Рассмотрим положительный числовой ряд .
Если существует предел , то:
а) При ряд расходится . Причём полученное значение может быть нулевым или отрицательным
б) При ряд сходится . В частности, ряд сходится при .
в) При признак Раабе не даёт ответа .

Составляем предел и бережно-аккуратно упрощаем дробь:

Да, картина, мягко говоря, неприятная, но я уже не удивился.Подобные пределы раскалываются с помощью правила Лопиталя , и первая мысль, как потом выяснилась, оказалось правильной. Но сначала я где-то час я крутил-вертел предел «обычными» методами, однако неопределённость не желала устраняться. А ходьба по кругу, как подсказывает опыт – типичный признак того, что выбран неверный способ решения.

Пришлось обратиться к русской народной мудрости: «Если ничего не помогает, прочитайте инструкцию». И когда я открыл 2-ой том Фихтенгольца, то к великой радости обнаружил исследование идентичного ряда . И дальше пошло решение по образцу:

Поскольку числовая последовательность считается частным случаем функции, то в пределе проведём замену: . Если , то .

В результате:

Теперь у меня предел функции и применимо правило Лопиталя . В процессе дифференцирования придётся брать производную степенно-показательной функции , которую технически удобно найти отдельно от основного решения:

ТерпИте, раз уж сюда забрались – Бармалей в начале статьи предупреждал =) =)

Дважды использую правило Лопиталя:

расходится .

Потрачена уйма времени, но мои ворота устояли!

Ради интереса я вычислил 142 члена ряда в Экселе (на бОльшее не хватило вычислительной мощности) и похоже (но строго теоретически не гарантировано!), что для данного ряда не выполнен даже необходимый признак сходимости. Посмотреть эпический результат можноздесь >>> После таких злоключений не удержался от соблазна этим же любительским способом проверить и предел .

Пользуйтесь на здоровье, решение легально!

А это ваш слонёнок:

Пример 20

Исследовать сходимость ряда

Если вы хорошо прониклись идеями данного урока, то справитесь с этим примером! Он значительно проще предыдущего;-)

Наше путешествие завершилось на яркой ноте, и, надеюсь, у всех оставило незабываемое впечатление. Желающие продолжения банкета могут пройти на страницу Готовые задачи по высшей математике и закачать архив с дополнительными заданиями по теме.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение : сравним данный ряд со сходящимся рядом . Для всех натуральных номеров справедливо неравенство , а значит, по признаку сравнения исследуемый ряд сходится вместе с рядом .

Пример 4: Решение : сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом. Используем предельный признак сравнения:

(произведение бесконечно малой на ограниченную – есть бесконечно малая последовательность)
расходится вместе с гармоническим рядом.

Пример 5: Решение : вынесем множитель-константу общего члена за пределы суммы, от него не зависит сходимость или расходимость ряда:

Сравним данный ряд со сходящейся бесконечно убывающей геометрической прогрессией . Последовательность – ограничена: , поэтому для всех натуральных номеров выполнено неравенство . А, значит, по признаку сравнения исследуемый ряд сходится вместе с рядом .

Пример 8: Решение : сравним данный ряд с расходящимся рядом (константа-множитель общего члена не влияет на сходимость или расходимость ряда). Используем предельный признак сравнения и замечательный предел :

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится вместе с рядом .

Пример 13: Решение

Таким образом, исследуемый ряд сходится .

Пример 14: Решение : используем признак Даламбера:

Заменим бесконечно малые эквивалентными: при .
Используем второй замечательный предел: .

Следовательно, исследуемый ряд расходится .
Умножим и разделим на сопряженное выражение:

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится вместе с рядом .

Пример 20: Решение : проверим необходимое условие сходимости ряда. В ходе вычислений типовым приёмом организуем 2-ой замечательный предел:

Таким образом, исследуемый ряд расходится .

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

В этой статье собрана и структурирована информация, необходимая для решения практически любого примера по теме числовые ряды, от нахождения суммы ряда до исследования его на сходимость.

Обзор статьи.

Начнем с определений знакоположительного, знакопеременного ряда и понятия сходимости. Далее рассмотрим стандартные ряды, такие как гармонический ряд, обобщенно гармонический ряд, вспомним формулу для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. После этого перейдем к свойствам сходящихся рядов, остановимся на необходимом условии сходимости ряда и озвучим достаточные признаки сходимости ряда. Теорию будем разбавлять решением характерных примеров с подробными пояснениями.

Навигация по странице.

Основные определения и понятия.

Пусть мы имеем числовую последовательность , где .

Приведем пример числовой последовательности: .

Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида .

В качестве примера числового ряда можно привести сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = -0.5 : .

Называют общим членом числового ряда или k–ым членом ряда.

Для предыдущего примера общий член числового ряда имеет вид .

Частичная сумма числового ряда – это сумма вида , где n – некоторое натуральное число. называют также n-ой частичной суммой числового ряда.

К примеру, четвертая частичная сумма ряда есть .

Частичные суммы образуют бесконечную последовательность частичных сумм числового ряда.

