Paralelkenarda nokta yan taraftadır. Vektörü ve vektörleri cinsinden ifade edin.

sorunun çözümü

Bu ders, bir paralelkenarın yan kenarları biçiminde bilinen vektörler aracılığıyla, orijinal vektörlerin bir bileşimi biçiminde isteğe bağlı bir parçanın nasıl ifade edileceğini gösterir. Paralelkenarın kenarlarından birinin gerekli doğru parçasına ait bir noktaya hangi oranda bölündüğünü bilmeseydik, bu problemin bir çözümü olamazdı. Diğer eylemler, verilen vektörlerin ve yan tarafın bölündüğü vektörlerin başlangıcını ve sonunu belirlemeye indirgenir. Vektörleri birleştirirken işaretleri doğru kullanmak için tüm bunlar gereklidir. Sonuçta, vektör ekleme kurallarını hatırlamak gerekir: vektörlerin toplamı, başlangıcı ilk vektörün başlangıcı ile çakışan ve ikinci vektörün sonu ile çakışan üçüncü vektörü verir; ve vektörleri çıkarma kuralı: iki vektörün farkı, başlangıcı ikinci vektörün uçlarıyla ve bitişi birinci vektörün sonuyla çakışan üçüncü vektördür. Bu basit kurallara dayanarak, ihtiyacımız olan kombinasyonu elde edebilirsiniz.

Ayrıca, cevaplarını görebileceğiniz bağımsız bir çözüm için görevler olacaktır.

vektör kavramı

Vektörler ve üzerlerindeki işlemler hakkında her şeyi öğrenmeden önce, basit bir problemi çözmeye başlayın. Girişimciliğinizin bir vektörü ve yenilikçi yeteneklerinizin bir vektörü vardır. Girişimcilik vektörü sizi Hedef 1'e ve yenilikçi yeteneklerin vektörü Hedef 2'ye götürür. Oyunun kuralları öyledir ki, bu iki vektörün yönünde aynı anda hareket edemezsiniz ve aynı anda iki hedefe ulaşamazsınız. Vektörler etkileşime girer veya matematiksel olarak vektörler üzerinde bazı işlemler yapılır. Bu işlemin sonucu, sizi Hedef 3'e götüren "Sonuç" vektörüdür.

Şimdi söyle bana: "İşletme" ve "Yenilikçi yetenekler" vektörleri üzerindeki hangi işlemin sonucu "Sonuç" vektörüdür? Hemen söyleyemiyorsanız, cesaretiniz kırılmasın. Bu derste ilerledikçe, bu soruyu cevaplayabileceksiniz.

Yukarıda zaten gördüğümüz gibi, vektör mutlaka bir noktadan gider. A bir noktaya kadar düz bir çizgide B... Bu nedenle, her vektörün yalnızca sayısal bir değeri - uzunluk değil, aynı zamanda fiziksel ve geometrik - yönlülük vardır. Bu, bir vektörün ilk ve en basit tanımına götürür. Yani vektör, bir noktadan giden yönlendirilmiş bir doğru parçasıdır. A diyeceğim şey şu ki B... Aşağıdaki gibi belirlenmiştir:.

Ve farklı başlamak için vektör işlemleri , bir vektör tanımıyla daha tanışmamız gerekiyor.

Vektör, bir başlangıç ​​noktasından varmak istediğiniz noktanın bir tür temsilidir. Örneğin, üç boyutlu bir vektör genellikle şu şekilde yazılır: (x, y, z) . Oldukça basit, bu sayılar bir noktaya ulaşmak için üç farklı yönde ne kadar yol kat edilmesi gerektiğini gösterir.

Bir vektör verilsin. nerede x = 3 (sağ el, sağı gösterir) y = 1 (sol el ileriyi gösterir) z = 5 (noktanın altında yukarı çıkan bir merdiven var). Bu verilere göre sağ elin gösterdiği yönde 3 mt, sol elin gösterdiği istikamette 1 mt. yürüyerek bir nokta bulacaksın ve ardından bir merdiven seni bekliyor ve 5 mt tırmanarak nihayet olacaksın. kendini son noktada bul.

Diğer tüm terimler, vektörler üzerinde çeşitli işlemler, yani pratik problemleri çözmek için gerekli olan yukarıdaki açıklamanın iyileştirmeleridir. Tipik vektör problemleri üzerinde durarak bu daha katı tanımları gözden geçirelim.

Fiziksel örnekler vektör nicelikleri, uzayda hareket eden bir maddesel noktanın yer değiştirmesi, bu noktanın hızı ve ivmesi ve buna etki eden kuvvet olabilir.

geometrik vektörşeklinde iki boyutlu ve üç boyutlu uzayda sunulan yönlü segment... Bu, başlangıç ​​ve bitiş arasında ayrım yapan bir segmenttir.

Eğer A vektörün başlangıcıdır ve B- sonu, daha sonra vektör bir sembol veya bir küçük harf ile gösterilir. Şekilde vektörün sonu bir okla gösterilmiştir (Şekil 1)

Uzunluk(veya modül) bir geometrik vektörün, onu oluşturan parçanın uzunluğudur.

iki vektör denir eşit , paralel transfer yoluyla hizalanabiliyorlarsa (yönler örtüşüyorsa), yani. paralellerse, aynı yöne bakın ve eşit uzunluklara sahipler.

Fizikte, genellikle kabul edilir bağlantılı vektörler uygulama noktası, uzunluk ve yön tarafından verilir. Vektörün uygulama noktası önemli değilse, uzayda herhangi bir noktaya uzunluk ve yön korunarak aktarılabilir. Bu durumda vektöre denir. Bedava... Sadece dikkate almayı kabul edeceğiz ücretsiz vektörler.

