Тази лекция разглежда следните въпроси:

1. Равновесни условия за механични системи.

2. Стабилност на баланса.

3. Пример за определяне на равновесните положения и изследване на тяхната стабилност.

Изучаването на тези въпроси е необходимо за изучаване на колебателните движения на механична система спрямо равновесното положение в дисциплината „Машинни части“, за решаване на задачи по дисциплините „Теория на машините и механизмите“ и „Съпротивление на материалите“.

Важен случай на движение на механичните системи е тяхното колебателно движение. Трептенията са повтарящи се движения на механична система спрямо част от нейното положение, които се случват повече или по -малко редовно във времето. Курсовата работа изследва колебателното движение на механична система спрямо равновесното положение (относително или абсолютно).

Механичната система може да се колебае за достатъчно дълъг период от време само в близост до стабилно равновесно положение. Следователно, преди да се съставят уравненията на колебателно движение, е необходимо да се намерят равновесните положения и да се изследва тяхната стабилност.

Равновесни условия за механични системи.

Според принципа на възможните измествания (основното уравнение на статиката), за да бъде една механична система, върху която са наложени идеални, неподвижни, задържащи и холономични ограничения, в равновесие, е необходимо и достатъчно всички обобщени сили да са равна на нула в тази система:

където е съответната обобщена сила j -обобщена координата;

с- броя на обобщените координати в механичната система.

Ако за изследваната система диференциалните уравнения на движение са съставени под формата на уравнения на Лагранж от втори вид, то за да се определят възможните равновесни позиции, е достатъчно да се приравнят обобщените сили към нула и да се решат получените уравнения по отношение на обобщени координати.

Ако механичната система е в равновесие в поле на потенциална сила, тогава от уравнения (1) получаваме следните условия на равновесие:

Следователно в равновесно положение потенциалната енергия има изключителна стойност. Не всяко равновесие, определено от горните формули, може да се реализира на практика. В зависимост от поведението на системата при отклонение от равновесното положение се говори за стабилността или нестабилността на тази позиция.

Стабилен баланс

Дефиницията на концепцията за стабилност на равновесно положение е дадена в края на 19 век в трудовете на руския учен А. М. Ляпунов. Нека разгледаме това определение.

За да опростим изчисленията, допълнително ще се договорим за обобщените координати q 1 , q 2 ,...,q с отчитане от равновесното положение на системата:

където

Равновесното положение се нарича стабилно, ако за произволно малко числоможете да намерите такъв различен номер , че в случая, когато началните стойности на обобщените координати и скорости няма да надвишават:

стойностите на обобщените координати и скорости по време на по -нататъшното движение на системата няма да надвишават .

С други думи, равновесното положение на системата q 1 = q 2 = ...= q s = 0 се извиква устойчивиако винаги може да се намерят такива достатъчно малки начални стойностипри което движението на систематаняма да напусне произволно малка околност на равновесното положение... За система с една степен на свобода, стабилното движение на системата може да бъде изобразено графично във фазовата равнина (фиг. 1).За стабилно равновесно положение, движението на представящата точка, започвайки от областта [ ] , няма да излиза извън зоната в бъдеще.

Фиг. 1

Равновесното положение се нарича асимптотично стабилен , ако с течение на времето системата се доближи до равновесното положение, т.е.

Определянето на условията за стабилност на равновесно положение е доста сложен проблем, затова се ограничаваме до най -простия случай: изследването на равновесната стабилност на консервативните системи.

Определят се достатъчни условия за стабилност на равновесните положения за такива системи теоремата на Лагранж - Дирихле : равновесното положение на консервативна механична система е стабилно, ако в равновесно положение потенциалната енергия на системата има изолиран минимум .

Потенциалната енергия на механичната система се определя в рамките на константа. Нека изберем тази константа, така че в равновесно положение потенциалната енергия да е равна на нула:

P (0) = 0.

Тогава за система с една степен на свобода достатъчно условие за съществуването на изолиран минимум, заедно с необходимото условие (2), ще бъде условието

Тъй като в равновесно положение потенциалната енергия има изолиран минимум и P (0) = 0 , след това в някакъв краен квартал на тази позиция

П (q) = 0.

Извикват се функции, които имат постоянен знак и са равни на нула само за нулеви стойности на всичките им аргументи категоричен... Следователно, за да бъде равновесното положение на механичната система стабилно, е необходимо и достатъчно, че в близост до това положение потенциалната енергия е положително определена функция от обобщените координати.

