Bir alan olarak integralin geometrik anlamından yola çıkarak, eşitsizlikleri sağlama olasılığının, tabanı olan eğrisel bir yamuğun alanına eşit olduğunu söyleyebiliriz. yukarıdan bir eğri ile sınırlandırılmıştır (Şekil 6).

O zamandan beri ve formüle göre (22)

Formül (22)'yi kullanarak, dağılım yoğunluğunun sürekli olduğunu varsayarak, integralin değişkene göre türevi olarak üst sınırı buluruz **:

Sürekli bir rasgele değişken için dağıtım fonksiyonunun (x) herhangi bir noktada sürekli x nerede fonksiyon süreklidir. Bu, şu gerçeğinden kaynaklanmaktadır: (x) bu noktalarda türevlenebilir.

Formül (23) temelinde, ayar x 1 = x, sahibiz

Fonksiyonun sürekliliği sayesinde (x) anladık

bu nedenle

Böylece, olasılık Gitmek, ne sürekli rastgele büyüklük Yapabilmek kabul etmek hiç ayrı değer x, eşittir sıfır.

Dolayısıyla, eşitsizliklerin her birinin yerine getirilmesini içeren olayların

Aynı olasılığa sahip, yani.

Nitekim, örneğin,

Yorum Yap. Bildiğimiz gibi, bir olay imkansızsa, o olayın gerçekleşme olasılığı sıfırdır. Olasılığın klasik tanımında, test sonuçlarının sayısı sonlu olduğunda, bunun tersi bir önerme de yer alır: Bir olayın olasılığı sıfırsa, bu durumda test sonuçlarının hiçbiri onu desteklemediğinden olay imkansızdır. Sürekli bir rastgele değişken durumunda, olası değerlerinin sayısı sonsuzdur. Bu değerin herhangi bir belirli değeri alma olasılığı x 1 gördüğümüz gibi, sıfıra eşittir. Ancak bundan bu olayın imkansız olduğu sonucu çıkmaz, çünkü test sonucunda rastgele değişken özellikle değeri alabilir. x 1 ... Bu nedenle, sürekli bir rastgele değişken durumunda, belirli bir değer alma olasılığından değil, bir rastgele değişkenin bir aralığa düşme olasılığından bahsetmek mantıklıdır.

Bu nedenle, örneğin, bir silindirin imalatında, çapının nominal değere eşit olma olasılığıyla ilgilenmiyoruz. Bizim için önemli olan boncuk çapının tolerans aralığının dışına çıkmama olasılığıdır.

Misal. Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım yoğunluğu şu şekilde verilir:

Fonksiyon grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 7. Rastgele değişkenin eşitsizlikleri sağlayan bir değer alma olasılığını belirleyin.Verilen bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunu bulun. ( Karar)

Sonraki iki bölüm, uygulamada sıklıkla karşılaşılan sürekli rastgele değişkenlerin dağılımlarına ayrılmıştır - tekdüze ve normal dağılımlar.

* Bir fonksiyon, herhangi bir segmentte sürekliyse veya birinci türden sonlu sayıda kırılma noktasına sahipse, tüm sayısal eksende parçalı sürekli olarak adlandırılır.

** Sonlu bir alt sınır durumunda türetilen değişken üst sınırı olan bir integral için türev alma kuralı, sonsuz alt sınırı olan integraller için geçerli kalır. Aslında,

integralden beri

sabit bir değer vardır.

Rastgele değişkenler

Rastgele değişkenler, rastgele olayların sayısal özellikleri olarak anlaşılır. Başka bir deyişle, rastgele değişkenler, değerleri (belirli bir zamanda) önceden tahmin edilemeyen deneylerin sayısal sonuçlarıdır.

Örneğin, aşağıdaki değerler rastgele kabul edilebilir:

2. Belirli bir doğum hastanesinde belirli bir günde doğan çocuklar arasındaki erkek çocukların yüzdesi.

3. Belirli bir gün boyunca belirli bir gözlemevinde görünen güneş lekelerinin sayısı ve alanı.

4. Derse geç kalan öğrenci sayısı.

5. Sıradan insanlara göründüğü kadar “rastgele” olmasa da, borsadaki dolar döviz kuru (örneğin, MICEX'te).

6. Belirli bir tesiste belirli bir günde ekipman arızalarının sayısı.

Rastgele değişkenler, karşılık gelen özelliğin tüm olası değerlerinin kümesinin ayrık mı yoksa sürekli mi olduğuna bağlı olarak ayrık ve sürekli olarak ayrılır.

Bu bölünme oldukça keyfidir, ancak yeterli araştırma yöntemlerini seçerken yararlıdır. Bir rastgele değişkenin olası değerlerinin sayısı sonluysa veya tüm doğal sayılar kümesiyle karşılaştırılabilirse (yani yeniden numaralandırılabilir), FinePrint pdfFactory deneme sürümü ile oluşturulan PDF rastgele değişkeni http://www.fineprint .com'a ayrık denir. Aksi takdirde, sürekli olarak adlandırılır, ancak gerçekte sürekli rastgele değişkenlerin değerlerini basit bir sayısal aralıkta (segment, aralık) aldığı örtük olarak varsayılır. Örneğin, yukarıda 4 ve 6 sayıları altında verilen rastgele değişkenler ayrık, 1 ve 3 sayıları altında sürekli olanlar (noktaların alanı) olacaktır. Bazen rastgele bir değişken karışık bir yapıya sahiptir. Örneğin, aslında yalnızca ayrı bir değerler kümesi alan, ancak aynı zamanda değerlerinin kümesinin “ sürekli".

Rastgele değerler farklı şekillerde ayarlanabilir.

Kesikli rasgele değişkenler genellikle kendi dağıtım yasalarıyla belirlenir. Burada, bir X rastgele değişkeninin olası her x1, x2, ... değeri, bu değerin p1, p2, ... olasılığı ile ilişkilidir. Sonuç, iki satırdan oluşan bir tablodur:

Bu, rastgele bir değişkenin dağılım yasasıdır.

Dağıtım yasasına göre sürekli rastgele değişkenler atamak imkansızdır, çünkü tanımı gereği değerleri yeniden numaralandırılamaz ve bu nedenle tablo şeklindeki görev burada hariç tutulur. Bununla birlikte, sürekli rastgele değişkenler için başka bir ayar yolu daha vardır (bu arada, ayrık değişkenler için geçerlidir) - bu dağıtım işlevidir:

rastgele bir X değişkeninin verilen bir x sayısından daha az bir değer alacağı gerçeğinden oluşan bir olayın olasılığına eşittir.

Genellikle, dağıtım işlevi yerine, başka bir işlevi kullanmak uygundur - rastgele değişken X'in dağılımının yoğunluğu f (x). Bazen diferansiyel dağılım işlevi olarak da adlandırılır ve bu terminolojide F (x) integral dağılım fonksiyonu denir. Bu iki fonksiyon karşılıklı olarak birbirini aşağıdaki formüllere göre tanımlar:

Rastgele bir değişken ayrık ise, o zaman bir dağıtım fonksiyonu kavramı da onun için anlamlıdır, bu durumda dağıtım fonksiyonunun grafiği, her biri bir öncekinden pi'ye eşit bir miktarda daha yüksekte bulunan yatay bölümlerden oluşur. .

Ayrık miktarların önemli örnekleri, örneğin PDF'nin FinePrint pdfFactory deneme sürümü http://www.fineprint.com ile oluşturulduğu binom olarak dağıtılmış miktarlardır (Bernoulli dağıtımı).

n pk (1-p) n-k =! ()!

burada p, bireysel bir olayın olasılığıdır (bazen geleneksel olarak “başarı olasılığı” olarak adlandırılır). Bir dizi ardışık homojen testin sonuçları bu şekilde dağıtılır (Bernoulli şeması). Binom dağılımının sınırlayıcı durumu (deneme sayısındaki artışla birlikte) Poisson dağılımıdır.

pk =?k/k!exp (-?),

nerede?> 0 bazı pozitif parametrelerdir.

Sürekli dağılımın en basit örneği düzgün dağılımdır. 1 / (b-a)'ya eşit bir segmentte sabit bir dağılım yoğunluğuna sahiptir ve bu segmentin dışında yoğunluk 0'dır.

Sürekli dağılımın son derece önemli bir örneği normal dağılımdır. İki parametre ile belirtilir m ve? (matematiksel beklenti ve standart sapma - aşağıya bakın), dağıtım yoğunluğu şu şekildedir:

1 deneyim (- (x-m) 2/2? 2)

Olasılık teorisinde normal dağılımın temel rolü, Merkezi Limit Teoremi (CLT) sayesinde, ikili olarak bağımsız olan çok sayıda rastgele değişkenin toplamının (rastgele değişkenlerin bağımsızlığı kavramı üzerinde) olmasıyla açıklanır. , aşağıya bakınız) veya zayıf bağımlı, normal yasaya göre yaklaşık olarak dağıtılır. Rastgeleliği, çok sayıda zayıf bağımlı rasgele faktörün üst üste gelmesinden kaynaklanan bir rasgele değişken, yaklaşık olarak normal dağılmış olarak kabul edilebilir (onu oluşturan faktörlerin nasıl dağıldığına bakılmaksızın). Başka bir deyişle, normal dağılım yasası çok evrenseldir.

