1. 1 Murad :

   Zn = Xn + Yn eşitliğini Diophantus denklemi veya Fermat'ın Büyük Teoremi olarak kabul ettik ve bu (Zn-Xn) Xn = (Zn - Yn) Yn denkleminin çözümü. O halde Zn =-(Xn + Yn), (Zn + Xn) Xn = (Zn + Yn) Yn denkleminin bir çözümüdür. Bu denklemler ve çözümler tamsayıların özellikleri ve üzerlerindeki işlemlerle ilgilidir. Yani tam sayıların özelliklerini bilmiyor muyuz?! Bu kadar sınırlı bilgiyle gerçeği açıklamayacağız.
   n = 1 olduğunda Zn = +(Xn + Yn) ve Zn =-(Xn + Yn) çözümlerini düşünün. Tamsayılar + Z 10 basamak kullanılarak oluşturulur: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9. 2 tam sayıya bölünebilirler +X - çift, sağdaki son rakamlar: 0, 2, 4, 6, 8 ve +Y - tek, sağdaki son rakamlar: 1, 3, 5, 7, 9, t . e. + X = + Y. Y = 5 - tek ve X = 5 - çift sayıların sayısı: Z = 10. Denklemi sağlar: (Z - X) X = (Z - Y) Y ve çözüm + Z = + X + Y= +(X + Y).
   -Z tamsayıları, çift için -X ve tek için -Y'nin birleşiminden oluşur ve denklemi sağlar:
   (Z + X) X = (Z + Y) Y ve -Z = - X - Y = - (X + Y) çözümü.
   Z/X = Y veya Z / Y = X ise, Z = XY; Z / -X = -Y veya Z / -Y = -X, sonra Z = (-X)(-Y). Bölme çarpma ile kontrol edilir.
   Tek basamaklı pozitif ve negatif sayılar 5 tek ve 5 tek sayıdan oluşur.
   n = 2 durumunu ele alalım. O zaman Z2 = X2 + Y2 (Z2 – X2) X2 = (Z2 – Y2) Y2 ve Z2 = -(X2 + Y2) denkleminin bir çözümü (Z2 + X2) X2 = (Z2 + Y2) Y2. Z2 = X2 + Y2'yi Pisagor teoremi olarak kabul ettik ve sonra Z2 = -(X2 + Y2) çözümü aynı teoremdir. Bir karenin köşegeninin, onu köşegenin hipotenüs olduğu 2 parçaya böldüğünü biliyoruz. O zaman eşitlikler geçerlidir: Z2 = X2 + Y2 ve Z2 = -(X2 + Y2), burada X ve Y bacaklardır. Ve daha fazla çözüm R2 = X2 + Y2 ve R2 =- (X2 + Y2) dairelerdir, merkezler kare koordinat sisteminin orijinidir ve yarıçapı R'dir. (5n)2 = (3n)2 + ( şeklinde yazılabilirler. 4n)2 , burada n pozitif ve negatif tam sayılardır ve 3 ardışık sayıdır. Ayrıca çözümler, 00 ile başlayan ve 99 ile biten ve 102 = 10x10 olan ve 1 yüzyıl = 100 yıl sayılan 2 bitlik XY sayılarıdır.
   Çözümleri n = 3 olduğunda ele alalım. O halde Z3 = X3 + Y3 (Z3 – X3) X3 = (Z3 – Y3) Y3 denkleminin çözümleridir.
   3 bitlik sayılar XYZ, 000 ile başlar ve 999 ile biter ve 103 = 10x10x10 = 1000 yıl = 10 yüzyıldır
   Aynı boyut ve renkteki 1000 küpten yaklaşık 10'luk bir rubik yapabilirsiniz. +103=+1000 - kırmızı ve -103=-1000 - mavi düzeninde bir rubik düşünün. 103=1000 küpten oluşur. Küpleri ayrıştırır ve boşluk bırakmadan bir sıraya veya üst üste koyarsak, 2000 uzunluğunda yatay veya dikey bir segment elde ederiz. Rubik, 1 büyüklüğünden başlayarak küçük küplerle kaplı büyük bir küpdür.düğme = 10. -21 ve buna bir küp ekleyemez veya çıkaramazsınız.
   - (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10); + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10);
   - (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102); + (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102);
