Разделы сайта
Выбор редакции:
- Как решать уравнения с модулем
- Энциклопедия сказочных героев: "Красавица и Чудовище"
- История Екатерины Второй (1885 год) Брикнер александр история екатерины второй
- Презентация - династия романовых Почему рухнула империя романовых презентация
- Функция распределения случайной величины
- Значение фразеологизма «сказка про белого бычка
- Значение на скорую руку в большом современном толковом словаре русского языка Фразеологический оборот на скорую руку
- Ключевые идеи концепции развития математического образования в рф и ит-образование
- Презентация на тему "биография афанасия фета"
- Существует ли закон определяющий место обучения (школу) по месту проживания?
Реклама
Решить дифференциальное уравнение методом вариации постоянной. ОДУ. Метод вариации произвольной постоянной. Социальные преобразования. Государство и церковь |
Метод вариации произвольных постоянных Метод вариации произвольных постоянных для построения решения линейного неоднородного дифференциального уравненияa n (t )z (n ) (t ) + a n − 1 (t )z (n − 1) (t ) + ... + a 1 (t )z "(t ) + a 0 (t )z (t ) = f (t ) состоит в замене произвольных постоянных c k в общем решении z (t ) = c 1 z 1 (t ) + c 2 z 2 (t ) + ... + c n z n (t ) соответствующего однородного уравнения a n (t )z (n ) (t ) + a n − 1 (t )z (n − 1) (t ) + ... + a 1 (t )z "(t ) + a 0 (t )z (t ) = 0 на вспомогательные функции c k (t ) , производные которых удовлетворяют линейной алгебраической системе Определителем системы (1) служит вронскиан функций z 1 ,z 2 ,...,z n , что обеспечивает её однозначную разрешимость относительно . Если - первообразные для , взятые при фиксированных значениях постоянных интегрирования, то функция является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения. Интегрирование неоднородного уравнения при наличии общего решения соответствующего однородного уравнения сводится, таким образом, к квадратурам . Метод вариации произвольных постоянных для построения решений системы линейных дифференциальных уравнений в векторной нормальной формесостоит в построении частного решения (1) в виде где Z (t ) - базис решений соответствующего однородного уравнения, записанный в виде матрицы, а векторная функция , заменившая вектор произвольных постоянных, определена соотношением . Искомое частное решение (с нулевыми начальными значениями при t = t 0 имеет вид Для системы с постоянными коэффициентами последнее выражение упрощается: Матрица Z (t )Z − 1 (τ) называется матрицей Коши оператора L = A (t ) . Рассмотрен метод решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами методом вариации постоянных Лагранжа. Метод Лагранжа также применим для решения любых линейных неоднородных уравнений, если известна фундаментальная система решений однородного уравнения. СодержаниеСм. также:
Метод Лагранжа (вариация постоянных)Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами произвольного n-го порядка: Решение выполняется в два этапа. На первом этапе мы отбрасываем правую часть и решаем однородное уравнение. В результате получаем решение, содержащее n произвольных постоянных. На втором этапе мы варьируем постоянные. То есть мы считаем, что эти постоянные являются функциями от независимой переменной x и находим вид этих функций. Хотя мы здесь рассматриваем уравнения с постоянными коэффициентами, но метод Лагранжа также применим и для решения любых линейных неоднородных уравнений . Для этого, однако, должна быть известна фундаментальная система решений однородного уравнения. Шаг 1. Решение однородного уравненияКак и в случае уравнений первого порядка, вначале мы ищем общее решение однородного уравнения, приравнивая правую неоднородную часть к нулю: Шаг 2. Вариация постоянных - замена постоянных функциямиНа втором этапе мы займемся вариацией постоянных. Другими словами, мы заменим постоянные на функции от независимой переменной x
:
Если мы подставим (4) в (1), то получим одно дифференциальное уравнение для n функций . При этом мы можем связать эти функции дополнительными уравнениями. Тогда получится n уравнений, из которых можно определить n функций . Дополнительные уравнения можно составить различными способами. Но мы это сделаем так, чтобы решение имело наиболее простой вид. Для этого, при дифференцировании, нужно приравнивать к нулю члены, содержащие производные от функций . Продемонстрируем это. Чтобы подставить предполагаемое решение (4) в исходное уравнение (1), нам нужно найти производные первых n
порядков от функции, записанной в виде (4). Дифференцируем (4), применяя правила дифференцирования суммы и произведения : Тем же способом находим вторую производную: Таким образом, если выбрать следующие дополнительные уравнения для функций :
Находим n
-ю производную: Подставляем в исходное уравнение (1): В результате мы получили систему линейных уравнений для производных :
Решая эту систему, находим выражения для производных как функции от x
.