Для нашего ряда n –ая частичная сумма находится по формуле суммы первых n членов геометрической прогрессии , то есть, будем иметь следующую последовательность частичных сумм: .

Числовой ряд называется сходящимся , если существует конечный предел последовательности частичных сумм . Если предел последовательности частичных сумм числового ряда не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.

Суммой сходящегося числового ряда называется предел последовательности его частичных сумм, то есть, .

В нашем примере , следовательно, ряд сходится, причем его сумма равна шестнадцати третьим: .

В качестве примера расходящегося ряда можно привести сумму геометрической прогрессии со знаменателем большем, чем единица: . n–ая частичная сумма определяется выражением , а предел частичных сумм бесконечен: .

Еще одним примером расходящегося числового ряда является сумма вида . В этом случае n–ая частичная сумма может быть вычислена как . Предел частичных сумм бесконечен .

Сумма вида называется гармоническим числовым рядом .

Сумма вида , где s – некоторое действительное число, называется обобщенно гармоническим числовым рядом .

Приведенных определений достаточно для обоснования следующих очень часто используемых утверждений, рекомендуем их запомнить.

ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД ЯВЛЯЕТСЯ РАСХОДЯЩИМСЯ.

Докажем расходимость гармонического ряда.

Предположим, что ряд сходится. Тогда существует конечный предел его частичных сумм. В этом случае можно записать и , что приводит нас к равенству .

С другой стороны,


Не вызывают сомнения следующие неравенства . Таким образом, . Полученное неравенство указывает нам на то, что равенство не может быть достигнуто, что противоречит нашему предположению о сходимости гармонического ряда.

Вывод: гармонический ряд расходится.

СУММА ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ ВИДА СО ЗНАМЕНАТЕЛЕМ q ЯВЛЯЕТСЯ СХОДЯЩИМСЯ ЧИСЛОВЫМ РЯДОМ, ЕСЛИ , И РАСХОДЯЩИМСЯ РЯДОМ ПРИ .

Докажем это.

Мы знаем, что сумма первых n членов геометрической прогрессии находится по формуле .

При справедливо


что указывает на сходимость числового ряда.

При q = 1 имеем числовой ряд . Его частичные суммы находятся как , а предел частичных сумм бесконечен , что указывает на расходимость ряда в этом случае.

Если q = -1 , то числовой ряд примет вид . Частичные суммы принимают значение для нечетных n , и для четных n . Из этого можно сделать вывод, что предел частичных сумм не существует и ряд расходится.

При справедливо


что указывает на расходимость числового ряда.

ОБОБЩЕННО ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД СХОДИТСЯ ПРИ s > 1 И РАСХОДИТСЯ ПРИ .

Доказательство.

Для s = 1 получим гармонический ряд , а выше мы установили его расходимость.

При s справедливо неравенство для всех натуральных k . В силу расходимости гармонического ряда можно утверждать, что последовательность его частичных сумм неограниченна (так как не существует конечного предела). Тогда последовательность частичных сумм числового ряда тем более неограниченна (каждый член этого ряда больше соответствующего члена гармонического ряда), следовательно, обобщенно гармонический ряд расходится при s .

Осталось доказать сходимость ряда при s > 1 .

Запишем разность :



Очевидно, что , тогда


Распишем полученное неравенство для n = 2, 4, 8, 16, …



Используя эти результаты, с исходным числовым рядом можно провести следующие действия:



Выражение представляет собой сумму геометрической прогрессии, знаменатель которой равен . Так как мы рассматриваем случай при s > 1 , то . Поэтому
. Таким образом, последовательность частичных сумм обобщенно гармонического ряда при s > 1 является возрастающей и в тоже время ограниченной сверху значением , следовательно, она имеет предел, что указывает на сходимость ряда . Доказательство завершено.

Числовой ряд называется знакоположительным , если все его члены положительны, то есть, .

Числовой ряд называется знакочередующимся , если знаки его соседних членов различны. Знакочередующийся числовой ряд можно записать в виде или , где .

Числовой ряд называется знакопеременным , если он содержит бесконечное множество как положительных, так и отрицательных членов.

Знакочередующийся числовой ряд является частным случаем знакопеременного ряда.

Ряды

являются знакоположительным, знакочередующимся и знакопеременным соответственно.

Для знакопеременного ряда существует понятие абсолютной и условной сходимости.

абсолютно сходящимся , если сходится ряд из абсолютных величин его членов, то есть, сходится знакоположительный числовой ряд .

К примеру, числовые ряды и абсолютно сходятся, так как сходится ряд , являющийся суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся , если ряд расходится, а ряд сходится.

В качестве примера условно сходящегося числового ряда можно привести ряд . Числовой ряд , составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, расходящийся, так как является гармоническим. В то же время, исходный ряд является сходящимся, что легко устанавливается с помощью . Таким образом, числовой знакочередующийся ряд условно сходящийся.

Свойства сходящихся числовых рядов.

Пример.

Докажите сходимость числового ряда .

Решение.