Rastgele değişkenleri incelerken kullanılabilecek birkaç sayısal özellik vardır. Bunlar arasında matematiksel beklentiyi seçiyoruz.

rastgele bir değişkenin ortalama değerine eşit, varyans

D (X) = M (X-M (X)) 2,

rastgele değişkenin ortalama değerden sapmasının karesinin matematiksel beklentisine eşit ve pratikte uygun olan bir tane daha ek nicelik (orijinal rastgele değişkenle aynı boyutta):

standart sapma denir. (Bunu daha fazla belirtmeden) yazılan tüm integrallerin var olduğunu (yani tüm sayı ekseninde yakınsadığını) varsayacağız. Bildiğiniz gibi, varyans ve standart sapma, rastgele bir değişkenin ortalama değeri etrafındaki saçılma derecesini karakterize eder. FinePrint pdfFactory deneme sürümü http://www.fineprint.com ile oluşturulan PDF ne kadar az varyans olursa, rastgele bir değişkenin değerleri, ortalaması etrafında o kadar yakından gruplanır.

Örneğin, Poisson dağılımı için matematiksel beklenti eşittir?, Düzgün bir dağılım için (a + b) / 2'ye eşittir ve normal bir dağılım için m'ye eşittir. Poisson dağılımı için varyans eşittir?, Düzgün dağılım için (b-a) 2/12 ve normal dağılım için? 2'ye eşittir. Gelecekte, matematiksel beklenti ve varyansın aşağıdaki özellikleri kullanılacaktır:

1.M (X + Y) = M (X) + M (Y).

3. D (cX) = c2D (X), burada c keyfi bir sabit sayıdır.

4.D (X + A) = D (A) keyfi bir sabit (rastgele olmayan) miktar A için.

Rastgele değişken? = U-MU, merkezli olarak adlandırılır. Özellik 1, M? = M (U-MU) = M (U) -M (U) = 0 anlamına gelir, yani ortalama değeri 0'dır (adının nedeni budur). Ayrıca, özellik 4 nedeniyle, elimizde D (?) = D (U) var.

Ayrıca varyans ve ilgili miktarları hesaplamak için pratikte kullanımı uygun olan yararlı bir ilişki vardır:

5.D (X) = M (X2) -M (X) 2

Rastgele değişkenler X ve Y, sırasıyla x ve y keyfi değerleri için olaylar bağımsız ise bağımsız olarak adlandırılır. Örneğin, elektrik şebekesindeki voltajın ölçülmesi ve işletmenin ana elektrik mühendisinin büyümesi bağımsız olacaktır (görünüşe göre ...). Ancak bu elektrik şebekesinin kapasitesi ve işletmelerdeki baş elektrik mühendisinin maaşı artık bağımsız olarak kabul edilemez.

X ve Y rasgele değişkenleri bağımsız ise, aşağıdaki özellikler de yer alır (keyfi rasgele değişkenler için geçerli olmayabilir):

5.M (XY) = M (X) M (Y).

6. D (X + Y) = D (X) + D (Y).

Bireysel rastgele değişkenler X, Y, ... dışında, rastgele değişken sistemleri de incelenir. Örneğin, bir çift (X, Y) rastgele değişken, değerleri iki boyutlu vektörler olan yeni bir rastgele değişken olarak kabul edilebilir. Çok boyutlu rastgele değişkenler olarak adlandırılan daha fazla sayıda rastgele değişkenli sistemler de benzer şekilde düşünülebilir. Bu tür sistemler aynı zamanda dağıtım işlevleriyle de verilir. Örneğin, iki rastgele değişkenli bir sistem için bu fonksiyon şu şekildedir:

F (x, y) = P,

yani, X rastgele değişkeninin belirli bir x sayısından daha küçük bir değer ve bir rastgele değişken Y - belirli bir y sayısından küçük bir değer alması olayının olasılığına eşittir. Bu fonksiyona ayrıca X ve Y rasgele değişkenlerinin ortak dağılım fonksiyonu da denir. Ortalama vektörü de düşünebilirsiniz - matematiksel beklentinin doğal bir analogu, ancak varyans yerine, moment adı verilen birkaç sayısal özelliği incelemek gerekir. ikinci sipariş. Bunlar, ilk olarak, ayrı ayrı ele alınan X ve Y rastgele değişkenlerinin FinePrint pdfFactory deneme sürümü http://www.fineprint.com ile oluşturulan iki kısmi varyans DX ve DY PDF ve ikinci olarak, aşağıda daha ayrıntılı olarak tartışılan kovaryans momentidir. .

X ve Y rasgele değişkenleri bağımsız ise, o zaman

F (x, y) = FX (x) FY (y)

X ve Y rasgele değişkenlerinin dağılım fonksiyonlarının çarpımı ve dolayısıyla bir çift bağımsız rasgele değişkenin incelenmesi, birçok yönden basitçe X ve Y'nin ayrı ayrı çalışmasına indirgenir.

Rastgele değişkenler

Sonuçları rastgele olaylar olan yukarıda dikkate alınan deneyler. Bununla birlikte, bir deneyin sonuçlarını, rastgele nicelik olarak adlandırılan bir miktar biçiminde nicel olarak temsil etmek genellikle gereklidir. Rastgele bir değişken, olasılık teorisinin ikinci (rastgele bir olaydan sonra) ana nesnesidir ve bir rastgele olay koleksiyonundan daha rastgele bir sonuca sahip bir deneyi tanımlamanın daha genel bir yolunu sağlar.

Rastgele sonuçlu deneyleri göz önünde bulundurarak, rastgele değişkenlerle zaten ilgilenmiştik. Bu nedenle, bir dizi testteki başarı sayısı, rastgele değişkene bir örnektir. Rastgele değişkenlerin diğer örnekleri şunlardır: birim zaman başına telefon santralindeki çağrı sayısı; bir sonraki arama için bekleme süresi; istatistiksel fizikte ele alınan parçacık sistemlerinde belirli bir enerjiye sahip parçacıkların sayısı; belirli bir alandaki ortalama günlük sıcaklık, vb.

Rastgele bir değişken, alacağı değerini doğru bir şekilde tahmin etmenin imkansız olmasıyla karakterize edilir, ancak diğer yandan, olası değerlerinin çoğu genellikle bilinir. Dolayısıyla, bir dizi testteki başarıların sayısı için bu küme sonludur, çünkü başarıların sayısı değerler alabilir. Rastgele bir değişkenin değer kümesi, bekleme süresi vb. Durumda olduğu gibi gerçek yarı eksenle çakışabilir.

Rastgele olayların genellikle kullanıldığı, rastgele sonuçlu deney örneklerini ele alalım ve bir rastgele değişken belirterek eşdeğer bir açıklama getirelim.

bir). Deneyimin sonucu bir olay veya olay olsun. Daha sonra bu deney, örneğin iki değer alan rastgele bir değişkenle ve olasılıklarla ilişkilendirilebilir ve eşitlikler vardır: ve. Bu nedenle, bir deneyim iki sonuç ve olasılık ile karakterize edilir ve veya aynı deneyim, iki değer alan rastgele bir değişken ve olasılıklar ve ile karakterize edilir.

2). Zar atmakla ilgili bir deney düşünün. Burada, deneyin sonucu, sayı ile yüzün kaybının olduğu olaylardan biri olabilir. Olasılıklar. Olasılıkla değerler alabilen rastgele bir değişken kullanarak bu deneyin eşdeğer bir tanımını sunalım.

3). Bir dizi bağımsız test, tam bir uyumsuz olay grubu ile karakterize edilir, burada - bir dizi deneyde başarıların ortaya çıkmasından oluşan bir olay; ayrıca, bir olayın olasılığı Bernouli formülü ile belirlenir, yani Burada rastgele bir değer girebilirsiniz - olasılıklarla değerleri alan başarıların sayısı. Bu nedenle, bir dizi bağımsız test, olasılıkları ile rastgele olaylar veya neyin değer aldığının olasılıkları ile bir rastgele değişken ile karakterize edilir.

dört). Bununla birlikte, rastgele bir sonuca sahip her deney için, bir rastgele değişken ile bir dizi rastgele olay arasında bu kadar basit bir yazışma yoktur. Örneğin, bir noktanın bir doğru parçasına rastgele atıldığı bir deney düşünün. Burada rastgele bir değişken - noktanın düştüğü segment üzerindeki koordinat - eklemek doğaldır. Böylece rastgele bir olay hakkında konuşabiliriz, nerede sayısı. Ancak, bu olayın olasılığı. Farklı davranabilirsiniz - segmenti sınırlı sayıda ayrık segmente bölün ve rastgele bir değişkenin aralıktan değerler alması gerçeğinden oluşan rastgele olayları düşünün. O zaman olasılıklar sonlu değerlerdir. Bununla birlikte, bu yöntemin de önemli bir dezavantajı vardır, çünkü bölümler keyfi bir şekilde seçilmektedir. Bu dezavantajı ortadan kaldırmak için, değişkenin bulunduğu formun bölümleri dikkate alınır. O zaman karşılık gelen olasılık, argümanın bir fonksiyonudur. Bu, rastgele değişkenin matematiksel tanımını karmaşıklaştırır, ancak bu durumda açıklama (29.1) tek olur, segment seçiminin belirsizliği ortadan kalkar.

