Теорията на перколацията (потока) е най-общият подход за описание на транспортните процеси в неуредени системи. С негова помощ се отчитат вероятностите за образуване на клъстери от частици, докосващи се един друг и както стойностите на праговете на перколация, така и свойствата накомпозити (електрически, механични, термични и др.).

Потокът на електрически ток в композитните материали е най-адекватен на проблема с перколацията, формулиран за непрекъсната среда. Според този проблем всяка точка в пространството с вероятност стр=хотговаря на проводимосттаж = ж Х и с вероятност (1- стр) - проводимостж = ж D, къде ж Х е електрическата проводимост на пълнителя,ж д е електрическата проводимост на диелектрика. Прагът на перколация в този случай е равен на минималната част от пространството х Сзаети от проводящи региони, в които системата все още провежда. По този начин при критичната стойност на вероятността стр=х C, в системата се наблюдава преход метал-изолатор. При малки стрвсички проводящи елементи се съдържат в клъстери с краен размер, изолирани един от друг. Докато увеличавате стрсредният размер на клъстера също се увеличава при стр=х C първо се появява в систематабезкраен клъстер . И накрая, на високо стрнепроводимите области ще бъдат изолирани един от друг.

Основният резултат от теорията на перколацията е степенният характер на поведението на концентрацията на проводимостта в критичната област:

където хе обемната концентрация на проводящата фаза с проводимостж Х ; х С– критична концентрация (праг на перколация);ж д е проводимостта на диелектричната фаза. Зависимостта (1)-(3) е показана на фиг.1.

Ориз. 1. Зависимост на проводимостта на композитен материал от концентрацията на пълнителя

Връзка между експоненти (критични индекси):

Q=t(1/S-1)

Вероятно единственият точен резултат, получен в теорията на хетерогенните системи, е резултатът за двумерна двуфазна система метал-изолатор с такава структура, че при x D \u003d x H \u003d 0,5 замяната на метал с диелектрик не променя статистически структурата. Това дава възможност да се определи критичният индекс S за двумерни системи: S 2 =0,5. Тогава от (1.17) q 2 =t 2 =1.3. За триизмерни системи: S 3 = 0,62, q 3 = 1, t 3 = 1,6.

Един от най-важните параметри на теорията на перколацията е перколационният праг х С.Този параметър е по-чувствителен към промени в структурата, отколкото критичните индекси. За двумерните системи той варира в рамките на 0,30-0,50 със средната теоретична х С\u003d 0,45, а за триизмерни - в рамките на 0,05-0,60 s х С=0,15. Тези вариации са свързани с различни видове структури от композитни материали, тъй като в реалните системи критичната концентрация до голяма степен се определя от технологичния начин на получаване на сместа: естеството на праховата дисперсия, метода на пръскане, режимите на пресоване , топлинна обработка и др. Следователно най-целесъобразно е прагът на перколация да се определи експериментално от концентрационните зависимостиж (х), и не се счита за теоретичен параметър.

Прагът на перколация се определя от естеството на разпределението на пълнителя в матрицата, от формата на частиците на пълнителя, вида на матрицата.

За структурираникомпозитни материали естеството на електрическата проводимост и вида на зависимосттаж (х) не се различават качествено от подобни зависимости за статистически системи, но прагът на перколация се измества към по-ниски концентрации. Структурирането може да се дължи на взаимодействието на матрицата и пълнителя или да се извършва по принудителен начин, например под действието на електрически или магнитни полета.

Също праг на перколация зависи от формата на частиците на пълнителя. За удължени и люспести частици прагът на перколация е по-нисък, отколкото за сферични частици. Това се дължи на факта, че значителна дължина на електропроводимите участъци, поради геометрията на частиците, увеличава вероятността за създаване на надежден контакт и допринася за образуването на безкраен клъстер при относително ниски степени на запълване на композита .

За влакна със същото съотношение дължина-диаметър, но въведени в различни полимери, бяха получени различни стойности х С.

Въпреки значителния напредък, теорията на перколацията не е получила широко приложение за трикомпонентни и по-сложникомпозитни материали .

Също така е възможно да се комбинира теорията на перколацията и други методи за изчисление за

Въведение

1. Теория на перколацията

2.1 Процеси на желиране

Заключение

Теориите за перколация съществуват повече от петдесет години. Стотици статии се публикуват годишно на Запад, посветени както на теоретичните въпроси на перколацията, така и на нейните приложения.

Теорията на перколацията се занимава с образуването на свързани обекти в неуредена среда. От гледна точка на математика, теорията на перколацията трябва да се припише на теорията на вероятностите в графиките. От гледна точка на физиката, перколацията е геометричен фазов преход. От гледна точка на програмиста, това е най-широкото поле за разработване на нови алгоритми. От гледна точка на практиката, това е прост, но мощен инструмент, който ви позволява да решавате голямо разнообразие от житейски задачи с един подход.

Тази работа ще бъде посветена на основните положения на теорията на перколацията. Ще разгледам теоретичните основи на перколацията, ще дам примери, които обясняват явлението перколация. Ще бъдат разгледани и основните приложения на теорията на перколацията.

