Tüm stres vektörleri aynı düzleme paralel ise, stres durumuna düz denir (Şekil 1). Aksi takdirde: üç ana gerilimden biri sıfır ise gerilim durumu düzdür.

Resim 1.

Bir düzlem stres durumu, konturu boyunca kuvvetler tarafından yüklenen bir plakada gerçekleştirilir ve bunların sonuçları, medyan düzleminde bulunur (ortanca düzlem, plakanın kalınlığının yarısını oluşturan bir düzlemdir).

Şekildeki stres yönleri. 1 pozitif olarak alınır. α açısı, x ekseninden y eksenine çizilirse pozitiftir. Normal n'ye sahip bir sitede:

Normal stres σ n, çekme ise pozitiftir. Şekilde pozitif bir voltaj gösterilmektedir. 1. Formül (1)'e göre işaret kuralı, formül (1)'e göre gerilmelerle aynıdır.

Burada verilen işaret kuralı rampalar için geçerlidir. Makale "Hacimsel stres durumu" bir noktadaki gerilim bileşenleri için bir işaret kuralı formüle edilir, yani koordinat eksenlerine dik alanlardaki gerilimler için. Bu işaret kuralı, esneklik teorisinde kabul edilir.

Gerilme düzlemine dik olan bölgelerdeki ana gerilmeler:

(Burada sadece iki asal gerilim dikkate alındığından, σ 1 ve σ 2 ile gösterilirler, ancak σ 2 olduğu ortaya çıkabilir.<0, т. е. σ 2 не будет средним из трех главных напряжений). Угол α 1 составляемый нормалью к первой главной площадке с осью х, находится из равенства:

Bu gerilimler, birinci ve ikinci ana sitelere 45 ° açıyla yerleştirilmiş siteler üzerinde etkilidir.

Asal gerilmeler σ 1 ve σ 2 aynı işarete sahipse, en büyük kayma gerilmesi, gerilme düzlemine (xy düzlemi) 45°'lik bir açıda bulunan bir alana etki eder. Bu durumda:

Kiriş ağında (burada kiriş ağını değil, sıradan bir kirişi kastediyoruz), kuvvetler tarafından büküldüğünde, özel bir düzlem stres durumu durumu gerçekleşir. Kiriş ağlarında, normal gerilmelerden biri σ y sıfıra eşittir. Bu durumda, bu formüllere σ y = 0 koyarsak, gerilmeler (1), (2) ve (4) formülleriyle elde edilir. İlk ana sitenin konumu formül (3) ile belirlenir.

İKİ YÖNDE UZATIN(Şekil 2).

Örneğin, düzlemde gerçekleştirilen uygulamalar için önemli olan bir düzlem stres durumu durumunu ele alalım. Öz. Bu durumda stres tensörü şu şekildedir:

Şekil 1'de geometrik bir çizim gösterilmektedir. Aynı zamanda siteler x = const, karşılık gelen sıfır ana gerilime sahip ana değerlerdir. Gerilme tensörü değişmezleri eşittir ve karakteristik denklem şu şekli alır:

Bu denklemin kökleri

Kökler durum için numaralandırılmıştır

1.İlk düz stres durumu.

incir. 2. Ana gerilmelerin konumu

İsteğe bağlı bir alan, Şekil 1'de bir açı ile karakterize edilir. 1 ve vektör P bileşenleri vardır:,, nx = 0. Eğimli bir platform üzerindeki normal ve kesme gerilmeleri açı ile aşağıdaki gibi ifade edilir:

(4) denkleminin en küçük pozitif kökü ile gösterilir. tg'den beri ( x) Periyodu olan bir periyodik fonksiyon ise, açıları oluşturan karşılıklı olarak dik iki yönümüz olur ve aks ile kuruluş birimi. Bu yönler karşılıklı olarak dik ana alanlara karşılık gelir (Şekil 2).

(2) ilişkisini türevi sıfıra göre türevlendirir ve sıfıra eşitlersek, o zaman asal gerilmelerin aşırılığını kanıtlayan denklem (4)'e ulaşırız.

Aşırı kayma gerilmesi olan alanların yönelimini bulmak için, ifadenin türevini sıfıra eşitleriz.

nereden alıyoruz

(4) ve (5) bağıntılarını karşılaştırarak, şunu buluruz:

Bu eşitlik, açılar ve bir açıya göre farklılık gösteriyorsa mümkündür. Sonuç olarak, aşırı kayma gerilmeleri olan sahaların yönleri, ana sahaların yönlerinden bir açıyla farklılık gösterir (Şekil 3).

Şekil 3. Ekstremite kayma gerilmeleri

Aşırı kayma gerilmelerinin değerleri, formüller kullanılarak (3) ilişkisine (5) yerleştirildikten sonra elde edilir.

.

Bazı dönüşümlerden sonra,

Bu ifadeyi asal gerilmelerin (2.21) daha önce elde edilen değerleriyle karşılaştırarak, aşırı kayma gerilmelerini asal gerilmeler cinsinden ifade ederiz.

(2)'deki benzer bir ikame,

Elde edilen oranlar, düzlem gerilme durumu durumunda yapıların yön yönelimli dayanım analizinin yapılmasını mümkün kılar.

GERİLİM TENSÖRÜ

İlk önce düzlem deformasyon durumunu ele alalım (Şekil 4). Düz eleman olsun MNPQ düzlem içinde hareket eder ve deforme olur (şekil ve boyut değiştirir). Elemanın deformasyon öncesi ve sonrası noktalarının koordinatları şekilde işaretlenmiştir.

4. Düzlem deformasyonu.

Tanım olarak, noktadaki bağıl doğrusal deformasyon m eksen yönünde Ey eşittir

Şek. 4 takip

Hesaba katıldığında MN = dx, almak

Küçük deformasyonlar söz konusu olduğunda, , , ikinci dereceden terimler ihmal edilebilir. Yaklaşık oranı dikkate alarak

için adil x<<1, окончательно для малой деформации получим

Açısal gerinim, açıların toplamı ve (4) olarak tanımlanır. Küçük deformasyonlar durumunda

Açısal deformasyon için,

Genel üç boyutlu deformasyon durumunda benzer hesaplamalar yaparak, dokuz ilişkimiz var.

Bu tensör, bir katının deforme olmuş durumunu tamamen belirler. Gerilme tensörü ile aynı özelliklere sahiptir. Simetri özelliği, doğrudan açısal deformasyonların tanımından gelir. Ana değerler ve ana yönler ile açısal deformasyonların aşırı değerleri ve karşılık gelen yönler, stres tensörü ile aynı yöntemlerle bulunur.

Deformasyon tensörünün değişmezleri benzer formüllerle belirlenir ve küçük deformasyonların tensörünün ilk değişmezinin açık bir fiziksel anlamı vardır. Deformasyondan önce hacmi dV 0 = dxdydz. Hacmi değil şekli değiştiren kesme deformasyonlarını ihmal edersek, deformasyondan sonra nervürlerin boyutları olacaktır.

(Şekil 4) ve hacmi eşit olacaktır

Göreceli hacim değişikliği

küçük deformasyonlar içinde olacak

hangi birinci değişmez tanımı ile örtüşmektedir. Hacimdeki değişimin, koordinat sisteminin seçimine bağlı olmayan fiziksel bir nicelik olduğu açıktır.

Gerilim tensörü gibi, gerinim tensörü de küresel bir tensör ve bir saptırıcıya ayrılabilir. Bu durumda, saptırıcının ilk değişmezi sıfıra eşittir, yani. saptırıcı, hacmini değiştirmeden vücudun deformasyonunu karakterize eder.

ders 15

Tüm noktaları düzlem stres durumunda olan bir yapıya örnek, düzleminde bulunan kuvvetler tarafından uçlarında yüklenen ince bir levhadır. Plakanın yan yüzeyleri gerilmesiz olduğundan, kalınlığının küçük olması nedeniyle, plakanın yüzeyine paralel alanlarda gerilmelerin ihmal edilebilir olduğu varsayılabilir. Benzer bir durum, örneğin, ince duvarlı bir profilin millerini ve kirişlerini yüklerken ortaya çıkar.

Genel durumda, bir düzlem stres durumundan bahsederken, tüm yapıyı değil, sadece incelenen elemanının noktasını kastediyoruz. Belirli bir noktada stres durumunun düz olduğunun bir işareti, içinden geçen ve üzerinde hiçbir gerilme olmayan bir platformun varlığıdır. Bu tür noktalar, özellikle, çoğu durumda tehlikeli olan, vücudun dış yüzeyindeki yüklerden arınmış noktalar olacaktır. Bu nedenle, bu tür stres durumunun analizine gösterilen dikkat anlaşılabilir.

Düzlem stresli bir durumda bir temel paralel boruyu tasvir ederken, yüksüz yüzlerinden birini çizim düzlemi ile hizalayarak göstermek yeterlidir (Şekil 15.1) Daha sonra elemanın yüklü yüzleri gösterilen sınırları ile hizalanacaktır. alan. Bu durumda, stresler için notasyon sistemi ve işaret kuralları aynı kalır - şekilde gösterilen stres durumunun bileşenleri pozitiftir. Teğet gerilmelerin eşleşme yasasını dikkate alarak

T xy = T yx, düzlem stres durumu (PLS) üç bağımsız bileşenle tanımlanır - s x, s y, T xy. ...