Ele alınan örneklerin her biri için, olasılık uzayını belirlemek kolaydır, burada temel olayların alanıdır, - olayların cebiridir (alt kümeler), herhangi biri için tanımlanan olasılıktır. Örneğin, son örnekte, - içerdiği tüm segmentlerin cebiridir.

Dikkate alınan örnekler, rastgele bir değişkenin aşağıdaki tanımına yol açar.

Olasılık uzayı olsun. Rastgele bir değişken, formun bir dizi temel olayının her bir gerçek sayı için bir olay (yani ait) olduğu, üzerinde tanımlanan tek değerli bir gerçek fonksiyondur.

Böylece tanım, her gerçek küme için şunu gerektirir ve bu koşul, her biri için bir olayın olasılığının belirlenmesini sağlar. Bu olay genellikle daha kısa bir kayıtla belirtilir.

Olasılık dağılım fonksiyonu

Fonksiyona rastgele bir değişkenin olasılık dağılım fonksiyonu denir.

Fonksiyona bazen kısaca - dağılım fonksiyonu ve ayrıca - rastgele bir değişkenin olasılık dağılımının integral yasası denir. Bir işlev, bir rastgele değişkenin tam bir özelliğidir, yani bir rastgele değişkenin tüm özelliklerinin matematiksel bir açıklamasıdır ve bu özellikleri tanımlamanın daha ayrıntılı bir yolu yoktur.

Tanımın aşağıdaki önemli özelliğine dikkat edin (30.1). İşlev genellikle farklı tanımlanır:

(30.1)'e göre fonksiyon sağ süreklidir. Bu konu aşağıda daha ayrıntılı olarak tartışılacaktır. Tanımı (30.2) kullanırsak, o zaman - sürekli bırakılır, bu da (30.2) bağıntısındaki katı eşitsizliğin uygulanmasının bir sonucudur. Fonksiyonlar (30.1) ve (30.2), hem teorik soruların incelenmesinde hem de problemlerin çözümünde hangi tanımın kullanılacağı önemli olmadığından, rastgele bir değişkenin eşdeğer tanımlarıdır. Kesinlik için, aşağıda sadece tanımı (30.1) kullanacağız.

Bir fonksiyon grafiği çizme örneğini ele alalım. Rastgele değişkenin olasılıklarla birlikte değerler almasına izin verin ve. Böylece, bu rastgele değişken, sıfır olasılıkla belirtilenlerin yanı sıra diğer değerleri de alır: herhangi biri için. Veya dedikleri gibi, başka değerlerin yanı sıra rastgele bir değişken alamaz. Kesinlik için izin verin. Fonksiyonun değerlerini şu aralıklardan bulalım: 1), 2), 3), 4), 5), 6), 7). İlk aralıkta, bu nedenle, dağıtım işlevi. 2). Eğer öyleyse. Açıkça rastlantısal olaylar tutarsızdır, bu nedenle, olasılıkları toplama formülüne göre. Koşul olarak, olay imkansızdır ve, a. Bu nedenle. 3). İzin ver o zaman. İşte olay imkansız olduğundan birinci terim ve ikincisi. Böylece, koşulu sağlayan herkes için. dört). İzin ver o zaman. beş). Eğer öyleyse. 6) Çünkü bizde var. 7) Eğer öyleyse. Hesaplama sonuçları Şekil 2'de gösterilmektedir. 30.1 grafik fonksiyonu. Süreksizlik noktalarında sağdaki fonksiyonun sürekliliği belirtilir.

Olasılık dağılım fonksiyonunun temel özellikleri

Doğrudan tanımdan çıkan dağıtım fonksiyonunun ana özelliklerini göz önünde bulundurun:

1. Notasyonu tanıtalım:. Sonra tanımdan gelir. İfade burada sıfır olasılıkla imkansız bir olay olarak kabul edilir.

2. İzin ver. Sonra fonksiyonun tanımından çıkar. Rastgele bir olay güvenilirdir ve olasılığı bire eşittir.

3. Rastgele değişkenin aralıktan bir değer alması gerçeğinden oluşan rastgele bir olayın olasılığı, aşağıdaki eşitlikle fonksiyon aracılığıyla belirlenir.

Bu eşitliği kanıtlamak için ilişkiyi düşünün.

Olaylar ve tutarsızdır, bu nedenle, (31.3)'den olasılıkların eklenmesi için formüle göre, bunu takip eder ve formül (31.2), çünkü ve ile çakışır.

4. İşlev azalmaz. Kanıt için düşünün. Bu durumda eşitlik (31.2) geçerlidir. Sol tarafı, olasılık aralıktan değerler aldığından. Bu nedenle, eşitliğin (31.2) sağ tarafı da negatif olmayan :, veya. Bu eşitlik şu koşul altında elde edilmiştir, dolayısıyla azalmayan bir fonksiyondur.

5. Fonksiyon her noktada sağda süreklidir;

sağa eğilimli herhangi bir dizi nerede, yani ve.

Kanıt için, işlevi şu şekilde temsil ediyoruz:

Şimdi, olasılığın sayılabilir toplamsallığı aksiyomuna dayanarak, küme parantezlerindeki ifade eşittir, bu da fonksiyonun doğru sürekliliğini kanıtlar.

Böylece, her olasılık dağılım fonksiyonu 1-5 özelliklerine sahiptir. Tersi ifade de doğrudur: eğer, 1-5 arasındaki koşulları sağlıyorsa, o zaman bazı rasgele değişkenlerin dağılım fonksiyonu olarak düşünülebilir.

Ayrık bir rastgele değişkenin olasılık dağılım fonksiyonu

Rastgele bir değişken, değerlerinin kümesi sonlu veya sayılabilir ise ayrık olarak adlandırılır.

Değerleri alan kesikli bir rastgele değişkenin tam bir olasılıksal açıklaması için, rastgele değişkenin bir değer aldığı olasılıkları ayarlamak yeterlidir. Eğer ve verilirse, kesikli bir rastgele değişkenin olasılık dağılım fonksiyonu şu şekilde temsil edilebilir:

Burada, koşulu sağlayan tüm indeksler üzerinde toplama yapılır.

Ayrık bir rasgele değişkenin olasılık dağılım fonksiyonu bazen birim atlama fonksiyonu ile temsil edilir.

Bu durumda, rasgele değişken sonlu bir değerler kümesi alıyorsa biçimini alır ve rasgele değişken sayılabilir bir değerler kümesi alırsa (32.4)'deki üst toplam sınırının eşit olduğu varsayılır.

Kesikli bir rastgele değişkenin olasılık dağılım fonksiyonlarının çizilmesine ilişkin bir örnek, Bölüm 30'da ele alınmıştır.

Olasılık dağılım yoğunluğu

Bir rastgele değişkenin türevlenebilir bir olasılık dağılım fonksiyonuna sahip olmasına izin verin, bu durumda fonksiyona rastgele değişkenin olasılık dağılım yoğunluğu (veya olasılık yoğunluğu) ve rastgele değişkene sürekli rastgele değişken adı verilir.

Olasılık yoğunluğunun ana özelliklerini ele alalım.

Türevin tanımı eşitliği ifade eder:

Fonksiyonun özelliklerine göre eşitlik gerçekleşir. Bu nedenle (33.2) şu şekli alır:

Bu ilişki, işlevin adını açıklar. Gerçekten de, (33.3)'e göre fonksiyon, o zamandan beri noktasındaki birim aralık başına olasılıktır. Böylece (33.3) bağıntısıyla belirlenen olasılık yoğunluğu, akım yoğunluğu, madde yoğunluğu, yük yoğunluğu vb. gibi fizikte bilinen diğer niceliklerin yoğunluklarının tanımlarına benzer.

2. Azalmayan bir fonksiyon olduğu için türevi negatif olmayan bir fonksiyondur:

3. (33.1)'den beri, şu şekildedir. Böylece eşitlik

4. O zamandan beri (33.5) ilişkisinden şu şekildedir:

Normalizasyon koşulu olarak adlandırılan eşitlik. Sol tarafı, belirli bir olayın olasılığıdır.

5. O halde (33.1)'den şu sonuç gelsin

Bu ilişki, olasılık yoğunluğu veya olasılık dağılım fonksiyonu aracılığıyla olasılığı hesaplamanıza izin verdiği için uygulamalar için önemlidir. Eğer koyarsak, (33.6) ilişkisi (33.7)'den gelir.

İncirde. 33.1, dağılım fonksiyonu ve olasılık yoğunluğu grafiklerinin örneklerini gösterir.