Теорията на перколацията (потока) е теория, която описва появата на безкрайни свързани структури (клъстери), състоящи се от отделни елементи. Представяйки средата като дискретна решетка, ние формулираме два прости типа проблеми. Възможно е избирателно да се оцветяват (отворят) възлите на решетката по произволен начин, като се има предвид съотношението на цветните възли като основен независим параметър и се приема, че два цветни възела принадлежат към един и същ клъстер, ако могат да бъдат свързани чрез непрекъсната верига на съседни цветни възли.

Въпроси като средния брой възли в клъстер, разпределението на размера на клъстерите, появата на безкраен клъстер и съотношението на цветните възли, включени в него, съставляват съдържанието на проблема с възлите. Възможно е също така избирателно да се оцветяват (отворени) връзки между съседни възли и да се счита, че възлите, свързани с вериги от отворени връзки, принадлежат към един и същи клъстер. След това същите въпроси за средния брой възли в клъстер и т.н. представляват съдържанието на проблема с връзката. Когато всички възли (или всички връзки) са затворени, решетката е модел на изолатор. Когато всички са отворени и токът може да тече през проводимите връзки през отворените възли, тогава решетката моделира метала. При някаква критична стойност ще настъпи перколационен преход, който е геометричен аналог на прехода метал-изолатор.

Теорията на перколацията е важна именно в близост до прехода. Далеч от прехода е достатъчно да се приближи до ефективната среда.Перколационният преход е аналогичен на фазовия преход от втори ред.

Феноменът на перколация (или потока на среда) се определя от:

Средата, в която се наблюдава това явление;

Външен източник, който осигурява поток в тази среда;

Начинът, по който протича една среда, който зависи от външен източник.

Като най-прост пример можем да разгледаме модел на поток (например електрически разбив) в двуизмерна квадратна решетка, състояща се от възли, които могат да бъдат проводими или непроводими. В началния момент от време всички възли на мрежата са непроводими. С течение на времето източникът замества непроводимите възли с проводими възли и броят на проводящите възли постепенно се увеличава. В този случай възлите се заменят произволно, тоест изборът на някой от възлите за замяна е еднакво вероятен за цялата повърхност на решетката.

Перколацията е моментът, в който се появява такова състояние на решетката, при което има поне един непрекъснат път през съседни проводими възли от единия до противоположния ръб. Очевидно с увеличаване на броя на проводящите възли този момент ще настъпи, преди цялата повърхност на решетката да се състои изключително от проводящи възли.

Нека означим непроводимите и проводимите състояния на възлите съответно с нули и единици. В двумерния случай средата ще съответства на двоична матрица. Последователността на замяна на нулите на матрицата с единици ще съответства на източника на изтичане.

В началния момент от време матрицата се състои изцяло от непроводими елементи:

перколационен желиращ газ чувствителен клъстер

С увеличаването на броя на проводимите възли идва критичен момент, когато настъпва перколация, както е показано по-долу:

Вижда се, че от лявата до дясната граница на последната матрица има верига от елементи, която осигурява протичането на тока през проводимите възли (единици), които непрекъснато следват един друг.

Перколацията може да се наблюдава както в решетките, така и в други геометрични структури, включително непрекъснати, състоящи се съответно от голям брой подобни елементи или непрекъснати области, които могат да бъдат в едно от двете състояния. Съответните математически модели се наричат ​​решетка или континуум.

Пример за перколация в непрекъсната среда може да бъде преминаването на течност през обемна пореста проба (например вода през гъба, изработена от разпенен материал), при която мехурчетата постепенно се надуват, докато размерът им е достатъчен, за да проникне течността от един ръб на пробата до друг.

Индуктивно концепцията за перколация се пренася върху всякакви структури или материали, които се наричат ​​перколационна среда, за които трябва да се определи външен източник на изтичане, методът на потока и елементите (фрагментите) от които могат да бъдат в различни състояния, едно от които (първичния) не удовлетворява този метод на преминаване. а другият удовлетворява. Методът на потока също така предполага определена последователност на поява на елементи или промяна на фрагментите на средата до състоянието, необходимо за потока, което се осигурява от източника. Източникът, от друга страна, постепенно прехвърля елементи или фрагменти от пробата от едно състояние в друго, докато настъпи момента на просмукване.

Праг на изтичане

Наборът от елементи, през които протича потокът, се нарича перколационен клъстер. Като свързана произволна графика по своето естество, в зависимост от конкретната реализация, тя може да има различна форма. Поради това е обичайно да се характеризира общият му размер. Прагът на перколация е броят на елементите на перколационен клъстер, свързан с общия брой елементи на разглежданата среда.

Поради произволния характер на превключващите състояния на елементите на околната среда, в крайната система няма ясно дефиниран праг (размерът на критичния клъстер), но има така наречения критичен диапазон от стойности, в който перколацията праговите стойности, получени в резултат на различни произволни реализации, падат. С увеличаване на размера на системата регионът се стеснява до точка.

2. Обхват на приложение на теорията на перколацията

Приложенията на теорията на перколацията са обширни и разнообразни. Трудно е да се посочи област, в която теорията на перколацията не би била приложена. Образуването на гелове, скачащата проводимост в полупроводниците, разпространението на епидемии, ядрени реакции, образуването на галактически структури, свойствата на порестите материали - това е далеч не пълен списък от различни приложения на теорията на перколацията. Не е възможно да се даде пълен преглед на работата по приложенията на теорията на перколацията, така че нека се спрем на някои от тях.

