Uzunluk, daha önce belirtildiği gibi, modül işareti ile gösterilir.

Düzlemin iki noktası ve verilirse, segmentin uzunluğu formülle hesaplanabilir.

Uzayda iki nokta ve verilirse, segmentin uzunluğu formülle hesaplanabilir.

Not: İlgili koordinatlar yeniden düzenlenirse formüller doğru kalacaktır: ve , ancak ilk seçenek daha standart

Örnek 3

Çözüm: ilgili formüle göre:

Yanıt vermek:

Netlik için bir çizim yapacağım

Bölüm - bu bir vektör değil ve elbette onu hiçbir yere taşıyamazsınız. Ayrıca çizimi ölçeklendirmek için tamamlarsanız: 1 adet. \u003d 1 cm (iki tetrad hücre), ardından segmentin uzunluğunu doğrudan ölçerek cevap normal bir cetvelle kontrol edilebilir.

Evet, çözüm kısa ama içinde açıklığa kavuşturmak istediğim birkaç önemli nokta var:

İlk olarak, cevapta boyutu belirledik: “birimler”. Koşul NE olduğunu söylemez, milimetre, santimetre, metre veya kilometre. Bu nedenle, genel formülasyon matematiksel olarak yetkin bir çözüm olacaktır: “birimler” - “birimler” olarak kısaltılır.

İkincisi, sadece dikkate alınan problem için yararlı olmayan okul materyalini tekrarlayalım:

dikkat et önemli teknik numara – çarpanı kökün altından çıkarmak. Hesaplamalar sonucunda sonucu elde ettik ve iyi bir matematiksel stil, çarpanı (mümkünse) kökün altından çıkarmayı içerir. İşlem daha ayrıntılı olarak şöyle görünür: . Tabii ki, cevabı formda bırakmak bir hata olmayacak - ama bu kesinlikle bir kusur ve öğretmen adına kusur bulmak için ağır bir argüman.

İşte diğer yaygın durumlar:

Örneğin, kök altında genellikle yeterince büyük bir sayı elde edilir. Bu gibi durumlarda nasıl olunur? Hesap makinesinde sayının 4: ile bölünüp bölünemeyeceğini kontrol ediyoruz. Evet, tamamen bölün, böylece: . Ya da belki sayı tekrar 4'e bölünebilir? . Böylece: . Sayının son basamağı tektir, bu nedenle üçüncü kez 4'e bölme kesinlikle mümkün değildir. Dokuza bölmeye çalışmak: . Sonuç olarak:
Hazır.

Çözüm: kökün altında çıkarılamayan bir tam sayı alırsak, faktörü kökün altından çıkarmaya çalışırız - hesap makinesinde sayının bölünebilir olup olmadığını kontrol ederiz: 4, 9, 16, 25, 36, 49 , vb.

Çeşitli problemlerin çözümü sırasında genellikle kökler bulunur, daha düşük bir puan almamak ve çözümlerinizi öğretmenin yorumuna göre sonuçlandırarak gereksiz sıkıntılardan kaçınmak için her zaman kök altından faktörleri çıkarmaya çalışın.

Köklerin ve diğer kuvvetlerin karesini aynı anda tekrarlayalım:

Genel bir biçimde dereceli eylemler için kurallar cebir üzerine bir okul ders kitabında bulunabilir, ancak bence her şey veya hemen hemen her şey verilen örneklerden zaten açıktır.

Uzayda bir segmenti olan bağımsız bir çözüm için görev:

Örnek 4

Verilen puanlar ve . Parçanın uzunluğunu bulun.

Çözüm ve cevap dersin sonunda.

Geometride, teorik mekanikte ve fiziğin diğer dallarında kullanılan üç ana koordinat sistemi vardır: Kartezyen, kutupsal ve küresel. Bu koordinat sistemlerinde her noktanın üç koordinatı vardır. İki noktanın koordinatlarını bilerek, bu iki nokta arasındaki mesafeyi belirleyebilirsiniz.