Olasılık dağılım yoğunluğunun birkaç maksimuma sahip olabileceğini unutmayın. Yoğunluğun maksimum olduğu argümanın değerine rastgele değişkenin dağılım modu denir. Yoğunluğun birden fazla modu varsa, buna multimodal denir.

Ayrık bir rastgele değişkenin olasılık dağılımının yoğunluğu

ayrık olasılık yoğunluk dağılımı

Rastgele bir değişkenin olasılıklı değerler almasına izin verin. O zaman olasılık dağılım fonksiyonu, birim atlama fonksiyonunun nerede olduğudur. Eşitliği hesaba katan dağılım fonksiyonu ile bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğunu belirlemek mümkündür. Ancak bu durumda, (34.1)'de yer alan birim atlama fonksiyonunun birinci tür bir süreksizliğe sahip olması nedeniyle matematiksel zorluklar ortaya çıkar. Bu nedenle, fonksiyonun türevi noktada mevcut değildir.

Bu karmaşıklığın üstesinden gelmek için bir -fonksiyon tanıtılır. Birim atlama işlevi, -fonksiyonu cinsinden aşağıdaki eşitlikle temsil edilebilir:

Daha sonra, biçimsel olarak, ayrık bir rastgele değişkenin türevi ve olasılık yoğunluğu, fonksiyonun türevi olarak (34.1) bağıntısından belirlenir:

(34.4) fonksiyonu, olasılık yoğunluğunun tüm özelliklerine sahiptir. Bir örneğe bakalım. Kesikli bir rasgele değişkenin olasılıklarla değerler almasına izin verin ve izin verin. Daha sonra rasgele değişkenin segmentten bir değer alma olasılığı, yoğunluğun genel özelliklerine göre aşağıdaki formülle hesaplanabilir:

Burada, koşul tarafından belirlenen fonksiyonun tekil noktası, integrasyon bölgesinin içinde olduğu için ve tekil nokta, integrasyon bölgesinin dışındadır. Böylece.

İşlev (34.4) ayrıca normalleştirme koşulunu da karşılar:

Matematikte, formun (34.4) gösteriminin yanlış (yanlış) olarak kabul edildiğini ve (34.2) gösterimin doğru olduğunu unutmayın. Bunun nedeni, -fonksiyonunun sıfır argümanda olmasıdır ve var olmadığı söylenir. Öte yandan, (34.2)'de -fonksiyonu integralin altında bulunur. Bu durumda, (34.2)'nin sağ tarafı herhangi biri için sonlu bir değerdir, yani. -fonksiyonun integrali mevcuttur. Buna rağmen, fizikte, teknolojide ve olasılık teorisinin diğer uygulamalarında, ilk olarak, özellikleri - fonksiyonları kullanarak doğru sonuçların elde edilmesini sağlayan ve ikincisi, açık bir fiziksel yoruma sahip olan (34.4) formundaki yoğunluk temsili sıklıkla kullanılır. .

Yoğunluk ve Olasılık Dağılım Fonksiyonlarına Örnekler

35.1. Bir rasgele değişken, olasılık dağılım yoğunluğu ise, bir aralık üzerinde düzgün dağılmış olarak adlandırılır.

normalizasyon koşulundan belirlenen sayı nerede:

(35.1)'in (35.2)'ye ikamesi, çözümü şu şekilde olan bir eşitliğe yol açar:.

Düzgün dağılmış bir rastgele değişkenin olasılık dağılım fonksiyonu, yoğunluğu belirleyen formül (33.5) ile bulunabilir:

İncirde. 35.1, fonksiyonların grafiklerini ve düzgün dağılmış bir rastgele değişkeni sunar.

35.2. Olasılık dağılım yoğunluğu şu ise, rastgele bir değişken normal (veya Gauss) olarak adlandırılır:

nerede, sayılar fonksiyon parametreleri olarak adlandırılır. Fonksiyon maksimum değerini aldığında :. Parametre, etkin genişlik anlamına gelir. Bu geometrik yoruma ek olarak, parametreler daha sonra ele alınacak olan olasılıksal bir yoruma da sahiptir.

(35.4)'den olasılık dağılım fonksiyonu için ifade gelir

Laplace fonksiyonu nerede? İncirde. 35.2 fonksiyonların grafikleri ve normal rastgele değişken sunulmaktadır. Rastgele bir değişkenin parametrelerle normal bir dağılıma sahip olduğunu belirtmek için ve genellikle gösterim olarak kullanılır.

35.3. Rastgele bir değişken, aşağıdaki durumlarda Cauchy olasılık dağılımına sahiptir:

Bu yoğunluk dağıtım fonksiyonuna karşılık gelir.

35.4. Olasılık dağılımı şu şekildeyse, rastgele bir değişken üstel olarak dağıtılır:

Olasılık dağılım fonksiyonunu tanımlayalım. Çünkü (35.8) den çıkar. eğer, o zaman

35.5. Rastgele bir değişkenin Rayleigh olasılık dağılımı, formun yoğunluğu ile belirlenir.

Bu yoğunluk, olasılık dağılım fonksiyonuna karşılık gelir ve eşittir.

35.6. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunu ve yoğunluğunu oluşturmaya ilişkin örnekleri ele alalım. Rastgele değişken, bir dizi bağımsız denemedeki başarıların sayısı olsun. Ardından rastgele değişken, Bernoulli formülüyle belirlenen bir olasılıkla değerler alır:

nerede, bir deneyde başarı ve başarısızlık olasılıklarıdır. Böylece, rastgele bir değişkenin olasılık dağılım fonksiyonu şu şekildedir:

birim atlama işlevi nerede. Dolayısıyla dağıtım yoğunluğu:

delta işlevi nerede.

Tekil rastgele değişkenler

Kesikli ve sürekli rasgele değişkenlere ek olarak, tekil rasgele değişkenler de vardır. Bu rastgele değişkenler, olasılık dağılım fonksiyonlarının sürekli olması, ancak büyüme noktalarının bir dizi sıfır ölçü oluşturması ile karakterize edilir. Bir fonksiyonun büyüme noktası, türev olacak şekilde argümanının değeridir.

Böylece, fonksiyonun tanım kümesinde hemen hemen her yerde. Bu koşulu sağlayan bir fonksiyona da tekil denir. Tekil dağılım fonksiyonuna bir örnek, aşağıdaki gibi oluşturulan Cantor eğrisidir (Şekil 36.1). ve olduğu varsayılır. Daha sonra aralık üç eşit parçaya (segment) bölünür ve iç segment için değer belirlenir - sağ ve soldaki en yakın segmentlerde önceden belirlenmiş değerlerin yarısı olarak. Şu anda, işlev, değeri ve değeri için tanımlanmıştır. Bu değerlerin yarısı toplamı iç segmentteki değere eşittir ve bu değeri belirler. Daha sonra segmentler ele alınır ve her biri üç eşit parçaya bölünür ve fonksiyonun verilen değerlerin sağa ve sola en yakın olanlarının yarım toplamı olarak iç segmentlerde fonksiyon belirlenir. Böylece, fonksiyon, sayıların yarısı toplamı şeklindedir. Fonksiyon aralıkta benzerdir. Daha sonra fonksiyon hangi aralıkta tanımlanır, vb.

benzer belgeler

Rastgele değişkenler. Kesikli bir rastgele değişkenin olasılık dağılımının işlevi ve yoğunluğu. Tekil rastgele değişkenler. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi. Chebyshev eşitsizliği. Momentler, birikimler ve karakteristik fonksiyon.

özet, eklendi 12/03/2007


Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik kavramları, pratikte uygulamaları. Rastgele bir değişkenin belirlenmesi. Rastgele değişken türleri ve örnekleri. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası. Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım yasaları.

özet, 25/10/2015 eklendi


Belirli bir aralıkta rastgele bir X değişkenine çarpma olasılığı. Rastgele bir değişkenin dağılım fonksiyonunun çizilmesi. Rastgele alınan bir ürünün bir standardı karşılama olasılığının belirlenmesi. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası.

test, 01/24/2013 eklendi


Kesikli rastgele değişkenler ve dağılımları. Toplam olasılık formülü ve Bayes formülü. Matematiksel beklentinin genel özellikleri. Rastgele bir değişkenin dağılımı. Rastgele bir değişkenin dağılım fonksiyonu. Olasılıkların klasik tanımı.

test, 13/12/2010 eklendi


Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu. Sürekli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, sistemin olasılık dağılım yoğunluğu. kovaryans. Korelasyon katsayısı.

laboratuvar çalışması, 19/08/2002 eklendi


Rastgele bir değişkenin en evrensel özelliği olarak dağılım fonksiyonunun özellikleri. Özelliklerinin tanımı, geometrik yorum kullanılarak sunumu. Kesikli bir rasgele değişkenin dağılımının olasılığını hesaplamanın düzenlilikleri.

sunum 11/01/2013 eklendi


Bernoulli formülü kullanılarak çeşitli olayların olasılıklarının belirlenmesi. Kesikli bir rasgele değişkenin dağılım yasasının çıkarılması, bir rasgele değişkenin matematiksel beklentisi, varyansı ve standart sapması, olasılık yoğunluklarının hesaplanması.

test, 31/10/2013 eklendi


Bir olayın olasılığını bulmak için Bernoulli'nin formülünü kullanma. Ayrık bir rasgele değişken çizmek. Kümülatif dağılım fonksiyonunun matematiksel beklentisi ve özellikleri. Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu.

test, 29.01.2014 eklendi


Olasılık teorisi ve kütle rastgele fenomen kalıpları. Eşitsizlik ve Chebyshev teoremi. Rastgele bir değişkenin sayısal özellikleri. Dağılım yoğunluğu ve Fourier dönüşümü. Gauss rastgele değişkeninin karakteristik fonksiyonu.