2.1 Процеси на желиране

Въпреки че процесите на желиране бяха първите проблеми, при които беше приложен подходът на перколация, тази област далеч не е изчерпана. Процесът на желиране е сливане на молекули. Когато в системата се появят агрегати, които се простират през цялата система, се казва, че е настъпил зол-гел преход. Обикновено се смята, че системата се описва от три параметъра - концентрацията на молекулите, вероятността за образуване на връзки между молекулите и температурата. Последният параметър влияе върху вероятността за образуване на връзка. По този начин процесът на желиране може да се разглежда като смесен проблем на теорията на перколацията. Трябва да се отбележи, че този подход се използва и за описание на магнитни системи. Има интересна посока за развитие на този подход. Задачата за желиране на протеина албумин е важна за медицинската диагноза.

Има интересна посока за развитие на този подход. Задачата за желиране на протеина албумин е важна за медицинската диагноза. Известно е, че протеиновите молекули имат удължена форма. Когато протеиновият разтвор премине във фазата на гел, значително влияние оказва не само температурата, но и наличието на примеси в разтвора или на повърхността на самия протеин. По този начин в смесения проблем на теорията на перколацията е необходимо допълнително да се вземе предвид анизотропията на молекулите. В известен смисъл това приближава разглеждания проблем до проблема с "иглите" и проблема с Накамура. Определянето на прага на перколация в смесена задача за анизотропни обекти е нов проблем в теорията на перколацията. Въпреки че за целите на медицинската диагностика е достатъчно да се реши задачата за обекти от един и същи вид, интерес представлява изследването на проблема за случаи на обекти с различна анизотропия и дори различни форми.

2.2 Прилагане на теорията на перколацията за описване на магнитни фазови преходи

Една от характеристиките на съединенията, базирани на и е преходът от антиферомагнитно към парамагнитно състояние вече с леко отклонение от стехиометрията. Изчезването на далечния ред настъпва при свръх концентрация на дупки в равнината , докато антиферомагнитният ред на къси разстояния се запазва в широк диапазон от концентрации x до свръхпроводящата фаза.

Качествено явлението се обяснява по следния начин. При легиране се появяват дупки върху кислородните атоми, което води до появата на конкурентно феромагнитно взаимодействие между спинове и потискане на антиферомагнетизма. Рязкото намаляване на температурата на Неел се улеснява и от движението на дупка, което води до разрушаване на антиферомагнитния ред.

От друга страна, количествените резултати се различават рязко от стойностите на прага на перколация за квадратна решетка, в рамките на която е възможно да се опише фазовият преход в изоструктурни материали. Възниква проблемът да се модифицира теорията на перколацията по такъв начин, че да се опише фазовият преход в слоя в рамките.

При описанието на слоя се приема, че има една локализирана дупка за всеки меден атом, тоест се приема, че всички медни атоми са магнитни. Резултатите от изчисленията на лентите и клъстерите обаче показват, че в нелегирано състояние броят на заетостта на медта е 0,5–0,6, а за кислорода – 0,1–0,2. На качествено ниво този резултат е лесен за разбиране чрез анализиране на резултата от точната диагонализиране на хамилтониана за клъстер с периодични гранични условия. Основното състояние на клъстера е суперпозиция на антиферомагнитното състояние и състояния без антиферомагнитно подреждане върху атомите на медта.

Може да се предположи, че около половината от атомите на медта имат по една дупка, а останалите атоми нямат нито една, или две дупки. Алтернативна интерпретация: дупката прекарва само половината от времето си върху медни атоми. Антиферомагнитното подреждане възниква, когато най-близките атоми на медта имат по една дупка. Освен това е необходимо кислородният атом между тези медни атоми или да няма дупка, или да има две дупки, за да се изключи появата на феромагнитно взаимодействие. В този случай няма значение дали разглеждаме моментната конфигурация на дупки или един или компонентите на вълновата функция на основното състояние.

Използвайки терминологията на теорията на перколацията, ще наричаме медни атоми с една дупка неблокирани места и кислородни атоми с една дупка прекъснати връзки. Преходът на феромагнитен ред на далечни разстояния - феромагнитен ред на къси разстояния в този случай ще съответства на прага на перколация, тоест появата на стесняващ се клъстер - безкрайна верига от неблокирани възли, свързани с непрекъснати връзки.

Най-малко две точки рязко разграничават проблема от стандартната теория на перколацията: първо, стандартната теория предполага наличието на атоми от два вида, магнитни и немагнитни, докато имаме само атоми от един тип (мед), чиито свойства варират в зависимост от за локализацията на дупката; второ, стандартната теория счита два възела за свързани, ако и двата не са блокирани (магнитни) - проблемът с възлите, или, ако връзката между тях не е нарушена - проблемът за връзките; в нашия случай се случва както блокирането на възли, така и прекъсването на връзките.

По този начин проблемът се свежда до намиране на прага на просмукване върху квадратна решетка за комбиниране на проблема с възела и връзката.

