kosinüs teoremi geometri dersi, 9. sınıf, UMK L.S. Atanasyan

• matematik ve fizik öğretmeni
• MBOU ortaokulu No.4
• np Murmansk bölgesinin Ensky Kovdorsky bölgesi

• Kosinüs yasasını öğrenin
• Kosinüs teoreminin uygulanmasına ilişkin problem çözme becerilerini geliştirmek

• Teoremin formülasyonunu incelemek

• Bir üçgenin bir kenarının karesi, diğer iki kenarın karelerinin toplamı eksi bu kenarların iki katı çarpı aralarındaki açının kosinüsüne eşittir.

• teorem

• teoremin kanıtı

• B(c;0)

• C(b) cosA; B sinA)

• üçgeni çöz

• α - ?

• β - ?

• γ - ?

• Çözüm

• α - A

• kararı bitirmek

• Küresel bir üçgen için kosinüs teoremine eşdeğer ifadeler, ülkelerdeki matematikçilerin yazılarında kullanılmıştır. Orta Asya. Alışıldık biçiminde küresel bir üçgen için kosinüs teoremi, ona "Albategnius teoremi" (el-Battani'den sonra) adını veren Regiomontanus tarafından formüle edildi.
• Avrupa'da kosinüs teoremi 16. yüzyılda François Viet tarafından popüler hale getirildi. İÇİNDE erken XIX yüzyıllarda bu güne kadar kabul edilen cebirsel gösterimde yazılmaya başlandı.

• Tarihi bilgi

• Abu Abdallah Muhammed ibn Jabir ibn Sinan al-Battani لبتاني‎, Harran, 858 - Samarra, 929) - olağanüstü bir ortaçağ astronomu ve matematikçisi, Sabiy kökenli. İÇİNDE Ortaçağ avrupası Latince adı Albategnius tarafından biliniyordu.

• Al-Battani, 877 ile 919 yılları arasında Rakka ve Şam'da geçirdi. sonuçlarına göre "Sabaean Zij" i oluşturan birçok astronomik gözlem. Ptolemy'den daha kesin olarak, ekliptiğin ekvatora eğimini - 23 ° 35'41 ″ ve ekinoksların beklentisini - yılda 54,5 ″ veya 66 yılda 1 ° belirledi. Zic'in matematiksel bölümünde el-Batani, küresel üçgenleri hesaplamak için İslam ülkelerinin diğer matematikçileri tarafından daha da geliştirilen yöntemleri açıkladı.

• Regiomontanus (lat. Regiomontanus, gerçek adı - Johann Müller, Alman Johannes Müller) (6 Haziran 1436, Königsberg (Bavyera) - 6 Temmuz 1476, Roma) - seçkin bir Alman astrolog, astronom ve matematikçi. Johann Müller'in memleketi için Latince bir isim olan Regiomontanus isminin ilk olarak Philipp Melanchthon tarafından Sacrobosco'nun The Sphere of the World kitabının kendi baskısının önsözünde kullanılmış olduğu anlaşılmaktadır.

• 1540 yılında Fransa'nın Poitou-Charentes eyaleti Fontenay-le-Comte'de doğdu. François'nın babası bir savcıdır. Önce yerel Fransisken manastırında ve ardından lisans derecesi aldığı (1560) Poitiers Üniversitesi'nde (akrabası Barnabe Brisson gibi) okudu. 19 yaşından beri memleketinde avukatlık yapmaktadır. 1567'de memuriyete girdi.
• 1570 civarında, 1579'da Paris'te yayınladığı, trigonometri üzerine önemli bir çalışma olan "Matematiksel Kanon" u hazırladı.

• Viet, annesinin bağlantıları ve öğrencisinin Prince de Rogan ile evliliği sayesinde parlak bir kariyer yaptı ve önce Kral III. Henry IV adına Viet, İspanya kralı II. Philip tarafından kara büyü kullanmakla suçlandığı Fransa'daki İspanyol ajanlarının yazışmalarını deşifre etmeyi başardı.
• Mahkeme entrikalarının bir sonucu olarak Viet birkaç yıllığına (1584-1588) işten çıkarıldığında, kendisini tamamen matematiğe adadı. Klasiklerin (Cardano, Bombelli, Stevin ve diğerleri) eserlerini inceledi. Düşüncelerinin sonucu, Viet'in önerdiği birkaç çalışmaydı. yeni dil"genel aritmetik" - cebirin sembolik dili.