   - (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103); + (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103).
   Her tam sayı 1'dir. 1(birler) 9 + 9 =18, 10 + 9 =19, 10 +10 =20, 11 +10 =21 ve çarpımları ekleyin:
   111111111 x 111111111 = 12345678987654321; 1111111111 x 111111111 = 123456789987654321.
   0111111111x1111111110= 0123456789876543210; 0111111111x1111111110= 01234567899876543210.
   Bu işlemler 20 bitlik hesap makinelerinde yapılabilir.
   +(n3 - n)'nin her zaman +6'ya bölünebildiği ve - (n3 - n)'nin -6'ya bölünebildiği bilinmektedir. n3 - n = (n-1)n(n+1) olduğunu biliyoruz. Bu ardışık 3 sayıdır (n-1)n(n+1), burada n çifttir, sonra 2'ye bölünebilir, (n-1) ve (n+1) tek, 3'e bölünebilir. Sonra (n-1) n(n+1) her zaman 6 ile bölünebilir. n=0 ise, o zaman (n-1)n(n+1)=(-1)0(+1), n=20, o zaman(n-1) n (n+1)=(19)(20)(21).
   19 x 19 = 361 olduğunu biliyoruz. Bu, bir karenin 360 kareyle ve bir küpün 360 küple çevrili olduğu anlamına gelir. Eşitlik sağlanır: 6 n - 1 + 6n. n=60 ise 360 ​​- 1 + 360 ve n=61 ise 366 - 1 + 366.
   Yukarıdaki ifadelerden aşağıdaki genellemeler çıkar:
   n5 - 4n = (n2-4)n (n2+4); n7 - 9n = (n3-9) n (n3+9); n9 –16 n= (n4-16) n (n4+16);
   0… (n-9) (n-8) (n-7) (n-6) (n-5) (n-4) (n-3) (n-2) (n-1)n(n +1) (n+2) (n+3) (n+4) (n+5) (n+6) (n+7) (n+8) (n+9)…2n
   (n+1) x (n+1) = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3 )…3210
   n! = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n; n! = n (n-1) (n-2) (n-3)…3210; (n+1)! =n! (n+1).
   0 +1 +2+3+…+ (n-3) + (n-2) + (n-1) +n=n (n+1)/2; n + (n-1) + (n-2) + (n-3) +…+3+2+1+0=n (n+1)/2;
   n (n+1)/2 + (n+1) + n (n+1)/2 = n (n+1) + (n+1) = (n+1) (n+1) = (n +1)2.
   Eğer 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3)…3210 x 11=
   = 013… (2n-5) (2n-3) (2n-1) (2n+1) (2n+1) (2n-1) (2n-3) (2n-5)…310.
   Herhangi bir n tamsayısı, 10'un bir kuvvetidir, şunlara sahiptir: – n ve +n, +1/ n ve -1/ n, tek ve çift:
   - (n + n +…+ n) = -n2; – (n x n x…x n) = -nn; – (1/n + 1/n +…+ 1/n) = – 1; – (1/n x 1/n x…x1/n) = -n-n;
   + (n + n +…+ n) =+n2; + (n x n x…x n) = + nn; + (1/n +…+1/n) = + 1; + (1/n x 1/n x…x1/n) = + n-n.
   Herhangi bir tamsayı kendisine eklenirse, 2 kat artacağı ve ürünün bir kare olacağı açıktır: X = a, Y = a, X + Y = a + a = 2a; XY = axa = a2. Bu, Vieta'nın teoremi olarak kabul edildi - bir hata!
   b sayısını belirli bir sayıya toplar ve çıkarırsak, toplam değişmez, ancak ürün değişir, örneğin:
   X \u003d a + b, Y \u003d a - b, X + Y \u003d a + b + a - b \u003d 2a; XY \u003d (a + b) x (a -b) \u003d a2-b2.
   X = a +√b, Y = a -√b, X+Y = a +√b + a – √b = 2a; XY \u003d (a + √b) x (a - √b) \u003d a2- b.
   X = a + bi, Y = a - bi, X + Y = a + bi + a - bi = 2a; XY \u003d (a + bi) x (a -bi) \u003d a2 + b2.
   X = a + √b i, Y = a - √bi, X+Y = a + √bi+ a - √bi =2a, XY = (a -√bi) x (a -√bi) = a2+b.
   a ve b harfleri yerine tamsayılar koyarsak, paradokslar, saçmalıklar ve matematiğe karşı güvensizlik elde ederiz.