Geometrik vektörler üzerinde doğrusal işlemler

Bir vektörü bir sayı ile çarpma

vektörün çarpımı numaraya göre bir vektörden zamanla germe (at) veya sıkıştırma (at) ile elde edilen bir vektöre vektör denir ve vektörün yönü, eğer korunur ve eğer ise tam tersine değişir. (İncir. 2)

Tanımdan, vektörler ve = her zaman bir veya paralel doğrular üzerinde yer alır. Böyle vektörlere denir doğrusal... (Bu vektörlerin paralel olduğunu da söyleyebilirsiniz, ancak vektör cebirinde "eşdoğrusal" demek adettendir.) Tersi de doğrudur: eğer vektörler ve eşdoğrusal iseler, o zaman bunlar bağıntı ile ilişkilidir.

Bu nedenle eşitlik (1) iki vektör için eşdoğrusallık koşulunu ifade eder.

Vektörlerin toplanması ve çıkarılması

Vektörleri eklerken şunu bilmeniz gerekir. toplam vektörler ve başlangıcı vektörün başlangıcına denk gelen ve sonu - vektörün başlangıcının vektörün sonuna eklenmesi şartıyla vektörün sonu ile çakışan bir vektör olarak adlandırılır. (Şekil 3)

Bu tanım, herhangi bir sonlu sayıda vektöre dağıtılabilir. Yer verilsin nücretsiz vektörler. Birkaç vektör eklerken, kapanış vektörü, başlangıcı ilk vektörün başlangıcıyla ve bitiş - son vektörün sonuyla çakışan toplamları olarak alınır. Yani, vektörün başlangıcını vektörün sonuna, vektörün başlangıcını vektörün sonuna vb. eklerseniz. ve son olarak, vektörün sonuna - vektörün başlangıcına, sonra bu vektörlerin toplamı kapanış vektörüdür başlangıcı ilk vektörün başlangıcı ile çakışan ve sonu - son vektörün sonu ile. (Şek. 4)

Terimlere vektörün bileşenleri denir ve formüle edilen kural şudur: çokgen kuralı... Bu çokgen düz olmayabilir.

Bir vektörü -1 ile çarptığınızda zıt vektörü elde edersiniz. Vektörler ve aynı uzunluk ve zıt yönlere sahiptir. Onların toplamı verir sıfır vektör kimin uzunluğu sıfırdır. Sıfır vektörünün yönü tanımsızdır.

Vektör cebirinde, çıkarma işlemini ayrı ayrı ele almaya gerek yoktur: bir vektörden bir vektörü çıkarmak, vektöre zıt vektörü eklemek anlamına gelir, yani.

Örnek 1.İfadeyi basitleştirin:

.

,

yani vektörler polinomlarla aynı şekilde toplanabilir ve sayılarla çarpılabilir (özellikle ifadeleri basitleştirme görevleri). Genellikle, vektörlerin çarpımlarını hesaplamadan önce, vektörlerle doğrusal olarak benzer ifadeleri basitleştirme ihtiyacı ortaya çıkar.

Örnek 2. Vektörler ve ABCD paralelkenarının köşegenleri olarak işlev görür (Şekil 4a). Bu paralelkenarın kenarları olan ve her iki vektör cinsinden ifade edin.

Çözüm. Paralelkenar köşegenlerinin kesişme noktası her köşegeni ikiye böler. Problem ifadesinde gerekli olan vektörlerin uzunluklarını, ya istenilenlerle bir üçgen oluşturan vektörlerin toplamının yarısı, ya da farkların yarısı (köşegen olarak görev yapan vektörün yönüne bağlı olarak) olarak buluruz. ikinci durumda, eksi işaretiyle alınan toplamın yarısı. Sonuç, problem ifadesinde gerekli olan vektörlerdir:

Bu dersin başındaki Girişimcilik ve Yenilikçi Yetenek vektörleriyle ilgili soruyu artık doğru yanıtladığınıza inanmak için her türlü neden var. Doğru cevap: Bu vektörler üzerinde toplama işlemi yapılmaktadır.

Vektör problemlerini kendiniz çözün ve ardından çözümleri görün

Vektörlerin toplamının uzunluğu nasıl bulunur?

Bu görev, trigonometrik özelliklerin kullanımını içerdiğinden vektör işlemlerinde özel bir yer tutar. Diyelim ki aşağıdaki gibi bir görevle karşılaştınız:

Vektörlerin uzunlukları verildiğinde ve bu vektörlerin toplamının uzunluğu. Bu vektörler arasındaki farkın uzunluğunu bulun.

Bu ve benzeri sorunların çözümleri ve bunların nasıl çözüleceğine dair açıklamalar - derste " Vektör toplama: vektör toplam uzunluk ve kosinüs teoremi ".

Ve bu tür sorunların çözümünü adresinden kontrol edebilirsiniz. Çevrimiçi hesap makinesi "Bir üçgenin bilinmeyen tarafı (vektör toplama ve kosinüs teoremi)" .

Vektörlerin ürünleri nerede?

Vektörden vektöre ürünler doğrusal işlemler değildir ve ayrı olarak değerlendirilir. Ve Vektörlerin ve Vektörlerin Nokta Çarpımı ve Vektörlerin Karışık Çarpımı öğreticilerimiz var.

Bir vektörün bir eksene yansıması

Vektörün eksene izdüşümü, vektör ile eksen arasındaki açının kosinüsü ile yansıtılan vektörün uzunluğunun ürününe eşittir:

Bildiğiniz gibi, noktanın izdüşümü A düz bir çizgide (düzlem), bu noktadan düz bir çizgiye (düzlem) bırakılan dikeyin tabanıdır.

