilerlemenin toplamı Arşimed tarafından bir parabolün bir bölümünün alanını belirlerken kullanıldı. Parabolün verilen parçası AB kirişi ile sınırlansın ve parabolün D noktasındaki teğeti AB'ye paralel olsun. AB'nin orta noktası C, AC'nin orta noktası E, CB'nin orta noktası F olsun. A, E, F, B noktalarından DC'ye paralel çizgiler çizin; D noktasında çizilen teğet olsun, bu doğrular K, L, M, N noktalarında kesişsin. Ayrıca AD ve DB parçalarını da çizelim. EL doğrusunun AD doğrusunu G noktasında ve parabolün H noktasında kesişmesine izin verin; FM doğrusu DB doğrusunu Q noktasında ve parabol R noktasında kesiyor. Konik bölümlerin genel teorisine göre DC, bir parabolün (yani eksenine paralel bir bölüm) çapıdır; o ve D noktasındaki teğet, parabol denkleminin y 2 \u003d 2px olarak yazıldığı x ve y koordinat eksenleri görevi görebilir (x, D'den belirli bir çapın herhangi bir noktasına olan mesafedir, y, a'nın uzunluğudur) çapın bu noktasından parabolün kendisindeki bir noktaya kadar belirli bir teğete paralel olan bölüm).

Parabol denklemi sayesinde DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA ve DK = 2DL olduğundan KA = 4LH olur. KA = 2LG olduğundan LH = HG. Parabolün ADB bölümünün alanı, ΔADB üçgeninin alanına ve AHD ve DRB bölümlerinin birleştirilmiş alanlarına eşittir. Buna karşılık, AHD segmentinin alanı benzer şekilde AHD üçgeninin alanına ve her biri aynı işlemi gerçekleştirebileceğiniz geri kalan AH ve HD segmentlerine eşittir - bir üçgene (Δ) bölünür ve kalan iki segment (), vb.:

ΔAHD üçgeninin alanı, ΔALD üçgeninin alanının yarısına eşittir (ortak bir AD tabanına sahiptirler ve yükseklikleri 2 kat farklılık gösterir), bu da, alanının yarısına eşittir. ​ΔAKD üçgeni ve dolayısıyla ΔACD üçgeninin alanının yarısı. Böylece, ΔAHD üçgeninin alanı, ΔACD üçgeninin alanının dörtte birine eşittir. Benzer şekilde, ΔDRB üçgeninin alanı, ΔDFB üçgeninin alanının dörtte birine eşittir. Yani, ∆AHD ve ∆DRB üçgenlerinin alanları birlikte alındığında ∆ADB üçgeninin alanının dörtte birine eşittir. Bu işlemin AH, HD, DR ve RB bölümlerine uygulandığı şekilde tekrarlanması, aynı zamanda, alanı birlikte alındığında, ΔAHD ve ΔDRB üçgenlerinin alanından 4 kat daha az olacak olan üçgenleri de onlardan seçecektir. birlikte ve dolayısıyla ΔADB üçgeninin alanından 16 kat daha az. Ve benzeri:

Böylece Arşimed, "bir düz çizgi ile bir parabol arasında kalan her parçanın, kendisiyle aynı tabana ve eşit yüksekliğe sahip bir üçgenin üçte dördü olduğunu" kanıtladı.

Örneğin, dizi \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); \(48\)… geometrik bir ilerlemedir, çünkü sonraki her öğe bir öncekinden iki kat farklıdır (başka bir deyişle, öncekinden ikiyle çarpılarak elde edilebilir):

Herhangi bir dizi gibi, geometrik ilerleme de küçük bir Latin harfiyle gösterilir. Bir ilerlemeyi oluşturan sayılara denir üyeler(veya öğeler). Geometrik ilerlemeyle aynı harfle gösterilirler, ancak sırayla eleman numarasına eşit bir sayısal indeks ile gösterilirler.

Örneğin, geometrik ilerleme \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) \(b_1=3\); elemanlarından oluşur \(b_2=6\); \(b_3=12\) vb. Başka bir deyişle:

Yukarıdaki bilgileri anlarsanız, bu konudaki sorunların çoğunu zaten çözebileceksiniz.

Örnek (OGE):
Çözüm:

Cevap : \(-686\).

Örnek (OGE): İlerlemenin ilk üç terimi göz önüne alındığında \(324\); \(-108\); \(36\)…. \(b_5\) bulun.
Çözüm:

Cevap : \(4\).

Örnek: İlerleme \(b_n=0.8 5^n\) koşuluyla verilir. Hangi sayı bu ilerlemenin üyesidir:

a) \(-5\) b) \(100\) c) \(25\) d) \(0,8\) ?

Çözüm: Görevin ifadesinden bu rakamlardan birinin kesinlikle ilerlememizde olduğu açıktır. Bu nedenle ihtiyacımız olan değeri bulana kadar üyelerini tek tek hesaplayabiliriz. İlerlememiz formülle verildiğinden, elemanların değerlerini farklı \(n\) yerine koyarak hesaplıyoruz:
\(n=1\); \(b_1=0,8 5^1=0,8 5=4\) – listede böyle bir sayı yok. Devam ediyoruz.
\(n=2\); \(b_2=0,8 5^2=0,8 25=20\) - ve bu da orada değil.
\(n=3\); \(b_3=0,8 5^3=0,8 125=100\) – ve işte şampiyonumuz!

Cevap: \(100\).

Örnek (OGE): Geometrik ilerlemenin …\(8\) birkaç ardışık üyesi verilmiştir; \(X\); \(50\); \(-125\)…. \(x\) harfiyle gösterilen elemanın değerini bulun.

Çözüm:

Cevap: \(-20\).

Örnek (OGE): İlerleme \(b_1=7\), \(b_(n+1)=2b_n\) koşullarıyla verilir. Bu ilerlemenin ilk \(4\) teriminin toplamını bulun.

Çözüm:

Cevap: \(105\).

Örnek (OGE): Üstel olarak \(b_6=-11\),\(b_9=704\) olduğu bilinmektedir. Paydayı \(q\) bulun.

Çözüm:

Cevap: \(-4\).

En önemli formüller

Gördüğünüz gibi çoğu geometrik ilerleme problemi saf mantıkla, sadece özün anlaşılmasıyla çözülebilir (bu genellikle matematiğin karakteristik özelliğidir). Ancak bazen belirli formüllerin ve kalıpların bilinmesi çözümü hızlandırır ve büyük ölçüde kolaylaştırır. Bu tür iki formülü inceleyeceğiz.

\(n\)'inci üyenin formülü şöyledir: \(b_n=b_1 q^(n-1)\), burada \(b_1\) ilerlemenin ilk üyesidir; \(n\) – gerekli öğenin numarası; \(q\) ilerlemenin paydasıdır; \(b_n\), \(n\) sayısıyla ilerlemenin bir üyesidir.

Bu formülü kullanarak örneğin ilk örnekteki sorunu tek adımda çözebilirsiniz.

Örnek (OGE): Geometrik ilerleme \(b_1=-2\) koşullarıyla verilir; \(q=7\). \(b_4\) bulun.
Çözüm:

Cevap: \(-686\).

Bu örnek basit olduğundan formül hesaplamaları bizim için çok fazla kolaylaştırmadı. Soruna biraz daha karmaşık bakalım.