Интегрируя, получим: Заметим, что для определения величин производных мы нигде не использовали тот факт, что коэффициенты a i являются постоянными. Поэтому метод Лагранжа применим для решения любых линейных неоднородных уравнений , если известна фундаментальная система решений однородного уравнения (2). ПримерыРешить уравнения методом вариации постоянных (Лагранжа). Решение уравнений высших порядков методом Бернулли Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами линейной подстановкой Метод вариации произвольных постоянных применяется для решения неоднородных дифференциальных уравнений. Данный урок предназначен для тех студентов, кто уже более или менее хорошо ориентируется в теме. Если вы только-только начинаете знакомиться с ДУ, т.е. являетесь чайником, то рекомендую начать с первого урока: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений . А если уже-уже заканчиваете, пожалуйста, отбросьте возможное предвзятое мнение, что метод сложный. Потому что он простой. В каких случаях применяется метод вариации произвольных постоянных? 1) Метод вариации произвольной постояннОЙ можно использовать при решении линейного неоднородного ДУ 1-го порядка . Коль скоро уравнение первого порядка, то и постоянная (константа) тоже одна. 2) Метод вариации произвольнЫХ постоянных используют для решения некоторых линейных неоднородных уравнений второго порядка . Здесь варьируются две постоянные (константы). Логично предположить, что урок будет состоять из двух параграфов…. Вот написал это предложение, и минут 10 мучительно думал, какую бы еще умную хрень добавить для плавного перехода к практическим примерам. Но почему-то мыслей после праздников нет никаких, хотя вроде и не злоупотреблял ничем. Поэтому сразу примемся за первый параграф. Метод вариации произвольной постоянной
Перед рассмотрением метода вариации произвольной постоянной желательно быть знакомым со статьей Линейные дифференциальные уравнения первого порядка . На том уроке мы отрабатывали первый способ решения неоднородного ДУ 1-го порядка. Этот первый способ решения, напоминаю, называется метод замены или метод Бернулли (не путать с уравнением Бернулли !!!) Сейчас мы рассмотрим второй способ решения – метод вариации произвольной постоянной. Я приведу всего три примера, причем возьму их из вышеупомянутого урока . Почему так мало? Потому что на самом деле решение вторым способом будет очень похоже на решение первым способом. Кроме того, по моим наблюдениям, метод вариации произвольных постоянных применяется реже метода замены. Пример 1 Решение:
Данное уравнение является линейным неоднородным и имеет знакомый вид: На первом этапе необходимо решить более простое уравнение: В данном примере нужно решить следующее вспомогательное уравнение: Перед нами уравнение с разделяющимися переменными
, решение которого (надеюсь) уже не представляет для вас сложностей: Таким образом: На втором шаге заменим
константу некоторой пока ещё
неизвестной функцией , которая зависит от «икс»: Отсюда и название метода – варьируем константу . Как вариант, константа может быть некоторой функцией , которую нам предстоит сейчас найти. В исходном
неоднородном уравнении проведём замену: Подставим и в уравнение : Контрольный момент – два слагаемых в левой части сокращаются . Если этого не происходит, следует искать ошибку выше. В результате замены получено уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем. Какая благодать, экспоненты тоже сокращаются: К найденной функции приплюсовываем «нормальную» константу : На заключительном этапе вспоминаем про нашу замену: Функция только что найдена! Таким образом, общее решение: Ответ: общее решение: Если вы распечатаете два способа решения, то легко заметите, что в обоих случаях мы находили одни и те же интегралы. Отличие лишь в алгоритме решения. Теперь что-нибудь посложнее, второй пример я тоже прокомментирую: Пример 2 Найти общее решение дифференциального уравнения Решение:
Приведем уравнение к виду : Обнулим правую часть и решим вспомогательное уравнение:
