Üzerinde en basit türevleri analiz ettiğimiz ve ayrıca türev bulma kuralları ve bazı teknikler hakkında bilgi sahibi olduk. Bu nedenle, fonksiyonların türevleriyle pek ilgili değilseniz veya bu makalenin bazı noktaları tam olarak açık değilse, önce yukarıdaki dersi okuyun. Lütfen ciddi bir ruh hali içinde olun - materyal kolay değil, ancak yine de onu basit ve erişilebilir bir şekilde sunmaya çalışacağım.

Pratikte, karmaşık bir fonksiyonun türeviyle çok sık uğraşmanız gerekir, hatta diyebilirim ki, neredeyse her zaman, türevleri bulmak için görevler verildiğinde.

Karmaşık bir işlevi ayırt etmek için tablodaki kurala (No. 5) bakarız:

Anlamak. Öncelikle kayda dikkat edelim. Burada iki işlevimiz var - ve dahası, mecazi anlamda işlev, işleve gömülüdür. Bu tür bir işleve (bir işlev diğerinin içinde yuvalandığında) karmaşık işlev denir.

fonksiyonu arayacağım harici fonksiyon ve işlev - bir iç (veya iç içe) işlev.

! Bu tanımlar teorik değildir ve ödevlerin nihai tasarımında yer almamalıdır. Resmi olmayan "dış işlev", "iç" işlev ifadelerini yalnızca materyali anlamanızı kolaylaştırmak için kullanıyorum.

Durumu netleştirmek için şunları göz önünde bulundurun:

örnek 1

Bir fonksiyonun türevini bulun

Sinüs altında sadece "X" harfi değil, bir tamsayı ifademiz var, bu nedenle tablodan türevi hemen bulmak mümkün olmayacak. İlk dört kuralı burada uygulamanın imkansız olduğunu da fark ediyoruz, bir fark var gibi görünüyor, ancak gerçek şu ki bir sinüsü “parçalayamazsınız”:

Bu örnekte, zaten açıklamalarımdan, bir işlevin karmaşık bir işlev olduğu ve polinomun bir iç işlev (yuvalama) ve bir dış işlev olduğu sezgisel olarak açıktır.

İlk adım Karmaşık bir fonksiyonun türevi bulunurken yapılması gereken, Hangi işlevin dahili, hangisinin harici olduğunu anlayın.

Basit örnekler söz konusu olduğunda, sinüsün altında bir polinomun yuvalanmış olduğu açıkça görülmektedir. Ama ya her şey açık değilse? Hangi fonksiyonun harici, hangisinin dahili olduğu tam olarak nasıl belirlenir? Bunu yapmak için, zihinsel veya taslak üzerinde yapılabilecek aşağıdaki tekniği kullanmanızı öneririm.

Bir hesap makinesinde bir ifadenin değerini hesaplamamız gerektiğini düşünün (bir yerine herhangi bir sayı olabilir).

İlk önce neyi hesaplayacağız? Her şeyden önce aşağıdaki eylemi gerçekleştirmeniz gerekecek:, bu nedenle polinom dahili bir işlev olacaktır:

ikinci olarak bulunması gerekecek, bu nedenle sinüs harici bir fonksiyon olacaktır:

bizden sonra Çözmek iç ve dış fonksiyonlarla, karmaşık bir fonksiyonun türev kuralını uygulama zamanı .

Karar vermeye başlıyoruz. dersten Türevini nasıl bulurum? Herhangi bir türevin çözümünün tasarımının her zaman böyle başladığını hatırlıyoruz - ifadeyi parantez içine alıyoruz ve sağ üste bir çizgi koyuyoruz:

Öncelikle dış fonksiyonun (sinüs) türevini bulun, temel fonksiyonların türevleri tablosuna bakın ve buna dikkat edin. "x" karmaşık bir ifadeyle değiştirilse bile tüm tablo formülleri geçerlidir, bu durumda:

Not iç işlev değişmedi dokunmuyoruz.

