Sibirya Devlet Telekomünikasyon ve Bilişim Üniversitesi

Yüksek Matematik Bölümü

disiplin: "Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik"

"Toplam olasılık formülü ve Bayes (Bayes) formülü ve uygulamaları"

Tamamlanmış:

Başkan: Profesör B.P. Zelentsov

Novosibirsk, 2010

Giriş 3

1. Toplam olasılık formülü 4-5

2. Bayes formülü (Bayes) 5-6

3. Çözümlerle ilgili sorunlar 7-11

4. Bayes formülünün ana uygulama alanları (Bayes) 11

Sonuç 12

edebiyat 13

Tanıtım

Olasılık teorisi, matematiğin klasik dallarından biridir. Uzun bir geçmişi var. Bu bilim dalının temelleri büyük matematikçiler tarafından atılmıştır. Örneğin, Fermat, Bernoulli, Pascal adlarını vereceğim.
Daha sonra olasılık teorisinin gelişimi birçok bilim insanının eserlerinde belirlendi.
Ülkemizin bilim adamları olasılık teorisine büyük katkıda bulundular:
P.L. Chebyshev, A.M. Lyapunov, A.A. Markov, A.N. Kolmogorov. Olasılıksal ve istatistiksel yöntemler artık uygulamalara derinden gömülüdür. Fizik, mühendislik, ekonomi, biyoloji ve tıpta kullanılırlar. Özellikle bilgisayar teknolojisinin gelişmesiyle bağlantılı olarak rolleri artmıştır.

Örneğin, fiziksel olayları incelemek için gözlemler veya deneyler yapılır. Sonuçları genellikle gözlemlenen bazı miktarların değerleri olarak kaydedilir. Deneyleri tekrarlarken, sonuçlarında bir dağılım buluyoruz. Örneğin, belirli koşulları (sıcaklık, nem vb.) koruyarak aynı cihazla aynı miktardaki ölçümleri tekrarlayarak, en azından biraz farklı, ancak yine de birbirinden farklı sonuçlar elde ederiz. Çoklu ölçümler bile bir sonraki ölçümün sonucunu doğru bir şekilde tahmin etmeyi mümkün kılmaz. Bu anlamda, bir ölçümün sonucunun rastgele bir miktar olduğu söylenir. Rastgele değişkenin daha da net bir örneği, kazanan bir piyango biletinin sayısıdır. Rastgele değişkenlere başka birçok örnek verilebilir. Yine de, kazalar dünyasında belirli kalıplar bulunur. Bu tür düzenlilikleri incelemek için matematiksel aygıt, olasılık teorisi tarafından sağlanır.
Bu nedenle, olasılık teorisi, rastgele olayların ve bunlarla ilişkili rastgele değişkenlerin matematiksel analizi ile ilgilenir.

1. Toplam olasılık formülü.

Bir grup olay olsun H 1 ,H 2 ,..., h n, aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1) tüm olaylar ikili olarak uyumsuzdur: Merhaba

2) onların birleşimi, temel sonuçların W uzayını oluşturur:

Bu durumda diyeceğiz ki H 1 , H 2 ,...,h n form tüm etkinlik grubu. Bu tür olaylara bazen denir hipotezler.

İzin vermek A- bir olay: AÌW (Şekil 8'de gösterilen Venn şeması). sonra var toplam olasılık formülü:

P(A) = P(A/H 1)P(H 1) + P(A/H 2)P(H 2) + ...+P(A/h n)P(h n) =

Kanıt. Açıkça: bir=

P(A) = P(

Bunu çarpma teoremi ile düşünürsek P(

Örnek. Mağaza, ilk fabrikanın - %30, ikinci - %50, üçüncü - %20'lik payla üç fabrika tarafından üretilen elektrik lambalarını satıyor. Ürünlerinde evlilik oranı sırasıyla %5, %3 ve %2'dir. Bir mağazadan rastgele seçilen bir lambanın arızalı olma olasılığı nedir?

olay olsun H 1, seçilen lambanın ilk fabrikada üretilmesi, H 2. saniyede H 3 - üçüncü fabrikada. Açıkça:

P(H 1) = 3/10, P(H 2) = 5/10, P(H 3) = 2/10.

olay olsun A seçilen lambanın arızalı olduğu gerçeğinden oluşur; A/H ben arızalı bir lambanın fabrikada imal edilen lambalardan seçilmesi olgusunu ifade eder. Bence fabrika. Sorunun durumundan şöyle:

P (A/ H 1) = 5/10; P(A/ H 2) = 3/10; P(A/ H 3) = 2/10

Toplam olasılık formülüne göre, elde ederiz

2. Bayes formülü (Bayes)

İzin vermek H 1 ,H 2 ,...,h n- tam bir etkinlik grubu ve AÌ W bir olaydır. Daha sonra koşullu olasılık formülüne göre

Burada P(hk/A) olayın koşullu olasılığıdır (hipotez) hk ya da olasılık hk olayının gerçekleşmesi şartıyla A olmuş.

Olasılık çarpma teoremine göre, formül (1)'in payı şu şekilde temsil edilebilir:

P = P = P(A/hk)P(hk)

Formül (1) paydasını temsil etmek için toplam olasılık formülü kullanılabilir.

P(A)

Şimdi (1)'den bir formül elde edilebilir: Bayes formülü:

Bayes formülü ile hipotezin gerçekleşme olasılığı hesaplanır. hk olay olması şartıyla A olmuş. Bayes formülü de denir hipotez olasılık formülü. olasılık P(hk) hipotezin önsel olasılığı olarak adlandırılır. hk ve olasılık P(hk/A) arka olasılıktır.

Teorem. Testten sonra bir hipotezin olasılığı, test sırasında meydana gelen olayın karşılık gelen koşullu olasılığı ile test öncesi hipotezin olasılığının çarpımına eşittir, bu olayın toplam olasılığına bölünür.

Örnek. Elektrik lambaları ile ilgili yukarıdaki problemi düşünün, sadece problemin sorusunu değiştirin. Alıcının bu mağazada bir elektrik lambası almasına izin verin ve arızalı olduğu ortaya çıktı. Bu lambanın ikinci fabrikada üretilmiş olma olasılığını bulunuz. Değer P(H 2) = 0,5 bu durumda, satın alınan lambanın ikinci fabrikada üretilmiş olma olasılığının a priori olasılığıdır. Satın alınan lambanın arızalı olduğu bilgisini aldıktan sonra, bu olayın arka olasılığını hesaplayarak ikinci fabrikada bu lambayı üretme olasılığına ilişkin tahminimizi düzeltebiliriz.

Bu durum için Bayes formülünü yazalım.

Bu formülden şunu elde ederiz: P(H 2 /A) = 15/34. Görüldüğü gibi elde edilen bilgiler bizi ilgilendiren olayın olasılığının a priori olasılıktan daha düşük olmasına yol açmıştır.

3. Çözümlerle ilgili sorunlar.

Görev 1. Mağaza, üç işletmeden yeni ürünler aldı. Bu ürünlerin yüzde bileşimi aşağıdaki gibidir: %20 - birinci teşebbüsün ürünleri, %30 - ikinci teşebbüsün ürünleri, %50 - üçüncü teşebbüsün ürünleri; ayrıca, en yüksek dereceli birinci işletmenin ürünlerinin %10'u, ikinci işletmede - %5'i ve üçüncü işletmede - en yüksek derecedeki ürünlerin %20'si. Rastgele satın alınan yeni bir ürünün en yüksek kalitede olma olasılığını bulun.

Çözüm. ile belirtmek V aracılığıyla premium bir ürünün satın alınması durumunda,

Toplam olasılık formülünü uygulayabiliriz ve gösterimimizde:

Bu değerleri toplam olasılık formülüne koyarak istenen olasılığı elde ederiz:

Görev 2. Ateş eden üç kişiden biri ateş hattına çağrılır ve iki el ateş eder. İlk atıcı için hedefi tek atışla vurma olasılığı, ikinci için 0,3 - 0,5; üçüncü için - 0.8. Hedef vurulmadı. İlk ateş edenin ateş etme olasılığını bulunuz.

Amaç: Toplam olasılık formülü ve Bayes formülü kullanarak olasılık teorisinde problem çözme becerileri oluşturmak.

Toplam Olasılık Formülü

Olay Olasılığı A, yalnızca uyumsuz olaylardan biri meydana geldiğinde meydana gelebilir B x, B 2 ,..., Bn, tam bir grup oluşturmak, bu olayların her birinin olasılıklarının ve A olayının karşılık gelen koşullu olasılığının ürünlerinin toplamına eşittir:

Bu formül denir toplam olasılık formülü.

Hipotezlerin olasılığı. Bayes formülü

olay olsun A uyumsuz olaylardan biri meydana gelirse meydana gelebilir B b B 2 ,...,B p, tam bir grup oluşturuyor. Bu olaylardan hangisinin gerçekleşeceği önceden bilinmediğinden bunlara hipotez denir. Bir olayın meydana gelme olasılığı A toplam olasılık formülü ile belirlenir:

Bir testin gerçekleştirildiğini ve bunun sonucunda bir olayın meydana geldiğini varsayalım. A. nasıl değiştiklerinin (olaydan dolayı) tespit edilmesi gerekmektedir. A zaten geldi) hipotezlerin olasılıkları. Hipotezlerin koşullu olasılıkları formülle bulunur

Bu formülde indeks / = 1.2

Bu formüle Bayes formülü denir (onu türeten İngiliz matematikçiden sonra; 1764'te yayınlandı). Bayes formülü, testin sonucu bilindikten sonra, olayın ortaya çıkması sonucunda hipotezlerin olasılıklarını yeniden tahmin etmenize olanak tanır. A.

Görev 1. Tesis belirli bir tür parça üretiyor, her parçada 0,05 olasılıkla bir kusur var. Parça bir denetçi tarafından denetlenir; 0.97 olasılıkla bir kusur tespit eder ve herhangi bir kusur bulunmazsa parçayı bitmiş ürüne geçirir. Ayrıca müfettiş kusuru olmayan bir parçayı yanlışlıkla reddedebilir; bunun olasılığı 0.01'dir. Aşağıdaki olayların olasılıklarını bulun: A - kısım reddedilecek; B - kısım reddedilecek, ancak hatalı olarak; C - parça kusurlu bitmiş ürüne atlanır.

Çözüm

Hipotezleri gösterelim:

H= (denetim için standart bir parça gönderilecektir);

H= (denetim için standart olmayan bir parça gönderilecektir).

Etkinlik bir =(kısmı reddedilecektir).

Problemin durumundan olasılıkları buluruz.

PH (A) = 0,01; Pfi(A) = 0,97.

Toplam olasılık formülüne göre, elde ederiz

Bir parçanın yanlışlıkla reddedilme olasılığı

Parçanın kusurlu bitmiş ürüne atlanma olasılığını bulalım:

Yanıt vermek:

Görev 2.Ürün, üç emtia uzmanından biri tarafından standartlık açısından kontrol edilir. Ürünün birinci satıcıya ulaşma olasılığı 0,25, ikinci satıcıya 0,26 ve üçüncü satıcıya 0,49'dur. Ürünün ilk satıcı tarafından standart olarak tanınma olasılığı 0,95, ikinci - 0,98, üçüncü - 0,97'dir. Standart ürünün ikinci denetçi tarafından kontrol edilme olasılığını bulun.

Çözüm

Olayları belirtelim:

L =(doğrulama için ürün /-th emtia yöneticisine gidecektir); / = 1, 2, 3;

B =(ürün standart olarak kabul edilecektir).

Problemin durumuna göre olasılıklar bilinir:

Koşullu olasılıkları da biliyoruz

Bayes formülünü kullanarak, standart ürünün ikinci kontrolör tarafından kontrol edilme olasılığını buluyoruz:

Yanıt vermek:"0.263.

Görev 3. İki makine ortak bir konveyöre giden parçalar üretiyor. İlk makinede standart olmayan bir parça elde etme olasılığı 0,06 ve ikinci makinede - 0,09'dur. İkinci makinenin performansı, birincinin iki katıdır. Konveyörden standart olmayan bir parça alındı. Bu parçanın ikinci makine tarafından üretilmiş olma olasılığını bulunuz.

Çözüm

Olayları belirtelim:

bir =(montaj hattından alınan parça i-th makinesinde üretilir); / = 1.2;

V= (alınan kısım standart dışı olacaktır).

Koşullu olasılıkları da biliyoruz

Toplam olasılık formülünü kullanarak,

Bayes formülünü kullanarak, alınan standart olmayan parçanın ikinci otomat tarafından üretilme olasılığını buluyoruz:

Yanıt vermek: 0,75.