Запишем ряд в другом виде . Числовой ряд сходится, так как обобщенно гармонический ряд является сходящимся при s > 1 , а в силу второго свойства сходящихся числовых рядов будет сходится и ряд с числовым коэффициентом .

Пример.

Сходится ли числовой ряд .

Решение.

Преобразуем исходный ряд: . Таким образом, мы получили сумму двух числовых рядов и , причем каждый из них сходится (смотрите предыдущий пример). Следовательно, в силу третьего свойства сходящихся числовых рядов, сходится и исходный ряд.

Пример.

Докажите сходимость числового ряда и вычислите его сумму.

Решение.

Данный числовой ряд можно представить в виде разности двух рядов:

Каждый из этих рядов представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, следовательно, является сходящимся. Третье свойство сходящихся рядов позволяет утверждать, что исходный числовой ряд сходится. Вычислим его сумму.

Первый член ряда есть единица, а знаменатель соответствующей геометрической прогрессии равен 0.5 , следовательно, .

Первым членом ряда является 3 , а знаменатель соответствующей бесконечно убывающей геометрической прогрессии равен 1/3 , поэтому .

Воспользуемся полученными результатами для нахождения суммы исходного числового ряда:

Необходимое условие сходимости ряда.

Если числовой ряд сходится, то предел его k-ого члена равен нулю: .

При исследовании любого числового ряда на сходимость в первую очередь следует проверять выполнение необходимого условия сходимости. Невыполнение этого условия указывает на расходимость числового ряда, то есть, если , то ряд расходится.

С другой стороны нужно понимать, что это условие не является достаточным. То есть, выполнение равенства не говорит о сходимости числового ряда . К примеру, для гармонического ряда необходимое условие сходимости выполняется , а ряд расходится.

Пример.

Исследовать числовой ряд на сходимость.

Решение.

Проверим необходимое условие сходимости числового ряда:

Предел n-ого члена числового ряда не равен нулю, следовательно, ряд расходится.

Достаточные признаки сходимости знакоположительного ряда.

При использовании достаточных признаков для исследования числовых рядов на сходимость постоянно приходится сталкиваться с , так что рекомендуем обращаться к этому разделу при затруднениях.

Необходимое и достаточное условие сходимости знакоположительного числового ряда.

Для сходимости знакоположительного числового ряда необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.

Начнем с признаков сравнения рядов. Их суть заключается в сравнении исследуемого числового ряда с рядом, сходимость или расходимость которого известна.

Первый, второй и третий признаки сравнения.

Первый признак сравнения рядов.

Пусть и - два знакоположительных числовых ряда и выполняется неравенство для всех k = 1, 2, 3, ... Тогда из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости ряда следует расходимость .

Первый признак сравнения используется очень часто и представляет собой очень мощный инструмент исследования числовых рядов на сходимость. Основную проблему представляет подбор подходящего ряда для сравнения. Ряд для сравнения обычно (но не всегда) выбирается так, что показатель степени его k-ого члена равен разности показателей степени числителя и знаменателя k-ого члена исследуемого числового ряда. К примеру, пусть , разность показателей степени числителя и знаменателя равна 2 – 3 = -1 , поэтому, для сравнения выбираем ряд с k-ым членом , то есть, гармонический ряд. Рассмотрим несколько примеров.

Пример.

Установить сходимость или расходимость ряда .

Решение.

Так как предел общего члена ряда равен нулю , то необходимое условие сходимости ряда выполнено.

Несложно заметить, что справедливо неравенство для всех натуральных k . Мы знаем, что гармонический ряд расходится, следовательно, по первому признаку сравнения исходный ряд также является расходящимся.

Пример.

Исследуйте числовой ряд на сходимость.

Решение.

Необходимое условие сходимости числового ряда выполняется, так как . Очевидно выполнение неравенства для любого натурального значения k . Ряд сходится, так как обобщенно гармонический ряд является сходящимся для s > 1 . Таким образом, первый признак сравнения рядов позволяет констатировать сходимость исходного числового ряда.

Пример.

Определите сходимость или расходимость числового ряда .

Решение.

, следовательно, необходимое условие сходимости числового ряда выполнено. Какой ряд выбрать для сравнения? Напрашивается числовой ряд , а чтобы определиться с s , внимательно исследуем числовую последовательность . Члены числовой последовательности возрастают к бесконечности. Таким образом, начиная с некоторого номера N (а именно, с N = 1619 ), члены этой последовательности будут больше 2 . Начиная с этого номера N , справедливо неравенство . Числовой ряд сходится в силу первого свойства сходящихся рядов, так как получается из сходящегося ряда отбрасыванием первых N – 1 члена. Таким образом, по первому признаку сравнения сходящимся является ряд , а в силу первого свойства сходящихся числовых рядов сходится будет и ряд .

Второй признак сравнения.

Пусть и - знакоположительные числовые ряды. Если , то из сходимости ряда следует сходимость . Если , то из расходимости числового ряда следует расходимость .

Следствие.

Если и , то из сходимости одного ряда следует сходимость другого, а из расходимости следует расходимость.