Eh, çok açık ki

Formülün uygulanmasının sonucu son tasarımda şöyle görünür:

Genellikle bir ifadenin başına sabit bir faktör yerleştirilir:

Herhangi bir karışıklık varsa, çözümü yazın ve açıklamaları tekrar okuyun.

Örnek 2

Bir fonksiyonun türevini bulun

Örnek 3

Bir fonksiyonun türevini bulun

Her zaman olduğu gibi, şunu yazıyoruz:

Nerede harici bir fonksiyonumuz olduğunu ve nerede dahili bir fonksiyonumuz olduğunu bulalım. Bunu yapmak için, (zihinsel olarak veya bir taslakta) adresindeki ifadenin değerini hesaplamayı deneyin. İlk önce ne yapılmalı? Her şeyden önce, tabanın neye eşit olduğunu hesaplamanız gerekir: bu, polinomun dahili fonksiyon olduğu anlamına gelir:

Ve ancak o zaman üstelleştirme gerçekleştirilir, bu nedenle, güç işlevi harici bir işlevdir:

formüle göre , önce dış fonksiyonun türevini bulmanız gerekir, bu durumda derece. Tabloda gerekli formülü arıyoruz: Tekrar ediyoruz: herhangi bir tablo formülü yalnızca "x" için değil, aynı zamanda karmaşık bir ifade için de geçerlidir... Böylece, karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralının uygulanmasının sonucu sonraki:

Dış fonksiyonun türevini aldığımızda iç fonksiyonun bizim için değişmediğini tekrar vurguluyorum:

Şimdi geriye, iç fonksiyonun çok basit bir türevini bulmak ve sonucu biraz "taramak" kalıyor:

Örnek 4

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnektir (cevap, eğitimin sonundadır).

Karmaşık bir fonksiyonun türevi anlayışını pekiştirmek için yorumsuz bir örnek vereceğim, kendi başınıza anlamaya çalışacağım, dışsal olanın ve iç fonksiyonun nerede olduğunu tahmin edin, görevler neden bu şekilde çözüldü?

Örnek 5

a) Fonksiyonun türevini bulun

b) Fonksiyonun türevini bulun

Örnek 6

Bir fonksiyonun türevini bulun

Burada bir kökümüz var ve kökü ayırt edebilmek için bir derece olarak temsil edilmesi gerekiyor. Böylece, önce fonksiyonu farklılaşmaya uygun bir forma getiriyoruz:

Fonksiyonu analiz ederek, üç terimin toplamının bir iç fonksiyon olduğu ve üs almanın bir dış fonksiyon olduğu sonucuna varıyoruz. Karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralını uyguluyoruz :

Derece yine bir kök (kök) olarak temsil edilir ve iç fonksiyonun türevi için toplamı türevini almak için basit bir kural uygularız:

Hazır. Ayrıca ifadeyi parantez içinde ortak bir paydaya getirebilir ve her şeyi tek bir kesirde yazabilirsiniz. Güzel, elbette, ama hantal uzun türevler elde edildiğinde, bunu yapmamak daha iyidir (kafanın karışması kolaydır, gereksiz bir hata yapar ve öğretmenin kontrol etmesi elverişsiz olur).

Örnek 7

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnektir (cevap, eğitimin sonundadır).

Bazen, karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralı yerine, bölümün türevini alma kuralının kullanılabileceğini belirtmek ilginçtir. , ancak böyle bir çözüm bir sapkınlık olarak olağandışı görünecek. İşte tipik bir örnek:

Örnek 8

Bir fonksiyonun türevini bulun

Burada bölümün türevini almak için kuralı kullanabilirsiniz. , ancak karmaşık bir fonksiyonun türev kuralı ile türevi bulmak çok daha karlı:

Fonksiyonu türev için hazırlarız - eksiyi türevin işaretinin dışına taşırız ve kosinüsü paya yükseltiriz:

Kosinüs dahili bir fonksiyondur, üs alma harici bir fonksiyondur.
kuralımızı kullanıyoruz :

Dahili fonksiyonun türevini bulun, kosinüsü sıfırlayın:

Hazır. Ele alınan örnekte, işaretlerde kafa karıştırmamak önemlidir. Bu arada kuralıyla çözmeye çalışın , cevaplar eşleşmelidir.