DÜZ GERİLİM DURUMUNDA EĞİMLİ SİTELERDEKİ GERİLİMLER

Şekil l'de gösterilen elemandan seçim yapalım. 15.1, üçgen prizma, zihinsel olarak çizim düzlemine dik eğik bir bölümle kesiyor xOy... Rampanın konumu ve ilgili eksenler x 1 , y 1, eksenler saat yönünün tersine döndürüldüğünde pozitif kabul edilecek olan a açısı kullanılarak ayarlanır.

Yukarıda açıklanan genel duruma gelince, Şekil 2'de gösterilmiştir. 15.2, gerilimlerin bir noktada, ancak farklı yönlendirilmiş sitelerde etkili olduğu düşünülebilir. Eğimli platform üzerindeki gerilmeleri, verilen gerilmeler cinsinden ifade ederek, prizmanın denge durumundan buluyoruz. x, s y, T xy koordinat düzlemleriyle çakışan yüzlerde. Eğimli yüzün alanını belirtiyoruz dA, sonra koordinat yüzlerinin alanları şu şekilde bulunur:

dA x = dAçünkü bir ,

dA y = dA günah a .

Eksen üzerindeki prizmanın kenarlarına etki eden kuvvetleri tasarlayın x 1 ve y 1:

Ortak bir faktörle azaltarak dA, ve temel dönüşümleri gerçekleştirerek elde ederiz

Hesaba katıldığında

(15.1) ifadelerine aşağıdaki son form verilebilir:

İncirde. 15.3 Orijinalle birlikte, eksenler boyunca yönlendirilmiş sonsuz küçük bir eleman gösterilmektedir. x 1 , y bir . Eksene dik yüzlerindeki gerilmeler x 1, formüller (15.2) ile belirlenir. Eksene dik bir yüzdeki normal gerilmeyi bulmak için y 1, a açısı yerine a + 90 ° değerini değiştirmek gerekir:

Kayma gerilmeleri ve döndürülmüş bir koordinat sisteminde x 1 y 1 eşleştirme yasasına uyun, yani.

Toplu gerilim durumunun analizinden bilindiği gibi normal gerilimlerin toplamı, değişmezlerinden biridir ve bir koordinat sistemi diğeriyle değiştirilirken sabit kalmalıdır. Bunu, formüller (15.2), (15.3) ile belirlenen normal gerilmeleri ekleyerek doğrulamak kolaydır:

ANA GERİLİMLER

Daha önce, kayma gerilmesi olmayan sahalara ana sahalar ve bunlar üzerindeki gerilmelere ana gerilmeler denildiğini belirledik. Düzlem stresli durumda, ana bölgelerden birinin konumu önceden bilinir - bu, üzerinde gerilim olmayan bir bölgedir, yani. çizim düzlemi ile hizalanmış (bkz. Şekil 15.1). Buna dik olan ana siteleri bulalım. Bunu yapmak için, (15.1)'deki teğetsel gerilimin sıfıra eşit olmasına izin verin, buradan şunu elde ederiz:

0 açısı, ana siteye normalin yönünü gösterir veya ana yönöyle denir ana köşe. Bir çift açının tanjantı, periyodu p / 2 olan periyodik bir fonksiyon olduğundan, açı

a 0 + p / 2 de ana açıdır. Böylece, hepsi birbirine dik olan toplam üç ana site vardır. Tek istisna, üç ana sitenin olmadığı, ancak sonsuz bir kümenin olduğu durumdur - örneğin, seçilen herhangi bir yönün ana yön olduğu ve streslerin noktadan geçen tüm sitelerde aynı olduğu, çok yönlü sıkıştırma ile .

Temel gerilimleri bulmak için, a açısı yerine art arda a 0 ve a değerlerini değiştirerek formüllerin ilkini (15.2) kullanabilirsiniz.

Burada dikkate alınır

Bilinen eşitliği kullanırsak, trigonometrik fonksiyonlar ifadelerden (15.5) hariç tutulabilir.

Ayrıca (15.4) formülünü de dikkate alın. sonra alırız

Formüldeki artı işareti ana gerilimlerden birine, eksi işareti ise diğerine karşılık gelir. Bunları hesapladıktan sonra, s 1'in cebirsel olarak en büyük olduğunu ve s 3'ün cebirsel olarak en küçük stres olduğunu hesaba katarak, s 1, s 2, s 3 ana gerilimleri için kabul edilen tanımlamaları kullanabilirsiniz. Başka bir deyişle, (15.6) ifadelerinde bulunan her iki asal gerilme pozitif çıkarsa, şunu elde ederiz:

Her iki voltaj da negatifse,

Son olarak, (15.6) ifadesi farklı işaretlerle gerilme değerleri verirse, ana gerilmeler eşit olacaktır.

NORMAL VE İLGİLİ GERİLİMLERİN EN BÜYÜK DEĞERLERİ

Eksenleri zihinsel olarak döndürürseniz x 1 y 1 ve bunlarla ilişkili eleman (bkz. Şekil 15.3), yüzlerindeki gerilmeler değişecek ve belirli bir a açısı değerinde normal gerilme maksimuma ulaşacaktır. Birbirine dik alanlardaki normal gerilmelerin toplamı sabit kaldığından, gerilme şu anda en küçük olacaktır.

Pedlerin bu konumunu bulmak için, a argümanının bir fonksiyonu olarak ele alarak ekstremum ifadesini incelemeniz gerekir:

Parantez içindeki ifadeyi (15.2) ile karşılaştırarak, gerekli alanlarda kesme gerilmelerinin sıfıra eşit olduğu sonucuna varıyoruz. Bu nedenle, normal gerilmelerin aşırı değerlere ulaştığı ana sitelerdir.

En büyük kayma gerilimini bulmak için, eksenleri hizalayarak ana pedleri ilk olanlar olarak alıyoruz. x ve y ana yönlerle. A açısının şimdi s 1 yönünden ölçüleceği formüller (15.1) şöyle görünecektir:

Son ifadeden, kayma gerilmelerinin, ana olanlara 45 ° döndürülen sitelerde en yüksek değerlere ulaştığı,

günah 2a = ± 1. Bu durumda, maksimum değerleri

Formül (15.8) şu durumda da geçerlidir:

DÜZLEM STRES DURUMUNUN GRAFİK TEMSİLİ. MORA ÇEVRELERİ

Ana eksene göre belirli bir α açısı ile döndürülen sahadaki gerilmeleri belirleyen formüller (15.7) net bir geometrik yoruma sahiptir. Kesinlik için her iki ana stresin de pozitif olduğunu varsayarak, aşağıdaki gösterimi sunuyoruz:

Daha sonra ifadeler (15.7), σ ve τ koordinatlarında dairenin parametrik denkleminin oldukça tanınabilir biçimini alır:

Tanımlardaki "α" indeksi, gerilmelerin sitede olduğunu, bu açıda orijinaline döndürüldüğünü vurgular. Büyüklük a dairenin merkezinin σ ekseni üzerindeki konumunu belirler; dairenin yarıçapı r... Şek. 15.5 Dairesel stres diyagramı, onu öneren ünlü Alman bilim adamı Otto Mohr'dan (1835 - 1918) sonra geleneksel olarak Mohr dairesi olarak adlandırılır. Dikey eksenin yönü, işaret dikkate alınarak seçilir. τ α (15.10). α açısının her değeri temsili bir noktaya karşılık gelir K (σ α, τ α ) koordinatları döndürülen platformdaki gerilmelere eşit olan bir daire üzerinde. Puan K ve K'Çapın zıt uçlarında uzanıyor.