Görev 4. Güvenilirliği sırasıyla 0,8 ve 0,9 olan iki düğümden oluşan bir cihaz test edilir. Düğümler birbirinden bağımsız olarak başarısız olur. Cihaz başarısız oldu. Bunu dikkate alarak hipotezlerin olasılıklarını bulun:

• a) yalnızca ilk düğüm hatalı;
• b) sadece ikinci düğüm hatalı;
• c) her iki düğüm de hatalı.

Çözüm

Olayları belirtelim:

D = (7. düğüm başarısız olmaz); Bence = 1,2;

D - karşılık gelen zıt olaylar;

A= (test sırasında cihaz başarısız olur).

Problemin koşulundan şunu elde ederiz: P(D) = 0.8; P(L 2) = 0,9.

Zıt olayların olasılıklarının özelliği ile

Etkinlik A bağımsız olayların çarpımlarının toplamına eşittir

Uyumsuz olayların olasılıkları için toplama teoremini ve bağımsız olayların olasılıklarını çarpma teoremini kullanarak,

Şimdi hipotezlerin olasılıklarını buluyoruz:

Yanıt vermek:

Görev 5. Fabrikada civatalar toplam civata sayısının sırasıyla %25, %30 ve %45'ini üreten üç makinede yapılmaktadır. Takım tezgahlarının üretiminde kusur sırasıyla %4, %3 ve %2'dir. Gelen bir üründen rastgele alınan bir cıvatanın bozuk olma olasılığı nedir?

Çözüm

Olayları belirtelim:

4 = (i-inci makinede rastgele alınan bir cıvata yapıldı); Bence = 1, 2, 3;

V= (rastgele alınan bir cıvata kusurlu olacaktır).

Problemin durumundan, klasik olasılık formülünü kullanarak hipotezlerin olasılıklarını buluruz:

Ayrıca, klasik olasılık formülünü kullanarak koşullu olasılıkları buluruz:

Toplam olasılık formülünü kullanarak,

Yanıt vermek: 0,028.

Görev 6. Elektronik devre, 0.25 olasılıkla üç gruptan birine aittir; 0,5 ve 0,25. Devrenin her bir taraf için garanti süresinin ötesinde çalışması olasılığı sırasıyla 0,1'dir; 0.2 ve 0.4. Rastgele seçilen bir devrenin garanti süresinin ötesinde çalışma olasılığını bulun.

Çözüm

Olayları belirtelim:

4 = (i-inci oyundan rastgele alınan şema); ben = 1, 2, 3;

V= (rastgele alınan bir devre garanti süresinin ötesinde çalışır).

Problemin durumuna göre hipotezlerin olasılıkları bilinir:

Koşullu olasılıkları da biliyoruz:

Toplam olasılık formülünü kullanarak,

Yanıt vermek: 0,225.

Görev 7. Cihaz, her birinin servis kolaylığı cihazın çalışması için gerekli olan iki blok içerir. Bu bloklar için hatasız çalışma olasılıkları sırasıyla 0.99 ve 0.97'dir. Cihaz arızalı. Her iki birimin de başarısız olma olasılığını belirleyin.

Çözüm

Olayları belirtelim:

D = (z. blok başarısız olur); Bence = 1,2;

A= (cihaz başarısız olur).

Problemin durumundan, zıt olayların olasılıklarının özelliğine göre şunları elde ederiz: DD) = 1-0.99 = 0.01; DD) = 1-0.97 = 0.03.

Etkinlik A sadece D olaylarından en az biri veya 2 . Bu nedenle, bu olay olayların toplamına eşittir. A= D + A 2 .

Ortak olayların olasılıkları için toplama teoremi ile elde ederiz.

Bayes formülünü kullanarak, her iki bloğun da arızalanması nedeniyle cihazın arızalanma olasılığını buluyoruz.

Yanıt vermek:

Bağımsız çözüm için görevler Görev 1. Televizyon stüdyosunun deposunda, 1 No'lu fabrika tarafından üretilen kineskopların% 70'i var; kalan kineskoplar 2 No'lu tesis tarafından üretilmiştir. Kinescope'un garanti süresi boyunca arızalanmama olasılığı 1 No'lu tesisin kineskopları için 0,8 ve 2 No'lu tesisin kineskopları için 0,7'dir. Kineskop garanti süresini geçmiştir. 2 numaralı bitki tarafından üretilmiş olma olasılığını bulun.

Görev 2. Montaja üç otomatik makineden parçalar geliyor. 1. makinenin %0.3, 2. - %0.2, 3. - %0.4 kusur verdiği bilinmektedir. 1. makineden 1000 parça, 2. makineden 2000 parça ve 3. makineden 2500 parça alınmışsa, montaj için kusurlu bir parça alma olasılığını bulun.

Görev 3.İki makine aynı parçaları üretiyor. İlk makinede üretilen bir parçanın standart olma olasılığı 0,8, ikinci makinede ise 0,9'dur. İkinci makinenin performansı, birincinin üç katıdır. Standart parçanın her iki makineden de parça alan konveyörden rastgele alınma olasılığını bulun.

Görev 4.Şirketin başkanı, üç nakliye şirketinden ikisinin hizmetlerini kullanmaya karar verdi. Birinci, ikinci ve üçüncü firmaların malları zamanında teslim etme olasılıkları sırasıyla 0.05'tir; 0.1 ve 0.07. Bu verileri kargo taşımacılığının güvenliğine ilişkin verilerle karşılaştıran yönetici, seçimin adil olduğu sonucuna vardı ve bunu kura ile yapmaya karar verdi. Gönderilen kargonun zamanında teslim edilme olasılığını bulunuz.

Görev 5. Cihaz, her birinin servis kolaylığı cihazın çalışması için gerekli olan iki blok içerir. Bu bloklar için hatasız çalışma olasılıkları sırasıyla 0.99 ve 0.97'dir. Cihaz arızalı. İkinci birimin başarısız olma olasılığını belirleyin.

Görev 6. Montaj atölyesi, üç makineden parça alır. İlk makine evliliğin %3'ünü, ikincisi - %1 ve üçüncüsü - %2'sini verir. Her makineden sırasıyla 500, 200, 300 parça alındıysa, arızalı olmayan bir parçanın montaja girme olasılığını belirleyin.

Görev 7. Depo üç firmanın ürünlerini alıyor. Ayrıca, birinci firmanın üretimi %20, ikinci - %46 ve üçüncü - %34'tür. Birinci firma için standart olmayan ürünlerin ortalama yüzdesinin %5, ikinci firma için %2 ve üçüncü firma için %1 olduğu bilinmektedir. Rastgele seçilen bir ürünün standart olduğu ortaya çıkarsa ikinci şirket tarafından üretilmiş olma olasılığını bulun.

Görev 8. Bir kusur nedeniyle bitkinin üretiminde evlilik a%5'tir ve reddedilenler arasında aürünlerin %10'unda bir kusur var R. Ve hatasız ürünlerde a, kusur r vakaların %1'inde görülür. Bir kusurla karşılaşma olasılığını bulun r tüm ürünlerde.

Görev 9.Şirketin daha önce onarımda olan 10 yeni arabası ve 5 eski arabası var. Yeni bir araba için uygun çalışma olasılığı, eski bir araba için 0,94 - 0,91'dir. Rastgele seçilen bir arabanın düzgün çalışma olasılığını bulun.

Görev 10.İki sensör, ortak bir iletişim kanalına sinyal gönderir ve bunlardan ilki, ikincinin iki katı kadar sinyal gönderir. İlk sensörden bozuk bir sinyal alma olasılığı, ikinci - 0,03'ten 0,01'dir. Ortak bir iletişim kanalında bozuk bir sinyal alma olasılığı nedir?

Görev 11. Beş ürün grubu vardır: 6'sı standart ve 2'si standart olmayan olmak üzere 8 parçalık üç grup ve 7'si standart ve 3'ü standart olmayan olmak üzere 10 parçalık iki grup. Partilerden biri rastgele seçilir ve bu partiden bir detay alınır. Seçilen parçanın standart olma olasılığını belirleyin.

Görev 12. Montajcı, parçaların ortalama olarak %50'sini birinci tesisten, %30'unu ikinci tesisten ve %20'sini üçüncü tesisten alır. İlk fabrikanın parçasının mükemmel kalitede olma olasılığı 0,7'dir; ikinci ve üçüncü bitkilerin parçaları için sırasıyla 0,8 ve 0,9. Rastgele alınan parçanın mükemmel kalitede olduğu ortaya çıktı. Parçanın ilk fabrika tarafından yapılmış olma olasılığını bulun.

Görev 13. Arabaların gümrük muayenesi iki müfettiş tarafından yapılır. Ortalama olarak, 100 arabadan 45'i ilk müfettişten geçer. Muayene sırasında gümrük kurallarına uygun bir araca alıkonulmama olasılığı, birinci müfettiş için 0,95, ikinci müfettiş için 0,85'tir. Gümrük kurallarına uyan bir arabanın alıkonulmama olasılığını bulunuz.

Görev 14. Cihazın montajı için gerekli parçalar, performansı aynı olan iki otomatik makineden gelmektedir. Otomatlardan biri standardın ortalama% 3'ünü ve ikincisi -% 2'yi verirse, standart bir parçanın montaja girme olasılığını hesaplayın.

Görev 15. Halter antrenörü, bu ağırlık kategorisinde takım kredisi almak için bir sporcunun 200 kg'lık bir halter itmesi gerektiğini hesapladı. Ivanov, Petrov ve Sidorov takımda yer alıyor. Ivanov, eğitim sırasında 7 vakada bu ağırlığı kaldırmaya çalıştı ve 3'ünde kaldırdı. Petrov 13'te 6 kez kaldırdı ve Sidorov'un halteri başarıyla kullanma şansı %35. Antrenör takım için rastgele bir sporcu seçer.

• a) Seçilen sporcunun takım puanlarını getirme olasılığını bulun.
• b) Takım puan alamadı. Sidorov'un konuşma olasılığını bulun.

Görev 16. Beyaz bir kutuda 12 kırmızı ve 6 mavi top vardır. Siyah - 15 kırmızı ve 10 mavi top. Zar atmak. Puan sayısı 3'ün katıysa, beyaz kutudan rastgele bir top çekiliyor. Başka herhangi bir puan düşerse, kara kutudan rastgele bir top alınır. Kırmızı bir topun gelme olasılığı nedir?

Görev 17.İki kutuda radyo tüpleri bulunur. İlk kutu, 1'i standart olmayan 12 lamba içerir; ikincisinde 1 tanesi standart olmayan 10 adet lamba bulunmaktadır. Birinci kutudan rastgele bir lamba alınıp ikinci kutuya aktarıldı. İkinci kutudan rastgele çekilen bir lambanın standart dışı olma olasılığını bulun.

Görev 18.İçinde iki top bulunan bir kavanoza beyaz bir top atılıyor ve ardından rastgele bir top çekiliyor. Topların ilk bileşimi (renge göre) hakkında tüm olası varsayımlar eşit derecede mümkünse, çekilen topun beyaz olma olasılığını bulun.

Görev 19. 3 özdeş parça içeren bir kutuya standart bir parça atılıyor ve ardından rastgele bir parça çekiliyor. Kutudaki orijinal standart parçaların sayısıyla ilgili tüm olası tahminler eşit derecede olasıysa, standart bir parçanın çizilme olasılığını bulun.

Görev 20. Radyo iletişiminin kalitesini artırmak için iki radyo alıcısı kullanılır. Her alıcı tarafından bir sinyal alma olasılığı 0,8'dir ve bu olaylar (alıcı tarafından sinyal alımı) bağımsızdır. Her alıcı için bir radyo iletişim oturumu sırasında hatasız çalışma olasılığı 0,9 ise, sinyal alma olasılığını belirleyin.

Olasılıkları ve karşılık gelen koşullu olasılıkları bilinsin. O halde olayın olma olasılığı:

Bu formül denir toplam olasılık formülleri. Ders kitaplarında, kanıtı temel olan bir teorem tarafından formüle edilir: olay cebiri, (olay oldu ve veya bir olay oldu ve sonra olay geldi veya bir olay oldu ve sonra olay geldi veya …. veya bir olay oldu ve olay takip edildi). hipotezler beri uyumsuzdur ve olay bağımlıdır, o zaman buna göre uyumsuz olayların olasılıkları için toplama teoremi (ilk adım) ve bağımlı olayların olasılıklarının çarpımı teoremi (ikinci adım):

Muhtemelen birçoğu ilk örneğin içeriğini tahmin ediyor =)

Nereye tükürürsen - semaver her yerde:

Görev 1

Üç özdeş çömleği vardır. İlk kavanoz 4 beyaz ve 7 siyah top içerir, ikinci kavanoz sadece beyaz toplar içerir ve üçüncü kavanoz sadece siyah toplar içerir. Rastgele bir kavanoz seçiliyor ve içinden rastgele bir top çekiliyor. Bu topun siyah olma olasılığı kaçtır?