Örnek 9

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnektir (cevap, eğitimin sonundadır).

Şimdiye kadar, karmaşık bir işlevde yalnızca bir ekimizin olduğu durumlara baktık. Pratik görevlerde, iç içe geçmiş bebekler gibi, 3 hatta 4-5 işlevin aynı anda iç içe geçtiği türevleri sıklıkla bulabilirsiniz.

Örnek 10

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu fonksiyonun eklerini anlayalım. Test değerini kullanarak ifadeyi değerlendirmeye çalışmak. Bir hesap makinesine nasıl güveniriz?

İlk önce, arksinüsünün en derin yuvalama olduğu anlamına gelen bulmanız gerekir:

O zaman birin bu arksinüsünün karesi alınmalıdır:

Ve son olarak, 7'yi güce yükseltin:

Yani, bu örnekte üç farklı fonksiyonumuz ve iki ekimiz var, en içteki fonksiyon arksinüs ve en dıştaki fonksiyon üstel fonksiyondur.

çözmeye başlıyoruz

kurala göre önce dış fonksiyonun türevini almanız gerekir. Türev tablosuna bakarız ve üstel fonksiyonun türevini buluruz: Tek fark, "x" yerine bu formülün geçerliliğini olumsuzlamayan karmaşık bir ifadeye sahip olmamızdır. Böylece, karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralının uygulanmasının sonucu sonraki.

Türev ve hesaplama yöntemleri hakkında bilgi sahibi olmadan matematikte fiziksel problemleri veya örnekleri çözmek kesinlikle imkansızdır. Türev, matematiksel analizin en önemli kavramlarından biridir. Bugünün makalesini bu temel konuya ayırmaya karar verdik. Türev nedir, fiziksel ve geometrik anlamı nedir, bir fonksiyonun türevi nasıl hesaplanır? Tüm bu sorular tek bir soruda birleştirilebilir: türev nasıl anlaşılır?

Türevin geometrik ve fiziksel anlamı

Bir fonksiyon olsun f(x) belirli aralıklarla verilir (a, b) ... х ve х0 noktaları bu aralığa aittir. x değiştiğinde, fonksiyonun kendisi değişir. Bir argümanı değiştirme - değerleri arasındaki fark x-x0 ... Bu fark şu şekilde yazılır: delta x ve argüman artışı olarak adlandırılır. Bir fonksiyonun değişmesi veya artması, bir fonksiyonun iki noktadaki değerlerindeki farktır. Türev tanımı:

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, verilen bir noktadaki fonksiyonun artışının, argüman sıfıra eğilimli olduğunda, argümanın artışına oranının sınırıdır.

Aksi takdirde, şöyle yazılabilir:

Böyle bir limit bulmanın anlamı nedir? Ve işte ne:

fonksiyonun bir noktadaki türevi, OX ekseni arasındaki açının tanjantına ve bu noktadaki fonksiyonun grafiğine tanjantına eşittir.

Türevin fiziksel anlamı: yolun zamana göre türevi doğrusal hareketin hızına eşittir.

Gerçekten de, okul zamanlarından beri herkes hızın özel bir yol olduğunu biliyor. x = f(t) ve zaman T ... Bir süre boyunca ortalama hız:

Bir seferde hareketin hızını bulmak için t0 sınırı hesaplamanız gerekir:

Birinci kural: bir sabiti çıkar

Sabit, türevin işaretinin dışına taşınabilir. Üstelik yapılmalıdır. Matematikte örnekleri çözerken, kural olarak alın - ifadeyi sadeleştirebiliyorsanız, sadeleştirdiğinizden emin olun. .