Burada dikkate alınır

(15.2) ve (15.7) formülleri, açı 90 0 değiştiğinde, eksenlerden birinin orijinal eksenle aynı doğrultuda ve diğerinin zıt olduğu döndürülmüş koordinat sistemindeki kayma gerilmesinin işaretini verir. yönde (Şekil 15.5)

Ana siteler ilk siteler gibi davranıyorsa, yani. σ 1 ve σ 2 değerleri biliniyor, Mohr dairesi 1 ve 2 noktalarından kolayca oluşturulabilir. Dairenin merkezinden daire ile kesişme noktasında yatay eksene 2a açısıyla çizilen bir ışın, koordinatları döndürülmüş platformda aranan gerilmelere eşit olan temsili bir nokta verin. Bununla birlikte, bir ışını ondan bir açıyla yönlendiren bir dairenin direğini kullanmak daha uygundur. Dairenin yarıçapı ve çapı arasındaki açık ilişkiden, çizimde harfle gösterilen kutup A, bu durumda nokta 2 ile çakışacaktır. Genel olarak, kutup orijinal alanlara normallerin kesişme noktasındadır. Orijinal siteler ana siteler değilse, Mohr dairesi şu şekilde oluşturulur: temsil eden noktalar σ - t düzleminde çizilir. K (σ x, T xy) ve K’(σ y, -T xy) dikey ve yatay kaynak pedlerine karşılık gelir. Düz bir çizginin noktalarını σ ekseni ile kesişme noktasında birleştirerek, dairenin merkezini buluruz, bundan sonra pasta grafiğin kendisi oluşturulur. Dairenin yatay eksenle kesişimi, asal gerilmelerin değerini verecek ve yarıçap, en büyük kesme gerilmesine eşit olacaktır. İncirde. 15.7, asıl siteler olmayan orijinal siteler üzerine inşa edilmiş Mohr dairesini gösterir. Kutup A orijinal pedlere normallerin kesişme noktasında KA ve K’A... Işın AM kutuptan yatay eksene bir açıyla çizilen daire ile kesişme noktasında temsil eden noktayı verecektir. m(σ a, t a), koordinatları bizi ilgilendiren bölgedeki streslerdir. Kutuptan 1 ve 2 noktalarına çizilen ışınlar, asal açıları a 0 ve 0 +90 0 gösterecektir. Bu nedenle, Mohr daireleri, düzlem gerilme analizi için uygun bir grafiksel araçtır.

b) 45 0 döndürülen elemanın kenarındaki gerilimi (15.1) ile buluruz.

Dikey bir sitede normal stres

(a = 45 0 +90 0) eşit olacaktır

c) En büyük kesme gerilmeleri (15.8) ile bulunur.

2. Grafik çözüm.

Mohr çemberini temsili noktalardan oluşturun K(160.40) ve K’ (60, -40)

Daire kutup A normallerin orijinal alanlara olan kesişiminde bulun.

Daire yatay ekseni 1 ve 2 noktalarında geçecektir. Nokta 1, ana gerilim σ 1 = 174 MPa'ya, nokta 2 - ana gerilim σ 2 = 46 MPa değerine karşılık gelir. Bir direkten çekilen bir kiriş A 1 ve 2 noktalarından geçerek, ana açıların değerini gösterecektir. Orijinale 45 0 döndürülen sitedeki gerilmeler, temsil eden noktanın koordinatlarına eşittir. m Kutuptan çekilen ışın ile çemberin kesiştiği yerde bulunur A 45 0'lık bir açıyla. Gördüğünüz gibi, stres durumu analizi probleminin grafiksel çözümü analitik olanla örtüşüyor.

Noktanın yakınındaki cisimden, tabanında normal ve teğetsel gerilmelerin sıfıra eşit olduğu, sonsuz küçük bir üçgen prizma seçelim.

Normal gerilmeler sahadan uzağa yönlendiriliyorsa, herhangi bir σ> 0 için işaret kuralı; t> 0, çizim düzlemini saat yönünde döndürme eğilimindeyse; a> 0, eğer bc yüzünün ac yüzü ile hizalanması için saat yönünün tersine dar bir açıyla döndürülmesi gerekiyorsa.

Prizmanın her yüzüne uygulanan bileşke kuvveti bulalım. Bunu yapmak için, karşılık gelen gerilimleri yüz alanıyla çarpın.

Bu bileşke kuvvetler, eşit etki için tüm koşulları sağlamalıdır. U ve V eksenlerini çizelim ve altı denge koşulu uygulayalım.

åU = 0 Ta + Fy cos a - Tx sin a - Fx sin a - Ty cos a

Ta + cos a (Fy - Ty) - günah a (Tx + Fx) (1)

åV = 0 Fa - Fx cos a + Ty sin a - Fx cos a - Fy sin a

Fa -Fx + Tx cos a + (Ty - Fy sin a) = 0 (2)

å ekseni üzerindeki bir nokta etrafındaki momentlerin toplamı m 0 = 0

å m 0 = 0 Tx dy / 2 + Ty dx / 2 = 0 (3)

Tx ve Ty değerlerini değiştirin ve her iki parçayı da dx / 2 dy dz'ye bölün

t x dx / 2 dy dz + t y dx / 2 dy dz = 0

Birbirine dik iki alandaki teğetsel gerilmeler büyüklük olarak eşittir ve işaret olarak zıttır. Bağımlılık (4), teğet gerilimlerin eşleşme yasası olarak adlandırılır. (4)'ten, kesme gerilmelerinin ya dik açının tepe noktasına doğru ya da ondan uzağa yönlendirildiği sonucu çıkar.

(1) ve (2)'yi bağımlı olarak değiştirirsek ve ty'yi - th ile değiştirirsek ve ayrıca dx / ds = sin a ve dy / ds = cos a olduğunu da hesaba katarsak, dönüşümlerden sonra değerlerini elde ederiz. a açısında σ x ve σ y ile siteye göre döndürülen sitedeki normal ve teğetsel gerilmeler.

σ a = σ x cos 2 a + σ y sin 2 a + tx sin2a (5)

t y = ((σ x σ y) / 2) sin2a - tx cos2a (6)

Formül (5) a ve a ¹ 90 ° değerine değiştirilirse, o zaman şunu elde ederiz:

σ a + σ (a + 90 °) = σ x + σ y = sabit. (7)

Çözüm: karşılıklı olarak dik iki alan üzerindeki normal gerilmelerin toplamı sabit bir değerdir, bu, eğer birinci alanda maksimum normal gerilmelere sahipsek, o zaman σ min, ona dik olan alan boyunca olacaktır.

Ana stresler. Ana kareler.

Mühendislik hesaplarında, belirli bir noktadan geçen tüm alanlar için gerilmelerin belirlenmesine gerek yoktur. Ana gerilmeler olarak adlandırılan aşırı değerleri σ max ve σ min ve üzerinde hareket ettikleri alanlara ana alanlar denir.

σ'nın uç değerini elde etmek için, (5) ifadesinin a açısına göre birinci türevi sıfıra eşitlenmelidir.

Çözüm: ana sitelerde, kesme gerilmeleri sıfıra eşittir.

tg2a 0 = (8)

tg2a 0 = (9)

σ x ve σ y'nin hareket ettiği sitenin ana platformlarının konumunu belirlemek için, 0> 0 ise, saat yönünün tersine 0 açısıyla döndürmek gerekir.

Formül (8)'den 2a 0 –90 ° ila 90 ° arasında değişir, bu da - 45 ° £ a 0 £ 45 ° anlamına gelir, bu da dönüşün 45 ° 'den fazla olmayan bir açıda olabileceği anlamına gelir.

Temel gerilmeleri belirlerken, (8)'den gelen 0 değeri (5)'e ikame edilebilir veya bağımlılıklardan (6) ve (9) elde edilen formül kullanılabilir.

(10)

Aşırı kesme gerilmeleri.

Aşırı kayma gerilmelerinin etki ettiği alanlara kayma alanları denir.

Aşırı kayma gerilmelerini belirlemek için, (6)'nın a açısına göre birinci türevini alıp sıfıra eşitlemeniz gerekir.

;
;

Denklemin her iki tarafını da cos2a 1'e bölerek şunu elde ederiz:

(σ x - σ y) + 2 t x tg2a 1 = 0

tg2a 1 = (11)

Aşırı kayma gerilimi olan düzlemin dx ile platforma eğim açısı a 1 açısı kadar saat yönünün tersine döndürülmelidir.

(11) formülünden, birbirine dik iki alan tarafından belirlenen 1 ve 1 +90'ı alabilirsiniz. Bunlardan birinde t max, diğerinde t min etki eder. Ancak, kayma gerilmelerinin eşleşme yasalarına göre t max = - t min. (8) ve (11) karşılaştırıldığında, 1 ¹ a 0 + 45 ° elde ederiz

Çözüm: Ana pedler ve kesme pedleri arasında 45 ° açı

(6) formülüne ikame edilerek σ х = σ max; σ y = σ dk; tx = 0; 1 = + 45 ° elde ederiz

= + (12)

(12)'de (10)'dan gelen değeri değiştirin ve dönüşümlerden sonra, aşırı kesme gerilmelerinin rastgele alanlar üzerindeki gerilmelere bağımlılığını elde ederiz.

= + 1/2 (13)

Mora'nın çevreleri.

Bazı düzlem stres durumu verilsin.

Bu gerilim durumu için, dikdörtgen bir koordinat sisteminde bir Mohr çemberi oluşturalım.

Prosedür:

1. d ekseni boyunca maksimum dx değerini koyduk

2. t ekseni boyunca ty değerini erteliyoruz

3. kavşakta A noktasını alıyoruz

4. benzer şekilde erteleyin) dу ve tх; A noktası dikey kenarlar boyunca yönü, B noktası - yatay kenarlar boyunca karakterize eder.

5. A ve B noktalarını birleştirin ve d ekseni ile kesişme noktasında O noktasını elde ederiz.

6. O noktasından, dairenin merkezinden olduğu gibi bir daire çizin

7. Dik açılı üçgen OKV'den dairenin yarıçapını belirleyin

R =

Yatay ve dikey platformların bir daire ile kesiştiği noktada, kutup dediğimiz bir C noktası elde ederiz.