özet, eklendi 01/24/2011


Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinin, varyansının, dağılım fonksiyonunun ve standart sapmasının hesaplanması. Rastgele bir değişkenin dağılım yasası. Bir olayın olasılığının klasik tanımı. Dağılım yoğunluğunu bulma.

Bir risk durumunda, belirli bir alternatifin sonuçlarını ve bu sonuçların ortaya çıkma olasılıklarını biliyoruz. Yani, sonuçların olasılık dağılımını biliyoruz, böylece formda temsil edilebilirler (modellenebilirler). rastgele değişken... Bu bölümde, kitaptaki materyalin daha fazla incelenmesi için gerekli olacak rastgele değişkenler ve bunların belirlenme yöntemleri hakkında olasılık teorisinden bilgileri hatırlıyoruz.

Klasik tanıma göre, değeri deneyimden deneyime rastgele bir şekilde değişebilen bir niceliğe rastgele denir. Yani her "test"te bir kümeden tek bir değer alabilir. Aynı zamanda nasıl bir anlam alacağını kestirmek de mümkün değil.

Rastgele değişkenler kesikli ve sürekli olarak ikiye ayrılır. Ayrık SV yalnızca sonlu veya sayılabilir bir değerler kümesi alabilir. Sürekli SV, sonsuz dahil olmak üzere bazı kapalı veya açık aralıklardan herhangi bir değer alabilir.

3.2.2. Rastgele bir değişkenin dağılım yasası

Rastgele bir değişken, kendi dağıtım yasası ile belirlenir. dağıtım yasası aşağıdaki durumlarda verildiği kabul edilir:

• rastgele bir değişkenin olası değerleri kümesi (sonsuz dahil) ve
• rastgele bir değişkenin bu kümenin rastgele bir bölgesine düşme olasılığı veya böyle bir olasılığın hesaplanmasına izin veren bir yasa (formül).

Aslında olasılık, belirli bir alanda rastgele bir değişkenin ortaya çıkma olasılığını karakterize eden bir göstergedir.

Rastgele bir değişkenin farklı değerlerinin olasılıklarını belirlemenin en yaygın ve yaygın yolu, olasılık dağılım fonksiyonları olarak kısaltılır, dağıtım işlevi.

Bir rasgele değişken X'in dağılım fonksiyonuna, SV'nin belirli bir x değerinden daha düşük bir değer alma olasılığını ayarlayan fonksiyon F (x) denir, yani:

F (x) = P (X< x)

X ("x büyük") - rastgele bir değeri belirtir,

x ("x küçük") - rastgele bir değişkenin olası değerleri kümesinden belirli bir değer.

Dağıtım fonksiyonu azalmaz. x, eksi sonsuza, sıfıra ve x artı sonsuza - birliğe eğilimli olduğunda.

Rastgele bir değişkenin dağılım yasasının temsil şekli farklı olabilir ve RV - ayrık mı yoksa sürekli mi olduğuna bağlıdır.

Dağıtım fonksiyonunun tanımından aşağıdaki bağımlılıklar gelir:

rastgele değişkenin a ile b aralığında değerler alma olasılığı:

P (a ≤ X< b) = F(b) - F(a)

rastgele değişkenin a'dan az olmayan değerler alma olasılığı:

3.2.3. Kesikli bir rastgele değişkenin dağılımını göstermenin yolları

Ayrık rassal değişken tamamen dağıtım işlevi veya bir dağıtım serisi (tablo) ile belirtilebilir. Tablo, analitik veya grafik şeklinde sunulabilirler.

Diyelim ki bir rasgele değişken X, sırasıyla %25, %35 ve %40 olasılıklarla 25, 45 ve 50 olmak üzere üç olası değeri alabilir. Bu SV'nin dağıtım serisi şöyle görünecektir:

Aynı rastgele değişkenin belirli bir değeri geçmeme olasılığını gösteren dağılım fonksiyonu aşağıdaki gibi yazılabilir:

Şekil 3.1, bu ayrık rastgele değişken X'in dağılım yasasını ayarlamak için grafik yöntemleri gösterir.

Şekil 3.1.

Olasılık dağılımı serisinin grafiğinde, her olası x j değerinin gerçekleşmesi, yüksekliği olasılığa eşit olan sütunlarla temsil edilir. Tüm M sütunlarının yüksekliklerinin toplamı (yani tüm olasılıklar), x'in tüm olası değerlerini kapsadıkları için bire eşittir:

Bazen, sütunlar yerine, SV değerlerini gerçekleştirme olasılıklarını birbirine bağlayan kesik bir çizgi gösterilir.

Kesikli bir rastgele değişkenin a'dan küçük bir değer alma olasılığı, a'dan küçük tüm sonuçların olasılıklarının toplamına eşittir:

Tanım olarak bu, x = a noktasındaki dağılım fonksiyonunun değerine eşittir. Dağılım fonksiyonunun değerlerini koordinat düzleminde çizersek, x eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar tüm değerleri "çalışır" olduğunda, dağılım fonksiyonunun bir grafiğini alırız. Ayrık bir SW için kademelidir. Eksi sonsuzdan ilk olası değer x 1'e kadar olan aralıkta, bu aralıkta herhangi bir değer almak imkansız olduğu için sıfıra eşittir.

Ayrıca, her olası x j değeri, dağıtım fonksiyonunu, bu p j değerinin ortaya çıkma olasılığına eşit bir miktarda artırır. Ardışık iki değer x j ve x j + 1 arasında, x'in başka olası değeri olmadığından ve atlama olmadığından dağıtım işlevi değişmez. Sonuçta, x M'nin mümkün olan en son değeri noktasında, p M olasılığının değerinde bir sıçrama olur ve dağılım fonksiyonu bire eşit bir sınırlayıcı değere ulaşır. Ayrıca, grafik x eksenine paralel olarak bu seviyede gider. Olasılık birden fazla olamayacağı için asla daha yükseğe çıkmaz.

3.2.4. Sürekli bir rastgele değişkenin dağılımını temsil etmenin yolları

Sürekli rastgele değişken ayrıca, kural olarak analitik bir biçimde sunulan dağıtım işlevi tarafından da verilir. Ek olarak, dağılım fonksiyonunun F(x) birinci türevi olan olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) ile tam olarak tanımlanabilir:

Olasılık yoğunluk fonksiyonu negatif değildir ve sonsuz limitlerdeki integrali bire eşittir.

Normal yasaya göre dağıtılmış sürekli bir rastgele değişkeni örnek olarak alalım.

Olasılık yoğunluk fonksiyonu, aşağıdaki formun bir formülü ile analitik olarak verilir:

Burada m X ve σ X dağıtım parametreleridir. m X, dağıtım merkezinin konumunu ve σ X - bu "merkeze" göre saçılmayı karakterize eder.

Dağıtım fonksiyonu tarafından sürekli bir rastgele değişken X verilsin F(X) ... Rastgele değişkenin tüm olası değerlerinin segmente ait olduğunu varsayalım [ bir, B].

Tanım. matematiksel beklenti olası değerleri bir aralığa ait olan sürekli bir rastgele değişken X'e belirli bir integral denir

Tüm sayısal eksende bir rastgele değişkenin olası değerleri dikkate alınırsa, matematiksel beklenti aşağıdaki formülle bulunur:

Bu durumda, elbette, uygunsuz integralin yakınsadığı varsayılır.

Tanım. Dağılım sürekli rastgele değişken, sapmasının karesinin matematiksel beklentisi olarak adlandırılır.

Kesikli bir rastgele değişkenin varyansına benzetilerek, varyansın pratik hesaplanması için aşağıdaki formül kullanılır:

Tanım. Ortalama kare sapma Varyansın karekökü denir.

Tanım. Moda Kesikli bir rasgele değişkenin М0'ına onun en olası değeri denir. Sürekli bir rastgele değişken için mod, dağılım yoğunluğunun maksimum olduğu rastgele değişkenin değeridir.

Kesikli bir rastgele değişken için dağılım çokgeni veya sürekli bir rastgele değişken için dağılım eğrisi iki veya daha fazla maksimuma sahipse, böyle bir dağılıma denir. çift ​​modlu veya çok modlu.

Bir dağılımın minimumu varsa, ancak maksimumu yoksa buna denir. antimodal.