2.3 Прилагане на теорията на перколацията към изследването на чувствителни към газ сензори с перколационна структура

През последните години зол-гел процеси, които не са термодинамично равновесни, се използват широко в нанотехнологиите. На всички етапи от зол-гел процесите протичат различни реакции, които влияят на крайния състав и структура на ксерогела. На етапа на синтеза и узряването на зола възникват фрактални агрегати, чието развитие зависи от състава на прекурсорите, тяхната концентрация, реда на смесване, стойността на рН на средата, температурата и времето на реакцията, състава на атмосферата и др. Продуктите на зола -геловата технология в микроелектрониката, като правило, са слоевете, към които се налагат изискванията за гладкост, непрекъснатост и еднородност в състава. За газочувствителните сензори от ново поколение по-голям интерес представляват технологичните методи за получаване на порести нанокомпозитни слоеве с контролирани и възпроизводими размери на порите. В този случай нанокомпозитите трябва да съдържат фаза за подобряване на адхезията и една или повече фази от полупроводникови метални оксиди с n-тип електропроводимост, за да се осигури чувствителност към газ. Принципът на работа на полупроводниковите газови сензори, базирани на перколационни структури на слоеве от метален оксид (например калаен диоксид) е да променят електрическите свойства по време на адсорбцията на заредените видове кислород и десорбцията на продуктите от техните реакции с молекули на редуциращи газове . От концепциите на физиката на полупроводниците следва, че ако напречните размери на проводимите клони на перколационните нанокомпозити са съизмерими със стойността на характерната дължина на екраниране на Дебай, чувствителността към газа на електронните сензори ще се увеличи с няколко порядъка. Експерименталният материал, натрупан от авторите, обаче показва по-сложен характер на възникването на ефекта от рязкото повишаване на чувствителността на газ. Рязко повишаване на газовата чувствителност може да възникне при мрежови структури с геометрични размери на клоните, които са няколко пъти по-големи от стойностите на дължината на екраниране и зависят от условията на фрактално образуване.

Разклоненията на мрежовите структури представляват матрица от силициев диоксид (или смесена матрица от калай и силициеви диоксиди) с включени в нея кристали от калай диоксид (което се потвърждава от резултатите от симулацията), които образуват проводящ свиващ перколационен клъстер при съдържание на SnO2 на повече от 50%. По този начин е възможно качествено да се обясни увеличаването на стойността на прага на просмукване поради изразходването на част от съдържанието на SnO2 в смесената непроводяща фаза. Въпреки това, естеството на формирането на мрежови структури изглежда по-сложно. Многобройни експерименти за анализ на структурата на слоя чрез AFM методи в близост до приетата стойност на прага на перколационния преход не ни позволиха да получим надеждни документални доказателства за еволюцията на системата с образуване на големи пори според законите на моделите на перколация. С други думи, моделите на растежа на фракталните агрегати в системата SnO2 - SnO2 описват качествено само началните етапи на еволюция на зола.

В структури с йерархия от пори протичат сложни процеси на адсорбция-десорбция, презареждане на повърхностни състояния, релаксационни явления по границите на зърната и порите, катализа на повърхността на слоевете и в областта на контактите и др.) са приложими само за. разбиране на преобладаващата средна роля на едно или друго явление. За да се задълбочи изследването на физическите характеристики на механизмите на газовата чувствителност, беше необходимо да се създаде специална лабораторна настройка, която позволява да се регистрират времевите зависимости на промяната в аналитичния сигнал при различни температури в присъствието и отсъствието на редуциране. газове с определена концентрация. Създаването на експериментална настройка даде възможност за автоматично извършване и обработка на 120 измервания в минута в работен температурен диапазон от 20 - 400 ºС.

За структури с мрежова перколационна структура бяха разкрити нови ефекти, които се наблюдават, когато порести наноструктури на базата на метални оксиди са изложени на атмосфера от редуциращи газове.

От предложения модел на газочувствителни структури с йерархия на порите следва, че за да се повиши чувствителността на адсорбционните полупроводникови сензорни слоеве, принципно е възможно да се осигури относително висока устойчивост на пробата във въздуха и относително ниско съпротивление на филмовите наноструктури в наличието на газ-реагент. Практично техническо решение може да бъде реализирано чрез създаване на система от наноразмерни пори с висока плътност на разпределение в зърната, което осигурява ефективна модулация на процесите на текущия поток в структурите на перколационната мрежа. Това се реализира чрез целенасочено въвеждане на индиев оксид в система на базата на калай и силициев диоксид.

Заключение

Теорията на перколацията е сравнително ново и не напълно разбрано явление. Всяка година се правят открития в областта на теорията на перколацията, пишат се алгоритми, публикуват се статии.

Теорията на перколацията привлича вниманието на различни специалисти по редица причини:

Лесните и елегантни формулировки на проблемите в теорията на перколацията се съчетават с трудността при решаването им;

Решаването на проблеми с перколацията изисква комбиниране на нови идеи от геометрията, анализа и дискретната математика;

Физическата интуиция може да бъде много плодотворна при решаването на проблеми с перколацията;

Техниката, разработена за теория на перколацията, има множество приложения в други проблеми със случайни процеси;

Теорията на перколацията предоставя ключът към разбирането на други физически процеси.