İNSANLIK TARAFINDAN ÇÖZÜLMEYEN MATEMATİKİN GÖREVLERİ

Hilbert sorunları

Matematikteki en önemli 23 problem, en büyük Alman matematikçi David Hilbert tarafından 1990'da Paris'teki İkinci Uluslararası Matematikçiler Kongresi'nde sunuldu. Daha sonra bu problemler (matematiğin temellerini, cebir, sayılar teorisi, geometri, topoloji, cebirsel geometri, Lie grupları, gerçek ve karmaşık analiz, diferansiyel denklemler, matematiksel fizik, varyasyon hesabı ve olasılık teorisini kapsayan) çözülmedi. 23 problemden 2'si çözüldü. Diğer 2'si doğru olmayan matematiksel problemler (biri çözülüp çözülmediği anlaşılamayacak kadar belirsiz formüle edilmiş, diğeri çözülmekten uzak fiziksel, matematiksel değil) Kalan 5 problemden, ikisi hiçbir şekilde çözülmez ve üçü sadece bazı durumlar için çözülür

Landau sorunları

Şimdiye kadar, asal sayılarla ilgili birçok açık soru var (bir asal sayı, yalnızca iki böleni olan bir sayıdır: bir ve sayının kendisi). En önemli sorular sıralandı Edmund Landau Beşinci Uluslararası Matematik Kongresinde:

Landau'nun ilk sorunu (Goldbach'ın problemi): İkiden büyük her çift sayının iki asal sayının toplamı olarak ve 5'ten büyük her tek sayının üç asal sayının toplamı olarak gösterilebileceği doğru mu?

Landau'nun ikinci sorunu: Küme sonsuz mu? "basit ikizler"- aralarındaki fark 2 olan asal sayılar?
Landau'nun üçüncü sorunu(Legendre'nin varsayımı): ile arasındaki herhangi bir doğal sayı için her zaman bir asal sayı olduğu doğru mudur?
Landau'nun dördüncü sorunu: n'nin bir doğal sayı olduğu formun asal sayılar kümesi sonsuz mudur?

Milenyum hedefleri (Milenyum Ödülü Sorunları

Bunlar yedi matematik problemi, H ve Clay Enstitüsü'nün her birine 1.000.000 ABD Doları ödül sunduğu çözüm. Bu yedi problemi matematikçilerin dikkatine sunan Clay Enstitüsü, onları D. Hilbert'in yirminci yüzyılın matematiği üzerinde büyük etkisi olan 23 problemle karşılaştırdı. Hilbert'in 23 probleminden çoğu zaten çözüldü ve sadece biri, Riemann hipotezi milenyum problemleri listesine dahil edildi. Aralık 2012 itibariyle, yedi milenyum probleminden sadece biri (Poincare hipotezi) çözülmüştür. Çözümünün ödülü, onu reddeden Rus matematikçi Grigory Perelman'a verildi.

İşte bu yedi görevin bir listesi:

1. P ve NP sınıflarının eşitliği

Bir soruya olumlu bir cevap mümkünse hızlı bir şekilde(sertifika adı verilen bazı destekleyici bilgileri kullanarak) bu sorunun cevabının (sertifika ile birlikte) doğru olup olmadığını kontrol edin hızlı bir şekilde bulmak? Birinci tip problemler NP sınıfına, ikinci tip problemler P sınıfına aittir. Bu sınıfların eşitliği problemi, algoritma teorisindeki en önemli problemlerden biridir.

2. Hodge hipotezi

Cebirsel geometride önemli bir problem. Varsayım, cebirsel alt türler tarafından gerçekleştirilen karmaşık projektif çeşitler üzerindeki kohomoloji sınıflarını tanımlar.