Tanım. Medyan Bir rasgele değişken X'in MD'si, rasgele değişkenin daha büyük veya daha küçük bir değerini elde etmenin eşit derecede olası olduğu göreceli değeridir.

Geometrik olarak medyan, dağılım eğrisinin sınırladığı alanın yarıya bölündüğü noktanın apsisidir.

Dağılım tek modluysa, mod ve medyanın matematiksel beklentiyle çakıştığını unutmayın.

Tanım. Başlangıç ​​noktası Sipariş K Rastgele değişken X, X miktarının matematiksel beklentisi olarak adlandırılır. K.

Ayrık bir rastgele değişken için:.

.

Birinci mertebenin ilk momenti matematiksel beklentiye eşittir.

Tanım. Merkez nokta Sipariş K rastgele değişken X, değerin matematiksel beklentisi olarak adlandırılır.

Ayrık bir rastgele değişken için: .

Sürekli bir rastgele değişken için: .

Birinci dereceden merkezi moment her zaman sıfırdır ve ikinci dereceden merkezi moment varyansa eşittir. Üçüncü mertebenin merkezi momenti, dağılımın asimetrisini karakterize eder.

Tanım. Üçüncü dereceden merkezi momentin üçüncü dereceden standart sapmaya oranına denir. asimetri katsayısı.

Tanım. Dağılımın sivriliğini ve düzlüğünü karakterize etmek için Basıklık.

Dikkate alınan değerlere ek olarak, sözde mutlak momentler de kullanılır:

Mutlak başlangıç ​​noktası:.

Mutlak merkezi moment: .

Birinci mertebenin mutlak merkezi momentine denir. Aritmetik ortalama sapma.

Misal. Yukarıda ele alınan örnek için, bir rasgele değişken X'in matematiksel beklentisini ve varyansını belirleyin.

Misal. Kutuda 6 beyaz ve 4 siyah top vardır. Top, arka arkaya beş kez çıkarılır ve her seferinde çıkarılan top geri döndürülür ve toplar karıştırılır. Çıkarılan beyaz topların sayısını X rasgele değişkeni olarak alarak, bu değerin dağılım yasasını çizin, matematiksel beklentisini ve varyansını belirleyin.

Her deneydeki toplar geri döndürülüp karıştırıldığı için testler bağımsız olarak kabul edilebilir (bir önceki deneyin sonucu, başka bir deneyde bir olayın olma veya olmama olasılığını etkilemez).

Böylece, her deneyde beyaz bir topun ortaya çıkma olasılığı sabittir ve şuna eşittir:

Böylece art arda yapılan beş test sonucunda beyaz top hiç çıkmayabilir, bir, iki, üç, dört veya beş kez görünebilir.

Dağıtım yasasını oluşturmak için bu olayların her birinin olasılıklarını bulmak gerekir.

1) Beyaz top hiç görünmedi:

2) Beyaz top bir kez ortaya çıktı:

3) Beyaz top iki kez görünecektir: .

4) Beyaz top üç kez görünecektir:

Eğitim kurumu "Belarus Devleti

Tarım Akademisi"

Yüksek Matematik Bölümü

Metodik talimatlar

yazışma eğitimi muhasebe bölümü (NISPO) öğrencileri tarafından "Rastgele değişkenler" konusunun incelenmesi üzerine

Gorki, 2013

Rastgele değişkenler

Ayrık ve sürekli rastgele değişkenler

Olasılık teorisindeki temel kavramlardan biri kavramdır. rastgele değişken . rastgele bir değer sınama sonucunda olası değerleri kümesinden yalnızca bir tane alan ve hangisinin önceden bilinmediği niceliğe denir.

Rastgele değişkenler ayrık ve sürekli . Ayrık rastgele değişken (DSV) birbirinden izole edilmiş sonlu sayıda değer alabilen rastgele bir değişkendir, yani. eğer bu miktarın olası değerleri yeniden hesaplanabiliyorsa. Sürekli rastgele değişken (NCV) tüm olası değerleri sayı satırının belirli bir aralığını tamamen dolduran rastgele bir değişken çağrılır.

Rastgele değişkenler, Latin alfabesi X, Y, Z, vb.'nin büyük harfleriyle belirtilir. Rastgele değişkenlerin olası değerleri, karşılık gelen küçük harflerle belirtilir.

Kayıt
"rastgele bir değişken olma olasılığı" anlamına gelir. X 5'e eşit bir değer alır, 0.28'e eşittir.

örnek 1 ... Bir zar bir kez atılır. Bu durumda, puan sayısını gösteren 1'den 6'ya kadar sayılar görünebilir. Rastgele bir değişken belirtiyoruz X= (düşürülen puan sayısı). Test sonucunda bu rastgele değişken altı değerden sadece birini alabilir: 1, 2, 3, 4, 5 veya 6. Dolayısıyla rastgele değişken. X DSV var.

Örnek 2 ... Taş atarken belli bir mesafe uçar. Rastgele bir değişken belirtiyoruz X= (taşın uçuş mesafesi). Bu rastgele değişken, belirli bir aralıktan herhangi bir, ancak yalnızca bir değer alabilir. Bu nedenle, rastgele değişken X NSV var.

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası

Kesikli bir rastgele değişken, alabileceği değerler ve bu değerlerin kabul edildiği olasılıklar ile karakterize edilir. Kesikli bir rastgele değişkenin olası değerleri ile karşılık gelen olasılıklar arasındaki yazışmaya denir. ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası .

Tüm olası değerler biliniyorsa
rastgele değişken X ve olasılıklar
Bu değerlerin ortaya çıkması, daha sonra DSV'nin dağıtım yasasının olduğuna inanılmaktadır. X bilinir ve bir tablo olarak yazılabilir:

DSV'nin dağıtım yasası, noktalar dikdörtgen bir koordinat sisteminde çizilirse grafiksel olarak gösterilebilir.
,
, …,
ve bunları düz çizgi parçalarıyla birleştirin. Ortaya çıkan şekle dağıtım poligonu denir.

Örnek 3 ... Temizlenecek tahıl %10 yabancı ot içerir. 4 tane rastgele seçilir. Rastgele bir değişken belirtiyoruz X= (seçilen dört yabancı ot sayısı). DSV'nin dağıtım yasasını oluşturun X ve dağıtım poligonu.

Karar ... Örneğin durumuna göre. Sonra:

DSV X'in dağılım yasasını bir tablo şeklinde yazalım ve bir dağılım poligonu oluşturalım:

Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi

Kesikli bir rasgele değişkenin en önemli özellikleri, özellikleriyle tanımlanır. Bu özelliklerden biri beklenen değer rastgele değişken.

DSV'nin dağıtım yasasının bilinmesine izin verin X:

matematiksel beklenti DSV X karşılık gelen olasılıkla bu miktarın her bir değerinin ürünlerinin toplamıdır:
.

Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi, yaklaşık olarak tüm değerlerinin aritmetik ortalamasına eşittir. Bu nedenle, pratik problemlerde, bu rastgele değişkenin ortalama değeri genellikle matematiksel beklenti olarak alınır.

Misal 8 ... Atıcı, 0.1, 0.45, 0.3 ve 0.15 olasılıkla 4, 8, 9 ve 10 sayı atar. Atış başına puan sayısının matematiksel beklentisini bulun.

Karar ... Rastgele bir değişken belirtiyoruz X= (elenen puan sayısı). Sonra. Böylece, bir atışla nakavt edilen puan sayısının beklenen ortalama değeri 8.2 ve 10 atışla - 82'dir.

Ana özellikler matematiksel beklenti:

.

.

nerede
,
.

.

nerede X ve Y

fark
aranan sapma rastgele değişken X matematiksel beklentisinden kaynaklanmaktadır. Bu fark rastgele bir değişkendir ve matematiksel beklentisi sıfıra eşittir, yani.
.

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılımı

Rastgele bir değişkeni karakterize etmek için matematiksel beklentiye ek olarak, dağılım , rastgele bir değişkenin değerlerinin matematiksel beklentisiyle ilgili dağılımını (yayılımını) tahmin etmeyi mümkün kılar. Eşit matematiksel beklentilere sahip iki homojen rastgele değişkeni karşılaştırırken, “en iyi” değer, daha küçük bir yayılıma sahip olandır, yani. daha az varyans

Dağılım rastgele değişken X rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasının karesinin matematiksel beklentisidir:

Pratik problemlerde, varyansı hesaplamak için eşdeğer bir formül kullanılır.

Dispersiyonun ana özellikleri şunlardır:

.

.

nerede X ve Y- bağımsız rastgele değişkenler.

Dağılım, bir rasgele değişkenin matematiksel beklentisine göre yayılmasını karakterize eder ve formülden de görülebileceği gibi, rasgele değişkenin kendisinin birimlerine kıyasla kare birimlerle ölçülür. Bu nedenle, rastgele bir değişkenin yayılmasının ölçüm birimlerini, değerin ölçüm birimleriyle uzlaştırmak için tanıtıyoruz. standart sapma
.