Библиография

1. Тарасевич Ю.Ю. Перколация: теория, приложения, алгоритми. - М.: URSS, 2002.
2. Шабалин В.Н., Шатохина С.Н. Морфология на човешките биологични течности. - М.: Златоуст, 2001. - 340 с.: ил.
3. Plakida NM Високотемпературни свръхпроводници. - М.: Международна образователна програма, 1996.
4. Физични свойства на високотемпературните свръхпроводници / Под. Изд. Д. М. Гинзберг.- М.: Мир, 1990.
5. Просандеев С.А., Тарасевич Ю.Ю. Влияние на корелационните ефекти върху лентовата структура, нискоенергийните електронни възбуждения и функциите на реакция в слоести медни оксиди. // УФЖ 36(3), 434-440 (1991).
6. Елсин В.Ф., Кашурников В.А., Опенов Л.А. Подливаев A.I. Енергия на свързване на електрони или дупки в Cu - O клъстери: Точна диагонализация на Хамилтониана на Емери. // ЖЕТФ 99(1), 237-248 (1991).
7. Мошников V.A. Мрежови газови чувствителни нанокомпоненти на базата на калай и силициев диоксид. - Рязан, "Вестник RGGTU", - 2007.

Много степени на свобода

Йерархия на архитектура/структура в различни мащабни нива

IN в конвенционалните материали нехомогенността се проявява при атомни размери и физика

явленията имат квантовомеханичен характер. Говорейки за изкуствени среди - полимерни CMs, имаме предвид смеси, съставени от такива обикновени вещества и имащи както правилна, така и произволна, неуредена структура. Основното внимание ще бъде насочено към явленията, свързани с такава вторична нехомогенност. Това означава, че мащабът на нехомогенността на изкуствените среди е достатъчно голям, за да гарантира, че във всяка точка са изпълнени обичайните локални материални уравнения, които са присъщи на веществото, запълващо обема около тази точка. Въпреки че повечето от резултатите са верни и за случай на плавна промяна в параметрите на материала, ще се приеме най-простият модел на композитен материал - матрица, пълна с някакъв вид включвания.

Структура на полимерен CM

При производството на CM за структурни цели основната цел на пълнежа е да се получи подсилен полимерен материал, т.е. материал с подобрен комплекс от физични и механични свойства. Постига се както чрез въвеждане на влакнести подсилващи пълнители, така и с фино диспергирани пълнители, нарязани фибростъкло, аеросил и др. При създаването на CM със специални свойства обикновено се въвеждат пълнители, за да се даде на материала не механичен, а желаните електрофизични, термични, сензорни, и др.. свойства. В този случай частиците на пълнителя се разпределят по един или друг начин в полимерната матрица.

По естеството на разпределението на компонентите композитите могат да бъдат разделени на матрични системи, произволни смеси и структурирани състави. В матричните (редовни) системи частиците на пълнителя са разположени във възлите на редовна решетка (а). В статистическите системи компонентите са разпределени на случаен принцип и не образуват правилни структури (b). Структурираните композити включват системи, в които компонентите образуват верижни, плоски или насипни структури (в, г). На фиг. 1 са показани типичните структури на композитите и разпределението на пълнителя в матрицата.

Ориз. 1 Структури на композитите и разпределение на пълнителите в матрицата

Топология на хетерогенни системи (композити)

Топологията на CM се разбира като формата на частиците на дисперсната фаза, техните размери, както и разпределението на дисперсната фаза в обема на дисперсионната среда. Това включва също размера на включванията, разстоянието между тях, координатите на центровете на включванията, ъгъла на ориентация в пространството на неизомерните включвания (т.е. включвания, чийто размер в една или две избрани посоки е много по-голям от размерът в други посоки, например влакна, плочи).

Композитните материали на базата на едноосно ориентирани непрекъснати влакна или тъкани (фиг. 2) са лесни за анализ. В посока по протежение на влакната (в

Wiener) (фиг. 3). Тук σ f и σ m са електрическата проводимост на пълнителя и матрицата, p е обемната част на пълнителя. Тези изрази са от общ характер, тъй като съответстват на ефективната проводимост на двуфазна система с последователно и паралелно действие на фазите и са оптимални, при условие че са известни само обемните фракции на всяка фаза. Лесно е да се покаже, че за пластовите композитни материали надлъжната проводимост σ 1 винаги е по-висока от проводимостта σ 3 в посока, перпендикулярна на слоевете. Наистина, за пакет от слоеве с дебелина d i и проводимост σ i, надлъжната проводимост е равна на σ 1 = Σd i σ i , а напречната проводимост е 1/σ 3 = Σd i /σ i . Средна надлъжна проводимост σ eff ,1 = σ 1 /Σd i . Средна напречна проводимост 1/σ eff ,3 = Σd i /σ 3 . Използвайки неравенството на Коши–Буняковски, получаваме, че σ eff ,3< σ eff ,1 .

Ориз. 2. Два екстремни случая на микрогеометрия при полагане на пълнител. Електрическата проводимост в посока, успоредна на слоевете, се определя от горната граница на Винер; електропроводимост, перпендикулярна на слоевете - долната граница на Винер.

Ориз. Фиг. 3. Зависимост на ефективната електропроводимост на композита σ eff / σ m от концентрацията на пълнителя за горната и долната граница на Wiener в случай на σ f / σ m = 10.

