А) бял шум .

стационарен случаен процес с постоянна спектрална плътност на мощността при всички честоти се нарича бял шум.

Според теоремата на Винер-Хинчин корелационната функция на белия шум е:

е нула навсякъде с изключение на точката
. Средната мощност (дисперсия) на белия шум е безкрайно голяма.

Белият шум е делта-корелиран процес. Некорелацията на моментните стойности на такъв случаен сигнал означава безкрайно висока скорост на промяна във времето - без значение колко малък е интервалът , сигналът през това време може да се промени с всяка предварително определена стойност.

Белият шум е абстрактен математически модел и физическият процес, съответстващ на него, разбира се, не съществува в природата. Това обаче не ни пречи приблизително да заменим реалните достатъчно широколентови произволни процеси с бял шум в случаите, когато честотната лента на веригата, засегната от произволния сигнал, се окаже значително по-тясна от ефективната ширина на спектъра на шума.

Б) Гаусово (нормално) разпределение .

В теорията на случайните сигнали гаусовата плътност на вероятността е от основно значение.

(7.2)

Заместване на променлива
дава:

(7.3)

Тук Ф е интегралът на вероятността

Графиката на функцията F(x) има формата на монотонна крива, която се променя от 0 до 1.

16..Теснолентов произволен процес. Разпределение на Релей. Закон на Рейли-Райс.

Изучаваме свойствата на теснолентовите произволни сигнали, при които спектралната плътност на мощността има изразен максимум близо до определена честота , различен от нула. Нека дефинираме корелационната функция на теснолентов случаен процес.

Да разгледаме стационарен случаен процес x(t), чийто едностранен спектър на мощността
се концентрира в близост до определена честота >0. Според теоремата на Винер-Хинчин корелационната функция на този процес

(7.4)

изместване на спектъра на процеса от близост до честотата около нулевата честота,
(7.5)

Извършвайки осредняване с помощта на плътността на вероятността (7.22), намираме средната стойност на обвивката и нейната дисперсия:

(7.23)

(7.24)

Имайки едномерна плътност на вероятността на обвивката, е възможно да се решат редица проблеми в теорията на теснолентовите случайни процеси, по-специално да се намери вероятността обвивката да надхвърли определено дадено ниво.

Случайни променливи, разпределени според закона на Рейли,

Най-простата задача е да се намери едномерната плътност на вероятността на обвивката на общото трептене. Ако приемем, че полезният сигнал
, докато шум, ние пишем израза за изпълнение на общия процес X(t) . Този произволен процес е теснолентов, така че неговото изпълнение може да се изрази чрез бавно променяща се обвивка U(t) и началната фаза
:

В новите променливи, които имаме

(7.26)

Сега, за да се получи едномерна плътност на вероятността на обвивката, трябва да се интегрира дясната страна на формула (7.26) върху ъгловата координата, в резултат на което намираме:

(7.27)

Тази формула изразява закон, наречен закон на Райс. Имайте предвид, че когато
, т.е. при липса на детерминиран сигнал, законът на Райс става закон на Рейли.

Замествайки този израз в (7.27), имаме

(7.28)

Тези. обвивката на получения сигнал се разпределя в този случай приблизително нормално с дисперсия и математическо очакване
. На практика се счита, че
обвивката на получения сигнал се нормализира.

Вижте също

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво е „Добавен бял гаусов шум“ в други речници:

адитивен бял гаусов шум- Вид смущения в канала за предаване на информация. Характеризира се с еднаква спектрална плътност, нормално разпределена стойност на амплитудата и адитивен начин за влияние на сигнала. Най-често срещаният вид шум... Наръчник за технически преводач

Този термин има други значения, вижте Бял шум (значения). Цветове на шума Бял шум Розов шум Червен шум Сив шум ... Wikipedia

Допълнителният бял гаусов шум (AWGN) е вид интерфериращ ефект в канал за предаване на информация. Характеризира се с еднаква спектрална плътност, нормално разпределена стойност на амплитудата и адитивен начин на влияние ... ... Wikipedia

Плътност на вероятността Зелена линия ... Wikipedia

Нормално разпределение Плътност на вероятността Червената линия съответства на стандартното нормално разпределение Функция на разпределение Цветовете в тази графика съответстват на графиката по-горе ... Wikipedia

Този термин има други значения, вижте Сигнал (значение). Оптималното приемане на сигнал е област на радиотехниката, в която обработката на получените сигнали се извършва въз основа на методи за математическа статистика ... Wikipedia

ABGSh- добавен бял гаусов шум... Речник на съкращенията и съкращенията

9. Бял шум

9. Бял шум

• 9.1. Определение за бял шум.
• 9.2. Гаусов бял шум.
• 9.3. Физически източници на бял шум.
• 9.4. Съотношение на процесите.