Misal 9 ... DSV'nin varyansını ve standart sapmasını bulun X dağıtım kanunu tarafından verilen:

Karar ... DSV'nin Dağılımı X formülle hesaplanır

Belirli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini bulalım: Rastgele bir değişken için dağılım yasasını yazalım
:

,
.

Bilginin kendi kendini kontrol etmesi için sorular

Rastgele değişkene ne denir?

Hangi rastgele değişkene ayrık, hangisine sürekli denir?

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasasına ne denir?

Kesikli bir rasgele değişkenin matematiksel beklentisi nedir ve temel özellikleri nelerdir?

Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasına ne denir?

Ayrık bir rastgele değişkenin varyansı nedir ve temel özellikleri nelerdir?

Standart sapma neden girilir ve nasıl hesaplanır?

Kendi kendine çalışma ödevleri

Rastgele değişkenler.

Matematikte büyüklük Nesnelerin ve fenomenlerin çeşitli nicel özelliklerinin genel adıdır. Uzunluk, alan, sıcaklık, basınç vb. farklı niceliklere örnektir.

Farklı alan miktar adı verilen rastgele koşulların etkisi altındaki sayısal değerler rastgele değişken... Rastgele değişken örnekleri: 1) bir doktordan randevu bekleyen hasta sayısı, 2) insanların iç organlarının tam boyutu, vb.

Kesikli ve sürekli rasgele değişkenleri ayırt eder.

Rastgele bir değişkene ayrık denir yalnızca ayarlanabilen ve numaralandırılabilen belirli ayrıştırılmış değerleri kabul ederse.

Örnekleri:

1) sınıftaki öğrenci sayısı - sadece pozitif bir tam sayı olabilir:

0,1,2,3,4….. 20…..

2) zar atıldığında üst kenarda görünen sayı - sadece 1'den 6'ya kadar tam değerleri alabilir.

3) 10 atışla hedefi vurmanın göreceli sıklığı - değerleri:

0; 0,1; 0,2; 0,3 ….. 1

4) aynı zaman aralıklarında meydana gelen olayların sayısı: kalp atış hızı, saat başına ambulans çağrı sayısı, ölümcül sonuçları olan aylık operasyon sayısı, vb.

Rastgele bir değişkene sürekli denir eğer alabilirse hiç bazen keskin bir şekilde tanımlanmış sınırları olan belirli bir aralıktaki değerler ve eğer bilinmiyorlarsa, X rasgele değişkeninin değerlerinin aralıkta (- ¥; ¥) olduğunu düşünüyoruz .. Sürekli rasgele değişkenler örneğin sıcaklık, basınç, ağırlık ve insanların boyu, kanın şekillendirilmiş elementlerinin boyutu, kanın pH'ı vb.

Rastgele değişken kavramı, rastgele olaylardan rastgele değişkenlere geçiş için özel teknikler geliştiren modern olasılık teorisinde belirleyici bir rol oynamaktadır.

Rastgele bir değişken zamana bağlıysa, rastgele bir süreçten bahsedebiliriz.

3.1. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası

Kesikli bir rastgele değişkenin tam bir tanımını vermek için, tüm olası değerlerini ve olasılıklarını belirtmek gerekir.

Kesikli bir rastgele değişkenin olası değerleri ile olasılıkları arasındaki yazışmaya denir. bu miktarın dağıtım yasası.

X rastgele değişkeninin olası değerlerini xi ile ve karşılık gelen olasılıkları pi * ile belirtiriz. Daha sonra kesikli bir rastgele değişkenin dağılım yasası üç şekilde belirlenebilir: bir tablo, grafik veya formül şeklinde.

1. Masada, denir yakın dağıtım, ayrık bir rastgele değişken X'in tüm olası değerlerini listeler ve bu olasılık P (X) değerlerine karşılık gelir:

Tablo 3.1.

X

Bu durumda, tüm olasılıkların toplamı рi bire eşit olmalıdır ( normalleştirme koşulu):

рi = p1 + p2 + ... + pn =

2. grafiksel olarak- genellikle denilen kesikli bir çizgi şeklinde dağıtım poligonu(Şekil 3.1). Burada, Xi rastgele değişkeninin tüm olası değerleri yatay eksen boyunca çizilir ve bunlara karşılık gelen pi olasılıkları dikey eksen boyunca çizilir.

3. analitik olarak- formül şeklinde: Örneğin, bir hedefi tek atışla vurma olasılığı R, daha sonra tek atışla ıskalama olasılığı q = 1 - p, a. hedefi 1 kez vurma olasılığı nçekimler şu formülle verilir: P (n) = qn-1 × p,

3.2. Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım yasası. Olasılık dağılımının yoğunluğu.

Sürekli rasgele değişkenler için, dağılım yasasını yukarıda verilen formlarda uygulamak imkansızdır, çünkü sürekli bir değişken, belirli bir aralığı tamamen dolduran sonsuz ("sayılamayan") olası değerler kümesine sahiptir. Bu nedenle, olası tüm değerlerinin listelendiği bir tablo derlemek veya bir dağıtım poligonu oluşturmak imkansızdır. Ayrıca, belirli bir değerin olasılığı çok küçüktür (0'a yakın). Aynı zamanda, sürekli bir rastgele değişkenin olası değerlerinin farklı alanları (aralıkları) genellikle eşit derecede olası değildir. Dolayısıyla burada da eski anlamda olmasa da belirli bir dağıtım yasası vardır.

Olası değerleri belirli bir aralığı (a, b) * tamamen dolduran sürekli bir rastgele değişken X düşünün. Yasa olasılık dağılımları böyle bir değer, değerinin (a, b *) içinde yer alan herhangi bir (x1, x2) aralığına düşme olasılığını bulmayı sağlamalıdır (Şekil 3.2.)

Bu olasılık P (x1<Х< х2), или Р(х1 £ Х £ х2).

Önce düşünün çok küçük aralık x ile (x + Dx) arasındaki değerler (bkz. Şekil 3.2.) Rastgele değişken X'in bu küçük aralıktan (x, x + Dx) bir miktar değer alacağı küçük olasılık dP, bu aralığın değeri ile orantılı olacaktır. Dx: dР ~ Dх veya kendisi x'e bağlı olabilen f orantılılık katsayısını getirerek, şunu elde ederiz:

dP = f (x) × Dx. (3.2)

Burada tanıttığımız fonksiyon f(x) aranan olasılık dağılımının yoğunluğu rastgele değişken X veya kısaca olasılık yoğunluğu (dağılım yoğunluğu). Denklem (3.2) bir diferansiyel denklem olarak kabul edilebilir ve ardından çarpma olasılığı gerçekleştirilmiştir. (x1, x2) aralığındaki X sıraları şuna eşittir:

P (x1< Х < х2) = f(x) dx. (3.3)

Grafiksel olarak, bu olasılık P (x1< Х < х2) равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, кривой f(x) ve belirli integralin (3.3) geometrik anlamından çıkan düz çizgiler X = x1 ve X = x2 (bkz. Şekil 3.3). eğri f(x) buna denir dağıtım eğrisi.

(3.3)'den görülebilir ki, eğer fonksiyon f(x), daha sonra integrasyon sınırlarını değiştirerek, herhangi bir ilgi aralığı için olasılık bulunabilir. Bu nedenle, fonksiyon ataması f(x) sürekli rasgele değişkenler X için dağılım yasasını tamamen belirler.

Olasılık dağılımının yoğunluğu için f(x) sağlanmalıdır normalleştirme koşulu gibi:

f(x)dx = 1, (3.4)

X'in tüm değerlerinin (a, b) aralığında veya şu şekilde olduğu biliniyorsa:

f (x) dx = 1, (3.5)

X değerleri için aralığın sınırları tam olarak bilinmiyorsa. Olasılık yoğunluğu (3.4) veya (3.5) için normalizasyon koşulları, rastgele değişken X'in değerlerinin bir sonucudur. özgün olarak(a, b) veya (- ¥, + ¥) içinde yer alır. (3.4) ve (3.5)'ten şu sonuç çıkar: dağılım eğrisi ve apsis tarafından sınırlanan şeklin alanı her zaman 1'dir.

Bölüm 3.1 ve 3.2'de sunulan sonuçlar, kesikli veya sürekli rastgele değişkenlerin tam karakterizasyonunun dağılım yasaları tarafından verildiğini göstermektedir.

Bununla birlikte, pratik olarak önemli birçok durumda, sözde kullanırlar. sayısal özellikler Temel amacı, dağılımlarının en temel özelliklerini kısa ve öz bir biçimde ifade etmek olan rastgele değişkenler. Bu parametrelerin temsil edilmesi önemlidir. belirli (sabit) değerler deneylerde elde edilen veriler kullanılarak tahmin edilebilir. Sözde "Tanımlayıcı İstatistikler" bu değerlendirmelerle ilgilenir.

Olasılık teorisinde ve matematiksel istatistikte birçok farklı özellik kullanılır, burada en sık kullanılanları ele alıyoruz. Sadece bazıları için değerlerinin hesaplandığı formüller vardır, diğer durumlarda hesaplamaları bilgisayara bırakacağız.

