• Системы m линейных уравнений с n неизвестными.
  Решение системы линейных уравнений — это такое множество чисел {x 1 , x 2 , …, x n }, при подстановке которых в каждое из уравнений системы получается верное равенство.
  где a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n — коэффициенты системы;
  b i , i = 1, …, m — свободные члены;
  x j , j = 1, …, n — неизвестные.
  Вышеприведенная система может быть записана в матричном виде: A · X = B ,
  
  
  
  
  где (A |B ) — основная матрица системы;
  A — расширенная матрица системы;
  X — столбец неизвестных;
  B — столбец свободных членов.
  Если матрица B не является нуль-матрицей ∅, то данная система линейных уравнений называется неоднородной.
  Если матрица B = ∅, то данная система линейных уравнений называется однородной. Однородная система всегда имеет нулевое (тривиальное) решение: x 1 = x 2 = …, x n = 0 .
  Совместная система линейных уравнений — это имеющая решение система линейных уравнений.
  Несовместная система линейных уравнений — это не имеющая решение система линейных уравнений.
  Определённая система линейных уравнений — это имеющая единственное решение система линейных уравнений.
  Неопределённая система линейных уравнений — это имеющая бесконечное множество решений система линейных уравнений.
• Системы n линейных уравнений с n неизвестными
  Если число неизвестных равно числу уравнений, то матрица – квадратная. Определитель матрицы называется главным определителем системы линейных уравнений и обозначается символом Δ.
  Метод Крамера для решения систем n линейных уравнений с n неизвестными.
  Правило Крамера.
  Если главный определитель системы линейных уравнений не равен нулю, то система совместна и определена, причем единственное решение вычисляется по формулам Крамера:
  где Δ i — определители, получаемые из главного определителя системы Δ заменой i -го столбца на столбец свободных членов. .
• Системы m линейных уравнений с n неизвестными
  Теорема Кронекера−Капелли .
  
  
  Для того чтобы данная система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы системы, rang(Α) = rang(Α|B) .
  Если rang(Α) ≠ rang(Α|B) , то система заведомо не имеет решений.
  Eсли rang(Α) = rang(Α|B) , то возможны два случая:
  1) rang(Α) = n (числу неизвестных) − решение единственно и может быть получено по формулам Крамера;
  2) rang(Α) < n − решений бесконечно много.
• Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений
  
  
  Составим расширенную матрицу (A |B ) данной системы из коэффициентов при неизвестных и правых частей.
  Метод Гаусса или метод исключения неизвестных состоит в приведении расширенной матрицы (A |B ) с помощью элементарных преобразований над ее строками к диагональному виду (к верхнему треугольному виду). Возвращаясь к системе уравнений, определяют все неизвестные.
  К элементарным преобразованиям над строками относятся следующие:
  1) перемена местами двух строк;
  2) умножение строки на число, отличное от 0;
  3) прибавление к строке другой строки, умноженной на произвольное число;
  4) выбрасывание нулевой строки.
  Расширенной матрице, приведенной к диагональному виду, соответствует линейная система, эквивалентная данной, решение которой не вызывает затруднений. .
• Система однородных линейных уравнений.
  Однородная система имеет вид:
  
  ей соответствует матричное уравнение A · X = 0 .
  1) Однородная система всегда совместна, так как r(A) = r(A|B) , всегда существует нулевое решение (0, 0, …, 0).
  2) Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы r = r(A) < n , что равносильно Δ = 0.
  3) Если r < n , то заведомо Δ = 0, тогда возникают свободные неизвестные c 1 , c 2 , …, c n-r , система имеет нетривиальные решения, причем их бесконечно много.
  4) Общее решение X при r < n может быть записано в матричном виде следующим образом:
  X = c 1 · X 1 + c 2 · X 2 + … + c n-r · X n-r ,
  где решения X 1 , X 2 , …, X n-r образуют фундаментальную систему решений.
  5) Фундаментальная система решений может быть получена из общего решения однородной системы:
  
  ,
  если последовательно полагать значения параметров равными (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …,1).
  Разложение общего решения по фундаментальной системе решений — это запись общего решения в виде линейной комбинации решений, принадлежащих к фундаментальной системе.
  Теорема . Для того, чтобы система линейных однородных уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы Δ ≠ 0.
  Итак, если определитель Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение.
  Если же Δ ≠ 0, то система линейных однородных уравнений имеет бесконечное множество решений.
  Теорема . Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы r(A) < n .
  Доказательство :
  1) r не может быть больше n (ранг матрицы не превышает числа столбцов или строк);
  2) r < n , т.к. если r = n , то главный определитель системы Δ ≠ 0, и, по формулам Крамера, существует единственное тривиальное решение x 1 = x 2 = … = x n = 0 , что противоречит условию. Значит, r(A) < n .
  Следствие . Для того чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы Δ = 0.

С n неизвестными это система вида:

где a ij и b i (i=1,…,m; b=1,…,n) - некоторые известные числа, а x 1 ,…,x n - неизвестные числа. В обозначении коэффициентов a ij индекс i определяет номер уравнения, а второй j - номер неизвестного, у которого расположен этот коэффициент.

Однородная система - когда все свободные члены системы равны нулю (b 1 = b 2 = … = b m = 0 ), обратная ситуация — неоднородная система .

Квадратная система - когда число m уравнений равняется числу n неизвестных.

Решение системы — совокупность n чисел c 1 , c 2 , …, c n , таких, что подстановка всех c i вместо x i в систему превращает все её уравнения в тождества .

Совместная система - когда у системы есть хоть бы 1-но решение, и несовместная система , когда у системы нет решений.