İsteğe bağlı bir vektör olsun (Şekil 5) ve başlangıcının izdüşümleri olsun (noktalar A) ve bitiş (puan B) eksen başına ben... (Bir noktanın izdüşümünü oluşturmak için A) noktadan geçen düz bir çizgi üzerinde A düz çizgiye dik düzlem. Doğrunun ve düzlemin kesişimi, gerekli izdüşümünü tanımlayacaktır.

vektör bileşeni l ekseninde bu eksende yatan, başlangıcı başlangıcın izdüşümü ile çakışan ve sonu - vektörün sonunun izdüşümü ile çakışan bir vektör olarak adlandırılır.

Vektörün eksene izdüşümü ben numarayı aradı

,

bileşenlerin yönü eksen yönü ile çakışıyorsa, artı işareti ile alınan bu eksen üzerindeki bileşen vektörünün uzunluğuna eşittir ben, ve bu yönler zıt ise eksi işareti ile.

Eksen üzerindeki vektör izdüşümlerinin temel özellikleri:

1. Eşit vektörlerin aynı eksen üzerindeki izdüşümleri birbirine eşittir.

2. Bir vektörü bir sayı ile çarparken, izdüşümü aynı sayı ile çarpılır.

3. Vektörlerin toplamının herhangi bir eksen üzerindeki izdüşümü, aynı eksendeki vektörlerin toplamlarının izdüşümlerinin toplamına eşittir.

4. Vektörün eksene izdüşümü, vektör ile eksen arasındaki açının kosinüsü ile yansıtılan vektörün uzunluğunun ürününe eşittir:

.

Çözüm. Vektörleri bir eksene yansıt ben yukarıdaki teorik arka planda tanımlandığı gibi. Şekil 5a'dan, vektörlerin toplamının izdüşümü vektörlerin izdüşümlerinin toplamına eşit olduğu açıktır. Bu projeksiyonları hesaplıyoruz:

Vektörlerin toplamının son izdüşümünü bulun:

Bir vektörün uzayda dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sistemi ile ilişkisi

ile tanışma ilgili derste uzayda dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sistemi yer aldı, yeni bir pencerede açılması arzu edilir.

Sıralı bir koordinat sisteminde 0xyz eksen Öküz aranan apsis, eksen 0 yıl – y ekseni ve eksen 0z – eksen uygulaması.

keyfi bir nokta ile m vektör ilişkilendirdiğimiz uzay

aranan yarıçap vektörü puan m ve koordinat eksenlerinin her birine yansıtın. Karşılık gelen projeksiyonların değerlerini gösterelim:

sayılar x, y, z arandı M noktasının koordinatları, sırasıyla apsis, ordinat ve başvurmak, ve sıralı bir sayı noktası olarak yazılır: M (x; y; z)(şek. 6).

Yönü eksenin yönü ile çakışan birim uzunluktaki vektöre denir. birim vektör(veya ortom) eksen. ile belirtelim

Buna göre koordinat eksenlerinin birim vektörleri Öküz, Oy, Öz

Teorem. Herhangi bir vektör, koordinat eksenlerinin birim vektörleri boyunca genişletilebilir:

(2)

Eşitlik (2), vektörün koordinat eksenleri boyunca genişlemesi olarak adlandırılır. Bu genişlemenin katsayıları, vektörün koordinat eksenleri üzerindeki izdüşümleridir. Böylece vektörün koordinat eksenleri boyunca genişleme katsayıları (2) vektörün koordinatlarıdır.

Uzayda belirli bir koordinat sistemi seçildikten sonra, vektör ve koordinatlarının üçlüsü birbirini benzersiz olarak belirler, böylece vektör formda yazılabilir.

Vektörün (2) ve (3) biçimindeki temsilleri aynıdır.

Koordinatlardaki vektörler için eşdoğrusallık koşulu

Daha önce de belirttiğimiz gibi, vektörler bağıntı ile ilişkiliyse eşdoğrusal olarak adlandırılır.

vektörler olsun ... Bu vektörler, vektörlerin koordinatları bağıntı ile ilişkiliyse eşdoğrusaldır.

,

yani vektörlerin koordinatları orantılıdır.

Örnek 6. Verilen vektörler ... Bu vektörler doğrusal mı?

Çözüm. Bu vektörlerin koordinatlarının oranını bulalım:

.

Vektörlerin koordinatları orantılıdır, bu nedenle vektörler eşdoğrusaldır veya aynı olan paraleldir.

Vektör uzunluğu ve yön kosinüsleri

Koordinat eksenlerinin karşılıklı dikliği nedeniyle vektörün uzunluğu

vektörler üzerine inşa edilmiş dikdörtgen bir paralelyüzün köşegen uzunluğuna eşittir

ve eşitlik ile ifade edilir

(4)

Vektör tamamen iki nokta (başlangıç ​​ve bitiş) belirtilerek tanımlanır, böylece vektörün koordinatları bu noktaların koordinatları cinsinden ifade edilebilir.

Verilen bir koordinat sisteminde vektörün orijini şu noktada olsun:

ve son noktada

eşitlikten

Bunu takip eder

veya koordinat biçiminde

Buradan, vektörün koordinatları, aynı adı taşıyan vektörün sonu ve başlangıcının koordinatlarının farklılıklarına eşittir. ... Formül (4) bu durumda formu alır

Vektörün yönü ile belirlenir yön kosinüsleri ... Bunlar vektörün eksenlerle oluşturduğu açıların kosinüsleridir. Öküz, Oy ve Öz... Bu açıları sırasıyla gösterelim. α , β ve γ ... Daha sonra bu açıların kosinüsleri formüllerle bulunabilir.

Bir vektörün yönlü kosinüsleri de bu vektörün birim vektörünün koordinatlarıdır ve dolayısıyla vektör vektörü

.

Vektörün uzunluğunun bir birime eşit olduğu göz önüne alındığında, yani

,

yön kosinüsleri için aşağıdaki eşitliği elde ederiz:

Örnek 7. Bir vektörün uzunluğunu bulun x = (3; 0; 4).