• Vieta yaşamı boyunca eserlerinin sadece bir kısmı yayınlandı. Ana eseri, kapsamlı bir incelemenin başlangıcı olarak gördüğü, ancak devam etmeye vakti olmadığı "Analitik Sanata Giriş" (1591)'dir. Bilim adamının şiddetli bir şekilde öldüğüne dair bir hipotez var. Vieta'nın eser koleksiyonu ölümünden sonra (1646, Leiden) Hollandalı arkadaşı F. van Schoten tarafından yayınlandı.

• 1025(d, e)'yi çözün

• https://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%E5%EE%F0%E5%EC%E0_%EA%EE%F1%E8%ED%F3%F1%EE%E2
• https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB-%D0%91%D0%B0%D1%82%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B8
• https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%B5%D1%82,_%D0%A4%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81 %D1%83%D0%B0
• https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%B3%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D1%82%D0 %B0%D0%BD

Pratik içerikli problemlerde sinüs ve kosinüs teoremleri

doğru?

1. Egzersiz

Bu partilerin çalışmaları günah arasındaki açı.

tr-ka'nın herhangi bir tarafının karesi toplama eşittir

diğer iki kenarın kareleri olmadan

Bu partilerin çalışmaları çünkü arasındaki açı.

tr-ka'nın herhangi bir tarafının karesi toplama eşittir

diğer iki kenarın çiftsiz kareleri

Bu partilerin çalışmaları çünkü arasındaki açı.

Bir dik üçgende

bacak kare farka eşittir kareler

hipotenüs ve diğer bacak.

Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğru?

Görev 2

zıt açıların sinüsleri.

Üçgenin kenarları orantılıdır

zıt açıların kosinüsleri.

Üçgenin kenarları orantılıdır

komşu açıların sinüsleri.

Üçgenin kenarları orantılıdır

zıt köşeler.

Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğru?

Görev 3

alan ve çevre.

Bir üçgeni çözmek, her şeyi ölçmek demektir

onun elemanları.

Bir üçgeni çözmek onu bulmak demektir

Bilinmeyen üç bilinen element tarafından bilinmeyen elementler.

Bir üçgeni çözmek, onu bulmak demektir.

eşit üçgen

Doğru değil!

Doğru değil!

Doğru değil!

Kibrit?

Görev 4

A) sinüs teoremi

B) Heron formülü

C) Pisagor teoremi

D) kosinüs teoremi

1.7 m boyunda bir adam uzakta duruyor

Fenerin asılı olduğu direğe 8 adım.

Bir insanın gölgesi dört adıma eşittir. Hangi

yükseklikte (metre cinsinden) fener bulunur mu?

Görev 5

8 adım

4 adım

İpucu (2)

Benzer üçgenleri düşünün

Δ ABC

Δ AKM

Futbol topu, kale direklerinden 23 m ve 24 m mesafelerde bulunan Kirpi'dedir. Kale genişliği 7 m Topun kaleye çarptığı açıyı bulunuz?

Görev 6

Görev 7

Pratik problemleri çözmek için algoritma

• Çizimi çalıştır
• Geometrik bir problem çözme

Görev 7

Erişilemeyen bir nesneye olan mesafeyi bulun

Erişilemeyen bir nesneye olan mesafeyi bulmak için algoritma

• Aralarındaki mesafe ölçülebilen 2 noktayı işaretleyin
• Bir açı ölçümü yapın
• İnşa etmek matematiksel model(çizim)
• Sinüs teoremini kullanarak geometrik bir problem çözme