9.1. Определение за бял шум

• Тясно стационарен случаен процес с функция на спектралната плътност на мощността, равна на положителна константа, се нарича бял шум.
• Името идва от оптиката, белият цвят се получава чрез смесване на вълни с различни честоти във видимия диапазон.
• Обикновено в процеса на бял шум математическото очакване е нула, m = 0.
• Тъй като белият шум е стационарен процес в тесен смисъл, неговата автокорелационна функция зависи от един аргумент τ;
• KXX(τ) е четно.

9.1. Определение за бял шум

• Функцията на спектралната плътност KXX(ω) се получава от автокорелационната функция чрез трансформацията на Фурие и тъй като функцията KXX(ω) е четна, може да се използва косинусовата трансформация.
• Нека KXX(ω) = c > 0. Обратното преобразуване на Фурие (или обратното косинусово преобразуване) на постоянна функция е равно на δ-функцията с коефициент c

9.1. Определение за бял шум

• Следователно, белият шум е некорелиран процес, произволни променливи X(t1) и X(t2) , тоест тяхната корелация е нула (другите променливи са линейно независими) за всяка. Разпределението на произволната променлива X(t0) в дефиницията на бял шум не е посочено, може да бъде всичко.
• Енергията на сигнала е пропорционална на интеграла
• От това следва, че бял шум не съществува.

9.2. Гаусов бял шум

• Помислете за стационарен некорелиран гаусов процес.
• Нека математическото очакване на процеса a = 0, средният квадрат е равен на σ. Тогава, с оглед на нулевото математическо очакване

• Ако σ клони към безкрайност, тогава такъв гаусов процес има тенденция към бял шум. Но в реално приложение човек трябва да се ограничи до конкретна стойност на средния квадрат σ. Задаваме σ = 10 и намираме спектралната плътност на такъв процес.

9.2. Гаусов бял шум

• Преобразуването на Фурие на функцията KXX(τ) на гаусовия процес може да бъде намерено чрез преминаване до границата (като ε клони към 0) на преобразуването на Фурие на правоъгълния импулс R(σ2, ε, t) (виж 3.8. Примери на преобразуванията на Фурие).

От дясната страна се получава функция, която клони към функцията на спектралната плътност KXX(ω) на бял шум за ε 0.

9.2. Гаусов бял шум

• Графики на апроксимация на спектралната плътност, получена от гаусовия процес при σ = 10
• за ε = 1, 0,5, 0,1

9.2. Гаусов бял шум

• Функцията се стреми към константа, но тази константа е нула. Независимо от това, на ограничен честотен интервал, функцията може приблизително да се счита за ненулева константа.
• По този начин, стационарен некорелиран гаусов процес може да се разглежда като приближение към белия шум. Той наистина се използва в практически задачи.

9.2. Гаусов бял шум

• Използвайки свойството ергодичност на гаусовия процес, ние оценяваме функциите на автокорелация и спектрална плътност за една реализация с обем n=1000 измервания.
• Графика на реализацията на некорелирания гаусов процес при a = 0, σ = 10.

9.2. Гаусов бял шум

• График за оценка на автокорелационната функция (статистическа автокорелационна функция) при n=1000 , a = 0, σ = 10.

9.2. Гаусов бял шум

• Графика на статистическата функция на спектралната плътност при n=1000 , a = 0, σ = 10 (интегралът е изчислен по метода на правоъгълниците, червената хоризонтална линия е средната стойност на функцията)

9.2. Гаусов бял шум

• Всеки некорелиран стационарен (достатъчно в тесен смисъл) процес може да бъде избран като приближение към белия шум. Например, можем да вземем дискретен процес D(t) с две равновероятни състояния +1 и -1, в моментите t = 0, 1, 2, ... процесът приема едно от тези състояния. (Един проблем: ако изчислим корелацията на съвместното разпределение на две такива величини, се оказва, че тя не е равна на нула).
• Упражнението. Намерете корелацията на съвместното разпределение, характеристиките на процеса D(t) (математическо очакване, дисперсия, автокорелационна функция, функция на спектрална плътност).