Исследуем ряд на сходимость с помощью второго признака сравнения. В качестве ряда возьмем сходящийся ряд . Найдем предел отношения k-ых членов числовых рядов:

Таким образом, по второму признаку сравнения из сходимости числового ряда следует сходимость исходного ряда.

Пример.

Исследовать на сходимость числовой ряд .

Решение.

Проверим необходимое условие сходимости ряда . Условие выполнено. Для применения второго признака сравнения возьмем гармонический ряд . Найдем предел отношения k-ых членов:

Следовательно, из расходимости гармонического ряда следует расходимость исходного ряда по второму признаку сравнения.

Для информации приведем третий признак сравнения рядов.

Третий признак сравнения.

Пусть и - знакоположительные числовые ряды. Если с некоторого номера N выполняется условие , то из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости ряда следует расходимость .

Признак Даламбера.

Замечание.

Признак Даламбера справедлив, если предел бесконечен, то есть, если , то ряд сходится, если , то ряд расходится.

Если , то признак Даламбера не дает информацию о сходимости или расходимости ряда и требуется дополнительное исследование.

Пример.

Исследуйте числовой ряд на сходимость по признаку Даламбера.

Решение.

Проверим выполнение необходимого условия сходимости числового ряда, предел вычислим по :

Условие выполнено.

Воспользуемся признаком Даламбера:

Таким образом, ряд сходится.

Радикальный признак Коши.

Пусть - знакоположительный числовой ряд. Если , то числовой ряд сходится, если , то ряд расходится.

Замечание.

Радикальный признак Коши справедлив, если предел бесконечен, то есть, если , то ряд сходится, если , то ряд расходится.

Если , то радикальный признак Коши не дает информацию о сходимости или расходимости ряда и требуется дополнительное исследование.

Обычно достаточно легко разглядеть случаи, когда лучше всего использовать радикальный признак Коши. Характерным является случай, когда общий член числового ряда представляет собой показательно степенное выражение. Рассмотрим несколько примеров.

Пример.

Исследовать знакоположительный числовой ряд на сходимость с помощью радикального признака Коши.

Решение.

. По радикальному признаку Коши получаем .

Следовательно, ряд сходится.

Пример.

Сходится ли числовой ряд .

Решение.

Воспользуемся радикальным признаком Коши , следовательно, числовой ряд сходится.

Интегральный признак Коши.

Пусть - знакоположительный числовой ряд. Составим функцию непрерывного аргумента y = f(x) , аналогичную функции . Пусть функция y = f(x) положительная, непрерывная и убывающая на интервале , где ). Тогда в случае сходимости несобственного интеграла сходится исследуемый числовой ряд. Если же несобственный интеграл расходится, то исходный ряд тоже расходится.

При проверке убывания функции y = f(x) на интервале Вам может пригодится теория из раздела .

Пример.

Исследуйте числовой ряд с положительными членами на сходимость.

Решение.

Необходимое условие сходимости ряда выполнено, так как . Рассмотрим функцию . Она положительная, непрерывная и убывающая на интервале . Непрерывность и положительность этой функции не вызывает сомнения, а на убывании остановимся чуть подробнее. Найдем производную:
. Она отрицательная на промежутке , следовательно, функция убывает на этом интервале.

В случаях, когда признаки Даламбера и Коши не дают результата, иногда утвердительный ответ могут дать признаки, основанные на сравнении с другими рядами, сходящимися или расходящимися «медленнее», чем ряд геометрической прогрессии.

Приведем без доказательства формулировки четырех более громоздких признаков сходимости рядов. Доказательства этих признаков основаны также на теоремах сравнения 1–3 (теоремы 2.2 и 2.3) исследуемого ряда с некоторыми рядами, сходимость или расходимость которых уже установлена. Эти доказательства можно найти, например, в фундаментальном учебнике Г. М. Фихтенгольца (, т. 2).

Теорема 2.6. Признак Раабе. Если для членов положительного числового ряда , начиная с некоторого номера М, выполняется неравенство

(Rn £ 1), "n ³ M, (2.10)

то ряд сходится (расходится).

Признак Раабе в предельной форме. Если для членов указанного выше ряда выполняется условие

Замечание 6. Если сравнить признаки Даламбера и Раабе, то можно показать, что второй значительно сильнее первого.

Если для ряда существует предел

то для последовательности Раабе существует предел

Таким образом, если признак Даламбера дает ответ на вопрос о сходимости или расходимости ряда , то признак Раабе также его дает, причем эти случаи охватываются всего двумя из возможных значений R: +¥ и –¥. Все остальные случаи конечного R ¹ 1, когда признак Раабе дает утвердительный ответ на вопрос о сходимости или расходимости ряда, соответствуют случаю D = 1, т. е. случаю, когда признак Даламбера не дает утвердительный ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда.

Теорема 2.7. Признак Куммера. Пусть {сn} – произвольная последовательность положительных чисел. Если для членов положительного числового ряда , начиная с некоторого номера М, выполняется неравенство

(Qn £ 0), "n ³ M, (2.11)

то ряд сходится .