За линейни системи и за системи, които могат да бъдат редуцирани до линейни при малки отклонения от равновесното положение (линеаризирано), потенциалната енергия може да бъде представена под формата на квадратична форма на обобщени координати

където - обобщени коефициенти на коравина.

Обобщени коефициентиса постоянни числа, които могат да бъдат определени директно от разширяването на потенциалната енергия в серия или от стойностите на вторите производни на потенциалната енергия по отношение на обобщените координати в равновесно положение:

От формула (4) следва, че обобщените коефициенти на коравина са симетрични по отношение на индексите

За За да бъдат изпълнени достатъчните условия за стабилност на равновесното положение, потенциалната енергия трябва да бъде положително определена квадратична форма на нейните обобщени координати.

В математиката има Критерий на Силвестър даващи необходимите и достатъчни условия за положителната определеност на квадратните форми: квадратната форма (3) ще бъде положително определена, ако детерминантата, съставена от нейните коефициенти и всичките й основни диагонални минори, е положителна, т.е. ако коефициентите ще задоволи условията

.....

По -специално, за линейна система с две степени на свобода, потенциалната енергия и условията на критерия на Силвестър ще имат формата

По подобен начин човек може да изследва позициите на относително равновесие, ако вместо потенциалната енергия се въведе потенциалната енергия на редуцираната система.

NS Пример за определяне на равновесните позиции и изучаване на тяхната стабилност

Фиг. 2

Помислете за механична система, състояща се от тръба ABкойто се върти ОО 1свързани с хоризонталната ос на въртене и топка, която се движи през тръбата без триене и е свързана с точка Атръба с пружина (фиг. 2). Нека определим равновесните положения на системата и да оценим тяхната стабилност за следните параметри: дължина на тръбата l 2 = 1 м , дължина на пръта l 1 = 0,5 м . дължина на недеформирана пружина л 0 = 0,6 м, пружинен разход ° С= 100 N / m. Тегло на тръбата м 2 = 2 кг, пръти - м 1 = 1 кг и топката - м 3 = 0,5 кг. Разстояние ОАравно на л 3 = 0,4 m.

Нека запишем израза за потенциалната енергия на разглежданата система. Състои се от потенциалната енергия на три тела в еднородно гравитационно поле и потенциалната енергия на деформирана пружина.

Потенциалната енергия на тялото в гравитационно поле е равна на произведението от теглото на тялото от височината на центъра на тежестта му над равнината, в която потенциалната енергия се счита за нула. Нека потенциалната енергия е нула в равнината, преминаваща през оста на въртене на пръта ОО 1, след това за силите на гравитацията

За еластичната сила потенциалната енергия се определя от размера на деформацията

Нека открием възможните равновесни позиции на системата. Стойностите на координатите в равновесните позиции са корените на следната система от уравнения.

Подобна система от уравнения може да бъде съставена за всяка механична система с две степени на свобода. В някои случаи може да се получи точно решение на системата. За система (5) такова решение не съществува; следователно корените трябва да се търсят с помощта на числени методи.

Решавайки системата от трансцендентални уравнения (5), получаваме две възможни равновесни позиции:

За да оценим стабилността на получените равновесни позиции, откриваме всички втори производни на потенциалната енергия по отношение на обобщените координати и от тях определяме обобщените коефициенти на коравина.

Равновесие на механичната система- това е състояние, в което всички точки на механичната система са в покой по отношение на разглежданата референтна система. Ако референтната рамка е инерционна, се извиква равновесие абсолютенако неинерционен - роднина.

За да се намерят условията на равновесие за абсолютно твърдо тяло, е необходимо мислено да се разбие на голям брой достатъчно малки елементи, всеки от които може да бъде представен с материална точка. Всички тези елементи взаимодействат помежду си - тези сили на взаимодействие се наричат вътрешен... В допълнение, външни сили могат да действат върху редица точки на тялото.

Според втория закон на Нютон, за да бъде ускорението на точка нула (и ускорението на неподвижна точка да е нула), геометричната сума на силите, действащи върху тази точка, трябва да бъде равна на нула. Ако тялото е в покой, тогава всички негови точки (елементи) също са в покой. Следователно за всяка точка на тялото можете да напишете:

където е геометричната сума на всички външни и вътрешни сили, действащи върху iтози елемент на тялото.

Уравнението означава, че за равновесието на тяло е необходимо и достатъчно, че геометричната сума на всички сили, действащи върху който и да е елемент от това тяло, е равна на нула.

От него е лесно да се получи първото условие за баланса на тялото (система от тела). За да направите това, достатъчно е да обобщите уравнението по всички елементи на тялото:

.