9.3. Физически източници на бял шум

• Белият шум, подобно на δ-функцията, съществува само като математическа абстракция. И двете понятия са възникнали от природни явления, абстрактни

Нормална дистрибуция, също наричан Гаусово разпределениеили Гаус - Лаплас- разпределение на вероятностите, което в едномерния случай се дава от функцията на плътността на вероятностите, съвпадаща с функцията на Гаус:

където параметърът μ е средната стойност (средната), медианата и модът на разпределението, а параметърът σ е стандартното отклонение (σ ² е дисперсията) на разпределението.

По този начин едномерното нормално разпределение е двупараметърно семейство от разпределения. Многовариантният случай е описан в статията "Многовариантно нормално разпределение".

стандартно нормално разпределениесе нарича нормално разпределение със средно μ = 0 и стандартно отклонение σ = 1 .

смисъл

Ако определено количество се образува в резултат на добавянето на много произволни слабо взаимозависими величини, всяка от които има малък принос спрямо общата сума, тогава центрираното и нормализирано разпределение на такава величина има тенденция към нормална дистрибуция.

Имоти

Моменти

Ако произволни променливи X 1 (\displaystyle X_(1))и X 2 (\displaystyle X_(2))са независими и имат нормално разпределение с математически очаквания μ 1 (\displaystyle \mu _(1))и μ 2 (\displaystyle \mu _(2))и дисперсии σ 1 2 (\displaystyle \sigma _(1)^(2))и σ 2 2 (\displaystyle \sigma _(2)^(2))съответно тогава X 1 + X 2 (\displaystyle X_(1)+X_(2))също има нормално разпределение с очаквана стойност μ 1 + μ 2 (\displaystyle \mu _(1)+\mu _(2))и дисперсия σ 1 2 + σ 2 2 . (\displaystyle \sigma _(1)^(2)+\sigma _(2)^(2).)Това означава, че нормална случайна променлива може да бъде представена като сума от произволен брой независими нормални случайни променливи.

Максимална ентропия

Нормалното разпределение има максимална диференциална ентропия сред всички непрекъснати разпределения, чиято дисперсия не надвишава дадена стойност.

правило три сигма

правило три сигма (3 σ (\displaystyle 3\sigma)) - почти всички стойности нормално разпределенипроизволна променлива се намира в интервала (x ¯ − 3 σ ; x ¯ + 3 σ) (\displaystyle \left((\bar (x))-3\sigma ;(\bar (x))+3\sigma \right)). По-строго - приблизително с вероятност от 0,9973 стойност нормално разпределенипроизволната променлива се намира в посочения интервал (при условие, че стойността x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))вярно и не е получено в резултат на обработка на пробата).

Моделиране на нормални псевдослучайни променливи

Най-простите приблизителни методи за моделиране се основават на централната гранична теорема. А именно, ако добавим няколко независими идентично разпределени количества с ограничена дисперсия, тогава сумата ще бъде разпределена приблизителноглоба. Например, ако добавите 100 независими стандарти равномерноразпределени случайни променливи, тогава разпределението на сумата ще бъде приблизително нормално.

За програмно генериране на нормално разпределени псевдослучайни променливи е за предпочитане да се използва трансформацията на Box-Muller. Позволява ви да генерирате една нормално разпределена стойност на базата на една равномерно разпределена.

Връзка с други дистрибуции

• Нормалното разпределение е разпределение на Пиърсън тип XI.
• Съотношението на двойка независими стандартни нормално разпределени случайни променливи има разпределение на Коши. Тоест, ако случайната променлива X (\displaystyle X)представлява връзката X = Y / Z (\displaystyle X=Y/Z)(където Y (\displaystyle Y)и Z (\displaystyle Z)са независими стандартни нормални случайни променливи), то ще има разпределение на Коши.
• Ако z 1 , … , z k (\displaystyle z_(1),\ldots,z_(k))са съвместно независими стандартни нормални случайни променливи, т.е. z i ∼ N (0 , 1) (\displaystyle z_(i)\sim N\left(0,1\right)), след това произволната променлива x = z 1 2 + … + z k 2 (\displaystyle x=z_(1)^(2)+\ldots +z_(k)^(2))има хи-квадрат разпределение с k степени на свобода.
• Ако случайната променлива X (\displaystyle X)подлежи на логнормално разпределение, то неговият естествен логаритъм има нормално разпределение. Тоест, ако X ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X\sim \mathrm (LogN) \left(\mu,\sigma ^(2)\right)), тогава Y = ln ⁡ (X) ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y=\ln \left(X\right)\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right )). И обратно, ако Y ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y\sim \mathrm (N) \left(\mu,\sigma ^(2)\right)), тогава X = exp ⁡ (Y) ∼ L og N (μ , σ 2) (\displaystyle X=\exp \left(Y\right)\sim \mathrm (LogN) \left(\mu,\sigma ^(2) \вдясно)).
• Съотношението на квадратите на две стандартни нормални случайни променливи има разпределение на Фишер със степени на свобода (1 , 1) (\displaystyle \left(1,1\right)).