Artık herhangi bir sitedeki yönü belirleyebilirsiniz, bunun için verilen siteye paralel kutup boyunca daire ile kesişene kadar düz bir çizgi çizmeniz gerekir.

M noktasının koordinatları da ve ta olacaktır. Ters problem de çözülebilir, yani a açısı da ve ta değerlerinden belirlenebilir.

Gerilmiş ve deforme olmuş durum

Üç tür stres durumu vardır:

1) doğrusal stres durumu - bir yönde gerilim (sıkıştırma);

2) düz stres durumu - iki yönde gerginlik (sıkıştırma);

3) hacimsel stres durumu - karşılıklı olarak üç dik yönde gerginlik (sıkıştırma).

Sonsuz küçük bir paralelyüzlü (küp) düşünün. Yüzeylerinde normal s ve kesme gerilmeleri olabilir. "Küpün" konumu değiştirildiğinde, voltajlar değişir. Kayma gerilmelerinin olmadığı bir konum bulmak mümkündür, bkz. şek.

https://pandia.ru/text/78/374/images/image002_227.gif "align =" left "width =" 337 "height =" 217 src = "> Eğik bir temel paralelyüz (Şekil a) kesin kesit. sadece bir düzlem Temel bir üçgen prizma düşünün (Şekil b).Eğimli platformun konumu, a açısı ile belirlenir. x ekseninden saat yönünün tersine dönüş ise (bkz. Şekil b), o zaman a> 0.

Normal gerilimler, yön eksenlerine karşılık gelen bir indekse sahiptir. kesme gerilmeleri, genellikle, iki indekse sahiptir: ilki siteye normalin yönüne, ikincisi stresin yönüne karşılık gelir (ne yazık ki, işaretlerde bir değişikliğe yol açan başka atamalar ve farklı bir koordinat ekseni seçimi vardır) bazı formüller).

Normal gerilme, çekme ise pozitiftir, eğer elemanın dikkate alınan kısmını bir saat boyunca iç noktaya göre döndürme eğilimindeyse kesme gerilmesi pozitiftir. pp (bazı ders kitaplarında ve üniversitelerde kesme gerilimi için bunun tersi kabul edilir).

Eğimli bir platform üzerindeki gerilmeler:

Teğet gerilmelerin eşleşme yasası: kayma gerilimi site boyunca etki ediyorsa, o zaman kayma gerilimi site boyunca ona dik, büyüklükte eşit ve işarette zıt etki yapacaktır. (txz = - tzx)

Stres durumu teorisinde iki ana görev ayırt edilir.

Doğrudan görev . Bilinen asal gerilmelere göre: s1 = smax, s2 = smin, ana sitelere (a) belirli bir açıda eğimli bir yer için normal ve kesme gerilmelerini belirlemek gerekir:

https://pandia.ru/text/78/374/images/image007_125.gif "width =" 219 "height =" 33 ">

veya .

Dikey bir platform için:

.

Buradan, sa + sb = s1 + s2'nin, bu alanların eğimine göre değişmezin (bağımsız) karşılıklı olarak dik iki alanı üzerindeki normal gerilmelerin toplamı olduğu görülebilir.

Doğrusal stres durumunda olduğu gibi, maksimum kesme gerilmeleri a = ± 45°'de meydana gelir, yani gif "align =" left "width =" 240 "height =" 227 ">. Gif" width = "154" height = "55 src =">. Gif "align =" left "width =" 253 "height =" 176 src = "> Ana gerilimlerden birinin negatif olduğu ortaya çıkarsa, her ikisi de negatifse, bunlar s1, s3 olarak gösterilmelidir, sonra s2, s3.

Hacimsel stres durumu

Bilinen ana voltajlar s1, s2, s3 olan herhangi bir sitedeki voltajlar:

burada a1, a2, a3, söz konusu alanın normali ile asal gerilmelerin yönleri arasındaki açılardır.

En yüksek kesme gerilimi: .

Ana gerilme s2'ye paralel ve ana gerilmeler s1 ve s3'e 45 ° 'lik bir açıyla eğimli bir alana etki eder.

https://pandia.ru/text/78/374/images/image023_60.gif "width =" 171 "height =" 48 src = ">

https://pandia.ru/text/78/374/images/image025_53.gif "width =" 115 "height =" 48 src = "> (bazen ana kesme gerilmeleri olarak adlandırılır).

Düzlem gerilim durumu, hacimsel durumun özel bir durumudur ve ayrıca üç Mohr dairesi ile temsil edilebilirken, ana gerilimlerden biri 0'a eşit olmalıdır. Düzlem gerilim durumunda olduğu gibi teğet gerilimler için, eşleştirme yasası: karşılıklı olarak dik alanlar boyunca, bu alanların kesişme çizgisine dik olan kayma gerilmelerinin bileşenleri, büyüklük olarak eşit ve yön olarak zıttır.

https://pandia.ru/text/78/374/images/image027_53.gif "width =" 166 "height =" 51 src = ">;

Oktahedral normal gerilim, üç ana gerilimin ortalamasıdır.

https://pandia.ru/text/78/374/images/image029_49.gif "width =" 199 "height =" 50 ">, Oktahedral kayma gerilimi, ana kayma gerilimlerinin geometrik toplamı ile orantılıdır. stres yoğunluğu:

DIV_ADBLOCK135 ">

https://pandia.ru/text/78/374/images/image032_47.gif "width =" 177 "height =" 49 ">

Hacimdeki değişiklik asal gerilmeler arasındaki orana bağlı değildir, asal gerilmelerin toplamına bağlıdır. Yani, yüzlerine aynı ortalama gerilmeler uygulanırsa, bir temel küp aynı hacim değişikliğini alacaktır: , sonra , burada K = - yığın modülü... Malzemesi Poisson oranı m = 0,5 olan (örneğin kauçuk) bir cisim deforme olduğunda, cismin hacmi değişmez.

Potansiyel gerinim enerjisi

Basit germe (sıkıştırma) ile potansiyel enerji U = https: //pandia.ru/text/78/374/images/image038_46.gif "width =" 95 "height =" 47 src = ">. Gif" width = "234 "yükseklik =" 50 kaynak = "> veya

Birim hacim başına biriken toplam gerinim enerjisinin iki kısımdan oluştuğu düşünülebilir: 1) Hacimdeki değişimden dolayı biriken enerji uo (yani, küpün tüm boyutlarında kübik şekli değiştirmeden aynı değişiklik) ve 2) kübün şeklini değiştirerek ilişkili uph enerjisi (yani, küpü paralel boruya dönüştürmek için harcanan enerji). u = u® + uf.

https://pandia.ru/text/78/374/images/image043_42.gif "width =" 389 "height =" 50 src = ">

https://pandia.ru/text/78/374/images/image045_41.gif "width =" 160 "height =" 84 src = ">. Koordinat sistemi döndürüldüğünde tensör katsayıları değişir, tensörün kendisi kalır devamlı.

Gerilim durumunun üç değişmezi:

https://pandia.ru/text/78/374/images/image047_39.gif "width =" 249 "height =" 48 ">

ea - bağıl deformasyon, ga - kayma açısı.

Aynı benzetme hacimsel durum için de geçerlidir. Bu nedenle, deforme olmuş durumun değişmezlerine sahibiz:

J1 = eski + ey + ez;

J2 = exey + eyez + ezex - https://pandia.ru/text/78/374/images/image051_31.gif "genişlik =" 17 yükseklik = 47 "yükseklik =" 47 ">. Gif" genişlik = "216" yükseklik = "140 kaynak ="> - gerinim tensörü.

ex, ey, ez, gxy, gyz, gzx, deforme olmuş durumun bileşenleridir.

Ana gerin e1, e2, e3 yönleriyle çakışan eksenler için, gerinim tensörü şu şekli alır: .

güç teorileri

Genel olarak, bir yapısal elemanın tehlikeli gerilim durumu, üç ana gerilim (s1, s2, s3) arasındaki ilişkiye bağlıdır. Yani, kesinlikle konuşmak gerekirse, her oran için gerçekçi olmayan sınırlayıcı stresin değerini deneysel olarak belirlemek gerekir. Bu nedenle, herhangi bir stres durumunun tehlike derecesini çekme - sıkıştırma stresi açısından değerlendirmeyi mümkün kılacak bu tür mukavemet hesaplama yöntemleri benimsenmiştir. Bunlara kuvvet teorileri (nihai stres durumları teorileri) denir.

1. kuvvet teorisi(en yüksek normal gerilimler teorisi): sınırlayıcı gerilim durumunun başlamasının nedeni, en yüksek normal gerilimlerdir. smax = s1 £ [s]. Ana dezavantaj: diğer iki ana voltaj dikkate alınmaz. Sadece çok kırılgan malzemeleri (cam, alçıtaşı) gererken deneyimle onaylanır. Şu anda, pratik olarak kullanılmamaktadır.

2. kuvvet teorisi(en büyük nispi deformasyonlar teorisi): sınırlayıcı stres durumunun başlamasının nedeni en büyük uzamadır. emax = e1 £ [e] .. gif "width =" 63 height = 47 "height =" 47 ">, mukavemet durumu: sequIII = s1 - s3 £ [s]. Ana dezavantajı dikkate almamasıdır. s2'nin etkisi.