Горните и долните граници на Wiener определят диапазона от стойности на електрическата проводимост на CM за дадено съотношение на параметрите на матрицата и пълнителя, независимо от формата на частиците и метода на приготвяне на CM. Всъщност границите на Винер дават твърде груба оценка на проводимостта, тъй като не отчитат топологията на композита, контактите между частиците на пълнителя и други фактори, но позволяват да се оцени диапазонът на промените в проводимостта и други транспортни характеристики (например топлопроводимост) за определена двойка CM компоненти.

Някои топологични характеристики на редица често срещани структури от композитни материали са дадени в следващата таблица.

Геометрична структура на хетерогенни системи

Теория на перколацията (поток)

Терминът перколация първоначално е използван за контраст на дифузията: ако в случай на дифузия имаме работа с произволно движение на частица в обикновена среда, то в случай на перколация говорим за редовно движение (например поток течност или ток) в произволна среда. Помислете за квадратна решетка 3x3. Нека боядисаме някои от квадратите с черно. В нашия случай те са 3. Делът на запълнените квадратчета е p = 1/3. Можете да избирате квадрати произволно и независимо; Можете да въведете всякакви правила. В първия случай се говори за произволна перколация (математиците също го наричат ​​перколация на Бернули), във втория – за корелирана перколация. Един от основните въпроси, на които теорията на перколацията се опитва да отговори, е при каква част от p от запълнените квадратчета се появява верига от черни квадрати, която свързва горната и долната страна на нашата мрежа? Лесно е да се види, че за решетка с краен размер такива вериги могат да се появят при различни концентрации (фиг. 4). Ако обаче размерът на мрежата L клони към безкрайност, тогава критичната концентрация става съвсем определена (фиг. 5). Това е строго доказано. Тази критична концентрация се нарича праг на перколация.

В случай на електропроводим пълнител, докато има верига от проводими секции, свързващи горната и долната част на пробата, той ще бъде изолатор. Ако разглеждаме черните квадрати като молекули, тогава образуването на верига от молекули, проникващи в цялата система, съответства на образуването на гел. Ако черните квадратчета са микропукнатини, тогава образуването на верига от такива пукнатини ще доведе до разрушаване, разделяне на пробата. И така, теорията на перколацията позволява да се опишат процеси от много различно естество, когато при плавна промяна на един от параметрите на системата (концентрация на нещо) свойствата на системата се променят рязко. Дори такъв прост модел се оказва достатъчен, за да опише например фазовия преход парамагнит-феромагнит, процеса на разпространение на епидемия или горски пожар.

Ориз. 4. Различни опции за пълнене на решетка.

Ориз. 5. Вероятност за поява на перколация P в зависимост от дела на запълнените места p. Гладката крива съответства на решетка с краен размер. стъпаловидно - безкрайно голяма решетка.

Задачите на перколационната теория са да опише корелациите между съответните физически и геометрични характеристики на анализираната среда. Най-прости и съответно най-изучавани са структурите, базирани на правилни решетки. За тях обикновено се разглежда проблемът с възлите и проблемът за връзките, които възникват при описването на физическите свойства (за определено ще говорим за електрическа проводимост) на решетките, от които определена част (1 p) произволно избрани възли (заедно с изходящите от тях облигации) или част от произволно избран начин на свързване. В проблема за връзките те търсят отговор на въпроса: каква част от връзките трябва да бъдат премахнати (нарязани), така че мрежата да се разпадне на две части? В проблема с възлите възлите са блокирани (възелът се премахва, всички връзки, влизащи в възела, се изрязват) и се търсят при каква част от блокираните възли мрежата ще се разпадне. Квадратната мрежа е само един от възможните модели. Възможно е да се разгледа просмукването върху триъгълни, шестоъгълни решетки, дървета, триизмерни решетки, например кубични, в пространство с размер, по-голям от 3. Решетката не е задължително да е правилна. Разглеждат се и процеси върху произволни решетки.

Проблем с възел (вляво) и проблем с връзката (вдясно) върху квадратна решетка.

Верига от свързани обекти, като черни квадрати, се нарича клъстер в теорията на перколацията (клъстер - английски - куп). Клъстер, свързващ две противоположни страни на система, се нарича перколиращ, безкраен, обхващащ или свързващ.

Перколационният преход е геометричен фазов преход. Прагът на перколация или критичната концентрация разделя две фази: в едната фаза има крайни клъстери, в другата има един безкраен клъстер.

За да се опишат електрическите свойства на CMs, най-адекватният е проблемът с перколацията, формулиран за непрекъсната среда. Според този проблем всяка точка в пространството с вероятност p=v f съответства на проводимост σ=σ f и с вероятност 1 p на проводимост σ=σ m . Тук индексът f означава пълнителя, а индексът m - матрицата. Прагът на перколация (v f * ) в този случай е равен на минималната част от пространството, заето от проводящи области, при които системата все още е проводима. Когато vf варира от 0 до 1, електрическата проводимост на композита се увеличава от σ m до σ f , което обикновено е 20 порядъка. ), което дава възможност да се говори за преход диелектрик към метал или както е се нарича също перколационен преход, при vf, равен на прага на перколация. Този преход е фазов преход от втори ред.