Çözüm: olayı düşünün - rastgele seçilmiş bir kavanozdan siyah bir top çekilecektir. Bu olay aşağıdaki hipotezlerden birinin sonucu olabilir veya olmayabilir:
– 1. urn seçilecektir;
– 2. urn seçilecektir;
– 3. urn seçilecektir.

Kutu rastgele seçildiğinden, üç kutudan herhangi birinin seçimi eşit derecede mümkün, buradan:

Yukarıdaki hipotezlerin oluştuğuna dikkat edin. tüm etkinlik grubu, yani, duruma göre, siyah bir top sadece bu çömleğinden görünebilir ve örneğin bir bilardo masasından uçamaz. Basit bir ara kontrol yapalım:
Tamam, devam edelim:

İlk kavanoz 4 beyaz + 7 siyah = 11 top içerir, her biri klasik tanım:
siyah bir top çekme olasılığı tedarik edilen 1. urn seçilecektir.

İkinci urn sadece beyaz toplar içerir, bu nedenle seçilirse siyah bir topun görünümü olur imkansız: .

Ve son olarak, üçüncü kavanozda sadece siyah toplar vardır, bu da karşılık gelen şartlı olasılık siyah topun çıkarılması (olay kesindir).

rastgele seçilen bir kavanozdan siyah bir top çekilme olasılığıdır.

Yanıt vermek:

İncelenen örnek, DURUMU ANLAMANIN ne kadar önemli olduğunu bir kez daha göstermektedir. Aynı sorunları çömleği ve topları ele alalım - dış benzerlikleriyle, çözme yöntemleri tamamen farklı olabilir: bir yerde sadece uygulanması gerekir. olasılığın klasik tanımı, bir yerde olaylar bağımsız, bir yerde bağımlı ve bir yerde hipotezlerden bahsediyoruz. Aynı zamanda, bir çözüm yolu seçmek için net bir resmi kriter yoktur - neredeyse her zaman bunu düşünmeniz gerekir. Becerilerinizi nasıl geliştirebilirsiniz? Çözeriz, çözeriz ve yine çözeriz!

Görev 2

Atış poligonunda 5 farklı tüfek bulunmaktadır. Belirli bir atıcı için hedefi vurma olasılıkları sırasıyla 0,5'e eşittir; 0,55; 0.7; 0.75 ve 0.4. Atıcı rastgele seçilmiş bir tüfekle tek atış yaparsa hedefi vurma olasılığı nedir?

Kısa çözüm ve ders sonunda cevap.

Çoğu tematik problemde, hipotezler elbette eşit derecede olası değildir:

Görev 3

Piramidin içinde üçü optik görüş ile donatılmış 5 tüfek var. Nişancının teleskopik görüşlü bir tüfekten ateşlendiğinde hedefi vurma olasılığı 0.95; teleskopik görüşü olmayan bir tüfek için bu olasılık 0,7'dir. Atıcı rastgele alınan bir tüfekle bir atış yaparsa hedefin vurulma olasılığını bulun.

Çözüm: bu problemde, tüfek sayısı bir öncekiyle tamamen aynı, ancak sadece iki hipotez var:
- atıcı optik görüşlü bir tüfek seçecek;
- atıcı, teleskopik görüş olmadan bir tüfek seçecektir.
İle olasılığın klasik tanımı: .
Kontrol:

Olayı düşünün: - atıcı rastgele seçilmiş bir tüfekle hedefi vurur.
Duruma göre: .

Toplam olasılık formülüne göre:

Yanıt vermek: 0,85

Pratikte, sizin de aşina olduğunuz bir görevi tasarlamanın kısaltılmış bir yolu oldukça kabul edilebilir:

Çözüm: klasik tanıma göre: sırasıyla optik görüşlü ve görüşsüz bir tüfek seçme olasılıklarıdır.

koşula göre, - ilgili tüfek türleri ile hedefi vurma olasılıkları.

Toplam olasılık formülüne göre:
atıcının rastgele seçilmiş bir tüfekle hedefi vurma olasılığıdır.

Yanıt vermek: 0,85

Bağımsız bir çözüm için aşağıdaki görev:

Görev 4

Motor üç modda çalışır: normal, zorlamalı ve rölantide. Boş modda, arıza olasılığı 0,05, normal modda - 0,1 ve zorunlu modda - 0,7'dir. Motorun normal modda çalıştığı sürenin %70'i ve zorunlu modda %20'si. Çalışma sırasında motor arızası olasılığı nedir?

Her ihtimale karşı, size hatırlatmama izin verin - olasılıkları elde etmek için yüzdelerin 100'e bölünmesi gerekir. Çok dikkatli olun! Gözlemlerime göre, toplam olasılık formülü için problemlerin koşulları genellikle karıştırılmaya çalışılıyor; ve özellikle böyle bir örnek seçtim. Sana bir sır vereceğim - neredeyse kafam karıştı =)

Dersin sonundaki çözüm (kısa bir şekilde formüle edilmiştir)

Bayes formülleri için problemler

Materyal, önceki paragrafın içeriğiyle yakından ilgilidir. Hipotezlerden birinin uygulanmasının bir sonucu olarak olayın gerçekleşmesine izin verin. . Belirli bir hipotezin gerçekleşme olasılığı nasıl belirlenir?

Tedarik edilen o olay zaten oldu, hipotezlerin olasılıkları abartılmışİngiliz rahip Thomas Bayes'in adını alan formüllere göre:

- hipotezin gerçekleşme olasılığı;
- hipotezin gerçekleşme olasılığı;
…
hipotezin doğru olma olasılığıdır.

İlk bakışta, tam bir saçmalık gibi görünüyor - zaten biliniyorlarsa, neden hipotezlerin olasılıklarını yeniden hesaplayasınız? Ama aslında bir fark var:

- o Önsel(tahmini önceki testler) olasılıklar.

- o bir posteriori(tahmini sonrasında testler) "yeni keşfedilen durumlar" ile bağlantılı olarak yeniden hesaplanan aynı hipotezlerin olasılıkları - olayın gerçekliği dikkate alınarak olmuş.

Bu farka özel bir örnekle bakalım:

Görev 5

Depo 2 parti ürün aldı: ilk - 4000 parça, ikinci - 6000 parça. İlk partideki standart olmayan ürünlerin ortalama yüzdesi% 20 ve ikinci -% 10'dur. Depodan rastgele alınan ürün standart çıktı. a) birinci gruptan, b) ikinci gruptan olma olasılığını bulun.

İlk kısım çözümler toplam olasılık formülünü kullanmaktan ibarettir. Başka bir deyişle, hesaplamalar, testin henüz üretilmedi ve olay "ürün standart çıktı" gelene kadar.

İki hipotezi ele alalım:
- rastgele alınan bir ürün 1. partiden olacaktır;
- rastgele alınan bir ürün 2. partiden olacaktır.

Toplam: 4000 + 6000 = 10000 ürün stokta. Klasik tanıma göre:
.

Kontrol:

Bağımlı olayı düşünün: – depodan rastgele alınan bir ürün niyet standart.

İlk partide %100 - %20 = %80 standart ürünler, bu nedenle: tedarik edilen 1. tarafa ait olduğunu.

Benzer şekilde, ikinci partide %100 - %10 = %90 standart ürünler ve Depoda rastgele seçilen bir öğenin standart bir öğe olma olasılığıdır. tedarik edilen 2. tarafa ait olduğunu.

Toplam olasılık formülüne göre:
depodan rastgele seçilen bir ürünün standart bir ürün olma olasılığıdır.

Bölüm iki. Diyelim ki depodan rastgele alınan bir ürün standart çıktı. Bu ifade doğrudan koşulda belirtilir ve olayın gerçekleştiğini belirtir. olmuş.

Bayes'in formüllerine göre:

a) - seçilen standart ürünün 1. partiye ait olma olasılığı;

b) - seçilen standart ürünün 2. partiye ait olma olasılığı.

Sonrasında yeniden değerleme hipotezler, elbette, hala oluşur tam grup:
(sınav;-))

Yanıt vermek:

Yine mesleğini değiştiren ve fabrikanın müdürü olan Ivan Vasilyevich, hipotezlerin yeniden değerlendirilmesinin anlamını anlamamıza yardımcı olacak. Bugün 1. dükkanın depoya 4000 ürün ve 2. dükkanın - 6000 ürün sevk ettiğini biliyor ve bundan emin olmak için geliyor. Tüm ürünlerin aynı tipte olduğunu ve aynı kapta olduğunu varsayalım. Doğal olarak, Ivan Vasilyevich daha önce doğrulama için çıkaracağı ürünün büyük olasılıkla 1. atölyede ve muhtemelen ikinci atölyede üretileceğini hesapladı. Ancak seçilen öğe standart hale geldikten sonra, “Ne güzel bir cıvata! - daha çok 2. atölye tarafından yayınlandı. Böylece, ikinci hipotezin olasılığı daha iyi için fazla tahmin edilir ve birinci hipotezin olasılığı küçümsenir: . Ve bu fazla tahmin mantıksız değil - sonuçta 2. atölye sadece daha fazla ürün üretmekle kalmadı, aynı zamanda 2 kat daha iyi çalışıyor!

Saf öznelcilik mi diyorsunuz? Kısmen - evet, ayrıca Bayes'in kendisi yorumladı bir posteriori gibi olasılıklar güven seviyesi. Ancak, her şey o kadar basit değil - Bayes yaklaşımında nesnel bir tahıl var. Sonuçta, ürünün standart olma olasılığı (sırasıyla 1. ve 2. dükkanlar için 0.8 ve 0.9) o ön hazırlık(önceden) ve orta tahminler. Ama felsefi olarak konuşursak, her şey akar, olasılıklar dahil her şey değişir. bu oldukça olası çalışma zamanında daha başarılı 2. mağaza standart ürünlerin yüzdesini artırdı (ve/veya 1. dükkan azaltıldı), ve stoktaki 10 bin parçadan fazlasını veya tamamını kontrol ederseniz, o zaman fazla tahmin edilen değerler gerçeğe çok daha yakın olacaktır.

Bu arada, Ivan Vasilyevich standart olmayan bir parça çıkarırsa, bunun tersi de geçerlidir - 1. mağazadan giderek daha az “şüphelenecek” - ikincisi. Kendiniz kontrol etmenizi öneririm:

Görev 6

Depo 2 parti ürün aldı: ilk - 4000 parça, ikinci - 6000 parça. İlk partideki standart olmayan ürünlerin ortalama yüzdesi, ikinci - %10'da %20'dir. Depodan rastgele alınan bir ürün çıktı. olumsuzluk standart. a) birinci gruptan, b) ikinci gruptan olma olasılığını bulun.

Koşul, kalın olarak vurguladığım iki harfle ayırt edilecektir. Sorun sıfırdan çözülebilir veya önceki hesaplamaların sonuçlarını kullanabilirsiniz. Örnekte tam bir çözüm uyguladım, ancak Görev No. 5 ile resmi bir örtüşmeyi önlemek için olay “Depodan rastgele alınan bir ürün standart dışı olacaktır” Ile işaretlenmiş .

Bayes'in olasılıkların yeniden değerlendirilmesi şeması her yerde bulunur ve ayrıca çeşitli dolandırıcılar tarafından aktif olarak kullanılır. Nüfustan mevduat çeken, onları bir yere yatırdığı iddia edilen, düzenli olarak temettü ödeyen, hanehalkı adı haline gelen üç harfli bir anonim şirket düşünün. Ne oluyor? Günden güne, her ay geçiyor ve reklamlar ve kulaktan kulağa iletilen daha fazla yeni gerçek, yalnızca finansal piramide olan güven düzeyini artırıyor. (geçmiş olaylar nedeniyle arka Bayes yeniden değerlendirme!). Yani mudilerin gözünde sürekli bir artış var. "Bu ciddi bir ofis"; zıt hipotezin olasılığı ise (“bunlar sıradan dolandırıcılar”), elbette, azalır ve azalır. Gerisi bence açık. Kazanılan itibarın, organizatörlere, yalnızca bir grup cıvata olmadan değil, aynı zamanda pantolonsuz kalan Ivan Vasilyevich'ten başarılı bir şekilde saklanma zamanı vermesi dikkat çekicidir.

Daha az ilginç olmayan örneklere biraz sonra döneceğiz, ancak şimdilik, belki de sıradaki üç hipotezli en yaygın durum:

Görev 7

Elektrik lambaları üç fabrikada üretilmektedir. 1. fabrika, toplam lamba sayısının %30'unu, 2. - % 55'ini ve 3. - geri kalanını üretir. 1. tesisin ürünleri, kusurlu lambaların% 1'ini,% 2. -% 1.5'ini,% 3. -% 2'sini içerir. Mağaza, her üç fabrikadan da ürün alıyor. Aldığım lamba bozuk çıktı. 2. fabrikada üretilmiş olma olasılığı nedir?