В неоднородном уравнении проведём замену: По правилу дифференцирования произведения: Подставим и в исходное неоднородное уравнение : Два слагаемых в левой части сокращаются, значит, мы на верном пути: Интегрируем по частям. Вкусная буква из формулы интегрирования по частям у нас уже задействована в решении, поэтому используем, например, буквы «а» и «бэ»: Теперь вспоминаем проведённую замену: Ответ: общее решение: И один пример для самостоятельного решения: Пример 3 Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданному начальному условию. , Решение в конце урока может служить примерным образцом для чистового оформления задания. Метод вариации произвольных постоянных
Часто приходилось слышать мнение, что метод вариации произвольных постоянных для уравнения второго порядка – штука не из легких. Но я предполагаю следующее: скорее всего, метод многим кажется трудным, поскольку встречается не так часто. А в действительности особых сложностей нет – ход решения чёткий, прозрачный, понятный. И красивый. Для освоения метода желательно уметь решать неоднородные уравнения второго порядка способом подбора частного решения по виду правой части. Данный способ подробно рассмотрен в статье Неоднородные ДУ 2-го порядка
. Вспоминаем, что линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид: Метод подбора, который рассматривался на вышеупомянутом уроке, проходит лишь в ограниченном ряде случаев, когда в правой части находятся многочлены, экспоненты, синусы, косинусы. Но что делать, когда справа, например, дробь, логарифм, тангенс? В такой ситуации на помощь как раз и приходит метод вариации постоянных. Пример 4 Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка Решение: В правой части данного уравнения находится дробь, поэтому сразу можно сказать, что метод подбора частного решения не прокатывает. Используем метод вариации произвольных постоянных. Ничто не предвещает грозы, начало решения совершенно обычное: Найдем общее решение
соответствующего однородного
уравнения: Составим и решим характеристическое уравнение: Обратите внимание на запись общего решения – если есть скобки, то их раскрываем. Теперь проделываем практически тот же трюк, что и для уравнения первого порядка: варьируем константы , заменяя их неизвестными функциями . То есть, общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде: Где – пока ещё неизвестные функции. Похоже на свалку бытовых отходов, но сейчас всё рассортируем. В качестве неизвестных выступают производные функций . Наша цель – найти производные , причем найденные производные должны удовлетворять и первому и второму уравнению системы. Откуда берутся «игреки»? Их приносит аист. Смотрим на полученное ранее общее решение и записываем: Найдем производные: С левыми частями разобрались. Что справа? – это правая часть исходного уравнения, в данном случае: Коэффициент – это коэффициент при второй производной: На практике почти всегда , и наш пример не исключение. Всё прояснилось, теперь можно составить систему: Систему обычно решают по формулам Крамера , используя стандартный алгоритм. Единственное отличие состоит в том, что вместо чисел у нас функции. Найдем главный определитель системы: Если позабылось, как раскрывается определитель «два на два», обратитесь к уроку Как вычислить определитель? Ссылка ведёт на доску позора =) Итак: , значит, система имеет единственное решение. Находим производную: Но это еще не всё, пока мы нашли только производную. Разбираемся со второй функцией:
На заключительном этапе решения вспоминаем, в каком виде мы искали общее решение неоднородного уравнения? В таком: Нужные функции только что найдены! Осталось выполнить подстановку и записать ответ: Ответ: общее решение: В принципе, в ответе можно было раскрыть скобки. Полная проверка ответа выполняется по стандартной схеме, которая рассматривалась на уроке Неоднородные ДУ 2-го порядка . Но проверка будет непростой, поскольку предстоит находить достаточно тяжелые производные и проводить громоздкую подстановку. Это неприятная особенность, когда вы решаете подобные диффуры. Пример 5 Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных постоянных Это пример для самостоятельного решения. На самом деле в правой части тоже