Фиг.6. Зависимост на електрическата проводимост на CM полипропилен + алуминий, получен по различни методи от обемното съдържание на алуминия: 1 смесване на компоненти под формата на прах с последващо пресоване, 2 полимеризационно пълнене, 3 смесване на ролки.

Нека разгледаме разпределението на проводимостта в системата при различно съдържание на пълнителя v f . При малки vf всички проводящи частици се обединяват в клъстери с краен размер, изолирани една от друга. С нарастване на v f средният размер на клъстерите се увеличава, а при v f = v f * значителна част от изолираните клъстери се сливат в т.нар. безкраен клъстер, проникващ в цялата система: появява се проводящ канал. По-нататъшното увеличаване на v f води до рязко увеличаване на обема на безкраен клъстер. Той расте чрез поглъщане на крайни клъстери и преди всичко най-големите от тях. В резултат на това средният размер на крайните клъстери намалява.

Изучавайки топологията на безкраен клъстер, изследователите стигнаха до заключението, че основната му част е концентрирана във вериги, завършващи в задънени улици. Тези вериги допринасят за плътността на безкрайния клъстер и за диэлектричната проницаемост, но не допринасят за проводимостта. Такива вериги се наричат ​​"задънки". Безкраен клъстер без задънени точки се нарича скелет на безкраен клъстер. Първият модел на скелета на безкраен клъстер беше моделът на Шкловски Де Жен. Това е неправилна решетка със средно разстояние между възлите в зависимост от близостта на концентрацията на пълнителя до прага на перколация.

В близост до прага на перколация, проводимостта σ на двукомпонентна смес с биномно разпределение на частиците е:

Качествено естеството на промяната в проводимостта е показано на следващата фигура.

В случай на анизотропни пълнители, проводимата фаза може да се състои от произволно ориентирани анизометрични частици (влакна, цилиндри); проводимостта на такъв материал винаги е изотропна; или проводимата фаза може да се състои от произволно ориентирани частици с анизотропна вътрешна проводимост. Прагът на просмукване за такива пълнители обикновено е много по-нисък, отколкото за частици със сферична или сфероидна форма, което лесно се вижда от фигурата: в първия случай е достатъчен по-малък брой частици, за да покрие разстоянието между противоположните страни на пробата . Показва и зависимостта на прага на перколация от коефициента на формата на частиците пълнител – съотношението на дължината l към диаметъра d , l/d .

Друг модел за изчисляване на свойствата на композитните материали е теорията на ефективната среда, която използва принципа на самопоследователното поле. Състои се във факта, че при изчисляване на полето вътре в микроскопичен елемент

перколация в противен случайизтичане(Английски) - в материалознанието - рязката поява на нови свойства в материала (електропроводимост - за изолатор, газопропускливост - за газонепропусклив материал и т.н.), когато е запълнен с "пълнител", който има тази характеристика. В някои случаи порите и кухините могат да действат като пълнител.

Описание

Перколацията настъпва при определена критична концентрация на пълнителя или порите (праг на перколация) в резултат на образуването на непрекъсната решетка (канал) от частици (клъстери) на пълнителя от едната страна на пробата от материала към противоположната страна.

Процесът на перколация може да бъде разгледан визуално чрез примера на потока на електрически ток в двуизмерна квадратна решетка, състояща се от електропроводими и непроводими области. Металните контакти са запоени към две противоположни страни на мрежата, които са свързани към източник на захранване. При определена критична стойност на дела на произволно подредени проводими елементи веригата се затваря (фиг.).

През 2010 г. „за доказване на конформната инвариантност на перколацията и модела на Изинг в статистическата физика“ Станислав Смирнов, родом от Санкт Петербург, печели наградата на Фийлдс по математика – еквивалента на Нобеловата награда.

Илюстрации

ТЕОРИЯ НА ПОТОКА(перколационна теория, от лат. percolatio - просмукване; перколационна теория) - мат. теория, която се използва за изследване на процеси, протичащи в нехомогенни среди със случайни свойства, но фиксирани в пространството и непроменени във времето. Възникна през 1957 г. в резултат на работата на Дж. Хамърсли (J. Hammersley). В P. T. се прави разлика между решетъчни проблеми на P. T., проблеми на континуума и т.нар. задачи на произволни възли. Решетъчните проблеми от своя страна се делят на т.нар. задачи на възли и задачи на връзки между тях.

Комуникационни задачи. Нека връзките са ръбове, свързващи съседни възли на безкрайна периодична таблица. решетки (фиг., о). Предполага се, че връзките между възлите могат да бъдат два вида: непокътнати или прекъснати (блокирани). Разпределението на целочислените и блокираните връзки в решетката е произволно; вероятността тази връзка да е цяло число е равна на х. Предполага се, че не зависи от състоянието на съседните връзки. Два решетъчни възела се считат за свързани един с друг, ако са свързани с верига от целочислени връзки. Колекция от възли, свързани един с друг. клъстер. За малки стойности хцели връзки като правило са далеч една от друга и клъстери от малък брой възли доминират, но с увеличаване на хразмерите на клъстерите се увеличават рязко. Праг на перколация ( x c) Наречен такава стойност х, за което за първи път възниква клъстер от безкраен брой възли. P. t. ви позволява да изчислите прагови стойности x s, както и за изследване на топологията на едромащабни клъстери близо до прага (вж Фрактали CС помощта на P. t. е възможно да се опише електрическата проводимост на система, състояща се от проводими и непроводими елементи. Например, ако приемем, че цели връзки провеждат електричество. ток, а блокираните не провеждат, оказва се, че кога х< х с бие електрическата проводимост на решетката е равна на 0, а при x > x cтой е различен от 0.