Örnek: Geometrik ilerleme şu koşullarla verilir: \(b_1=20480\); \(q=\frac(1)(2)\). \(b_(12)\)'yi bulun.
Çözüm:

Cevap: \(10\).

Elbette, \(\frac(1)(2)\)'i \(11\)'inci kuvvete yükseltmek pek keyifli değil ama yine de \(11\)'in \(20480\)'i ikiye bölmesinden daha kolaydır.

İlk terimlerin toplamı \(n\): \(S_n=\)\(\frac(b_1 (q^n-1))(q-1)\) , burada \(b_1\) ilk terimdir ilerlemenin; \(n\) – toplanan öğelerin sayısı; \(q\) ilerlemenin paydasıdır; \(S_n\), ilerlemenin ilk üyelerinin toplamı \(n\).

Örnek (OGE): Paydası \(5\) olan geometrik bir ilerleme \(b_n\) ve ilk terim \(b_1=\frac(2)(5)\) verildiğinde. Bu ilerlemenin ilk altı teriminin toplamını bulun.
Çözüm:

Cevap: \(1562,4\).

Ve yine sorunu "alından" çözebiliriz - altı öğenin tümünü sırayla bulabilir ve ardından sonuçları ekleyebiliriz. Ancak hesaplamaların sayısı ve dolayısıyla rastgele hata olasılığı önemli ölçüde artacaktır.

Geometrik ilerleme için, pratik kullanışlılığının düşük olması nedeniyle burada dikkate almadığımız birkaç formül daha vardır. Bu formülleri bulabilirsiniz.

Geometrik ilerlemelerin arttırılması ve azaltılması

Makalenin en başında dikkate alınan \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) ilerlemesinin paydası \(q\) birden büyüktür ve bu nedenle sonraki her terim büyüktür bir önceki. Bu tür ilerlemelere denir artan.

Eğer \(q\) birden küçükse ancak pozitifse (yani sıfır ile bir arasında yer alıyorsa), o zaman sonraki her öğe bir öncekinden daha küçük olacaktır. Örneğin ilerlemede \(4\); \(2\); \(1\); \(0,5\); \(0,25\)… \(q\)'nın paydası \(\frac(1)(2)\).

Bu ilerlemelere denir azalan. Bu ilerlemenin hiçbir unsurunun negatif olmayacağını, sadece her adımda küçüldüklerini unutmayın. Yani yavaş yavaş sıfıra yaklaşacağız ama hiçbir zaman ulaşamayacağız ve ötesine geçemeyeceğiz. Matematikçiler bu gibi durumlarda "sıfıra yönelmek" derler.

Negatif bir payda ile geometrik ilerlemenin elemanlarının mutlaka işaret değiştireceğini unutmayın. Örneğin, ilerleme \(5\); \(-15\); \(45\); \(-135\); \(675\)... \(q\)'nın paydası \(-3\)'tir ve bu nedenle elemanların işaretleri "yanıp söner".

Geometrik ilerleme, tanımamız gereken yeni bir tür sayı dizisidir. Başarılı bir tanışma için en azından bilmek ve anlamaktan zarar gelmez. O zaman geometrik ilerlemede sorun olmayacaktır.)

Geometrik ilerleme nedir? Geometrik ilerleme kavramı.

Turumuza her zamanki gibi ilkokulla başlıyoruz. Bitmemiş bir sayı dizisi yazıyorum:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

Bir kalıp yakalayıp bundan sonra hangi sayıların geleceğini söyleyebilir misiniz? Biber belli, 100000, 1000000 ve benzeri rakamlar daha da ileri gidecek. Çok fazla zihinsel stres olmasa bile her şey açık, değil mi?)

TAMAM. Başka bir örnek. Aşağıdaki sırayı yazıyorum:

1, 2, 4, 8, 16, …

16 rakamı ve isimden sonra hangi numaraların geleceğini söyleyebilir misiniz? sekizinci dizi üyesi? Eğer bunun 128 sayısı olacağını anladıysanız, o zaman çok iyi. Yani savaşın yarısı anlamakta Anlam Ve anahtar noktaları geometrik ilerleme zaten yapıldı. Daha da büyüyebilirsin.)

Ve şimdi tekrar duyulardan katı matematiğe dönüyoruz.

Geometrik ilerlemenin önemli anları.

Önemli an #1

Geometrik ilerleme sayıların sırası.İlerleme gibi. Zor bir şey yok. Bu sırayı yeni düzenledim farklı. Dolayısıyla elbette başka bir adı var, evet ...

Önemli an #2

İkinci kilit noktayla birlikte soru daha da çetrefilli hale gelecektir. Biraz geriye gidelim ve aritmetik ilerlemenin temel özelliğini hatırlayalım. İşte burada: her üye bir öncekinden farklıdır aynı miktarda.

Geometrik ilerleme için benzer bir anahtar özelliği formüle etmek mümkün müdür? Biraz düşünün... Verilen örneklere bir bakın. Tahmin mi ettin? Evet! Geometrik bir ilerlemede (herhangi bir!), üyelerinin her biri bir öncekinden farklıdır aynı sayıda. Her zaman!

İlk örnekte bu sayı ondur. Dizinin hangi terimini alırsanız alın, bir öncekinden büyüktür on kere.

İkinci örnekte bu ikidir: her üye bir öncekinden daha büyüktür. iki kere.

Geometrik ilerlemenin aritmetik ilerlemeden farklı olduğu nokta bu kilit noktadadır. Aritmetik ilerlemede her bir sonraki terim elde edilir eklemeönceki döneme göre aynı değerdedir. Ve burada - çarpma işlemiönceki dönemde aynı miktarda. Fark budur.)

Önemli an #3

Bu anahtar nokta aritmetik ilerlemedekiyle tamamen aynıdır. Yani: geometrik ilerlemenin her bir üyesi yerli yerindedir. Her şey aritmetik ilerlemedekiyle tamamen aynı ve yorumların gereksiz olduğunu düşünüyorum. İlk terim var, yüz ve birinci var, vb. En az iki öğeyi yeniden düzenleyelim - desen (ve onunla birlikte geometrik ilerleme) kaybolacaktır. Geriye hiçbir mantığı olmayan bir sayı dizisi kalıyor.

Bu kadar. Geometrik ilerlemenin asıl amacı budur.

Terimler ve tanımlar.

Artık geometrik ilerlemenin anlamını ve kilit noktalarını ele aldıktan sonra teoriye geçebiliriz. Aksi takdirde anlamı anlaşılmadan teori nedir ki, değil mi?

Geometrik ilerleme nedir?

Geometrik ilerleme genel anlamda nasıl yazılır? Sorun değil! İlerlemenin her üyesi de bir mektup olarak yazılır. Yalnızca aritmetik ilerleme için harf genellikle kullanılır "A", geometrik harf için "B". Üye numarası her zamanki gibi belirtilir sağ alt dizin. İlerlemenin üyeleri, virgül veya noktalı virgülle ayrılmış olarak basitçe listelenir.

Bunun gibi:

b1,B 2 , B 3 , B 4 , B 5 , B 6 , …

Kısaca böyle bir ilerleme şu şekilde yazılır: (bn) .

Veya bunun gibi, sonlu ilerlemeler için:

b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 .

b 1 , b 2 , ..., b 29 , b 30 .

Veya kısaca:

(bn), N=30 .

Aslında tüm atamalar budur. Her şey aynı, sadece harf farklı evet.) Ve şimdi doğrudan tanıma geçiyoruz.