Şu durumdaki Bayes formüllerindeki problemlerde mutlaka bazı ne oldu bir olay, bu durumda, bir lambanın satın alınması.

Olaylar arttı ve çözüm"hızlı" bir tarzda düzenlemek daha uygundur.

Algoritma tamamen aynı: ilk adımda, satın alınan lambanın olma olasılığını buluyoruz. olacak arızalı.

İlk verileri kullanarak yüzdeleri olasılıklara çeviriyoruz:
lambanın sırasıyla 1., 2. ve 3. fabrikalarda üretilme olasılıklarıdır.
Kontrol:

Benzer şekilde: - ilgili fabrikalar için arızalı bir lamba üretme olasılıkları.

Toplam olasılık formülüne göre:

- satın alınan lambanın arızalı olma olasılığı.

İkinci adım. Satın alınan lambanın arızalı olmasına izin verin (olay gerçekleşti)

Bayes formülüne göre:
- satın alınan arızalı lambanın ikinci fabrika tarafından üretilme olasılığı

Yanıt vermek:

Yeniden değerlendirmeden sonra 2. hipotezin ilk olasılığı neden arttı? Sonuçta, ikinci fabrika ortalama kalitede lambalar üretiyor (birincisi daha iyi, üçüncüsü daha kötü). peki neden arttı bir posteriori Arızalı lambanın 2. fabrikadan olma olasılığı? Bu artık "itibar" nedeniyle değil, boyuttan kaynaklanmaktadır. 2 No'lu fabrika en fazla sayıda lamba ürettiğinden, onu suçluyorlar (en azından öznel olarak): "büyük ihtimalle bu arızalı lamba oradan".

1. ve 3. hipotezlerin olasılıklarının beklenen yönlerde fazla tahmin edildiğini ve eşit hale geldiğini belirtmek ilginçtir:

Kontrol: , hangi doğrulanacaktı.

Bu arada, hafife alınan ve abartılan hakkında:

Görev 8

Öğrenci grubunda 3 kişi eğitim düzeyi yüksek, 19 kişi orta düzeyde ve 3 kişi düşük düzeyde eğitime sahiptir. Bu öğrencilerin sınavı başarıyla geçme olasılıkları sırasıyla: 0.95; 0.7 ve 0.4. Bazı öğrencilerin sınavı geçtiği bilinmektedir. Şunun olasılığı nedir:

a) çok iyi hazırlanmıştı;
b) orta derecede hazırlanmış;
c) kötü hazırlanmıştı.

Hesaplamalar yapın ve hipotezlerin yeniden değerlendirilmesinin sonuçlarını analiz edin.

Görev gerçeğe yakın ve özellikle öğretmenin şu ya da bu öğrencinin yeteneklerini bilmediği bir grup yarı zamanlı öğrenci için makul. Bu durumda, sonuç oldukça beklenmedik sonuçlara neden olabilir. (özellikle 1. dönem sınavları için). Eğer hazırlıksız bir öğrenci bilet alacak kadar şanslıysa, o zaman öğretmen onu iyi bir öğrenci, hatta gelecekte iyi kazançlar getirecek güçlü bir öğrenci olarak kabul edecektir. (elbette “çıtayı yükseltmeniz” ve imajınızı korumanız gerekir). Bir öğrenci 7 gün ve 7 gece boyunca çalıştıysa, tıka basa doluysa, tekrar ettiyse, ancak sadece şanssızsa, o zaman başka olaylar mümkün olan en kötü şekilde gelişebilir - çok sayıda tekrarlama ve ayrılma eşiğinde dengeleme ile.

İtibarın en önemli sermaye olduğunu söylemeye gerek yok, birçok şirketin 100-200 yıl önce işi yöneten ve kusursuz itibarlarıyla ünlü olan kurucu babalarının ad ve soyadlarını taşıması tesadüf değil.

Evet, Bayes yaklaşımı bir dereceye kadar özneldir, ancak ... hayat böyle işler!

Malzemeyi, çözümün henüz karşılaşılmamış teknik inceliklerinden bahsedeceğim son bir endüstriyel örnekle pekiştirelim:

Görev 9

Tesisin üç atölyesi, montaj için ortak bir kapta monte edilen aynı tipte parçalar üretmektedir. Birinci dükkanın ikinci dükkandan 2 kat, üçüncü dükkandan 4 kat daha fazla parça ürettiği bilinmektedir. İlk atölyede, kusur% 12, ikinci -% 8, üçüncü -% 4'tür. Kontrol için kaptan bir parça alınır. Arızalı olma olasılığı nedir? Ayıklanan kusurlu parçanın 3. dükkanda üretilmiş olma olasılığı nedir?

Taki Ivan Vasilyevich yine at sırtında =) Film mutlu sonla bitmeli =)

Çözüm: 5-8 No'lu Görevlerin aksine, burada açıkça toplam olasılık formülü kullanılarak çözülen bir soru sorulur. Ancak diğer yandan, durum biraz “şifreli” ve okulun en basit denklemleri oluşturma becerisi bu bulmacayı çözmemize yardımcı olacak. "x" için en küçük değeri almak uygundur:

Üçüncü atölyenin ürettiği parçaların payı olsun.

Şartlara göre birinci atölye, üçüncü atölyeden 4 kat daha fazla üretim yapıyor, dolayısıyla 1. atölyenin payı .

Ayrıca birinci atölye, ikinci atölyeden 2 kat daha fazla ürün üretiyor, bu da ikincisinin payının: .

Denklemi yapalım ve çözelim:

Böylece: - kaptan çıkarılan parçanın sırasıyla 1., 2. ve 3. atölyeler tarafından serbest bırakılma olasılıkları.

Kontrol: . Ayrıca, ifadeye tekrar bakmak gereksiz olmayacaktır. “Birinci atölyenin ikinci atölyeden 2 kat, üçüncü atölyeden 4 kat daha fazla ürün ürettiği biliniyor” ve elde edilen olasılıkların gerçekten bu koşula karşılık geldiğinden emin olun.

"X" için başlangıçta 1. veya 2. dükkanın payını almak mümkündü - olasılıklar aynı çıkacaktır. Ancak, öyle ya da böyle, en zor kısım geçildi ve çözüm yolda:

Bulduğumuz koşuldan:
- ilgili atölyeler için kusurlu bir parça üretme olasılığı.

Toplam olasılık formülüne göre:
kaptan rastgele çıkarılan bir parçanın standart dışı olma olasılığıdır.

İkinci soru: çıkarılan kusurlu parçanın 3. dükkanda üretilmiş olma olasılığı nedir? Bu soru, parçanın zaten çıkarıldığını ve kusurlu olduğunun tespit edildiğini varsayar. Bayes formülünü kullanarak hipotezi yeniden değerlendiririz:
istenen olasılıktır. Oldukça bekleniyor - sonuçta, üçüncü atölye sadece en küçük parça payını üretmekle kalmıyor, aynı zamanda kalite konusunda da lider!

Bu durumda mecbur kaldım dört katlı kesri basitleştirin Bayes formüllerindeki problemlerde oldukça sık yapılması gereken . Ancak bu ders için, bir şekilde, sıradan kesirler olmadan birçok hesaplamanın yapılabileceği örnekler aldım.

Koşulda “a” ve “be” noktaları olmadığı için cevabı metin yorumlarıyla vermek daha iyidir:

Yanıt vermek: - konteynerden çıkarılan parçanın kusurlu olma olasılığı; - çıkarılan kusurlu parçanın 3. atölye tarafından serbest bırakılma olasılığı.

Gördüğünüz gibi, toplam olasılık formülü ve Bayes formülleri ile ilgili problemler oldukça basittir ve muhtemelen bu nedenle, makalenin başında zaten bahsettiğim durumu sık sık karmaşıklaştırmaya çalışırlar.

Ek örnekler ile dosyada F.P.V. için hazır çözümler ve Bayes formülleri, ek olarak, muhtemelen bu konuyu başka kaynaklarda daha derinden tanımak isteyenler var. Ve konu gerçekten çok ilginç - tek başına neye değer bayes paradoksu Bu, bir kişiye nadir bir hastalık teşhisi konulursa, ikinci ve hatta iki tekrarlanan bağımsız muayene yapması mantıklı olduğu yönündeki günlük tavsiyeyi haklı çıkarır. Görünüşe göre bunu sadece çaresizlikten yapıyorlar ... - ama hayır! Ama üzücü şeylerden bahsetmeyelim.

a) - Sınavı geçen öğrencinin çok iyi hazırlanmış olma olasılığı. Nesnel başlangıç ​​olasılığı fazla tahmin edilir, çünkü neredeyse her zaman bazı "ortalamalar" sorular konusunda şanslıdır ve çok güçlü cevaplar verirler, bu da hatalı bir hazırlık izlenimi verir.

B) sınavı geçen öğrencinin orta düzeyde hazırlanmış olma olasılığıdır. İlk olasılık biraz fazla tahmin edilmiş gibi görünüyor, çünkü ortalama hazırlık düzeyine sahip öğrenciler genellikle çoğunluktadır, buna ek olarak, öğretmen burada başarısız olarak yanıtlanmış “mükemmel öğrenciler” ve bazen de bir biletle çok şanslı olan düşük performanslı bir öğrenciyi dahil edecektir.

v) - Sınavı geçen öğrencinin yetersiz hazırlanma olasılığı. İlk olasılık, daha kötüsü için fazla tahmin edildi. Şaşırtıcı değil.

Ders numarası 4.

Konu: Toplam olasılık formülü. Bayes formülü. Bernoulli şeması. Polinom şeması. Hipergeometrik şema.

TOPLAM OLASILIK FORMÜLÜ

BAYES FORMÜLÜ

TEORİ

Toplam Olasılık Formülü:

Tam bir uyumsuz olay grubu olsun:

(, ) Daha sonra A olayının olasılığı formülle hesaplanabilir.

(4.1)

Olaylara hipotez denir. Deneyin belirsizliğin olduğu kısımla ilgili hipotezler ileri sürülür.

, hipotezlerin apriori olasılıkları nerede

Bayes formülü:

Deneyin tamamlanmasına izin verin ve deney sonucunda A olayının meydana geldiği biliniyorsa, bu bilgiyi dikkate alarak şunları yapabiliriz: hipotezlerin olasılıklarını abartmak:

(4.2)

, nerede hipotezlerin arka olasılıkları

PROBLEM ÇÖZME

Görev 1.

Şart

Depoya gelen 3 parti parçada iyi olanlar 89 %, 92 % ve 97 % sırasıyla. Partilerdeki parça sayısı olarak adlandırılır 1:2:3.

Depodan rastgele seçilen bir parçanın arızalı olma olasılığı nedir? Rastgele seçilen bir parçanın kusurlu olduğu bilinsin. Birinci, ikinci ve üçüncü kişilere ait olma olasılıklarını bulunuz.

Çözüm:

Rastgele seçilen bir parçanın kusurlu çıkması olayını A ile gösteriniz.

1. soru - toplam olasılık formülüne

2. soru - Bayes formülüne

Deneyin belirsizliğin olduğu kısımla ilgili hipotezler ileri sürülür. Bu problemde belirsizlik, rastgele seçilen bir parçanın hangi partiden geldiği ile ilgilidir.

İlk oyunda izin ver a detaylar. Sonra ikinci oyunda - 2 a ayrıntılar ve üçüncü - 3 a detaylar. Sadece üç oyun 6 a detaylar.

(ilk satırdaki evlilik yüzdesi olasılığa çevrildi)

(ikinci satırdaki evlilik yüzdesi olasılığa çevrildi)

(üçüncü satırdaki olasılığa dönüştürülen evlilik yüzdesi)

Toplam olasılık formülünü kullanarak bir olayın olasılığını hesaplıyoruz. A

-1 soruya cevap

Arızalı parçanın birinci, ikinci ve üçüncü partilere ait olma olasılıkları Bayes formülü kullanılarak hesaplanır:

Görev 2.

Şart:

İlk kavanozda 10 toplar: 4 Beyaz kum 6 siyah. İkinci kavanozda 20 toplar: 2 Beyaz kum 18 siyah. Her kavanozdan rastgele bir top seçiliyor ve üçüncü kavanoza atılıyor. Daha sonra üçüncü kutudan rastgele bir top seçilir. Üçüncü kavanozdan çekilen topun beyaz olma olasılığını bulun.

Çözüm:

Sorunun sorusunun cevabı, toplam olasılık formülü kullanılarak elde edilebilir:

Belirsizlik, topların üçüncü semaverde bitmesinde yatmaktadır. Üçüncü vazodaki topların bileşimi ile ilgili hipotezler ortaya koyduk.