Örnek. Türevini hesaplayalım:

İkinci kural: fonksiyonların toplamının türevi

İki fonksiyonun toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin toplamına eşittir. Aynı şey fonksiyonların farkının türevi için de geçerlidir.

Bu teoremin bir kanıtını vermeyeceğiz, bunun yerine pratik bir örneği ele alacağız.

Bir fonksiyonun türevini bulun:

Üçüncü kural: fonksiyonların çarpımının türevi

İki türevlenebilir fonksiyonun çarpımının türevi aşağıdaki formülle hesaplanır:

Örnek: bir fonksiyonun türevini bulun:

Çözüm:

Burada karmaşık fonksiyonların türevlerinin hesaplanması hakkında söylemek önemlidir. Karmaşık bir fonksiyonun türevi, bu fonksiyonun ara argümana göre türevinin, ara argümanın bağımsız değişkene göre türevinin ürününe eşittir.

Yukarıdaki örnekte şu ifadeyle karşılaşıyoruz:

Bu durumda, ara argüman 8x üzeri beşinci kuvvettir. Böyle bir ifadenin türevini hesaplamak için, önce dış fonksiyonun ara argümana göre türevini hesaplıyoruz ve sonra doğrudan ara argümanın bağımsız değişkene göre türeviyle çarpıyoruz.

Dördüncü kural: iki fonksiyonun bölüm türevi

İki fonksiyonun bölümünün türevini belirlemek için formül:

Size sıfırdan mankenler için türevlerden bahsetmeye çalıştık. Bu konu göründüğü kadar basit değil, bu yüzden dikkatli olun: örneklerde genellikle tuzaklar vardır, bu nedenle türevleri hesaplarken dikkatli olun.

Bu ve diğer konulardaki herhangi bir sorunuz için öğrenci servisi ile iletişime geçebilirsiniz. Kısa sürede, daha önce hiç türev hesaplama yapmamış olsanız bile, en zor testi çözmenize ve görevlerle uğraşmanıza yardımcı olacağız.

Bu ders "Karmaşık fonksiyonların farklılaşması" konusuna ayrılmıştır. Matematikte sınava hazırlanma pratiğinden kaynaklanan sorun. " Bu ders karmaşık fonksiyonların farklılaşmasını araştırır. Karmaşık bir fonksiyonun türevleri tablosu derlenir. Ayrıca matematikte sınava hazırlık uygulamasından bir problem çözme örneği ele alınmaktadır.

Tema: türev

Ders: Karmaşık Bir Fonksiyonu Farklılaştırma. Matematikte sınava hazırlanma pratiğinden kaynaklanan sorun

Karmaşıkişlev zaten farklılaştık, ancak argüman doğrusal bir işlevdi, yani işlevi türevlendirebiliyoruz. Örneğin, . Şimdi, aynı şekilde, lineer bir fonksiyon yerine başka bir fonksiyonun olabileceği karmaşık bir fonksiyonun türevlerini bulacağız.

Fonksiyonla başlayalım

Böylece, sinüs argümanının ikinci dereceden bir fonksiyon olduğu karmaşık bir fonksiyonun sinüsünün türevini bulduk.

Belirli bir noktadaki türevin değerini bulmak gerekiyorsa, bu nokta bulunan türevle değiştirilmelidir.

Böylece, iki örnekte kuralın nasıl çalıştığını gördük farklılaşma karmaşık fonksiyonlar.

2.

3. ... Hatırlamak.

7.

8. .

Böylece, bu aşamada karmaşık fonksiyonların türevleri tablosunu bitireceğiz. Ayrıca, elbette, daha da genelleştirilecek ve şimdi türev için özel problemlere geçeceğiz.