Kendin için karar ver 1 seçenek Nehrin genişliğini (AC) belirlemek için birbirinden 50m uzaklıkta 2 nokta C ve B işaretlenmiştir. DAB ve ABC açılarını ölçtük; burada A, nehrin diğer tarafında, su kenarında duran bir ağaçtır. (<АCВ=550, <АВС=650) seçenek 2 Nehrin genişliğini (AC) belirlemek için birbirinden 40 m mesafede 2 nokta B ve C işaretlenmiştir. DAB ve ABC açılarını ölçtük; burada A, nehrin diğer tarafında, su kenarında duran bir ağaçtır. (<АCВ=600, <АВС=700) Проверьте друг друга <А=1800-600-700= 50 0 AВ = 49 м

Ders « kosinüs teoremi»

ders türü : yeni bilginin asimilasyonunda bir ders

dersin yeri - bu konudaki ilk ders

Dersin öğrenme hedefi :

öğrencilerin kosinüs teoreminin formülasyonu hakkındaki bilgisi;

yetenek:

diğer ikisi ve açısı verilen üçüncü kenarın uzunluğunu bulun

onların arasında;

bir üçgenin açısını (açının kosinüsü) bilinen üç noktadan belirleyin

taraflar;

Bilinen üç kenarı verilen bir üçgenin türünü belirleyin.

Kişisel gelişim görevleri:

durumları düzenlemek:

öğrencilerin tahmin edilen sonuca ilişkin kendi kaderini tayin etmesi

bilişsel aktivite;

refleksif yeteneklerin gelişimi;

için koşullar oluşturun:

öğrencilerin iletişim becerilerinin geliştirilmesi;

öğrencilerin düşünme, tartışma, kanıtlama yeteneğinin gelişimi.

Ekipman ve malzemeler: multimedya kurulumu, perde, tahta, tebeşir.

Kısa Ders Planı

1. Organizasyon zamanı.

2. Önde gelen bilgi ve eylem yöntemlerinin güncellenmesi.

3. Motivasyon ve hedef belirleme.

4. Ana bölüm. Kosinüs teoreminin kanıtı. Verim

problem çözmede kosinüs teoreminin uygulama örnekleri.

Bilginin bağımsız uygulaması. (Mini test).

5. Refleks. Dersi özetlemek.

dersler sırasında

1. Aşama örgütsel. Öğrencileri selamlıyorum, okul çocuklarının işyerinin derse hazır olup olmadığını kontrol ediyorum. Çalışma havası yaratırım, öğrencilere ders sırasında çalışma kartına notlar koyarak kendilerini değerlendirdiklerini duyururum.

2. aşamaÖğrencilerin bilgilerinin gerçekleştirilmesi, hipotezler.

Yeni başlayanlar için “İndirgeme formülleri”, “0⁰ ila 180⁰ açılar için sinüs, kosinüs ve teğet değerleri” formüllerine göre bir ısınma (test) öneriyorum.

Koordinatlarına göre noktalar arasındaki mesafeyi bulmak için formülü yazın.

3. aşama Bir problem durumu yaratmak, onun çözümü.Motivasyon ve hedef belirleme.

Sorunlu görev, öğrencilerin daha fazla bilişsel aktivite için motivasyonunu arttırır. Dersin amacını belirlemek ve dersin sonuçlarını tahmin etmek için bir durum organize ediliyor, örneğin bir üçgenin üçüncü kenarının uzunluğunu diğerinin bilinen uzunluklarından bulmak için evrensel bir yol bulmak gerekiyor. iki kenar ve aralarındaki açı.

Grup çalışması.

sorunun çözümü . Görev. Noktalar arasındaki uzaklık formülünü kullanarak BC kenarının uzunluğunu bulunuz.▲ A(0;0), B(c;0), C(bcosA ; bsinA ).

Çözüm: Elde edilen eşitliğin sözel bir formülasyonunu verelim. adlı bir teorem elde ederiz. kosinüs teoremi:

bir üçgenin bir kenarının karesi, diğer iki kenarın karelerinin toplamı eksi bu kenarların iki katı çarpı aralarındaki açının kosinüsüne eşittir.

Kosinüs teoreminin en güzel ve en basit ispatlarından biri koordinat düzlemindeki ispatıdır.