Признак Куммера в предельной форме. Если для указанного выше ряда существует предел

то ряд сходится .

Из признака Куммера как следствия легко получить доказательства признаков Даламбера, Раабе и признака Бертрана. Последний получается, если в качестве последовательности {сn} взять

сn=nln n, "n Î N,

для которой ряд

расходится (расходимость этого ряда будет показана в примерах данного параграфа).

Теорема 2.8. Признак Бертрана в предельной форме. Если для членов положительного числового ряда последовательность Бертрана

(2.12)

(Rn – последовательность Раабе) имеет предел

то ряд сходится (расходится).

Ниже сформулируем признак Гаусса – наиболее мощный в последовательности расположенных по возрастанию области применимости признаков сходимости рядов: Даламбера, Раабе и Бертрана. Признак Гаусса обобщает всю мощь предыдущих признаков и позволяет изучать значительно более сложные ряды, но, с другой стороны, для его применения требуется проводить более тонкие исследования, чтобы получить асимптотическое разложение отношения соседних членов ряда до второго порядка малости относительно величины .

Теорема 2.9. Признак Гаусса. Если для членов положительного числового ряда , начиная с некоторого номера М, выполняется равенство

, "n ³ M, (2.13)

где l и p – постоянные, а tn – ограниченная величина.

а) при l > 1 или l = 1 и р > 1 ряд сходится;

б) при l < 1 или l = 1 и р £ 1 ряд расходится.

2.5. Интегральный признак Коши–Маклорена,

«телескопический» признак Коши и признак Ермакова

Рассмотренные выше признаки сходимости рядов основаны на теоремах сравнения и являются достаточными, т. е. при выполнении условий признака для данного ряда можно сделать определенные утверждения о его поведении, но если условия признака для него не выполнены, то ничего о сходимости ряда утверждать нельзя, он может как сходиться так и расходиться.

Интегральный признак Коши–Маклорена отличается от изученных выше по содержанию, будучи необходимым и достаточным, а также по форме, базируясь на сопоставлении бесконечной суммы (ряда) с бесконечным (несобственным) интегралом, и демонстрирует естественную взаимосвязь теории рядов и теории интегралов. Эта взаимосвязь легко прослеживается также на примере признаков сравнения, аналоги которых имеют место для несобственных интегралов и их формулировки почти дословно совпадают с формулировками для рядов. Полная аналогия наблюдается также в формулировках достаточных признаков сходимости произвольных числовых рядов, которые будут изучены в следующем параграфе, и признаков сходимости несобственных интегралов – таких как признаки сходимости Абеля и Дирихле.

Ниже будут приведены также «телескопический» признак Коши и оригинальный признак сходимости рядов, полученный российским математиком В.П. Ермаковым; признак Ермакова по своей мощности имеет примерно ту же область применения, что и интегральный признак Коши–Маклорена, однако не содержит в формулировке терминов и понятий интегрального исчисления.

Теорема 2.10. Признак Коши–Маклорена. Пусть для членов положительного числового ряда , начиная с некоторого номера М, выполняется равенство

где функция f(х) неотрицательная и невозрастающая на полупрямой {х ³ М}. Числовой ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл

То есть ряд сходится, если существует предел

, (2.15)

и ряд расходится, если предел I = +¥.

Доказательство. В силу замечания 3 (см. § 1) очевидно, что без ограничения общности можем считать М = 1, так как, отбросив (М – 1) членов ряда и сделав замену k = (n – М + 1), приходим к рассмотрению ряда , для которого

, ,

и, соответственно, к рассмотрению интеграла .

Далее заметим, что неотрицательная и невозрастающая на полупрямой {х ³ 1} функция f(х) удовлетворяет условиям интегрируемости по Риману на любом конечном промежутке , и поэтому рассмотрение соответствующего несобственного интеграла имеет смысл.

Перейдем к доказательству. На любом сегменте единичной длины m £ х £ m + 1 в силу невозрастания f(х) выполняется неравенство

Проинтегрировав его по отрезку и воспользовавшись соответствующим свойством определенного интеграла, получим неравенство

, . (2.16)

Суммируя эти неравенства почленно от m = 1 до m = n, получим

Так как f (х) неотрицательная функция, то интеграл

является неубывающей непрерывной функцией аргумента А. Тогда

, .

Отсюда и из неравенства (15) следует, что:

1) если I < +¥ (т. е. несобственный интеграл сходится), то и неубывающая последовательность частичных сумм ограничена, т. е. ряд сходитcя;

2) если I = +¥ (т. е. несобственный интеграл расходится),

то и неубывающая последовательность частичных сумм неограничена, т. е. ряд расходится.

С другой стороны, обозначив , из неравенства (16) получаем:

1) если S < +¥ (т. е. ряд сходится), то для неубывающей непрерывной функции I(А), "А ³ 1 существует номер n такой, что n + 1 ³ А, и I(А) £ I(n + 1) £ Sn £ S, а следовательно, , т. е. интеграл сходится;

2) если S = +¥ (т. е. ряд расходится), то для любого достаточно большого А существует n £ А такой что I(А) ³ I(n) ³ Sn – f(1) ® +¥ (n ® ¥), т. е. интеграл расходится. Что и требовалось доказать.