İhtiyacın olacak

• Bir segmentin uçlarının kartezyen, kutupsal ve küresel koordinatları

Talimat

Dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sistemi ile başlayalım. Bu koordinat sisteminde uzaydaki bir noktanın konumu şu şekilde belirlenir: koordinatlar x,y ve z. Koordinatların orijininden noktaya bir yarıçap vektörü çizilir. Bu yarıçap vektörünün koordinat eksenleri üzerindeki izdüşümleri şöyle olacaktır: koordinatlar bu nokta.
Şimdi iki noktanız olduğunu varsayalım. koordinatlar sırasıyla x1,y1,z1 ve x2,y2 ve z2. r1 ve r2 sırasıyla birinci ve ikinci noktaların yarıçap vektörleri olsun. Açıkçası, bu iki nokta arasındaki mesafe, r = r1-r2 vektörünün modülüne eşit olacaktır, burada (r1-r2) vektör farkıdır.
r vektörünün koordinatları açıkça şöyle olacaktır: x1-x2, y1-y2, z1-z2. O zaman r vektörünün modülü veya iki nokta arasındaki mesafe şöyle olacaktır: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2)) .

Şimdi, bir noktanın koordinatının radyal koordinat r (XY düzlemindeki yarıçap vektörü), açısal koordinat tarafından verileceği bir kutupsal koordinat sistemi düşünün. (r vektörü ile X ekseni arasındaki açı) ve Kartezyen sistemdeki z koordinatına benzeyen z koordinatı Bir noktanın kutupsal koordinatları aşağıdaki gibi Kartezyen'e dönüştürülebilir: x = r*cos?, y = r*sin?, z = z. Daha sonra ile iki nokta arasındaki mesafe koordinatlar r1, ?1 ,z1 ve r2, ?2, z2 eşittir R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?1-r2*sin?2 )^2)+((z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2) +((z1-z2)^2))

Şimdi küresel bir koordinat sistemi düşünün. İçinde, noktanın konumu üç ile verilir. koordinatlar r, ? ve?. r - başlangıç ​​noktasından noktaya olan uzaklık, ? ve? sırasıyla azimut ve zenit açılarıdır. Enjeksiyon? kutupsal koordinat sisteminde aynı gösterime sahip açıya benzer, ha? - yarıçap vektörü r ve Z ekseni arasındaki açı ve 0 koordinatları r1, ?1, ?1 ve r2, ?2 ve ?2, R = sqrt(((r1*sin?1*cos? 1-r2*sin? 2*cos?2)^2)+((r1*sin?1*sin?1-r2*sin?2*sin?2)^2)+((r1*cos?1- r2*cos?2) ^2)) = (((r1*sin?1)^2)+((r2*sin?2)^2)-2r1*r2*sin?1*sin?2*(cos ?1*cos?2 +sin?1*sin?2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2))

Parçanın koordinat düzleminde iki nokta tarafından verilmesine izin verin, o zaman Pisagor teoremini kullanarak uzunluğunu bulabilirsiniz.

Talimat

(x1-y1) ve (x2-y2) doğru parçasının uçlarının koordinatları verilsin. Bir koordinat sisteminde bir doğru parçası çizin.

X ve Y eksenlerinde doğru parçasının uçlarından dikleri alçaltın Şekilde kırmızı ile işaretlenmiş parçalar orijinal parçanın koordinat eksenlerindeki izdüşümleridir.

Segmentlerin uçlarına paralel bir segment-projeksiyon transferi yaparsanız, bir dik üçgen elde edersiniz. Bu üçgenin bacakları aktarılan çıkıntılar olacak ve hipotenüs AB segmentinin kendisi olacaktır.

Projeksiyon uzunluklarının hesaplanması kolaydır. Y eksenindeki izdüşümün uzunluğu y2-y1 ve X eksenindeki izdüşümün uzunluğu x2-x1 olacaktır. Daha sonra Pisagor teoremi |AB|²- = (y2 - y1)²- + (x2 - x1)²- ile, burada |AB| - segmentin uzunluğu.

Genel durumda bir segmentin uzunluğunu bulmak için bu şemayı sunduktan sonra, bir segment oluşturmadan bir segmentin uzunluğunu hesaplamak kolaydır. Uçlarının koordinatları (1-3) ve (2-5) olan segmentin uzunluğunu hesaplayalım. O zaman |AB|²- = (2 - 1)²- + (5 - 3)²- = 1 + 4 = 5, yani gerekli parçanın uzunluğu 5^1/2'dir.