Sınava hazırlanma pratiğinde aşağıdaki görevler önerilmektedir.

Bir fonksiyonun minimumunu bulun .

ODZ: .

Türevini bulalım. Hatırlamak, .

Türevini sıfıra eşitleyelim. Nokta - ODZ'ye dahildir.

Türevin sabit işaretinin aralıklarını (fonksiyonun monotonluk aralıkları) bulalım (bkz. Şekil 1).

Pirinç. 1. Bir fonksiyon için monotonluk aralıkları .

Bir noktayı düşünün ve bir ekstremum noktası olup olmadığını öğrenin. Bir ekstremumun yeterli işareti, türevin bir noktadan geçerken işaret değiştirmesidir. Bu durumda, türev işaret değiştirir, bu da ekstremum noktası olduğu anlamına gelir. Türev, işaretini "-"den "+"ya değiştirdiğinden, minimum noktadır. En küçük noktadaki fonksiyonun değerini bulalım:. Bir diyagram çizelim (bkz. Şekil 2).

incir. 2. aşırı işlev .

Aralıkta - fonksiyon azalır, üzerinde - fonksiyon artar, uç nokta tek noktadır. Fonksiyon sadece noktada en küçük değeri alır.

Derste, karmaşık fonksiyonların türevini düşündüler, bir tablo derlediler ve karmaşık bir fonksiyonu ayırt etme kurallarını düşündüler, sınava hazırlık uygulamasından bir türev kullanma örneği verdiler.

1. Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (iki kısım). Eğitim kurumları için ders kitabı (profil seviyesi), ed. AG Mordkovich. -M.: Mnemosina, 2009.

2. Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (iki kısım). Eğitim kurumları için problem kitabı (profil seviyesi), ed. AG Mordkovich. -M.: Mnemosina, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Schwarzburd S.I. 10. sınıf için cebir ve matematiksel analiz (ileri matematik çalışması olan okullarda ve sınıflardaki öğrenciler için ders kitabı) .- M.: Eğitim, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Cebir ve matematiksel analizin derinlemesine incelenmesi.-M.: Eğitim, 1997.

5. Yüksek öğretim kurumlarına başvuranlar için matematik problemlerinin toplanması (MI Skanavi editörlüğünde) .- M.: Yüksekokul, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonskiy VB, Yakir M.S. Cebirsel simülatör.-K.: A.S.K., 1997.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina Cebiri ve analizin başlangıcı. 8-11 sınıflar: İleri matematik çalışması olan okullar ve sınıflar için bir el kitabı (didaktik materyaller) .- M.: Bustard, 2002.

8. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Cebirdeki görevler ve analiz ilkeleri (genel eğitim kurumlarının 10-11. sınıflarındaki öğrenciler için el kitabı) .- M.: Eğitim, 2003.

9. Karp A.P. Cebirde problemlerin toplanması ve analiz ilkeleri: ders kitabı. 10-11 sınıflar için ödenek derinleşme ile Araştırma matematik.-M.: Eğitim, 2006.

10. Glazer G.I. Okulda matematik tarihi. 9-10 sınıf (öğretmenler için el kitabı) .- M .: Eğitim, 1983

Ek web kaynakları

2. Doğa Bilimleri Portalı ().

evde yap

№№ 42.2, 42.3 (Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (iki bölümde). Eğitim kurumları için problem kitabı (profil seviyesi) A.G. Mordkovich tarafından düzenlendi. -M.: Mnemozina, 2007.)

"Eski" ders kitaplarında "zincir" kuralı olarak da adlandırılır. öyleyse eğer y = f (u) ve u = φ (x), yani

y = f (φ (x))

karmaşık - bir bileşik işlev (fonksiyonların bileşimi), ardından

nerede , hesaplama dikkate alındıktan sonra u = φ (x).

Burada aynı işlevlerden “farklı” kompozisyonlar aldığımızı ve farklılaşmanın sonucunun doğal olarak “karıştırma” sırasına bağlı olduğu ortaya çıktı.