Numara 3. Poincare hipotezi (G.Ya. Perelman tarafından kanıtlanmıştır)

En ünlü topoloji problemi olarak kabul edilir. Daha basit olarak, üç boyutlu bir kürenin bazı özelliklerine sahip herhangi bir 3B "nesnenin" (örneğin, içindeki her döngü büzülebilir olmalıdır) deformasyona kadar bir küre olması gerektiğini belirtir. Poincare varsayımının ispatı ödülü Rus matematikçi G.Ya'ya verildi.

4 numara. Riemann hipotezi

Varsayım, Riemann zeta fonksiyonunun tüm önemsiz olmayan (yani, sıfır olmayan bir sanal kısma sahip olan) sıfırlarının 1/2'nin gerçek bir kısmına sahip olduğunu belirtir. Riemann hipotezi, Hilbert'in problemler listesinde sekizinci sıradaydı.

Numara 5. Yang-Mills teorisi

Temel parçacık fiziği alanından bir görev. Herhangi bir basit kompakt ayar grubu G için, dört boyutlu bir uzay için kuantum Yang-Mills teorisinin var olduğunu ve sıfır olmayan bir kütle kusuruna sahip olduğunu kanıtlamak gerekir. Bu ifade deneysel veriler ve sayısal simülasyonlarla tutarlıdır, ancak henüz kanıtlanmamıştır.

6. Navier-Stokes denklemlerinin çözümlerinin varlığı ve düzgünlüğü

Navier-Stokes denklemleri, viskoz bir sıvının hareketini tanımlar. Hidrodinamikteki en önemli problemlerden biri.

7 numara Birch-Swinnerton-Dyer hipotezi

Hipotez, eliptik eğrilerin denklemleri ve onların rasyonel çözümleri ile ilgilidir.

Lise öğrencileriyle matematikteki araştırma çalışmaları hakkında konuşurken genellikle şunu duyarım: "Matematikte hangi yeni şeyler keşfedilebilir?" Ama gerçekten: belki tüm büyük keşifler yapıldı ve teoremler kanıtlandı?

8 Ağustos 1900'de Paris'teki Uluslararası Matematikçiler Kongresi'nde matematikçi David Hilbert, yirminci yüzyılda çözüleceğine inandığı problemlerin bir listesini çıkardı. Listede 23 madde vardı. Şu ana kadar yirmi biri çözüldü. Gilbert'in listesindeki son çözülen problem, bilim adamlarının 358 yıldır çözemediği Fermat'ın ünlü teoremiydi. 1994 yılında Briton Andrew Wiles kendi çözümünü önerdi. Gerçek olduğu ortaya çıktı.

Geçen yüzyılın sonundaki Gilbert örneğini takiben, birçok matematikçi 21. yüzyıl için benzer stratejik görevler formüle etmeye çalıştı. Böyle bir liste Boston milyarderi Landon T. Clay tarafından meşhur edildi. 1998 yılında, Cambridge'de (Massachusetts, ABD) Clay Matematik Enstitüsü kuruldu ve modern matematikte bir dizi önemli problemi çözmek için ödüller verildi. 24 Mayıs 2000'de Enstitü uzmanları yedi problem seçti - ödüller için ayrılan milyonlarca doların sayısına göre. Listenin adı Milenyum Ödülü Sorunları:

1. Cook'un problemi (1971'de formüle edilmiştir)

Diyelim ki büyük bir şirkette olduğunuz için arkadaşınızın da orada olduğundan emin olmak istiyorsunuz. Köşede oturduğu söylenirse, bir bakışta bilginin doğru olduğundan emin olmak için saniyenin bir kısmı yeterli olacaktır. Bu bilgilerin yokluğunda, konuklara bakarak tüm odayı dolaşmak zorunda kalacaksınız. Bu, bir sorunu çözmenin genellikle çözümün doğruluğunu kontrol etmekten daha fazla zaman aldığını gösterir.

Stephen Cook sorunu formüle etti: Bir sorunun çözümünün doğruluğunu kontrol etmek, doğrulama algoritmasından bağımsız olarak çözümün kendisinden daha uzun sürebilir. Bu problem aynı zamanda mantık ve bilgisayar bilimleri alanındaki çözülmemiş problemlerden biridir. Çözümü, verilerin iletilmesi ve depolanmasında kullanılan kriptografinin temellerinde devrim yaratabilir.