Çözüm. Vektörün uzunluğu

Örnek 8. Puan verilir:

Bu noktalar üzerine kurulan üçgenin ikizkenar olup olmadığını öğrenin.

Çözüm. Vektörün (6) uzunluğu formülünü kullanarak, kenarların uzunluklarını bulur ve aralarında iki eşit olup olmadığını belirleriz:

İki eşit kenar bulundu, bu nedenle üçüncü kenarın uzunluğunu aramaya gerek yok ve verilen üçgen ikizkenar.

Örnek 9. Bir vektörün uzunluğunu ve yönünün kosinüslerini bulun: .

Çözüm. Vektör koordinatları verilir:

.

Vektörün uzunluğu, vektörün koordinatlarının karelerinin toplamının kareköküne eşittir:

.

Yön kosinüslerini bulun:

Vektör problemini kendiniz çözün ve ardından çözümü görün

Koordinat formunda belirtilen vektörler üzerinde işlemler

İki vektör verilsin ve bunların izdüşümleriyle verilmiş olsun:

Bu vektörler üzerindeki eylemleri gösterelim.

Sonunda çok uzun zamandır beklenen bir konuya ulaştım. analitik Geometri... İlk olarak, yüksek matematiğin bu bölümü hakkında biraz…. Elbette şimdi size sayısız teorem, ispatları, çizimleri vb. ile bir okul geometrisi dersini hatırlatıyorsunuz. Neyi saklamalı, öğrencilerin büyük bir kısmı için sevilmeyen ve çoğu zaman anlaşılmayan bir konu. Analitik geometri, garip bir şekilde, daha ilginç ve erişilebilir görünebilir. Analitik sıfatı ne anlama geliyor? Hemen akla iki damgalı matematiksel dönüş geliyor: "grafiksel çözüm yöntemi" ve "analitik çözüm yöntemi". grafiksel yöntem, elbette, grafiklerin, çizimlerin yapımı ile ilişkilidir. Analitik aynısı yöntem problem çözmeyi içerir ağırlıklı olarak cebirsel eylemler aracılığıyla. Bu bağlamda, analitik geometrinin neredeyse tüm problemlerini çözme algoritması basit ve şeffaftır, genellikle gerekli formülleri dikkatlice uygulamak yeterlidir - ve cevap hazır! Hayır, elbette, çizimler olmadan olmaz, ayrıca, malzemenin daha iyi anlaşılması için, onları ihtiyaçtan fazla alıntılamaya çalışacağım.

Açılan geometri dersleri, teorik bütünlük iddiasında bulunmaz, pratik problemlerin çözümüne odaklanır. Derslerime yalnızca benim açımdan pratik açıdan önemli olan şeyleri dahil edeceğim. Herhangi bir alt bölümde daha eksiksiz yardıma ihtiyacınız varsa, aşağıdaki hazır yayınları öneririm:

1) Şaka değil, birkaç neslin aşina olduğu bir şey: Okul geometri ders kitabı, yazarlar - L.S. Atanasyan ve Şirketi... Okul soyunma odasının bu askısı, elbette sınır olmayan 20 (!) Yeniden Baskıya dayandı.

2) 2 ciltte geometri... Yazarlar L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.... Bu lise edebiyatı, ihtiyacın olacak ilk cilt... Nadir görevler gözümün önünden kaybolabilir ve bu eğitim paha biçilmez yardımcı olacaktır.

Her iki kitap da internetten ücretsiz olarak indirilebilir. Ayrıca arşivimi sayfada bulabileceğiniz hazır çözümlerle kullanabilirsiniz. Yüksek matematikteki örnekleri indirin.

Araç setinden yine kendi geliştirmemi öneriyorum - yazılım paketi hayatı büyük ölçüde kolaylaştıracak ve çok zaman kazandıracak analitik geometri üzerine.

Okuyucunun temel geometrik kavramlara ve şekillere aşina olduğu varsayılır: nokta, doğru, düzlem, üçgen, paralelkenar, paralelyüz, küp vb. Bazı teoremleri, en azından Pisagor teoremini hatırlamanız tavsiye edilir, tekrarlayıcılara merhaba)

Ve şimdi sırayla ele alacağız: bir vektör kavramı, vektörlerle eylemler, bir vektörün koordinatları. ayrıca okumanı tavsiye ederim önemli makale Vektörlerin nokta çarpımı ve ayrıca Vektör ve vektörlerin karışık çarpımı... Yerel görev - Bu bağlamda bir bölümün bölünmesi de gereksiz olmayacaktır. Yukarıdaki bilgilere dayanarak, ustalaşabilirsiniz düzlemde bir doğrunun denklemiİle en basit çözüm örnekleri hangi izin verecek geometri problemlerini çözmeyi öğrenin... Aşağıdaki makaleler de yararlıdır: Uzayda bir uçağın denklemi, Uzayda düz bir çizginin denklemleri, Doğru ve düzlemde temel görevler, analitik geometrinin diğer bölümleri. Doğal olarak, yol boyunca tipik görevleri dikkate alacaklardır.

Vektör kavramı. Ücretsiz vektör

İlk önce, bir vektörün okul tanımını tekrarlayalım. Vektör aranan yönlendirilmiş Başlangıcı ve bitişi belirtilen bir segment:

Bu durumda, segmentin başı bir nokta, segmentin sonu bir noktadır. Vektörün kendisi ile gösterilir. Yönçok önemlidir, oku bölümün diğer ucuna yeniden düzenlerseniz, bir vektör elde edersiniz ve bu zaten tamamen farklı vektör... Vektör kavramını fiziksel bir cismin hareketiyle eşitlemek uygundur: kabul etmelisiniz, enstitünün kapılarından girmek veya enstitünün kapılarından çıkmak tamamen farklı şeylerdir.