У совместной системы такого вида (как приведен выше, пусть она будет (1)) может быть одно либо больше решений.

Решения c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n (1) и c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n (2) совместной системы типа (1) будут различными , когда не выполняется даже 1-но из равенств:

c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

Совместная система типа (1) будет определённой , когда у нее есть только одно решение; когда у системы есть хотя бы 2 разных решений, она становится недоопределённой . Когда уравнений больше, чем неизвестных, система является переопределённой .

Коэффициенты при неизвестных записываются как матрица:

Она называется матрицей системы .

Числа, которые стоят в правых частях уравнений, b 1 ,…,b m являются свободными членами .

Совокупность n чисел c 1 ,…,c n является решением этой системы, когда все уравнения системы обращаются в равенство после подставки в них чисел c 1 ,…,c n вместо соответствующих неизвестных x 1 ,…,x n .

При решении системы линейных уравнений могут возникнуть 3 варианта:

1. У системы есть только одно решение.

2. У системы есть нескончаемое число решений. Например , . Решением этой системы будут все пары чисел, которые отличаются знаком.

3. У системы нет решений. Например , , если бы решение существовало, то x 1 + x 2 равнялось бы в одно время 0 и 1.

Методы решения систем линейных уравнений.

Прямые методы дают алгоритм, по которому находится точное решение СЛАУ (систем линейных алгебраических уравнений). И если бы точность была абсолютной, они бы нашли его. Реальная электро-вычислительная машина, конечно, работает с погрешностью, поэтому решение будет приблизительным.

Системы линейных уравнений. Лекция 6.

Системы линейных уравнений.

Основные понятия.

Система видa

называется системой - линейных уравнений с неизвестными .

Числа , , называются коэффициентами системы .

Числа , называются свободными членами системы , – переменными системы . Матрица

называется основной матрицей системы , а матрица

– расширенной матрицей системы . Матрицы - столбцы

И - соответственно матрицами свободных членов и неизвестных системы . Тогда в матричной форме систему уравнений можно записать в виде . Решением системы называется значений переменных , при подстановке которых, все уравнения системы обращаются в верные числовые равенства. Всякое решение системы можно представить в виде матрицы - столбца . Тогда справедливо матричное равенство .

Система уравнений называется совместной если она имеет хотя бы одно решение и несовместной если не имеет ни одного решения.

Решить систему линейных уравнений это значит выяснить совместна ли она и в случае совместности найти её общее решение.

Система называется однородной если все её свободные члены равны нулю. Однородная система всегда совместна, так как имеет решение

Теорема Кронекера – Копелли.

Ответ на вопрос существования решений линейных систем и их единственности позволяет получить следующий результат, который можно сформулировать в виде следующих утверждений относительно системы линейных уравнений с неизвестными

(1)

Теорема 2 . Система линейных уравнений (1) совместна тогда и только тогда когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной (.

Теорема 3 . Если ранг основной матрицы совместной системы линейных уравнений равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема 4 . Если ранг основной матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений.

Правила решения систем.

3. Находят выражение главных переменных через свободные и получают общее решение системы.

4. Придавая свободным переменным произвольные значения получают все значения главных переменных.

Методы решения систем линейных уравнений.

Метод обратной матрицы.

причем , т. е. система имеет единственное решение. Запишем систему в матричном виде

где , , .

Умножим обе части матричного уравнения слева на матрицу

Так как , то получаем , откуда получаем равенство для нахождения неизвестных

Пример 27. Методом обратной матрицы решить систему линейных уравнений

Решение. Обозначим через основную матрицу системы

.

Пусть , тогда решение найдем по формуле .

Вычислим .

Так как , то и система имеет единственное решение. Найдем все алгебраические дополнения

, ,

, ,

, ,

, ,

Таким образом

.

Сделаем проверку

.

Обратная матрица найдена верно. Отсюда по формуле , найдем матрицу переменных .

.

Сравнивая значения матриц, получим ответ: .

Метод Крамера.

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными

причем , т. е. система имеет единственное решение. Запишем решение системы в матричном виде или

Обозначим

. . . . . . . . . . . . . . ,

Таким образом, получаем формулы для нахождения значений неизвестных, которые называются формулами Крамера .

Пример 28. Решить методом Крамера следующую систему линейных уравнений .

Решение. Найдем определитель основной матрицы системы

.

Так как , то , система имеет единственное решение.

Найдем остальные определители для формул Крамера

,

,

.

По формулам Крамера находим значения переменных

Метод Гаусса.

Метод заключается в последовательном исключении переменных.

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными.

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов:

На первом этапе расширенная матрица системы приводится с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду

,

где , которой соответствует система

После этого переменные считаются свободными и в каждом уравнении переносятся в правую часть.

На втором этапе из последнего уравнения выражается переменная , полученное значение подставляется в уравнение. Из этого уравнения

выражается переменная . Этот процесс продолжается до первого уравнения. В результате получается выражение главных переменных через свободные переменные .

Пример 29. Решить методом Гаусса следующую систему

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду

.

Так как больше числа неизвестных, то система совместна и имеет бесконечное множество решений. Запишем систему для ступенчатой матрицы

Определитель расширенной матрицы этой системы, составленный из трех первых столбцов не равен нулю, поэтому его считаем базисным. Переменные

Будут базисными а переменная – свободной. Перенесем ее во всех уравнениях в левую часть

Из последнего уравнения выражаем

Подставив это значение в предпоследнее второе уравнение, получим

откуда . Подставив значения переменных и в первое уравнение, найдем . Ответ запишем в следующем виде

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.