Решетъчен поток: но- проблем с връзката (няма път на потока през посочения блок); b - задачата на възлите (показан е пътят на потока).

Проблеми с решетъчния възелсе различават от проблемите с връзката по това, че блокираните връзки не се разпределят по решетката една по една - всички връзки, излизащи от c-l, са блокирани. възел (фиг., б). Блокираните по този начин възли се разпределят произволно върху решетката с вероятност 1 - х. Доказано е, че прагът x sтъй като проблемът с ограниченията върху която и да е решетка не надвишава прага x sза проблема с възела на същата решетка. За някои плоски решетки се намират точни стойности x s. Например за проблеми с свързването на триъгълни и шестоъгълни решетки x s= 2sin(p/18) и x c = 1 - 2 грех (стр/18). За проблема с възела на квадратна решетка x c = 0,5 За триизмерни решетки, стойностите x sнамерено приблизително с помощта на компютърна симулация (Таблица).

Прагове на перколация за различни решетки

Континуални задачи. В този случай, вместо да протичат през връзки и възли, те се разглеждат в неуредена непрекъсната среда. В цялото пространство е дадена непрекъсната произволна функция от координати. Нека фиксираме определена стойност на функцията и извикаме областите на пространството, в които е черно. При достатъчно малки стойности тези региони са редки и като правило са изолирани един от друг, докато при достатъчно големи стойности те заемат почти цялото пространство. Изисква се намиране на т.нар. дебит - мин. стойността на krom черни зони образуват свързан лабиринт от пътеки, напускащи за безкрайно разстояние. В триизмерния случай точното решение на проблема за континуума все още не е намерено. Компютърната симулация обаче показва, че за гаусовите случайни функции в триизмерно пространство обемната част, заета от черни зони, е приблизително 0,16. В двуизмерния случай делът на площта, заета от черни зони при е точно 0,5.

Задачи на произволни възли. Нека възлите не образуват редовна решетка, а са произволно разпределени в пространството. Два възела се считат за свързани, ако разстоянието между тях не надвишава фиксирана стойност, If е малко в сравнение с вж. разстояние между възлите, тогава клъстери, съдържащи 2 или повече възли, свързани помежду си, са рядкост, но броят на такива клъстери нараства рязко с увеличаване ги с малко ром критичен. смисъл има безкраен клъстер. Компютърната симулация показва, че в триизмерния случай 0,86, където н- концентрация на възли. Проблеми с произволни възли и тяхното разпадане. обобщенията играят важна роля в теорията скачаща проводимост.

Ефектите, описани от P. t., се отнасят до критични събития, характеризиращ се с критична точка, близо до която системата се разпада на блокове, и размерът на отд. блокове нараства неограничено при приближаване до критични. точка. Появата на безкраен клъстер в проблемите на P.T. в много отношения е аналогична на фазов преходвтори вид. За математика. се въвеждат описания на тези явления параметър на поръчката, което в случай на решетъчни проблеми е дробът P(x) решетъчни възли, принадлежащи на безкраен клъстер. Близо до прага на потока P(x) има формата

където - числен коефициент, b - критичен. индекса на параметъра на поръчката. Подобно f-la описва поведението на бийтовете. електропроводимост s(x) близо до прага на перколация:

където В 2- числен коефициент, s(1) - удари. електрическа проводимост при ° С= 1, f - критичен. индекс на проводимост. Пространствените размери на клъстерите се характеризират с радиуса на корелация R(x), кандидатствайки за

Тук Б 3 - числов коефициент, но- константа на решетката, v - критична. индекс на радиус на корелация.

Праговете на перколация по същество зависят от вида на проблемите на P. t., но са критични. индексите са еднакви за диф. проблеми и се определят само от размерите на пространството д(универсалност). Представленията, заимствани от теорията на фазовите преходи от 2-ри вид, позволяват да се получат отношения, свързани с различни критични. индекси. Приближаване самопоследователно полеприложими към задачите на П. т. d> 6. В това приближение критичното индексите не зависят от д; b = 1, = 1 / 2 .

Резултатите от P. t. се използват при изследване на електронните свойства неуредени системи, фаза метални преходи - диелектрик, феромагнетизъмтвърди разтвори, кинетични. явления в силно нехомогенни среди, физико-хим. процеси в твърди тела и др.

букв.:Мот Н., Дейвис Е., Електронни процеси внекристални вещества, транс. от английски, 2-ро изд., т. 1-2, М., 1982; Шкловски Б. И., Ефрос А. Л., Електронни свойства на легираните материали, Москва, 1979; 3 a y-man D. M., Модели на разстройство, прев. от английски, М., 1982; Ефрос А. Л., Физика и геометрия на безпорядъка, Москва, 1982 г.; Соколов И. М., Размери и други геометрични критични показатели в теорията на перколацията, "UFN", 1986, т. 150 с. 221. А. Л. Ефрос.