Pisagor teoreminin kosinüs teoreminin özel bir durumu olduğunu söyleyebilir miyiz? Evet çünkü cos90o=0.

4. aşama. Fizminutka.

6. aşama. Problemin ifadesi: Problemin çözülebilmesi için kaç tane elementin bilinmesi gerekir? Bir model oluşturun, sorunun türünü belirleyin, üçgenin öğeleri arasındaki ilişkileri ve bağlantıları keşfedin .

tartışma için soru inkar. Kosinüs teoremi kullanılarak hangi problem çözülebilir?

Bilerek formuna sahiptir 2 = b 2 +ç 2 - 2bc×cosγ, bu ifadeyi istenen değer γ açısı olacak şekilde dönüştürün: b 2 +ç 2 =2bc×cosγ+a 2 .
O zaman gösterileni getir biraz farklı bir form için denklem: b 2 +ç 2- A 2 =2bc×cosγ. Bu ifade daha sonra izlenir aşağıdakine:

cosγ=√b 2 +c 2 -a2/2bc.
tartışma için soru inkar. Bu formülden ne bulunabilir?

Bir üçgende bir açının kosinüs değeri.

Öğrencilerden üç kenar uzunlukları bilinen bir üçgende en büyük açının kosinüsünü hesaplamaları ve bu üçgenin türünü belirlemeleri istenir.

Kenarları eşitse bir üçgendeki en büyük açının kosinüsünü hesaplayın:

Seçenekler #1

Seçenek numarası 2

Seçenek numarası 3

c=6, b=8, a=9

c=6, b=8, a=10

c=6, b=8, a=11

çünkü 19/96

çünkü 0

çünkü 0

79 0

90 0

103 0

Her grubun hesaplamalarının sonuçları bir tabloya girilir, tartışılır ve sonuçlar çıkarılır:

Üçgenin türünü belirlemek (dar açılı, dik açılı, geniş açılı)

gerekli:

Büyük kenarın karşısındaki açının kosinüsünü hesaplayın;

eğer çünkü 0 , üçgen akuttur;

eğer çünkü 0 , dik üçgen;

eğer çünkü 0, üçgen geniştir.

tartışma için soru Denia.En büyük açının kosinüsünü hesaplamadan bu soruyu nasıl cevaplayabilirsiniz? Bir üçgenin kenarları ve açıları arasındaki ilişki hakkındaki teoremi hatırlıyorum. (Bir üçgende, daha büyük bir açı daha büyük kenarın karşısındadır ve bunun tersine, daha büyük kenar daha büyük açının karşısındadır).

ÇÖZÜM.

En uzun kenar c olsun
- Eğer İle 2 < a 2 +b 2, o zaman üçgen akuttur;
- Eğer İle 2 = bir 2 +b 2, o zaman üçgen dik açılıdır;
- Eğer İle 2 > bir 2 +b 2, o zaman üçgen geniştir.

Tamamlanan görevlerin (evde) çıktısını kontrol edin.

Aşama 7. Daha fazla çalışma için uzun vadeli bir plan oluşturmak.

- öğretmenin sorusu : Tartışma için soru. Kosinüs teoremi kullanılarak hangi problemler çözülebilir?

- öğrenci cevapları

bilinen diğer iki kenardan üçüncü kenarın uzunluğunu ve aralarındaki açıyı bulun;

bilinen üç kenardan bir üçgenin açısını (açının kosinüsü) belirleyin

bilinen üç kenarı verilen bir üçgenin şeklini belirleme

Aşama 5 Konsolidasyon. Mini testler

Mini test

Durum

Cevap seçenekleri

Kenarları olan bir üçgende M , N , P karşı taraf

P α açısı yatıyor . O zaman aşağıdaki doğrudur.

formül:

A) M 2 N 2 P 2 2 np cosα

B) M N 2 P 2 2 np cosα

İÇİNDE) P 2 M 2 N 2 mn cosα ;

G) P M 2 N 2 mn cosα ;

Üçgenin büyük açısının kosinüsü ise

negatif, o zaman bu üçgen:

A) keskin açılı; B) dikdörtgen;

İÇİNDE) geniş.