Düzlemin bireysel noktalarını, sözde uzayı düşünmek uygundur. sıfır vektör... Böyle bir vektörün sonu ve başlangıcı aynıdır.

!!! Not: Bundan sonra vektörlerin aynı düzlemde olduğunu veya uzayda yer aldıklarını varsayabilirsiniz - sunulan malzemenin özü hem düzlem hem de uzay için geçerlidir.

Efsane: Birçoğu, atamada ok olmayan bir değnek hemen fark etti ve dedi ki, üstte bir ok da var! Doğru, bir okla yazabilirsiniz:, aynı zamanda gelecekte kullanacağım bir giriş... Niye ya? Görünüşe göre, bu alışkanlık pratik düşüncelerden gelişti, atıcılarım okulda ve üniversitede çok alacalı ve tüylü çıktı. Eğitim literatüründe, bazen çivi yazısı ile hiç uğraşmazlar, ancak harfleri kalın harflerle vurgularlar: böylece bunun bir vektör olduğunu ima ederler.

Tarz buydu, ama şimdi vektörleri yazmanın yolları hakkında:

1) Vektörler iki büyük Latin harfiyle yazılabilir:
vb. Ayrıca ilk harf mutlaka vektörün başlangıç ​​noktasını ve ikinci harf vektörün bitiş noktasını belirtir.

2) Vektörler ayrıca küçük Latin harfleriyle de yazılır:
Özellikle, kısaltmak için vektörümüz küçük bir Latin harfiyle yeniden adlandırılabilir.

Uzunluk veya modül sıfır olmayan bir vektör, segmentin uzunluğudur. Sıfır vektörünün uzunluğu sıfırdır. Bu mantıklı.

Vektör uzunluğu, modül işaretiyle gösterilir:,

Bir vektörün uzunluğunu nasıl bulacağımızı biraz sonra öğreneceğiz (veya kimin için nasıl olduğunu tekrarlayacağız).

Bunlar, tüm okul çocuklarına aşina olan vektör hakkında temel bilgilerdi. Analitik geometride, sözde Ücretsiz vektör.

Eğer oldukça basitse - vektör herhangi bir noktadan ertelenebilir:

Eskiden bu tür vektörleri eşit olarak adlandırırdık (eşit vektörlerin tanımı aşağıda verilecektir), ancak tamamen matematiksel bir bakış açısıyla bu, BİR VE AYNI VEKTÖR veya Ücretsiz vektör... Neden ücretsiz? Çünkü problem çözme sürecinde şu veya bu "okul" vektörünü uçağın veya uzayın ihtiyacınız olan HERHANGİ bir noktasına "bağlayabilirsiniz". Bu çok havalı bir özellik! Rastgele uzunlukta ve yönde yönlendirilmiş bir segment hayal edin - sonsuz sayıda "klonlanabilir" ve uzayın herhangi bir noktasında, aslında, HER YERDE vardır. Bir öğrenci var: f ** k a vektöründe her öğretim üyesi. Sonuçta, sadece esprili bir kafiye değil, her şey neredeyse doğru - oraya yönlendirilmiş bir bölüm de eklenebilir. Ancak sevinmek için acele etmeyin, öğrencilerin kendileri daha sık acı çekiyor =)

Böyle, Ücretsiz vektör- o bir demet özdeş yönlendirilmiş çizgi parçaları. Paragrafın başında verilen bir vektörün okul tanımı: "Bir vektöre yönlendirilmiş bir segment denir ...", ima eder. özel bir düzlemde veya uzayda belirli bir noktaya bağlı, belirli bir kümeden alınan yönlendirilmiş bir parça.

Fizik açısından, serbest vektör kavramının genellikle yanlış olduğu ve uygulama noktasının önemli olduğu belirtilmelidir. Gerçekten de aynı kuvvetin buruna veya alnına doğrudan bir darbe, aptal örneğimin farklı sonuçlara yol açması için yeterli olacaktır. Ancak, özgür değil vektörler lise derslerinde de bulunur (oraya gitmeyin :)).

Vektörlerle eylemler. doğrusal vektörler

Okul geometri dersinde, vektörlerle bir dizi eylem ve kural dikkate alınır: üçgen kuralına göre toplama, paralelkenar kuralına göre toplama, vektör farkı kuralı, bir vektörün bir sayı ile çarpması, vektörlerin nokta çarpımı vb.Çekirdek için, özellikle analitik geometri problemlerinin çözümüyle ilgili olan iki kuralı tekrarlayacağız.

Üçgenler kuralına göre vektörlerin toplanması kuralı

Sıfır olmayan iki keyfi vektör düşünün ve:

Bu vektörlerin toplamını bulmak gerekir. Tüm vektörler serbest kabul edildiğinden, vektörü bir kenara koyduk. son vektörler:

Vektörlerin toplamı bir vektördür. Kuralı daha iyi anlamak için, içine fiziksel bir anlam koymanız tavsiye edilir: bazı vücudun bir vektör boyunca ve sonra bir vektör boyunca bir yol yapmasına izin verin. Daha sonra vektörlerin toplamı, başlangıç ​​noktasında başlangıç ​​ve varış noktasında bitiş ile ortaya çıkan yolun vektörüdür. Herhangi bir sayıda vektörün toplamı için benzer bir kural formüle edilmiştir. Söylediği gibi, vücut zikzak boyunca güçlü bir şekilde gidebilir ve belki de otomatik pilotta - toplamın ortaya çıkan vektörüne göre.

Bu arada, vektör ertelenirse Başlat vektör, eşdeğerini alırsınız paralelkenar kuralı vektörlerin eklenmesi.

İlk olarak, vektörlerin doğrusallığı hakkında. iki vektör denir doğrusal aynı çizgide veya paralel çizgilerde yatıyorlarsa. Kabaca konuşursak, paralel vektörlerden bahsediyoruz. Ancak onlarla ilgili olarak, "eşdoğrusal" sıfatı her zaman kullanılır.