Test Ru web sitesindeki çevrimiçi hizmeti kullanarak verilen koordinatlara göre bir segmentin uzunluğunu nasıl belirleyebileceğinize dair ayrıntılı bir örnek vereceğim.

Diyelim ki bir düzlemde bir doğru parçasının uzunluğunu bulmanız gerekiyor.

(uzayda, benzetme ile hesaplayabilirsiniz, sadece noktayı üç boyutuna değiştirmeniz gerekir)

AB Segmenti, A (1, 2) ve B (3, 4) koordinatlarıyla biter.

AB segmentinin uzunluğunu hesaplamak için aşağıdaki adımları kullanın:

1. Çevrimiçi olarak iki nokta arasındaki mesafeyi bulmak için servis sayfasına gidin:

Bunu kullanabiliriz, çünkü koordinat boyunca parçanın uzunluğu. A ve B noktaları arasındaki uzaklığa tam olarak eşittir.

A noktasının doğru boyutunu ayarlamak için, şekil l'de gösterildiği gibi sağ alt kenarı sola sürükleyin.

A(1, 2) noktasının koordinatlarını girdikten sonra düğmesine basın.

3. İkinci adımda, ikinci B noktasına girmek için bir form göreceksiniz, Şekil 2'deki gibi koordinatlarını girin. altında:

a ve b noktaları girilir!Çözüm:

Nokta (lar) arasındaki mesafeyi bulun

Bu yazımızda bir doğru parçasının uçlarının koordinatlarından ortasının koordinatlarını bulmaktan bahsedeceğiz. İlk önce gerekli kavramları vereceğiz, sonra bir segmentin ortasının koordinatlarını bulmak için formüller alacağız ve sonuç olarak tipik örnek ve problemlerin çözümlerini ele alacağız.

Sayfa gezintisi.

Bir segmentin ortası kavramı.

Bir doğru parçasının orta noktası kavramını tanıtmak için doğru parçasının ve uzunluğunun tanımlarına ihtiyacımız var.

Lise beşinci sınıf matematik derslerinde segment kavramı şu şekilde verilmektedir: Rastgele çakışmayan iki A ve B noktasını alırsak, onlara bir cetvel ekleyin ve A'dan B'ye (veya B'den) bir çizgi çizin. A), sonra şunu elde ederiz: AB segmenti(veya segment B A). A ve B noktaları denir segmentin sonları. AB segmenti ile BA segmentinin aynı segment olduğunu unutmamalıyız.

AB doğru parçası uçlardan her iki yönde de sonsuz olarak uzatılırsa, o zaman şunu elde ederiz: düz çizgi AB(veya doğrudan VA). AB parçası, AB düz çizgisinin A ve B noktaları arasında kalan kısmıdır. Böylece, AB doğru parçası, A, B noktalarının birleşimi ve A ve B noktaları arasında bulunan AB doğrusunun tüm noktalarının kümesidir. A ve B noktaları arasında bulunan AB düz çizgisinin keyfi bir M noktasını alırsak, M noktasının olduğunu söylerler. yalanlar AB segmentinde.

Segmentin uzunluğu AB, belirli bir ölçekte (birim uzunluk bölümü) A ve B noktaları arasındaki mesafedir. AB segmentinin uzunluğu olarak gösterilecektir.

Tanım.

Nokta C denir segmentin ortası AB, AB segmentinde yer alıyorsa ve uçlarından aynı uzaklıktaysa.

Yani, eğer C noktası AB doğru parçasının orta noktasıysa, üzerinde ve üzerindedir.

Ayrıca, A ve B noktalarının koordinatları koordinat çizgisinde veya dikdörtgen bir koordinat sisteminde verilmişse, görevimiz AB segmentinin ortasının koordinatlarını bulmak olacaktır.

Koordinat doğrusu üzerindeki parçanın orta noktasının koordinatı.

Bize bir Ox koordinat doğrusu ve üzerinde gerçek sayılara karşılık gelen ve çakışmayan iki A ve B noktası verilsin ve . C noktası AB doğru parçasının orta noktası olsun. C noktasının koordinatını bulalım.