3.3.1 Konum özellikleri: matematiksel beklenti, moda, medyan.

Rastgele değişkenin sayısal eksendeki konumunu karakterize eden, yani kalan değerlerin dağılımını karakterize eden bazı önemli değerlerini gösteren onlardır. Bunlar arasında en önemli rol matematiksel beklenti M(X) tarafından oynanır.

fakat). Matematiksel beklenti M (X) rastgele değişken X, aritmetik ortalamasının olasılıksal bir analogudur.

Ayrık bir rastgele değişken için aşağıdaki formülle hesaplanır:

М (Х) = х1р1 + х2р2 + ... + хnрn = =, (3.6)

ve sürekli bir rasgele değişken durumunda M(X) aşağıdaki formüllerle belirlenir:

M (X) = veya M (X) = (3.7)

burada f (x) olasılık yoğunluğudur, dP = f (x) dx, küçük bir Dx (dx) aralığı için bir olasılık öğesidir (pi'nin analogu).

Misal.(a, b) segmentinde düzgün dağılıma sahip sürekli bir rastgele değişkenin ortalama değerini hesaplayın.

Karar: Düzgün bir dağılımla, (a, b) aralığındaki olasılık yoğunluğu sabittir, yani f (x) = fo = const ve dış (a, b) sıfıra eşittir ve normalizasyon koşulundan (4.3) f0 değerini buluruz:

F0 = f0 × x | = (b-a) f0, nereden

M(X) = | = = (a + b).

Böylece, matematiksel beklenti M (X) , (a, b) aralığının ortasına denk gelir, yani = M (X) ='yi belirler.

B). Ayrık bir rastgele değişkenin Modu Mo (X) onu ara büyük olasılıkla değer(Şekil 3.4, a) ve sürekli- değer X hangi yoğunluk olasılıklar maksimum(Şekil 3.4, b).

içinde). Pozisyonun bir diğer özelliği - medyan (Ben mi) rastgele bir değişkenin dağılımı.

Medyan Kürk) rastgele bir değişkene böyle bir değer denir X, tüm dağılımı iki eşit olası parçaya böler. Başka bir deyişle, rastgele bir değişken için eşit olarak muhtemelen değerleri almak daha az Ben (X) veya daha fazla Ben (X): P (X< Ме) = Р(Х >Ben) =.

Bu nedenle, medyan denklemden hesaplanabilir:

(3.8)

Grafiksel olarak, medyan, ordinatı bölen rastgele bir değişkenin değeridir. alan, dağılım eğrisi ile sınırlandırılmış, yarı yarıya (S1 = S2) (Şekil 3.4, c). Bu özellik genellikle kullanılır sadece sürekli rastgele değişkenler için, ancak resmi olarak ayrık X için de tanımlanabilir.

M (X), Mo (X) ve Me (X) çakışırsa, rastgele değişkenin dağılımına denir. simetrik, aksi takdirde - asimetrik.

saçılma özellikleri- varyans ve standart sapma (standart sapma).

DağılımD (X) rasgele değişken X şu şekilde tanımlanır rastgele X'in matematiksel beklentisinden M (X) sapmasının karesinin matematiksel beklentisi:

D (X) = M2, (3.9)

veya D (X) = M (X2) - a)

Bu nedenle ayrık rastgele bir değişkenin dağılımı aşağıdaki formüllerle hesaplanır:

D (X) = [xi - M (X)] 2 pi veya D (X) = xi2 pi -

ve (a, b) aralığında dağıtılan sürekli bir miktar için:

a aralığı için (-∞, ∞):

D (X) = 2 f (x) dx veya D (X) = x2 f (x) dx -

Dağılım, ortalama dağılımı, matematiksel beklentisine göre rastgele değişken X'in değerlerinin dağılımını karakterize eder. "Dağılma" kelimesinin kendisi "saçılma" anlamına gelir.

Ancak D (X) varyansı, fiziksel, biyolojik, tıbbi ve diğer uygulamalarda yayılmayı değerlendirirken çok uygun olmayan bir rastgele değişkenin karesinin boyutuna sahiptir. Bu nedenle, genellikle boyutu X'in boyutuyla çakışan başka bir parametre kullanılır. Bu Kök kare ortalama sapma gösterilen rastgele değişken X s(X):

s(X) = (3.13)

Yani matematiksel beklenti, mod, medyan, varyans ve standart sapma en çok kullanılanlar Her biri gösterildiği gibi bu dağılımın bazı karakteristik özelliklerini ifade eden rastgele değişken dağılımlarının sayısal özellikleri.

3.4. Rastgele değişkenlerin normal dağılımı

Normal dağılım yasası(Gauss yasası) olasılık teorisinde son derece önemli bir rol oynar. Birincisi, uygulamada en sık karşılaşılan sürekli rastgele değişkenlerin dağılımı yasasıdır. İkincisi, bu nihai hukuk, belirli koşullar altında diğer dağıtım yasalarının ona yaklaşması anlamında.

normal yasa dağılım, olasılık yoğunluğu için aşağıdaki formülle karakterize edilir:

, (3.13)

Burada x, rastgele değişken X ve M (X)'in mevcut değerleridir ve s- f (x) fonksiyonunu tamamen belirleyen matematiksel beklentisi ve standart sapması. Bu nedenle, eğer bir rastgele değişken normal yasaya göre dağıtılıyorsa, o zaman sadece iki sayısal parametreyi bilmek yeterlidir: M (X) ve sdağılım yasasını tam olarak bilmek (Madde 3.13).(3.13) fonksiyonunun grafiği denir. normal eğri dağıtım(Gauss eğrisi). x = M (X) ordinatına göre simetrik bir forma sahiptir. Maksimum olasılık yoğunluğu "matematiksel beklentiye karşılık gelir" X = M (X) ve ondan uzaklaştıkça olasılık yoğunluğu f (x) simetrik olarak azalır, yavaş yavaş sıfıra yaklaşır (Şekil M (X) değerindeki değişiklik) (3.13)'teki normal eğrinin şeklini değiştirmez, sadece apsis ekseni boyunca kaymasına neden olur. M (X) miktarına saçılma merkezi ve standart sapma da denir. s dağılım eğrisinin genişliğini karakterize eder (bkz. Şekil 3.6).

artan s eğrinin maksimum ordinatı azalır ve eğrinin kendisi daha düz hale gelir, apsis boyunca uzanır, azalırken s eğri, yanlardan daralırken yukarı doğru uzanır (Şekil 6).

Doğal olarak, herhangi bir M (X) ve s değeri için, normal eğri ve X ekseni ile sınırlanan alan 1'e eşit kalır (normalleştirme koşulu):

f (x) dx = 1 veya f (x) dx =

Normal dağılım simetriktir, dolayısıyla M (X) = Mo (X) = Me (X) olur.

Rastgele değişken X'in değerlerinin (x1, x2), yani Р (x1) aralığına düşme olasılığı< Х< x2) равна

P (x1< Х < x2) = . (3.15)

Pratikte, M (X)'e göre simetrik bir aralığa düşen normal olarak dağılmış bir rastgele değişkenin değerlerinin olasılığını bulma problemiyle sıklıkla karşılaşılır. Özellikle, uygulamalar için önemli olan aşağıdaki sorunu ele alacağız. M (X)'ten sağa ve sola s, 2s ve 3s'ye eşit parçaları ayıralım (Şekil 7) ve X'i karşılık gelen aralıklara alma olasılığını hesaplamanın sonucunu düşünelim:

P (M (X) - s < Х < М(Х) + s) = 0,6827 = 68,27%. (3.16)

P (M (X) - 2sn< Х < М(Х) + 2s) = 0,9545 = 95,45 %. (3.17)

P (M (X) - 3s< Х < М(Х) + 3s) = 0,9973 = 99,73 %. (3.18)

(3.18)'den, M (X) ve olasılıklı P =% 99.73 olan s parametreleriyle normal olarak dağıtılmış bir rastgele değişken X'in değerlerinin, M (X) ± 3s aralığında, aksi takdirde pratik olarak tüm olası değerlerde olduğu izler. bu rastgele büyüklüklerin Rastgele bir değişkenin olası değerlerinin aralığını tahmin etmenin bu yolu, Üç Sigma Kuralı olarak bilinir.

Misal.İnsanlar için kan pH'ının, ortalama değeri (matematiksel beklenti) 7,4 ve standart sapması 0,2 olan normal dağılımlı bir değer olduğu bilinmektedir. Bu parametre için olası değer aralığını belirleyin.

Karar: Bu soruyu cevaplamak için Üç Sigma Kuralını kullanalım. % 99.73'e eşit bir olasılıkla, insanlar için pH değerleri aralığının 7.4 ± 3 · 0.2, yani 6.8 ÷ 8. olduğu söylenebilir.

* Aralığın sınırlarının kesin değerleri bilinmiyorsa, aralık (- ¥, + ¥) dikkate alınır.