İki doğrusal vektör düşünün. Bu vektörlerin okları aynı yönde ise bu vektörlere denir. birlikte yönetilen... Oklar farklı yönleri gösteriyorsa, vektörler ters yön.

Efsane: vektörlerin eşdoğrusallığı olağan paralellik sembolü ile yazılır:, detaylandırma mümkündür: (vektörler eş yönlüdür) veya (vektörler zıt yönlüdür).

Ürüne göre bir sayı ile sıfır olmayan bir vektör, uzunluğu eşit olan bir vektördür ve vektörler ve vektörleri birlikte ve zıt yönde yönlendirilir.

Bir vektörü bir sayı ile çarpma kuralını, şekil yardımıyla anlamak daha kolaydır:

Daha ayrıntılı olarak anlayalım:

1 yön. Faktör negatifse, vektör yön değiştirir tam tersine.

2) Uzunluk. Faktör veya içindeyse, vektörün uzunluğu azalır... Yani vektörün uzunluğu, vektörün uzunluğunun yarısıdır. Modül birden büyükse, vektörün uzunluğu artışlar zamanında.

3) Lütfen unutmayın tüm vektörler doğrusaldır, bir vektör diğeri cinsinden ifade edilirken, örneğin,. Tersi de doğrudur: eğer bir vektör diğeri cinsinden ifade edilebiliyorsa, bu tür vektörler zorunlu olarak eşdoğrusaldır. Böylece: bir vektörü bir sayı ile çarparsak doğrusal olur(orijinal ile ilgili olarak) vektör.

4) Vektörler eş yönlüdür. Vektörler ve aynı zamanda eş yönlüdür. Birinci grubun herhangi bir vektörü, ikinci grubun herhangi bir vektörüne göre zıt yönlüdür.

Hangi vektörler eşittir?

İki vektör eş yönlü ve aynı uzunluktaysa eşittir... Eş yönlülüğün eşdoğrusal vektörleri ifade ettiğini unutmayın. "İki vektör eşdoğrusal, eş yönlü ve aynı uzunluğa sahipse eşittir" dersek tanım yanlış (gereksiz) olacaktır.

Serbest vektör kavramı açısından, eşit vektörler, önceki paragrafta tartışılan bir ve aynı vektördür.

Uçakta ve uzayda vektör koordinatları

İlk nokta, vektörleri bir düzlemde düşünmektir. Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemini temsil ediyoruz ve koordinatların orijininden ayrılıyoruz. bekar vektörler ve:

vektörler ve dikey... Ortogonal = Dik. Terimlere yavaş yavaş alışmanızı tavsiye ederim: paralellik ve diklik yerine sırasıyla kelimeleri kullanıyoruz doğrusallık ve diklik.

atama: vektörlerin dikliği olağan diklik sembolüyle yazılır, örneğin:.

İncelenen vektörlere denir. koordinat vektörleri veya ortlar... Bu vektörler temel yüzeyde. Temel nedir, bence, sezgisel olarak birçok kişi için açıktır, makalede daha ayrıntılı bilgi bulunabilir. Vektörlerin doğrusal (olmayan) bağımlılığı. Vektörlerin temeli Basit bir deyişle, koordinatların temeli ve kökeni tüm sistemi tanımlar - bu, tam ve zengin bir geometrik yaşamın tüm hızıyla devam ettiği bir tür temeldir.

Bazen inşa edilmiş temel denir ortonormal düzlemin temeli: "orto" - koordinat vektörleri dik olduğundan, "normalleştirilmiş" sıfatı birim anlamına gelir, yani. taban vektörlerinin uzunlukları bire eşittir.

atama: temel genellikle parantez içinde yazılır, içinde kesin sırayla temel vektörler listelenir, örneğin:. koordinat vektörleri yasaktır yeniden düzenlemek.

Herhangi vektör düzlemi sıradışı yolşeklinde açıklanan:
, nerede - sayılar hangi denir vektör koordinatları bu temelde. Ve ifadenin kendisi aranan vektörün ayrıştırılmasıtemelinde .

Akşam yemeği sunuldu:

Alfabenin ilk harfiyle başlayalım: Çizim, vektörü tabana göre genişletirken, az önce ele alınanların kullanıldığını açıkça göstermektedir:
1) bir vektörü bir sayı ile çarpma kuralı: ve;
2) üçgen kuralına göre vektörlerin eklenmesi:.

Şimdi vektörü düzlemdeki herhangi bir noktadan zihinsel olarak bir kenara koyun. Çürümesinin "acımasızca onu takip edeceği" oldukça açık. İşte vektörün özgürlüğü - vektör "her şeyi kendisiyle birlikte taşır". Bu özellik, elbette, herhangi bir vektör için geçerlidir. Temel (serbest) vektörlerin kendilerinin orijinden ertelenmesi gerekmemesi komik, örneğin biri sol altta, diğeri sağ üstte çizilebilir ve bundan hiçbir şey değişmeyecek! Doğru, bunu yapmanıza gerek yok, çünkü öğretmen de özgünlük gösterecek ve sizi beklenmedik bir yerde "kredi" çekecektir.

Vektörler, bir vektörü bir sayı ile çarpma kuralını tam olarak gösterir, vektör taban vektörü ile eş yönlüdür, vektör taban vektörünün karşısındadır. Bu vektörlerin koordinatlarından biri sıfıra eşittir, titizlikle aşağıdaki gibi yazılabilir:


Ve bu arada, temel vektörler şöyle: (aslında, kendileri aracılığıyla ifade edilirler).