Düzlem stresli durumda: seqIII = £ [s]. sy = 0 için Plastik malzemeler için yaygın olarak kullanılmaktadır.

4. kuvvet teorisi(enerji teorisi): sınırlayıcı stres durumunun başlamasının nedeni, şekil değişikliğinin özgül potansiyel enerjisinin değeridir. uф £ ..gif "width =" 367 "height =" 55 src = "> .. gif" genişlik = "166" yükseklik = "57">. İzin verilen çekme ve basma gerilmelerinin aynı olmadığı (dökme demir) kırılgan malzemelerin hesaplanmasında kullanılır.

Plastik malzemeler için = Mohr teorisi 3. teoriye dönüşür.

Mohr çemberi (stres çemberi). Çemberin noktalarının koordinatları, farklı bölgelerdeki normal ve kesme gerilmelerine karşılık gelir. C merkezinden s ekseninden ışını 2a açısında (a> 0, sonra saatin tersi. Sayfa) erteleriz, D noktasını buluruz,

koordinatları: sa, ta. Hem doğrudan hem de ters problemleri grafiksel olarak çözebilirsiniz.

saf vardiya

https://pandia.ru/text/78/374/images/image063_27.gif "width =" 48 height = 47 "height =" 47 ">, burada Q, kenar boyunca hareket eden kuvvettir, F alanıdır sadece teğetsel gerilmelerin etki ettiği kenar, saf kesme alanları olarak adlandırılır. Asıl gerilmeler: s1 = - s3 = t; s2 = 0. Ana alanlar, saf kesme alanlarıyla 45°'lik bir açı yapar.

https://pandia.ru/text/78/374/images/image065_26.gif "width =" 16 "height =" 48 src = "> - göreceli kayma veya kesme açısı.

Kesmede Hooke yasası : g = t / G veya t = G × g.

G - kayma modülü veya ikinci türün elastisite modülü [MPa], kesme sırasında deformasyonlara direnme yeteneğini karakterize eden bir malzemenin sabitidir. (E - elastisite modülü, m - Poisson oranı).

Potansiyel kesme enerjisi: .

Kesmede deformasyonun spesifik potansiyel enerjisi: https://pandia.ru/text/78/374/images/image069_26.gif "width =" 63 "height =" 53 ">.

Saf kesme ile tüm potansiyel enerji sadece şekil değişikliği için harcanır; kesme deformasyonu sırasında hacimdeki değişiklik sıfıra eşittir.

Saf kesmede Mohr çemberi.

burulma

https://pandia.ru/text/78/374/images/image072_23.gif "align =" left "width =" 175 "height =" 125 src = "> Sadece bir torkun olduğu bu deformasyon türü - Mk. Tork Mk'nin işareti dış momentin yönü ile belirlenmeye uygundur.Kesit tarafından bakıldığında, dış moment saat yönüne doğru yönlendiriliyorsa, Mk> 0 (tersi kuralı da vardır) oluşur). bükülme açısı- J. Yuvarlak bir çubuk (mil) büküldüğünde, saf bir kesme gerilmesi durumu ortaya çıkar (normal gerilmeler yoktur), sadece kesme gerilmeleri ortaya çıkar. Kesitlerin bükülmeden önce düz olduğu ve büküldükten sonra düz kaldığı varsayılır - düz bölüm yasası... Kesit noktalarındaki teğet gerilmeler, noktaların eksenden uzaklığı ile orantılı olarak değişir..gif "width =" 71 "height =" 49 src = "> dairesel bölümün kutupsal direnç momentidir. merkezdeki teğetsel gerilimler sıfıra eşittir, merkezden ne kadar uzak olursa, o kadar büyük olurlar ..gif "width =" 103 "height =" 57 src = "> - bağıl büküm açısı..gif "width =" 127 height = 57 "height =" 57 ">, [t] =, bir plastik malzeme için, t, gevrek bir malzeme için kesme tt'deki akma dayanımı olarak kabul edilir - tw çekme kuvvetidir mukavemet, [n] katsayı güvenlik faktörüdür Burulma sertliği koşulu: qmax £ [q] - izin verilen burulma açısı.

Dikdörtgen bir çubuğun burulması

https://pandia.ru/text/78/374/images/image081_17.gif "width =" 46 "height =" 46 "> Dikdörtgen kesitin kesme gerilimi diyagramları.

; , Jk ve Wk geleneksel olarak atalet momenti ve burulma sırasındaki direnç momenti olarak adlandırılır. Wk = ahb2,

Jk = bhb3, Maksimum kesme gerilmeleri tmax uzun kenarın ortasında olacaktır, gerilmeler kısa kenarın ortasında olacaktır: t = g × tmax, katsayılar: a, b, g referans kitaplarında aşağıdakilere bağlı olarak verilmiştir. h / b oranı (örneğin, h / b = 2 ile, a = 0.246; b = 0.229; g = 0.795.

Bükmek

https://pandia.ru/text/78/374/images/image085_18.gif "width =" 270 "height =" 45 ">.

https://pandia.ru/text/78/374/images/image087_16.gif "width =" 71 "height =" 53 ">, r nötr katmanın eğrilik yarıçapıdır, y bazı liflerden olan mesafedir nötr katmana. Bükmede Hooke Yasası:, nereden (Navier formülü):, Jx, bükülme momenti düzlemine dik olan ana merkez eksene göre bölümün atalet momentidir, EJx bükülme sertliğidir, https://pandia.ru/text/78 /374/images/image091_15.gif " genişlik = "126" yükseklik = "54">, Jx / ymax = Wx-kesitin eğilme direnci momenti,.

https://pandia.ru/text/78/374/images/image094_14.gif "width =" 103 height = 54 "height =" 54 ">, burada Sx (y), nötr eksenine göre statik momenttir nötr eksenden "y" mesafesinde katmanın altında veya üstünde bulunan alanın o kısmı; Jx - atalet momenti Toplam nötr eksene göre kesit, b (y), kayma gerilmelerinin belirlendiği tabakadaki kesitin genişliğidir.

https://pandia.ru/text/78/374/images/image096_14.gif "width =" 89 "height =" 49 src = ">, F = b × h, dairesel bir bölüm için :, F = p × R2 , herhangi bir şekle sahip bir bölüm için,

k- katsayısı, bölümün şekline bağlı olarak (dikdörtgen: k = 1.5; daire - k = 1.33).

https://pandia.ru/text/78/374/images/image100_12.gif "align =" left "width =" 244 "height =" 85 src = "> Atılan parçanın hareketi dahili kuvvet faktörleri ile değiştirilir M ve Q, denge denklemlerinden belirlenir. Bazı üniversitelerde, M> 0 momenti aşağı doğru biriktirilir, yani, momentlerin diyagramı gerilmiş lifler üzerine kuruludur. Q = 0 olduğunda, diyagramın bir ekstremumuna sahibiz. anların. M arasındaki diferansiyel ilişkiler,QveQ: https://pandia.ru/text/78/374/images/image102_10.gif "width =" 187 "height =" 54 ">.

eğilme mukavemeti hesabı : kirişin farklı noktalarıyla ilgili iki dayanım koşulu: a) normal gerilmeler için , (C'den en uzak noktalar); b) b'ye göre kontrol edilen kesme gerilmeleri https://pandia.ru/text/78/374/images/image105_10.gif "width =" 96 "height =" 51 "> ile. aynı anda büyük normal ve büyük kesme gerilmelerinin olduğu kirişlerin bölümleri.Bu noktalar için izin verilenleri aşmaması gereken eşdeğer gerilmeler bulunur.Dayanım koşulları çeşitli mukavemet teorilerine göre kontrol edilir.

1 inci: ; II: (Poisson oranı m = 0.3 ile); - nadiren kullanılmış.

III: , IV-th: ,

Mohr teorisi:, (izin verilen çekme gerilmesinin ¹ - sıkıştırmada olduğu dökme demir için kullanılır).

Kirişlerde eğilme yer değiştirmelerinin belirlenmesi

https://pandia.ru/text/78/374/images/image113_9.gif "width =" 104 "height =" 52 src = ">, burada r (x) eğri kiriş ekseninin eğrilik yarıçapıdır. x bölümü, M (x) - aynı bölümdeki eğilme momenti, EJ - kiriş sertliği Daha yüksek matematikten bilinir: Diferansiyel "href =" / metin / kategori / diferansiyel / "rel =" bookmark "> diferansiyel denklemi kirişin eğri ekseni. x ekseni ile eğri eksene teğet arasındaki açının tanjantıdır. Bu değer çok küçüktür (kirişin sapmaları küçüktür) Þ karesi ihmal edilir ve kesitin dönme açısı teğete eşittir. Yaklaşık kirişin kavisli ekseninin diferansiyel ur-tion: ... Y ekseni yukarı doğru yönlendirilmişse, (+) işaretidir. Bazı üniversitelerde y ekseni aşağı doğru Þ (-) şeklindedir. diff..gif "width =" 226 "height =" 50 src = "> entegre ederek - şunu elde ederiz ur-nie sapmaları... Entegrasyon sabitleri C ve D, kirişi sabitleme yollarına bağlı olan sınır koşullarından bulunur.

a "Orijinden itibaren, (x - a) 0 faktörü ile çarpılır, bu da 1'dir. Yayılı herhangi bir yük kirişin ucuna kadar uzatılır ve bunu telafi etmek için ters yönde bir yük uygulanır.