Geometrik ilerlemenin tanımı.

Geometrik ilerleme, ilk terimi sıfır olmayan ve sonraki her terim bir önceki terimin aynı sıfır olmayan sayıyla çarpımına eşit olan sayısal bir dizidir.

Bütün tanım bu. Kelime ve ifadelerin çoğu açık ve size tanıdık geliyor. Tabii ki, "parmaklarda" ve genel olarak geometrik ilerlemenin anlamını anlamadığınız sürece. Ancak özellikle dikkat çekmek istediğim birkaç yeni ifade de var.

İlk olarak şu sözler: "ilk dönemi sıfırdan farklı".

İlk dönemle ilgili bu kısıtlama tesadüfen getirilmemiştir. İlk dönem olursa ne olur sizce? B 1 sıfır mı çıkıyor? Her terim bir öncekinden büyükse ikinci terim ne olur? aynı sayıda mı?Üç kere mi diyelim? Bakalım... İlk terimi (yani 0) 3 ile çarpın ve... sıfır elde edin! Peki üçüncü üye? Hem de sıfır! Ve dördüncü terim de sıfırdır! Ve benzeri…

Sadece bir torba simit ve bir dizi sıfır elde ediyoruz:

0, 0, 0, 0, …

Elbette böyle bir dizilimin yaşam hakkı vardır, ancak pratikte hiçbir önemi yoktur. Her şey çok açık. Üyelerinden herhangi biri sıfırdır. Herhangi bir sayıda üyenin toplamı da sıfırdır... Bununla ne gibi ilginç şeyler yapabilirsiniz? Hiç bir şey…

Aşağıdaki anahtar kelimeler: "sıfır olmayan aynı sayıyla çarpılır".

Bu aynı numaranın kendi özel adı da vardır - geometrik ilerlemenin paydası. Hadi çıkmaya başlayalım.)

Geometrik ilerlemenin paydası.

Her şey basit.

Geometrik ilerlemenin paydası sıfırdan farklı bir sayıdır (veya değerdir) kaç seferilerlemenin her üyesi öncekinden daha fazla.

Yine aritmetik ilerlemeye benzetme yapmak gerekirse bu tanımda dikkat edilmesi gereken anahtar kelime kelimedir. "Daha". Bu, geometrik ilerlemenin her teriminin elde edildiği anlamına gelir çarpma işlemi tam da bu paydaya önceki üye

Açıklarım.

Hesaplamak için diyelim ki ikinci alınacak üye Birinciüye ve çarpmak paydaya. Hesaplama için onuncu alınacak üye dokuzuncuüye ve çarpmak paydaya.

Geometrik ilerlemenin paydası herhangi bir şey olabilir. Kesinlikle herkes! Tamsayı, kesirli, pozitif, negatif, irrasyonel - herkes. Sıfır hariç. Tanımdaki "sıfır olmayan" kelimesinin bize anlattığı şey budur. Bu kelimeye neden burada ihtiyaç duyuldu - buna daha sonra değineceğim.

Geometrik ilerlemenin paydası genellikle bir harfle gösterilir Q.

Bunu nasıl bulabilirim? Q? Sorun değil! İlerlemenin herhangi bir dönemini almalıyız ve önceki döneme böl. Bölme: kesir. Bu nedenle adı - "ilerlemenin paydası". Payda genellikle kesir halinde bulunur, evet ...) Mantıksal olarak değer olmasına rağmen Q aranmalı özel geometrik ilerleme, benzer fark aritmetik bir ilerleme için. Ama aramayı kabul ettim payda. Ayrıca tekerleği de yeniden icat etmeyeceğiz.)

Örneğin değeri tanımlayalım. Q bu geometrik ilerleme için:

2, 6, 18, 54, …

Her şey temeldir. biz alıyoruz herhangi Sıra numarası. Ne istiyorsak onu alıyoruz. İlki hariç. Örneğin, 18. Ve şuna böl: önceki numara. Yani saat 6'da.

Şunu elde ederiz:

Q = 18/6 = 3

Bu kadar. Bu doğru cevap. Belirli bir geometrik ilerleme için payda üçtür.

Paydayı bulalım Q başka bir geometrik ilerleme için. Örneğin şöyle:

1, -2, 4, -8, 16, …

Hepsi aynı. Üyelerin sahip olduğu işaretler ne olursa olsun, yine de alıyoruz herhangi sıra numarası (örneğin, 16) ve şuna bölün: önceki numara(yani -8).

Şunu elde ederiz:

D = 16/(-8) = -2

İşte bu kadar.) Bu sefer ilerlemenin paydası negatif çıktı. Eksi iki. Olur.)

Bu ilerlemeyi ele alalım:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

Ve yine dizideki sayıların türüne bakılmaksızın (çift tam sayılar, hatta kesirli, hatta negatif, hatta irrasyonel), herhangi bir sayıyı (örneğin 1/9) alıp bir önceki sayıya (1/3) bölüyoruz. Elbette kesirlerle işlem kurallarına göre.

Şunu elde ederiz:

Hepsi bu.) Burada paydanın kesirli olduğu ortaya çıktı: Q = 1/3.

Ama senin gibi böyle bir "ilerleme" mi?

3, 3, 3, 3, 3, …

Açıkçası burada Q = 1 . Biçimsel olarak bu aynı zamanda geometrik bir ilerlemedir, ancak aynı üyeler.) Ancak bu tür ilerlemeler, çalışma ve pratik uygulama açısından ilginç değildir. Tıpkı katı sıfırlarla ilerlemeler gibi. Bu nedenle onları dikkate almayacağız.

Gördüğünüz gibi ilerlemenin paydası herhangi bir şey olabilir - tam sayı, kesirli, pozitif, negatif - herhangi bir şey! Sadece sıfır olamaz. Nedenini tahmin edemedin mi?

Peki, belirli bir örneğe bakalım, payda olarak alırsak ne olur? Q sıfır.) Örneğin şunu alalım: B 1 = 2 , A Q = 0 . O zaman ikinci dönem ne olacak?

İnanıyoruz:

B 2 = B 1 · Q= 2 0 = 0

Peki üçüncü üye?

B 3 = B 2 · Q= 0 0 = 0

Geometrik ilerlemelerin türleri ve davranışları.

Her şey az çok açıktı: ilerlemedeki fark D olumlu, ilerleme artıyor. Fark negatifse ilerleme azalır. Yalnızca iki seçenek var. Üçüncüsü yok.)

Ancak geometrik ilerleme davranışıyla her şey çok daha ilginç ve çeşitli olacak!)

Üyeler burada davrandıkları anda: artarlar ve azalırlar ve süresiz olarak sıfıra yaklaşırlar ve hatta işaretleri değiştirirler, dönüşümlü olarak "artı" ya da "eksi" ye koşarlar! Ve tüm bu çeşitliliği iyi anlamak gerekir, evet...

Anladık mı?) En basit durumla başlayalım.

Payda pozitiftir ( Q >0)

Pozitif bir payda ile öncelikle geometrik ilerlemenin üyeleri artı sonsuzluk(yani süresiz olarak artar) ve içine girebilir eksi sonsuzluk(yani süresiz olarak azalma). Bu tür ilerleme davranışlarına zaten alıştık.

Örneğin:

(bn): 1, 2, 4, 8, 16, …

Burada her şey basit. İlerlemenin her üyesi öncekinden daha fazla. Ve her üye alır çarpma işlemiönceki üye pozitif sayı +2 (ör. Q = 2 ). Böyle bir ilerlemenin davranışı açıktır: İlerlemenin tüm üyeleri süresiz olarak büyür ve uzaya gider. Üstelik sonsuzluk...

Şimdi ilerleme şöyle:

(bn): -1, -2, -4, -8, -16, …

Burada da ilerlemenin her terimi elde edilir çarpma işlemiönceki üye pozitif+2 numara. Ancak böyle bir ilerlemenin davranışı zaten tam tersidir: ilerlemenin her bir üyesi elde edilir öncekinden daha az ve tüm terimleri süresiz olarak azalarak eksi sonsuza gider.

Şimdi düşünelim: Bu iki ilerlemenin ortak noktası nedir? Bu doğru, payda! Burada ve orada Q = +2 . Pozitif sayı. Deuce. Ve burada davranış Bu iki ilerleme temelde farklıdır! Nedenini tahmin edemedin mi? Evet! Her şey bununla ilgili ilk üye! Müziği sipariş eden odur derler.) Kendiniz görün.

İlk durumda, ilerlemenin ilk terimi pozitif(+1) ve dolayısıyla aşağıdaki terimlerle çarpılarak elde edilen tüm sonraki terimler pozitif payda Q = +2 , Ayrıca olacak pozitif.

Ancak ikinci durumda, ilk terim olumsuz(-1). Bu nedenle, ile çarpılarak elde edilen ilerlemenin sonraki tüm üyeleri pozitif Q = +2 ayrıca elde edilecek olumsuz."Eksi"den "artıya" her zaman "eksi" verir, evet.)

Gördüğünüz gibi, aritmetik ilerlemeden farklı olarak geometrik ilerleme tamamen farklı şekillerde davranabilir. paydadanQ, ama aynı zamanda bağlı olarak ilk üyeden, Evet.)

Unutmayın: geometrik ilerlemenin davranışı benzersiz bir şekilde ilk üyesi tarafından belirlenir. B 1 ve paydaQ .

Ve şimdi daha az tanıdık ama çok daha ilginç vakaların analizine başlıyoruz!

Örneğin aşağıdaki sırayı alın:

(bn): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

Bu dizi aynı zamanda geometrik bir ilerlemedir! Bu ilerlemenin her üyesi ayrıca elde edilir çarpma işlemiönceki dönemde aynı sayıyla. Sadece sayı kesirli: Q = +1/2 . Veya +0,5 . Ve (önemli!) sayı, daha küçük olan:Q = 1/2<1.

Bu geometrik ilerlemenin ilginç yanı nedir? Üyeleri nereye gidiyor? Bir göz atalım:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

Burada ilginç olan ne? İlk olarak, ilerlemenin üyelerindeki azalma hemen dikkat çekicidir: üyelerinin her biri azönceki tam olarak 2 kez. Veya geometrik ilerlemenin tanımına göre her terim Dahaöncesi 1/2 kez, Çünkü ilerleme paydası Q = 1/2 . Ve birden küçük bir pozitif sayıyla çarpıldığında sonuç genellikle azalır, evet ...

Ne Daha Bu ilerlemenin davranışında görülebilir mi? Üyeleri kayboluyor mu? sınırsız, eksi sonsuza mı gideceğiz? HAYIR! Özel bir şekilde ortadan kayboluyorlar. İlk başta oldukça hızlı bir şekilde azalırlar, sonra giderek daha yavaş bir şekilde azalırlar. Ve tüm bu süre boyunca pozitif. Çok çok küçük de olsa. Peki ne için çabalıyorlar? Tahmin etmedin mi? Evet! Sıfıra eğilimliler!) Ve dikkat edin, ilerlememizin üyeleri asla ulaşmayın! Sadece ona sonsuz yakın. Bu çok önemli.)

Böyle bir ilerlemede benzer bir durum olacaktır:

(bn): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

Burada B 1 = -1 , A Q = 1/2 . Her şey aynı, ancak artık üyeler diğer taraftan, aşağıdan sıfıra yaklaşacak. Her zaman kalmak olumsuz.)

Böyle bir geometrik ilerlemenin üyeleri sonsuza kadar sıfıra yaklaşıyor.(olumlu ya da olumsuz olması önemli değil), matematikte özel bir adı vardır - sonsuz azalan geometrik ilerleme. Bu ilerleme o kadar ilginç ve sıradışı ki, ayrı ders .)

Bu yüzden mümkün olan her şeyi düşündük pozitif paydalar hem büyük hem de küçüktür. Yukarıda belirttiğimiz nedenlerden dolayı birin kendisini payda olarak görmüyoruz (üçlü dizili örneği hatırlayın...)

Özetlemek:

pozitifVe birden fazla (Q>1), ardından ilerlemenin üyeleri:

A) süresiz olarak artar (eğerB 1 >0);

b) süresiz olarak azalır (eğerB 1 <0).

Geometrik ilerlemenin paydası ise pozitif Ve birden az (0< Q<1), то члены прогрессии:

a) sıfıra sonsuz yakın üstünde(EğerB 1 >0);

b) sıfıra sonsuz yakın aşağıdan(EğerB 1 <0).

Şimdi davayı değerlendirmek kalıyor Negatif payda.

Payda negatiftir ( Q <0)

Örnek olması açısından çok uzağa gitmeyeceğiz. Aslında neden tüylü büyükanne?!) Örneğin ilerlemenin ilk üyesi olsun B 1 = 1 ve paydayı al q = -2.

Aşağıdaki sırayı elde ederiz:

(bn): 1, -2, 4, -8, 16, …

Ve böyle devam eder.) İlerlemenin her terimi elde edilir çarpma işlemiönceki üye negatif bir sayı-2. Bu durumda tek sıradaki tüm üyeler (birinci, üçüncü, beşinci vb.) pozitif ve çift yerlerde (ikinci, dördüncü vb.) - olumsuz.İşaretler kesinlikle iç içe geçmiştir. Artı-eksi-artı-eksi... Böyle bir geometrik ilerlemeye denir - artan işaret değişiyor.

Üyeleri nereye gidiyor? Ve hiçbir yerde.) Evet, mutlak değerde (yani modulo) ilerlememizin koşulları süresiz olarak artar (dolayısıyla "artan" adı). Ancak aynı zamanda ilerlemenin her üyesi onu dönüşümlü olarak sıcağa, sonra soğuğa atar. Ya artı ya da eksi. İlerlememiz dalgalanıyor... Üstelik dalgalanmaların aralığı her adımda hızla artıyor, evet.) Dolayısıyla ilerleme üyelerinin bir yere gitme istekleri özellikle Burada HAYIR. Ne artı sonsuza, ne eksi sonsuza, ne de sıfıra - hiçbir yere.

Şimdi sıfır ile eksi bir arasında bir kesirli payda düşünün.

Mesela öyle olsun B 1 = 1 , A q = -1/2.

Sonra ilerlemeyi elde ederiz:

(bn): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

Ve yine bir işaret değişimimiz var! Ancak önceki örnekten farklı olarak burada terimlerin sıfıra yaklaşma eğilimi zaten açık.) Ancak bu sefer terimlerimiz sıfıra tam anlamıyla yukarıdan veya aşağıdan değil, yine yaklaşıyor. tereddüt. Alternatif olarak pozitif veya negatif değerler alınır. Ama aynı zamanda onlar modüller aziz sıfıra giderek yaklaşıyoruz.)

Bu geometrik ilerlemeye denir sonsuz azalan alternatif işaret.

Bu iki örnek neden ilginç? Ve her iki durumda da gerçekleşmesi gerçeği alternatif karakterler! Böyle bir çip yalnızca negatif paydalı ilerlemeler için tipiktir, evet.) Bu nedenle, bazı görevlerde alternatif terimlerle geometrik bir ilerleme görürseniz, o zaman paydasının% 100 negatif olduğunu zaten kesin olarak bileceksiniz ve yanılmayacaksınız. tabelada.)

Bu arada, paydanın negatif olması durumunda, ilk terimin işareti ilerlemenin davranışını hiçbir şekilde etkilemez. Dizinin ilk üyesinin işareti ne olursa olsun, her durumda üyelerin değişiminin işareti gözlenecektir. Bütün soru sadece hangi yerlerde(çift veya tek) belirli işaretlere sahip üyeler olacaktır.

Hatırlamak:

Geometrik ilerlemenin paydası ise olumsuz , o zaman ilerleme terimlerinin işaretleri her zaman alternatif.

Aynı zamanda üyelerin kendileri:

a) süresiz olarak artmakmodulo, EğerQ<-1;

b) -1 ise sıfıra sonsuza kadar yaklaşın< Q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

Bu kadar. Tüm tipik vakalar analiz edilir.)

Çeşitli geometrik ilerleme örneklerini ayrıştırma sürecinde periyodik olarak şu kelimeleri kullandım: "sıfıra doğru gidiyor", "artı sonsuza eğilimlidir", eksi sonsuza doğru eğilim gösterir... Sorun değil.) Bu konuşma dönüşleri (ve belirli örnekler), yalnızca ilk tanışmadır. davranışçeşitli sayı dizileri. Geometrik ilerlemeye bir örnek.

İlerleme davranışını neden bilmemiz gerekiyor? Nereye gittiği ne fark eder? Sıfıra, artı sonsuza, eksi sonsuza... Bu bizi ne ilgilendiriyor?

Mesele şu ki, üniversitede, yüksek matematik dersinde, çeşitli sayısal dizilerle (sadece ilerlemelerle değil, herhangi biriyle) çalışma yeteneğine ve şu veya bu dizinin tam olarak nasıl davrandığını hayal etme yeteneğine ihtiyacınız olacak. - sınırsız mı artıyor, azalıyor mu, belirli bir sayıya mı yöneliyor (ve mutlaka sıfıra değil) ya da hatta hiç bir şeye yönelmiyor mu ... Matematik dersinde bu konuya bütün bir bölüm ayrılmıştır. analiz - sınır teorisi. Biraz daha spesifik olarak, konsept sayı dizisinin sınırı.Çok ilginç bir konu! Üniversiteye gidip bunu çözmek mantıklıdır.)

Bu bölümden bazı örnekler (bir limiti olan diziler) ve özellikle, sonsuz azalan geometrik ilerleme okulda öğrenmeye başlayın. Alışmak.)

Dahası, gelecekte dizilerin davranışını iyi bir şekilde inceleme yeteneği büyük ölçüde işinize yarayacak ve çok faydalı olacaktır. fonksiyon araştırması. En çeşitli. Ancak işlevlerle yetkin bir şekilde çalışma yeteneği (türevleri hesaplama, bunları tam olarak keşfetme, grafiklerini oluşturma) zaten matematik seviyenizi önemli ölçüde artırıyor! Şüphe? Gerek yok. Ayrıca sözlerimi de unutmayın.)

Hayattaki geometrik ilerlemeye bakalım mı?

Çevremizdeki hayatta üstel ilerlemeyle çok ama çok sık karşılaşıyoruz. Farkında bile olmadan.)

Örneğin, etrafımızı çok büyük miktarlarda saran ve mikroskop olmadan bile göremediğimiz çeşitli mikroorganizmalar, geometrik ilerlemeyle tam olarak çoğalırlar.

Diyelim ki bir bakteri ikiye bölünerek çoğalıyor ve 2 bakterinin yavrularını veriyor. Sırasıyla her biri çoğalarak ikiye bölünerek 4 bakteriden oluşan ortak bir yavru verir. Bir sonraki nesil 8 bakteri, ardından 16 bakteri, 32, 64 vb. verecek. Birbirini takip eden her nesilde bakteri sayısı iki katına çıkar. Geometrik ilerlemenin tipik bir örneği.)

Ayrıca bazı böcekler (yaprak bitleri, sinekler) katlanarak çoğalır. Ve bu arada bazen tavşanlar da oluyor.)

Günlük hayata daha yakın olan geometrik ilerlemenin bir başka örneği de sözde bileşik faiz. Böylesine ilginç bir olguya genellikle banka mevduatlarında rastlanır ve buna denir. faiz kapitalizasyonu. Ne olduğunu?

Elbette sen de hâlâ gençsin. Okulda okuyorsun, bankalara başvurmuyorsun. Ancak ebeveynleriniz yetişkinler ve bağımsız insanlardır. İşe giderler, günlük ekmekleri için para kazanırlar ve paranın bir kısmını bankaya yatırarak tasarruf ederler.)

Diyelim ki babanız Türkiye'de bir aile tatili için belli bir miktar para biriktirmek istiyor ve üç yıl süreyle bankaya yıllık %10 faizle 50.000 ruble yatırmak istiyor yıllık faiz kapitalizasyonu ile.Üstelik tüm bu süre boyunca depozito ile ilgili hiçbir şey yapılamaz. Depozitoyu yenileyemez veya hesaptan para çekemezsiniz. Bu üç yılda ne kadar kar elde edecek?

Öncelikle yıllık %10'un ne olduğunu bulmanız gerekiyor. Bu demektir bir yıl içinde Banka tarafından ilk yatırılan tutara %10 eklenecektir. Neyden? Tabii ki, ilk depozito tutarı.

Bir yıldaki hesabın tutarını hesaplayın. Depozitonun başlangıçtaki tutarı 50.000 ruble (yani% 100) ise, o zaman bir yıl içinde hesaba ne kadar faiz gelecektir? Bu doğru, %110! 50.000 ruble'den.

Yani 50.000 rublenin% 110'unu düşünüyoruz:

50.000 1,1 \u003d 55.000 ruble.

Değerin %110'unu bulmanın bu değeri 1,1 sayısıyla çarpmak anlamına geldiğini anlıyorsunuzdur umarım? Bunun neden böyle olduğunu anlamıyorsanız beşinci ve altıncı sınıfları hatırlayın. Yani - yüzdelerin kesirler ve parçalarla ilişkisi.)

Böylece ilk yıldaki artış 5000 ruble olacak.

İki yıl sonra hesabınızda ne kadar para olacak? 60.000 ruble mi? Ne yazık ki (ya da daha doğrusu, neyse ki), bu o kadar basit değil. Faiz kapitalizasyonunun tüm püf noktası, her yeni faiz tahakkukunda aynı faizin zaten dikkate alınmasıdır. yeni miktardan! Olan kişiden çoktan hesapta Şu anda. Ve bir önceki döneme ait tahakkuk eden faiz, mevduatın başlangıç ​​tutarına ekleniyor ve böylece yeni faiz hesaplamasına kendileri katılıyor! Yani toplam hesabın tam bir parçası haline gelirler. veya genel başkent. Dolayısıyla adı - faiz kapitalizasyonu.

Ekonomide var. Ve matematikte bu tür yüzdelere denir bileşik faiz. Veya yüzde yüzde.) Onların püf noktası, sıralı hesaplamada yüzdelerin her seferinde hesaplanmasıdır. yeni değerden. Orijinalinden değil...

Bu nedenle toplamı hesaplamak için iki yıl hesapta kalacak tutarın %110'unu hesaplamamız gerekiyor bir yıl içinde. Yani zaten 55.000 ruble'den.

55.000 rublenin% 110'unu düşünüyoruz:

55000 1,1 \u003d 60500 ruble.

Bu, ikinci yıl için yüzde artışın zaten 5.500 ruble ve iki yıl için - 10.500 ruble olacağı anlamına geliyor.

Artık üç yıl içinde hesaptaki miktarın 60.500 rublenin% 110'u olacağını zaten tahmin edebilirsiniz. Bu yine %110 öncekinden (geçen yıl) miktarlar.

Burada şunu düşünüyoruz:

60500 1,1 \u003d 66550 ruble.

Şimdi parasal tutarlarımızı yıllara göre sırayla oluşturuyoruz:

50000;

55000 = 50000 1,1;

60500 = 55000 1,1 = (50000 1,1) 1,1;

66550 = 60500 1,1 = ((50000 1,1) 1,1) 1,1

Peki nasıl? Neden geometrik bir ilerleme olmasın? İlk Üye B 1 = 50000 ve payda Q = 1,1 . Her terim bir öncekinden kesinlikle 1,1 kat daha büyüktür. Her şey tanıma tam olarak uygundur.)

Ve 50.000 rublesi üç yıl boyunca banka hesabındayken babanız yüzde kaç ek ikramiye "düşürecek"?

İnanıyoruz:

66550 - 50000 = 16550 ruble

Elbette kötü. Ancak bu, katkının başlangıçtaki miktarının küçük olması durumunda geçerlidir. Ya daha fazlası varsa? Diyelim ki 50 değil 200 bin ruble? O zaman üç yıllık artış zaten 66.200 ruble olacak (eğer sayarsanız). Bu zaten çok iyi.) Peki ya katkı daha da büyükse? İşte bu...

Sonuç: Başlangıç ​​katkısı ne kadar yüksek olursa, faiz kapitalizasyonu da o kadar karlı olur. Bu nedenle faiz kapitalizasyonlu mevduatlar bankalar tarafından uzun vadeli olarak sağlanmaktadır. Beş yıl diyelim.

Ayrıca grip, kızamık ve daha da korkunç hastalıklar (2000'li yılların başındaki aynı SARS veya Orta Çağ'daki veba) gibi her türlü kötü hastalık katlanarak yayılmayı seviyor. Dolayısıyla salgınların ölçeği, evet ...) Ve bunların hepsi geometrik bir ilerleme nedeniyle tam pozitif payda (Q>1) - çok hızlı büyüyen bir şey! Bakterilerin çoğalmasını hatırlayın: bir bakteriden iki, iki - dört, dört - sekiz vb. Elde edilir ... Herhangi bir enfeksiyonun yayılmasıyla her şey aynıdır.)

Geometrik ilerlemedeki en basit problemler.

Her zaman olduğu gibi basit bir problemle başlayalım. Tamamen anlamını anlamak için.

1. Geometrik ilerlemenin ikinci teriminin 6 ve paydanın -0,5 olduğu bilinmektedir. Birinci, üçüncü ve dördüncü terimleri bulun.

Yani bize verildi sonsuz iyi bilinen geometrik ilerleme ikinci dönem bu ilerleme:

b2 = 6

Ayrıca şunu da biliyoruz ilerleme paydası:

q = -0,5

Ve bulman gerekiyor Ilk üçüncüsü Ve dördüncü bu ilerlemenin üyeleri.

Burada oyunculuk yapıyoruz. Sorunun durumuna göre sırasını yazıyoruz. Doğrudan genel hatlarıyla, ikinci üyenin altı olduğu durumda:

b1,6,B 3 , B 4 , …

Şimdi aramaya başlayalım. Her zaman olduğu gibi en basitinden başlıyoruz. Örneğin üçüncü terimi hesaplayabilirsiniz. b3? Olabilmek! Zaten biliyoruz ki (doğrudan geometrik ilerleme anlamında) üçüncü terim (b3) bir saniyeden fazla (B 2 ) V "Q" bir kere!

O halde şunu yazıyoruz:

b3 =B 2 · Q

Bu ifadede altıyı yerine koyarız b2 ve bunun yerine -0,5 Q ve düşünüyoruz. Ve eksi de göz ardı edilmiyor elbette ...

b 3 \u003d 6 (-0,5) \u003d -3

Bunun gibi. Üçüncü dönem negatif çıktı. Hiç şüphe yok: paydamız Q- olumsuz. Artı eksi ile çarpıldığında elbette eksi olacaktır.)

Şimdi ilerlemenin bir sonraki dördüncü dönemini ele alıyoruz:

b4 =B 3 · Q

b 4 \u003d -3 (-0,5) \u003d 1,5

Dördüncü üye yine artılıdır. Beşinci terim yine eksiyle, altıncı terim artıyla vb. olacak. İşaretler - alternatif!

Böylece üçüncü ve dördüncü üyeler bulundu. Sonuç aşağıdaki sıradır:

b1; 6; -3; 1.5; …

Geriye ilk terimi bulmak kaldı b 1 iyi bilinen ikinciye göre. Bunu yapmak için diğer yöne, sola doğru adım atıyoruz. Bu, bu durumda ilerlemenin ikinci terimini paydayla çarpmamıza gerek olmadığı anlamına gelir, ancak paylaşmak.

Bölüyoruz ve elde ediyoruz:

Hepsi bu kadar.) Sorunun cevabı şu şekilde olacaktır:

-12; 6; -3; 1,5; …

Gördüğünüz gibi çözüm prensibi . Biliyoruz herhangiüye ve payda geometrik ilerleme - başka herhangi bir terimi bulabiliriz. Ne istersek onu buluruz.) Tek fark, toplama/çıkarmanın yerini çarpma/bölmenin almasıdır.

Unutmayın: Eğer bir geometrik ilerlemenin en az bir üyesini ve paydasını biliyorsak, o zaman bu ilerlemenin başka herhangi bir üyesini her zaman bulabiliriz.

Geleneğe göre aşağıdaki görev OGE'nin gerçek versiyonundandır:

2.

…; 150; X; 6; 1.2; …

Peki nasıl? Bu sefer ilk terim yok, payda yok Q, sadece bir sayı dizisi veriliyor... Zaten tanıdık bir şey, değil mi? Evet! Benzer bir problem aritmetik ilerlemede zaten çözülmüştü!

Burada korkmuyoruz. Hepsi aynı. Başınızı çevirin ve geometrik ilerlemenin temel anlamını hatırlayın. Dizimize dikkatlice bakıyoruz ve üç ana olanın (birinci üye, payda, üye numarası) geometrik ilerlemesinin hangi parametrelerinin içinde saklı olduğunu anlıyoruz.

Üye numaraları? Üye numarası yok evet... Ama dört tane var ardışık sayılar. Bu kelimenin ne anlama geldiğini şu aşamada açıklamanın manasını göremiyorum.) İki tane var mı? komşu bilinen numaralar? Yemek yemek! Bunlar 6 ve 1.2'dir. Böylece bulabiliriz ilerleme paydası. 1,2 sayısını alıp bölüyoruz önceki numaraya. Altı için.

Şunu elde ederiz:

Şunu elde ederiz:

X= 150 0,2 = 30

Cevap: X = 30 .

Gördüğünüz gibi her şey oldukça basit. Asıl zorluk yalnızca hesaplamalarda yatmaktadır. Negatif ve kesirli paydalar söz konusu olduğunda bu özellikle zordur. Yani sorun yaşayanlar aritmetiği tekrarlasın! Kesirlerle nasıl çalışılır, negatif sayılarla nasıl çalışılır vs... Aksi halde burada acımasızca yavaşlarsınız.

Şimdi sorunu biraz değiştirelim. Şimdi ilginçleşecek! İçindeki son rakam olan 1.2'yi kaldıralım. Şimdi bu sorunu çözelim:

3. Geometrik ilerlemenin birkaç ardışık terimi yazılır:

…; 150; X; 6; …

İlerlemenin x harfiyle gösterilen terimini bulun.

Her şey aynı, sadece iki komşu ünlü artık ilerlemenin üyelerine sahip değiliz. Bu asıl sorundur. Çünkü büyüklük Q iki komşu terim aracılığıyla zaten kolayca belirleyebiliriz yapamayız. Bu zorluğun üstesinden gelme şansımız var mı? Kesinlikle!

Bilinmeyen terimi yazalım" X"Doğrudan geometrik ilerleme anlamında! Genel anlamda.

Evet evet! Doğrudan bilinmeyen bir paydayla!

Bir yandan x için aşağıdaki oranı yazabiliriz:

X= 150Q

Öte yandan, aynı X'i baştan sona boyama hakkına sahibiz. Sonrakiüye, altı aracılığıyla! Altıyı paydaya bölün.

Bunun gibi:

X = 6/ Q

Açıkçası, şimdi bu oranların her ikisini de eşitleyebiliriz. ifade ettiğimiz için aynısı değer (x), ancak iki Farklı yollar.

Denklemi elde ederiz:

Herşeyi çarpmak Q basitleştirerek, azaltarak denklemi elde ederiz:

q 2 \u003d 1/25

Çözüyoruz ve şunu elde ediyoruz:

q = ±1/5 = ±0,2

Hata! Payda çift! +0,2 ve -0,2. Peki hangisini seçmeli? Çıkmaz sokak?

Sakinlik! evet sorun gerçekten var iki çözüm! Bunda yanlış bir şey yok. Olur.) Mesela her zamanki gibi çözerek iki kök elde ettiğinizde şaşırmaz mısınız? Burada da aynı hikaye var.)

İçin q = +0,2 alacağız:

X \u003d 150 0,2 \u003d 30

Ve için Q = -0,2 irade:

X = 150 (-0,2) = -30

İkili bir cevap alıyoruz: X = 30; X = -30.

Bu ilginç gerçek ne anlama geliyor? Ve var olan iki ilerleme, problemin durumunu karşılıyor!

Bunlar gibi:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

Her ikisi de uygundur.) Cevapların çatallanmasının sebebi nedir sizce? Sırf ilerlemenin belirli bir üyesinin ortadan kaldırılması nedeniyle (1,2), altıdan sonra geliyor. Ve geometrik dizinin yalnızca önceki (n-1)'inci ve sonraki (n+1)'inci üyelerini bildiğimizden, aralarında duran n'inci üye hakkında artık kesin olarak hiçbir şey söyleyemeyiz. İki seçenek var - artı ve eksi.

Ama önemli değil. Kural olarak, geometrik ilerleme görevlerinde kesin bir cevap veren ek bilgiler vardır. Şu sözleri söyleyelim: "İşaret dönüşümlü ilerleme" veya "Pozitif paydalı ilerleme" vb... İpucu görevi görmesi gereken, son cevabı verirken hangi işaretin artı veya eksi seçilmesi gerektiği bu kelimelerdir. Böyle bir bilgi yoksa, o zaman - evet, görev iki çözüm.)

Ve artık kendi başımıza karar veriyoruz.

4. 20 sayısının geometrik ilerlemenin bir üyesi olup olmayacağını belirleyin:

4 ; 6; 9; …

5. Alternatif bir geometrik ilerleme verilmiştir:

…; 5; X ; 45; …

Harfle gösterilen ilerlemenin süresini bulun X .

6. Geometrik ilerlemenin dördüncü pozitif terimini bulun:

625; -250; 100; …

7. Geometrik ilerlemenin ikinci terimi -360, beşinci terimi ise 23.04'tür. Bu ilerlemenin ilk terimini bulun.

Cevaplar (karışıklık içinde): -15; 900; HAYIR; 2.56.

Her şey yolunda gittiyse tebrikler!

Bir şey uymuyor mu? Bir yerlerde çifte cevap var mı? Görevlendirme koşullarını dikkatle okuyoruz!

Son bulmaca çalışmıyor mu? Orada karmaşık bir şey yok.) Doğrudan geometrik ilerlemenin anlamına göre çalışıyoruz. Peki, bir resim çizebilirsin. Yardımcı olur.)

Gördüğünüz gibi her şey basit. İlerleme kısa ise. Peki ya uzunsa? Yoksa istenilen üye sayısı çok mu fazla? Aritmetik ilerlemeye benzeterek, bir şekilde bulmayı kolaylaştıran uygun bir formül elde etmek istiyorum. herhangi herhangi bir geometrik ilerlemenin üyesi numarasına göre. Pek çok kez çarpmadan Q. Ve böyle bir formül var!) Ayrıntılar - bir sonraki derste.

Şimdi sonsuz bir geometrik ilerlemenin toplamı sorununu düşünün. Belirli bir sonsuz ilerlemenin kısmi toplamına, onun ilk terimlerinin toplamı diyelim. Kısmi toplamı sembolle belirtin

Her sonsuz ilerleme için

kısmi toplamlarının (aynı zamanda sonsuz) bir dizisi oluşturulabilir

Artışı sınırsız olan bir dizinin bir limiti olsun

Bu durumda S sayısına, yani ilerlemenin kısmi toplamlarının limitine sonsuz ilerlemenin toplamı denir. Sonsuz azalan geometrik ilerlemenin her zaman bir toplamı olduğunu kanıtlayacağız ve bu toplam için bir formül türeteceğiz (ayrıca sonsuz bir ilerlemenin toplamının olmadığını, var olmadığını da gösterebiliriz).

Kısmi toplam ifadesini formül (91.1)'e göre ilerlemenin üyelerinin toplamı olarak yazıyoruz ve kısmi toplamın limitini göz önünde bulunduruyoruz.

Madde 89'un teoreminden azalan bir ilerleme için; bu nedenle fark limiti teoremini uygulayarak şunu buluruz:

(kural burada da kullanılmıştır: sabit faktör limitin işaretinden çıkarılır). Varlığı kanıtlanır ve aynı zamanda sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamının formülü elde edilir:

Eşitlik (92.1) şu şekilde de yazılabilir:

Burada, iyi tanımlanmış sonlu bir değerin sonsuz bir terim kümesinin toplamına atanması paradoksal görünebilir.

Bu durumu açıklamak için net bir örnek verilebilir. Bir kenarı bire eşit olan bir kare düşünün (Şek. 72). Bu kareyi yatay bir çizgiyle iki eşit parçaya bölelim ve üst parçayı alt parçaya uygulayıp kenarları 2 ve olan bir dikdörtgen oluşturalım. Bundan sonra, bu dikdörtgenin sağ yarısını yatay bir çizgiyle tekrar ikiye bölüyoruz ve üst kısmı alt kısma ekliyoruz (Şekil 72'de gösterildiği gibi). Bu işlemi sürdürerek orijinal alanı 1 olan kareyi sürekli olarak eşit büyüklükteki şekillere (inceltme basamaklı merdiven şeklini alarak) dönüştürüyoruz.

Bu sürecin sonsuz bir şekilde devam etmesiyle, karenin tüm alanı sonsuz sayıda terime ayrışır - tabanları 1 ve yükseklikleri eşit olan dikdörtgenlerin alanları.Dikdörtgenlerin alanları sonsuz bir azalan ilerleme oluşturur, onun toplamı

yani beklendiği gibi karenin alanına eşittir.

Örnek. Aşağıdaki sonsuz ilerlemelerin toplamlarını bulun:

Çözüm, a) Bu ilerlemenin olduğuna dikkat edelim. Dolayısıyla (92.2) formülünden şunu buluruz:

b) Burada aynı formül (92.2) ile elde ettiğimiz anlamına gelir

c) Bu ilerlemenin olduğunu buluyoruz. Dolayısıyla bu ilerlemenin toplamı yoktur.

Bölüm 5'te, sonsuz azalan ilerlemenin terimlerinin toplamına ilişkin formülün, periyodik bir ondalık kesirin sıradan bir kesire dönüştürülmesine uygulanması gösterilmiştir.

Egzersizler

1. Sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin toplamı 3/5, ilk dört teriminin toplamı 13/27'dir. İlerlemenin ilk terimini ve paydasını bulun.

2. İkinci terimin birinci terimden 35 sayı daha küçük ve üçüncü terimin dördüncü terimden 560 birim büyük olduğu alternatif bir geometrik dizi oluşturan dört sayı bulun.

3. Ya şöyle olursa dizisini gösterin

sonsuz derecede azalan bir geometrik ilerleme oluşturur, ardından dizi

herhangi bir form için sonsuz azalan geometrik ilerleme. Bu iddia geçerli mi

Geometrik ilerlemenin terimlerinin çarpımı için bir formül türetin.

SAYISAL DİZİLER VI

§ l48. Sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamı

Şimdiye kadar toplamlardan bahsederken, bu toplamlardaki terim sayısının sonlu olduğunu (örneğin 2, 15, 1000 vb.) varsaydık. Ancak bazı problemleri (özellikle yüksek matematik) çözerken, sonsuz sayıda terimin toplamlarıyla uğraşmak gerekir.

S= A 1 + A 2 + ... + A N + ... . (1)

Bu miktarlar nedir? A-tarikatı sonsuz sayıda terimin toplamı A 1 , A 2 , ..., A N , ... S toplamının limiti olarak adlandırılır N Birinci P sayılar ne zaman P -> ∞ :

S=S N = (A 1 + A 2 + ... + A N ). (2)

Limit (2) elbette mevcut olabilir veya olmayabilir. Buna göre (1) toplamının var olduğu veya yok olduğu söylenir.

Her özel durumda toplamın (1) mevcut olup olmadığını nasıl öğrenebilirim? Bu sorunun genel çözümü programımızın kapsamının çok ötesine geçmektedir. Ancak şimdi dikkate almamız gereken önemli bir özel durum var. Sonsuz azalan geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamından bahsedeceğiz.

İzin vermek A 1 , A 1 Q , A 1 Q 2 , ... sonsuz azalan bir geometrik ilerlemedir. Bu şu anlama gelir: | Q |< 1. Сумма первых P bu ilerlemenin üyeleri eşittir

Değişkenlerin limitlerine ilişkin temel teoremlerden (bkz. § 136) şunu elde ederiz:

Fakat 1 = 1, a n = 0. Bu nedenle

Yani sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin toplamı, bu ilerlemenin ilk teriminin bir eksi bu ilerlemenin paydasına bölünmesine eşittir.

1) 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... geometrik ilerlemesinin toplamı:

ve geometrik ilerlemenin toplamı 12'dir; -6; 3; - 3/2 , ... eşittir

2) Basit bir periyodik kesir 0,454545 ... sıradan bir kesir haline gelir.

Bu sorunu çözmek için bu kesri sonsuz bir toplam olarak temsil ediyoruz:

Bu eşitliğin sağ tarafı, ilk terimi 45/100, paydası 1/100 olan sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamıdır. Bu yüzden

Açıklanan şekilde, basit periyodik kesirleri sıradan kesirlere dönüştürmenin genel kuralı da elde edilebilir (bkz. Bölüm II, § 38):

Basit bir periyodik kesiri sıradan bir kesire dönüştürmek için, aşağıdaki gibi ilerlemeniz gerekir: ondalık kesrin periyodunu paya ve paydaya koyun - dönemdeki basamak sayısı kadar alınan dokuzdan oluşan bir sayı ondalık kesir.

3) Karışık periyodik kesir 0,58333 .... sıradan bir kesire dönüşür.

Bu kesri sonsuz bir toplam olarak temsil edelim:

Bu eşitliğin sağ tarafında 3/1000'den başlayarak tüm terimler, ilk terimi 3/1000, paydası 1/10 olan sonsuz azalan geometrik dizi oluşturur. Bu yüzden

Açıklanan şekilde, karışık periyodik kesirlerin sıradan kesirlere dönüştürülmesine ilişkin genel kural da elde edilebilir (bkz. Bölüm II, § 38). Buraya bilinçli olarak dahil etmiyoruz. Bu hantal kuralı ezberlemenize gerek yok. Herhangi bir karışık periyodik kesirin, sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin ve bir sayının toplamı olarak temsil edilebileceğini bilmek çok daha faydalıdır. Ve formül

Sonsuza kadar azalan geometrik ilerlemenin toplamı için elbette şunu unutmamak gerekir.

Bir alıştırma olarak sizi aşağıdaki 995-1000 numaralı problemlere ek olarak bir kez daha 301 § 38 numaralı probleme dönmeye davet ediyoruz.

Egzersizler

995. Sonsuza kadar azalan geometrik ilerlemenin toplamına ne denir?

996. Sonsuz azalan geometrik ilerlemelerin toplamlarını bulun:

997. Hangi değerler için X ilerleme

sonsuzca azalıyor mu? Böyle bir ilerlemenin toplamını bulun.

998. Bir kenarı olan bir eşkenar üçgende A kenarlarının orta noktaları birleştirilerek yeni bir üçgen yazılır; bu üçgenin içine aynı şekilde yeni bir üçgen yazılır ve bu böyle sonsuza kadar devam eder.

a) tüm bu üçgenlerin çevrelerinin toplamı;

b) alanlarının toplamı.

999. Kenarı olan bir karede A kenarlarının orta noktaları birleştirilerek yeni bir kare yazılır; Bu karenin içine de aynı şekilde bir kare yazılır ve bu böyle sonsuza kadar devam eder. Bu karelerin çevrelerinin toplamını ve alanlarının toplamını bulun.

1000. Toplamı 25/4, terimlerinin kareleri toplamı 625/24 olacak şekilde sonsuz azalan bir geometrik ilerleme yapın.