C noktası AB doğru parçasının orta noktası olduğundan, eşitlik doğrudur. Koordinat çizgisi üzerindeki bir noktadan bir noktaya olan mesafe bölümünde, noktalar arasındaki mesafenin koordinatları arasındaki farkın modülüne eşit olduğunu gösterdik, bu nedenle . O zamanlar veya . eşitlikten AB doğru parçasının orta noktasının koordinatını koordinat doğrusunda bulun: - segmentin uçlarının koordinatlarının toplamının yarısına eşittir. İkinci eşitlikten A ve B çakışmayan noktalarını aldığımız için imkansız olan elde ederiz.

Böyle, AB segmentinin orta noktasının koordinatını uçlarla bulmak için formül ve forma sahiptir .

Bir doğru parçasının orta noktasının koordinatları.

Düzlemde dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sistemi Оxyz tanıtalım. Bize iki nokta verilsin ve C noktasının AB doğru parçasının orta noktası olduğunu biliyoruz. Koordinatları ve C noktalarını bulalım.

Yapısal olarak, düz paralel ve paralel çizgiler , bu nedenle, tarafından Thales teoremi AC ve CB bölümlerinin eşitliğinden, ve bölümlerinin yanı sıra ve bölümlerinin eşitliğini takip eder. Bu nedenle nokta, parçanın orta noktası ve parçanın orta noktasıdır. Daha sonra, bu makalenin bir önceki paragrafı sayesinde ve .

Bu formülleri kullanarak, A ve B noktalarının koordinat eksenlerinden biri üzerinde veya koordinat eksenlerinden birine dik bir düz çizgi üzerinde olduğu durumlarda AB parçasının ortasının koordinatları da hesaplanabilir. Bu durumları yorumsuz bırakalım ve grafik illüstrasyonlar verelim.

Böylece, Uçları noktalarda olan ve koordinatları olan bir düzlemde AB doğru parçasının orta noktası .

Uzayda segmentin ortasının koordinatları.

Üç boyutlu uzayda dikdörtgen bir koordinat sistemi Oxyz ve iki nokta verilmiş olsun. ve . AB segmentinin orta noktası olan C noktasının koordinatlarını bulmak için formüller alıyoruz.

Genel durumu ele alalım.

A, B ve C noktalarının sırasıyla Ox, Oy ve Oz koordinat eksenleri üzerindeki izdüşümleri olsun ve olsun.

Thales teoremine göre noktalar, segmentlerin orta noktalarıdır. sırasıyla. Ardından (bu makalenin ilk paragrafına bakın). Yani biz var uzaydaki uçlarının koordinatlarından bir segmentin ortasının koordinatlarını hesaplamak için formüller.

Bu formüller ayrıca A ve B noktalarının koordinat eksenlerinden birinde veya koordinat eksenlerinden birine dik bir doğru üzerinde olduğu durumlarda ve ayrıca A ve B noktalarının koordinat düzlemlerinden birinde veya koordinat eksenlerinden birine paralel düzlem.

Segmentin ortasının koordinatları, uçlarının yarıçap vektörlerinin koordinatları aracılığıyla.

Bir segmentin ortasının koordinatlarını bulmak için formüller, vektörlerin cebirine başvurarak kolayca elde edilebilir.

Düzlemde dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sistemi Oxy verilsin ve C noktası ve ile AB doğru parçasının orta noktası olsun.

Vektörler üzerindeki işlemlerin geometrik tanımına göre, eşitlik (C noktası, vektörler üzerine kurulmuş bir paralelkenarın köşegenlerinin kesişme noktasıdır ve yani C noktası, paralelkenarın köşegeninin orta noktasıdır). Dikdörtgen koordinat sistemindeki bir vektörün makale koordinatlarında, bir noktanın yarıçap vektörünün koordinatlarının bu noktanın koordinatlarına eşit olduğunu bulduk, bu nedenle, . Daha sonra koordinatlardaki vektörler üzerinde ilgili işlemleri yaptıktan sonra elimizde . C noktasının koordinatları olduğu sonucuna nasıl varabiliriz? .

Kesinlikle benzer şekilde, AB parçasının ortasının koordinatları, uzaydaki uçlarının koordinatları aracılığıyla bulunabilir. Bu durumda, eğer C, AB doğru parçasının orta noktası ise ve , .

Segmentin ortasının koordinatlarını bulma, örnekler, çözümler.