EJ = M (x) = RA × x - https://pandia.ru/text/78/374/images/image122_8.gif "width =" 79 yükseklik = 49 "height =" 49 "> - P (x - a - b); entegre et:

EJ = EJq0 + RA × - - M (x - a) + - P;

EJy = EJy0 + EJq0x + RA × - - M + https://pandia.ru/text/78/374/images/image132_8.gif "width =" 93 "height =" 51 src = ">.

Başlangıç ​​parametreleri orijinde sahip olduğumuz parametrelerdir, yani şekil için: М0 = 0, Q0 = RA, sapma y0 = 0, dönüş açısı q0¹0. q0, doğru desteği sabitlemek için koşulların ikinci denklemine ikameden bulunur: x = a + b + c; y(x) = 0.

Diferansiyel Bükme Kısıtlamaları :

; ; https://pandia.ru/text/78/374/images/image136_6.gif "width =" 56 "height =" 48 src = ">.

Hayali yük yöntemi ile yer değiştirmelerin belirlenmesi... Denklemlerin karşılaştırılması:

https://pandia.ru/text/78/374/images/image138_5.gif "align =" left "width =" 203 "height =" 120 src = "> ve bir benzetmemiz var, Þ sapmaların tanımı hayali bir kirişteki bazı hayali (koşullu) yükten gelen momentlerin tanımına indirgenebilir: EJ'ye bölündükten sonra hayali bir yükten gelen moment Mf, belirli bir kirişte belirli bir yükten "y" sapmasına eşittir. hayali kiriş Bu durumda, iki kirişin sınır koşullarında tam bir analoji olmalıdır. Verilen her kiriş kendi hayali kirişine karşılık gelir.

Hayali kirişlerin sabitlenmesi, kirişin uçlarında ve destekler üzerinde, verilen kirişte "y" ve "q" ile hayali kirişte Mf ve Qf arasında tam bir yazışma olması koşulundan seçilir. Hem gerçek hem de hayali kirişlerdeki momentlerin diyagramları, gerilmiş fiberin yanından oluşturulursa (yani, pozitif moment belirlenir), o zaman verilen kirişteki sapma çizgileri, hayali kirişteki momentlerin diyagramıyla çakışır.

Statik olarak belirsiz kirişler.

Reaksiyonların katı bir cismin denge denklemlerinden belirlenemediği sistemlere statik olarak belirsiz denir. Bu tür sistemlerde denge için gerekli olandan daha fazla bağlantı vardır. Bir kirişin statik belirsizlik derecesi(ara menteşeler olmadan - sürekli kirişler) dış ilişkilerin fazla (fazladan) sayısına (üçten fazla) eşittir.

https://pandia.ru/text/78/374/images/image120_7.gif "width =" 21 "height =" 25 src = ">. gif" width = "20" height = "25 src =">. gif "genişlik =" 39 "yükseklik =" 51 kaynak = "> + C;

EJy = RВ × https: //pandia.ru/text/78/374/images/image129_6.gif "width =" 40 "height =" 49 src = "> + С × х + D..gif" genişlik = " 39 "yükseklik =" 49 kaynak = "> + MA = 0; RA ve MA'dır.

gereksiz "sabitleme" denir ana sistem... Reaksiyonlardan herhangi biri "ekstra" bilinmeyen için alınabilir. Verilen yükleri ana sisteme uyguladıktan sonra, verilen kirişin ve ana olanın çakışmasını sağlayan bir koşul ekliyoruz - yer değiştirme uyumluluğu denklemi. Şekil için: yB = 0, yani B = 0 noktasındaki sapma. Bu denklem farklı şekillerde çözülebilir.

Yer değiştirmeleri karşılaştırma yöntemi . B noktasının sapması (Şekil) Belirli bir yükün (q) etkisi altındaki ana sistemde belirlenir: yВq = ekstra "bilinmeyen RB ve RB'nin hareketinden sapma bulunur: ... Yer değiştirme uyumluluğu denkleminde değiştirin: yB = yBq + = 0, yani, + = 0, buradan RB = https: //pandia.ru/text/78/374/images/image153_4.gif "align =" left " genişlik = "371" yükseklik = "300 kaynak ="> Üç nokta teoremi ... Hesaplamada kullanılır sürekli kirişler- Biri hareketsiz, geri kalanı hareketli olan birçok destek üzerindeki kirişler. Statik olarak belirsiz bir kirişten statik olarak tanımlanabilir bir taban sistemine geçiş için, fazla desteklerin üzerine menteşeler yerleştirilir. Gereksiz bilinmeyenler: Ekstra destekler üzerindeki açıklıkların uçlarına uygulanan Mn momentleri.

Moment diyagramları, belirli bir yükten bir kirişin her bir açıklığı için, her bir açıklık iki destek üzerindeki basit bir kiriş olarak düşünülerek oluşturulur. Her ara destek için "n" derlenir üç momentin denklemi:

wn, wn + 1 - diyagramların alanları, an - sol diyagramın ağırlık merkezinden sol desteğe olan mesafe, bn + 1 - sağ diyagramın ağırlık merkezinden sağ desteğe olan mesafe. Moment denklemlerinin sayısı, ara desteklerin sayısına eşittir. Ortak çözümleri, bilinmeyen destek anlarını bulmanızı sağlar. Destek momentleri bilinerek, bireysel açıklıklar dikkate alınır ve statik denklemlerinden bilinmeyen destek reaksiyonları bulunur. Yalnızca iki açıklık varsa, o zaman sol ve sağ anlar bilinir, çünkü bunlar ya verilen anlar ya da sıfıra eşittir. Sonuç olarak, bir bilinmeyen M1 ile bir denklem elde ederiz.

Yer değiştirmeleri belirlemek için genel yöntemler

m ", genelleştirilmiş kuvvetin" n " etkisinin neden olduğu. Birkaç kuvvet faktörünün neden olduğu toplam yer değiştirme: DP = DPP + DPQ + DPM. Bir birim kuvvet veya bir birim momentin neden olduğu yer değiştirmeler: d - özgül yer değiştirme... Birim kuvvet P = 1, dP yer değiştirmesine neden olduysa, P kuvvetinin neden olduğu toplam yer değiştirme: DP = P × dP olacaktır. Sisteme etki eden kuvvet faktörleri X1, X2, X3 vb. olarak belirlenmişse, her birinin yönündeki hareket:

burada X1d11 = + D11; X2d12 = + D12; Хidmi = + Dmi. Spesifik yer değiştirmelerin boyutu: , J - işin boyutu 1J = 1Nm.

Elastik bir sisteme etki eden dış kuvvetlerin işi: .

https://pandia.ru/text/78/374/images/image160_3.gif "width =" 307 "height =" 57 ">,

k - Kesit alanı üzerindeki kayma gerilmelerinin eşit olmayan dağılımını hesaba katan katsayı, bölümün şekline bağlıdır.

Enerjinin korunumu yasasına göre: potansiyel enerji U = A.

D 11 - yön boyunca hareket etmek. P1 kuvvetinin hareketinden kaynaklanan P1 kuvveti;

D12 - yön boyunca hareket edin. Р1 kuvvetleri, Р2 kuvvetinin etkisinden;

D21 - yön boyunca hareket edin. P1 kuvvetinin etkisinden P2 kuvvetleri;

D22 - yön boyunca hareket. P2 kuvvetinin etkisinden P2 kuvveti.

А12 = Р1 × D12 - ikinci durumun Р2 kuvvetinin neden olduğu, kendi yönünde yer değiştirme üzerindeki ilk durumun Р1 kuvvetinin işi. Benzer şekilde: A21 = P2 × D21 - ikinci durumun P2 kuvvetinin, birinci durumun P1 kuvvetinin neden olduğu yönündeki yer değiştirme üzerindeki işi. A12 = A21. Herhangi bir sayıdaki kuvvet ve moment için aynı sonuç elde edilir. Karşılıklılık teoremi: Р1 × D12 = Р2 × D21.

Birinci halin kuvvetlerinin, ikinci halin kuvvetlerinin neden olduğu kendi yönlerindeki yer değiştirmeler üzerindeki işi, ikinci halin kuvvetlerinin, birinci halin kuvvetlerinin sebep olduğu kendi yönlerindeki yer değiştirmeler üzerindeki işine eşittir. .

teorem yer değiştirmelerin karşılıklılığı üzerine (Maxwell teoremi)Р1 = 1 ve Р2 = 1 ise, Р1d12 = Р2d21, yani. d12 = d21, genel durumda dmn = dnm.