Приведем без доказательства еще два интересных признака сходимости.

Теорема 2.11. «Телескопический» признак Коши. Числовой положительный ряд , члены которого монотонно убывают, сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд .

Теорема 2.12. Признак Ермакова. Пусть члены положительного числового ряда таковы, что начиная с некоторого номера М0, выполняются равенства

an = ¦(n), "n ³ М0,

где функция ¦(х) кусочно-непрерывна, положительна и монотонно убывает при х ³ М0.

Тогда если существует число М ³ М0 такое, что для всех х ³ М выполняется неравенство

,

то ряд сходится (расходится).

2.6. Примеры применения признаков сходимости

С помощью теоремы 2 легко исследовать на сходимость следующий ряд

(a > 0, b ³ 0; "a, b Î R).

Если а £ 1, то нарушается необходимый признак сходимости (свойство 2) (см. § 1).

,

следовательно, ряд расходится.

Если а > 1, то для сn имеет место оценка , из которой в силу сходимости ряда геометрической прогрессии следует сходимость рассматриваемого ряда.

сходится в силу признака сравнения 1 (теорема 2.2), так как имеем неравенство

,

а ряд сходится как ряд геометрической прогрессии.

Покажем расходимость нескольких рядов, которая следует из признака сравнения 2 (следствие 1 теоремы 2.2). Ряд

расходится, так как

.

расходится, так как

.

расходится, так как

.

(p > 0)

расходится, так как

.

сходится по признаку Даламбера (теорема 2.4). Действительно

.

сходится по признаку Даламбера. Действительно

.

.

сходится по признаку Коши (теорема 2.5). Действительно

.

Приведем пример применения признака Раабе. Рассмотрим ряд

,

где обозначение (k)!! означает произведение всех четных (нечетных) чисел от 2 до k (от 1 до k), если k четно (нечетно). Используя признак Даламбера, получим

Таким образом, признак Даламбера не позволяет сделать определенного утверждения о сходимости ряда. Применим признак Раабе:

следовательно, ряд сходится.

Приведем примеры на применение интегрального признака Коши–Маклорена.

Обобщенный гармонический ряд

сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом

Очевидно, что I < +¥ при p > 1 (интеграл сходится) и I = +¥ при p £ 1 (расходится). Таким образом, исходный ряд также сходится при p > 1 и расходится при p £ 1.

расходится одновременно с несобственным интегралом

таким образом, интеграл расходится.

§ 3. Знакопеременные числовые ряды

3.1. Абсолютная и условная сходимости рядов

В этом параграфе изучим свойства рядов, члены которых являются вещественными числами с произвольным знаком.

Определение 1. Числовой ряд

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

Определение 2. Числовой ряд (3.1) называется условно сходящимся или неабсолютно сходящимся, если ряд (3.1) сходится, а ряд (3.2) расходится.

Теорема 3.1. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.

Доказательство. В соответствии с критерием Коши (теорема 1.1) абсолютная сходимость ряда (3.1) эквивалентна выполнению соотношений

" e > 0, $ М > 0 такое, что " n > M, " p ³ 1 Þ

(3.3)

Так как известно, что модуль суммы нескольких чисел не превосходит суммы их модулей («неравенство треугольника»), то из (3.3) следует неравенство (справедливое для тех же, что в (3.3), чисел e, М, п, р)

Выполнение последнего неравенства означает выполнение условий критерия Коши для ряда (3.1), следовательно, этот ряд сходится.

Следствие 1. Пусть ряд (3.1) сходится абсолютно. Составим из положительных членов ряда (3.1), перенумеровав их по порядку (как они встречаются в процессе возрастания индекса), положительный числовой ряд

, (uk = ). (3.4)

Аналогично, составим из модулей отрицательных членов ряда (3.1), перенумеровав их по порядку, следующий положительный числовой ряд:

, (vm = ). (3.5)

Тогда ряды (3.3) и (3.4) сходятся.

Если обозначить суммы рядов (3.1), (3.3), (3.4) соответственно буквами A, U, V, то справедлива формула

A = U – V. (3.6)

Доказательство. Обозначим сумму ряда (3.2) через А*. По теореме 2.1 имеем, что все частичные суммы ряда (3.2) ограничены числом А*, а так как частичные суммы рядов (3.4) и (3.5) получаются в результате суммирования части членов частичных сумм ряда (3.2), то очевидно, что они тем более ограничены числом А*. Тогда, вводя соответствующие обозначения, получаем неравенства

;

из которых в силу теоремы 2.1 следует сходимость рядов (3.4) и (3.5).

(3.7)

Так как числа k и m зависят от п, то очевидно, что при п ® ¥ одновременно k ® ¥ и m ® ¥. Тогда, переходя в равенстве (3.7) к пределу (все пределы существуют в силу теоремы 3.1 и по доказанному выше), получаем

т. е. равенство (3.6) доказано.