H1=(üçüncü kutuda 2 beyaz top var)

H2=(üçüncü kavanozda 2 siyah top var)

H3=( üçüncü urn 1 beyaz top ve 1 siyah top içerir)

A=(kutu 3'ten alınan top beyaz olacaktır)

Görev 3.

İçinde rengi bilinmeyen 2 top bulunan bir kavanoza beyaz bir top atılıyor. Daha sonra bu vazodan 1 top çıkarıyoruz. Kutudan çekilen topun beyaz olma olasılığını bulunuz. Yukarıda açıklanan vazodan alınan top beyaz çıktı. olasılıkları bulun transfer öncesi kavanozda 0 beyaz top, 1 beyaz top ve 2 beyaz top olduğunu .

1 soru c - toplam olasılık formülüne

2 soru-Bayes formülüne göre

Belirsizlik, semaverdeki topların ilk bileşiminde yatmaktadır. Vazodaki topların ilk bileşimi ile ilgili olarak, aşağıdaki hipotezleri ortaya koyduk:

Merhaba=( vardiyadan önceki urndai-1 beyaz top),ben=1,2,3

, ben=1,2,3(tam bir belirsizlik durumunda, bir seçeneğin diğerinden daha olası olduğunu söyleyemeyeceğimizden, hipotezlerin apriori olasılıklarını aynı kabul ederiz)

A = (transferden sonra semaverden çekilen top beyaz olur)

Koşullu olasılıkları hesaplayalım:

Toplam olasılık formülünü kullanarak bir hesaplama yapalım:

1 soruya cevap

İkinci soruyu cevaplamak için Bayes formülünü kullanıyoruz:

(önceki olasılığa göre azalmıştır)

(önceki olasılıktan değişmemiş)

(önceki olasılığa göre arttı)

Hipotezlerin önceki ve sonraki olasılıklarının karşılaştırılmasından elde edilen sonuç: başlangıçtaki belirsizlik nicel olarak değişti

Görev 4.

Şart:

Kan nakli yapılırken vericinin ve hastanın kan gruplarının dikkate alınması gerekir. olan kişi dördüncü grup kan her tür kan transfüze edilebilir, bir kişiye ikinci ve üçüncü grupla dökülebilir ya da grubunun kanı, veya ilk. bir kişiye ilk kan grubu ile kan nakli yapabilirsin sadece ilk grup. halk arasında olduğu bilinmektedir. 33,7 % sahip olmak İlk grup pu, 37,5 % sahip olmak ikinci grup, %20,9 sahip olmak üçüncü grup ve %7.9'u 4. gruba sahiptir. Rastgele alınan bir hastanın, rastgele alınan bir donörün kanıyla transfüze edilme olasılığını bulun.

Çözüm:

Rastgele alınan bir hastanın kan grubu hakkında hipotezler ortaya koyduk:

Merhaba=(bir hastadai. kan grubu),ben=1,2,3,4

(Olasılıklara dönüştürülen yüzdeler)

A=(transfüze edilebilir)

Toplam olasılık formülüne göre şunları elde ederiz:

yani, vakaların yaklaşık %60'ında transfüzyon yapılabilir

Bernoulli şeması (veya binom şeması)

Bernoulli denemeleri - o bağımsız testler 2 koşullu olarak adlandırdığımız sonuç başarı ve başarısızlık.

P- başarı oranı

Q-başarısızlık olasılığı

Başarı Olasılığı deneyimden deneyime değişmez

Önceki testin sonucu bir sonraki testi etkilemez.

Yukarıda açıklanan testleri gerçekleştirmek, Bernoulli şeması veya binom şeması olarak adlandırılır.

Bernoulli testlerine örnekler:

Başarı - arması

Arıza- kuyruklar

Doğru madeni para davası

yanlış bozuk para

P ve Q deney sırasında madeni parayı değiştirmezsek, deneyimden deneyime değişmeyin

Başarı - rulo "6"

Arıza - Tüm kalan

Normal bir zar vakası

Yanlış zar vakası

P ve Q Deneyi yapma sürecinde zarları değiştirmezsek, deneyimden deneyime değişmeyin

Başarı - vurmak

Arıza - kayıp

p = 0.1 (atıcı 10 atışta tek vuruşta vurur)

P ve Q deneyi yapma sürecinde oku değiştirmezsek, deneyimden deneyime değişmeyin

Bernoulli formülü.

İzin vermek tutulmuş n P. Olayları göz önünde bulundurun

(vn Başarı olasılığı olan Bernoulli denemelerip olacakm başarılar),

- bu tür olayların olasılıkları için standart bir gösterim var

<-Olasılıkları hesaplamak için Bernoulli'nin formülü (4.3)

formülün açıklaması : m başarı olma olasılığı (olasılıklar çarpılır, çünkü denemeler bağımsızdır ve hepsi aynı olduğu için bir derece görünür), - nm başarısızlık olma olasılığı (açıklama başarılarla benzerdir) , - olayı uygulamanın yol sayısı, yani m başarı n yere kaç şekilde yerleştirilebilir.

Bernoulli formülünün sonuçları:

Sonuç 1:

İzin vermek tutulmuş n Başarı olasılığı olan Bernoulli denemeleri P. Olayları göz önünde bulundurun

A(m1,m2)=(başarı sayısın Bernoulli denemeleri, [m1;m2])

(4.4)

Formülün açıklaması: Formül (4.4), formül (4.3) ve uyumsuz olaylar için olasılık toplama teoremini takip eder, çünkü - uyumsuz olayların toplamı (birleşimi) ve her birinin olasılığı formül (4.3) ile belirlenir.

sonuç 2

İzin vermek tutulmuş n Başarı olasılığı olan Bernoulli denemeleri P. Bir olay düşünün

A=( içinden Bernoulli denemeleri en az 1 başarı ile sonuçlanacak}

(4.5)

Formülün açıklaması: ={ n Bernoulli denemelerinde başarı olmayacaktır)=

(tüm n denemeler başarısız olur)

Problem (Bernoulli formülü ve bunun sonuçları hakkında) sorun 1.6-D için örnek. H.

Doğru para 10 kez atmak. Aşağıdaki olayların olasılıklarını bulun:

A=(arması tam 5 kez düşecek)

B=(Arması 5 defadan fazla düşmeyecek)

C=(arması en az bir kez düşecek)

Çözüm:

Sorunu Bernoulli testleri açısından yeniden formüle edelim:

n=10 deneme sayısı

başarı- arması

p=0.5 – başarı olasılığı

q=1-p=0,5 – başarısızlık olasılığı

A olayının olasılığını hesaplamak için şunu kullanırız: Bernoulli formülü:

B olayının olasılığını hesaplamak için şunu kullanırız: sonuç 1İle Bernoulli'nin formülü:

Bir C olayının olasılığını hesaplamak için şunu kullanırız: sonuç 2İle Bernoulli'nin formülü:

Bernoulli şeması. Yaklaşık formüllerle hesaplama.

MOIAVRE-LAPLACE'İN YAKLAŞIK FORMÜLÜ

yerel formül

P başarı ve Q başarısızlık, o zaman herkes için m yaklaşık formül geçerlidir:

, (4.6)

m.

Fonksiyonun değeri özel bölümde bulunabilir. tablo. Yalnızca için değerleri içerir. Ama fonksiyon eşittir, yani .

Eğer öyleyse, varsayalım

integral formülü

Bernoulli şemasındaki deneme sayısı n büyükse ve olasılıklar da büyükse P başarı ve Q başarısız olursa, yaklaşık formül herkes için geçerlidir (4.7) :

Fonksiyonun değeri özel bir tabloda bulunabilir. Yalnızca için değerleri içerir. Ancak işlev garip, yani. .

Eğer öyleyse, varsayalım

YAKLAŞIK ZEHİR FORMÜLÜ

yerel formül

Deneme sayısı olsun n Bernoulli şemasına göre büyüktür ve bir testte başarı olasılığı küçüktür ve ürün de küçüktür. Daha sonra yaklaşık formülle belirlenir:

, (4.8)

n Bernoulli denemesindeki başarı sayısının m.

fonksiyon değerleri özel bir tabloda görüntülenebilir.

integral formülü

Deneme sayısı olsun n Bernoulli şemasına göre büyüktür ve bir testte başarı olasılığı küçüktür ve ürün de küçüktür.

O zamanlar yaklaşık formülle belirlenir:

, (4.9)

n Bernoulli denemesindeki başarı sayısının aralık içinde olma olasılığı .

fonksiyon değerleri özel bir tabloda görüntülenebilir ve daha sonra aralık üzerinden toplanabilir.

1.7 ve 1.8 D. z görevleri için örneklerin kalitesine bakabilirsiniz.

Poisson formülü ile hesaplama.

Problem (Poisson formülü).

Şart:

Bir iletişim hattı üzerinden bir mesaj iletirken bir sembolün bozulma olasılığı şuna eşittir: 0.001. İçinde herhangi bir çarpıtma yoksa mesaj kabul edilmiş sayılır. Aşağıdakilerden oluşan bir mesaj alma olasılığını bulun 20 sözler 100 adet karakter her.

Çözüm:

ile belirtmek A

-mesajdaki karakter sayısı

başarı: karakter bozuk değil

Başarı Olasılığı

Hesaplayalım. Yaklaşık formülleri kullanma önerilerine bakın ( ) : hesaplama için başvurmanız gerekir Poisson formülü

Poisson formülü için olasılıklar vem özel bir tabloda bulunabilir.

Şart:

Telefon santrali 1000 aboneye hizmet vermektedir. Bir dakika içinde herhangi bir abonenin bağlantıya ihtiyaç duyma olasılığı 0,0007'dir. Bir dakika içinde en az 3 aramanın telefon santraline gelme olasılığını hesaplayın.

Çözüm:

Problemi Bernoulli şeması açısından yeniden formüle edin

başarı: çağrı alındı

Başarı Olasılığı

- başarı sayısının içinde olması gereken aralık

A = (en az üç çağrı gelecek) - olasılığı gerekli olan bir olay. görevde bul

(Üçten az çağrı gelecek) Eklere geçiyoruz. olay, olasılığını hesaplamak daha kolay olduğu için.

(terimlerin hesaplanması özel tabloya bakınız)

Böylece,

Sorun (yerel Mouvre-Laplace formülü)

Şart

Tek atışta hedefi vurma olasılığı 0.8'e eşittir. olasılığını belirleyin 400'deçekimler olacak tam olarak 300 isabetler.

Çözüm:

Problemi Bernoulli şeması açısından yeniden formüle edin

n=400 – deneme sayısı

m=300 – başarı sayısı

başarı - vuruş

(Bernoulli şeması açısından sorunlu soru)

Peşin ödeme:

Harcarız bağımsız testler, her birinde ayırt ettiğimiz m seçenekleri.

p1 - ​​​​bir denemede ilk seçeneği elde etme olasılığı

p2 - bir testte ikinci seçeneği elde etme olasılığı

…………..

pm gelme olasılığıdırbir denemede m-th seçeneği

p1,p2, ……………..,pm deneyimden deneyime değişmez

Yukarıda açıklanan test dizisine denir polinom şeması.

(m=2 olduğunda, polinom şeması bir iki terimli şemaya dönüşür), yani yukarıda açıklanan iki terimli şema, polinom adı verilen daha genel bir şemanın özel bir durumudur).

Aşağıdaki olayları göz önünde bulundurun

А(n1,n2,….,nm)=( yukarıda açıklanan n denemede, varyant 1 n1 kez göründü, varyant 2 n2 kez göründü, ….., vb., nm kez varyant m ortaya çıktı)

Bir polinom şeması kullanarak olasılıkları hesaplama formülü

Şart

zar 10 kez atın."6" nın düşme olasılığını bulmak gerekiyor 2 kez, ve "5" düşecek 3 kere.

Çözüm:

ile belirtmek A Problemde olasılığı bulunabilecek olay.

n=10 - Deneme sayısı

m=3

1 seçenek - 6 bırak

p1=1/6n1=2

Seçenek 2 - 5 Bırak

p2=1/6n2=3

Seçenek 3 - 5 ve 6 dışında herhangi bir yüzü bırakın

p3=4/6n3=5

P(2,3,5)-? (sorunun durumunda atıfta bulunulan olayın olasılığı)

Polinom devresi için problem

Şart

arasında olma olasılığını bulunuz. 10 Rastgele seçilen kişilerin ilk çeyrekte dört, ikinci çeyrekte üç, üçüncü çeyrekte iki ve dördüncü çeyrekte bir doğum günü olacak.

Çözüm:

ile belirtmek A Problemde olasılığı bulunabilecek olay.