Втората сума е равна на нула според третия закон на Нютон: векторната сума на всички вътрешни сили на системата е равна на нула, тъй като всяка вътрешна сила съответства на сила, равна по величина и противоположна по посока.

Следователно,

.

Първото условие за равновесие на твърдо тяло(системи на тялото)е равенството на нула на геометричната сума на всички външни сили, приложени към тялото.

Това условие е необходимо, но не е достатъчно. Това е лесно да се провери чрез запомняне на въртящото се действие на двойка сили, чиято геометрична сума също е равна на нула.

Второто условие за равновесие на твърдо тялое равенството на нула от сумата от моментите на всички външни сили, действащи върху тялото, спрямо всяка ос.

По този начин условията на равновесие за твърдо тяло в случай на произволен брой външни сили са следните:

.

Равновесието е състояние на системата, при което силите, действащи върху системата, са балансирани помежду си. Равновесието може да бъде стабилно, нестабилно или безразлично.

Концепцията за равновесие е една от най -универсалните в естествените науки. Той се прилага за всяка система, било то система от планети, движещи се в неподвижни орбити около звезда, или популация от тропически риби в атолска лагуна. Но най -лесният начин да разберете концепцията за равновесното състояние на системата е чрез примера на механичните системи. В механиката се счита, че една система е в равновесие, ако всички действащи върху нея сили са напълно балансирани една с друга, тоест те се гасят взаимно. Ако четете тази книга, например, докато седите на стол, тогава сте в състояние на баланс, тъй като силата на гравитацията, която ви дърпа надолу, се компенсира напълно от силата на натиска на стола върху тялото ви, действаща от отдолу нагоре. Не падате и не излитате точно защото сте в състояние на баланс.

Има три вида баланс, съответстващи на три физически ситуации.

Стабилен баланс

Това е, което повечето хора обикновено разбират под „баланс“. Представете си топка на дъното на сферична купа. В покой той е разположен строго в центъра на купата, където действието на силата на гравитационното привличане на Земята се балансира от реакционната сила на опората, насочена строго нагоре, а топката лежи там, точно както вие почивате във вашия Председател. Ако преместите топката от центъра, търкаляйки я настрани и нагоре към ръба на купата, веднага след като я освободите, тя веднага се втурва обратно към най -дълбоката точка в центъра на купата - в посока на стабилно равновесно положение.

Седейки на стол, вие сте в покой поради факта, че системата, състояща се от вашето тяло и стол, е в състояние на стабилно равновесие. Следователно, когато промените някои параметри на тази система - например, когато теглото ви се увеличи, ако, да речем, дете седи на коленете ви - столът, като материален обект, ще промени конфигурацията си по такъв начин, че реакционната сила на подкрепата се увеличава и ще останете в позиция на стабилен баланс (най -многото, което може да се случи, е възглавницата под вас да се изплакне малко по -дълбоко).

В природата има много примери за стабилно равновесие в различни системи (и не само механични). Помислете например за връзката хищник-плячка в екосистема. Съотношението на броя на затворените популации на хищници и тяхната плячка достатъчно бързо достига равновесно състояние - толкова много зайци в гората от година на година постоянно падат върху толкова много лисици, относително казано. Ако по някаква причина броят на популациите на плячка се промени драстично (поради повишаване на раждаемостта на зайци например), екологичният баланс много скоро ще бъде възстановен поради бързото увеличаване на броя на хищниците, което ще ще започнат да изтребват зайци с ускорени темпове, докато броят на зайците не се върне към нормалното и няма да започне да умира от глад, привеждайки собствения си добитък в норма, в резултат на което популациите както на зайци, така и на лисици ще връщане към нормата, която се наблюдаваше преди избухването на раждаемостта сред зайци. Тоест, в една стабилна екосистема, вътрешните сили също действат (макар и не във физическия смисъл на думата), като се стремят да върнат системата в състояние на стабилно равновесие в случай, че системата се отклони от нея.

Подобни ефекти могат да се наблюдават в икономическите системи. Рязкото спадане на цената на даден продукт води до скок в търсенето от страна на ловците на евтиност, последващо намаляване на запасите и в резултат на това повишаване на цените и спад в търсенето на продукта - и така нататък, докато системата се връща в състояние на стабилно ценово равновесие на търсенето и предлагането. (Естествено, в реални системи, както екологични, така и икономически, могат да действат външни фактори, които отклоняват системата от състояние на равновесие - например сезонният отстрел на лисици и / или зайци или държавно регулиране на цените и / или квоти за потребление. Равновесие, аналог на който в механиката би бил например деформация или наклон на купата.)