Bir üçgenin iki kenarının uzunlukları ve 3 ve açı

aralarında 45 0 . O zaman üçüncü kenarın uzunluğu:

A) 2; B) 3; B) √ 5; G) 5

Bir üçgende kenar uzunlukları √3'tür; 4; √7. Üçgenin türünü belirleyin

A) keskin açılı; B) dikdörtgen;

İÇİNDE) geniş.

Muayene

Cevap seçenekleri

1

İÇİNDE) P 2 M 2 N 2 mn çünküα ;

2

İÇİNDE) geniş.

3

C)√ 5

4

İÇİNDE) geniş

Dersi tamamlamak için başka ne yapılması gerekiyor?

Öğrenciler: "Ödev atayın."

Öğretmen: Eğer bir öğretmen olsaydın, ödevin ne olurdu?

8 aşamalı. Ev ödevi. S.98, 1025(d).

Çalışma kartlarında son işareti koymayı ve masayı doldurma üzerine düşünmeyi öneriyorum.

Tabloyu dolduran tartışma. Derecelendirmeler

Uygulamalar No. 1. Isınma.Ölçek

"İndirgeme formülleri", "0⁰ ile 180⁰ arasındaki açılar için sinüs, kosinüs ve tanjant değerleri"

1. günah (90 ⁰ - α ) =

2. çünkü (90 ⁰ - α ) =

3. günah (180 ⁰ - α ) = 1. cosα 2. sinα 3. - cosα 4. - sinα

4. çünkü (180 ⁰ - α ) 1) cosα 2) sinα 3) - cosα 4) - sinα

5. çünkü 60 ⁰ = 1) 2) 3)

6. çünkü 30 ⁰ = 1) 2) 3)

Bağımsız iş:

Seçenek 2:

1 seçenek:

Cevapları kontrol et:

Seçenek 2:

1 seçenek:

Kosinüs teoremi:

Bir üçgenin bir kenarının karesi, diğer iki kenarın karelerinin toplamı eksi bu kenarların iki katı çarpı aralarındaki açının kosinüsüne eşittir.

• Uçaktaki sinüs teoreminin en eski kanıtı, Nasir ad-Din At-Tusi'nin 13. yüzyılda yazdığı "Tam Dörtgen Üzerine İnceleme" kitabında anlatılıyor. Küresel bir üçgen için sinüs teoremi, 10. yüzyılın başlarında Orta Çağ Doğu matematikçileri tarafından kanıtlanmıştır. XI. yüzyıl Al-Jayani'nin "Kürenin Bilinmeyen Yayları Kitabı" adlı çalışmasında, küre üzerindeki sinüs teoreminin genel bir kanıtı verildi.

Nasir ad-Din At-Tusi

sinüs teoremi :

Bir üçgenin kenarları, zıt açıların sinüsleriyle orantılıdır

• Yorum: Bir üçgenin kenarının karşı açının sinüsüne oranının çevrelenmiş çemberin çapına eşit olduğu kanıtlanabilir. Bu nedenle, kenarları AB=c, BC=a, CA=b olan herhangi bir ABC üçgeni için eşitlikler geçerlidir.
• Burada R, çevrelenmiş dairenin yarıçapıdır.

1) Verilen üçgen için sinüs teoremini yazın:

2) MK'nin kenarını hesaplamak için kosinüs teoremini yazın:

B açısını bulun.

BC kenarının uzunluğunu bulunuz.

AB kenarının uzunluğunu bulun.

M.N.'yi bul

Hesaplanacak formülü yazın:

• http://ppt4web.ru/geometrija/teoremy-sinusov-i-kosinusov0.html
• http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2014/10/15/teorema-sinusov-i-kosinusov
• https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/14/Johannes_Regiomontanus2.jpg/500px-Johannes_Regiomontanus2.jpg
• http://img1.liveinternet.ru/images/attach/c/10/110/217/110217775_Nesreddi_tusi.jpg
• http://www.biografguru.ru/about/evklid/?q=3117