Problemi bir polinom şeması açısından yeniden formüle edelim:

n=10 - deneme sayısı = kişi sayısı

m=4 her denemede ayırdığımız seçeneklerin sayısıdır

Seçenek 1 - 1 çeyrekte doğum

p1=1/4n1=4

Seçenek 2 - 2. çeyrekte doğum

p2=1/4n2=3

Seçenek 3 - 3. çeyrekte doğum

p3=1/4n3=2

Seçenek 4 - 4. çeyrekte doğum

p4=1/4n4=1

P(4,3,2,1)-? (sorunun durumunda atıfta bulunulan olayın olasılığı)

Herhangi bir çeyrekte doğma olasılığının aynı olduğunu ve 1/4'e eşit olduğunu varsayıyoruz. Polinom şemasının formülüne göre hesaplamayı yapalım:

Polinom devresi için problem

Şart

kavanozda 30 toplar: tekrar hoşgeldiniz.3 beyaz, 2 yeşil, 4 mavi ve 1 sarı.

Çözüm:

ile belirtmek A Problemde olasılığı bulunabilecek olay.

Problemi bir polinom şeması açısından yeniden formüle edelim:

n=10 - deneme sayısı = seçilen top sayısı

m=4 her denemede ayırdığımız seçeneklerin sayısıdır

Seçenek 1 - beyaz bir top seçin

p1=1/3n1=3

Seçenek 2 - yeşil topu seçin

p2=1/6n2=2

3. seçenek - mavi topun seçimi

p3=4/15n3=4

Seçenek 4 - sarı topu seçin

p4=7/30n4=1

P(3,2,4,1)-? (sorunun durumunda atıfta bulunulan olayın olasılığı)

p1,p2, p3,p4 seçim bir geri dönüşle yapıldığı için deneyimden deneyime değişmeyin

Polinom şemasının formülüne göre hesaplamayı yapalım:

hipergeometrik şema

k tipinde n eleman olsun:

ilk türden n1

ikinci türden n2

k tipi k

Bu n elemandan rastgele iade yok m öğelerini seç

A(m1,…,mk) olayını ele alalım ki bu, seçilen m eleman arasında

birinci tip m1

ikinci tip m2

mk k-th tipi

Bu olayın olasılığı formülle hesaplanır

P(A(m1,…,mk))= (4.11)

örnek 1

Hipergeometrik bir şema için problem (problem 1.9 D. h için örnek)

Şart

kavanozda 30 toplar: 10 beyaz, 5 yeşil, 8 mavi ve 7 sarı(toplar sadece renk olarak farklılık gösterir). Kutudan rastgele 10 top seçiliyor. iade yok. Seçilen toplar arasında şunlar olma olasılığını bulun: 3 beyaz, 2 yeşil, 4 mavi ve 1 sarı.

Sahibizsayı=30,k=4,

n1=10,n2=5,n3=8,n4=7,

m1=3,m2=2,m3=4,m4=1

P(A(3,2,4,1))= = kombinasyon formülünü bilen bir sayıya kadar sayılabilir

Örnek 2

Bu şemaya göre bir hesaplama örneği: Sportloto oyunu için hesaplamalara bakın (konu 1)

eğer olay A yalnızca meydana gelen olaylardan biri olduğunda gerçekleşebilir tam bir uyumsuz olay grubu , o zaman olayın olasılığı A formülle hesaplanır

Bu formül denir toplam olasılık formülü .

Oluşma olasılıkları şu şekilde olan uyumsuz olayların tam grubunu tekrar ele alalım. . Etkinlik A sadece diyeceğimiz olaylardan herhangi biri ile birlikte gerçekleşebilir. hipotezler . Daha sonra toplam olasılık formülüne göre

eğer olay A olduysa, hipotezlerin olasılıklarını değiştirebilir .

Olasılık çarpma teoremine göre

.

Benzer şekilde, diğer hipotezler için

Elde edilen formül denir Bayes formülü (Bayes formülü ). Hipotezlerin olasılıkları denir arka olasılıklar , Halbuki - önceki olasılıklar .

Örnek. Mağaza, üç işletmeden yeni ürünler aldı. Bu ürünlerin yüzde bileşimi aşağıdaki gibidir: %20 - birinci teşebbüsün ürünleri, %30 - ikinci teşebbüsün ürünleri, %50 - üçüncü teşebbüsün ürünleri; ayrıca, en yüksek dereceli birinci işletmenin ürünlerinin %10'u, ikinci işletmede - %5'i ve üçüncü işletmede - en yüksek derecedeki ürünlerin %20'si. Rastgele satın alınan yeni bir ürünün en yüksek kalitede olma olasılığını bulun.

Çözüm. ile belirtmek V Premium ürünün satın alınmasından oluşan olay, sırasıyla birinci, ikinci ve üçüncü işletmelere ait ürünlerin satın alınmasından oluşan olayları gösterelim.

Toplam olasılık formülünü uygulayabiliriz ve gösterimimizde:

Bu değerleri toplam olasılık formülüne koyarak istenen olasılığı elde ederiz:

Örnek. Ateş eden üç kişiden biri ateş hattına çağrılır ve iki el ateş eder. İlk atıcı için hedefi tek atışla vurma olasılığı, ikinci için 0,3 - 0,5; üçüncü için - 0.8. Hedef vurulmadı. İlk ateş edenin ateş etme olasılığını bulunuz.

Çözüm.Üç hipotez mümkündür:

İlk atıcı ateş hattına çağrılır,

İkinci atıcı ateş hattına çağrılır,

Ateş hattına üçüncü bir tetikçi çağrıldı.

Herhangi bir atıcıyı ateş hattına çağırmak eşit derecede mümkün olduğundan, o zaman

Deney sonucunda B olayı gözlemlendi - atışlar yapıldıktan sonra hedef vurulmadı. Yapılan hipotezler altında bu olayın koşullu olasılıkları şu şekildedir:

Bayes formülünü kullanarak, deneyden sonra hipotezin olasılığını buluruz:

Örnek.Üç otomatik makinede, ortak bir konveyörde işlendikten sonra gelen aynı tip parçalar işlenir. İlk makine %2, ikinci - %7, üçüncü - %10 ıskarta verir. Birinci makinenin üretkenliği, ikincinin üretkenliğinden 3 kat daha fazladır ve üçüncüsü, ikinciden 2 kat daha azdır.

a) Montaj hattındaki kusur oranı nedir?

b) Konveyördeki kusurlu parçalar arasında her makinenin parçalarının oranı nedir?

Çözüm. Montaj hattından rastgele bir parça alalım ve A olayını ele alalım - parça kusurlu. Bu parçanın nerede işlendiğine ilişkin hipotezlerle ilişkilidir: - rastgele seçilen bir parça inci makinede işlendi.

Koşullu olasılıklar (sorunun durumunda yüzde olarak verilirler):

Makine performansları arasındaki bağımlılıklar şu anlama gelir:

Ve hipotezler tam bir grup oluşturduğundan, o zaman .

Ortaya çıkan denklem sistemini çözdükten sonra şunu buluruz: .

a) Montaj hattından rastgele alınan bir parçanın kusurlu olma toplam olasılığı:

Başka bir deyişle, montaj hattından çıkan parçaların kütlesinde kusur %4'tür.

b) Rastgele alınan bir parçanın kusurlu olduğu bilinsin. Bayes formülünü kullanarak hipotezlerin koşullu olasılıklarını buluruz:

Böylece, konveyördeki kusurlu parçaların toplam kütlesinde, ilk makinenin payı %33, ikinci - %39, üçüncü - %28'dir.

pratik görevler

1. Egzersiz

Olasılık teorisinin ana bölümlerinde problem çözme

Amaç, problem çözmede pratik beceriler kazanmaktır.

olasılık teorisinin bölümleri

Pratik görev için hazırlık

Bu konudaki teorik materyali tanımak, teorik içeriğin yanı sıra literatürdeki ilgili bölümleri incelemek

Görev yürütme sırası

Tablo 1'de verilen görev seçeneği sayısına göre 5 adet problem çözünüz.

İlk veri seçenekleri

tablo 1

Görev 1 için raporun bileşimi

Varyant numarasına göre 5 çözülmüş problem.

Bağımsız çözüm için görevler

1.. Aşağıdaki olay grupları şunlardır: a) deneyim - yazı tura atmak; Etkinlikler: A1- armanın görünümü; A2- bir sayının görünümü; b) deneyim - iki madeni para atmak; Etkinlikler: 1 İÇİNDE- iki armanın görünümü; 2 - iki hanenin görünümü; 3'TE- bir armanın ve bir numaranın görünümü; c) deneyim - zar atmak; Etkinlikler: C1 - ikiden fazla olmayan noktanın görünümü; C2 -üç veya dört noktanın görünümü; C3 - en az beş noktanın görünümü; d) deneyim - bir hedefe atış; Etkinlikler: D1- vurmak; D2- kayıp; e) deneyim - hedefe iki atış; Etkinlikler: E0- tek bir vuruş değil; E1- bir vuruş; E2- iki vuruş; f) deneyim - desteden iki kart çekmek; Etkinlikler: F1- iki kırmızı kartın ortaya çıkması; F2- iki siyah kartın görünümü?

2. Kutu A beyaz ve B içerir siyah toplar. Kutudan rastgele bir top çekiliyor. Bu topun beyaz olma olasılığını bulunuz.

3. Kutu A'da Beyaz kum B siyah toplar. Vazodan bir top alınır ve bir kenara bırakılır. Bu top beyaz. Bundan sonra, semaverden başka bir top alınır. Bu topun da beyaz olma olasılığını bulunuz.

4. Kutu A'da beyazlar ve B siyah toplar. Vazodan bir top alındı ​​ve bakmadan bir kenara bırakıldı. Bundan sonra, semaverden başka bir top alındı. Beyaz olduğu ortaya çıktı. İlk kenara konulan topun da beyaz olma olasılığını bulunuz.

5. A içeren bir kavanozdan beyazlar ve B siyah toplar, biri hariç tüm topları tek tek çıkarın. Kutuda kalan son topun beyaz olma olasılığını bulun.

6. A'nın bulunduğu vazodan beyaz toplar ve B siyah, içindeki tüm topları arka arkaya çıkarın. Çekilen ikinci topun beyaz olma olasılığını bulunuz.

7. Beyaz ve B siyah toplardan oluşan bir kavanozda (A > 2). Kutudan aynı anda iki top alınıyor. Her iki topun da beyaz olma olasılığını bulun.

8. Kutu A'da Beyaz ve B siyah toplar (A > 2, B > 3). Kutudan aynı anda beş top alınıyor. Olasılığı Bul r ikisi beyaz, üçü siyah olacak.

9. X'ten oluşan bir partide ürünler, var Bence arızalı. Partiden kontrol I için seçilir Ürün:% s. Olasılığı Bul r bunlardan hangisi tam olarak J ürünler kusurlu olacaktır.

10. Bir zar bir kez atılır. Aşağıdaki olayların olasılığını bulun: A - eşit sayıda noktanın görünümü; V- en az 5 puanın görünümü; İLE- görünüm en fazla 5 puan.

11. Bir zar iki kez atılıyor. Olasılığı Bul r her iki seferde de aynı sayıda nokta görünecek.

12. Aynı anda iki zar atılıyor. Aşağıdaki olayların olasılıklarını bulun: A- atılan noktaların toplamı 8'e eşittir; V- düşen puanların çarpımı 8'e eşittir; İLE- düşen noktaların toplamı onların çarpımından daha büyüktür.

13. İki madeni para havaya atılıyor. Aşağıdaki olaylardan hangisi daha olasıdır: A - madeni paralar aynı tarafta olacak; V - Madeni paralar farklı taraflarda mı yatıyor?

14. A kutusunda beyazlar ve B siyah toplar (A > 2; B > 2). Kutudan aynı anda iki top alınıyor. Hangi olay daha olasıdır: A- aynı renkteki toplar; V - farklı renklerde toplar?

15. Üç oyuncu kağıt oynuyor. Her birine 10 kart dağıtılır ve çekilişte iki kart kalır. Oyunculardan biri, elmas renginde 6 kart ve elmas olmayan renkte 4 kart olduğunu görür. Bu dört karttan ikisini atar ve çekilişi alır. İki elmas satın alma olasılığını bulun.

16. Aşağıdakileri içeren bir kavanozdan P numaralı toplar, içindeki tüm topları rastgele birer birer çıkarın. Çekilen topların sayılarının şu sırayla olma olasılığını bulun: 1, 2,..., P.

17. Bir önceki problemdeki ile aynı kavanoz, ancak çıkarıldıktan sonra her top tekrar yerine konur ve diğerleriyle karıştırılır ve numarası yazılır. Doğal sayı dizisinin yazılma olasılığını bulun: 1, 2,..., n.