Elastik sistemin iki birim durumu için, ikinci birim kuvvetin neden olduğu birinci birim kuvvet yönündeki yer değiştirme, birinci kuvvetin neden olduğu ikinci birim kuvvet yönündeki yer değiştirmeye eşittir.

https://pandia.ru/text/78/374/images/image163_4.gif "width =" 104 "height =" 27 src = "> bir birim kuvvetin eyleminden; 4) bulunan ifadeler Mohr integrali üzerinden verilen ve integrali verilen Dmn> 0 ise, o zaman birim kuvvetin seçilen yönü ile yer değiştirme çakışıyorsa,<0, то противоположно.

Düz bir tasarım için:

https://pandia.ru/text/78/374/images/image165_3.gif "width =" 155 "height =" 58 ">.

https://pandia.ru/text/78/374/images/image167_4.gif "width =" 81 height = 43 "height =" 43 "> belirli bir yükten gelen diyagramın keyfi bir şekle sahip olduğu durum için ve tek birinden - Vereshchagin tarafından önerilen grafik-analitik yöntemi kullanarak düz çizgiyi tanımlamak uygundur. , W, Мр diyagramının dış yükten alanıdır, yc, Мр diyagramının ağırlık merkezi altındaki birim yükten diyagramın koordinatıdır. Diyagramların çarpılmasının sonucu, ilk diyagramın alanının ağırlık merkezi altında alınan, diyagramlardan birinin alanının diğer diyagramın koordinatına göre ürününe eşittir. Ordinat düz bir çizgi diyagramından alınmalıdır. Her iki diyagram da doğrusal ise, ordinat herhangi birinden alınabilir.

https://pandia.ru/text/78/374/images/image170_3.gif "width =" 119 "height =" 50 src = ">. Bu formül, her biri düz bir çizgi olması gereken bölümler için hesaplanmıştır. karmaşık diyagram Мр, ağırlık merkezlerinin koordinatlarını belirlemenin daha kolay olduğu basit geometrik şekillere bölünmüştür. ... Aynı formül, karşılık gelen ordinat = 0'ı değiştirirseniz, üçgen diyagramlar için de uygundur.

https://pandia.ru/text/78/374/images/image173_3.gif "width =" 71 "height =" 48 "> (şek. , xC = L / 2).

kör "düzenli dağıtılmış bir yüke sahip yerleştirme, bunun için içbükey ikinci dereceden bir parabolümüz var; https://pandia.ru/text/78/374/images/image179_3.gif" genişlik = "145" yükseklik = "51 src = ">, xC = 3L / 4. Aynı şey, arsa bir üçgenin alanı ile dışbükey ikinci dereceden bir parabolün alanı arasındaki farkla temsil edilirse elde edilebilir: ... "Eksik" alan negatif olarak kabul edilir.

Castigliano teoremi. - genelleştirilmiş kuvvetin uygulama noktasının etki yönünde yer değiştirmesi, potansiyel enerjinin bu kuvvete göre kısmi türevine eşittir. Eksenel ve kesme kuvvetlerinin yer değiştirmesi üzerindeki etkiyi ihmal ederek, potansiyel enerjiye sahibiz: , nerede .

Statik olarak belirsiz sistemler- elemanlarındaki kuvvet faktörleri yalnızca katı bir cismin denge denklemlerinden belirlenemeyen sistemler. Bu tür sistemlerde bağ sayısı denge için gerekenden fazladır. Statik belirsizlik derecesi: S = 3n - m, n yapıdaki kapalı kontur sayısıdır, m tekli mafsal sayısıdır (iki çubuğu birleştiren bir menteşe bir, üç çubuğu birbirine bağlayan bir menteşe iki sayılır vb.). Kuvvet Yöntemi- kuvvet faktörleri bilinmeyen olarak alınır. Hesaplama sırası: 1) statik derecesini ayarlayın. belirsizlik; 2) gereksiz bağlantıları kaldırarak, orijinal sistem statik olarak tanımlanabilir bir ana sistemle değiştirilir (bu tür birkaç sistem olabilir, ancak gereksiz bağlantılar kaldırılırken yapının geometrik değişmezliği ihlal edilmemelidir); 3) ana sistem verilen kuvvetler ve gereksiz bilinmeyenlerle yüklüdür; 4) Bilinmeyen kuvvetler, orijinal ve temel sistemlerin deformasyonları farklı olmayacak şekilde seçilmelidir. Yani, atılan bağların reaksiyonları, yönlerindeki yer değiştirmelerin = 0 olduğu değerlere sahip olmalıdır. Kuvvet yönteminin kanonik denklemleri:

Bu denklemler, statiği ortaya çıkarmanıza izin veren ek deformasyonlardır. belirsizlik. ur-s sayısı = atılan bağlantıların sayısı, yani sistemin belirsizlik derecesi.

dik - k yönünde hareket eden bir birim kuvvetin neden olduğu i yönünde yer değiştirme. dii - ana, dik - yan hareketler. Yer değiştirmeler için karşılıklılık teoremi ile: dik = dki. Dip - belirli bir yükün (yük terimleri) hareketinden kaynaklanan i bağlantısı yönünde yer değiştirme. Kanonik denklemlere dahil edilen yer değiştirmeler, uygun bir şekilde Mohr yöntemiyle belirlenir.

Bunun için birim yükler X1 = 1, X2 = 1, Xn = 1, ana sisteme harici bir yük uygulanarak eğilme momentlerinin diyagramları çizilir. Mohr integrali ile şunlar bulunur: ; ; ….; ;

; ; ….; ;

; ; ….; .

M'nin üzerindeki çizgi, bu iç kuvvetlerin tek bir kuvvetten kaynaklandığını gösterir.

Doğrusal elemanlardan oluşan sistemler için, Vereshchagin yöntemine göre diyagramları çoğaltmak uygundur. ; vb. WР, harici yükten Мр diyagramının alanıdır, yСр, Мр diyagramının ağırlık merkezi altındaki birim yükten diyagramın koordinatıdır, W1, М1 diyagramının alandır. Birim yük. Diyagramların çarpılmasının sonucu, ilk diyagramın alanının ağırlık merkezi altında alınan, diyagramlardan birinin alanının diğer diyagramın koordinatına göre ürününe eşittir.

Kirişlerin (çubukların) düz eğrilerinin hesaplanması

Kavisli kirişler arasında kancalar, zincir baklaları, kemerler vb. bulunur. Kısıtlamalar: enine kesitin bir simetri ekseni vardır, kirişin ekseni düz bir eğridir, yük aynı düzlemde hareket eder. Küçük eğrilik çubuklarını ayırt edin: h / R<1/5, большой кривизны: h/R³1/5. При изгибе брусьев малой кривизны нормальные напряжения рассчитывают по формуле Навье, как для балок с прямой осью: https://pandia.ru/text/78/374/images/image198_3.gif" width="115" height="55">,

rН, nötr katmanın yarıçapıdır, e = R - rН, R, bölümün ağırlık merkezlerinin bulunduğu katmanın yarıçapıdır. Eğri çubuğun nötr ekseni, C bölümünün ağırlık merkezinden geçmez. Her zaman eğrilik merkezine, bölümün ağırlık merkezinden daha yakın bulunur. , r = rH - y. Nötr katmanın yarıçapını bilerek, nötr katmandan ağırlık merkezine "e" mesafesini belirleyebilirsiniz. h yüksekliğinde, dış yarıçapı R2 ve iç R1 olan dikdörtgen kesit için:; farklı bölümler için formüller referans literatüründe verilmiştir. h / R ile<1/2 независимо от формы сечения можно определять "е" по приближенной формуле: , где Jx – момент инерции сечения относительно оси, проходящей через его центр тяжести перпендикулярно плоскости кривизны бруса.

Kesitteki normal gerilmeler hiperbolik yasaya göre dağıtılır (kesitin dış kenarında daha az, iç kenarda daha fazladır). Normal kuvvet N'nin etkisi altında: (burada rH, yalnızca M momentinin etkisi altında olacak olan nötr katmanın yarıçapıdır, yani N = 0'da, ancak gerçekte, uzunlamasına bir kuvvetin varlığında bu katman artık nötr değildir). Güç durumu: , bu durumda, eğilme ve çekme - sıkıştırmadan kaynaklanan toplam gerilmelerin en yüksek olacağı uç noktalar dikkate alınır, yani, y = - h2 veya y = h1. Mohr yöntemi ile yer değiştirmeleri belirlemek uygundur.

Sıkıştırılmış çubukların kararlılığı. burkulma

Çubuğun kırılması sadece gücün kırılması nedeniyle değil, aynı zamanda çubuğun önceden belirlenmiş şeklini korumaması nedeniyle de meydana gelebilir. Örneğin, ince bir cetvelin boyuna sıkıştırması altında bükülmesi. Merkezi olarak sıkıştırılmış bir çubuğun doğrusal bir denge formunun stabilite kaybına denir. burkulma... elastik denge sürekli eğer deforme olmuş cisim, denge durumundan herhangi bir küçük sapma için, orijinal durumuna dönme eğilimindeyse ve dış etki kaldırıldığında ona geri dönerse. Fazlası stabilite kaybına neden olan yüke denir. kritik yük Rkr (kritik kuvvet). İzin verilen yük [P] = Pcr / nу, nу - standart güvenlik faktörü..gif "width =" 111 "height =" 51 src = ">. Gif" width = "115 height = 54" height = "54"> - formül, menteşeli uçlu bir çubuk için kritik kuvvetin değerini verir. Farklı sabitlemelerle: , m - uzunluk azaltma katsayısı.