Zincir kuralı, doğal olarak, üç veya daha fazla işlevin bir bileşimine kadar uzanır. Bu durumda türevi oluşturan "zincir"de sırasıyla üç veya daha fazla "bağ" olacaktır. Çarpma ile bir benzetme de var: "bizim var" - bir türev tablosu; “İşte” çarpım tablosu; "Biz" bir zincirleme kuraldır ve "orada" bir "sütun" ile çarpma kuralıdır. Bu tür "karmaşık" türevler hesaplanırken, elbette, yardımcı argümanlar (u¸v, vb.) tanıtılmaz, ancak bileşime katılan işlevlerin sayısını ve sırasını kendileri için kaydettikten sonra, karşılık gelen bağlantıları "diziler". belirtilen sırada.

... Burada, "igruka" değerini elde etmek için "x" ile beş işlem gerçekleştirilir, yani beş işlevin bir bileşimi vardır: "dış" (sonuncusu) - gösterge - e ; ayrıca, ters sırada, üstel. (♦) 2; trigonometrik günah (); sakinleştirici. () 3 ve son olarak logaritmik ln. (). Böyle

Sonraki örnekler “bir taşla iki kuş vurmak” olacaktır: karmaşık fonksiyonların türevlerini alma alıştırması yapacağız ve temel fonksiyonların türevleri tablosunu tamamlayacağız. Böyle:

4. Güç işlevi için - y = x α - iyi bilinen "temel logaritmik kimlik" kullanarak yeniden yazma - b = e ln b - elde ederiz x α = x α ln x

5. Keyfi bir üstel fonksiyon için, aynı tekniği uygulayarak,

6. Rastgele bir logaritmik fonksiyon için, yeni bir tabana geçiş için iyi bilinen formülü kullanarak, art arda elde ederiz.

.

7. Tanjantı (kotanjantı) ayırt etmek için, bölümün türevini almak için kuralı kullanırız:

Ters trigonometrik fonksiyonların türevlerini elde etmek için, iki karşılıklı fonksiyonun türevlerinin sağladığı ilişkiyi kullanırız, yani φ (x) ve f (x) fonksiyonları, ilişkilerle bağlanır:

oran bu

Karşılıklı ters fonksiyonlar için bu formülden

ve
,

Son olarak, bunları ve diğer bazı türevleri, kolayca elde edilen türevler gibi aşağıdaki tabloda özetleyelim.

Ön topçu hazırlığından sonra 3-4-5 işlev ekleri olan örnekler daha az korkutucu olacaktır. Belki aşağıdaki iki örnek bazıları için zor görünebilir, ancak onları anlarsanız (birisi acı çekecektir), o zaman diferansiyel hesaptaki hemen hemen her şey bir çocuk şakası gibi görünecektir.

Örnek 2

Bir fonksiyonun türevini bulun

Daha önce belirtildiği gibi, karmaşık bir fonksiyonun türevini bulurken, her şeyden önce, gereklidir. sağ Ekleri ANLAYIN. Şüphelerin olduğu durumlarda, yararlı bir tekniği hatırlıyorum: örneğin "X"in deneysel değerini alırız ve (zihinsel olarak veya taslakta) bu değeri "korkunç ifade" ile değiştirmeye çalışırız.

1) İlk olarak, miktarın en derin yatırım olduğu anlamına gelen ifadeyi hesaplamamız gerekiyor.

2) O zaman logaritmayı hesaplamanız gerekir:

4) Ardından kosinüsü bir küp haline getirin:

5) Beşinci adımda, fark:

6) Ve son olarak, en dıştaki fonksiyon kareköktür:

Karmaşık fonksiyon farklılaşma formülü en dıştaki fonksiyondan en içtekine doğru ters sırada uygulanır. Karar veriyoruz:

Hatasız görünüyor:

1) Karekökün türevini alın.