Birçok problemde, bir doğru parçasının orta noktasının koordinatlarını bulmak için formüller kullanmanız gerekir. En karakteristik örneklerin çözümlerini ele alalım.

Sadece bir formül uygulaması gereken bir örnekle başlayalım.

Örnek.

Düzlemde iki noktanın koordinatları verilmiştir. . AB doğru parçasının orta noktasının koordinatlarını bulun.

Çözüm.

C noktası AB doğru parçasının orta noktası olsun. Koordinatları, A ve B noktalarının karşılık gelen koordinatlarının yarı toplamlarına eşittir:

Böylece, AB doğru parçasının orta noktasının koordinatları vardır.

Uzunluk, daha önce belirtildiği gibi, modül işareti ile gösterilir.

Düzlemin iki noktası ve verilirse, segmentin uzunluğu formülle hesaplanabilir.

Uzayda iki nokta ve verilirse, segmentin uzunluğu formülle hesaplanabilir.

Not:İlgili koordinatlar değiştirilirse formüller doğru kalacaktır: ve , ancak ilk seçenek daha standarttır

Örnek 3

Çözüm: ilgili formüle göre:

Yanıt vermek:

Netlik için bir çizim yapacağım

Bölüm - bu bir vektör değil ve elbette onu hiçbir yere taşıyamazsınız. Ayrıca çizimi ölçeklendirmek için tamamlarsanız: 1 adet. \u003d 1 cm (iki tetrad hücre), ardından segmentin uzunluğunu doğrudan ölçerek cevap normal bir cetvelle kontrol edilebilir.

Evet, çözüm kısa ama içinde açıklığa kavuşturmak istediğim birkaç önemli nokta var:

İlk olarak, cevapta boyutu belirledik: “birimler”. Koşul NE olduğunu söylemez, milimetre, santimetre, metre veya kilometre. Bu nedenle, genel formülasyon matematiksel olarak yetkin bir çözüm olacaktır: “birimler” - “birimler” olarak kısaltılır.

İkincisi, sadece dikkate alınan problem için yararlı olmayan okul materyalini tekrarlayalım:

dikkat et önemli teknik numara – çarpanı kökün altından çıkarmak. Hesaplamalar sonucunda sonucu elde ettik ve iyi bir matematiksel stil, çarpanı (mümkünse) kökün altından çıkarmayı içerir. İşlem daha ayrıntılı olarak şöyle görünür: Tabii ki, cevabı formda bırakmak bir hata olmayacak - ama bu kesinlikle bir kusur ve öğretmen adına kusur bulmak için ağır bir argüman.

İşte diğer yaygın durumlar:

Örneğin, kök altında genellikle yeterince büyük bir sayı elde edilir. Bu gibi durumlarda nasıl olunur? Hesap makinesinde sayının 4: ile bölünüp bölünemeyeceğini kontrol ediyoruz. Evet, tamamen bölündü, böylece: . Ya da belki sayı tekrar 4'e bölünebilir? . Böylece: . Sayının son basamağı tektir, bu nedenle üçüncü kez 4'e bölme kesinlikle mümkün değildir. Dokuza bölmeye çalışmak: . Sonuç olarak:
Hazır.

Çözüm: kökün altında çıkarılamayan bir tam sayı alırsak, faktörü kökün altından çıkarmaya çalışırız - hesap makinesinde sayının bölünebilir olup olmadığını kontrol ederiz: 4, 9, 16, 25, 36, 49 , vb.

Çeşitli problemlerin çözümü sırasında genellikle kökler bulunur, daha düşük bir puan almamak ve çözümlerinizi öğretmenin yorumuna göre sonuçlandırarak gereksiz sıkıntılardan kaçınmak için her zaman kök altından faktörleri çıkarmaya çalışın.

Köklerin ve diğer kuvvetlerin karesini aynı anda tekrarlayalım:

Genel bir biçimde dereceli eylemler için kurallar cebir üzerine bir okul ders kitabında bulunabilir, ancak bence her şey veya hemen hemen her şey verilen örneklerden zaten açıktır.

Uzayda bir segmenti olan bağımsız bir çözüm için görev:

Örnek 4

Verilen puanlar ve . Parçanın uzunluğunu bulun.

Çözüm ve cevap dersin sonunda.