18. Tam bir iskambil destesi (52 yaprak) rastgele 26 yapraktan oluşan iki eşit desteye bölünür. Aşağıdaki olayların olasılıklarını bulun: A - paketlerin her birinde iki as olacak; V- paketlerden birinde as olmayacak, diğerinde - dördü de; Günah paketlerden birinde bir as, diğer pakette üç tane olacak.

19. Rastgele 9'ar takımlı iki grubun oluşturulduğu basketbol şampiyonasına 18 takım katılıyor. Yarışmaya katılanlar arasında 5 takım var

ekstra sınıf. Aşağıdaki olayların olasılıklarını bulun: A - tüm sınıf dışı takımlar aynı gruba düşecektir; V- iki ekstra sınıf takımı gruplardan birine ve üç - diğerine girecek.

20. Dokuz kart üzerine sayılar yazılır: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Bunlardan ikisi rastgele alınıp, görünüm sırasına göre masanın üzerine konulur, sonra ortaya çıkan sayı okunur. , örneğin 07 (yedi), 14 (on dört), vb. Sayının çift olma olasılığını bulun.

21. Sayılar beş karta yazılır: 1, 2, 3, 4, 5. İki tanesi arka arkaya çıkarılır. İkinci karttaki sayının birinci karttaki sayıdan büyük olma olasılığını bulun.

22. 21. sorudakiyle aynı soru, ancak çekildikten sonra ilk kart geri konulur ve geri kalanıyla karıştırılır ve üzerindeki sayı yazılır.

23. A kutusunda beyaz, B siyah ve C kırmızı toplar. İçindeki tüm toplar birer birer semaverden çıkarılır ve renkleri yazılır. Bu listede beyazın siyahtan önce gelme olasılığını bulun.

24. İki çömleği vardır: ilkinde A beyazlar ve B siyah toplar; ikinci C'de beyaz ve D siyah. Her urndan bir top çekiliyor. Her iki topun da beyaz olma olasılığını bulun.

25. Problem 24'ün koşulları altında çekilen topların farklı renklerde olma olasılığını bulun.

26. Bir tabancanın tamburunda yedi yuva vardır, bunlardan beşi kartuşlarla dolu ve ikisi boş bırakılır. Tambur, yuvalardan birinin namluya rastgele yerleştirilmesinin bir sonucu olarak dönmeye ayarlanmıştır. Bundan sonra tetiğe basılır; hücre boşsa, atış gerçekleşmez. Olasılığı Bul r böyle bir deneyi arka arkaya iki kez tekrarladıktan sonra, iki kere de çekim yapmayacağız.

27. Aynı koşullar altında (bkz. Problem 26), atışın her iki seferde de olma olasılığını bulunuz.

28. Vazoda bir A var; 1, 2, ..., etiketli toplar İle vazodan Bence bir top çekildiğinde (BENCE<к), topun numarası yazılır ve top tekrar kavanoza konur. Olasılığı Bul r kaydedilen tüm numaraların farklı olacağı anlamına gelir.

29. "Kitap" kelimesi, bölünmüş alfabenin beş harfinden oluşur. Okuyamayan bir çocuk bu harfleri dağıttı ve sonra rastgele bir sıraya koydu. Olasılığı Bul r yine "kitap" kelimesini aldığı gerçeği.

30. "Ananas" kelimesi, bölünmüş alfabenin harflerinden oluşur. Okuyamayan bir çocuk bu harfleri dağıttı ve sonra rastgele bir sıraya koydu. Olasılığı Bul r yine "ananas" kelimesine sahip olduğu gerçeği

31. Tam bir kart destesinden (52 sayfa, 4 takım), aynı anda birkaç kart çıkarılır. Aralarında aynı türden kartlar olacağını 0,50'den büyük bir olasılıkla söylemek için kaç kart çekilmelidir?

32. n insanlar rastgele yuvarlak bir masaya oturur (N > 2). Olasılığı Bul r o iki sabit yüz A ve V yakın olacak.

33. Aynı problem (bkz. 32), ancak tablo dikdörtgen ve N kişi yanlarından biri boyunca rastgele oturuyor.

34. 1'den 1'e kadar sayılar N. Bunların n iki varil rastgele seçilir. Her iki fıçıya da k'den küçük sayıların yazılma olasılığını bulun. (2

35. 1'den 1'e kadar sayılar N. Bunların n iki varil rastgele seçilir. Varillerden birinin k'den büyük bir sayıya sahip olma olasılığını bulun. , ve diğer yandan - k'den az . (2

36. Pil bitti m oluşan bir gruba ateş eden silahlar n hedefler (M< N). Silahlar, aynı hedefe iki silahın ateş etmemesi koşuluyla, hedeflerini sırayla, rastgele seçer. Olasılığı Bul r 1, 2, ... numaralı hedeflere ateş edileceği gerçeği M.

37.. Aşağıdakilerden oluşan pil İle oluşan bir gruba silah, ateş Bence uçak (İle< 2). Her silah hedefini rastgele ve diğerlerinden bağımsız olarak seçer. Hepsinin olma olasılığını bulun İle silahlar aynı hedefe ateş edecek.

38. Bir önceki problemin koşulları altında, tüm silahların farklı hedeflere ateş etme olasılığını bulun.

39. Dört top, dört deliğe rastgele dağılmıştır; her top aynı olasılıkla ve diğerlerinden bağımsız olarak bir veya başka bir deliğe çarpar (birden fazla topu aynı deliğe sokmak için hiçbir engel yoktur). Deliklerden birinde, diğerinde üç top olması ve diğer iki delikte hiç top olmaması olasılığını bulun.

40. Masha, Petya ile tartıştı ve onunla aynı otobüse binmek istemiyor. Yurttan enstitüye 7'den 8'e 5 otobüs vardır. Bu otobüslere vakti olmayanlar derse geç kalıyor. Masha ve Petya enstitüye farklı otobüslerle kaç farklı şekilde gidebilir ve derse geç kalmayabilir?

41. Bankanın bilişim bölümünde 3 analist, 10 programcı ve 20 mühendis görev yapmaktadır. Tatilde fazla mesai için bölüm başkanı bir çalışan tahsis etmelidir. Bu kaç yolla yapılabilir?

42. Bankanın güvenlik servisi başkanı her gün 10 nöbetçiye 10 muhafız yerleştirmelidir. Bu kaç yolla yapılabilir?

43. Bankanın yeni başkanı, 10 müdür arasından 2 yeni başkan yardımcısı atamak zorundadır. Bu kaç yolla yapılabilir?

44. Savaşan taraflardan biri 12, diğeri ise 15 mahkumu ele geçirdi. 7 savaş esiri kaç farklı şekilde takas edilebilir?

45. Petya ve Masha video diskleri toplar. Petya'nın 30 komedisi, 80 aksiyon filmi ve 7 melodramı, Masha'nın 20 komedisi, 5 aksiyon filmi ve 90 melodramı var. Petya ve Masha 3 komedi, 2 aksiyon filmi ve 1 melodramı kaç farklı şekilde değiştirebilir?

46. ​​​​Problem 45'in koşulları altında Petya ve Masha 3 melodram ve 5 komediyi kaç farklı şekilde değiştirebilir?

47. 45. sorunun koşullarında Petya ve Masha 2 aksiyon filmi ve 7 komediyi kaç farklı şekilde değiştirebilirler.

48. Savaşan taraflardan biri 15, diğeri - 16 mahkumu ele geçirdi. 5 savaş esiri kaç farklı şekilde takas edilebilir?

49. Numaranın 3 rakamı ve 3 harfi varsa, 1 şehirde kaç araba kaydedilebilir )?

50. Savaşan taraflardan biri 14, diğeri ise 17 mahkumu ele geçirdi. 6 savaş esiri kaç farklı şekilde takas edilebilir?

51. "Anne" kelimesindeki harfler yeniden düzenlenerek kaç farklı kelime oluşturulabilir?

52. Bir sepette 3 kırmızı ve 7 yeşil elma vardır. İçinden bir elma alınır. kırmızı olma olasılığını bulunuz.

53. Bir sepette 3 kırmızı ve 7 yeşil elma vardır. İçinden bir yeşil elma çıkarıldı ve bir kenara bırakıldı. Daha sonra sepetten 1 elma daha alınır. Bu elmanın yeşil olma olasılığı kaçtır?

54. 1000 parçalık bir partide 4 tanesi kusurludur. Kontrol için 100 ürünlük bir parti seçilir. LLP'nin kontrol partisinin kusurlu olmama olasılığı nedir?

56. 80'lerde, 36 oyundan 5'i sportloto SSCB'de popülerdi. Oyuncu, 1'den 36'ya kadar 5 sayıyı karta kaydetti ve çekiliş komisyonu tarafından açıklanan farklı sayıda sayı tahmin ederse, çeşitli değerlerden ödüller aldı. Oyuncunun herhangi bir sayı tahmin etmemiş olma olasılığını bulun.

57. 80'lerde, "36 üzerinden sportloto 5" oyunu SSCB'de popülerdi. Oyuncu, 1'den 36'ya kadar 5 sayıyı karta kaydetti ve çekiliş komisyonu tarafından açıklanan farklı sayıda sayı tahmin ederse, çeşitli değerlerden ödüller aldı. Oyuncunun bir sayı tahmin etme olasılığını bulun.

58. 80'lerde, 36 oyundan 5'i sportloto SSCB'de popülerdi. Oyuncu, 1'den 36'ya kadar 5 sayıyı karta kaydetti ve çekiliş komisyonu tarafından açıklanan farklı sayıda sayı tahmin ederse, çeşitli değerlerden ödüller aldı. Oyuncunun 3 sayı tahmin etme olasılığını bulun.

59. 80'lerde, 36 oyundan 5'i sportloto SSCB'de popülerdi. Oyuncu, 1'den 36'ya kadar 5 sayıyı karta kaydetti ve çekiliş komisyonu tarafından açıklanan farklı sayıda sayı tahmin ederse, çeşitli değerlerden ödüller aldı. Oyuncunun 5 sayıyı da tahmin etmemiş olma olasılığını bulun.

60. 80'lerde, SSCB'de 49 oyundan 6'sı sportloto popülerdi. Oyuncu, 1'den 49'a kadar 6 sayıyı karta kaydetti ve çekiliş komisyonu tarafından açıklanan farklı sayıda sayı tahmin ederse, çeşitli değerlerden ödüller aldı. Oyuncunun 2 sayı tahmin etme olasılığını bulun.

61. 80'lerde, "49 üzerinden sportloto 6" oyunu SSCB'de popülerdi. Oyuncu, 1'den 49'a kadar 6 sayıyı karta kaydetti ve çekiliş komisyonu tarafından açıklanan farklı sayıda sayı tahmin ederse, çeşitli değerlerden ödüller aldı. Oyuncunun herhangi bir sayı tahmin etmemiş olma olasılığını bulun.

62. 80'lerde, "49 üzerinden sportloto 6" oyunu SSCB'de popülerdi. Oyuncu, 1'den 49'a kadar 6 sayıyı karta kaydetti ve çekiliş komisyonu tarafından açıklanan farklı sayıda sayı tahmin ederse, çeşitli değerlerden ödüller aldı. Oyuncunun 6 sayının tümünü tahmin etme olasılığını bulun.

63. 1000 parçalık bir partide 4 tanesi kusurludur. Kontrol için 100 ürünlük bir parti seçilir. LLP'nin kontrol partisinde sadece 1 kusurlu olma olasılığı nedir?

64. "Kitap" kelimesindeki harfler yeniden düzenlenerek kaç farklı kelime oluşturulabilir?

65. "Ananas" kelimesindeki harfler yeniden düzenlenerek kaç farklı kelime oluşturulabilir?

66. Asansöre 6 kişi girdi ve pansiyon 7 katlı. 6 kişinin hepsinin aynı kattan çıkma olasılığı nedir?

67. Asansöre 6 kişi girdi, bina 7 katlı. 6 kişinin hepsinin farklı katlardan çıkma olasılığı nedir?

68. Fırtına sırasında elektrik hattının 40 ila 79 km arasındaki bölümünde tel kopması meydana geldi. Kırılmanın herhangi bir noktada eşit derecede mümkün olduğunu varsayarak, kırılmanın 40. ve 45. kilometreler arasında meydana gelme olasılığını bulunuz.

69. Gaz boru hattının 200 kilometrelik bölümünde, A ve B kompresör istasyonları arasında boru hattının herhangi bir noktasında eşit derecede olası bir gaz kaçağı bulunmaktadır. Sızıntının A'nın 20 km yakınında meydana gelme olasılığı nedir?

70. Gaz boru hattının 200 kilometrelik bölümünde, A ve B kompresör istasyonları arasında, boru hattının herhangi bir noktasında eşit derecede mümkün olan bir gaz kaçağı meydana gelmektedir. Sızıntının A'ya B'den daha yakın olma olasılığı nedir?