Следствие 2. Пусть ряд (3.1) сходится условно. Тогда ряды (3.4) и (3.5) расходятся и формула (3.6) для условно сходящихся рядов не верна.

Доказательство. Если рассмотрим п-ю частичную сумму ряда (3.1), то, как и в предыдущем доказательстве, ее можно записать

(3.8)

С другой стороны, для п-й частичной суммы ряда (3.2) можно аналогично написать выражение

(3.9)

Предположим противное, т. е. пусть хотя бы один из рядов (3.3) или (3.4) сходится. Тогда из формулы (3.8) ввиду сходимости ряда (3.1) следует, что и второй из рядов (соответственно (3.5) или (3.4)) сходится как разность двух сходящихся рядов. А тогда из формулы (3.9) следует сходимость ряда (3.2), т. е. абсолютная сходимость ряда (3.1), что противоречит условию теоремы о его условной сходимости.

Таким образом из (3.8) и (3.9) следует, что так как

что и требовалось доказать.

Замечание 1. Сочетательное свойство для рядов. Сумма бесконечного ряда существенно отличается от суммы конечного числа элементов тем, что включает предельный переход. Поэтому привычные свойства конечных сумм часто нарушаются для рядов либо они сохраняются только при выполнении определенных условий.

Так, для конечных сумм имеет место сочетательный (ассоциативный) закон, а именно: сумма не меняется, если элементы суммы группировать в каком угодно порядке

Рассмотрим произвольную группировку (без перестановки) членов числового ряда (3.1). Обозначим возрастающую последовательность номеров

и введем обозначения

Тогда ряд, полученный вышеуказанным способом, можно записать в виде

В приведенной ниже без доказательства теореме собрано несколько важнейших утверждений, связанных с сочетательным свойством рядов.

Теорема 3.2.

1. Если ряд (3.1) сходится и имеет сумму А (достаточно условной сходимости), то произвольный ряд вида (3.10) сходится и имеет ту же сумму А. То есть сходящийся ряд обладает сочетательным свойством.

2. Из сходимости какого-либо ряда вида (3.10) не следует сходимость ряда (3.1).

3. Если ряд (3.10) получен специальной группировкой, так что внутри каждой из скобок находятся слагаемые только одного знака, то из сходимости этого ряда (3.10) следует сходимость ряда (3.1).

4. Если ряд (3.1) положительный и какой-либо ряд вида (3.10) для него сходится, то ряд (3.1) сходится.

5. Если последовательность членов ряда (3.1) бесконечно мала (т. е. ап) и число слагаемых в каждой группе – члене ряда (3.10) – ограничено одной постоянной М (т. е. nk –nk–1 £ М, "k = 1, 2,…), то из сходимости ряда (3.10) следует сходимость ряда (3.1).

6. Если ряд (3.1) сходится условно, то без перестановки всегда можно сгруппировать члены ряда так, что полученный ряд (3.10) будет абсолютно сходящимся.

Замечание 2. Переместительное свойство для рядов. Для конечных числовых сумм имеет место переместительный (коммутативный) закон, а именно: сумма не меняется при любой перестановке слагаемых

где (k1, k2, …, kn) – произвольная перестановка из набора натуральных чисел (1, 2,…, п).

Оказывается, что аналогичное свойство имеет место для абсолютно сходящихся рядов и не выполняется для условно сходящихся рядов.

Пусть имеется взаимно однозначное отображение множества натуральных чисел на себя: N ® N, т. е. каждому натуральному числу k соответствует единственное натуральное число пk, причем множество воспроизводит без пропусков весь натуральный ряд чисел. Обозначим ряд, полученный из ряда (3.1) с помощью произвольной перестановки, соответствующей указанному выше отображению, следующим образом:

Правила применения переместительных свойств рядов отражены в приведенных ниже без доказательств теоремах 3.3 и 3.4.

Теорема 3.3. Если ряд (3.1) сходится абсолютно, то ряд (3.11), полученный произвольной перестановкой членов ряда (3.1), также сходится абсолютно и имеет ту же сумму, что и исходный ряд.

Теорема 3.4. Теорема Римана. Если ряд (3.1) сходится условно, то члены этого ряда можно переставить так, что его сумма будет равна любому наперед заданному числу D (конечному или бесконечному: ±¥) или будет не определена.

На основании теорем 3.3 и 3.4 легко установить, что условная сходимость ряда получается в результате взаимного погашения роста n-й частичной суммы при п ® ¥ за счет добавления к сумме то положительных, то отрицательных слагаемых, и поэтому условная сходимость ряда существенно зависит от порядка следования членов ряда. Абсолютная же сходимость ряда является результатом быстрого убывания абсолютных величин членов ряда

и не зависит от порядка их следования.

3.2. Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница

Среди знакопеременных рядов выделяется важный частный класс рядов – знакочередующиеся ряды.

Определение 3. Пусть – последовательность положительных чисел bп > 0, "n Î N. Тогда ряд вида

называется знакочередующимся рядом. Для рядов вида (3.12) имеет место следующее утверждение.