Çubuğun her iki ucu menteşeli olduğunda, m = 1; gömülü uçları olan bir çubuk için m = 0,5; biri gömülü, diğeri serbest ucu olan bir çubuk için m = 2; bir sabit ucu ve diğer menteşeli ucu olan bir çubuk için m = 0.7.

Kritik basınç gerilimi: , - çubuğun esnekliği, - çubuğun kesit alanının en küçük ana dönme yarıçapı. Bu formüller yalnızca, sкр £ sпц gerilmeler orantılılık sınırı olduğunda, yani Hooke yasasının uygulanabilirlik sınırları içinde olduğunda geçerlidir. Çubuğun esnekliği için Euler formülü geçerlidir: , örneğin çelik St3 (S235) lcr "100 için. l durumu için Yasinsky'nin formülü: scr = a - b × l, referans lit-re'deki "a" ve "b" katsayıları (St3: a = 310MPa; b = 1.14MPa).

l için yeterince kısa çubuklar , Fbrüt - toplam kesit alanı,

(Fnet = Fgross-Fweak, örneğin perçinlerden Fweak bölümündeki deliklerin alanını dikkate alarak zayıflamış bölümün alanıdır). = scr / nу, nу - standart katsayı. kararlılık marjı. İzin verilen gerilim, dayanım hesaplamalarında kullanılan temel izin verilen gerilim [s] aracılığıyla ifade edilir: = j × [s], j - gerilim azaltma faktörü sıkıştırılmış çubuklar için (burkulma katsayısı). j değerleri tabloda verilmiştir. ders kitaplarında ve çubuğun malzemesine ve esnekliğine bağlıdır (örneğin, çelik St3 için l = 120 j = 0.45).

İlk adımda gerekli kesit alanının tasarım hesabında j1 = 0,5–0,6; bulmak: ... Ayrıca, Fgross'u bilerek, bölümü seçin, Jmin, imin ve l'yi belirleyin, tabloya göre ayarlayın. gerçek j1I, j1'den önemli ölçüde farklıysa, hesaplama ortalama j2 = (j1 + j1I) / 2 ile tekrarlanır. İkinci denemenin bir sonucu olarak, önceki değerle karşılaştırılan j2I bulunur ve bu şekilde, yeterince yakın bir eşleşme elde edilene kadar devam eder. Genellikle 2-3 deneme sürer.

arasındaki bağımlılık eksenleri döndürürken atalet momentleri:

https://pandia.ru/text/78/374/images/image249_2.gif "width =" 17 "height =" 47 src = "> (Jx - Jy) sin2a + Jxycos2a;

A açısı a> 0, eski koordinat sisteminden yenisine geçiş saate karşı gerçekleşirse. sayfa Jy1 + Jx1 = Jy + Jx

Atalet momentlerinin aşırı (maksimum ve minimum) değerlerine denir. ana eylemsizlik momentleri... Eksenel atalet momentlerinin aşırı değerlere sahip olduğu eksenlere denir. ana eylemsizlik eksenleri... Ana eylemsizlik eksenleri karşılıklı olarak diktir. Ana eksenler etrafındaki merkezkaç atalet momentleri = 0, yani ana atalet eksenleri, merkezkaç atalet momentinin = 0 olduğu eksenlerdir. Eksenlerden biri veya her ikisi de simetri ekseniyle çakışırsa, o zaman bunlar başlıcalarıdır. Ana eksenlerin konumunu tanımlayan açı: a0> 0 Þ ise eksenler saatin tersi yönünde döner. p. Maksimum eksen, atalet momentinin daha büyük önem taşıdığı eksenlere göre her zaman daha küçük bir açı yapar. Ağırlık merkezinden geçen ana eksenlere denir. atalet ana merkezi eksenleri... Bu eksenlere göre eylemsizlik momentleri:

Jmax + Jmin = Jx + Jy. Ana atalet eksenlerine göre merkezkaç atalet momenti 0'dır. Ana atalet momentleri biliniyorsa, döndürülmüş eksenlere geçiş formülleri:

Jx1 = Jmaxcos2a + Jminsin2a; Jy1 = Jmaxcos2a + Jminsin2a; Jx1y1 = (Jmax - Jmin) sin2a;

Bir kesitin geometrik karakteristiklerini hesaplamanın nihai amacı, ana merkezi atalet momentlerini ve ana merkezi atalet eksenlerinin konumunu belirlemektir. Dönme yarıçapı- https://pandia.ru/text/78/374/images/image254_3.gif "width =" 85 "height =" 32 src = ">. İkiden fazla simetri eksenine sahip bölümler için (örneğin: daire, kare, halka, vb.) tüm merkezi eksenlere göre eksenel atalet momentleri birbirine eşittir, Jxy = 0, atalet elipsi bir atalet çemberine dönüşür.

s - normal voltaj[Pa], 1Pa (paskal) = 1 N/m2,

106Pa = 1 MPa (megapaskal) = 1 N / mm2

N - boyuna (normal) kuvvet [N] (newton); F - kesit alanı [m2]

e - bağıl deformasyon [boyutsuz değer];

DL - boyuna deformasyon [m] (mutlak uzama), L - çubuk uzunluğu [m].

Hooke yasası - s = E × e

E - gerilimdeki elastisite modülü (1. tür elastisite modülü veya Young modülü) [MPa]. Çelik için E = 2 × 105 MPa = 2 × 106 kg / cm2 ("eski" birim sisteminde).

(E ne kadar fazla olursa malzeme o kadar az gerilebilir)

; - Hook kanunu

EF, çubuğun gerilimdeki (sıkıştırma) sertliğidir.

Çubuk gerildiğinde, "inceleşir", genişliği - ve enine deformasyonla azalır - Dа.

Göreceli yanal deformasyon.

sп - orantılılık sınırı, sт- verim noktası, sВ- gerilme direnci veya geçici direnç, sk - kopma anındaki voltaj.

Gevrek malzemeler, örneğin dökme demir, önemsiz uzamalarla yok edilir ve akma alanı yoktur; sıkıştırmaya gerilmeden daha iyi direnç gösterirler.

izin verilen voltaj https://pandia.ru/text/78/374/images/image276_3.gif "align =" left "width =" 173 "height =" 264 "> eğimli bir platformda vurgular:

Doğrudan görev ……………………………………………… ..3

Ters problem ………………………………………………… 3

Hacimsel stres durumu …………………………… 4

Oktahedral gerilmeler ………………… ..5

Hacimsel gerilme durumundaki deformasyonlar.

Genelleştirilmiş Hooke Yasası ………………………………………… 6

Potansiyel gerinim enerjisi …………………………… 7

Kuvvet teorileri ……………………………………………… 9

Mohr'un kuvvet teorisi ………………………………………… 10

Mohr Çemberi ………………………………………………………… 10

Net kesme ………………………………………………… 11

Kesmede Hooke yasası …………………………………………… 12

Burulma …………………………………………………… ..13

Dikdörtgen bir çubuğun burulması ……………………… .14

Eğilme …………………………………………………………… 15

Zhuravsky formülü ………………………………………… 16

Eğilme mukavemeti hesabı ………………………………… 18

Eğilme sırasında kirişlerde yer değiştirmelerin belirlenmesi ……………… 19

Bükmede diferansiyel bağımlılıklar ……………… .20

Yer değiştirmelerin uyumluluk denklemi …………………… ..22

Yer değiştirmeleri karşılaştırma yöntemi …………………………… ..22

Üç nokta teoremi …………………………………… ..22

Yer değiştirmeleri belirlemek için genel yöntemler ………………… .24

Karşılıklılık teoremi (Betley teoremi) ……………… .25

Yer değiştirmeler için karşılıklılık teoremi (Maxwell teoremi) .. 26

Mohr integralinin Vereshchagin yöntemiyle hesaplanması ……… .27

Castigliano teoremi ……………………………………… ..28

Statik olarak belirsiz sistemler ………………………… ..29

Çubukların (çubukların) düz eğrilerinin hesaplanması ……………… ... 31

Sıkıştırılmış çubukların kararlılığı. Burkulma ……… 33

Düz kesitlerin geometrik özellikleri ………… 36

Kesitin atalet momentleri ………………………………… ..37

Bölümün merkezkaç atalet momenti ………………… ..37

Basit bir formun bölümlerinin atalet momentleri .................................................. ................................38

Paralel eksenlere göre eylemsizlik momentleri …… ..39

Dönerken atalet momentleri arasındaki ilişki

akslar ………………………………………………………… 40

Direnç anları …………………………………… .42

Germe ve sıkıştırma ………………………………………… 43

Malzemelerin temel mekanik özellikleri ........ 45