Ve sonunda:,. Bu arada, vektör çıkarma nedir ve neden çıkarma kuralından bahsetmedim? Lineer cebirde bir yerde, nerede olduğunu hatırlamıyorum, çıkarmanın özel bir toplama durumu olduğunu belirtmiştim. Böylece, "de" ve "e" vektörlerinin açılımları sakince bir toplam olarak yazılır:, ... Vektörlerin eski güzel üçgen toplamasının bu durumlarda nasıl net bir şekilde çalıştığını çizimi takip edin.

Formun dikkate alınan ayrışması bazen vektör ayrışması denir sistemde ort(yani birim vektörler sisteminde). Ancak bir vektör yazmanın tek yolu bu değildir, aşağıdaki seçenek yaygındır:

Veya eşittir işaretiyle:

Temel vektörlerin kendileri aşağıdaki gibi yazılır: ve

Yani vektörün koordinatları parantez içinde belirtilmiştir. Pratik görevlerde, üç kayıt seçeneğinin tümü kullanılır.

Konuşmak konusunda tereddüt ettim ama yine de söyleyeceğim: vektörlerin koordinatları yeniden düzenlenemez. Kesinlikle ilk etapta birim vektöre karşılık gelen koordinatı yazın, kesinlikle ikinci sırada birim vektöre karşılık gelen koordinatı yazıyoruz. Gerçekten de, ve iki farklı vektördür.

Uçaktaki koordinatları bulduk. Şimdi üç boyutlu uzayda vektörlere bakalım, burada hemen hemen aynı! Yalnızca bir koordinat daha eklenecektir. Üç boyutlu çizimler yapmak zordur, bu yüzden kendimi basitlik için başlangıçtan erteleyeceğim bir vektörle sınırlayacağım:

Herhangiüç boyutlu uzay vektörü olabilir tek yol ortonormal bir temelde genişletin:
, verilen bazda vektörün (sayı) koordinatları nerede.

Resimden örnek: ... Vektör kurallarının burada nasıl çalıştığını görelim. İlk olarak, bir vektörü bir sayı ile çarpmak: (kırmızı ok), (yeşil ok) ve (kızıl ok). İkinci olarak, birkaç, bu durumda üç vektör eklemeye bir örnek: Toplam vektör, başlangıç ​​noktasında (vektör başlangıcı) başlar ve son varış noktasında (vektör sonu) durur.

Elbette, üç boyutlu uzayın tüm vektörleri de ücretsizdir, vektörü başka bir noktadan zihinsel olarak ertelemeye çalışın ve onun ayrışmasının "onunla kalacağını" anlayacaksınız.

Düz kasaya benzer, yazıya ek olarak parantezli versiyonlar yaygın olarak kullanılmaktadır: ya.

Genişletmede bir (veya iki) koordinat vektörü yoksa, bunlar sıfırlarla değiştirilir. Örnekler:
vektör (titizlikle ) - yazın;
vektör (titizlikle) - not edin;
vektör (titizlikle ) - yazacağız.

Temel vektörler aşağıdaki gibi yazılır:

Burada, belki de analitik geometrideki problemleri çözmek için gereken tüm minimum teorik bilgidir. Belki çok fazla terim ve tanım vardır, bu yüzden aptallara bu bilgiyi tekrar okumalarını ve anlamalarını tavsiye ederim. Ve herhangi bir okuyucunun, materyalin daha iyi özümsenmesi için zaman zaman temel derse başvurması yararlı olacaktır. Eşdoğrusallık, ortogonallik, ortonormal temel, vektör ayrıştırması - bunlar ve diğer kavramlar genellikle aşağıdakilerde kullanılacaktır. Sitedeki materyallerin teorik bir testi, geometri üzerine bir kolokyumu geçmek için yeterli olmadığını not ediyorum, çünkü tüm teoremleri (kanıtlar olmadan) dikkatlice şifreliyorum - bilimsel sunum tarzının zararına, ancak anlayışınız için bir artı konunun. Ayrıntılı bir teorik arka plan için lütfen Profesör Atanasyan'ın selamını takip edin.

Ve pratik kısma geçiyoruz:

Analitik geometrinin en basit problemleri.
Koordinatlarda vektörlerle eylemler

Tam otomatik sayılacak görevlerin ve formüllerin nasıl çözüleceğini öğrenmek oldukça arzu edilir. ezberlemek, özel olarak ezberlemeseler bile, kendileri hatırlanacaklar =) Bu çok önemlidir, çünkü analitik geometrinin diğer problemleri en basit temel örneklere dayanmaktadır ve piyonları yemek için fazladan zaman harcamak can sıkıcı olacaktır. Gömleğin üst düğmelerini tutturmaya gerek yok, okuldan size pek çok şey tanıdık geliyor.

Materyalin sunumu hem düzlem hem de uzay için paralel bir seyir izleyecektir. Bu nedenle, tüm formüller ... kendiniz göreceksiniz.

İki noktaya göre bir vektör nasıl bulunur?

Düzlemin iki noktası verilmişse, vektör aşağıdaki koordinatlara sahiptir:

İki nokta ve verilmişse, vektör aşağıdaki koordinatlara sahiptir:

Yani, vektörün sonunun koordinatlarından karşılık gelen koordinatları çıkarmanız gerekir vektörün başlangıcı.

Egzersiz yapmak: Aynı noktalar için vektörün koordinatlarını bulmak için formülleri yazın. Dersin sonunda formüller.

örnek 1

Düzlemin iki noktası ve verilmiştir. Vektör koordinatlarını bulun

Çözüm: ilgili formüle göre:

Alternatif olarak, aşağıdaki giriş kullanılabilir:

Estetik şu şekilde karar verecek:

Şahsen, kaydın ilk versiyonuna alışkınım.