Нестабилно равновесие

Не всяко равновесие обаче е стабилно. Представете си топка, балансираща върху острието на ножа. Силата на гравитацията, насочена строго надолу в този случай, очевидно също е напълно балансирана от силата, насочена нагоре от реакционната сила на опората. Но веднага след като центърът на топката се отклони от точката на покой, която пада върху линията на острието поне част от милиметъра (а за това е достатъчна оскъдна сила на сила), балансът ще бъде моментално се нарушава и силата на гравитацията ще започне да влачи топката все по -далеч от нея.

Пример за нестабилно естествено равновесие е топлинният баланс на Земята, когато периодите на глобално затопляне се променят с новите ледникови епохи и обратно ( см.Цикли на Миланкович). Средната годишна температура на повърхността на нашата планета се определя от енергийния баланс между общата слънчева радиация, достигаща до повърхността, и общата топлинна радиация на Земята в космоса. Този топлинен баланс става нестабилен, както следва. Някои зими има повече сняг от обикновено. Следващото лято топлината не е достатъчна, за да стопи излишния сняг, а лятото също е по -студено от обикновено поради факта, че поради излишъка от сняг земната повърхност отразява обратно в космоса по -голяма част от слънчевите лъчи, отколкото преди. Поради това следващата зима се оказва още по -снежна и по -студена от предишната, а през следващото лято на повърхността остава още повече сняг и лед, отразяващи слънчевата енергия в космоса ... Лесно е да се види че колкото повече такава глобална климатична система се отклонява от първоначалната точка на термично равновесие, толкова по -бързо се развиват процесите, което води климата по -далеч от него. В крайна сметка много километри ледници се образуват на повърхността на Земята в циркумполярните райони в продължение на много години на глобално охлаждане, които неумолимо се движат към все по -ниски географски ширини, носейки със себе си нов ледников период на планетата. Така че е трудно да си представим по-несигурен баланс от глобално-климатичния.

Един вид нестабилно равновесие заслужава специално споменаване, т.нар метастабилен,или квази-стабилно равновесие.Представете си топка в тесен, плитък жлеб - например върху извито острие за кънки с върха нагоре. Леко - с милиметър или два - отклонение от точката на равновесие ще доведе до появата на сили, които връщат топката в равновесно състояние в центъра на жлеба. Въпреки това, малко повече сила е достатъчна, за да извади топката от зоната на метастабилно равновесие и тя ще падне от острието на кънките. Метастабилните системи по правило имат свойството да престояват известно време в състояние на равновесие, след което те „се откъсват“ от него в резултат на всякакви колебания на външни влияния и „изпадат“ в необратим процес, характерен за нестабилните системи .

Типичен пример за квазистабилно равновесие се наблюдава в атомите на работното вещество на някои видове лазерни инсталации. Електроните в атомите на работния флуид на лазера заемат метастабилни атомни орбити и остават върху тях до полета на първия светлинен квант, който ги "избива" от метастабилната орбита към по -ниска стабилна, като излъчва нов квант светлина, кохерентна с летящата, която от своя страна събаря електрона на следващия атом от метастабилната орбита и т. н. В резултат на това подобна на лавина реакция на излъчване на кохерентни фотони, които образуват лазерен лъч, е задейства, което всъщност е в основата на действието на всеки лазер.

Безразличен баланс

Междинен случай между стабилно и нестабилно равновесие е т. Нар. Равнодушно равновесие, при което всяка точка на системата е равновесна точка, а отклонението на системата от началната точка на покой не променя нищо в подреждането на силите вътре то. Представете си топка на идеално гладка хоризонтална маса - където и да я преместите, тя ще остане в равновесие.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Стабилен баланс- това е равновесие, при което тялото, извадено от позиция на равновесие и оставено на себе си, се връща в предишното си положение.

Това се случва, ако при леко изместване на тялото във всяка посока от първоначалното положение, резултантната от силите, действащи върху тялото, става ненулева и е насочена към равновесното положение. Например топка, лежаща на дъното на сферична депресия (фиг. 1 а).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Нестабилно равновесие- това е равновесие, при което тялото, извадено от равновесното положение и оставено за себе си, ще се отклони още повече от равновесното положение.

В този случай, с малко изместване на тялото от равновесното положение, резултатът от приложените към него сили е различен от нула и е насочен от равновесното положение. Пример е топка, разположена в горната точка на изпъкнала сферична повърхност (фиг. 1 б).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Безразличен баланс- това е равновесие, при което тялото, извадено от позицията на равновесие и оставено на себе си, не променя своето положение (състояние).