Теорема 5. Признак Лейбница. Если последовательность, составленная из абсолютных величин членов знакочередующегося ряда (3.8), монотонно убывает до нуля

bn > bn+1, "n Î N; (3.13)

то такой знакочередующийся ряд (3.12) называется рядом Лейбница. Ряд Лейбница всегда сходится. Для остатка ряда Лейбница

имеет место оценка

rn = (–1) nqnbn+1, (0 £ qn £ 1) "nÎN. (3.14)

Доказательство. Запишем произвольную частичную сумму ряда (3.12) с четным числом слагаемых в виде

По условию (3.13) каждая из скобок в правой части этого выражения есть положительное число, следовательно, с возрастанием k последовательность монотонно возрастает. С другой стороны, любой член В2k последовательности можно записать в виде

B2k = b1 – (b2 – b3) – (b4 – b5) –… – (b2k–2 – b2k–1) – b2k,

и так как по условию (3.13) в каждой из скобок последнего равенства стоит положительное число, то, очевидно, выполняется неравенство

B2k < b1, "k ³ 1.

Таким образом, имеем монотонно возрастающую и ограниченную сверху последовательность , a такая последовательность по известной теореме из теории пределов имеет конечный предел

B2k–1 = B2k + b2k,

и учитывая, что общий член ряда (по условию теоремы) стремится к нулю при п ® ¥, получаем

Таким образом доказано, что ряд (3.12) при условии (3.13) сходится и его сумма равна В.

Докажем оценку (3.14). Выше показано, что частичные суммы четного порядка В2k, монотонно возрастая, стремятся к пределу В – сумме ряда.

Рассмотрим частичные суммы нечетного порядка

B2k–1 = b1 – (b2 – b3) – (b4 – b5) – … – (b2k–2 – b2k–1).

Из этого выражения, очевидно (так как выполнено условие (3.13)), что последовательность убывает и, следовательно, по доказанному выше стремится к своему пределу В сверху. Таким образом, доказано неравенство

0 < B2k < B < B2k–1 < b1. (3.15)

Если теперь рассмотреть остаток ряда (3.12)

как новый знакочередующийся ряд с первым членом bп+1, то для этого ряда на основании неравенства (3.15) можно записать при четных и нечетных индексах соответственно

r2k = b2k+1 – b2k+2 + …, 0 < r2k < b2k+1,

r2k–1 = – b2k + b2k+1 – …, r2k < 0, | r2k–1 | < b2k.

Итак, доказано, что всегда остаток ряда Лейбница имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине, т. е. для него выполняется оценка (3.14). Теорема доказана.

3.3. Признаки сходимости произвольных числовых рядов

В этом подпараграфе приведем без доказательства достаточные признаки сходимости для числовых рядов с членами, являющимися произвольными действительными числами (любого знака), более того эти признаки пригодны и для рядов с комплексными членами.

2) последовательность является сходящейся к нулю (bп ® 0 при n ® ¥) последовательностью с ограниченным изменением.

Тогда ряд (3.16) сходится.

Теорема 3.9. Признак Дирихле. Пусть члены числового ряда (3.16) удовлетворяют условиям:

последовательность частичных сумм ряда ограничена (неравенства (3.17));

2) последовательность является монотонной последовательностью, сходящейся к нулю (bп ® 0 при n ®¥).

Тогда ряд (3.16) сходится.

Теорема 3.10. Второй обобщенный признак Абеля. Пусть члены числового ряда (3.16) удовлетворяют условиям:

1) ряд сходится;

2) последовательность является произвольной последовательностью с ограниченным изменением.

Тогда ряд (3.16) сходится.

Теорема 3.11. Признак Абеля. Пусть члены числового ряда (3.16) удовлетворяют условиям:

1) ряд сходится;

2) последовательность является монотонной ограниченной последовательностью.

Тогда ряд (3.16) сходится.

Теорема 3.12. Теорема Коши. Если ряды и сходятся абсолютно и их суммы равны соответственно А и В, то ряд, составленный из всех произведений вида aibj (i = 1,2,…, ¥; j = 1,2,…,¥), занумерованных в каком угодно порядке, также сходится абсолютно и его сумма равна АВ.

3.4. Примеры

Рассмотрим вначале несколько примеров на абсолютную сходимость рядов. Ниже полагаем, что переменная х может быть любым действительным числом.

2) расходится при |х| > е по тому же признаку Даламбера;

3) расходится при |x| = е по признаку Даламбера в непредельной форме, так как

в силу того, что стоящая в знаменателе экспоненциальная последовательность стремится к своему пределу, монотонно возрастая,

(a ¹ 0 – действительное число)

1) сходится абсолютно при |x/a| < 1, т. е. при |x| < |a|, так как в данном случае имеем ряд, составленный из членов убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = x/a, либо по радикальному признаку Коши (теорема 2.5);

2) расходится при |x/a| ³ 1, т. е. при |x| ³ |a|, так как в данном случае нарушается необходимый признак сходимости (свойство 2 (см. § 1))