Yanıt vermek:

Duruma göre, bir çizim yapmak gerekli değildi (analitik geometri görevleri için tipiktir), ancak bazı noktaları aptallara açıklamak için çok tembel olmayacağım:

anlamak zorunludur nokta koordinatları ve vektör koordinatları arasındaki fark:

nokta koordinatları Dikdörtgen bir koordinat sistemindeki olağan koordinatlardır. Sanırım herkes 5-6. sınıftan beri koordinat düzleminde nokta koymayı biliyor. Uçakta her noktanın kesin bir yeri vardır ve onları hiçbir yere taşıyamazsınız.

Aynı vektörün koordinatları Bu durumda, temelde genişlemesi mi? Herhangi bir vektör ücretsizdir, bu nedenle, istenirse veya gerekirse, onu düzlemdeki başka bir noktadan kolayca erteleyebiliriz. İlginçtir ki, vektörler için eksenleri hiç oluşturmamak mümkündür, dikdörtgen bir koordinat sistemi, sadece bir tabana ihtiyaç vardır, bu durumda düzlemin bir ortonormal tabanı.

Noktaların koordinatları ve vektörlerin koordinatlarının kayıtları benzer görünüyor: ve koordinatların anlamı kesinlikle farklı ve bu farkı iyi bilmelisiniz. Bu fark elbette uzay için de geçerli.

Bayanlar ve baylar, elimizi dolduruyoruz:

Örnek 2

a) Puan ve verilir. Vektörleri bulun ve.
b) Puan verilir ve . Vektörleri bulun ve.
c) Puan ve verilir. Vektörleri bulun ve.
d) Puan verilir. Vektörleri bul .

Belki bu yeterlidir. Bunlar bağımsız bir çözüm için örnekler, ihmal etmemeye çalışın, karşılığını verecektir ;-). Çizim yapmaya gerek yoktur. Çözümler ve cevaplar dersin sonunda.

Analitik geometride problem çözerken önemli olan nedir?"İki artı iki eşittir sıfır" atölye hatasından kaçınmak için SON DERECE DİKKATLİ olmak önemlidir. Bir yerde hata yaptıysam hemen özür dilerim =)

Bir doğru parçasının uzunluğu nasıl bulunur?

Uzunluk, daha önce belirtildiği gibi, modül işaretiyle gösterilir.

Düzlemin iki noktası ve verilirse, segmentin uzunluğu formülle hesaplanabilir.

İki nokta boşluk ve verilirse, segmentin uzunluğu formülle hesaplanabilir.

Not: İlgili koordinatlar yeniden düzenlenirse formüller doğru kalacaktır: ve, ancak ilk seçenek daha standarttır.

Örnek 3

Çözüm: ilgili formüle göre:

Yanıt vermek:

Netlik için bir çizim yapacağım

Bölüm - bu bir vektör değil ve elbette onu hiçbir yere taşıyamazsınız. Ayrıca, bir çizimi ölçeklendirmek için tamamlarsanız: 1 birim. = 1 cm (iki defter hücresi), daha sonra elde edilen cevap, doğrudan parçanın uzunluğunu ölçerek sıradan bir cetvelle kontrol edilebilir.

Evet, çözüm kısa ama açıklığa kavuşturmak istediğim birkaç önemli nokta daha var:

İlk olarak, cevaba boyutu koyduk: "birimler". Koşul NE olduğunu söylemez, milimetre, santimetre, metre veya kilometre. Bu nedenle, matematiksel olarak doğru bir çözüm, genel formülasyon olacaktır: "birimler" - "birim" olarak kısaltılır.

İkinci olarak, sadece incelenen problem için faydalı olmayan okul materyallerini tekrarlayacağız:

dikkat et önemli teknik – kökün altından bir faktör çıkarmak... Hesaplamalar sonucunda sonucu elde ettik ve iyi bir matematiksel stil, faktörü (mümkünse) kökün altından çıkarmayı içerir. Daha ayrıntılı olarak, süreç şöyle görünür: ... Tabii ki, cevabı formda bırakmak bir hata olmayacak - ama kesinlikle bir kusur ve öğretmen adına dırdır etmek için ağır bir argüman.

Diğer yaygın durumlar şunlardır:

Genellikle, örneğin kök altında oldukça büyük bir sayı elde edilir. Bu gibi durumlarda ne yapılmalı? Hesap makinesinde sayının 4: ile bölünüp bölünemeyeceğini kontrol edin. Evet, tamamen bölündü, böylece: ... Ya da belki sayı tekrar 4'e bölünebilir? ... Böylece: ... Sayının son basamağı tek olduğundan üçüncü kez 4'e bölmenin mümkün olmadığı açıktır. Dokuza bölmeye çalışıyoruz: Sonuç olarak:
Hazır.

Çözüm: kök altında çıkarılamayan bir sayı elde edilirse, çarpanı kökün altından kaldırmaya çalışırız - hesap makinesinde sayının bölünebilir olup olmadığını kontrol ederiz: 4, 9, 16, 25, 36, 49, vb.

Çeşitli problemlerin çözümü sırasında sıklıkla köklerle karşılaşılır, daha düşük notlardan ve gereksiz sorunlardan kaçınmak için her zaman kök altından faktörleri çıkarmaya çalışın, çözümlerinizi öğretmenin yorumuna göre rafine edin.

Kare alma ve diğer kuvvetleri aynı anda tekrar edelim:

Derecelerle ilgili genel kurallar cebir üzerine bir ders kitabında bulunabilir, ancak verilen örneklerden her şeyin veya hemen hemen her şeyin zaten açık olduğunu düşünüyorum.

Uzayda bir segmenti olan bağımsız bir çözüm için görev:

Örnek 4

Puan ve verilir. Doğru parçasının uzunluğunu bulun.

Çözüm ve cevap dersin sonunda.

Bir vektörün uzunluğunu nasıl bulabilirim?

Bir düzlem vektör verilirse, uzunluğu formülle hesaplanır.

Bir uzay vektörü verilirse, uzunluğu formülle hesaplanır. .