2) Kuralı kullanarak farkın türevini alıyoruz

3) Üçlünün türevi sıfırdır. İkinci terimde, derecenin (küp) türevini alıyoruz.

4) Kosinüsün türevini alıyoruz.

6) Ve son olarak, en derin yuvalamanın türevini alıyoruz.

Kulağa çok zor gelebilir, ancak bu henüz en acımasız örnek değil. Örneğin, Kuznetsov'un koleksiyonunu alın ve analiz edilen türevin tüm cazibesini ve sadeliğini takdir edeceksiniz. Öğrencinin karmaşık bir fonksiyonun türevini nasıl bulacağını anlayıp anlamadığını kontrol etmek için sınavda benzer bir şey vermeyi sevdiklerini fark ettim.

Bir sonraki örnek, kendin yap çözümü içindir.

Örnek 3

Bir fonksiyonun türevini bulun

İpucu: İlk olarak, doğrusallık kurallarını ve çarpım farklılaştırma kuralını uygulayın

Çözümü tamamlayın ve öğreticinin sonunda yanıtlayın.

Şimdi daha kompakt ve sevimli bir şeye geçme zamanı.
Bir örneğin iki değil, üç işlevin bir ürününü vermesi nadir değildir. Üç faktörün ürününün türevi nasıl bulunur?

Örnek 4

Bir fonksiyonun türevini bulun

İlk olarak, üç fonksiyonun çarpımını iki fonksiyonun çarpımına çevirmek mümkün mü bir bakalım. Örneğin, üründe iki polinomumuz olsaydı, parantezleri genişletebiliriz. Ancak bu örnekte tüm fonksiyonlar farklıdır: derece, üs ve logaritma.

Böyle durumlarda gerekli sürekliürün farklılaştırma kuralını uygula iki kere

İşin püf noktası, "y" için iki işlevin çarpımını belirtmemizdir: ve "ve" için - logaritma:. Bu neden yapılabilir? bu mu - bu iki faktörün bir ürünü değil ve kural çalışmıyor mu?! Karmaşık bir şey yok:

Şimdi kuralın uygulanması ikinci kez kaldı parantez için:

Yine de saptırılabilir ve parantezlerin dışına bir şey koyabilirsiniz, ancak bu durumda cevabı bu biçimde bırakmak daha iyidir - kontrol etmek daha kolay olacaktır.

Ele alınan örnek ikinci şekilde çözülebilir:

Her iki çözüm de kesinlikle eşdeğerdir.

Örnek 5

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu bağımsız bir çözüm için bir örnektir, örnekte ilk şekilde çözülmüştür.

Kesirlerle ilgili benzer örneklere bakalım.

Örnek 6

Bir fonksiyonun türevini bulun

Buraya gitmenin birkaç yolu var:

Veya bunun gibi:

Ancak, her şeyden önce, bölümün türevini almak için kuralı kullanırsak, çözüm daha kompakt bir şekilde yazılacaktır. , tüm pay için alarak:

Prensip olarak örnek çözülmüştür ve olduğu gibi bırakırsanız hata olmayacaktır. Ancak zamanınız varsa, her zaman bir taslağı kontrol etmeniz önerilir, ancak cevabı basitleştirmek mümkün müdür?

Payın ifadesini ortak paydaya getirelim ve üç katlı kesirden kurtulalım:

Ek sadeleştirmelerin dezavantajı, türevi bulmada değil, banal okul dönüşümleri durumunda hata yapma riskinin olmasıdır. Öte yandan, öğretmenler genellikle ödevi reddeder ve türevi "akla getirmek" ister.

Kendin yap çözümü için daha basit bir örnek:

Örnek 7

Bir fonksiyonun türevini bulun

Türev bulma yöntemlerinde ustalaşmaya devam ediyoruz ve şimdi türev için “korkunç” logaritma önerildiğinde tipik bir durumu ele alacağız.