2. Riemann Hipotezi (1859'da formüle edilmiştir)

Bazı tamsayılar, 2, 3, 5, 7 vb. gibi iki küçük tamsayının ürünü olarak ifade edilemez. Bu tür sayılara asal sayılar denir ve saf matematikte ve uygulamalarında önemli bir rol oynar. Asal sayıların tüm doğal sayılar dizileri arasındaki dağılımı herhangi bir düzenlilik izlemez. Bununla birlikte, Alman matematikçi Riemann, bir asal sayı dizisinin özelliklerine ilişkin bir varsayımda bulundu. Riemann Hipotezi kanıtlanırsa, şifreleme bilgimizde devrim yaratacak ve İnternet güvenliğinde benzeri görülmemiş atılımlara yol açacaktır.

3. Birch ve Swinnerton-Dyer hipotezi (1960'ta formüle edilmiştir)

Tamsayı katsayılı birkaç değişkende bazı cebirsel denklemlerin çözümlerinin tanımıyla ilişkilidir. Böyle bir denklemin bir örneği, x2 + y2 = z2 ifadesidir. Euclid bu denklemin çözümlerinin tam bir tanımını verdi, ancak daha karmaşık denklemler için çözüm bulmak son derece zorlaşıyor.

4. Hodge hipotezi (1941'de formüle edilmiştir)

20. yüzyılda matematikçiler, karmaşık nesnelerin şeklini incelemek için güçlü bir yöntem keşfettiler. Ana fikir, nesnenin kendisi yerine birbirine yapıştırılmış ve onun benzerliğini oluşturan basit "tuğlalar" kullanmaktır. Hodge hipotezi, bu tür "tuğlaların" ve nesnelerin özellikleri hakkında bazı varsayımlarla bağlantılıdır.

5. Navier - Stokes denklemleri (1822'de formüle edilmiştir)

Gölde bir tekneyle yelken açarsanız dalgalar, uçakla uçarsanız havada türbülanslı akımlar oluşur. Bu ve diğer olayların Navier-Stokes denklemleri olarak bilinen denklemlerle tanımlandığı varsayılmaktadır. Bu denklemlerin çözümleri bilinmiyor ve nasıl çözüleceği bile bilinmiyor. Çözümün var olduğunu ve yeterince düzgün bir fonksiyon olduğunu göstermek gerekir. Bu sorunun çözümü, hidro ve aerodinamik hesaplamaları gerçekleştirme yöntemlerini önemli ölçüde değiştirmeyi mümkün kılacaktır.

6. Poincare sorunu (1904'te formüle edilmiştir)

Bir elmanın üzerine lastik bir bant gererseniz, bandı yüzeyden ayrılmadan yavaşça hareket ettirebilir, bir noktaya kadar sıkıştırabilirsiniz. Öte yandan, aynı lastik bant halkanın etrafına düzgün bir şekilde gerilirse, bandı yırtmadan veya parçayı kırmadan bandı bir noktaya sıkıştırmanın bir yolu yoktur. Bir elmanın yüzeyinin basitçe bağlantılı olduğu söylenir, ancak bir çöreğin yüzeyinin öyle olmadığı söylenir. Sadece kürenin basitçe bağlantılı olduğunu kanıtlamanın o kadar zor olduğu ortaya çıktı ki, matematikçiler hala doğru cevabı arıyorlar.

7. Yang-Mills denklemleri (1954'te formüle edilmiştir)

Kuantum fiziğinin denklemleri, temel parçacıkların dünyasını tanımlar. Geometri ve temel parçacık fiziği arasındaki bağlantıyı keşfeden fizikçiler Yang ve Mills, kendi denklemlerini yazdılar. Böylece elektromanyetik, zayıf ve güçlü etkileşim teorilerini birleştirmenin bir yolunu buldular. Yang-Mills denklemlerinden, dünyanın her yerindeki laboratuvarlarda gözlemlenen parçacıkların varlığı izlendi, bu nedenle Yang-Mills teorisi, bu teori içinde tahmin etmenin hala mümkün olmamasına rağmen, çoğu fizikçi tarafından kabul ediliyor. temel parçacıkların kütleleri.