71. Trafik polisi müfettişinin radarı 10 km / s hassasiyete sahiptir ve en yakın tarafa yuvarlanır. Daha sık ne olur - sürücü veya müfettiş lehine yuvarlama?

72. Masha enstitüye giderken 40 ila 50 dakika harcıyor ve bu aralıktaki herhangi bir zaman eşit derecede olasıdır. 45 ila 50 dakika arasında yolda geçirme olasılığı nedir?

73. Petya ve Masha, Puşkin anıtında 12 ila 13 saat arasında buluşmayı kabul ettiler, ancak kimse kesin varış zamanını gösteremedi. Birbirlerini 15 dakika beklemeyi kabul ettiler. Karşılaşma ihtimalleri nedir?

74. Balıkçılar gölette 120 balık yakaladı, bunlardan 10'u halkalı. Halkalı bir balık yakalama olasılığı nedir?

75. İçinde 3 kırmızı ve 7 yeşil elma bulunan bir sepetten sırayla tüm elmaları çıkarın. 2. elmanın kırmızı olma olasılığı kaçtır?

76. İçinde 3 kırmızı ve 7 yeşil elma bulunan bir sepetten sırayla tüm elmaları çıkarın. Son elmanın yeşil olma olasılığı kaçtır?

77. Öğrenciler 50 biletten 10'unun “iyi” olduğunu düşünüyor. Petya ve Masha sırayla birer bilet çeker. Masha'nın "iyi" bir bilet almış olma olasılığı nedir?

78. Öğrenciler 50 biletten 10'unun “iyi” olduğunu düşünüyor. Petya ve Masha sırayla birer bilet çeker. İkisinin de "iyi" bilet almış olma olasılığı nedir?

79. Masha, programın 25 sorusundan 20'sinin cevabını bilerek sınava geldi. Profesör 3 soru soruyor. Masha'nın 3 soruyu cevaplama olasılığı nedir?

80. Masha, programın 25 sorusundan 20'sinin cevabını bilerek sınava geldi. Profesör 3 soru soruyor. Masha'nın sorulardan hiçbirini yanıtlamama olasılığı nedir?

81. Masha, programın 25 sorusundan 20'sinin cevabını bilerek sınava geldi. Profesör 3 soru soruyor. Masha'nın 1 soruyu cevaplama olasılığı nedir?

82. Banka kredi talep istatistikleri şu şekildedir: %10 - durum. yetkililer, 20% - diğer bankalar, geri kalanı - bireyler. Kredinin temerrüde düşme olasılığı sırasıyla 0,01, 0,05 ve 0,2'dir. Kredilerin ne kadarı geri ödenmez?

83. Bir dondurma tüccarının haftalık cirosunun 2000 rubleyi geçme olasılığı. açık havada %80, parçalı bulutlu havada %50 ve yağmurlu havada %10'dur. Cironun 2000 rubleyi aşma olasılığı nedir? açık hava olasılığı %20 ve parçalı bulutlu ve yağmurlu ise - her biri %40.

84. Beyaz (b) ve C, urn A'da siyah (h) toplar. Vazodan iki top alınır (aynı anda veya sırayla). Her iki topun da beyaz olma olasılığını bulun.

85. Kutu A'da beyazlar ve B

86. A kutusunda beyazlar ve B

87. A kutusunda beyazlar ve B siyah toplar. Kutudan bir top alınır, rengi işaretlenir ve top vazoya geri döndürülür. Bundan sonra, semaverden başka bir top alınır. Bu topların farklı renklerde olma olasılığını bulunuz.

88. İçinde dokuz yeni tenis topunun olduğu bir kutu var. Oyun için üç top alınır; oyundan sonra geri konurlar. Topları seçerken oynanmış ve oynanmamış toplar arasında ayrım yapmazlar. Üç oyundan sonra kutuda hiç oynanmamış top kalmama olasılığı nedir?

89. Daireden ayrılmak, n her konuk kendi galoşlarını giyecek;

90. Daireden ayrılmak, n aynı ayakkabı numarasına sahip konuklar karanlıkta galoş giyerler. Her biri sağ galoşi soldan ayırt edebilir, ancak kendisininkini bir başkasınınkinden ayırt edemez. olma olasılığını bulunuz. her konuk bir çifte ait galoşları giyecektir (belki de kendilerine ait olmayan).

91. 90. sorunun koşulları altında, herkesin galoşlarıyla ayrılma olasılığını bulun. misafirler sağ galoşları soldan ayırt edemezlerse ve sadece karşısına çıkan ilk iki galoşları alırlarsa.

92. Savunmasız kısımları iki motor ve kokpit olan uçakta atış devam ediyor. Uçağa çarpmak (devre dışı bırakmak) için her iki motoru birlikte veya kokpite vurmak yeterlidir. Verilen ateşleme koşulları altında, ilk motora çarpma olasılığı p1 ikinci motor p2, kokpit p3. Uçağın parçaları birbirinden bağımsız olarak etkilenir. Uçağın vurulma olasılığını bulun.

93. İki atıcı birbirinden bağımsız olarak iki atış yapar (her biri kendi hedefine). İlk atıcı için hedefi tek atışta vurma olasılığı p1 Ikinci için p2. Yarışmanın galibi, hedefinde daha fazla delik olacak olan atıcıdır. Olasılığı Bul Rx ilk atıcı ne kazanır.

94. bir uzay nesnesinin arkasında, nesne bir olasılıkla algılanır R. Her döngüde nesne algılama diğerlerinden bağımsız olarak gerçekleşir. O zaman olma olasılığını bulun P nesnenin algılanacağı döngüler.

95. Kesilmiş alfabe kartlarına Rus alfabesinin 32 harfi yazılır. Beş kart birbiri ardına rastgele çekilir ve göründükleri sırayla masaya yerleştirilir. "Son" kelimesinin elde edilme olasılığını bulun.

96. İki top, düz bir çizgide birbiri ardına yerleştirilmiş dört hücrenin üzerine rastgele ve birbirinden bağımsız olarak dağılır. Aynı olasılıkla 1/4 olan her top her hücreye çarpar. Topların komşu hücrelere düşme olasılığını bulun.

97. Uçağa yangın çıkarıcı mermiler atılıyor. Uçaktaki yakıt, birbiri ardına gövdede bulunan dört tankta yoğunlaşmıştır. Tank boyutları aynı. Uçağı ateşlemek için aynı tankta veya bitişik tanklarda iki mermiyi vurmak yeterlidir. Tank alanına iki merminin isabet ettiği biliniyor. Uçağın alev alma olasılığını bulun.

98. Tam bir kart destesinden (52 sayfa), aynı anda dört kart çıkarılır. Bu kartların dördünün de aynı türden olma olasılığını bulun.

99. Tam bir iskambil destesinden (52 yaprak), bir kerede dört kart çıkarılır, ancak her kart çıkarıldıktan sonra desteye iade edilir. Dört kartın da aynı türden olma olasılığını bulun.

100. Kontak açıldığında, motor bir olasılıkla çalışır R.

101. Cihaz iki modda çalışabilir: 1) normal ve 2) anormal. Tüm cihaz çalışma durumlarının %80'inde normal mod gözlenir; anormal -% 20'de. Zaman içinde cihaz arızası olasılığı T normal modda 0.1'dir; anormal - 0.7. Toplam Olasılığı Bul r cihazın arızası.

102. Mağaza, 3 tedarikçiden mal alır: 1.'den %55, 2.'den 20 ve 3.'den %25. Evliliğin payı sırasıyla yüzde 5, 6 ve 8'dir. Satın alınan kusurlu ürünün ikinci tedarikçiden gelme olasılığı nedir?

103. Benzin istasyonlarından geçen arabaların akışının %60'ı kamyon ve %40'ı arabalardan oluşmaktadır. Yakıt ikmali olasılığı 0,1 ve bir araba 0,3 ise, bir benzin istasyonunda bir kamyon bulma olasılığı nedir?

104. Benzin istasyonlarından geçen arabaların akışı %60 kamyon ve %40 arabalardan oluşmaktadır. Yakıt ikmali olasılığı 0,1 ve bir araba 0,3 ise, bir benzin istasyonunda bir kamyon bulma olasılığı nedir?

105. Mağaza, 3 tedarikçiden mal alır: 1.'den %55, 2.'den 20 ve 3.'den %25. Evliliğin payı sırasıyla yüzde 5, 6 ve 8'dir. Satın alınan kusurlu ürünün 1. tedarikçiden gelme olasılığı nedir?

106. Kesilmiş alfabe kartlarına Rus alfabesinin 32 harfi yazılmıştır. Beş kart birbiri ardına rastgele çekilir ve göründükleri sırayla masaya yerleştirilir. "Kitap" kelimesinin gelme olasılığını bulun.

107. Mağaza, 3 tedarikçiden mal alır: 1.'den %55, 2.'den 20 ve 3.'den %25. Evliliğin payı sırasıyla yüzde 5, 6 ve 8'dir. Satın alınan kusurlu ürünün 1. tedarikçiden gelme olasılığı nedir?

108. İki top, düz bir çizgide birbiri ardına yerleştirilmiş dört hücrenin üzerine rastgele ve birbirinden bağımsız olarak dağılır. Aynı olasılıkla 1/4 olan her top her hücreye çarpar. 2 topun aynı hücreye düşme olasılığını bulunuz.

109. Kontak açıldığında, motor bir olasılıkla çalışmaya başlar. R. Kontak ikinci kez açıldığında motorun çalışmaya başlama olasılığını bulun;

110. Uçağa yangın çıkarıcı mermiler atılıyor. Uçaktaki yakıt, birbiri ardına gövdede bulunan dört tankta yoğunlaşmıştır. Tank boyutları aynı. Uçağı ateşlemek için aynı tankta iki mermiyi vurmak yeterlidir. Tank alanına iki merminin isabet ettiği biliniyor. Uçağın alev alma olasılığını bulunuz.

111. Yakıcı mermiler uçağa ateşlenir. Uçaktaki yakıt, birbiri ardına gövdede bulunan dört tankta yoğunlaşmıştır. Tank boyutları aynı. Uçağın ateşlenmesi için komşu tanklardaki iki mermiyi vurmak yeterlidir. Tank alanına iki merminin isabet ettiği biliniyor. Uçağın alev alma olasılığını bulunuz.

112. Kutu A'da beyazlar ve B siyah toplar. Kutudan bir top alınır, rengi işaretlenir ve top vazoya geri döndürülür. Bundan sonra, semaverden başka bir top alınır. Çekilen iki bilyenin de beyaz olma olasılığını bulunuz.

113. A kutusunda beyazlar ve B siyah toplar. Kutudan aynı anda iki top alınıyor. Bu topların farklı renklerde olma olasılığını bulunuz.

114. İki top, düz bir çizgide birbiri ardına yerleştirilmiş dört hücrenin üzerine rastgele ve birbirinden bağımsız olarak dağılır. Aynı olasılıkla 1/4 olan her top her hücreye çarpar. Topların komşu hücrelere düşme olasılığını bulun.

115. Masha, programın 25 sorusundan 20'sinin cevabını bilerek sınava geldi. Profesör 3 soru soruyor. Masha'nın 2 soruyu cevaplama olasılığı nedir?

116. Öğrenciler 50 biletten 10'unun “iyi” olduğunu düşünüyor. Petya ve Masha sırayla birer bilet çeker. İkisinin de "iyi" bilet almış olma olasılığı nedir?

117. Banka kredi talep istatistikleri şu şekildedir: %10 - durum. yetkililer, 20% - diğer bankalar, geri kalanı - bireyler. Kredinin temerrüde düşme olasılığı sırasıyla 0,01, 0,05 ve 0,2'dir. Kredilerin ne kadarı geri ödenmez?

118. Kesilmiş alfabe kartlarına Rus alfabesinin 32 harfi yazılır. Beş kart birbiri ardına rastgele çekilir ve göründükleri sırayla masaya yerleştirilir. "Son" kelimesinin elde edilme olasılığını bulun.

119 Banka kredi talep istatistikleri şu şekildedir: %10 - durum. yetkililer, 20% - diğer bankalar, geri kalanı - bireyler. Kredinin temerrüde düşme olasılığı sırasıyla 0,01, 0,05 ve 0,2'dir. Kredilerin ne kadarı geri ödenmez?

120. Bir dondurma tüccarının haftalık cirosunun 2000 rubleyi geçme olasılığı. açık havada %80, parçalı bulutlu havada %50 ve yağmurlu havada %10'dur. Cironun 2000 rubleyi aşma olasılığı nedir? açık hava olasılığı %20 ve parçalı bulutlu ve yağmurlu ise - her biri %40.