дробь. Вспоминаем тригонометрическую формулу , её, к слову, нужно будет применить по ходу решения. Метод вариации произвольных постоянных – наиболее универсальный метод. Им можно решить любое уравнение, которое решается методом подбора частного решения по виду правой части . Возникает вопрос, а почему бы и там не использовать метод вариации произвольных постоянных? Ответ очевиден: подбор частного решения, который рассматривался на уроке Неоднородные уравнения второго порядка , значительно ускоряет решение и сокращает запись – никакого трахча с определителями и интегралами. Рассмотрим два примера с задачей Коши . Пример 6 Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданным начальным условиям , Решение:
Опять дробь и экспонента в интересном месте. Найдем общее решение
соответствующего однородного
уравнения: Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде: , где – пока ещё неизвестные функции. Составим систему: В данном случае: Таким образом: Систему решим по формулам Крамера: Восстанавливаем функцию интегрированием: Восстанавливаем вторую функцию интегрированием: Такой интеграл решается методом замены переменной
: Из самой замены выражаем: Таким образом: Данный интеграл можно найти методом выделения полного квадрата
, но в примерах с диффурами я предпочитаю раскладывать дробь методом неопределенных коэффициентов
: Обе функции найдены: В результате, общее решение неоднородного уравнения: Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям . Технически поиск решения осуществляется стандартным способом, который рассматривался в статье Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка . Держитесь, сейчас будем находить производную от найденного общего решения: Вот такое вот безобразие. Упрощать его не обязательно, легче сразу составить систему уравнений. В соответствии с начальными условиями : Подставим найденные значения констант в общее решение: В ответе логарифмы можно немного запаковать. Ответ: частное решение: Как видите, трудности могут возникнуть в интегралах и производных, но никак не в самом алгоритме метода вариации произвольных постоянных. Это не я вас запугал, это всё сборник Кузнецова! Для расслабления заключительный, более простой пример для самостоятельного решения: Пример 7 Решить задачу Коши , Пример несложный, но творческий, когда составите систему, внимательно на неё посмотрите, прежде чем решать;-),
Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение
Пример №1
. Найдём общее решение уравнения y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x . Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y"" + 4y" + 3y = 0. Корни его характеристического уравнения r 2 + 4r + 3 = 0 равны -1 и -3. Поэтому фундаментальная система решений однородного уравнения состоит из функций y 1 = e - x и y 2 = e -3 x . Решение неоднородного уравнения ищем в виде y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x . Для нахождения производных C" 1 , C" 2 составляем систему уравнений (8)
Пример №2
. Решить линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных:
Решение:
Поскольку y
=C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x , то записываем полученные выражения в виде:
Найдем частное решение при условии:
Подставляя x = 0, в найденное уравнение, получим:
Получаем систему из двух уравнений:
|
Читайте: |
---|
Популярное:
Чему равно значение тригонометрической функции |
Новое
- Энциклопедия сказочных героев: "Красавица и Чудовище"
- История Екатерины Второй (1885 год) Брикнер александр история екатерины второй
- Презентация - династия романовых Почему рухнула империя романовых презентация
- Функция распределения случайной величины
- Значение фразеологизма «сказка про белого бычка
- Значение на скорую руку в большом современном толковом словаре русского языка Фразеологический оборот на скорую руку
- Ключевые идеи концепции развития математического образования в рф и ит-образование
- Презентация на тему "биография афанасия фета"
- Существует ли закон определяющий место обучения (школу) по месту проживания?
- Записки классного руководителя, или Три укола от бешенства для современных «мамочек