История

За първи път нормалното разпределение като граница на биномното разпределение при p = 1 2 (\displaystyle p=(\tfrac (1)(2)))се появява през 1738 г. във второто издание на съчинението

Когато разглеждаме гаусов процес, често е удобно да го представим като сбор от неговата функция от средни и някакъв шумов процес с нулева средна стойност. По този начин,

където е гаусовият процес с нулева средна стойност:

В най-интересните приложни задачи, например, в случай на изстрелен шум [равенство ], средната функция е известен (не случаен) сигнал, а гаусов шумов процес, стационарен в тесен смисъл. Освен това, тъй като ковариационната функция е равна на корелационната функция [вж. формула]:

Така преобразуването на Фурие на функцията, т.е. спектралната плътност на мощността, напълно дефинира процеса с нулева средна стойност.

В много приложения на теорията на комуникацията трябва да се работи с източници на физически шум, при които спектралната плътност на мощността на гаусовия шум, насложен върху полезния сигнал, остава практически постоянна до честоти, много по-високи от честотите, които са основни в самия сигнал. В такива случаи от равенства (3.115) и (3.116) следва, че средноквадратична стойност на шумовата интерференция може да бъде намалена (без нежелан ефект върху полезния сигнал) чрез преминаване на сумата от сигнала и шума през филтъра, сигналът оставя филтъра без значителни промени и шумът е до голяма степен потиснат (фиг. 3.27). Тъй като ние се интересуваме само от спектралната плътност на мощността на шума на изхода на филтъра, изглежда от малко значение какъв е спектърът на шума на входа в областта, където той се доближава до нула извън лентата на пропускане на филтъра. В съответствие с това често се приема, че спектърът на входния шум е постоянен на всички честоти и се въвежда концепцията за бял гаусов шум, който се дефинира като стационарен гаусов процес с нулева средна стойност

Фиг. 3.27. Широколентов гаусов шум на Ginputs на теснолентов филтър. На изхода на филтъра се появява абсолютно същият процес, сякаш се въвежда бял шум.

и със спектрална плътност на мощността

В действителност белият шум може да бъде само фиктивен, тъй като неговата обща средна мощност трябва да бъде равна на

което е безсмислено. Полезността на концепцията за бял шум следва от факта, че такъв шум, когато се пропуска през линеен филтър, за който

се превръща на изхода на филтъра в стационарен гаусов процес с нулева средна стойност, което в никакъв случай не е безсмислено. От равенства (3.114) и (3.132) получаваме

откъдето следва, че

Тази величина е крайна по предположение (3.1336). В съответствие с равенства (3.120) и (3.134a), корелационната функция на изходния процес

Друго извеждане на равенството (3.125) се получава директно от израза за корелационната функция на белия шум. забележи това

Така, в съответствие с равенството (3.111), процесът се дава на корелационната функция

което също е полезно при изчисления, въпреки че няма физическо значение. От равенството (3.1366) следва, че всякакви две извадкови стойности на бял гаусов шум са статистически независими, независимо колко близки един до друг са избрани моментите на тяхното наблюдение. В известен смисъл белият гаусов шум описва крайната „случайност“. Замествайки израза (3.1366) във връзка (3.110a) при , получаваме

Фиг. 3.28. Пропускане на бял шум през идеален нискочестотен филтър.

Представяйки функциите като обратно преобразуване на Фурие и променяйки реда на интегриране, отново стигаме до равенството (3.135). Интегралът от дясната страна на равенствата (3.137) често се нарича "корелационна функция" на (детерминистичната) функция

Като пример за прилагане на тези резултати, разгледайте идеалния нискочестотен филтър, показан на фиг. 3.28, чиято предавателна функция е дадена като

Ако на входа на този филтър се подаде бял гаусов шум, тогава функцията на средните стойности на процеса на изхода се определя от равенството