В този случай, при малки измествания на тялото от първоначалното положение, резултатът от силите, приложени към тялото, остава равен на нула. Например топка, лежаща на равна повърхност (фиг. 1, в).

Фиг. 1. Различни видове телесен баланс върху опора: а) стабилен баланс; б) нестабилен баланс; в) равнодушен баланс.

Статичен и динамичен баланс на телата

Ако в резултат на действието на силите тялото не получи ускорение, то може да бъде в покой или да се движи равномерно по права линия. Следователно можем да говорим за статичен и динамичен баланс.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Статичен баланс- това е такъв баланс, когато под действието на приложените сили тялото е в покой.

Динамичен баланс- това е такъв баланс, когато под действието на силите тялото не променя движението си.

В състояние на статично равновесие има фенер, окачен на кабели, всяка сградна конструкция. Като пример за динамично равновесие можем да разгледаме колело, което се търкаля по равна повърхност при липса на сили на триене.

Тялото е в покой (или се движи равномерно и праволинейно), ако векторната сума на всички сили, действащи върху него, е нула. Твърди се, че силите се уравновесяват. Когато имаме работа с тяло с определена геометрична форма, при изчисляване на получената сила всички сили могат да бъдат приложени към центъра на масата на тялото.

Равновесно състояние за телата

За да може едно тяло, което не се върти, да бъде в равновесие, е необходимо резултатът от всички сили, действащи върху него, да бъде равен на нула.

F → = F 1 → + F 2 → +. ... + F n → = 0.

Фигурата по -горе показва равновесието на твърдо тяло. Лентата е в състояние на равновесие под въздействието на три сили, действащи върху нея. Линиите на действие на силите F 1 → и F 2 → се пресичат в точка О. Точката на приложение на силата на тежестта е центърът на масата на тялото C. Тези точки лежат на една права линия и при изчисляване на получената сила F 1 →, F 2 → и m g → се редуцират до точка С.

Условието за равенство на нула на резултата от всички сили не е достатъчно, ако тялото може да се върти около някаква ос.

Рамото на силата d е дължината на перпендикуляра, направен от линията на действие на силата до точката на нейното прилагане. Моментът на сила М е продуктът на рамото на силата по нейния модул.

Моментът на сила има тенденция да върти тялото около оста. Тези моменти, които въртят тялото обратно на часовниковата стрелка, се считат за положителни. Единицата за измерване на силовия момент в международната система SI е 1 Нютонметър.

Определение. Правило на миговете

Ако алгебричната сума на всички моменти, приложени към тялото спрямо фиксираната ос на въртене, е нула, тогава тялото е в равновесие.

M 1 + M 2 +. ... + M n = 0

Важно!

В общия случай, за баланса на телата, трябва да бъдат изпълнени две условия: равенство на нула на получената сила и спазване на правилото за моментите.

Има различни видове баланс в механиката. Така те правят разлика между стабилно и нестабилно, както и безразлично равновесие.

Типичен пример за безразлично равновесие е търкалящо се колело (или топка), което, ако бъде спряно в която и да е точка, ще бъде в състояние на равновесие.

Стабилното равновесие е такъв баланс на тялото, когато с неговите малки отклонения възникват сили или моменти на сили, които са склонни да върнат тялото в равновесно състояние.

Нестабилното равновесие е състояние на равновесие, с малко отклонение, от което силите и моментите на силите са склонни да разбалансират тялото още повече.

На горната снимка положението на топката (1) е равнодушно равновесие, (2) е нестабилно равновесие, (3) е стабилно равновесие.

Тяло с фиксирана ос на въртене може да бъде във всяко от описаните равновесни положения. Ако оста на въртене премине през центъра на масата, възниква равнодушно равновесие. В стабилно и нестабилно равновесие центърът на масата се намира на вертикална линия, която минава през оста на въртене. Когато центърът на масата е под оста на въртене, равновесието е стабилно. В противен случай е точно обратното.

Специален случай на баланс е балансът на тялото върху опора. В този случай еластичната сила се разпределя по цялата основа на тялото и не преминава през една точка. Тялото е в покой в ​​равновесие, когато вертикална линия, изтеглена през центъра на масата, пресича опорната област. В противен случай, ако линията от центъра на масата не попадне в контура, образуван от линиите, свързващи точките на завъртане, тялото се преобръща.

Пример за баланс на тялото върху опора е известната Наклонена кула в Пиза. Според легендата, Галилео Галилей е изпускал топки от него, когато е провеждал експериментите си за изследване на свободното падане на тела.

Линия, изтеглена от центъра на масата на кулата, пресича основата приблизително на 2,3 м от центъра й.

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter