Olasılık teorisinin temelleri.

Olasılık teorisi

Etkinlik

Üç tür olay vardır:

a) güvenilir

b) imkansız

c) rastgele

Güvenilir Etkinlik Örneğin:

İmkansız olay Örneğin:

rastgele olay Örneğin:

Olaylar denir cüsseli Örneğin:

Eşit Olasılıktaki Olaylar Örneğin:

Ortak Etkinlikler Örneğin:

Uyumsuz olaylar Örneğin

tam bir etkinlik grubu Örneğin:

Zıt olaylar Örneğin:

Rastgele bir olayın olasılığı.

Olasılık Rastgele olay (P(A) ile gösterilir), bize bir olayın meydana gelme olasılığının derecesini anlatan bir sayıdır.

Olasılığın iki tanımı vardır: klasik ve istatistiksel, her birinin kendine göre avantajları ve dezavantajları vardır.

Olasılığın klasik tanımı.

Olay Olasılığı belirli bir olayı destekleyen sonuçların sayısının oranıdır ( M), belirli bir deneyin tüm uyumsuz ve eşit derecede olası sonuçlarının toplam sayısına ( N).

Eğer A rastgele bir olaysa, o zaman

Eğer bir- kesin olay , O

Eğer bir- imkansız olay , O

Örnek: Zar atıldığında 6 olası sonuç vardır

Olay A:çift ​​sayı çıkacaktır. A olayını destekleyen sonuçların sayısı, m=3 .

Avantajları: Olasılığı test yapmadan hesaplayabilirsiniz.

Kusurlar: 1) deneyin sonuçlarının sayısı her zaman bilinmez,

2) Test sonucunu eşit derecede olası ve uyumsuz olaylar şeklinde temsil etmek çoğu zaman imkansızdır.

Bu nedenle pratikte olasılığın istatistiksel tanımı sıklıkla kullanılmaktadır.

Olasılığın istatistiksel tanımı.

A rastgele bir olay olsun, deney gerçekleştirildi N deney sonucunda A olayı meydana geldi M bir kez, sonra M- A olayının meydana gelme sıklığı ve değer denir göreceli frekans olaylarA.

Farklı için N belirgin şekilde farklılık gösterebilir, ancak uzun bir dizi deney yaparsak; , daha sonra belirli bir sınıra kadar.

İstatistiksel Olasılık A olayı, deneme sayısında sınırsız bir artışla birlikte, göreceli sıklığının yöneldiği sınır olarak adlandırılır.

Örnek: 1000 yeni doğan bebekten 517'si erkek. Erkek çocukların göreceli doğum oranını bulun. Ancak biliniyor ki

Olasılık bir sayı olduğundan dolayısıyla bu sayılarla aritmetik işlemler yapılabilir.

Toplam Olasılık Formülü.

Bazen A olayı yalnızca birkaç başka olaydan biriyle birlikte ortaya çıkabilir; bunlara genel olarak denir. hipotezler ve atayın Daha sonra tam olasılık A olayı aşağıdaki formülle hesaplanır:

Örnek: H ₃

H ₁ H ₂ Etkinlik A: hadi eve gidelim.

Bayes formülleri.

Önce deneyimlerimiz hipotez olasılıklarına sahipti

(Örnekte).

Deneyden sonra:

A olayı gerçekleşse (yani eve çarpsa), hipotezlerin olasılıkları değişmiştir. A olayının gerçekleşmesi koşuluyla hipotezlerin olasılıklarını hesaplamak için Bayes formülleri kullanılır:

Örnek

Rastgele değer.

Rastgele değer rastgele koşullara bağlı olarak değerlerini alan bir değişkendir.

.Ayrık rassal değişken (noktalı) bireysel sayısal değerleri alır (sınıftaki öğrenci sayısı, ölme: 1,2,3,4,5,6)

Sürekli rastgele değişken belirli bir aralıktan herhangi bir değer alır (vücut ağırlığı, öğrencilerin boyu).

Rastgele değişkenler Latin alfabesinin son büyük harfleriyle gösterilir: X, Y, Z… ve büyük harflerle olası değerleri:

Bir rastgele değişkenin olası değerleri ile bu değerleri alma olasılıkları arasında ilişki kuran herhangi bir kurala denir. rastgele değişken dağılım kanunu .

Rastgele bir değişkenin dağılım yasası ayarlanabilir gibi :

1).Tablolar

2). Grafik Sanatları

3) Dağıtım fonksiyonları.

dağıtım işlevi.

1). f(x) negatif olmayan bir fonksiyondur (f(x)≥0).

2). Temel bir aralığa ulaşma olasılığı dx=(x+Δx)-x, f(x)dx=dP'ye eşittir.

3) Aralıkta rastgele bir değişkene rastlama olasılığı:

4). Normalleştirme koşulu: eğrinin altındaki alan birliğe eşittir.

Toplam Olasılık Formülü.

Bayes formülleri.

Olasılık teorisinin temelleri.

Olasılık teorisi büyük rastgele olaylardaki kalıpları inceleyen bir matematik dalıdır.

Etkinlik bir deney veya test sonucunda ortaya çıkabilecek veya çıkmayabilecek bir gerçektir.

Üç tür olay vardır:

a) güvenilir

b) imkansız

c) rastgele

Güvenilir Etkinlik mutlaka bu deneyim sonucunda gerçekleşecek bir olaydır.( Örneğin: zar atıldığında 1≤tamsayı≤6 gelecektir).

İmkansız olay verilen deneyimin koşulları altında asla gerçekleşmeyecek bir olaydır. .( Örneğin: zar atıldığında ≥ 7 rakamı gelecektir, örneğin 10).

rastgele olay Belirli bir deneyimin sonucu olarak meydana gelebilecek veya gelmeyebilecek bir olaydır. ( Örneğin: zar bir kez atıldı - 3 sayısının kaybı rastgele bir olaydır).

Etkinlikler Latin alfabesinin ilk büyük harfleriyle belirtilir: A, B, C, D,.

Olaylar denir cüsseli Yeterince fazla sayıda denemede aynı anda ortaya çıkarlarsa veya birçok kez tekrarlanırlarsa. ( Örneğin: birçok kişi zar atar veya bir kişi zarları birçok kez atar).

Rastgele olayların sınıflandırılması.

Eşit Olasılıktaki Olaylar Hiçbiri diğerlerinden daha mümkün olmayan olaylardır ( Örneğin: Küpün hangi tarafa düştüğü umurunda değil.

Ortak Etkinlikler Belirli bir deneyimin sonucu olarak eş zamanlı olarak meydana gelebilecek olaylardır. ( Örneğin: 2 zar atma - 1 numara ve 3 numara atma - ortak etkinlikler).

Uyumsuz olaylar Birinin gerçekleşmesi diğerlerinin meydana gelmesini dışlayacak şekilde eşit olasılıklı olaylardır. Örneğin: 1 zar atılır - 3 sayısının yuvarlanması diğer sayıların atılmasını hariç tutar).

Birkaç rastgele olay: biçim tam bir etkinlik grubu eğer her biri bu deneyimin bir sonucu olarak ortaya çıkabiliyorsa. ( Örneğin: sayılar 1,2,3,4,5,6 - bir zarın atılmasıyla ilgili tam bir olay grubu).

Zıt olaylar tam bir olaylar grubunu oluşturan eşit derecede olası uyumsuz olaylardır. Olayın meydana gelmesi, olayın meydana gelmesini dışlar. ( Örneğin: tura veya yazı, vurmak veya ıskalamak).

Olaylar rastgele olmasına rağmen çok sayıda deneyle olasılık teorisinin incelediği yasalara uyarlar.

Başlangıçta, sadece zar oyununa ilişkin bilgi ve ampirik gözlemlerin bir derlemesi olan olasılık teorisi, sağlam bir bilim haline geldi. Fermat ve Pascal buna matematiksel bir çerçeve veren ilk kişilerdi.

Ebedi olana dair düşüncelerden olasılık teorisine

Olasılık teorisinin birçok temel formülü borçlu olduğu iki kişi, Blaise Pascal ve Thomas Bayes, son derece dindar insanlar olarak biliniyor; ikincisi bir Presbiteryen papazıydı. Görünüşe göre, bu iki bilim adamının, favorilerine iyi şanslar bahşederek belirli bir Şans hakkındaki görüşün yanlışlığını kanıtlama arzusu, bu alanda araştırmalara ivme kazandırdı. Sonuçta, aslında herhangi bir şans oyunu, kazançları ve kayıpları ile sadece matematiksel ilkelerin bir senfonisidir.

Hem kumarbaz hem de bilime kayıtsız olmayan Chevalier de Mere'nin heyecanı sayesinde Pascal, olasılığı hesaplamanın bir yolunu bulmak zorunda kaldı. De Mere şu soruyla ilgilendi: "12 puan alma olasılığının %50'yi aşması için iki zarı çiftler halinde kaç kez atmanız gerekir?". Beyefendiyi son derece ilgilendiren ikinci soru: "Bitmemiş oyunda bahis katılımcılar arasında nasıl paylaştırılır?" Elbette Pascal, olasılık teorisinin gelişiminin farkında olmadan başlatıcısı haline gelen de Mere'nin her iki sorusunu da başarıyla yanıtladı. De Mere'nin kişiliğinin edebiyatta değil, bu alanda bilinmesi ilginçtir.

Daha önce hiçbir matematikçi olayların olasılıklarını hesaplamaya çalışmamıştı çünkü bunun yalnızca tahmine dayalı bir çözüm olduğuna inanılıyordu. Blaise Pascal bir olayın olasılığının ilk tanımını yapmış ve bunun matematiksel olarak gerekçelendirilebilecek spesifik bir rakam olduğunu göstermiştir. Olasılık teorisi istatistiğin temeli haline geldi ve modern bilimde yaygın olarak kullanıldı.

Rastgelelik nedir

Sonsuz sayıda tekrarlanabilen bir test düşünürsek, rastgele bir olay tanımlayabiliriz. Bu, deneyimin olası sonuçlarından biridir.

Deneyim, belirli eylemlerin sabit koşullar altında uygulanmasıdır.

Deneyim sonuçlarıyla çalışabilmek için olaylar genellikle A, B, C, D, E harfleriyle gösterilir ...

Rastgele bir olayın olasılığı

Olasılığın matematiksel kısmına geçebilmek için tüm bileşenlerini tanımlamak gerekir.

Bir olayın olasılığı, bir deneyimin sonucu olarak bazı olayların (A veya B) meydana gelme olasılığının sayısal bir ölçüsüdür. Olasılık P(A) veya P(B) olarak gösterilir.

Olasılık teorisi:

• güvenilir deneyin sonucunda olayın gerçekleşmesi garanti edilir Р(Ω) = 1;
• imkansız olay hiçbir zaman gerçekleşemez Р(Ø) = 0;
• rastgele olay kesin ile imkansız arasında yer alır, yani gerçekleşme olasılığı mümkündür ancak garanti edilmez (rastgele bir olayın olasılığı her zaman 0≤P(A)≤1 dahilindedir).

Olaylar arasındaki ilişkiler

Olay, A veya B bileşenlerinden en az birinin veya her ikisinin - A ve B - uygulanmasında sayıldığında, A + B olaylarının hem biri hem de toplamı dikkate alınır.

Birbirleriyle ilişkili olarak olaylar şunlar olabilir:

• Aynı derecede mümkün.
• uyumlu.
• Uyumsuz.
• Zıt (birbirini dışlayan).
• Bağımlı.

Eğer iki olay eşit olasılıkla gerçekleşebiliyorsa, o zaman bunlar eşit derecede mümkün.

A olayının meydana gelmesi B olayının meydana gelme olasılığını ortadan kaldırmıyorsa, bu durumda uyumlu.

A ve B olayları aynı deneyde aynı anda meydana gelmiyorsa bu olaylara denir. uyumsuz. Yazı tura atmak buna iyi bir örnektir: yazı gelmesi otomatik olarak tura gelmemesi anlamına gelir.

Bu tür uyumsuz olayların toplamının olasılığı, olayların her birinin olasılıklarının toplamından oluşur:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Bir olayın gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşmesini imkansız hale getiriyorsa bunlara zıt denir. Daha sonra bunlardan biri A, diğeri - Ā olarak adlandırılır ("A değil" olarak okunur). A olayının gerçekleşmesi, Ā olayının gerçekleşmediği anlamına gelir. Bu iki olay, olasılık toplamı 1'e eşit olan tam bir grup oluşturur.

Bağımlı olaylar birbirlerinin olasılığını azaltarak veya artırarak karşılıklı etkiye sahiptir.

Olaylar arasındaki ilişkiler. Örnekler

Olasılık teorisinin ilkelerini ve olayların birleşimini örnekler kullanarak anlamak çok daha kolaydır.

Yapılacak deney topları kutudan çıkarmaktır ve her deneyin sonucu temel bir sonuçtur.

Bir olay, bir deneyimin olası sonuçlarından biridir - kırmızı bir top, mavi bir top, altı numaralı bir top vb.

1 numaralı test. 6 top vardır; bunlardan üçü mavi tek sayılı, diğer üçü kırmızı olup çift sayılıdır.

2 numaralı test. Birden altıya kadar sayıların yazılı olduğu 6 mavi top vardır.

Bu örneğe dayanarak kombinasyonları adlandırabiliriz:

• Güvenilir olay.İspanyolca'da 2 numara, "mavi topu al" olayı güvenilirdir, çünkü gerçekleşme olasılığı 1'dir, çünkü tüm toplar mavidir ve kaçırma söz konusu olamaz. Oysa "1 numaradan topu alma" olayı rastgeledir.
• İmkansız olay.İspanyolca'da Mavi ve kırmızı toplarla 1 numara olan "mor topu alma" olayı, gerçekleşme olasılığı 0 olduğundan imkansızdır.
• Eşdeğer olaylar.İspanyolca'da 1 numarada, "2 numarayla topu al" ve "3 numarayla topu al" olayları eşit olasılıklıdır ve "çift sayıyla topu al" ve "2 numarayla topu al" olayları eşit olasılıklıdır ” farklı olasılıklara sahip.
• Uyumlu olaylar. Bir zarı art arda iki kez atarken altı almak uyumlu olaylardır.
• Uyumsuz olaylar. Aynı İspanyolcada 1 numaralı "kırmızı topu al" ve "tek sayıyla topu al" etkinlikleri aynı deneyimde birleştirilemez.
• zıt olaylar. Bunun en çarpıcı örneği, tura çekmenin yazı çekmemekle aynı olduğu ve olasılıklarının toplamının her zaman 1 (tam grup) olduğu yazı tura atmadır.
• Bağımlı olaylar. Yani, İspanyolca 1 numara, kırmızı topu arka arkaya iki kez çıkarma hedefini kendinize belirleyebilirsiniz. İlk defa çıkarmak veya çıkarmamak, ikinci defa çıkarma olasılığını etkiler.

İlk olayın ikinci olayın olasılığını (%40 ve %60) önemli ölçüde etkilediği görülmektedir.

Olay Olasılığı Formülü

Falcılıktan kesin verilere geçiş, konunun matematiksel düzleme aktarılmasıyla gerçekleşir. Yani, "yüksek olasılık" veya "minimum olasılık" gibi rastgele bir olaya ilişkin yargılar, belirli sayısal verilere çevrilebilir. Bu tür materyallerin değerlendirilmesine, karşılaştırılması ve daha karmaşık hesaplamalara dahil edilmesine zaten izin verilmektedir.

Hesaplama açısından bakıldığında, bir olayın olasılığının tanımı, temel olumlu sonuçların sayısının, belirli bir olayla ilgili deneyimin tüm olası sonuçlarının sayısına oranıdır. Olasılık P (A) ile gösterilir; burada P, Fransızca'dan "olasılık" olarak çevrilen "olasılık" kelimesi anlamına gelir.

Yani bir olayın olasılığının formülü şu şekildedir:

M, A olayı için olumlu sonuçların sayısı iken, n, bu deneyim için olası tüm sonuçların toplamıdır. Bir olayın olasılığı her zaman 0 ile 1 arasındadır:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Bir olayın olasılığının hesaplanması. Örnek

İspanyolcayı ele alalım. Daha önce açıklanan toplarla 1 numara: 1/3/5 numaralı 3 mavi top ve 2/4/6 numaralı 3 kırmızı top.

Bu teste dayanarak birkaç farklı görev dikkate alınabilir:

• A - kırmızı top düşüşü. 3 kırmızı top var ve toplamda 6 değişken var.Bu en basit örnektir, bir olayın olasılığı P(A)=3/6=0,5'tir.
• B - çift sayıyı düşürmek. Toplamda 3 (2,4,6) çift sayı vardır ve olası sayısal seçeneklerin toplam sayısı 6'dır. Bu olayın olasılığı P(B)=3/6=0,5'tir.
• C - 2'den büyük bir sayının kaybı. Olası sonuçların toplam sayısı içinde bu tür 4 seçenek (3,4,5,6) vardır 6. C olayının olasılığı P(C)=4/6= 0.67.

Hesaplamalardan da anlaşılacağı üzere C olayının olası olumlu sonuç sayısı A ve B olayına göre daha fazla olduğu için olasılığı daha yüksektir.

Uyumsuz olaylar

Bu tür olaylar aynı deneyimde aynı anda ortaya çıkamaz. İspanyolca olduğu gibi 1 numara, aynı anda hem mavi hem de kırmızı top elde etmek imkansızdır. Yani mavi veya kırmızı bir top alabilirsiniz. Aynı şekilde bir zarda aynı anda hem çift hem de tek sayı bulunamaz.

İki olayın olasılığı, toplamlarının veya çarpımlarının olasılığı olarak kabul edilir. Bu tür A + B olaylarının toplamı, A veya B olayının ortaya çıkmasından ve bunların AB'sinin çarpımından - her ikisinin de ortaya çıkmasından oluşan bir olay olarak kabul edilir. Örneğin, tek atışta iki zarın yüzünde aynı anda iki altının görünmesi.

Birkaç olayın toplamı, bunlardan en az birinin meydana geldiğini ima eden bir olaydır. Çeşitli olayların ürünü, hepsinin ortak olarak ortaya çıkmasıdır.

Olasılık teorisinde, kural olarak, "ve" birliğinin kullanımı toplamı, "veya" birliği - çarpmayı belirtir. Örnekli formüller olasılık teorisindeki toplama ve çarpma mantığını anlamanıza yardımcı olacaktır.

Uyumsuz olayların toplamının olasılığı

Uyumsuz olayların olasılığı dikkate alınırsa, olayların toplamının olasılığı, olasılıklarının toplamına eşittir:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Örneğin: İspanyolca'da olasılığını hesaplıyoruz. Mavi ve kırmızı toplarla 1 numaraya 1 ile 4 arasında bir sayı düşecek. Tek hamlede değil, temel bileşenlerin olasılıklarının toplamına göre hesaplayacağız. Yani böyle bir deneyde yalnızca 6 top veya tüm olası sonuçlardan 6'sı vardır. Koşulu sağlayan sayılar 2 ve 3'tür. 2 sayısının gelme olasılığı 1/6, 3 sayısının gelme olasılığı da 1/6'dır. 1 ile 4 arasında bir sayı gelme olasılığı:

Tam bir grubun uyumsuz olaylarının toplamının olasılığı 1'dir.

Yani, bir küple yapılan deneyde tüm sayıları alma olasılıklarını toplarsak, sonuç olarak bir tane elde ederiz.

Bu aynı zamanda zıt olaylar için de geçerlidir; örneğin, bir tarafının A olayı, diğer tarafının da karşıt olayı olduğu madeni para deneyinde bilindiği gibi,

Р(А) + Р(Ā) = 1

Uyumsuz olaylar üretme olasılığı

Bir gözlemde iki veya daha fazla uyumsuz olayın meydana gelmesi dikkate alındığında olasılıkların çarpımı kullanılır. A ve B olaylarının aynı anda ortaya çıkma olasılığı, olasılıklarının çarpımına eşittir veya:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Örneğin, olasılık İki deneme sonucunda 1 numaraya eşit iki kez mavi top görünecektir.

Yani, topların çıkarılmasıyla ilgili iki deneme sonucunda yalnızca mavi topların çıkarılacağı bir olayın meydana gelme olasılığı% 25'tir. Bu problem üzerinde pratik deneyler yapmak ve durumun gerçekten böyle olup olmadığını görmek çok kolaydır.

Ortak Etkinlikler

Birinin ortaya çıkışı diğerinin görünümüyle örtüştüğünde olaylar ortak olarak kabul edilir. Ortak olmalarına rağmen bağımsız olayların olasılığı dikkate alınır. Örneğin iki zar atmak, her ikisine de 6 rakamı düştüğünde sonuç verebilir.Olaylar çakışıp aynı anda ortaya çıkmasına rağmen birbirlerinden bağımsızdırlar - yalnızca altılıdan biri düşebilir, ikinci zarın hiçbir özelliği yoktur. üzerindeki etkisi.

Ortak olayların olasılığı, toplamlarının olasılığı olarak kabul edilir.

Ortak olayların toplamının olasılığı. Örnek

Birbirlerine göre ortak olan A ve B olaylarının toplamının olasılığı, olayın olasılıklarının toplamı eksi bunların sonucunun olasılığına (yani ortak gerçekleşmelerine) eşittir:

R eklemi. (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

Hedefi tek atışla vurma olasılığının 0,4 olduğunu varsayalım. Daha sonra A olayı - ilk denemede hedefi vurmak, B - ikinci denemede. Bu olaylar ortaktır, çünkü hedefi hem birinci atıştan hem de ikinci atıştan vurmak mümkündür. Ancak olaylar bağımlı değildir. Hedefin iki atışla (en az bir) vurulması olayının olasılığı nedir? Formüle göre:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Sorunun cevabı şu: "İki atışta hedefi vurma ihtimali %64."

Bir olayın olasılığına ilişkin bu formül, bir olayın ortak meydana gelme olasılığının P(AB) = 0 olduğu uyumsuz olaylara da uygulanabilir. Bu, uyumsuz olayların toplamının olasılığının özel bir durum olarak değerlendirilebileceği anlamına gelir. Önerilen formülün

Netlik için olasılık geometrisi

İlginç bir şekilde, ortak olayların toplamının olasılığı birbiriyle kesişen iki A ve B alanı olarak temsil edilebilir. Resimden de görebileceğiniz gibi, birleşimlerinin alanı, toplam alan eksi kesişme alanlarının alanına eşittir. Bu geometrik açıklama, mantıksız gibi görünen formülü daha anlaşılır kılmaktadır. Olasılık teorisinde geometrik çözümlerin nadir olmadığını unutmayın.

Bir dizi (ikiden fazla) ortak olayın toplamının olasılığının tanımı oldukça zahmetlidir. Hesaplamak için bu durumlar için sağlanan formülleri kullanmanız gerekir.

Bağımlı olaylar

Bağımlı olaylardan birinin (A) meydana gelmesi, diğerinin (B) meydana gelme olasılığını etkiliyorsa denir. Ayrıca A olayının hem gerçekleşmesinin hem de gerçekleşmemesinin etkisi dikkate alınır. Olaylar tanım gereği bağımlı olarak adlandırılsa da olaylardan yalnızca biri bağımlıdır (B). Olağan olasılık P(B) veya bağımsız olayların olasılığı olarak gösterildi. Bağımlı kişiler durumunda, yeni bir kavram tanıtılmıştır - bağlı olduğu A olayının (hipotez) meydana gelmesi koşuluyla bağımlı B olayının olasılığı olan koşullu olasılık P A (B).

Ancak A olayı da rastgeledir, dolayısıyla hesaplamalarda dikkate alınması gereken ve dikkate alınabilecek bir olasılığa da sahiptir. Aşağıdaki örnek bağımlı olaylarla ve bir hipotezle nasıl çalışılacağını gösterecektir.

Bağımlı olayların olasılığını hesaplama örneği

Bağımlı olayların hesaplanmasına iyi bir örnek, standart bir kart destesidir.

36 kartlık bir deste örneğinde bağımlı olayları düşünün. İlk çekilen kartın aşağıdaki olması durumunda, desteden çekilen ikinci kartın elmas rengi olma olasılığını belirlemek gerekir:

1. Tef.
2. Başka bir takım elbise.

Açıkçası, ikinci B olayının olasılığı ilk A'ya bağlıdır. Yani, eğer destede 1 kart (35) ve 1 karo (8) eksik olan ilk seçenek doğruysa, B olayının olasılığı:

P A (B) \u003d 8 / 35 \u003d 0,23

İkinci seçenek doğruysa, destede 35 kart vardır ve toplam tef sayısı (9) hala korunursa, aşağıdaki olayın olasılığı B'dir:

P A (B) \u003d 9/35 \u003d 0,26.

A olayının ilk kartın elmas olması şartına bağlı olması durumunda, B olayının olasılığının azaldığı ve bunun tersinin de geçerli olduğu görülebilir.

Bağımlı olayların çarpımı

Bir önceki bölümden yola çıkarak ilk olayı (A) bir gerçek olarak kabul ediyoruz ancak özünde rastlantısal bir karaktere sahiptir. Bu olayın olasılığı, yani bir deste karttan tefin çıkarılması şuna eşittir:

P(A) = 9/36=1/4

Teori kendi başına mevcut olmadığından ve pratik amaçlara hizmet etmesi istendiğinden, çoğu zaman bağımlı olayların ortaya çıkma olasılığına ihtiyaç duyulduğunu belirtmekte fayda vardır.

Bağımlı olayların olasılıklarının çarpımı teoremine göre, A ve B'nin ortaklaşa bağımlı olaylarının meydana gelme olasılığı, bir A olayının olasılığı ile B olayının koşullu olasılığı (A'ya bağlı olarak) çarpımına eşittir:

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

O halde desteli örnekte, karo takımlı iki kart çekme olasılığı şöyledir:

9/36*8/35=0,0571 veya %5,7

Ve ilk önce elmasları değil, sonra elmasları çıkarma olasılığı şuna eşittir:

27/36*9/35=0,19 veya %19

Baklava dışında başka bir renkten bir kartın ilk olarak çekilmesi koşuluyla B olayının gerçekleşme olasılığının daha yüksek olduğu görülebilir. Bu sonuç oldukça mantıklı ve anlaşılır.

Bir olayın toplam olasılığı

Koşullu olasılıklı bir problem çok yönlü hale geldiğinde geleneksel yöntemlerle hesaplanamaz. İkiden fazla hipotez olduğunda, yani A1, A2, ..., A n , .., şu koşul altında tam bir olaylar grubu oluşturur:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A ben ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k Bir k =Ω.

Dolayısıyla, A1, A2, ..., A n rastgele olaylarından oluşan tam bir grupla B olayının toplam olasılığının formülü şöyledir:

Geleceğe bir bakış

Rastgele bir olayın olasılığı bilimin birçok alanında esastır: ekonometri, istatistik, fizik vb. Bazı süreçler kendileri olasılıksal olduğundan deterministik olarak tanımlanamadığından, özel çalışma yöntemlerine ihtiyaç vardır. Bir olay teorisinin olasılığı herhangi bir teknolojik alanda bir hata veya arıza olasılığını belirlemenin bir yolu olarak kullanılabilir.

Olasılığın farkına vararak geleceğe bir şekilde teorik bir adım attığımız, geleceğe formüller prizmasından baktığımız söylenebilir.

OLASILIK TEORİSİNİN TEMEL KAVRAMLARI

Olayların sınıflandırılması, basit ve karmaşık temel olaylar kavramı, olaylar üzerinde işlemler, rastgele bir olayın olasılığının klasik tanımı ve özellikleri, olasılık teorisinde kombinatorik unsurları, olasılık teorisi aksiyomları, geometrik olasılık, istatistiksel olasılık.

1. Olayların sınıflandırılması.

Olasılık teorisinin temel kavramlarından biri olay kavramıdır. Altında etkinlik tecrübe veya deneme sonucu ortaya çıkabilecek her gerçek anlaşılır. Altında deneyim veya Ölçek belirli bir dizi koşulun yerine getirilmesini ifade eder.

Olaylara örnekler:

Silahtan ateş ederken hedefi vurmak (deneyim - atış yapmak, olay - hedefi vurmak);

Üç kez yazı tura atıldığında iki arma kaybı (deneyim - üç kez yazı tura atma, olay - iki arma kaybı);

Hedefe olan mesafe ölçülürken belirlenen sınırlar dahilinde bir ölçüm hatasının ortaya çıkması (deneyim - mesafe ölçümü, olay - ölçüm hatası).

Bunun gibi sayısız örnek verilebilir. Olaylar Latin alfabesinin büyük harfleriyle vb. gösterilir.

Olayları ayırt etme eklem yeri Ve uyumsuz. Aynı testte bunlardan birinin meydana gelmesine diğerlerinin de meydana gelmesi eşlik ediyorsa bu olaylara ortak olaylar denir. Aksi takdirde olaylara uyumsuz denir. Örneğin iki zar atılıyor. Olay - ilk zarda üç puanın düşmesi, olay - ikinci zarda üç puanın düşmesi ve - ortak olaylar. Mağazanın aynı stil ve bedende ancak farklı renkte bir grup ayakkabı almasına izin verin. Bir etkinlik - rastgele alınan bir kutu siyah ayakkabılarla, bir etkinlik - bir kutu kahverengi ayakkabılarla ve - uyumsuz olaylar.

Olayın adı güvenilir eğer verilen deneyin koşulları altında mutlaka meydana gelirse.

Olayın adı imkansız eğer verilen deneyin koşulları altında gerçekleşemiyorsa.

Örneğin motor iyi durumdaysa, yakıt besleme sistemi normal çalışıyorsa ve akü çalışır durumdaysa, kontak ve marş açıldığında aracın motor şaftının dönmesi güvenilir bir olaydır.

En az bir yakıt besleme sisteminin arızalanması durumunda motor milinin dönmesi imkansız hale gelir.

Olayın adı olası veya rastgele, eğer deneyimin bir sonucu olarak ortaya çıkabilir veya çıkmayabilir.

Rastgele bir olaya örnek olarak, bir bitmiş ürün grubunun kontrolü sırasında ürün kusurlarının belirlenmesi, işlenen ürünün boyutu ile verilen ürün arasındaki tutarsızlık, otomatik kontrol sisteminin bağlantılarından birinin arızalanması verilebilir.

Olaylar denir eşit derecede mümkün eğer test koşulları altında bu olaylardan hiçbiri nesnel olarak diğerlerinden daha muhtemel değilse.

Aşağıdaki örneği ele alalım. Mağazanın birkaç üretici tarafından ampullerle (ve eşit miktarlarda) tedarik edilmesine izin verin. Bu fabrikaların herhangi birinden ampul satın alınmasını içeren olaylar da aynı derecede olasıdır.

Önemli bir kavram tam bir etkinlik grubu. Belirli bir deneydeki çeşitli olaylar, eğer bunlardan en az biri mutlaka deneyin sonucunda ortaya çıkıyorsa, tam bir grup oluşturur. Örneğin, bir torbada altısı kırmızı, dördü beyaz, beşi numaralı olmak üzere on top vardır. - bir çizimde kırmızı bir topun görünümü, - beyaz bir topun görünümü, - üzerinde rakam bulunan bir topun görünümü. Etkinlikler - tam bir ortak etkinlik grubu oluşturur.

Zıt veya ek olay kavramını tanıtalım. Altında zıt Bir olay, bir olayın meydana gelmemesi durumunda mutlaka meydana gelmesi gereken bir olaydır. Zıt olaylar uyumsuzdur ve mümkün olan tek olaylardır. Tam bir olay grubu oluştururlar. Yani, örneğin, üretilen bir ürün grubu iyi ve kusurlu olanlardan oluşuyorsa, o zaman bir ürünü çıkarırken, bu ya iyi olabilir - bir olay A veya kusurlu olay.

Olasılık teorisi olay türlerini ve bunların meydana gelme olasılıklarını inceler. Olasılık teorisinin ortaya çıkışı, matematikçilerin kumarbazların ortaya koyduğu problemlerle ilgilenmeye başladığı ve kazançların ortaya çıkışı gibi olayları incelemeye başladığı 17. yüzyılın ortalarına kadar uzanmaktadır. Bu problemlerin çözümü sürecinde olasılık ve matematiksel beklenti gibi kavramlar kristalleşti. O zamanın bilim adamları - Huygens (1629-1695), Pascal (1623-1662), Fermat (1601-1665) ve Bernoulli (1654-1705), büyük rastgele olaylar temelinde net modellerin ortaya çıkabileceğine ikna olmuşlardı. Aynı zamanda temel aritmetik ve kombinatoryal işlemler araştırma için yeterliydi.

Dolayısıyla olasılık teorisi, rastgele olayların ve rastgele değişkenlerin tabi olduğu çeşitli kalıpları açıklar ve araştırır. etkinlik gözlem veya deneyimle tespit edilebilecek herhangi bir gerçektir. Gözlem veya deneyim, bir olayın gerçekleşebileceği belirli koşulların farkına varılmasıdır.

Bir olayın gerçekleşme olasılığını belirlemek için bilmeniz gerekenler

İnsanların gözlemlediği veya kendilerinin yarattığı tüm olaylar şu şekilde ayrılır:

• güvenilir olaylar;
• imkansız olaylar;
• rastgele olaylar.

Güvenilir etkinlikler her zaman belirli koşullar yaratıldığında gelir. Örneğin çalışırsak bunun karşılığını alırız, sınavları geçersek ve yarışmayı geçersek öğrenci sayısına dahil olacağımıza güvenilir bir şekilde güvenebiliriz. Fizik ve kimyada güvenilir olaylar gözlemlenebilir. İktisatta bazı olaylar mevcut toplumsal yapı ve mevzuatla ilişkilendirilir. Örneğin, depozito için bir bankaya para yatırmışsak ve bunu belirli bir süre içinde alma isteğimizi ifade etmişsek, o zaman parayı alırız. Bu güvenilir bir olay olarak kabul edilebilir.

İmkansız olaylar belli koşullar yaratılmışsa kesinlikle oluşmaz. Örneğin sıcaklık artı 15 santigrat derece olursa su donmaz, elektrik olmadan üretim yapılmaz.

rastgele olaylar Belirli bir koşullar dizisi gerçekleştiğinde bunlar meydana gelebilir veya gelmeyebilir. Örneğin parayı bir kez havaya attığımızda amblem düşebilir veya düşmeyebilir, piyango bileti kazanabilir veya kazanamayabilir, üretilen ürün kusurlu olabilir veya olmayabilir. Kusurlu bir ürünün ortaya çıkması, iyi ürünlerin üretilmesinden daha nadir görülen, rastlantısal bir olaydır.

Rastgele olayların beklenen gerçekleşme sıklığı olasılık kavramıyla yakından ilgilidir. Rastgele olayların oluşma ve oluşmama kalıpları olasılık teorisi ile incelenir.

Eğer gerekli koşullar kümesi yalnızca bir kez uygulanırsa, o zaman rastgele bir olay hakkında yetersiz bilgi elde ederiz, çünkü bu olay meydana gelebilir veya gelmeyebilir. Bir dizi koşul birçok kez uygulanırsa belirli düzenlilikler ortaya çıkar. Örneğin bir mağazadaki bir sonraki müşterinin hangi kahve makinesine ihtiyaç duyacağını asla bilmek mümkün değildir, ancak uzun süredir en çok talep gören kahve makinelerinin markaları biliniyorsa bu verilere dayanarak bunu yapmak mümkündür. Talebi karşılamak için üretim veya teslimatları organize etmek.

Kitlesel rastgele olayları yöneten kalıpları bilmek, bu olayların ne zaman gerçekleşeceğini tahmin etmeyi mümkün kılar. Örneğin, daha önce de belirtildiği gibi, yazı tura atmanın sonucunu önceden tahmin etmek imkansızdır, ancak yazı tura birçok kez atılırsa arma kaybını öngörmek mümkündür. Hata küçük olabilir.

Olasılık teorisi yöntemleri doğa bilimlerinin çeşitli dallarında, teorik fizikte, jeodezide, astronomide, otomatik kontrol teorisinde, hata gözlem teorisinde ve diğer birçok teorik ve pratik bilimde yaygın olarak kullanılmaktadır. Olasılık teorisi, üretim planlama ve organizasyon, ürün kalite analizi, süreç analizi, sigorta, nüfus istatistikleri, biyoloji, balistik ve diğer endüstrilerde yaygın olarak kullanılmaktadır.

Rastgele olaylar genellikle Latin alfabesinin A, B, C vb. büyük harfleriyle gösterilir.

Rastgele olaylar şunlar olabilir:

• uyumsuz;
• eklem yeri.

A, B, C... olaylarına denir uyumsuz bir test sonucunda bu olaylardan birinin gerçekleşmesi ancak iki veya daha fazla olayın gerçekleşmesinin imkansız olması durumunda.

Rastgele bir olayın meydana gelmesi başka bir olayın meydana gelmesini engellemiyorsa bu tür olaylara denir. eklem yeri . Örneğin, taşıma bandından başka bir parça çıkarılırsa ve A olayı "parçanın standardı karşıladığı" anlamına gelirken B olayı "parçanın standardı karşılamadığı" anlamına gelirse, bu durumda A ve B uyumsuz olaylardır. C olayı “II. derece kısmın alınması” anlamına geliyorsa bu olay A olayıyla birliktedir, ancak B olayıyla birlikte değildir.

Her gözlemde (testte) uyumsuz rastgele olaylardan yalnızca birinin meydana gelmesi gerekiyorsa, bu olaylar olayların tam seti (sistemi) .

belli bir olay olayların tamamından en az bir olayın meydana gelmesidir.

Olayların tamamını oluşturan olaylar ise ikili olarak uyumsuz ise gözlem sonucunda bu olaylardan yalnızca biri meydana gelebilir. Örneğin bir öğrencinin iki testi çözmesi gerekiyor. Aşağıdaki olaylardan biri ve yalnızca biri mutlaka gerçekleşecektir:

• ilk görev çözülecek ve ikinci görev çözülmeyecek;
• ikinci görev çözülecek ve ilk görev çözülmeyecek;
• her iki görev de çözülecek;
• sorunların hiçbiri çözülmeyecek.

Bu olaylar şekil uyumsuz olayların tam seti .

Olayların tamamı yalnızca iki uyumsuz olaydan oluşuyorsa, bunlara denir. karşılıklı zıt veya alternatif olaylar.

Olayın karşısındaki olay ile gösterilir. Örneğin, tek bir yazı tura atılması durumunda, bir mezhep () veya bir arma () düşebilir.

Olaylar denir eşit derecede mümkün eğer ikisinin de nesnel avantajları yoksa. Bu tür olaylar aynı zamanda tam bir olaylar dizisi oluşturur. Bu, eşit olasılıklı olaylardan en az birinin gözlem veya test sonucunda mutlaka meydana gelmesi gerektiği anlamına gelir.

Örneğin, bir yazı tura atıldığında mezhep ve armanın kaybedilmesi, basılı bir metin sayfasında 0, 1, 2, 3 ve 3'ten fazla hatanın bulunmasıyla eksiksiz bir olaylar grubu oluşur.

Klasik ve istatistiksel olasılıklar. Olasılık formülleri: klasik ve istatistiksel

Olasılığın klasik tanımı. Fırsat veya olumlu durum, olayın belirli bir dizi koşulunun uygulanmasında ortaya çıkan duruma denir. A oluyor. Olasılığın klasik tanımı, uygun durum veya fırsatların sayısının doğrudan hesaplanmasını içerir.

Bir olayın olasılığı A bu olay için elverişli fırsatların sayısının eşit derecede mümkün olan tüm uyumsuz olayların sayısına oranı denir N tek bir test veya gözlem sonucunda ortaya çıkabilen olaydır. Olasılık Formülü olaylar A:

Hangi olayın olasılığının ne olduğu tamamen açıksa, olasılık küçük bir harfle gösterilir. P, olay tanımını belirtmeden.

Klasik tanıma göre olasılığı hesaplamak için eşit derecede olası tüm uyumsuz olayların sayısını bulmak ve bunlardan kaçının olayın tanımına uygun olduğunu belirlemek gerekir. A.

örnek 1 Bir zarın atılması sonucunda 5 sayısının gelme olasılığını bulunuz.

Çözüm. Altı yüzün de zirvede olma şansının aynı olduğunu biliyoruz. 5 rakamı yalnızca bir tarafta işaretlenmiştir. Eşit derecede olası tüm uyumsuz olayların sayısı 6'dır ve bunlardan 5 sayısının gerçekleşmesi için yalnızca bir uygun fırsat vardır ( M= 1). Bu, 5 sayısının düşme ihtimalinin istenilen olduğu anlamına gelir.

Örnek 2 Bir kutuda aynı büyüklükte 3 kırmızı ve 12 beyaz top vardır. Bir top bakmadan alınır. Kırmızı topun alınma olasılığını bulunuz.

Çözüm. İstenilen olasılık

Olasılıkları kendiniz bulun ve ardından çözümü görün

Örnek 3 Bir zar atılır. Etkinlik B- çift sayıyı düşürmek. Bu olayın olasılığını hesaplayınız.

Örnek 5 Bir kavanozda 5 beyaz ve 7 siyah top bulunmaktadır. Rastgele 1 top çekiliyor. Etkinlik A- Beyaz bir top çekiliyor. Etkinlik B- siyah bir top çekiliyor. Bu olayların olasılıklarını hesaplayınız.

Klasik olasılığa, test veya gözlem başlamadan önce hesaplandığı için önceki olasılık da denir. Klasik olasılığın a priori doğası, ana dezavantajını ima eder: yalnızca nadir durumlarda, hatta gözlemin başlamasından önce bile, olumlu olaylar da dahil olmak üzere eşit derecede olası tüm uyumsuz olayları hesaplamak mümkündür. Bu tür fırsatlar genellikle oyunlarla ilgili durumlarda ortaya çıkar.

Kombinasyonlar. Olayların sırası önemli değilse olası olayların sayısı kombinasyon sayısı olarak hesaplanır:

Örnek 6 Bir grupta 30 öğrenci var. Üç öğrenci bilgisayar ve projektör alıp getirmek için bilgisayar bilimleri bölümüne gitmelidir. Belirli üç öğrencinin bunu yapma olasılığını hesaplayın.

Çözüm. Olası olayların sayısı formül (2) kullanılarak hesaplanır:

Belirli üç öğrencinin bölüme gitme olasılığı:

Örnek 7 10 adet cep telefonu satılıktır. 3 tanesinde arıza var. Alıcı 2 telefon seçti. Seçilen her iki telefonun da arızalı olma olasılığını hesaplayın.

Çözüm. Eşit olasılıklı tüm olayların sayısı formül (2) ile bulunur:

Aynı formülü kullanarak etkinlik için uygun fırsatların sayısını buluyoruz:

Seçilen her iki telefonun da arızalı olması istenen olasılık:

Olasılığı kendiniz bulun ve ardından çözümü görün

Örnek 8 Sınav kartlarında tekrarlanmayan 40 soru bulunmaktadır. Öğrenci bunlardan 30 tanesine cevap hazırladı. Her bilette 2 soru bulunmaktadır. Öğrencinin biletteki her iki sorunun cevabını da bilme olasılığı nedir?

Olaylar ve sınıflandırılması

Olasılık teorisinin temel kavramları

Herhangi bir matematik teorisini oluştururken, öncelikle ilk gerçekler olarak kabul edilen en basit kavramlar ayırt edilir. Olasılık teorisindeki bu tür temel kavramlar kavramdır. rastgele deney, Rastgele bir olay, rastgele bir olayın olasılığı.

rastgele deneybizi ilgilendiren bir olayın belirli bir durağanlık koşulu altında gerçekleştirilen gözlemini kaydetme işlemidir (zamanla değişmiyor) çok sayıda rastgele (sıkı muhasebe ve kontrole uygun olmayan) faktörün etkisinin kaçınılmazlığı da dahil olmak üzere gerçek bir koşullar dizisi.

Bu faktörler ise bizi ilgilendiren olayın gerçekleşip gerçekleşmeyeceği konusunda tamamen güvenilir sonuçlar çıkarmamıza izin vermiyor. Aynı zamanda, deney veya gözlemimizin aynı koşullar altında tekrar tekrar tekrarlanmasının temel (en azından zihinsel olarak gerçekleştirilebilir) olasılığına sahip olduğumuz varsayılmaktadır.

İşte rastgele deneylerin bazı örnekleri.

1. Tamamen simetrik bir madeni paranın atılmasından oluşan rastgele bir deney, madalyonun fırlatılma kuvveti, madalyonun uçuş yörüngesi, başlangıç ​​hızı, dönme momenti vb. gibi rastgele faktörleri içerir. Bu rastgele faktörler, her bir testin sonucunu doğru bir şekilde belirlemeyi imkansız hale getirir: "para atıldığında bir arma görünecektir" veya "para atıldığında yazı görünecektir."

2. "Stalkanat" tesisi, üretilen kabloları izin verilen maksimum yük açısından test ediyor. Yük, bir deneyden diğerine belirli sınırlar dahilinde değişir. Bunun nedeni, kabloların yapıldığı malzemedeki mikro kusurlar, kabloların üretimi sırasında meydana gelen ekipmanın çalışmasında meydana gelen çeşitli müdahaleler, depolama koşulları, deney yapma şekli vb. gibi rastgele faktörlerdir.

3. Belirli bir hedefe aynı silahla bir dizi atış yapılır. Hedefin vurulması, silahın ve merminin durumu, silahın kurulumu, topçunun becerisi, hava koşulları (rüzgar, ışık vb.) gibi birçok rastgele faktöre bağlıdır.

Tanım. Belirli bir dizi koşulun uygulanmasına denir Ölçek. Test sonucu denir etkinlik.

Rastgele olaylar Latin alfabesinin büyük harfleriyle gösterilir: A, B, C... veya indeksi olan büyük harf: .

Örneğin, belirli koşullar altında bir sınavı geçmek (bir değerlendirme derecelendirme sistemi de dahil olmak üzere yazılı bir sınav, vb.) öğrenci için bir sınavdır ve belirli bir not almak bir olaydır;

belirli koşullar altında (hava koşulları, silahın durumu vb.) bir silahla atış yapmak bir testtir ve bir hedefi vurmak veya ıskalamak bir olaydır.

Aynı deneyi aynı koşullar altında birçok kez tekrarlayabiliriz. Bu tür deneylerin her birini gerçekleştirme koşullarını karakterize eden çok sayıda rastgele faktörün varlığı, bizi ilgilendiren olayın ayrı bir testte gerçekleşip gerçekleşmeyeceği konusunda tamamen kesin bir sonuca varmayı imkansız hale getirir. Olasılık teorisinde böyle bir problemin ortaya çıkmadığına dikkat edin.

Olay sınıflandırması

Olaylar olur güvenilir, imkansız Ve rastgele.

Tanım. Olayın adı güvenilir belirli koşullar altında mutlaka meydana gelirse.

Tüm güvenilir olaylar bir harfle gösterilir (İngilizce kelimenin ilk harfi) evrensel- genel)

Belirli olayların örnekleri şunlardır: yalnızca beyaz topların bulunduğu bir kavanozdan beyaz bir topun çıkması; kazan-kazan piyangosunu kazanın.

Tanım. Olayın adı imkansız belirli koşullar altında gerçekleşemezse.

Tüm imkansız olaylar harfle gösterilir.

Örneğin Öklid geometrisinde bir üçgenin açılarının toplamı 'den büyük olamaz, beşli not sistemi olan bir sınavda "6" notu alamazsınız.

Tanım. Olayın adı rastgele, belirli koşullar altında görünüp görünmeyeceği.

Örneğin, rastgele olaylar şunlardır: bir kart destesinden bir asın ortaya çıkması olayı; bir futbol takımı maçını kazanan olay; para ve giyim piyangosunda kazanan etkinlik; arızalı bir TV vb. satın alma olayı

Tanım. Olaylar isminde uyumsuz Bu olaylardan birinin meydana gelmesi diğerinin meydana gelmesini dışlıyorsa.

örnek 1 Yazı tura atmayı içeren testi ele alırsak, o zaman olaylar - armanın görünümü ve - sayının görünümü - uyumsuz olaylardır.

Tanım. Olaylar isminde eklem yeri, Bu olaylardan birinin meydana gelmesi diğer olayların meydana gelmesini dışlamıyorsa.

Örnek 2 Üç silahtan ateş edilirse aşağıdaki olaylar ortaklaşa gerçekleşir: İlk silahla vurulma; ikinci silahla vuruldu; üçüncü silahla vuruldu.

Tanım. Olaylar isminde mümkün olan tek şey, eğer verilen olaylardan en az birinin, belirli bir koşullar dizisinin uygulanması sırasında mutlaka meydana gelmesi gerekiyorsa.

Örnek 3 Bir zar atıldığında olası olaylar yalnızca şunlardır:

A 1 - bir noktanın ortaya çıkışı,

A 2 - iki noktanın ortaya çıkışı,

A 3 - üç noktanın ortaya çıkışı,

A 4 - dört noktanın ortaya çıkışı,

A 5 - beş noktanın ortaya çıkışı,

A 6 - altı noktanın ortaya çıkışı.

Tanım. Olayların oluştuğunu söylüyorlar tam bir etkinlik grubu eğer bu olaylar mümkün ve uyumsuz olan tek olaylarsa.

Örnek 1 ve 3'te ele alınan olaylar, uyumsuz oldukları ve tek olası olaylar oldukları için tam bir grup oluşturur.

Tanım. Tam bir grup oluşturan iki olaya denir zıt.

Bir olay varsa, karşıt olay ile gösterilir.

Örnek 4 Eğer olay bir arma ise, o zaman olay yazıdır.

Bunun tersi olaylar da; "öğrenci sınavı geçti" ve "öğrenci sınavı geçemedi", "fabrika planı yerine getirdi" ve "fabrika planı yerine getirmedi".

Tanım. Olaylar isminde aynı derecede muhtemel olan veya eşit derecede mümkün eğer test sırasında objektif olarak hepsinin ortaya çıkma şansı aynıysa.

Eşit derecede olası olayların yalnızca özel yöntemlerle sağlanan sonuç simetrisine sahip deneylerde ortaya çıkabileceğini unutmayın (örneğin, tamamen simetrik paralar, zarlar yapmak, kartları dikkatli bir şekilde karıştırmak, dominolar, bir kavanozda topları karıştırmak vb.).

Tanım. Bir testin sonuçları benzersiz bir şekilde mümkün, uyumsuz ve eşit derecede mümkün ise bunlara denir. temel sonuçlar, vakalar veya şans ve testin kendisi denir vaka tablosu veya "çömlek şeması"(göz önünde bulundurulan test için herhangi bir olasılıksal problem, farklı renkteki torbalar ve toplarla ilgili eşdeğer bir problemle değiştirilebilir) .

Örnek 5 Torbada dokunmayla aynı olan 3 beyaz ve 3 siyah top varsa olay A 1 - beyaz bir topun ve olayın ortaya çıkışı A 2 - Siyah bir topun ortaya çıkması eşit olasılıklı olaylardır.

Tanım. olay diyorlar iyilik etkinlik veya olay gerektirir etkinlik eğer görünüşte etkinlik mutlaka gelecektir.

Bir olay bir olayı gerektiriyorsa bu durum sembollerle gösterilir. eşdeğer veya eş değer ve belirtmek

Böylece eşdeğer olaylar olur ve her denemede ya ikisi birden olur ya da ikisi birden olmaz.

Bir olasılık teorisi oluşturmak için, halihazırda tanıtılan temel kavramlara (rastgele deney, rastgele olay) ek olarak, bir temel kavramın daha tanıtılması gerekir - rastgele bir olayın olasılığı.

Olasılık teorisinin gelişimi sırasında bir olayın olasılığına ilişkin fikirlerin değiştiğini unutmayın. Bu kavramın gelişim tarihini izleyelim.

Altında olasılık Rastgele olay, bir olayın meydana gelmesinin nesnel olasılığının ölçüsünü anlar.

Bu tanım niteliksel açıdan olasılık kavramını yansıtmaktadır. Antik dünyada biliniyordu.

Bir olayın olasılığının niceliksel tanımı ilk olarak simetriye veya sonuçların nesnel olarak eşitlenebilirliğine sahip rastgele deneyleri dikkate alan olasılık teorisinin kurucularının çalışmalarında verilmiştir. Yukarıda belirtildiği gibi bu tür rastgele deneyler çoğunlukla, eşit sonuç şansı sağlamak için özel yöntemlerin kullanıldığı yapay olarak organize edilmiş deneyleri içerir (kartları veya dominoları karıştırmak, mükemmel simetrik zarlar, madeni paralar yapmak, vb.). On yedinci yüzyıldaki bu tür rastgele deneylerle ilgili olarak. Fransız matematikçi Laplace, olasılığın klasik tanımını formüle etti.